文档文本内容
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⽬
录
【专题⼗⼆：统计、概率与变量分布】
题型01：简单随机抽样与随机数表
题型02：分层抽样
题型03：总体取值规律的估计
题型04：总体百分位数的估计
题型05：总体集中趋势的估计
题型06：总体离散程度的估计
题型07：样本空间与随机事件
题型08：事件关系与运算
题型09：古典概型
题型10：概率的基本性质
题型11：事件的相互独⽴性
题型12：统计与概率解答题综合
题型13：条件概率
题型14：全概率公式
题型15：条件概率与全概率解答题综合
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题型16：离散型随机变量及其分布列
题型17：离散型随机变量的期望与⽅差
题型18：⼆项分布
题型19：超⼏何分布
题型20：正态分布
题型21：概率分布解答题综合
题型22：变量的相关系数
题型23：样本相关系数
题型24：线性回归⽅程
题型25：独⽴性检验
题型26：统计分析解答题综合
第1⻚（共47⻚）
题型01：简单随机抽样与随机数表
1．下列抽样⽅法是简单随机抽样的是（
）
A．某医院从200 名医⽣中，挑选出50 名最优秀的医⽣去参加抗疫活动
B．从10 个⼿机中逐个不放回地随机抽取2 个进⾏质量检验
C．从空间直⻆坐标系中抽取10 个点作为样本
D．饮料公司从仓库中的500 箱饮料中⼀次性抽取前10 箱进⾏质量检查
2．袋⼦中有红、⻩、⿊、⽩共四个⼩球，有放回地从中任取⼀个⼩球，直到红、⻩两个⼩球都取到才停⽌，
⽤随机模拟的⽅法估计恰好抽取三次停⽌的概率．⽤1，2，3，4 分别代表红、⻩、⿊、⽩四个⼩球，利
⽤电脑随机产⽣1 到4 之间取整数值的随机数，以每三个随机数为⼀组，表示取球三次的结果，经随机
模拟产⽣了以下18 组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停⽌的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
3．本次⽉考分答题卡的任务由⾼三16 班完成，现从全班55 位学⽣中利⽤下⾯的随机数表抽取10 位同学
参加，将这55 位学⽣按01、02、⋯、55 进⾏编号，假设从随机数表第1 ⾏第2 个数字开始由左向右依
次选取两个数字，重复的跳过，读到⾏末则从下⼀⾏⾏⾸继续，则选出来的第6 个号码所对应的学⽣编
号为（
）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51
B．25
C．32
D．12
第2⻚（共47⻚）
4．某⾼校对中⽂系新⽣进⾏体测，利⽤随机数表对650 名学⽣进⾏抽样，先将650 名学⽣进⾏编号，001，
002，…，649，650．从中抽取50 个样本，如图提供随机数表的第4 ⾏到第6 ⾏，若从表中第5 ⾏第6 列
开始向右读取数据，则得到的第6 个样本编号是（
）
32 21 18 34 29
78 64 54 07 32
52 42 06 44 38
12 23 43 56 77
35 78 90 56 42
84 42 12 53 31
34 57 86 07 36
25 30 07 32 86
23 45 78 89 07
23 68 96 08 04
32 56 78 08 43
67 89 53 55 77
34 89 94 83 75
22 53 55 78 32
45 77 89 23 45
A．623
B．328
C．072
D．457
5．为了检验某⼚⽣产的洗⾐机是否合格，从300 台洗⾐机中取20 台进⾏检验，⽤随机数表抽取样本，将
300 台洗⾐机编号为001，002，…，300．现从随机数表第3 ⾏第5 列的数开始向右读，下⾯摘取了随机数
表第3 ⾏⾄第5 ⾏：
84 4217 53 31 57 24 55 06 78 77 04 74 47 67 21 75 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
抽出第5 台洗⾐机的编号为（
）
A．025
B．212
C．067
D．175
6．总体由编号为01，02，…，19，20 的20 个个体组成．利⽤下⾯的随机数表选取6 个个体，选取⽅法是从
随机数表第1 ⾏的第7 个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第6 个个体的编号为（
）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．01
B．02
C．04
D．14
第3⻚（共47⻚）
题型02：分层抽样
7．从⼀个容量为m（m≥3，m∈N）的总体中抽取⼀个容量为3 的样本，当选取简单随机抽样⽅法抽取样本
时，总体中每个个体被抽中的可能性是
，则选取分层随机抽样⽅法抽取样本时，总体中每个个体被抽
中的可能性是（
）
A．
B．
C．
D．
8．某单位有职⼯500 ⼈，其中男性职⼯有320 ⼈，为了解所有职⼯的身体健康情况，按性别采⽤分层抽样
的⽅法抽取100 ⼈进⾏调查，则抽取到的男性职⼯的⼈数⽐⼥性职⼯的⼈数多（
）
A．28
B．36
C．52
D．64
9．某中学的⾼中部共有男⽣1200 ⼈，其中⾼⼀年级有男⽣300 ⼈，⾼⼆年级有男⽣400 ⼈．现按分层抽样
抽出36 名男⽣去参加体能测试，则⾼三年级被抽到的男⽣⼈数为（
）
A．9
B．12
C．15
D．18
10．经调查，在某商场扫码⽀付的⽼年⼈、中年⼈、⻘年⼈的⽐例为2：3：6，取了⼀个容量为n 的样本进
⾏调查，其中中年⼈的⼈数为12，则n＝（
）
A．36
B．44
C．56
D．64
11．为了解学⽣们的视⼒状况，某学校决定采⽤分层抽样的⽅法，从⾼⼀、⾼⼆、⾼三三个年级共抽取100
⼈进⾏调查．已知⾼三年级有200 ⼈，⾼⼆年级有240 ⼈，⾼⼀年级有360 ⼈，则⾼三年级抽取的⼈数
为（
）
A．20
B．25
C．30
D．45
第4⻚（共47⻚）
12．随着⽼龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养⽼模式，在社区内对2400 名⽼年⼈、2400 名中年⼈、
2100 名⻘年⼈⽤分层抽样⽅法随机发放了调查问卷345 份，则在⽼年⼈中发放的调查问卷份数是（
）
A．110
B．115
C．120
D．125
13．某⼯⼚⽣产A，B，C 三种不同型号的产品，它们的产量之⽐为2：3：5，⽤分层抽样的⽅法抽取⼀个
容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有30 件，则样本容量n 为（
）
A．150
B．180
C．200
D．250
题型03：总体取值规律的估计
14．某公司10 ⽉23 ⽇、10 ⽉30 ⽇、11 ⽉6 ⽇、11 ⽉13 ⽇、11 ⽉20 ⽇、11 ⽉27 ⽇这6 天员⼯的出勤率的
折线图如图所示，则下列判断正确的是（
）
A．这6 天员⼯的出勤率呈递增趋势
B．这6 天员⼯的出勤率呈递减趋势
C．这6 天员⼯的出勤率的极差⼤于0.15
D．这6 天员⼯的出勤率的中位数⼩于0.85
第5⻚（共47⻚）
15．在“双11”促销活动中，某⽹店在11 ⽉11 ⽇9 时到14 时的销售额进⾏统计，其频率分布直⽅图如图所
示，已知12 时到14 时的销售额为42 万元，则9 时到11 时的销售额为（
）
A．9 万元
B．18 万元
C．24 万元
D．30 万元
16．某⾼校为宣扬中华⽂化，举办了“论语吟唱”的⽐赛，在⽐赛中，由A，B 两个评委⼩组（各9 ⼈）给参
赛选⼿打分．根据两个评委⼩组对同⼀名选⼿的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是
（
）
A．B 组打分的极差⼩于A 组打分的极差
B．B 组打分的中位数为75
C．A 组的意⻅相对⼀致
D．A 组打分的众数为50
第6⻚（共47⻚）
17．某市为了解全市12000 名⾼⼀学⽣的体能素质情况，在全市⾼⼀学⽣中随机抽取了1000 名学⽣进⾏体
能测试，并将这1000 名的体能测试成绩整理成如下频率分布直⽅图．根据此频率分布直⽅图，下列结
论中正确的是（
）
A．图中a 的值为0.020
B．同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值做代表，则这1000 名学⽣的平均成绩约为81.5
C．估计样本数据的75%分位数为88
D．由样本数据可估计全市⾼⼀学⽣体测成绩优异（80 分及以上）的⼈数约为7200 ⼈
18．某校举办了数学知识竞赛，并将1000 名学⽣的竞赛成绩（满分100 分，成绩取整数）整理成如图所示
的频率分布直⽅图，则以下四个说法正确的个数为（
）
①a 的值为0.005
②估计这组数据的众数为75
③估计这组数据的下四分位数为60
④估计成绩⾼于80 分的有300 ⼈
A．1
B．2
C．3
D．4
第7⻚（共47⻚）
19．某校抽取100 名学⽣做体能测试，其中百⽶测试中，成绩全部介于13 秒到18 秒之间，将测试结果分为
五组：第⼀组[13，14），第⼆组[14，15），……，第五组[17，18）．如图是按上述分组⽅法得到的频率分布
直⽅图，若成绩低于a 即为优秀，如果优秀的⼈数为14 ⼈，则a 的估计值是（
）
A．14
B．14.5
C．15
D．15.5
20．某公司为了解⽤户对其产品的满意度，从使⽤该产品的⽤户中随机调查了100 个⽤户，根据⽤户对产
品的满意度评分，得到如图所示的⽤户满意度评分的频率分布直⽅图：
根据此频率分布直⽅图，下⾯结论中不正确的是（
）
A．对该公司产品满意度评分低于60 分的⽤户⽐例估计为35%
B．对该公司产品满意度评分不低于70 分的⽤户⽐例估计为40%
C．估计该公司⽤户对产品的满意度评分的平均值不超过60 分
D．估计该公司有⼀半以上的⽤户，对产品的满意度评分介于50 分⾄80 分之间
第8⻚（共47⻚）
21．在某校⾼⼆年级“红楼梦”知识竞赛中，随机抽取100 名同学的成绩进⾏统计分析，得到如图所示的频
率分布直⽅图，其中成绩分组的区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则下列说法
正确的是（
）
A．x＝0.035
B．估计参赛学⽣成绩的70%分位数为95
C．估计参赛学⽣的平均成绩为73
D．所统计的100 名学⽣中，成绩落在区间[80，100]内的⼈数为70
22．某校举办了数学知识竞赛，把1000 名学⽣的竞赛成绩（满分100 分，成绩取整数）按[60，70），[70，80），
[80，90），[90，100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直⽅图，则下列说法正确的为（
）
A．a 的值为0.015
B．估计这组数据的众数为80
C．估计这组数据的第60 百分位数为87
D．估计成绩低于80 分的有350 ⼈
第9⻚（共47⻚）
23．如图是国家统计局7 ⽉发布的2021 年6 ⽉⾄2022 年6 ⽉规模以上⼯业原煤产量增速的⽉度⾛势，其中
2022 年1～2 ⽉看作1 个⽉，现有如下说法：
①2021 年10 ⽉⾄2022 年3 ⽉，规模以上⼯业原煤产量增速呈现上升趋势；
②2021 年6 ⽉⾄2022 年6 ⽉，规模以上⼯业原煤产量增速的中位数为5.9；
③从这12 个增速中随机抽取1 个，增速都超过10 的概率为
．则说法正确的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
24．如图，某校⾼三共有200 ⼈参加体育测试，根据规则，82 分以上的考⽣成绩等级为A，则估计获得A
的考⽣⼈数约为（
）
A．100
B．75
C．50
D．25
第10⻚（共47⻚）
25．近⽇，云南⼈“打跳”的视频频频冲上各⼤平台热搜．唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南⼈的快乐就
是这么简单．某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20﹣60 岁的⼈群进⾏随机抽样调查，其中喜欢
“打跳”视频的有100 ⼈，把这100 ⼈按照年龄分成4 组，然后绘制成如图所示的频率分布直⽅图，现从
第⼆组和第四组的⼈中分层随机抽取10 ⼈做进⼀步的问卷调查，则应从第2 组抽取的⼈数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
题型04：总体百分位数的估计
26．⼀组数据如下：3，7，9，10，13，15，19，21，该组数据的75%分位数是（
）
A．15
B．17
C．19
D．20
27．已知8 名同学参加体能综合测试的成绩分别为46，52，55，63，72，75，76，80，从这8 名同学中选出
3 名同学，则这3 名同学中最⾼的体能综合测试成绩恰好是这8 名同学体能综合测试成绩的第70 百分位
数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第11⻚（共47⻚）
28．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2 的25%分位数为（
）
A．24
B．6
C．10
D．8
29．为了加深师⽣对党史的了解，激发⼴⼤师⽣知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育⽂化”
的党史知识竞赛，并将1000 名师⽣的竞赞成绩（满分100 分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布
直⽅图，估计这组数据的第85 百分位数为（
）分．
A．84
B．85
C．86
D．87
30．空⽓质量指数简称AQI，是定量描述空⽓质量状况的⽆量纲指数．AQI 的数值越⼤、级别越⾼，说明
空⽓污染状况越严重．某地区4 ⽉1 ⽇22 时⾄4 ⽉2 ⽇5 时的AQI 整点报告数值为：15，17，20，22，
20，23，19，21，则这组数据的第70 百分位数是（
）
A．19
B．20
C．21
D．22
31．某市2024 年5 ⽉份第⼀周的每⽇最⾼⽓温（单位：℃）分别为25，27，31，29，33，28，26，则这周的
⽇最⾼⽓温的第30 百分位数为（
）
A．31.5
B．29
C．28.5
D．27
第12⻚（共47⻚）
32．为深⼊贯彻落实习近平总书记对天津⼯作“三个着⼒”重要要求，天津持续深化改⾰，创建全国⽂明城
区，城市⽂明程度显著提升，⼈⺠群众的梦想不断实现．在创建⽂明城区的过程中，中央⽂明办对某⼩
区居⺠进⾏了创建⽂明城区相关知识⽹络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50 名居⺠的问卷结果，
统计其得分数据，将所得50 份数据的得分结果分为6 组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，
90），[90，100]，并整理得到如下的频率分布直⽅图，则该⼩区居⺠得分的第70 百分位数为（
）
A．89.09
B．86.52
C．84.55
D．81.32
33．某同学在⼀次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90 百分位数，则该班级的⼈数可能为（
）
A．15
B．25
C．30
D．35
34．数据2，3，5，6，7，7，8，10 的上四分位数为（
）
A．7.5
B．8
C．7
D．4
35．按从⼩到⼤顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；⼄组：5，10，n，18，20，若这两组数据
的第50 百分位数、第80 百分位数分别对应相等，则m+n＝（
）
A．28
B．29
C．30
D．32
第13⻚（共47⻚）
36．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14 的上四分位数为（
）
A．14
B．15
C．16
D．18
37．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1 的50 百分位数为（
）
A．8.4
B．8.5
C．8.6
D．8.7
38．重庆某校⾼三年级20 个班参加艺术节合唱⽐赛，通过简单随机抽样，获得了10 个班的⽐赛得分如下：
91，89，90，92，94，87，95，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（
）
A．93
B．93.5
C．94
D．94.5
39．若4，2，1，4，5 的第p 百分位数是4，则p 的取值范围是（
）
A．（40，80]
B．[40，80）
C．[40，80]
D．（40，80）
40．⼀个容量为10 的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60 百分
位数为（
）
A．9
B．10
C．13
D．16
第14⻚（共47⻚）
题型05：总体集中趋势的估计
41．样本数据2，2，3，3，3，4，4，5，5，6 的中位数和众数分别为（
）
A．3 和3
B．3.5 和3
C．4 和3
D．3.5 和2，3，4，5
42．已知由⼩到⼤排列的5 个样本数据13，19，21，22，x 的极差是11，则x 的值为（
）
A．23
B．24
C．25
D．26
43．某校举⾏“云翔杯”学⽣篮球⽐赛，统计部分班级的得分数据如下．
班级
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
28
34
34
30
26
28
28
32
则（
）
A．得分的中位数为28
B．得分的极差为8
C．得分的众数为34
D．得分的平均数为31
44．某学校运动会男⼦100m 决赛中，⼋名选⼿的成绩（单位：s）分别为：13.09，13.15，12.90，13.16，12.96，
13.11，x，13.24，则下列说法错误的是（
）
A．若该⼋名选⼿成绩的第75%百分位数为13.155，则x＝13.15
B．若该⼋名选⼿成绩的众数仅为13.15，则x＝13.15
C．若该⼋名选⼿成绩的极差为0.34，则12.90≤x≤13.24
D．若该⼋名选⼿成绩的平均数为13.095，则x＝13.15
