文档文本内容
专题4.2.1 随机变量及其与事件的联系&专题4.2.2 离散型随
机变量的分布列
教学目标
1．准确理解随机变量、离散型随机变量的定义，能结合简单实例识别离散型随机变
量；
2．熟练掌握离散型随机变量分布列的概念，牢记并理解其概率非负、总和为1 的核心
性质；
3．理解两点分布的定义与特征，明确成功概率的含义，能规范写出两点分布的分布
列。
教学重难点
重点：离散型随机变量分布列的概念、核心性质及基础应用；两点分布的结构特点、
分布列形式及成功概率的定义。
难点：结合具体试验场景，准确判断随机变量是否为离散型随机变量；灵活运用分布
列的性质，解决概率补充、分布列验证等相关问题。
知识点01 随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母
，…表示．
离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
【即学即练】
1．（多选）将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数
【答案】ABC
【详解】将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，所以是一个
随机变量，A 正确；
两次掷出的最大点数，为随机变量，B 正确；
第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量， C 正确；
两次掷出的点数不是一个变量，是一个数对，D 错；
故选：ABC
2．某人进行投篮训练，最多投篮4 次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为
，则
表示的试验结
果是（ ）
A．第2 次投篮命中
B．第3 次投篮未命中
C．前3 次投篮均未命中
D．前2 次投篮均未命中，第3 次投篮命中
【答案】D
【详解】根据变量
的意义可知：
表示前2 次投篮均未命中，第3 次投篮命中.
故选：D.
知识点02 离散型随机变量分布列的概念及性质
①离散型随机变量的分布列的概念
设离散型随机变量X 可能取的不同值为
，
，…，
，X 取每一个值
(
)的概率
，则下表称为随机变量X 的概率分布，简称为X 的分布列.
X
…
…
P
…
…
有时也用等式
表示X 的分布列．
②离散型随机变量的分布列的性质
（1）
(i＝1，2，…，n)；（2）
．
【即学即练】
1．若随机变量X 的分布列为：
0
1
2
0.3
0.5
则
（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【答案】B
【详解】由题，
．
故选：B
2．某班有学生45 人，其中O 型血的有10 人，A 型血的有12 人，B 型血的有8 人，AB 型血的有15 人.现
从中抽取1 人，其血型为随机变量
，求
的分布列.
【答案】分布列见解析
【详解】解 将
四种血型分别编号为1，2，3，4，则
的可能取值为1，2，3，4．
，
，
，
.
故
的分布列为
1
2
3
4
知识点03 两点分布的分布列
若随机变量
的分布列为两点分布列,就称
服从两点分布或
分布,并称
为成功概率.
【即学即练】
1．已知随机变量
服从
分布，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
且
，解得
.
故选：D
2．已知随机变量
服从两点分布，
，则
.
【答案】0.44/
【详解】因随机变量
服从两点分布，故
.
故答案为：0.44.
题型01 （离散型）随机变量的辨析
【例1】判断下列各个量，指出其中哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中，2030 年4 月1 日的旅客数量；
(2)体积为
的球的半径；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品所获得的奖次．
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)不是，理由见解析；
(3)是，理由见解析.
【详解】（1）旅客数量可能是
出现的结果是随机的，因此旅客数量是随机变量；
（2）当球的体积是
时，球的半径为定值，因此球的半径不是随机变量；
（3）你的一件作品所获得的奖次可能是一、二、三等奖，是随机的，因此奖次是随机变量.
【例2】下列是离散型随机变量的是（ ）
A．种子含水量的测量误差
B．某品牌电视机的使用寿命
C．某网页在24 小时内被浏览的次数
D．测量某一零件的长度产生的测量误差
【答案】C
【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，
对于A，种子含水量的测量误差
不能一一列举，故不是离散型随机变量；
对于B，某品牌电视机的使用寿命
不能一一列举，故不是离散型随机变量；
对于C，某网页在24 小时内被浏览的次数
能一一列举，是离散型随机变量；
对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差
不能一一列举，故不是离散型随机变量．
故选：C.