第15⻚（共47⻚）
45．某同学测得连续7 天的最低⽓温分别为1，2，2，m，6，2，8（单位℃），若这组数据的平均数是中位
数的2 倍，则m＝（
）
A．2
B．3
C．6
D．7
46．“说⽂明话、办⽂明事、做⽂明⼈，树⽴城市新⻛尚！创建⽂明城市，你我共同参与！”为宣传创⽂精神，
华强实验中学⾼⼀（2）班组织了甲⼄两名志愿者，利⽤⼀周的时间在街道对市⺠进⾏宣传，将每天宣
传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法甲、⼄志愿者宣传次数的频数分布折线图，则以下说
法不正确的为（
）
A．甲的众数⼩于⼄的众数
B．⼄的极差⼩于甲的极差
C．甲的⽅差⼤于⼄的⽅差
D．⼄的平均数⼤于甲的平均数
47．已知甲、⼄两⽀篮球队各6 名队员某场⽐赛的得分数据（单位：分）从⼩到⼤排列如下；
甲队：7，12，12，20，20+x，31；
⼄队：8，9，10+y，19，25，28．
这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y 的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
第16⻚（共47⻚）
48．现有⼀组数据0，1，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数⼤于4 的
概率为（
）
A．
B．
C．
D．
49．在哈尔滨市2024 年第⼀次市模考试中，三所学校⾼三年级的参考⼈数分别为500、800、700．现按⽐例
分层抽样的⽅法从三个学校⾼三年级中抽取样本，经计算得三所学校⾼三年级数学成绩的样本平均数分
别为92、105、100，则三所学校学⽣数学成绩的总平均数约为（
）
A．101
B．100
C．99
D．98
题型06：总体离散程度的估计
50．从甲队60 ⼈、⼄队40 ⼈中，按照分层抽样的⽅法从两队共抽取10 ⼈，进⾏⼀轮答题．相关统计情况
如下：甲队答对题⽬的平均数为1，⽅差为1；⼄队答对题⽬的平均数为1.5，⽅差为0.4，则这10 ⼈答
对题⽬的⽅差为（
）
A．0.8
B．0.675
C．0.74
D．0.82
51．某单位有男职⼯60 ⼈，⼥职⼯40 ⼈，其中男职⼯平均年龄为35 岁，⽅差为6，⼥职⼯平均年龄为30
岁，⽅差是1，则该单位全体职⼯的平均年龄和⽅差分别是（
）
A．32.5，3.5
B．33，7
C．33，10
D．32.5，4
第17⻚（共47⻚）
52．已知甲、⼄两组数据分别为：22，21，24，23，25，20 和25，22，a，26，23，24．若⼄组数据的平均数
⽐甲组数据的平均数⼤2，则（
）
A．甲、⼄两组数据的极差不同
B．⼄组数据的中位数为24
C．甲、⼄两组数据的⽅差相同
D．甲组数据的第⼀四分位数为21.5
53．在⾼三某次模拟考试中，甲、⼄两个班级的数学成绩统计如表：
班级
⼈数
平均分数
⽅差
甲
40
70
5
⼄
60
80
8
则两个班所有学⽣的数学成绩的⽅差为（
）
A．6.5
B．13
C．30.8
D．31.8
54．若⼀组样本数据x1、x2、…、xn 的平均数为10，另⼀组样本数据2x1+4、2x2+4、…、2xn+4 的⽅差为8，则
两组样本数据合并为⼀组样本数据后的平均数和⽅差分别为（
）
A．17，54
B．17，48
C．15，54
D．15，48
55．已知数据x1，x2，x3，…，xn 的平均数为，⽅差为s2，数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3xn﹣1 的平均数
为
，⽅差为
，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
第18⻚（共47⻚）
56．在第29 个世界读书⽇活动到来之际，遵义市某⾼中学校为了了解全校学⽣每年平均阅读了多少本⽂学
经典名著时，甲同学抽取了⼀个容量为10 的样本，样本的平均数为4，⽅差为5；⼄同学抽取⼀个容量
为8 的样本，样本的平均数为7，⽅差为10；将甲、⼄两同学抽取的样本合在⼀起组成⼀个容量为18
的样本，则合在⼀起后的样本⽅差是（结果精确到0.01）（
）
A．5.34
B．6.78
C．9.44
D．11.46
57．已知3 个数据的平均数为3，⽅差为4，现再加⼊⼀个数据7，则这4 个数据的⽅差为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
58．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为6，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1 的标准差为（
）
A．10
B．14
C．18
D．22
59．若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为4，⽅差为2，⼄组样本数据3x1﹣a，3x2﹣
a，…，3xn﹣a 的平均数为5，则下列说法错误的是（
）
A．a 的值为7
B．⼄组样本数据的⽅差为18
C．两组样本数据的样本中位数⼀定相同
D．两组样本数据的样本极差不同
第1⻚（共35⻚）
题型07：样本空间与随机事件
1．在下列各事件中，发⽣的可能性最⼤的为（
）
A．任意买1 张电影票，座位号是奇数
B．掷1 枚骰⼦，点数⼩于等于2
C．有10000 张彩票，其中100 张是中奖彩票，从中随机买1 张是中奖彩票
D．⼀袋中装有8 个红球，2 个⽩球，从中随机摸出1 个球是红球
2．从放有两个红球、⼀个⽩球的袋⼦中⼀次任意取出两个球，两个红球分别标记为A、B，⽩球标记为C，
则它的⼀个样本空间可以是（
）
A．{AB，BC}
B．{AB，AC，BC}
C．{AB，BA，BC，CB}
D．{AB，BA，AC，CA，CB}
3．如图，由A，B 两盏正常的⼩灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（
）
A．A 灯亮，B 灯不亮
B．A 灯不亮，B 灯亮
C．A，B 两盏灯均亮
D．A，B 两盏灯均不亮
4．掷⼀颗质地均匀的骰⼦，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数⼤于3”，B 表示事件“点数为偶数”，则
事件“点数为5”可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
第2⻚（共35⻚）
题型08：事件关系与运算
5．某⼩组有2 名男⽣和3 名⼥⽣，从中任选2 名学⽣去参加唱歌⽐赛，在下列各组事件中，是互斥事件的
是（
）
A．恰有1 名⼥⽣和恰有2 名⼥⽣
B．⾄少有1 名男⽣和⾄少有1 名⼥⽣
C．⾄少有1 名⼥⽣和全是⼥⽣
D．⾄少有1 名⼥⽣和⾄多有1 名男⽣
6．如果事件A 与事件B 互斥，那么（
）条件．
A．P（A∪B）＝1
B．P（A∩B）＝0
C．与⼀定互斥
D．A 与B ⼀定独⽴
7．甲箱中有3 个⻩球、2 个绿球，⼄箱中有2 个⻩球、3 个绿球（这10 个球除颜⾊外，⼤⼩、形状完全相
同），先从甲箱中随机取出2 个球放⼊⼄箱，记事件ABC 分别表示事件“取出2 个⻩球”，“取出2 个绿球”，
“取出⼀⻩⼀绿两个球”，再从⼄箱中摸出⼀球，记事件D 表示摸出的球为⻩球，则下列说法正确的是
（
）
A．A，B 是对⽴事件
B．事件B，D 相互独⽴
C．
D．
8．现有⼀批产品共9 件，已知其中5 件正品和4 件次品，现从中选4 件产品进⾏检测，则下列事件中互为
对⽴事件的是（
）
A．恰好两件正品与恰好四件正品
B．⾄少三件正品与全部正品
C．⾄少⼀件正品与全部次品
D．⾄少⼀件正品与⾄少⼀件次品
第3⻚（共35⻚）
9．已知事件M 表示“3 粒种⼦全部发芽”，事件N 表示“3 粒种⼦都不发芽”，则M 和N（
）
A．是对⽴事件
B．不是互斥事件
C．互斥但不是对⽴事件
D．是不可能事件
10．设A，B 为同⼀试验中的两个随机事件，则“P（A）+P（B）＝1”是“事件A，B 互为对⽴事件”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．若
，
，
，则事件A 与B 的关系是（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与B 对⽴
C．事件A 与B 相互独⽴
D．事件A 与B 既互斥⼜相互独⽴
12．掷两颗骰⼦，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，
事件C表示“两个点数之和是偶数”，事件D表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（
）
A．A 与B 是对⽴事件
B．A 与C∩D 是互斥事件
C．B 与D 是相互独⽴事件
D．B 与C∪D 是相互独⽴事件
第4⻚（共35⻚）
13．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正⾯”“两个正⾯⼀个反⾯”“两个反⾯⼀个正⾯”分别为事件A，B，C，
则下列说法错误的是（
）
A．事件A，B，C 两两互斥
B．
C．P（B）+P（C）＝4P（A）
D．事件A+B，B+C 相互独⽴
14．设、分别是事件A、B 的对⽴事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列结论不正确的是（
）
A．
B．若A、B 是互斥事件，则P（A∩B）＝P（A）P（B）
C．
D．若A、B 是独⽴事件，则P（A∩B）＝P（A）P（B）
15．若
，则（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与B 相互独⽴
C．
D．
16．有5 张相同的卡⽚，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1 张卡⽚，A1表
示事件“第⼀次取出的卡⽚上的数字为2”，A2表示事件“第⼀次取出的卡⽚上的数字为奇数”，A3表示事
件“两次取出的卡⽚上的数字之和为6”，A4表示事件“两次取出的卡⽚上的数字之和为7”，则（
）
A．A3与A4为对⽴事件
B．A1与A3为相互独⽴事件
C．A2与A4为相互独⽴事件
D．A2与A4为互斥事件
第5⻚（共35⻚）
17．连续两次抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦，观察它落地时朝上⾯的点数．事件A1＝“第⼀次得到的数字是2”；
事件A2＝“第⼆次得到的数字是奇数”；事件A3＝“两次得到数字的乘积是奇数”；事件A4＝“两次得到数
字的和是6”．则（
）
A．事件A1和事件A2对⽴
B．事件A2和事件A4互斥
C．事件A1和事件A4相互独⽴
D．P（A2∪A3）＝P（A2）
18．在下列关于概率的命题中，正确的有（
）
A．若事件A，B 满⾜P（A）+P（B）＝1，则A，B 为对⽴事件
B．若三个事件A，B，C 两两独⽴，则P（ABC）＝P（A）•P（B）•P（C）
C．若事件A，B 满⾜
，
，
，则A，B 相互独⽴
D．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与也是互斥事件
19．如果A，B 是互斥事件，下列选项正确的是（
）
A．事件与不互斥
B．
C．A 与互斥
D．P（A∪B）＝
20．给出下列四种说法：
①若事件A，B 互斥，则与⼀定互斥；
②若A，B 为两个事件，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）；
③若事件A，B，C 彼此互斥，则P（A）+P（B）+P（C）≤1；
④若事件A，B 满⾜P（A）+P（B）＝1，则A，B 是对⽴事件．
其中错误的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
21．连续抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦2 次，记录每次朝上的点数，设事件A 为“第⼀次的点数是6”，事件B
为“第⼆次的点数⼩于4”，事件C 为“两次的点数之和为偶数”，则（
）
A．P（A）＝
B．A 与B 互斥
C．A 与C 互斥
D．A 与C 相互独⽴
第6⻚（共35⻚）
题型09：古典概型
22．某校要从⾼⼆某班6 名班⼲部（其中2 名男⽣，4 名⼥⽣）中抽调2 ⼈主持学校举⾏的国旗下讲话活动，
则被抽调的班⼲部中⾄少有⼀位是⼥⽣的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
23．⼩明在某不透明的盒⼦中放⼊4 红4 ⿊⼋个球，随机摇晃后，⼩明从中取出⼀个⼩球丢掉（未看被丢
掉⼩球的颜⾊）．现从剩下7 个⼩球中取出两个⼩球，结果都是红球，则丢掉的⼩球也是红球的概率为
（
）
A．
B．
C．
D．
24．有4 个外包装相同的盒⼦，其中2 个盒⼦分别装有1 个⽩球，另外2 个盒⼦分别装有1 个⿊球，现准
备将每个盒⼦逐个拆开，则恰好拆开2 个盒⼦就能确定2 个⽩球在哪个盒⼦中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
25．⼀箱苹果共有12 个苹果，其中有n（2＜n＜7）个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3 个，恰有2 个烂果
的概率为
，则n＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
第7⻚（共35⻚）
26．投壶是从先秦延续⾄清末的汉⺠族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛⾏．如图为⼀幅唐朝
的投壶图，假设甲、⼄、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、⼄、丙每次投壶时，投中与不投中是
等可能的．若甲、⼄、丙各投壶1 次，则这3 ⼈中⾄少有2 ⼈投中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
27．某⼈忘记了电话号码的最后⼀个数字，随意拨号，则拨号不超过4 次⽽接通电话的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
28．袋中装有4 个⿊球和3 个⽩球，现从中不放回地取球，每次取1 个球，直到将袋中的⽩球取完即终⽌．每
个球在每⼀次被取出的机会是等可能的，则终⽌取球时，恰有1 个⿊球没有被取出的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
29．我国铁路百年沧桑巨变，从尚⽆⼀⼨⾼铁，到仅⽤⼗⼏年⾼铁建设世界领先，⻅证了中华⺠族百年复
兴伟业．某家庭两名⼤⼈三个孩⼦乘坐⾼铁出⾏，预定了⼀排五个位置的票（过道⼀边有三个座位且相
邻，另⼀边两个座位相邻），则三个孩⼦座位正好在过道同⼀侧的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第8⻚（共35⻚）
30．已知正⽅体的棱⻓为1，若从该正⽅体的8 个顶点中任取4 个，则这4 个点可以构成体积为
的四⾯体
的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
31．花戏楼位于安徽省亳州市，始建于清顺治年间，因其精湛的雕刻、绚丽的彩绘⽽驰名中外，被誉为中
原宝藏．花戏楼有“三绝”：铸铁旗杆、⼭⻔砖雕、戏楼⽊雕．⼀对铸铁旗杆⽴于⼭⻔两侧，造型独特，
⾼⼤雄伟，每根旗杆⾃上⽽下共分五节，每节分铸⼀条⼋卦蟠⻰图案．现从这10 条⼋卦蟠⻰中任选取3
条，它们不取⾃同⼀旗杆且⾼度均不同的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
32．将编号为1，2，3，4 的4 个⼩球随机放⼊编号为1，2，3，4 的4 个凹槽中，每个凹槽放⼀个⼩球，则
⾄少有2 个凹槽与其放⼊⼩球编号相同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
33．已知盘⼦A 中有3 颗糖，盘⼦B 中有4 颗糖，⼩琨每次随机从其中⼀个盘⼦中选择吃⼀颗糖，直到7
颗糖全部吃完为⽌，则盘⼦A 中的糖先吃完的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
34．甲、⼄等5 名学⽣参加学校运动会志愿者服务，每个⼈从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选
择⼀个岗位，每个岗位⾄少有⼀名志愿者，则甲、⼄两⼈恰选择同⼀岗位的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第9⻚（共35⻚）
35．以正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的8 个顶点中的某4 个为顶点可组成⼀个三棱锥，在所有这些三棱锥中任
取⼀个，则该三棱锥各个⾯都不为直⻆三⻆形的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
题型10：概率的基本性质
36．某校⾼⼆年级学⽣中有60%的学⽣喜欢打篮球，40%的学⽣喜欢打排球，80%的学⽣喜欢打篮球或排球．
在该校⾼⼆年级的学⽣中随机调查⼀名学⽣，若该学⽣喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
37．⽻⽑球⽐赛⽔平相当的甲、⼄、丙三⼈举⾏⽻⽑球⽐赛．规则为：每局两⼈⽐赛，另⼀⼈担任裁判．每
局⽐赛结束时，负⽅在下⼀局⽐赛中担任裁判．如果第1 局甲担任裁判，则第3 局甲还担任裁判的概率
为（
）
A．
B．
C．
D．
38．将甲、⼄、丙等7 名志愿者分到A，B，C 三个地区，每个地区⾄少分配2 ⼈，则甲、⼄、丙分到同⼀
个地区的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
39．第19 届亚运会在杭州举⾏，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5 名⼤学⽣将前往3
个场馆A，B，C 开展志愿服务⼯作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅
有2 名志愿者的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第10⻚（共35⻚）
40．已知事件A，B 互斥，它们都不发⽣的概率为
，且P（A）＝2P（B），则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
41．设A，B 为随机事件，则P（A）＝P（B）的充要条件是（
）
A．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
B．P（AB）＝P（A）P（B）
C．
D．
（多选）42．抛掷两颗骰⼦各⼀次，记第⼀颗骰⼦掷出的点数与第⼆颗骰⼦掷出的点数的差为X，则“X＞3”
表示的试验的结果有（
）
A．第⼀颗为5 点，第⼆颗为1 点
B．第⼀颗⼤于4 点，第⼆颗也⼤于4 点
C．第⼀颗为6 点，第⼆颗为1 点
D．第⼀颗为6 点，第⼆颗为2 点
（多选）43．甲、⼄两⼈下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，共下三局．⽤ξ表示甲的得分，
则{ξ＝3}表示的可能结果为（
）
A．甲赢三局
B．甲赢⼀局输两局
C．甲、⼄平局三次
D．甲赢⼀局
第11⻚（共35⻚）
（多选）44．下列说法正确的是（
）
A．⼀名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮⼀次，命中为必然事件
B．随机事件发⽣的可能性越⼤，它发⽣的概率越接近1
C．投掷两枚均匀的骰⼦，观察出现的点数和，点数和为2 是⼀个样本点
D．试验“连续投掷⼀枚均匀的骰⼦直到出现3 点停⽌，观察投掷的次数”的样本空间为{1，2，3，4，5，
6}
（多选）45．下列情境适合⽤古典概型来描述的是（
）
A．向⼀条线段内随机地投射⼀个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个⼈站⼀排，观察甲⼄两⼈相邻的情况
C．从⼀副扑克牌（去掉⼤、⼩王共52 张）中随机选取1 张，这张牌是红⾊牌
D．某同学随机地向靶⼼进⾏射击，这⼀试验的结果只有有限个：命中10 环，命中9 环…命中1 环和脱
靶
（多选）46．同时抛掷两枚均匀的骰⼦，记第⼀枚骰⼦掷出的点数与第⼆枚骰⼦掷出的点数之差为ξ，则{ξ
＞3}表示的随机事件不可能是（
）
A．第⼀枚掷出5 点，第⼆枚掷出2 点
B．第⼀枚掷出3 点，第⼆枚掷出3 点
C．第⼀枚掷出1 点，第⼆枚掷出2 点
D．第⼀枚掷出6 点，第⼆枚掷出2 点
（多选）47．在25 件同类产品中，有2 件次品，从中任取5 件产品，其中是随机事件的是（
）
A．5 件都是正品
B．⾄少有1 件次品
C．有3 件次品
D．⾄少有3 件正品
第1⻚（共77⻚）
题型11：事件的相互独⽴性
1．某校举办运动会，其中有⼀项为环形投球⽐赛，如图，学⽣在环形投掷区E 内进⾏投球．规定球᯿⼼投
掷到区域A 内得3 分，区域B 内得2 分，区域C 内得1 分，投掷到其他区域不得分．已知甲选⼿投掷⼀
次得3 分的概率为0.1，得2 分的概率为b，不得分的概率为0.05，若甲选⼿连续投掷3 次，得分⼤于7
分的概率为0.002，且每次投掷相互独⽴，则甲选⼿投掷⼀次得1 分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．盒中有4 个⼤⼩相同的⼩球，其中2 个红球、2 个⽩球，第⼀次在盒中随机摸出2 个⼩球，记下颜⾊后
放回，第⼆次在盒中也随机摸出2 个⼩球，记下颜⾊后放回．设事件A＝“两次均未摸出红球”，事件B
＝“两次均未摸出⽩球”，事件C＝“第⼀次摸出的两个球中有红球”，事件D＝“第⼆次摸出的两个球中有
⽩球”，则（
）
A．A 与B 相互独⽴
B．A 与C 相互独⽴
C．B 与C 相互独⽴
D．C 与D 相互独⽴
3．育红学校有A，B 两家餐厅，李明同学第1 天午餐时随机地选择⼀家餐厅⽤餐．如果第1 天去A 餐厅，
那么第2 天去A 餐厅的概率为0.8；如果第1 天去B 餐厅，那么第2 天去A 餐厅的概率为0.6．则李明同
学第2 天去A 餐厅⽤餐的概率为（
）
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
第2⻚（共77⻚）
4．甲、⼄2 ⼈破译1 个密码，若他们能独⽴译出密码的概率分别为
和
，则他们⾄少有1 ⼈译出密码的
概率是（
）
A．
B．
C．
D．
5．⾼尔顿（钉）板是在⼀块竖起的⽊板上钉上⼀排排互相平⾏、⽔平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每⼀排
铁钉数⽬都⽐上⼀排多⼀个，⼀排中各个铁钉恰好对准上⾯⼀排两相邻铁钉的正中央．从⼊⼝处放⼊⼀
个直径略⼩于两颗铁钉间隔的⼩球，当⼩球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下⼀排铁钉，它将以相
等的可能性向左或向右落下，接着⼩球再通过两铁钉的间隙，⼜碰到下⼀排铁钉如此继续下去，在最底
层的5 个出⼝处各放置⼀个容器接住⼩球．理论上，⼩球落⼊2 号容器的概率是多少（
）
A．
B．
C．
D．
6．随着城市经济的发展，早⾼峰问题越发严᯿，上班族需要选择合理的出⾏⽅式．某公司员⼯⼩明的上班
出⾏⽅式有三种，某天早上他选择⾃驾，坐公交⻋，骑共享单⻋的概率分别为
，
，，⽽他⾃驾，
坐公交⻋，骑共享单⻋迟到的概率分别为
，，，结果这⼀天他迟到了，在此条件下，他⾃驾去上
班的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
第3⻚（共77⻚）
7．如图所示，已知⼀质点在外⼒的作⽤下，从原点O 出发，每次向左移动的概率为
，向右移动的概率为
，若该质点每次移动⼀个单位⻓度，记经过5 次移动后，该质点位于X 的位置，则P（X＞0）＝（
）
A．
B．
C．
D．
8．甲、⼄两⼈独⽴地对同⼀⽬标各射击⼀次，命中率分别为
和
，在⽬标被击中的情况下，甲、⼄同时
击中⽬标的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．甲、⼄两名乒乓球运动员进⾏⼀场⽐赛，采⽤7 局4 胜制（先胜4 局者胜，⽐赛结束），已知每局⽐赛
甲获胜的概率均为
，则甲以4 ⽐2 获胜的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
10．甲、⼄两个⽓象台同时做天⽓预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8 与0.7，且预报准确与否相互
独⽴，那么在⼀次预报中这两个⽓象台的预报都准确的概率（
）
A．0.06
B．0.24
C．0.56
D．0.94
11．某⽓象台天⽓预报的准确率为80%，则3 次预报中恰有1 次预报准确的概率是（
）
A．9.6%
B．10.4%
C．80%
D．99.2%
第4⻚（共77⻚）
12．某药⼚⽤甲、⼄、丙三地收购⽽来的药材加⼯⽣产出⼀种中成药，这三个地区的供货ᰁ分别占20%，
30%，50%，且⽤这三地的药材能⽣产出优等品的概率分别为0.8，0.6，0.7，现从该⼚产品中任意取出⼀
件产品，则此产品为优等品的概率为（
）
A．0.18
B．0.21
C．0.38
D．0.69
13．在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独⽴．发送0 时，收到1 的概率为α（0＜α＜1），收到0 的概
率为1﹣α；发送1 时，收到0 的概率为β（0＜β＜1），收到1 的概率为1﹣β．考虑两种传输⽅案：单次
传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输是指每个信号᯿复发送3 次．收到的信
号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数
多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（
）
A．采⽤单次传输⽅案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采⽤三次传输⽅案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为β（1﹣β）2
C．采⽤三次传输⽅案，若发送1，则译码为1 的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5 时，若发送0，则采⽤三次传输⽅案译码为0 的概率⼤于采⽤单次传输⽅案译码为0 的
概率
14．建平中学⾼⼆年级进⾏篮球⽐赛，甲、⼄、丙、丁四个班级进⼊半决赛．规定⾸先甲与⼄⽐、丙与丁
⽐，这两场⽐赛的胜利者再争夺冠军．通过⼩组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：
甲
⼄
丙
丁
甲获胜概率
0.3
0.3
0.7
⼄获胜概率
0.7
0.6
0.3
丙获胜概率
0.7
0.4
0.4
丁获胜概率
0.3
0.7
0.6
则甲夺冠的概率为（
）
A．0.15
B．0.162
C．0.3
D．0.25
第5⻚（共77⻚）
15．甲、⼄两⼈投篮命中率分别为
和
，并且他们投篮互不影响．现每⼈分别投篮2 次，则甲与⼄进球
数相同的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
16．某位同学家中常备三种感冒药，分别为⾦花清感颗粒3 盒、莲花清瘟胶囊2 盒、清开灵颗粒5 盒．若
这三类药物能治愈感冒的概率分别为
，他感冒时，随机从这⼏盒药物⾥选择⼀盒服⽤，则感冒
被治愈的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
17．在如图所示的电路中，5 个盒⼦表示保险匣，盒⼦中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结
论正确的是（
）
A．A，B 两个盒⼦并联后FG 段畅通的概率为
B．D，E 两个盒⼦串联后GH 段畅通的概率为
C．C，D，E 三个盒⼦混联后GK 段畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率⼤于整个电路不通的概率
18．2023 年苏迪曼杯世界⽻⽑球混合团体锦标赛半决赛中，中国队与⽇本队鏖战7 ⼩时，双⽅打满五局，
最终中国队逆转战胜了⽇本队进⼊决赛．这项⽐赛是五局三胜制，已知中国队每局获胜的概率为
，则
中国队打满5 局且最终获胜的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第6⻚（共77⻚）
19．袋中装有6 个完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取⼀个
球．事件A1＝“第⼀次取出的球的数字为1”，事件A2＝“第⼀次取出的球的数字为2”，事件A3＝“两次取
出的球的数字之和为8”，事件A4＝“两次取出的球的数字之和为7”，则（
）
A．A1与A3相互独⽴
B．A1与A4相互独⽴
C．A2与A3相互独⽴
D．A3与A4相互独⽴
20．甲⼄两⼈独⽴的解答同⼀道题，甲⼄解答正确的概率分别是
，
，那么只有⼀⼈解答对的
概率是（
）
A．
B．
C．
D．
21．甲⼄两⼈参加⾯试答辩，假设甲⼄⾯试互不影响，且他们⾯试通过的概率分别为
，
，则两⼈中⾄
少有⼀⼈通过的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
22．⼀名射击爱好者击中⽬标的概率是不能击中⽬标概率的3 倍，设X 表示其击中⽬标的次数，若他射击
⼀次，则P（X＝1）的值是（
）
A．0.33
B．
C．0.75
D．
23．乒乓球是我国的国球，乒乓球运动在我国⼗分普及，深受国⼈喜爱，在⺠间经常开展各种乒乓球⽐赛．现
有甲⼄⼆⼈争夺某次乒乓球⽐赛的冠军，根据以往⽐赛记录统计的数据，可以认为在每局⽐赛中甲胜⼄
的概率为
，若⽐赛为“五局三胜”制，各局⽐赛结果相互独⽴且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，
⽐赛进⾏了四局的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第7⻚（共77⻚）
24．已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为
，，，且这3 个队是
否完成该任务相互独⽴，则恰有2 个队完成该任务的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
25．某地⼀农业科技实验站，对⼀批新⽔稻种⼦进⾏试验，已知这批⽔稻种⼦的发芽率为0.8，出芽后的幼
苗成活率为0.9，在这批⽔稻种⼦中，随机地抽取⼀粒，则这粒⽔稻种⼦能成⻓为幼苗的概率为（
）
A．0.02
B．0.08
C．0.72
D．0.18
题型12：统计与概率解答题综合
26．某校组织学⽣进⾏跳绳⽐赛，以每分钟跳绳个数作为⽐赛成绩（单位：个）．为了解参赛学⽣的⽐赛成
绩，从参赛学⽣中随机抽取50 名学⽣的⽐赛成绩作为样本，整理数据并按⽐赛成绩，分成[60，80），[80，
100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180]这6 组，得到的频率分布直⽅图如图所示．
（1）估计该校学⽣跳绳⽐赛成绩的中位数；
（2）现采⽤分层抽样的⽅法从跳绳⽐赛成绩在[140，160）和[160，180]内的学⽣中抽取5 ⼈，再从这5
⼈中随机抽取2 ⼈，求这2 ⼈的⽐赛成绩不在同⼀组的概率．
第8⻚（共77⻚）
27．现随机统计了甲12 次投篮训练的投篮次数和⼄8 次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
⼄
71
81
73
73
71
73
85
73
已知甲12 次投篮次数的平均数
＝80，⼄8 次投篮次数的平均数
＝75．
（1）求这20 投篮次数的中位数m，估计甲每次训练投篮次数超过m 的概率；
（2）求这20 次投篮次数的平均数与⽅差s2．
28．甲、⼄两⼈在相同条件下各射击10 次，每次命中的环数如表：
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
⼄
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别计算以上两组数据的⽅差；
（3）根据计算的结果，对甲⼄两⼈的射击成绩作出评价．
第9⻚（共77⻚）
29．某⼿机⽣产⼚商要⽣产⼀款5G ⼿机，在⽣产之前，该公司对⼿机屏幕的需求尺⼨进⾏社会调查，共调
查了400 ⼈，将这400 ⼈按对⼿机屏幕的需求尺⼨分为6 组，分别是：[5.0，5.5），[5.5，6.0），[6.0，6.5），
[6.5，7.0），[7.0，7.5），[7.5，8.0）（单位：英⼨），得到如下频率分布直⽅图：其中，屏幕需求尺⼨在[5.5，
6.0）的⼀组⼈数为50 ⼈．
（1）求a 和b 的值；
（2）⽤分层抽样的⽅法在屏幕需求尺⼨为[5.0，5.5）和[7.0，7.5）两组⼈中抽取6 ⼈参加座谈，并在6
⼈中选择2 ⼈做代表发⾔，则这2 ⼈来⾃同⼀分组的概率是多少？
30．⼈⼯智能发展迅猛，在各个⾏业都有应⽤．某地图软件接⼊了⼤语⾔模型后，可以为⽤户提供更个性
化的服务，某⽤户提出：“请统计我早上开⻋从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将
他最近100 次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[55，65），[65，75），
[75，85），[85，95），[95，105]（单位：秒）这5 组，并整理得到频率分布直⽅图，如图所示．
（1）求图中a 的值；
（2）估计该⽤户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
（3）根据以上数据，估计该⽤户在接下来的10 次早上从家到公司的出⾏中，红灯等待时间低于85 秒的
次数．
第10⻚（共77⻚）
31．已知某科技公司的某型号芯⽚的各项指标经过全⾯检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯⽚的某项指标
的频率分布直⽅图如图所示：
若只利⽤该指标制定⼀个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标⼤于K 的产品应⽤于A 型⼿机，
⼩于或等于K 的产品应⽤于B 型⼿机．若将Ⅰ级品中该指标⼩于或等于临界值K 的芯⽚错误应⽤于A 型
⼿机会导致芯⽚⽣产商每部⼿机损失800 元；若将Ⅱ级品中该指标⼤于临界值K 的芯⽚错误应⽤于B 型
⼿机会导致芯⽚⽣产商每部⼿机损失400 元；假设数据在组内均匀分布，以事件发⽣的频率作为相应事
件发⽣的概率．
（1）设临界值K＝60 时，将1 个Ⅰ级品芯⽚和1 个Ⅱ级品芯⽚分别应⽤于A 型⼿机和B 型⼿机．求两部
⼿机有损失的概率（计算结果⽤⼩数表示）；
（2）设K＝x，且x∈[50，55]，现有⾜够多的芯⽚Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应⽤于A 型⼿机、B 型⼿机各1
万部的⽣产，试估计芯⽚⽣产商损失费⽤的最⼩值．
第11⻚（共77⻚）
32．成都⽯室中学⽣物基地⾥种植了⼀种观赏花卉，这种观赏花卉的⾼度（单位：cm）介于[15，25]之间，
现对⽣物基地⾥部分该种观赏花卉的⾼度进⾏测ᰁ，所得数据统计如图所示．
（1）求a 的值；
（2）若从⾼度在[15，17）和[17，19）中分层抽样抽取5 株，再在这5 株中随机抽取2 株，求抽取的2
株⾼度均在[17，19）内的概率．
33．某企业为了了解本企业员⼯每天慢⾛与慢跑的情况，对每天慢⾛时间在25 分钟到55 分钟之间的员⼯，
随机抽取n ⼈进⾏调查，将既参加慢⾛⼜参加慢跑的⼈称为“H 族”，否则称为“⾮H 族”，得如下的统计
表以及每天慢⾛时间在25 分钟到55 分钟之间的员⼯⼈数的频率分布直⽅图（部分）：