【变式1-1】（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在
范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在
范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
【答案】AC
【详解】半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A 正确；
体重无法一一列举，选项B 不正确；
人数可以列举，选项C 正确；
某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D 不正确．
故选:AC．
【变式1-2】甲进行次射击，记甲击中目标的次数为
，则
的可能取值为 .
【答案】
、、
、
【详解】甲在次射击中，可能一次未中，也可能中次、
次、次.
因此，随机变量
的可能取值为
、、
、.
故答案为：
、、
、.
【变式1-3】指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
(1)从10 张已编好号码的卡片（1 号到10 号）中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球和黑球的个数；
(3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【详解】（1）只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机
变量的定义．
（2）从10 个球中任取3 个球，所得的结果有以下几种：3 个白球；2 个白球和1 个黑球；1 个白球和2 个
黑球；
3 个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
（3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取
内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
（4）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
题型02 分布列的性质
【例3】已知离散型随机变量
的分布列如表所示，则常数为（ ）
0
1
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【详解】由题意可得，
解得
．
故选：A．
【例4】设x，
，已知随机变量的分布列如下，
0
1
2
P
x
y
x
则
的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，得
，即
，
所以
，
当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值为
.
故选：C.
【变式2-1】已知随机变量X 的分布列如下表所示，则
（ ）
X
1
2
3
4
P
0.1
m
0.3
0.2
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题得
，则
，
故
．
故选：C.
【变式2-2】已知离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.36
则常数
．
【答案】
/
【详解】由题意可知：
，
即
，解得
或
，
又因为
，解得
，
所以常数
.
故答案为：0.2.
【变式2-3】已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量
，则
X
0
1
2
3
P
a
5a
【答案】
【详解】由分布列的性质可知：
解得
，
由
，
等价于
，由表可知
；
故答案为：
题型03 利用分布列求概率
【例5】设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.2
0.4
0.3
0.1
若随机变量
，则
（ ）
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
【答案】A
【详解】由题可得
.
故选：A
【例6】若随机变量
的分布列为
，则
．
【答案】
/0.6
【详解】由
，得
，
解得
，所以
．
故答案为：
【变式3-1】若随机变量
的分布如下表：
1
2
3
P
0.2
0.1
2m
0.25
m
则
的值为（ ）
A．0.3
B．0.4
C．0.55
D．0.85
【答案】B
【详解】
，解得
；
，
故选：B.
【变式3-2】某位射箭运动员命中目标的环数
的分布列为：
6
7
8
9
10
0.05
0.15
0.25
0.35
0.20
如果命中9 环或10 环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（ ）
A．0.55
B．0.45
C．0.35
D．0.20
【答案】A
【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10 环，其概率为
，
故他射击一次为优秀的概率是0.55.
故选：A.
【变式3-3】已知随机变量X 的概率分布规律为
，其中a 为常数，则
．
【答案】
【详解】因为
，
所以
，故
，
所以
.
故答案为：
.
题型04 两个相关离散随机变量的分布列问题
【例7】设离散型随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求随机变量
的分布列．
【答案】答案见详解
【详解】由离散型随机变量的性质，可得
，
依题意知，η 的值为0，1，4，9，16.
列表为：
X
0
1
2
3
4
0
1
4
9
16
从而
的分布列为：
η
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
【例8】设离散型随机变量
的分布列如下表，若随机变量
，则
.
【答案】
/
【详解】由已知可得
，
解得
，
则
，
故答案为：
.
【变式4-1】已知X 的分布列为：
X
0
1
P
a
若随机变量
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题设
，可得
，则
.
故选：B
【变式4-2】已知离散型随机变量
的分布列
，
.令
，则
.
【答案】
【详解】由已知
取值0，2，4，6，8，且
，
，
，
，
，
则
.
故答案为：
【变式4-3】设离散型随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求
的分布列．
【答案】分布列见解析
【详解】由分布列的性质知，
，得
.
列表为：
X
0
1
2
3
4
1
3
5
7
9
从而
的分布列为：
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
题型05 两点分布
【例9】已知随机变量
，
均服从两点分布，且
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由于
服从两点分布，且
，
因此
.
由全概率公式得
，
即
，
所以
，
由条件概率计算公式得
.