组数
分组
⼈数
本组中“H 族”的⽐例
1
[25，30）
200
0.6
2
[30，35）
300
0.65
3
[35，40）
200
0.5
4
[40，45）
150
0.4
5
[45，50）
a
0.3
6
[50，55）
50
0.3
第12⻚（共77⻚）
（1）试补全频率分布直⽅图，并求a 与n 的值：
（2）从每天慢⾛时间在[40，50）（分钟）内的“H 族”中按时间采⽤分层抽样法抽取6 ⼈参加企业举办的
健身沙⻰体验活动，再从这6 ⼈中选2 ⼈作健身技巧与减脂秘籍的发⾔，求这2 ⼈每天慢⾛的时间恰好
1 ⼈在[40，45）分钟内，另⼀个⼈在[45，50）分钟内的概率．
34．某电⼦商务公司对10000 名⽹络购物者某年度的消费情况进⾏统计，发现消费⾦额（单位：万元）都在
区间[0.3，0.9]内，其频率分布直⽅图如图所示．求：
（1）直⽅图中的a 的值；
（2）在这些购物者中，消费⾦额在区间[0.5，0.9]内的购物者的⼈数．
（3）为了更好了解消费者和激励消费，⽹络公司决定在这10000 名消费者中⽤分层随机抽样法抽取100
名进⼀步做调查问卷和奖励．再从这100 名中消费在[0.7，0.9]内的个体内抽取⼀等奖两名，求中奖的2
⼈中消费在[0.7，0.8），[0.8，0.9]内各⼀⼈的概率．
第13⻚（共77⻚）
35．2023 年⾼考查分系统上线后，某中学为了解该校⾼三年级学⽣的数学成绩，从中抽取了100 名该校学
⽣的成绩作为样本进⾏统计（成绩均在[60，140]分），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，
110），[110，120），[120，130），[130，140]的分组作出频率分布直⽅图如图所示．
（1）求频率分布直⽅图中的x 的值，并估计该中学今年⾼考数学成绩的中位数；
（2）该校⾼三数学组准备⽤分层抽样的⽅法从样本中数学成绩不低于120 分的学⽣中抽取5 名学⽣，
再从这5 名学⽣中随机抽取2 名学⽣在新⾼三开学动员会上发⾔，求这2 名学⽣中恰有1 名成绩不低于
130 分的概率．
第14⻚（共77⻚）
36．科技发展⽇新⽉异，电动汽⻋受到越来越多消费者的⻘睐．据统计，2023 年1 ⽉⾄12 ⽉A，B 两地区
电动汽⻋市场各⽉的销售ᰁ数据如下：
1 ⽉
2 ⽉
3 ⽉
4 ⽉
5 ⽉
6 ⽉
7 ⽉
8 ⽉
9 ⽉
10 ⽉11 ⽉12 ⽉
A 地区（单位：万辆）29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
77.1
89.2
B 地区（单位：万辆）7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10
9.7
9.9
10.4
9.4
8.9
10.1
⽉销ᰁ⽐
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8
⽉销ᰁ⽐是指：该⽉A 地区电动汽⻋市场的销售ᰁ与B 地区的销售ᰁ的⽐值（保留⼀位⼩数）．
（Ⅰ）在2023 年2 ⽉⾄12 ⽉中随机抽取1 个⽉，求A 地区电动汽⻋市场该⽉的销售ᰁ⾼于上⽉的销售ᰁ
的概率；
（Ⅱ）从2023 年1 ⽉⾄12 ⽉中随机抽取3 个⽉，求在这3 个⽉中恰有1 个⽉的⽉销ᰁ⽐超过8 且⾄少有
1 个⽉的⽉销ᰁ⽐低于5 的概率；
（Ⅲ）记2023 年1 ⽉⾄12 ⽉A，B 两地区电动汽⻋市场各⽉的销售ᰁ数据的⽅差分别为
，
，试判
断
与
的⼤⼩．（结论不要求证明）
第15⻚（共77⻚）
37．果切是⼀种新型⽔果售卖⽅式，商家通过对整果进⾏清洗、去⽪、去核、冷藏等操作后，包装组合销
售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满⾜消费者的即⻝需求．
（1）统计得到10 名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这
10 个数据的平均数与⽅差s2；
（2）统计600 名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5 岁到55 岁之间，按照[5，15），[15，25），[25，
35），[35，45），[45，55]分组，得到如下频率分布直⽅图．
（ⅰ）估计这600 名中国果切消费者中年龄不⼩于35 岁的⼈数；
（ⅱ）估计这600 名中国果切消费者年龄的中位数a（结果保留整数）．
38．甲、⼄两位同学组成学习⼩组进⾏项⽬式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、⼄都参
加了若⼲次测试，现从甲的测试成绩⾥随机抽取了7 次成绩，从⼄的测试成绩⾥随机抽取了9 次成绩，
数据如下：
甲：93 95 81 72 80 82 92
⼄：85 82 77 80 94 86 92 84 85
经计算得出甲、⼄两⼈的测试成绩的平均数均为85．
第16⻚（共77⻚）
（1）求甲⼄两位同学测试成绩的⽅差；
（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计ᰁ
＝
，其中
n1 个数据的⽅差为
，n2个数据的⽅差为
，且
．若
≥F0，则认为两组数据
有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异．
若F0的临界值采⽤下表中的数据：
n1﹣1
n2﹣1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
161
200
216
225
230
234
237
239
2
18.5
19.0
19.2
19.2
19.3
19.3
19.4
19.4
3
10.1
9.55
9.28
9.12
9.01
8.94
8.89
8.85
4
7.71
6.94
6.59
6.39
6.26
6.16
6.09
6.04
5
6.61
5.79
5.41
6.19
5.05
4.95
4.88
4.82
6
5.99
5.14
4.76
4.53
4.39
4.28
4.21
4.15
7
5.59
4.74
4.35
4.12
3.97
3.87
3.79
3.73
8
5.32
4.46
4.07
3.84
3.69
3.58
3.5
3.44
例如：F（3，5）对应的临界值F0为5.41．
请根据以上资料判断甲、⼄两位同学进⾏项⽬式互助学习的效果是否有显著性差异．
第17⻚（共77⻚）
39．海⽔养殖场进⾏某⽔产品的新、旧⽹箱养殖⽅法的产ᰁ对⽐，收获时各随机抽取了100 个⽹箱，测ᰁ
各箱⽔产品的产ᰁ（单位：kg），其频率分布直⽅图如图所示．两种养殖⽅法的箱产ᰁ相互独⽴．
（Ⅰ）将所抽取的100 个新养殖法⽹箱中产ᰁ低于40kg 和不低于65kg 的⽹箱收集到⼀起，再从中随机抽
取2 箱，恰有⼀箱产ᰁ不低于65kg 的概率．
（Ⅱ）⽤频率估计概率，从运⽤新、旧⽹箱养殖⽅法的⽔产品中各随机抽取⼀个⽹箱，估计两个⽹箱中
⾄少有⼀箱产ᰁ不低于55kg 的概率；
（Ⅲ）求频率分布直⽅图中a 的值．假定新、旧⽹箱养殖⽅法⽹箱数不变，为了提⾼总产ᰁ，根据样本
中两种养殖法的平均箱产ᰁ，该养殖场下⼀年应采⽤哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
第18⻚（共77⻚）
40．某中学400 名学⽣参加全市⾼中数学竞赛，根据男⼥学⽣⼈数⽐例，使⽤分层随机抽样的⽅法从中随
机抽取了100 名学⽣，记录他们的分数，将数据分成7 组：[20，30），[30，40），…，[80.90]，并整理得到
如下频率分布直⽅图：
（1）根据频率分布直⽅图求出分数⼤于70 的频率与频数；
（2）根据频率分布直⽅图求样本中75%分位数；
（3）已知样本中男⽣与⼥⽣的⽐例是3：1，男⽣样本的均值为70，⽅差为10，⼥⽣样本的均值为80，
⽅差为14，请计算样本的均值与⽅差．
第19⻚（共77⻚）
41．从某种产品中抽取100 件，测ᰁ这些产品的⼀项质ᰁ指标值，由测ᰁ结果得如下频数分布表：
质ᰁ指标值分组
[75，85）
[85，95）
[95，105）
[105，115）
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
（1）根据上表补全所示的频率分布直⽅图；
（2）估计这种产品质ᰁ指标值的平均数、⽅差（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作代表）及中位
数（保留⼀位⼩数）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业⽣产的这种产品符合“质ᰁ指标值不低于95 的产品⾄少
要占全部产品的80%”的规定？
第20⻚（共77⻚）
42．某保险公司为了给年龄在20～70 岁的⺠众提供某种疾病的医疗保障，设计了⼀款针对该疾病的保险，
现从10000 名参保⼈员中随机抽取100 名进⾏分析，这100 个样本按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），
[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直⽅图如图所示，每⼈每年所交纳的保费与参保年龄如下表
格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险⽀出的各种费⽤为⼀百万元．
年龄
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
保费
x
2x
3x
4x
5x
（Ⅰ）⽤样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x ⾄少为多少元？（精确到整数）
（Ⅱ）经调查，年龄在[30，50）之间的中年⼈对该疾病的防范意识还⽐较弱，为加强宣传，按分层抽样
的⽅法从年龄在[30，40）和[40，50）的中年⼈中选取6 ⼈进⾏教育宣讲，再从选取的6 ⼈中随机选取2
⼈，被选中的2 ⼈免⼀年的保险费，求被免去的保费超过150 元的概率．
第21⻚（共77⻚）
43．近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的⼈越来越多．A，B 两家旅游公司过去6 个⽉的利润率统计如
下：
利润率
⽉数公司
10%
5%
﹣5%
A 公司
3
2
1
B 公司
2
2
2
利润率＝
，盈利为正，亏损为负，且每个⽉的成本不变．
（1）⽐较A，B 两家旅游公司过去6 个⽉平均每⽉利润率的⼤⼩；
（2）⽤频率估计概率，且假设A，B 两家旅游公司每个⽉的盈利情况是相互独⽴的，求未来的某个⽉A，
B 两家旅游公司⾄少有⼀家盈利的概率．
44．某学校安排甲、⼄、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术⽣占⽐8%，⼄班艺术⽣
占⽐6%，丙班艺术⽣占⽐5%．学⽣⾃由选择座位，先到者先选．甲、⼄、丙三个班⼈数分别占总⼈数
的
，，
．若主持⼈随机从场下学⽣中选⼀⼈参与互动．
（1）求选到的学⽣是艺术⽣的概率；
（2）如果选到的学⽣是艺术⽣，判断其来⾃哪个班的可能性最⼤．
第22⻚（共77⻚）
45．《中华⼈⺠共和国未成年⼈保护法》是为保护未成年⼈身⼼健康，保障未成年⼈合法权益．我校拟选拔
⼀名学⽣作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年⼈保护法．现已从全校选拔出甲⼄两⼈进⾏⽐赛，
⽐赛规则是：准备了5 个问题让选⼿回答，选⼿答对问题，则⾃⼰得1 分，该选⼿继续作答，若答错，
则对⽅得1 分，换另外选⼿作答，⽐赛结束时分数多的⼀⽅获胜，甲⼄能确定胜负时⽐赛就结束，或5
个问题回答完⽐赛也结束，已知甲、⼄答对每个问题的概率都是
．竞赛前抽签，甲获得第⼀问题的答
题权．
（1）求“前三个问题回答结束后⼄获胜”的概率；
（2）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率．
46．某运动队为评估短跑运动员在接⼒赛中的作⽤，对运动员进⾏数据分析．运动员甲在接⼒赛中跑第⼀
棒、第⼆棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场⽐赛，其出场率与出场时⽐赛获胜率如下表所示．
⽐赛位置
第⼀棒
第⼆棒
第三棒
第四棒
出场率
0.3
0.2
0.2
0.3
⽐赛胜率
0.6
0.8
0.7
0.7
（1）当甲出场⽐赛时，求该运动队获胜的概率．
（2）当甲出场⽐赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第⼀棒的概率．
（3）如果某场⽐赛该运动队获胜，求在该场⽐赛中甲最可能是第⼏棒．
第23⻚（共77⻚）
47．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、⼄、丙三⼈同时回答⼀道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的
概率是
，⼄答题错误的概率是
，⼄、丙两⼈都答题正确的概率是
，假设每⼈答题正确与否是相互
独⽴的．
（Ⅰ）求丙答题正确的概率；
（Ⅱ）求甲、丙都答题错误，且⼄答题正确的概率．
48．某档知识竞赛节⽬的规则如下：甲、⼄两⼈以抢答的⽅式答题，抢到并回答正确得1 分，答错则对⽅
得1 分，先得3 分者获胜．已知甲、⼄两⼈每次抢到题的概率都为
，甲、⼄两⼈每道题答对的概率分
别为
，并且每道题两⼈答对与否相互独⽴．
（1）求第⼀题结束时甲获得1 分的概率；
（2）求甲获得胜利的概率．
第24⻚（共77⻚）
49．某芯⽚制造企业采⽤流⽔线的⽅式⽣产芯⽚．原有⽣产线⽣产某型号的芯⽚需要经过三道⼯序，这三
道⼯序互不影响．已知三道⼯序产⽣不合格产品的概率分别为
，
，
，三道⼯序均合格的产品
成为正品，否则成为次品．
（1）求该企业原有⽣产线的次品率；
（2）为了提⾼产ᰁ，该企业⼜引进⼀条新⽣产线加⼯同⼀型号的芯⽚，两条⽣产线⽣产出的芯⽚随机
混放在⼀起．已知新⽣产线的次品率为
，且新⽣产线的产ᰁ是原⽣产线产ᰁ的两倍．从混放的芯⽚
中任取⼀个，计算它是次品的概率．
50．2023 年10 ⽉5 ⽇晚，杭州亚运会⼥篮决赛的巅峰对决中，中国⼥篮以74：72 战胜⽇本⼥篮，成功卫冕
亚运会冠军，⼤快⼈⼼，表现神勇，为国家和⼈⺠争了光．某校随即开展了“学习⼥篮精神，塑造健康
体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进⾏了⼀场A、B、C3 名⼥篮队员的传接球的训练，
球从A ⼿中开始，等可能地随机传向另外2 ⼈中的1 ⼈，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2 ⼈
中的1 ⼈，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第n 次传球之前球在A ⼿中的概率为an，
易知a1＝1，a2＝0．
（1）①求第5 次传球前，球恰好在A ⼿中的概率P1；
②第n 次传球前球在B ⼿中的概率为bn，试⽐较a100与b100的⼤⼩．
（2）训练结束，体育⽼师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了⼀场“摸球抽奖”活动，先在
⼀个⼝袋中装有n 个红球（n≥5 且n∈N）和5 个⽩球，⼀次摸奖从中摸两个球，两个球颜⾊不同则为中
奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有⼀次中奖的概率P，当n 取何值时，P 最⼤？
第25⻚（共77⻚）
51．某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、
⺠族⼯艺三类问题海ᰁ题库，其中家政类占
，园艺类占
，⺠族⼯艺类占
．根据以往答题经验，选
⼿甲答对家政类、园艺类、⺠族⼯艺类题⽬的概率分别为
，选⼿⼄答对这三类题⽬的概率
均为
．
（1）求随机任选1 题，甲答对的概率；
（2）现进⾏甲、⼄双⼈对抗赛，规则如下：两位选⼿进⾏三轮答题⽐赛，每轮只出1 道题⽬，⽐赛时两
位选⼿同时回答这道题，若⼀⼈答对且另⼀⼈答错，则答对者得1 分，答错者得﹣1 分，若两⼈都答对
或都答错，则两⼈均得0 分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选⼿答对与否互不影响，每次答题的
结果也互不影响，求甲获得奖品的概率．
52．多样性指数是⽣物群落中种类与个体数的⽐值．在某个物种数⽬为S 的群落中，⾟普森多样性指数
，其中ni 为第i 种⽣物的个体数，N 为总个体数．当D 越⼤时，表明该群落的多样性
越⾼．已知A，B 两个实验⽔塘的构成如下：
绿藻
⾐藻
⽔绵
蓝藻
硅藻
A
6
6
6
6
6
B
12
4
3
6
5
（1）若从A，B 中分别抽取⼀个⽣物个体，求两个⽣物个体为同⼀物种的概率；
（2）（i）⽐较A，B 的多样性⼤⼩；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素．
第26⻚（共77⻚）
53．现有12 个球，其中6 个球由甲⼯⼚⽣产，4 个球由⼄⼯⼚⽣产，2 个球由丙⼯⼚⽣产．这三个⼯⼚⽣产
该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12 个球中任取1 个球，设事件B 为“取得的球是次品”，事
件A1，A2，A3分别表示“取得的球是甲、⼄、丙三个⼯⼚⽣产的”，
（1）求P（Ai），i＝1，2，3，
（2）若取出的球是次品，求该球是甲⼯⼚⽣产的概率．（⽤分数作答）
54．盒中共有3 个⼩球，其中1 个⿊球，2 个红球．每次随机抽取1 球后放回，并放⼊k（k∈N）个同⾊球．
（Ⅰ）若k＝0，记抽取n 次中恰有1 次抽中⿊球的概率为Pn，求Pn 的最⼤值；
（Ⅱ）若k＝1，记事件B1表示抽取第i 次时抽中⿊球．
（i）分别求P（B1
），P（
B2
），P（
B3）；
（ii）结合上述分析，请直接写出抽取n 次中恰有2 次抽中⿊球的概率．
55．袋⼦中混有除颜⾊外均相同的2 个⽩球和2 个红球，每次从中不放回的随机取出1 个球，当袋中的红
球全部取出时停⽌取球．甲表示事件“第⼆次取出的球是红球”，⼄表示事件“停⽌取球时袋中剩余1 个
⽩球”．
（1）求甲发⽣的概率；
（2）证明：甲与⼄相互独⽴．
第27⻚（共77⻚）
56．某班组建了⼀⽀8 ⼈的篮球队，其中甲、⼄、丙、丁四位同学⼊选，该班体育⽼师担任教练．
（1）从甲、⼄、丙、丁中任选两⼈担任队⻓和副队⻓，甲不担任队⻓，共有多少种选法？
（2）某次传球基本功训练，体育⽼师与甲、⼄、丙、丁进⾏传球训练，⽼师传给每位学⽣的概率都相等，
每位学⽣传球给同学的概率也相等，学⽣传给⽼师的概率为
．传球从⽼师开始，记为第⼀次传球，前
三次传球中，甲同学恰好有⼀次接到球且第三次传球后球回到⽼师⼿中的概率是多少？
57．课外阅读对于培养学⽣的阅读兴趣、拓宽知识视ᰀ、提⾼阅读能⼒具有᯿要作⽤．某市为了解中学⽣
的课外阅读情况，从该市全体中学⽣中随机抽取了500 名学⽣，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均
时⻓t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学⽣中寒假期间每天课外阅读平均时
⻓均不超过100 分钟．
时⻓t
[0，20）
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100]
学⽣⼈数
50
100
200
125
25
（Ⅰ）估计这500 名学⽣寒假期间每天课外阅读平均时⻓的平均数（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值
为代表）；
（Ⅱ）若按照分层抽样的⽅法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时⻓在[0，20）和[20，40）的两组
中共抽取6 ⼈进⾏问卷调查，并从6 ⼈中随机选取2 ⼈进⾏座谈，求这2 ⼈中⾄少有⼀⼈寒假期间每天
课外阅读平均时⻓在[0，20）的概率．
第28⻚（共77⻚）
58．2024 年3 ⽉31 ⽇在连南举⾏半程⻢拉松赛，为确保⻢拉松赛事顺利举⾏，组委会在沿途⼀共设置了7
个饮⽔点，每两个饮⽔点中间再设置⼀个服务站，⼀共6 个服务站．由含甲、⼄在内的13 ⽀志愿者服
务队负责这13 个站点的服务⼯作，每⼀个站点有且仅有⼀⽀服务队负责服务．
（1）求甲队只去⾸尾的饮⽔点，且⼄队只去与甲队不相邻的服务站的概率；
（2）为了解志愿者服务队的⼯作效果，将四名⼯作⼈员随机分派到A，B，C 三个站点进⾏抽查，每⼈
被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有⼀个站点未分配到任何⼯作⼈员的概率．
59．受环境和⽓候影响，近阶段在相邻的甲、⼄、丙三个市爆发了⽀原体肺炎，经初步统计，这三个市分
别有8%，6%，4%的⼈感染了⽀原体肺炎病毒，已知这三个市的⼈⼝数之⽐为4：6：10，现从这三个市
中任意选取⼀个⼈．
（1）求这个⼈感染⽀原体肺炎病毒的概率；
（2）若此⼈感染⽀原体肺炎病毒，求他来⾃甲市的概率．
60．⼀个盒⼦中装有4 张卡⽚，卡⽚上分别写有数字1、2、3、4．现从盒⼦中随机抽取．
（1）若⼀次抽取3 张卡⽚，求3 张卡⽚上数字之和⼤于7 的概率；
（2）若第⼀次抽取1 张卡⽚，放回后再抽取1 张卡⽚，求两次抽取的卡⽚上数字之和⼤于7 的概率．
第1⻚（共53⻚）
题型13：条件概率
1．某学习⼩组共有9 名学⽣，其中有5 名⼥⽣，现随机从这9 名学⽣中抽取2 名任⼩组组⻓，A 表示“抽到
的2 名学⽣都是⼥⽣”，B 表示“抽到的2 名学⽣性别相同”，则P（A|B）＝（
）
A．
B．
C．
D．
2．贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“⻩⼩⻄吃晚饭”．“⻩⼩⻄”分别指⻩果树、荔波⼩七孔和⻄江
千户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐⾳对应的三个景区：⾚⽔国家级⻛景名胜区、万峰林和梵净⼭．现有
甲、⼄两位游客慕名来到贵州，都准备从上⾯6 个著名旅游景点中随机选择⼀个游玩．设事件A 为“甲
和⼄⾄少⼀⼈选择⻩果树”，事件B 为“甲和⼄选择的景点不同”，则P（B|A）＝（
）
A．
B．
C．
D．
3．设A，B 是⼀个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
4．袋⼦中有8 个⼤⼩相同的⼩球，其中5 个红球，3 个蓝球，每次从袋⼦中随机摸出1 个球，摸出的球不
再放回，则在第1 次摸到红球的条件下，第2 次摸到蓝球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第2⻚（共53⻚）
5．已知事件A 发⽣的概率为0.4，事件B 发⽣的概率为0.5，若在事件B 发⽣的条件下，事件A 发⽣的概
率为0.6，则在事件A 发⽣的条件下，事件B 发⽣的概率为（
）
A．0.85
B．0.8
C．0.75
D．0.7
6．已知
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
7．某单位选派⼀⽀代表队参加市⾥的辩论⽐赛，现有“初⼼”“使命”两⽀预备队．选哪⽀队是随机的，其中
选“初⼼”队获胜的概率为0.8，选“使命”队荻胜的概率为0.7，单位在⽐赛中获胜的条件下，选“使命”队
参加⽐赛的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10 个数字中不放回地依次取2 个数，记“第⼀次取到的是偶数”为事
件A，“第⼆次取到的是奇数”为事件B，则P（B|A）＝（
）
A．
B．
C．
D．
第3⻚（共53⻚）
9．元宵节是中国的传统节⽇之⼀，“元宵”作为⻝品，在我国也由来已久．宋代，⺠间即流⾏⼀种元宵节吃
的新奇⻝品．这种⻝品，最早叫“浮元⼦”后称“元宵”．元宵即“汤圆”以⽩糖、玫瑰、芝麻、⾖沙、⻩桂、
核桃仁、果仁、枣泥等为馅，⽤糯⽶粉包成圆形，可荤可素，⻛味各异，可汤煮、油炸、蒸⻝，有团圆
美满之意．某商店有6 种馅的汤圆，其中4 种素的和2 种荤的，美华随机取出两袋购买，事件A“取到的
两袋同为荤或素”，事件B“取到的两袋都是素的”，则P（B|A）＝（
）
A．
B．
C．
D．
10．在5 道题中有3 道数学题和2 道物理题，如果不放回地依次抽取2 道题，则在第⼀次抽到数学题条件
下，第⼆次抽到数学题的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
11．甲⼄⼆⼈争夺⼀场围棋⽐赛的冠军，若⽐赛为“三局两胜”制，甲在每局⽐赛中获胜的概率均为
，各
局⽐赛结果相互独⽴且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，⽐赛进⾏了三局的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．从1，2，3，4，5 中不放回地抽取2 个数，则在第1 次抽到奇数的条件下，第2 次⼜抽到奇数的概率是
（
）
A．
B．
C．
D．
第4⻚（共53⻚）
13．抛掷三枚质地均匀的硬币⼀次，在有⼀枚正⾯朝上的条件下，另外两枚也正⾯朝上的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
14．我国古代典籍《周易》⽤“卦”描述万物的变化，每⼀“重卦”由从下到上排列的6 个⽘组成，⽘分为阳⽘
“
”和阴⽘“
”，如图就是⼀重卦．在所有重卦中随机取⼀重卦，记事件A＝“取
出的重卦中⾄少有1 个阴⽘”，事件B＝“取出的重卦中⾄少有3 个阳⽘”．则P（B|A）（
）
A．
B．
C．
D．
15．A、B 是⼀个随机试验中的两个事件，且
，则下列错误的是
（
）
A．
B．
C．
D．
16．某校春季体育运动会上，甲，⼄两⼈进⾏⽻⽑球项⽬决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠
军．已知甲、⼄两⼈⽔平相当，记事件A 表示“甲获得冠军”，事件B 表示“⽐赛进⾏了五局”，则P（A| ）
＝（
）
A．
B．
C．
D．
第5⻚（共53⻚）
17．正值春夏交接时节，学⽣极易发⽣感冒．某学校⾼⼀、⾼⼆、⾼三三个年级的⼈数之⽐为3：2：1，且
这三个年级分别有x%、y%、（x+y）%的⼈患有感冒．现在从这三个年级中任选⼀⼈进⾏调查，在此⼈
患了感冒的条件下，此⼈来⾃⾼⼆年级的概率最⼤．则下列取值可能的是（
）
A．x＝3、y＝2
B．x＝3、y＝3
C．x＝3、y＝4
D．x＝3、y＝5
18．经统计，我市每年四⽉份降⾬的概率为
，出现四级以上⼤⻛天⽓的概率为
，在出现四级以上⼤
⻛天⽓条件下，降⾬的概率为
，则在已知降⾬的条件下，出现四级以上⼤⻛天⽓的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
19．⽂明是⼀座城市最靓丽的底⾊，也是⼀座城市最暖的名⽚．⾃内江市开展“让⽂明出⾏成为甜城靓丽⻛
景”⽂明实践⽇活动以来，全市⼴⼤学⼦以实际⾏动提升城市⽂明形象，助⼒全国⽂明城市创建⼯作．在
活动中，甲、⼄两名同学利⽤周末时间到交通路⼝开展⽂明劝导志愿服务⼯作，他们可以从A、B、C、
D 四个路⼝中随机选择⼀个路⼝，设事件M 为“甲和⼄⾄少有⼀⼈选择了A 路⼝”，事件N 为“甲和⼄选
择的路⼝不相同”，则P（N|M）＝（
）
A．
B．
C．
D．
20．已知随机事件A，B 发⽣的概率分别为P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，则下列说法正确的是（
）
A．若P（AB）＝0.9，则A，B 相互独⽴
B．若A，B 相互独⽴，则P（A|B）＝0.6
C．若P（A|B）＝0.5，则P（AB）＝0.25
D．若B⊆A，则P（B|A）＝0.8
第6⻚（共53⻚）
21．已知P（A）＝0.6，P（AB）＝0.3，
，下列选项正确的是（
）
A．P（B）＝0.4
B．P（A|B）＝0.6
C．
D．P（AB）≠P（A）P（B）
22．数学家⾼斯在各个领域中都取得了重⼤的成就．在研究⼀类⼆次型数论问题时，他在他的著作《算术
研究》中⾸次引⼊了⼆次剩余的概念．⼆次剩余理论在嗓⾳⼯程学、密码学以及⼤数分解等各个领域都
有⼴泛的应⽤．已知对于正整数a，n（n≥2），若存在⼀个整数x，使得n 整除x2﹣a，则称a 是n 的⼀个
⼆次剩余，否则为⼆次⾮剩余．从1 到20 这20 个整数中随机抽取⼀个整数a，记事件A＝“a 与12 互质”，
B＝“a 是12 的⼆次⾮剩余”，则P（B|A）＝（
）
A．
B．
C．
D．
题型14：全概率公式
23．已知0＜P（B）＜1，
，
，若
，则P（B）＝（
）
A．
B．
C．
D．
24．袋⼦中装有5 个形状和⼤⼩相同的球，其中3 个标有字⺟a，2 个标有字⺟b．甲先从袋中随机摸⼀个
球，摸出的球不再放回，然后⼄从袋中随机摸⼀个球，若甲、⼄两⼈摸到标有字⺟a 的球的概率分别为
p1，p2，则（
）
A．p1＝p2
B．2p1＝3p2
C．p1＝3p2
D．2p1＝p2
第7⻚（共53⻚）
25．现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2 袋，第⼀袋有6 名男⽣和4 名⼥⽣的报名表，
第⼆袋有8 名男⽣和2 名⼥⽣的报名表．随机选择⼀袋，然后从中随机抽取2 份，则恰好抽到男⽣和⼥
⽣的报名表各⼀份的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
26．已知某公路上经过的货⻋与客⻋的数量之⽐为2：1，货⻋和客⻋中途停⻋修理的概率分别为0.02，0.01，
则⼀辆汽⻋中途停⻋修理的概率为（
）
A．
B．.
C．.
D．.
27．有甲、⼄两台⻋床加⼯同⼀种零件，且甲、⼄两台⻋床的产量分别占总产量的70%，30%，甲、⼄两台
⻋床的正品率分别为94%，92%．现从⼀批零件中任取⼀件，则取到正品的概率为（
）
A．0.93
B．0.934
C．0.94
D．0.945
28．若甲盒中有2 个⽩球、2 个红球、1 个⿊球，⼄盒中有x 个⽩球（x∈N*）、3 个红球、2 个⿊球，现从甲
盒中随机取出⼀个球放⼊⼄盒，再从⼄盒中随机取出⼀个球，若从甲盒中取出的球和从⼄盒中取出的球
颜⾊相同的概率⼤于等于
，则x 的最⼤值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
第8⻚（共53⻚）
29．⼴⻄壮族⾃治区桂林市荔浦市，被称为“中国⾐架之都”，是全国最⼤的⽊⾐架⽣产和出⼝基地，已知
荔浦市某⼚甲、⼄两⻋间⽣产同⼀批⾐架，且甲、⼄两⻋间的产量分别占全⼚产量的60%，40%，甲、
⼄⻋间的优品率分别为95%，90%．现从该⼚这批产品中任取⼀件，则取到优品的概率为（
）
A．93%
B．93.5%
C．94%
D．94.5%
30．为丰富学⽣的课余活动，学校举办“书⾹临夏、悦享阅读”的读书朗诵⽐赛．已知参加⽐赛的男同学与
⼥同学⼈数⽐是3：2，其中有20%的男同学和30%的⼥同学擅⻓中华诗词朗诵，现随机选⼀位同学，这
位同学恰好擅⻓中华诗词朗诵的概率是（
）
A．0.28
B．0.24
C．0.26
D．0.30
31．⼀道考题有4 个答案，要求学⽣将其中的⼀个正确答案选择出来．某考⽣知道正确答案的概率为
，
⽽乱猜时，4 个答案都有机会被他选择，则他答对正确答案的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
第9⻚（共53⻚）
32．某成品仓库⾥混放着来⾃第⼀、第⼆两个⻋间的同型号的电器成品，第⼀、⼆⻋间⽣产的成品⽐例为
2：3，已知第⼀⻋间的⼀等品率为0.85，第⼆⻋间的⼀等品率为0.88．今有⼀客户从成品仓库中随机提
⼀台产品，该产品是⼀等品的概率为（
）
A．0.1325
B．0.112
C．0.868
D．0.8884
33．托⻢斯•⻉叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了⼀个公式：
，这
个公式被称为⻉叶斯公式（⻉叶斯定理），其中
称为B 的全概率．春夏换季是流
⾏性感冒爆发期，已知A，B，C 三个地区分别有3%，6%，5%的⼈患了流感，且这三个地区的⼈⼝数
之⽐是9：8：5，现从这三个地区中任意选取1 ⼈，若选取的这⼈患了流感，则这⼈来⾃B 地区的概率
是（
）
A．0.25
B．0.27
C．0.48
D．0.52
第10⻚（共53⻚）
34．某⼈外出，委托邻居给家⾥盆栽浇⼀次⽔，若不浇⽔，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇⽔，盆栽枯萎的概
率为0.2．若邻居浇⽔的概率为P，该⼈回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P 的值为（
）
A．0.9
B．0.85
C．0.8
D．0.75
35．赣南脐橙是江⻄省赣州市特产，是中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江⻄省
赣州市已经成为脐橙种植⾯积世界第⼀，年产量世界第三的城市．已知某地销售的赣南脐橙来⾃甲、⼄
两个果园，甲、⼄两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占⽐分别为60%，40%，且甲、⼄两个
果园提供的赣南脐橙的优品率分别为90%，80%，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1 箱，则这1 箱赣
南脐橙为优品的概率为（
）
A．85%
B．86%
C．87%
D．88%
36．⼀份新⾼考数学试卷中有8 道单选题，⼩胡对其中5 道题有思路，3 道题完全没有思路．有思路的题做
对的概率是0.9，没有思路的题只能猜⼀个答案，猜对答案的概率为0.25，则⼩胡从这8 道题⽬中随机抽
取1 道做对的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第11⻚（共53⻚）
37．⼀玩具制造⼚的某⼀配件由A，B，C 三家配件制造⼚提供，根据三家配件制造⼚以往的制造记录分析
得到数据：制造⼚A，B，C 的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为15%，80%，5%，
设三家制造⼚的配件在玩具制造⼚仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取⼀件配件，则抽到的是次
品的概率为（
）
A．0.0125
B．0.0115
C．0.0135
D．0.0145
38．⼀玩具制造⼚的某⼀配件由A，B，C 三家配件制造⼚提供，根据三家配件制造⼚以往的制造记录分析
得到数据：制造⼚A，B，C 的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为15%，80%，5%，
设三家制造⼚的配件在玩具制造⼚仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取⼀件配件，若抽到的是次
品，则该次品来⾃制造⼚C 概率为（
）
A．
B．
C．
D．
39．某中学开展⾼⼆年级“拔尖创新⼈才”学科素养评估活动，其中物化⽣、政史地、物化政三种组合⼈数
之⽐为6：3：1，这三个组合中分别有10%，6%，2%的学⽣参与此次活动，现从这三个组合中任选⼀名
学⽣，这名学⽣参与此次活动的概率为（
）
A．0.044
B．0.18
C．0.034
D．0.08
40．⻓时间玩⼿机可能影响视⼒．据调查，某校学⽣⼤约20%的⼈近视，⽽该校⼤约有10%的学⽣每天玩
⼿机超过1 ⼩时，这些⼈的近视率约为60%，现从每天玩⼿机不超过1 ⼩时的学⽣中任意调查⼀名学⽣，
则他近视的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第12⻚（共53⻚）
题型15：条件概率与全概率解答题综合
41．现有编号为1，2，3 的三个⼝袋，其中1 号⼝袋内装有两个1 号球，⼀个2 号球和⼀个3 号球；2 号⼝
袋内装有两个1 号球，⼀个3 号球；3 号⼝袋内装有三个1 号球，两个2 号球；第⼀次先从1 号⼝袋内
随机抽取1 个球，将取出的球放⼊与球同编号的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，
（1）在第⼀次抽到3 号球的条件下，求第⼆次抽到1 号球的概率；
（2）求第⼆次取到2 号球的概率．