故选：D
【例10】已知随机变量
服从两点分布，且
，设
，则
＝（ ）
A．0.72
B．0.28
C．0.16
D．0.84
【答案】A
【详解】由题意可得
，
故选：A.
【变式5-1】随机变量
服从两点分布，其分布列如下表所示：
0
1
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【详解】由题意
，解得
或
（舍去）.
故选：B.
【变式5-2】设随机变量
服从两点分布，若
，则
（ ）
A．0.7
B．0.75
C．0.3
D．0.25
【答案】B
【详解】由题意有：
解得
.
故选：B.
【变式5-3】已知随机变量
服从两点分布，且
，令
，则
．
【答案】0.6/
【详解】由
得
，
所以
．
故答案为：
.
题型06 求离散型随机变量的分布列
【例11】一个不透明的口袋中装有3 个红球､3 个黄球和2 个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这
个口袋中一次性地摸出3 个球.
(1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类为
，求
的分布列.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由摸出的白球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为2 个白球和1 个黄球（或1 个红球），
可能为1 个白球和2 个红球，
其中摸出2 个白球和1 个黄球（或1 个红球）的概率为
，
摸出1 个白球和2 个红球的概率为
，
故摸出的白球个数比黄球个数多的概率为
.
（2）由题可知，
的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
则
的分布列为
1
2
3
【例12】袋中有大小形状相同的5 个球，其中3 个红色，2 个黄色．
(1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率；
(2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量
为此
时已摸球的次数，求：①
的值；②随机变量
的分布列．
【答案】(1)
(2)①
；②分布列见解析
【分析】
【详解】（1）依题意，所求概率为
；
（2）①由已知得从袋中不放回地摸球两次的所有取法有
（种），
事件
表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，
故
包含
种取法，所以
；
②
的可能取值为2，3，4，
，
，
，
则
的分布列为
X
2
3
4
P
【变式6-1】一袋子中有大小相同的10 个小球，其中有3 个白球，7 个黑球．现从中依次摸出2 个球，记摸
到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X 的分布列．
【答案】分布列见解析
【详解】依题意，
的所有可能取值为
，，
，
则
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
【变式6-2】某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，
新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国
学”三个社团的概率依次为m，
，n，三个社团他都能进入的概率为
，至少能进入一个社团的概率为
，且
．
(1)求m 与n 的值；
(2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1 分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学
分2 分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3 分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布
列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）由
，得
．
（2）令该新生在社团方面获得的校本选修学分为随机变量X，则X 的值可以为0，1，2，3，4，5，6．
，
，
，
，
，
P
，
．
故随机变量X 的分布列如下．
X
0
1
2
3
4
5
6
P
【变式6-3】甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者
得3 分，负者得0 分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
，丙胜甲的概率为
，乙胜丙的概率为
，且
各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为
．
(1)求
的值；
(2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为
，求
的分布列．
【答案】(1)
nn
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）甲获第一名且乙获第三名的概率为
，即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为
，
由
，得
；
（2）由题意知，丙的得分
的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为
，丙胜乙的概率为
，
，
，
，
所以丙的得分
的分布列如下：
X
0
3
6
P
一、单选题
1．某人进行投篮训练，最多投篮4 次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为
，则
表示的试验结
果是（ ）
A．第4 次投篮命中
B．第4 次投篮未命中
C．前3 次投篮均未命中
D．投篮命中4 次
【答案】C
【分析】详解】根据变量
的意义可知：
表示前3 次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投
篮次数为4 次.
故选：C
2．设离散型随机变量
的分布列为下表，若随机变量
，则
（ ）
0
1
2
3
0.1
0.6
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【答案】A
【分析】详解】由分布列的性质知
，所以
．
因为
，所以
．
故选：A．
3．若
服从两点分布，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】详解】依题意可得
，解得
.
故选：C
4．已知盒中有6 个灯泡，其中4 个正品，2 个次品．从中取出2 个正品，每次取出1 个，取出后不放回，
直到取出2 个正品为止．设X 为取出的次数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】详解】任取三次灯泡所对应的事件总数为
，而直到取出2 个正品为止，要想取出的次数为次，
只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，对应的事件个数为
，
所以
.