42．编号为1，2，3 的三个除编号外完全相同的盒⼦⾥，分别装有3 个红球，2 个⽩球；3 个⻩球，3 个⽩
球；4 个⿊球，5 个⽩球．（所有球除颜⾊外完全相同）
（1）现随机从某个盒⼦⾥摸2 个球，则在选到2 号盒⼦的条件下，摸出的两个球都是⽩球的概率是多
少？
（2）现随机从某个盒⼦⾥摸1 个球，若摸出的球是⽩⾊，则这个球来⾃2 号盒⼦的概率是多少？
第13⻚（共53⻚）
43．玻璃杯成箱出售，共3 箱，每箱20 只．假设各箱含有0，1，2 只残次品的概率对应为0.8，0.1 和0.1．⼀
顾客欲购买⼀箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取⼀箱，⽽顾客随机查看4 只玻璃杯，若⽆残次品，则
买下该箱玻璃杯；否则不买．求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的⼀箱中，没有残次品的概率．
44．第三次⼈⼯智能浪潮滚滚⽽来，以ChatGPT 发布为⾥程碑，开辟了⼈机⾃然交流的新纪元．ChatGPT
所⽤到的数学知识并⾮都是遥不可及的⾼深理论，概率就被⼴泛应⽤于ChatGPT 中．某学习⼩组设计
了如下问题进⾏探究：甲和⼄两个箱⼦中各装有5 个⼤⼩相同的⼩球，其中甲箱中有3 个红球、2 个⽩
球，⼄箱中有4 个红球、1 个⽩球．
（1）从甲箱中随机抽出2 个球，在已知抽到红球的条件下，求2 个球都是红球的概率；
（2）抛⼀枚质地均匀的骰⼦，如果点数⼩于等于4，从甲箱⼦随机抽出1 个球；如果点数⼤于等于5，
从⼄箱⼦中随机抽出1 个球．求抽到的球是红球的概率；
（3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来⾃⼄箱的概率．
第14⻚（共53⻚）
45．甲箱的产品中有5 个正品和3 个次品，⼄箱的产品有4 个正品和3 个次品．
（1）从甲箱中任取2 个产品，求这2 个产品都是次品的概率；
（2）如果依次不放回地从⼄箱中抽取2 个产品，每次取1 个，已知第⼆个是次品的条件下，求第⼀个是
正品的概率；
（3）若先从甲箱中任取2 个产品放⼊⼄箱中，再从⼄箱中任取⼀个产品，求取出这个产品是正品的概
率．
46．在⼀个盒⼦中有⼤⼩与质地相同的10 个球，其中5 个红球，5 个⽩球，两⼈依次不放回地各摸个1 球，
求：
（1）在第⼀个⼈摸出个红球的条件下，第⼆个⼈摸出个⽩球的概率；
（2）第⼀个⼈摸出个红球，且第⼆个⼈摸出个⽩球的概率．
47．有完全相同的甲、⼄两个袋⼦，袋⼦有⼤⼩、形状完全相同的⼩球，其中甲袋中有9 个红球和1 个⽩
球；⼄袋中有2 个红球和8 个⽩球．从这两个袋⼦中选择⼀个袋⼦，再从该袋⼦中等可能摸出⼀个球．假
设试验选到甲袋或⼄袋的概率都是
．
（1）求从袋⼦中摸出红球的概率；
（2）求在摸出⽩球的条件下，该球来⾃甲袋的概率．
第15⻚（共53⻚）
48．甲袋中有3 个⽩球和2 个红球，⼄袋中有2 个⽩球和3 个红球．先随机取⼀只袋，再从该袋中先后随
机取2 个球．
（1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为⽩球的概率；
（2）求第⼀次取出的是⽩球的概率；
（3）求第⼀次取出的是⽩球的前提下，第⼆次取出的依然是⽩球的概率．
49．某⼯⼚有三个⻋间⽣产同⼀种通讯器材，第1 个⻋间⽣产该通讯器材的优等品率为6%，第2 和第3 个
⻋间⽣产该通讯器材的优等品率均为5%，⽣产出来的产品混放在同⼀个仓库⾥．已知第1，2，3 ⻋间
⽣产的通讯器材数量分别占总数的25%，30%，45%．
（1）现从仓库中任取⼀个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？
（2）如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第i（i＝1，2，3）个⻋间⽣产的概率．
50．第⼗四届“中华⼈⺠共和国全国⼈⺠代表⼤会”和“中国⼈⺠政治协商会议”分别于2023 年3 ⽉5 ⽇和3
⽉4 ⽇胜利召开，为实现新时代新征程的⽬标任务汇聚智慧和⼒量．某市计划开展“学两会，争当新代
先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3 名党员和5 名⺠主党派⼈⼠，并从中随机选取4 ⼈组成表队
参赛．
（1）在代表队中既有党员⼜有⺠主党派⼈⼠的条件下，求党员甲被选中的概率．
（2）现从代表队中随机选取1 名队员，求该队员是党员的概率．
第16⻚（共53⻚）
51．佛⼭顺德双⽪奶是⼀种粤式甜品，上层奶⽪⽢⾹，下层奶⽪⾹滑润⼝，吃起来，⾹⽓浓郁，⼊⼝嫩滑，
让⼈唇⻮留⾹．双⽪奶起源于清朝末期，是⽤⽔⽜奶做原料，辅以鸡蛋和⽩糖制成．⽔⽜奶中含有丰富
的蛋⽩质，包括酪蛋⽩和少量的乳清蛋⽩，及⼤量⼈体⽣⻓发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的
⽔⽜奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的⽔⽜奶⼜不⽤过多存货，于是统计了50 天销
售⽔⽜奶的情况，获得如下数据：
⽇销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10
假设⽔⽜奶⽇销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）求接下来三天中⾄少有2 天能卖出3 件⽔⽜奶的概率；
（2）已知超市存货管理⽔平的⾼低会直接影响超市的经营情况．该超市对⽔⽜奶实⾏如下存货管理制
度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2 件，则通知配送中⼼⽴即补货⾄3 件，否则不补货．假设
某天开始营业时货架上有3 件⽔⽜奶，求第⼆天营业结束后货架上有1 件存货的概率．
52．某企业⽣产⼿机加密芯⽚，有3 台机器⽣产同⼀型号的芯⽚，质量合格的为正品，不合格的为次品，
第1 台⽣产的次品率为6%，第2，3 台⽣产的次品率均为5%，将⽣产出来的芯⽚混放在⼀起，已知第1，
2，3 台机器⽣产的芯⽚数分别占总数的25%，30%，45%．
（Ⅰ）任取⼀个芯⽚，求它是正品的概率；
（Ⅱ）任取⼀个芯⽚，如果它是次品，求它分别是第1，2，3 台机器⽣产的概率．
第17⻚（共53⻚）
53．某运动队共有12 名运动员，其中⼀级运动员6 名，⼆级运动员4 名，三级运动员2 名．现举办奥运选
拔赛，⼀、⼆、三级运动员晋级的概率分别为0.75，0.5，0.25．
（Ⅰ）从这12 名运动员中选4 ⼈参加奥运选拔赛，已知所选4 ⼈中⼀、⼆、三级运动员都有⼊选，求⼀
级运动员⼈数最多的概率；
（Ⅱ）从这12 名运动员中任选1 ⼈参加奥运选拔赛，求其能够晋级的概率．
54．某运动队为评估短跑运动员在接⼒赛中的作⽤，对运动员进⾏数据分析．运动员甲在接⼒赛中跑第⼀
棒、第⼆棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场⽐赛，其出场率与出场时⽐赛获胜率如表所示．
⽐赛位置
第⼀棒
第⼆棒
第三棒
第四棒
出场率
0.3
0.2
0.2
0.3
⽐赛胜率
0.6
0.8
0.7
0.7
（1）当甲出场⽐赛时，求该运动队获胜的概率．
（2）当甲出场⽐赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第⼀棒的概率．
55．⼯⼚有甲，⼄，丙三个⻋间⽣产同⼀产品，已知各⻋间的产量分别占全⼚产量的25%，35%，40%，并
且各⻋间的次品率依次为5%，4%，2%．现从该⼚这批产品中任取⼀件．
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由甲⻋间⽣产的概率是多少？
第18⻚（共53⻚）
56．甲箱装有2 个⿊球和4 个⽩球，⼄箱装有2 个⿊球和3 个⽩球，这些球除颜⾊外完全相同．某⼈先从
两个箱⼦中任选⼀个箱⼦，再从中随机摸出⼀球．
（1）求摸出的球是⿊球的概率；
（2）若已知摸出的球是⿊球，⽤概率公式判断该球取⾃哪个箱⼦的可能性更⼤．
57．现有两台⻋床加⼯同⼀型号的零件，第1 台⻋床加⼯的零件次品率为6%，第2 台⻋床加⼯的零件次品
率为5%，加⼯出来的零件混放在⼀起．已知第1 台⻋床加⼯的零件数与第2 台⻋床加⼯的零件数之⽐
为2：3，从这些零件中任取⼀个．
（1）求这个零件是次品的概率；
（2）已知这个零件是次品，求它是第⼀台⻋床加⼯的概率．
第19⻚（共53⻚）
58．某城市有甲、⼄两个⽹约⻋公司，相关部⻔为了更好地监管和服务，通过问卷调查的⽅式，统计当地
⽹约⻋⽤户（后⾯简称⽤户，并假设每位⽤户只选择其中⼀家公司的⽹约⻋出⾏）对甲，⼄两个公司的
乘⻋费⽤，等待时间，乘⻋舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①⽤户选择甲公司的频率为0.32，选择⼄公司的频率为0.68；
②选择甲公司的⽤户对等待时间满意的频率为0.62，选择⼄公司的⽤户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的⽤户对乘⻋舒适度满意的频率为0.68，选择⼄公司的⽤户对乘⻋舒适度满意的频率为
0.61；
④选择甲公司的⽤户对乘⻋费⽤满意的频率为0.21，选择⼄公司的⽤户对乘⻋费⽤满意的频率为0.32．
将上述随机事件发⽣的频率视为其发⽣的概率．
（1）分别求出⽹约⻋⽤户对等待时间满意、乘⻋舒适度满意、乘⻋费⽤满意的概率，并⽐较⽤户对哪
个因素满意的概率最⼤，对哪个因素满意的概率最⼩．
（2）若已知某位⽤户对乘⻋舒适度满意，则该⽤户更可能选择哪个公司的⽹约⻋出⾏？并说明理由．
第20⻚（共53⻚）
59．甲、⼄、丙为完全相同的三个不透明盒⼦，盒内均装有除颜⾊外完全相同的球．甲盒装有4 个⽩球，8
个⿊球，⼄盒装有1 个⽩球，5 个⿊球，丙盒装有3 个⽩球，3 个⿊球．
（1）随机抽取⼀个盒⼦，再从该盒⼦中随机摸出1 个球，求摸出的球是⿊球的概率；
（2）已知（1）中摸出的球是⿊球，求此球属于⼄箱⼦的概率．
60．已知1 号箱中有5 个⽩球和3 个红球，2 号箱中有2 个⽩球和4 个红球．
（1）每次从1 号箱中随机取出1 个球，取出的球不再放回，经过2 次取球．
（ⅰ）求取出的这2 个球中有红球的概率；
（ⅱ）求在取出的这2 个球中有红球的条件下，第2 次取出的是红球的概率；
（2）若先随机从1 号箱中取出⼀球放⼊2 号箱中，再从2 号箱中随机取出⼀球，求从2 号箱中取出的球
是红球的概率．
第1⻚（共41⻚）
题型16：离散型随机变量及其分布列
1．设随机变量X 的分布列如表，且EX＝1.6，则a﹣b＝（
）
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A．0.2
B．0.1
C．﹣0.2
D．﹣0.4
2．如表是离散型随机变量X 的分布列，则常数m 的值是（
）
X
21
22
23
24
P
m
A．
B．
C．
D．
3．已知离散型随机变量X 的分布列为
（n＝1，2，3），则a＝（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知随机变量ξ的分布列如表：
ξ
﹣1
0
1
P
a
b
c
其中2b＝a+c，则P（|ξ|＝1）的值是（
）
A．
B．
C．
D．
第2⻚（共41⻚）
5．若离散型随机变量X 的概率分布列如下表所示，则p 的值为（
）
X
0
1
P
A．
B．﹣2
C．或﹣2
D．
或2
6．已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，且P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1）＝a，则a＝（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知随机变量X 的分布列为
X
5
10
15
P
则p＝（
）
A．
B．
C．
D．或
8．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，y∈N）代替，分布列如下：
X＝i
1
2
3
4
5
6
P（X＝i）
0.21
0.20
0．x5
0.10
0.1y
0.10
则
＝（
）
A．0.35
B．0.45
C．0.55
D．0.65
第3⻚（共41⻚）
题型17：离散型随机变量的期望与⽅差
9．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
a
若η＝2ξ﹣1，则D（η）＝（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P
a
5a
若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知随机变量X 和Y，其中Y＝12X+7，且E（Y）＝34，若X 的概率分布如下表，则m 的值为（
）
X
1
2
3
4
P
m
n
A．
B．
C．
D．
12．随机变量X 的分布列如表，则E（5X+4）等于（
）
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A．16
B．11
C．2.2
D．2.3
第4⻚（共41⻚）
13．已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
m
n
若E（ξ）＝1，则D（3ξ+1）＝（
）
A．2
B．3
C．6
D．7
14．在调查对某⼤型活动满意度⽐例为0.9 的⼈员中抽取10 ⼈，设当中持有满意态度的⼈数为X，随机变
量Y＝2X+3，则Y 的⽅差D（Y）的值为（
）
A．21
B．6.6
C．3.6
D．4.8
15．已知随机变量X～B（n，p），若
，则P（X＝1）＝（
）
A．
B．
C．
D．
16．随机变量F 的概率分布列为P（ξ＝k）＝
，k＝1，2，3，其中c 是常数，则D（9ξ﹣3）的值为
（
）
A．10
B．117
C．38
D．35
17．已知随机变量X 的分布列为：
X
﹣1
0
1
P
a
则X 的数学期望E（X）的值是（
）
A．
B．
C．
D．
第5⻚（共41⻚）
18．已知随机变量X，Y 满⾜Y＝2X+1，且随机变量X 的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
则随机变量Y 的⽅差D（Y）＝（
）
A．
B．
C．
D．
19．设x1、x2、x3为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如表，若记DX，DY 分别为X，Y 的⽅差，
则下列说法正确的是（
）
X
x1
x2
x3
Y
P
A．D（X）＜D（Y）
B．D（X）＝D（Y）
C．D（X）＞D（Y）
D．D（X）与D（Y）的⼤⼩关系与x1，x2，x3的取值有关
20．已知随机变量X 的概率分布如表：
X
1
2
4
P
0.4
a
0.3
则E（5X+4）＝（
）
A．1
B．2.2
C．11
D．15
第6⻚（共41⻚）
21．不透明⼝袋中有n 个相同的⿊⾊⼩球和红⾊、⽩⾊、蓝⾊的⼩球各1 个，从中任取4 个⼩球，ξ表示当
n＝2 时取出⿊球的数⽬，η表示当n＝3 时取出⿊球的数⽬，则下列结论中成⽴的是（
）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）
B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）
D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
22．已知6 件产品中有2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取3 件进⾏检测，记取到的正品数为X，则
下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．E（X）＝1
D．
23．已知X 的分布列为
X
﹣1
0
1
P
a
则下列说法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
第7⻚（共41⻚）
24．随机变量X 的分布列如下（k 为常数）：
X
0
1
2
P
k
6k
0.3
则
＝（
）
A．0.6
B．0.7
C．0.9
D．1.2
25．设随机变量X 服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则D（X）＝（
）
A．0.21
B．0.3
C．0.4
D．0.7
26．已知随机变量X～B（n，p），若
，
，则
＝（
）
A．15
B．
C．
D．
题型18：⼆项分布
27．已知离散型随机变量X 服从⼆项分布X～B（n，p）且E（X）＝2，D（X）＝q，则
的最⼩值为（
）
A．2
B．
C．
D．
28．已知随机变量
，则P（ξ＝4）＝（
）
A．
B．
C．
D．
第8⻚（共41⻚）
29．已知随机变量X 服从两点分布，若P（X＝1）＝0.6，则P（X＝0）＝（
）
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.4
30．已知随机变量X～B（4，），则P（X＝2）＝（
）
A．
B．
C．
D．
31．设随机变量
，则D（3X+1）＝（
）
A．2
B．3
C．6
D．7
32．已知随机变量X1，X2分别满⾜⼆项分布X1～B（n1，
），X2～B（n2，
），则“n1＞n2”是“D（X1）＞D
（X2）”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
33．设随机变量X～B（12，p），若EX≤4，则DX 的最⼤值为（
）
A．4
B．3
C．
D．
34．已知X～B（4，），则E（3X﹣2）＝（
）
A．12
B．9
C．4
D．2
第9⻚（共41⻚）
35．已知X～B（n，p），且3E（X）＝10D（X），则p＝（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.7
D．0.8
题型19：超⼏何分布
36．⼀箱中装有6 个同样⼤⼩的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4 个同样⼤⼩的⻩球，编号为7，8，
9，10．现从箱中任取4 个球，下列变量服从超⼏何分布的是（
）
A．X 表示取出的最⼩号码
B．若有放回的取球时，X 表示取出的最⼤号码
C．取出⼀个红球记2 分，取出⼀个⻩球记1 分，X 表示取出的4 个球的总得分
D．若有放回的取球时，X 表示取出的⻩球个数
37．某地7 个贫困村中有3 个村是深度贫困，现从中任意选3 个村，下列事件中概率等于
的是（
）
A．⾄少有1 个深度贫困村
B．有1 个或2 个深度贫困村
C．有2 个或3 个深度贫困村
D．恰有2 个深度贫困村
38．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（
）
A．n
B．
C．
D．
第10⻚（共41⻚）
39．某⼯⼚⽣产的10 件产品中，有n 件次品，现从中任取2 件产品，若取出的2 件产品中⾄少有1 件次品
的概率为
，则n＝
（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
40．设袋中有8 个红球，2 个⽩球，若从袋中任取4 个球，则其中恰有3 个红球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
41．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是（
）
A．n
B．
C．
D．
42．下列问题中，相应随机变量服从超⼏何分布的是（
）
A．抛掷三枚骰⼦，所得向上的点数是6 的骰⼦的个数X
B．有⼀批种⼦的发芽率为70%，任取10 颗种⼦做发芽试验，试验中发芽的种⼦数X
C．盒⼦中有红球3 个，⻩球4 个，蓝球5 个，任取3 个球，其中不是红球的个数X
D．有100 个蓝⽛⽿机未经检测，抽取10 个送检，检验结果为不合格的蓝⽛⽿机的个数X
43．有⼀批产品，其中有6 件正品和4 件次品，从中任取3 件，⾄少有2 件次品的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
44．某箱⼦内有9 罐咖啡及3 罐红茶．若从该箱⼦中随机取出4 罐，求取出⾄少2 罐红茶的概率（
）
A．
B．
C．
D．
第11⻚（共41⻚）
题型20：正态分布
45．在某项测验中，假设测验数据服从正态分布N（78，16）．如果按照16%，34%，34%，16%的⽐例将测
验数据从⼤到⼩分为A，B，C，D 四个等级，则等级为A 的测验数据的最⼩值可能是（附：若X～N（µ，
σ2），则P（|X﹣µ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣µ|≤2σ）≈0.9545）（
）
A．94
B．86
C．82
D．78
46．已知随机变量X～N（3，σ2），且P（2＜x＜4）＝m，P（1＜x＜5）＝n，则P（2＜x＜5）的值为（
）
A．
B．
C．
D．
47．若随机变量ξ∼N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，则P（2＜ξ＜3）＝（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
48．在某市的⼀次质量检测考试中，学⽣的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可⽤函数
的图象拟合，且P（78≤X≤120）＝0.42，若参加本次考试的学⽣共有10000
⼈，则数学成绩超过120 分的⼈数约为（
）
A．600
B．800
C．1200
D．1400
第12⻚（共41⻚）
49．统计学中通常认为服从于正态分布N（µ，σ2）的随机变量X 只取[µ﹣3σ，µ+3σ]中的值，简称为3σ原
则．假设某⼚有⼀条包装⻝盐的⽣产线，正常情况下⻝盐质量服从正态分布N（500，σ2）（单位：g），
某天⽣产线上的质检员随机抽取了⼀包⻝盐，称得其质量⼩于488g，他⽴即判断⽣产线出现了异常，要
求停产检修．由此可以得到σ的最⼤值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
50．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤1）＝0.3，则P（X＜3）＝（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
51．中⼼极限定理是概率论中的⼀个重要结论．根据该定理，若随机变量ξ～B（n，p），则当np＞5 且n（1
﹣p）＞5 时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与⽅差分别与η的均值与⽅差近似
相等．现投掷⼀枚质地均匀分布的骰⼦2500 次，利⽤正态分布估算骰⼦向上的点数为偶数的次数少于
1300 的概率为（
）
附：若η～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜η＜µ+σ）≈0.6827，P（µ﹣2σ＜η＜µ+2σ）≈0.9545，P（µ﹣3σ＜η＜µ+3
σ）≈0.9973
A．0.0027
B．0.5
C．0.8414
D．0.9773
第13⻚（共41⻚）
52．王先⽣每天8 点上班，他通常开私家⻋加步⾏或乘坐地铁加步⾏．私家⻋路程近⼀些，但路上经常拥
堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（38，72），从停⻋场步⾏到单位要6 分钟；王先⽣从家到
地铁站需要步⾏5 分钟，乘坐地铁畅通，但路线较⻓，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（44，
22），下地铁后从地铁站步⾏到单位要5 分钟，从统计⻆度出发，关于两种上班⽅式，下列说法正确的个
数是（
）个．
①若7：00 出⻔，则王先⽣开私家⻋上班不会迟到
②若7：02 出⻔，则王先⽣开私家⻋上班不迟到的可能性更⼤
③若7：06 出⻔，则王先⽣乘坐地铁上班不迟到的可能性更⼤
④若7：12 出⻔，则王先⽣乘坐地铁⼏乎不可能上班不迟到
参考数据：若Z～N（µ，σ2），则P（|Z﹣µ|＜σ）≈0.6826，P（|Z﹣µ|＜2σ）≈0.9544，P（|Z﹣µ|＜3σ）≈0.9974
A．1
B．2
C．3
D．4
53．某科研院校培育⼤枣新品种，新培育的⼤枣单果质量ξ（单位：g）近似服从正态分布N（90，4），现有
该新品种⼤束10000 个，估计单果质量在（88，94）范围内的⼤枣个数约为（
）
附：若X～N（µ，σ2），P（µ﹣σ＜X＜µ+σ）＝0.6826，P（µ﹣2σ＜X＜µ+2σ）＝0.9544，P（µ﹣3σ＜X＜µ+3
σ）＝0.9974．
A．8400
B．8185
C．9974
D．9987
54．已知某市⾼三共有20000 名学⽣参加⼆模考试，统计发现他们的数学分数X 近似服从正态分布N（105，
100），据此估计，该市⼆模考试数学分数X 介于75 到115 之间的⼈数为（
）
参考数据：若X～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜X＜µ+σ）≈0.6827，P（µ﹣2σ＜X＜µ+2σ）≈0.9545，P（µ﹣3
σ＜X＜µ+3σ）≈0.9973．
A．13272
B．16372
C．16800
D．19518
第14⻚（共41⻚）
55．已知随机变量ξ～N（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则
的最⼩值为（
）
A．9
B．
C．4
D．6
56．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）＝0.032，则P（﹣2≤ξ≤2）等于（
）
A．0.484
B．0.628
C．0.936
D．0.968
57．已知随机变量X 服从正态分布N（0，σ2），若
，则P（|X|≤a）＝（
）
A．
B．
C．
D．
58．若随机变量ξ∼N（x，y），且
，则（
）
A．y＜4
B．y＝4
C．x＜4
D．x＝4
59．设随机变量X 服从正态分布N（3，4），若P（X＞a﹣2）＝P（X＜6﹣3a），则a＝（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．
D．1
60．已知随机变量X 服从N（0.5，σ2），若P（X≤0.3）＝0.3，则P（0.3≤X≤0.7）＝（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
第1⻚（共43⻚）
题型21：概率分布解答题综合
1．⽻⽑球是⼀项隔着球⽹，使⽤⻓柄⽹状球拍击打平⼝端扎有⼀圈⽻⽑的半球状软⽊的室内运动，某学校
为了解学⽣对⽻⽑球的喜爱情况，随机调查了200 名学⽣，统计得到如下2×2 列联表：
喜欢
不喜欢
总计
男⽣
40
60
100
⼥⽣
80
20
100
总计
120
80
200
（1）依据⼩概率值α＝0.001 的独⽴性检验，能否认为“是否喜欢⽻⽑球”与性别有关联？
（2）为了增强学⽣学习⽻⽑球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学⽣中按性别⽤分层抽样的⽅法抽取6
⼈参加⽻⽑球集训，再从这6 ⼈中随机抽取3 ⼈参加⽻⽑球⽐赛，记随机变量X 为这3 ⼈中⼥⽣的⼈数，
求X 的分布列和数学期望．
附：
，其中n＝a+b+c+d．
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
第2⻚（共43⻚）
2．春节临近，为了吸引顾客，我市某⼤型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C 三个抽奖项⽬，
它们之间相互不影响，每个项⽬每位顾客⾄多参加⼀次，项⽬A 中奖的概率是
，项⽬B 和C 中奖的
概率都是
．
（1）若规定每位顾客等可能地参加三个项⽬中的⼀个项⽬．求该顾客中奖的概率．
（2）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C 三个项⽬，如果A、B、C 三个项⽬全部中奖，
顾客将获得100 元奖券；如果仅有两个项⽬中奖，他将获得50 元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获
得奖券⾦额的期望；
3．《中国诗词⼤会》是中央⼴播电视总台联合中华⼈⺠共和国教育部、国家语⾔⽂字⼯作委员会共同推出
的语⾔⽂化类节⽬，节⽬以诗词描绘中国精神，⽤诗意书写时代篇章，尽展中华⺠族历史之美、⼭河之
美、⽂化之美．随着《中国诗词⼤会》的播出，赣州市某学校掀起了学习唐诗和宋词的热潮，该校团委
组织了校内诗词⼤会，赛前准备了两组题，第⼀组题中含有2 道唐诗和3 道宋词，第⼆组题中含有6 道
唐诗和4 道宋词．
（1）先等可能地抽取⼀组题，再从这组题中抽出2 道题，若抽出的两道题恰是1 道唐诗和1 道宋词，求
这两道题出⾃第⼀组题的概率；
（2）某同学从两组题中按照分层抽样共抽取3 道题，记X 为抽到的是宋词的题数，求X 的分布列及数
学期望．
第3⻚（共43⻚）
4．为进⼀步培养⾼中⽣数学学科核⼼素养，提⾼创造性思维和解决实际问题的能⼒，某省举办⾼中⽣数学
建模竞赛现某市从M，N 两个学校选拔学⽣组队参赛，M，N 两个学校学⽣总数分别为1989 ⼈、3012 ⼈．两
校分别初选出4 ⼈、6 ⼈⽤于组队参赛，其中两校选拔的⼈中各有两⼈有⽐赛经验，按照分层抽样从M，
N 两个学校初选⼈中共选择5 名学⽣组队参赛，设该队5 ⼈中有参赛经验的⼈数为X．
（1）求随机变量X 的分布列及数学期望E（X）；
（2）各市确定5 ⼈组队参赛，此次⽐赛规则是：⼩组内⾃⾏指定⼀名同学起稿建⽴模型，之后每轮进
⾏两⼈单独交流．假设某队决定由A 起稿建⽴模型，A 从其他四名成员中选择⼀⼈B 进⾏交流，结束后
把成果交由B，然后B 再从其他包括A 在内的四个成员中选择⼀⼈进⾏交流⋯⋯每⼀个环节只能是两名
成员单独交流，每个⼩组有20 次交流机会，最后再进⼊评委打分环节，现该市选定甲、⼄、丙、丁、戊
五⼈参赛，其中甲、⼄两⼈有参赛经验．在每次交流中，甲、⼄被同伴选为交流对象的概率均为
，丙、
丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，⽐赛由甲同学起稿建⽴模型．
①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n 次交流中甲被选择的概率（n≤20，n∈N+）．
5．增强⻘少年体质，促进⻘少年健康成⻓，是关系国家和⺠族未来的⼤事．某⾼中为了解本校⾼⼀年级学
⽣体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在[20，80]（单位：分钟）的50 名学⽣，统计他们每天体育锻
炼的时间作为样本并绘制成如图的频率分布直⽅图，已知样本中体育锻炼时间在[60，70）的有5 名学⽣．
（1）求a，b 的值；
（2）若从样本中体育锻炼时间在[60，80]的学⽣中随机抽取4 ⼈，设X 表示在[70，80]的⼈数，求X 的
分布列和均值．
第4⻚（共43⻚）
6．某市共有教师1000 名，为了解⽼师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个⼈，现随机抽取了10 名教
师利⽤“学习APP”学习的时⻓数据（单位：⼩时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35．学习时⻓
不低于80 ⼩时的教师评为“研修先进个⼈”．
（1）现从该样本中随机抽取3 名教师的学习时⻓，求这3 名教师中恰有1 名教师是研修先进个⼈的概
率．
（2）若该市所有教师的学习时⻓X 近似地服从正态分布N（µ，σ2），其中σ＝10，µ为抽取的10 名教师
学习时⻓的样本平均数，利⽤所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时⻓不低于50 ⼩时的教师的⼈数（结果四舍五⼊到整数）；
②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ名教师的学习时⻓在[50，70]内，则当ξ的均值不⼩于32 时，n
的最⼩值为多少？
附：若随机变量X 服从正态分布N（µ，σ2），则P（µ﹣σ≤X≤µ+σ）≈0.6827，P（µ﹣2σ≤X≤µ+2σ）≈0.9545，
P（µ﹣3σ≤X≤µ+3σ）≈0.9973．
7．市场供应的某种商品中，甲⼚产品占60%，⼄⼚产品占40%，甲⼚产品达到优秀等级的概率为90%，⼄
⼚产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部⻔对该商品进⾏质量检测．
（1）若质检部⻔在该市场中随机抽取1 件该商品进⾏检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；
（2）若质检部⻔在该市场中随机抽取4 件该商品进⾏检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，
求X 的分布列和数学期望．
第5⻚（共43⻚）
8．某商场为调查⼿机卖场各品牌⼿机在晚上19：30 到21：00 时段的销售情况，随机抽取了某⼀周该时段
的销售数据，并要求每个品牌只抽取⼀个款式的⼿机，且不考虑价格波动．
⼿机品牌
步步⾼
三星
华为
苹果
vivo
销售总额（万元）
1.92
1.8
4.8
4.8
2.52
销售量
4
3
10
6
7
销售利润率
0.1
0.07
0.06
0.05
0.08
销售利润率是指，⼀部⼿机销售价格减去出⼚价格得到的利润与该⼿机销售价格的⽐值．
（1）从该公司本周该时段卖出的⼿机中随机选⼀部，求这部⼿机利润率⾼于0.07 的概率；
（2）从该公司本周该时段卖出的销售单价为4800 元的⼿机中随机选取2 部，求这两部⼿机的利润率不
同的概率；
（3）销售⼀部步步⾼⼿机获利x1元，销售⼀部三星⼿机获利x2元，…，销售⼀部vivo ⼿机获利x5元，
依据上表统计数据，随机销售⼀部⼿机获利的期望为E（x），设
，试判断E（x）
与的⼤⼩．
第6⻚（共43⻚）
9．某学校为了激发学⽣的体育运动兴趣，助⼒全⾯健康的⽣活和学习，组织全体学⽣开展以体育锻炼为主
题的实践活动，现将该学校1500 名学⽣⼀周的体育运动锻炼时间（单位：⼩时）统计如下表所示，其中
每周的锻炼时间在6 ⼩时以上（包含6 ⼩时）的有975 ⼈．
每周锻炼时间（单位：⼩时）
[2，4）
[4，6）
[6，8）
[8，10）
[10，12]
频率
0.2
m
0.3
n
0.1
（1）为了了解学⽣参与活动的情况，从每周锻炼时间在[4，6），[6，8），[8，10）三组内的学⽣中，采取
分层抽样的⽅法抽取了14 ⼈，现从这14 ⼈中随机抽取3 ⼈，记每周锻炼时间在[6，8）内的学⽣⼈数为
X，求X 的分布列和数学期望；
（2）以样本的频率估计概率，从每周锻炼时间在[4，10）内的学⽣中随机抽取20 ⼈，这20 ⼈中每周锻
炼时间在[8，10）内的学⽣最可能有多少⼈？
10．某⼿机App 为了答谢新⽼⽤户，设置了开⼼⼤转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：
每次抽奖中奖的概率为p，n 次抽奖仍未中奖则下⼀次抽奖时⼀定中奖．每次中奖时有
的概率中积分
奖，有
的概率中现⾦奖．若某⼀次中奖为积分奖，则下⼀次抽奖必定中现⾦奖，抽到现⾦奖后抽奖结
束．
（1）若n＝2，
，试求直到第3 次才抽到现⾦奖的概率；
（2）若n＝19，p＝0.01，X 表示抽到现⾦奖时的抽取次数．
（ⅰ）求X 的分布列（⽤p 表示即可）；
（ⅱ）求X 的数学期望E（X）．（0.9918≈0.8345，结果四舍五⼊精确到个位数）
第7⻚（共43⻚）
11．镇海中学篮球训练营有⼀项三⼈间的传球训练．训练规则是确定⼀⼈第⼀次将球传出，每次传球时，
传球者都等可能地将球传给另外两个⼈中的任何⼀⼈，每次必须将球传出．若刚好抽到甲⼄丙三个⼈相
互做传球训练，且第1 次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲⼿中的概率为pn，n＝1，2，3，…
（1）写出p1，p2，p3的值；
（2）求pn+1与pn 的关系式（n∈N*），并求pn；