故选：C
5．已知随机变量
均服从两点分布，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】因为随机变量
均服从两点分布，所以
，
因为
，
所以
，
由条件概率公式
，
故选：B.
6．设
为实数，若随机变量
的分布列为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】详解】根据题意，
，且所有概率之和等于1，
，
，解得：
，
.
故选：A
7．若离散型随机变量X 的分布列为
，则
的值为
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】详解】因为
，
所以由
，
可得：
，
即
，∴
，
所以
.
故选:B.
二、多选题
8．（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．从10 张已编好号码的卡片(从1 号到10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B．一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球的个数
C．某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
【答案】AB
【分析】详解】对A，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型
随机变量的定义，故A 正确；
对B，从10 个球中取3 个球，所得的结果有以下几种：3 个白球、2 个白球，1 个黑球、1 个白球和2 个黑
球、3 个黑球，即所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故B 正确；
对C，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变
量，故C 错误；
对D，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，故D 错误.
故选：AB.
9．已知离散型随机变量X 的分布列为
X
2
4
6
8
P
a
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】详解】由分布列性质可知
，解得
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正确；
，故D 错误．
故选：AC．
10．一批产品有
的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出1 件次品为止，令
表示直到抽出一
件次品时已经抽出的产品个数，且
的概率分布由下列公式给出：
，
，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率
C．
表示第三次抽到次品的概率
D．
【答案】ABD
【分析】详解】对于A，因
，则
，故A 正确；
对于B，根据
的含义和概率分布可知，
表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率，故B 正确；
对于C，根据
的含义和概率分布可知，
表示前两次抽到正品，第三次抽到次品的概率，故C 错误；
对于D，因
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．一个木箱中装有6 个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3 个篮球，以
表
示取出的篮球的最大号码，则
所有可能的取值为 ，其中
表示的试验结果有 种．
【答案】 3，4，5，6 3
【分析】详解】根据题意可知
的可能取值为3，4，5，6，
其中当
时，表示取得的一球编号为4，另两个球从1，2，3 中选取，有
（种）．
故答案为：3，4，5，6；3
12．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a 是常数，则
．
1
2
3
…
50
…
【答案】
/0.28
【分析】详解】由题意，
，
解得
，
所以
．
故答案为：
13．已知集合
，从集合
中任取3 个不同的元素，其中最小的元素用
表示，
从集合
中任取3 个不同的元素，其中最大的元素用
表示，记
，则
为
【答案】
/
【分析】详解】由题意
或
，
或，
事件
即为“
或
”，
从集合
中任取3 个不同的元素，从集合
中任取3 个不同的元素的方法数为
，事件“
”含有的样本点的个数为
，
事件“
”含有的样本点的个数为
，
所以
．
故答案为：
四、解答题
14．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10 个，白球5 个，从袋中每次任取1 个球，取后不放回，直到取出的球是白球为
止，所需要的取球次数；
(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中任取2 张，所取卡片上的数字之和．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】详解】（1）设所需要的取球次数为
，则
．
表示“第1 次就取到白球”，
表示前
次取到的均是红球，第次取到白球，
．
（2）设所取卡片上的数字之和为
，则
．
表示“取出标有1，2 的两张卡片”；
表示“取出标有1，3 的两张卡片”；
表示“取出标有2，3 或1，4 的两张卡片”；
表示“取出标有2，4 或1，5 的两张卡片”；
表示“取出标有3，4 或2，5 或1，6 的两张卡片”；
表示“取出标有2，6 或3，5 的两张卡片”；
表示“取出标有3，6 或4，5 的两张卡片”；
表示“取出标有4，6 的两张卡片”；
表示“取出标有5，6 的两张卡片”．
15．已知随机变量X 的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
求随机变量
的分布列．
【答案】分布列见解析
【分析】详解】由
，得
当
，5 时，
；
当
，4，6 时，
；
当
时，
．
则
，
，
，
所以随机变量Y 的分布列为
Y
1
0
P
16．若盒中装有同一型号的灯泡共9 只，其中有6 只合格品，3 只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更
换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不
再放回原盒中），求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X 的分布列．
【答案】分布列见解析.
【分析】详解】依题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，
，或
，
，或
，
，或
，
，或
，
则X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