（3）第1 次仍由甲将球传出，若⾸次出现连续两次球没在甲⼿中，则传球结束，记此时的传球次数为X，
求X 的期望．
12．某植株培育基地培育了⼀种新的植株并在种植园⾥⼤量种植，为了了解植株⽣⻓⾼度的情况，随机抽
取了40 株植株作为样本，测量出它们的⾼度（单位：cm），由此得到如图所示的频率分布直⽅图（分组
区间为[15，25]，（25，35]，（35，45]，（45，55]，（55，65]）．
（1）根据频率分布直⽅图，求m 的值及⾼度超过45cm 的样本植株数量；
（2）在上述抽取的40 株植株中任取2 株，设X 为⾼度不超过45cm 的植株数量，求X 的分布列及期望．
第8⻚（共43⻚）
13．某公司⽣产某种⼤型机器配件，根据以往⽣产情况统计，产品为⼀等品的概率为0.6，每件利润4 千元，
产品为⼆等品的概率为0.3，每件利润2 千元，其余为不合格品，⽣产出⼀件不合格品亏损1 千元．已知
公司的现有⽣产能⼒每天只能⽣产两件机器配件．
（1）求该公司每天⽣产的两件配件中含有不合格品的概率；
（2）求该公司每⽉（按30 天算）所获利润ξ（千元）的数学期望；
（3）若该公司要增加每天的⽣产量，则需增加投资，若每天产量增加x 件，其成本也将相应提⾼（3.4x
﹣lnx）千元，请从公司决策者的⻆度判断是否应该增加公司每天的产量，并说明理由．（参考数据：ln2
≈0.69）
14．现有编号为1，2，3 的三个⼝袋，其中1 号⼝袋内装有两个1 号球，⼀个2 号球和⼀个3 号球；2 号⼝
袋内装有两个1 号球，⼀个3 号球；3 号⼝袋内装有三个1 号球，两个2 号球；第⼀次先从1 号⼝袋内
随机抽取1 个球，将取出的球放⼊与球同编号的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，
（1）在第⼀次抽到3 号球的条件下，求第⼆次抽到1 号球的概率；
（2）求第⼆次取到2 号球的概率．
第9⻚（共43⻚）
15．单位⾯积穗数、穗粒数、千粒重是影响⼩⻨产量的主要因素，某⼩⻨品种培育基地在⼀块试验⽥种植
了⼀个⼩⻨新品种，收获时随机选取了100 个⼩⻨穗，对每个⼩⻨穗上的⼩⻨粒数进⾏统计得到如表统
计表：
穗粒数
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
穗数
4
10
56
22
8
其中同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作代表．从收获的⼩⻨粒中随机选取5 组，每组1000 粒，分别
称重，得到这5 组的质量（单位：g）分别为：38，46，42，40，44．
（1）根据抽测，这块试验⽥的⼩⻨亩穗数为40 万，试估计这块试验⽥的⼩⻨亩产量（结果四舍五⼊到
1kg）；
公式：亩产量＝亩穗数×样本平均穗粒数×
．
（2）已知该试验⽥穗粒数X 近似服从正态分布N（µ，σ2），其中µ近似为样本平均数，σ2近似为样本⽅
差．若⼩⻨穗粒数不低于28 粒的穗数超过总体的80%，则称该⼩⻨品种为优质⼩⻨品种，试判断该试
验⽥中的⼩⻨品种是否为优质⼩⻨品种．
参考数据：若X 近似服从正态分布N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜X≤µ+σ）≈0.6827．
第10⻚（共43⻚）
16．为了推动“体育助⼒乡村振兴”，丰富⼈⺠群众的⽂化⽣活，某地决定举办“村超”⾜球友谊赛．⽐赛邀
请本地两⽀村⾜球队（实⼒相当）和外地两⽀村⾜球队（实⼒相当）参加．赛事规定：（1）⽐赛分为两
个阶段，第⼀阶段：四⽀球队分成两组，每组进⾏⼀场⽐赛；第⼆阶段：第⼀阶段的胜者之间、负者之
间各进⾏⼀场⽐赛，前者决出第⼀、⼆名，后者决出第三、四名．（2）第⼀阶段分组⽅案：采取抽签法，
每组本地⼀⽀球队、外地⼀⽀球队．已知各场⽐赛的胜率和上座率均互相独⽴，单场⽐赛的胜率和上座
率如下：
胜率
本地队
外地队
本地队
0.5
0.6
外地队
0.4
0.5
上座率
本地队
外地队
本地队
0.8
1
外地队
1
0.8
（1）第⼆阶段两场⽐赛上座率之和记为X，求X 的分布列和数学期望E（X）；
（2）求本地⾜球队获得第⼀名的概率．
17．甲、⼄两⼈进⾏知识答题⽐赛，每答对⼀题加20 分，答错⼀题减20 分，且赛前两⼈初始积分均为60
分，两⼈答题相互独⽴．已知甲答对每题的概率均为p，⼄答对每题的概率均为q（0＜p＜q＜1），且某
道题两⼈都答对的概率为
，都答错的概率为
．
（1）求p，q 的值；
（2）⼄回答3 题后，记⼄的积分为X，求X 的分布列和期望E（X）．
第11⻚（共43⻚）
18．已知篮球⽐赛中，得分规则如下：3 分线外侧投⼊可得3 分，踩线及3 分线内侧投⼊可得2 分，不进得
0 分；经过多次试验，某⽣投篮100 次，有25 个是3 分线外侧投⼊，25 个是踩线及3 分线内侧投⼊，其
余不能⼊篮，且每次投篮为相互独⽴事件．
（1）求该⽣在4 次投篮中恰有三次是3 分线外侧投⼊的概率；
（2）求该⽣两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望．
19．在⼀场乒乓球赛中，甲、⼄、丙、丁四⼈⻆逐冠军．⽐赛采⽤“双败淘汰制”，具体赛制为：⾸先，四⼈
通过抽签两两对阵，胜者进⼊“胜区”，败者进⼊“败区”；接下来，“胜区”的两⼈对阵，胜者进⼊最后决赛；
“败区”的两⼈对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋
级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两⼈进⾏最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第
⼆名．甲对阵⼄、丙、丁获胜的概率均为p（0＜p＜1），且不同对阵的结果相互独⽴．
（1）若p＝0.6，经抽签，第⼀轮由甲对阵⼄，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的⽐赛场数的数学期望；
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采⽤“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直⾄决
出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
第12⻚（共43⻚）
20．为发展体育运动增强学⽣体质，甲⼄两班各选3 名同学进⾏乒乓球单打⽐赛，3 场⽐赛每⼈参加⼀场⽐
赛，各场⽐赛互不影响，每场⽐赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0．据统计可知甲班3 名参
赛学⽣的情况如下表：
学⽣
A
B
C
获胜概率
0.4
0.6
0.8
获胜积分
6
5
4
（1）求甲班⾄少获胜2 场的概率；
（2）记甲班获得积分为X，求X 的分布列与数学期望．
21．教练统计了甲12 次投篮训练的投篮次数和⼄8 次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
⼄
71
81
73
73
71
73
85
73
已知甲12 次投篮次数的⽅差
，⼄8 次投篮次数的⽅差
．
（1）求这20 次投篮次数的平均数与⽅差s2．
（2）甲、⼄两⼈投篮，每次由其中⼀⼈投篮，规则如下：若命中则此⼈继续投篮，若未命中则换为对⽅
投篮，⽆论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为
，⼄每次投篮的命中率均为
．已知第⼀次
投篮的⼈是甲，且甲、⼄总共投篮了3 次，X 表示甲投篮次数，求X 的分布列与期望．
第13⻚（共43⻚）
22．将⼀枚质地均匀的骰⼦先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为a，b，设[x]表示不超过实数x 的最
⼤整数，
的值为随机变量X．
（1）求在X＞0 的条件下，
的概率；
（2）求X 的分布列及其数学期望．
23．甲、⼄两⼈进⾏射击⽐赛，每场⽐赛中，甲、⼄各射击⼀次，甲、⼄每次⾄少打出8 环．根据统计资料
可知，甲打出8 环、9 环、10 环的概率分别为0.6，0.3，0.1，⼄打出8 环、9 环、10 环的概率分别为0.7，
0.2，0.1，且甲、⼄两⼈射击的结果相互独⽴．
（1）在⼀场⽐赛中，求⼄打出的环数少于甲打出的环数的概率；
（2）若进⾏三场⽐赛，其中X 场⽐赛中甲打出的环数多于⼄打出的环数，求X 的分布列与数学期望．
第14⻚（共43⻚）
24．某⾼校“植物营养学专业”学⽣将鸡冠花的株⾼增量作为研究对象，观察⻓效肥和缓释肥对农作物的影
响情况．其中⻓效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3 组．观察⼀段时间后，
分别从第1，2，3 组各随机抽取20 株鸡冠花作为样本，得到相应的株⾼增量数据整理如下表：
株⾼增量（单位：厘⽶）
（4，7]
（7，10]
（10，13]
（13，16]
第1 组鸡冠花样本株数
4
10
4
2
第2 组鸡冠花样本株数
3
8
8
1
第3 组鸡冠花样本株数
7
5
7
1
假设⽤频率估计概率，且所有鸡冠花⽣⻓情况相互独⽴．
（1）从第1 组抽取的20 株鸡冠花样本中随机抽取2 株，求⾄少有1 株鸡冠花的株⾼增量在（7，10]内
的概率；
（2）分别从第1 组，第2 组，第3 组的鸡冠花中各随机抽取1 株，记这3 株鸡冠花中恰有X 株的株⾼增
量在（7，10]内，求X 的分布列和数学期望E（X）；
（3）⽤“ξk＝1”表示第k 组鸡冠花的株⾼增量在（4，10]内，“ξk＝0”表示第k 组鸡冠花的株⾼增量在（10，
16]内，k＝1，2，3．⽐较⽅差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3）的⼤⼩，并说明理由．
第15⻚（共43⻚）
25．已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布N（220，202）．其电压通常有3 种状态：①不超
过200V；②在200V～240V 之间；③超过240V．在上述三种状态下，该机器⽣产的零件为不合格品的概
率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器⽣产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器⽣产的零件中随机抽取n（n≥2）件，记其中恰有2 件不合格品的概率为pn，求p 取得最
⼤值时n 的值．
附：若Z～N（µ，σ2）取P（µ﹣σ＜Z＜µ+σ）＝0.68，P（µ﹣2σ＜Z＜µ+2σ）＝0.95．
第1⻚（共82⻚）
题型22：变量的相关系数
1．鸢是鹰科的⼀种⻦，《诗经•⼤雅•旱麓》⽈“鸢⻜戾天，⻥跃于渊”．鸢尾花因花瓣形如鸢尾⽽得名（图1），
寓意鹏程万⾥、前途⽆量．通过随机抽样，收集了若⼲朵某品种鸢尾花的花萼⻓度和花瓣⻓度（单位：
cm），绘制对应散点图（图2）如下：
计算得样本相关系数为0.8642，利⽤最⼩⼆乘法求得相应的经验回归⽅程为＝0.7501x+0.6105．根据以
上信息，如下判断正确的为（
）
A．花萼⻓度和花瓣⻓度不存在相关关系
B．花萼⻓度和花瓣⻓度负相关
C．花萼⻓度为7cm 的该品种鸢尾花的花瓣⻓度的平均值约为5.8612cm
D．若选取其他品种鸢尾花进⾏抽样，所得花萼⻓度与花瓣⻓度的样本相关系数⼀定为0.8642
2．下列关于成对数据的统计说法错误的有（
）
A．当⼀个变量的值增加时，另⼀变量的相应值呈减少趋势，则称这两个变量负相关
B．样本相关系数r 的绝对值⼤⼩可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
C．通过分析残差可判断模型刻画数据的效果，及判断原始数据中是否存在可疑数据
D．决定系数R2越⼤，模型的拟合效果越差
第2⻚（共82⻚）
3．已知r1表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，r2 表示变量U 与V 之间的线性相关系数，且r1＝0.837，
r2＝﹣0.957，则（
）
A．变量X 与Y 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性
B．变量X 与Y 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性
C．变量U 与V 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性
D．变量U 与V 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性
4．对变量x，y 由观测数据得散点图1；对变量y，z 由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（
）
A．变量x 与y 正相关，x 与z 正相关
B．变量x 与y 正相关，x 与z 负相关
C．变量x 与y 负相关，x 与z 正相关
D．变量x 与y 负相关，x 与z 负相关
5．对变量x，y 有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）
（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（
）
A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
第3⻚（共82⻚）
题型23：样本相关系数
6．对四组数据进⾏统计，获得以下散点图，关于其相关系数的⽐较，正确的是（
）
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1
B．r4＜r2＜0＜r1＜r3
C．r4＜r2＜0＜r3＜r1
D．r2＜r4＜0＜r1＜r3
7．对两个变量x，y 进⾏线性相关性检验，得线性相关系数r1＝﹣0.9872，对两个变量u，v 进⾏线性相关性
检验，得线性相关系数r2＝0.9384，则下列判断正确的是（
）
A．变量x 与变量y 正相关，变量u 与变量v 负相关，变量x 与变量y 的线性相关性更强
B．变量x 与变量y 负相关，变量u 与变量v 正相关，变量x 与变量y 的线性相关性更强
C．变量x 与变量y 正相关，变量u 与变量v 负相关，变量u 与变量v 的线性相关性更强
D．变量x 与变量y 负相关，变量u 与变量v 正相关，变量u 与变量v 的线性相关性更强
8．在⼀元线性回归模型中，设变量X 和变量Y 的样本相关系数为r1，决定系数为
，变量U 和变量V 的
样本相关系数为r2，决定系数为
，且r1＝0.778，r2＝﹣0.962，则（
）
A．X 和Y 之间呈正线性相关关系，且
B．X 和Y 之间呈负线性相关关系，且
C．U 和V 之间呈负线性相关关系，且
D．U 和V 之间呈正线性相关关系，且
第4⻚（共82⻚）
9．在⼀组样本数据（x1，y2），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等）的散点图中，若所有
样本点（xi，y1）（i＝1，2，…，n）都在直线
上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A．﹣1
B．0
C．
D．1
10．对变量x，y 有观测数据（xi，yi）（i∈N*），得散点图1；对变量u，v 有观测数据（ui，vi）（i∈N*），得
散点图2．r1表示变量x，y 之间的线性相关系数，r2表示变量u，v 之间的线性相关系数，则下列说法正
确的是（
）
A．变量x 与y 呈现正相关，且|r1|＜|r2|
B．变量x 与y 呈现负相关，且|r1|＞|r2|
C．变量x 与y 呈现正相关，且|r1|＞|r2|
D．变量x 与y 呈现负相关，且|r1|＜|r2|
11．对变量x，y 有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10），得散点图1；对变量u，v 有观测数据（ui，vi）（i
＝1，2，⋯，10），得散点图2．r1表示变量x，y 之间的样本相关系数，r2表示变量u，v 之间的样本相关
系数，则（
）
A．﹣1＜r1＜r2＜0
B．﹣1＜r2＜r1＜0
C．0＜r1＜r2＜1
D．0＜r2＜r1＜1
第5⻚（共82⻚）
12．在⼀组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等）的散点图中，若所有
样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线
上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A．﹣1
B．1
C．
D．
13．在⼀组样本数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）（n⩾2，x1，x2，⋯，xn 不全相等）的散点图中，若所
有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n）都在直线y＝﹣2x+1 上，则这组样本数据的相关系数为（
）
A．2
B．﹣2
C．﹣1
D．1
14．下列命题中，真命题的是（
）
A．若回归⽅程
，则变量y 与x 正相关
B．线性回归分析中相关指数R2⽤来刻画回归的效果，若R2值越⼩，则模型的拟合效果越好
C．若样本数据x1，x2，⋯，x10的⽅差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x10﹣1 的标准差为4
D．⼀个⼈连续射击三次，若事件“⾄少击中两次”的概率为0.7，则事件“⾄多击中⼀次”的概率为0.3
15．关于（x，y）的⼀组样本数据（1，﹣1），（2，﹣3），（3.5，﹣6），（5，﹣9），（6，﹣11），（7.5，﹣1.4），（9，
﹣17），…，（29，﹣57），（30.5，﹣60）的散点图中，所有样本点均在直线y＝﹣2x+1 上，则这组样本数据
的样本相关系数r 为（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣2
16．下列有关样本相关系数的说法不正确的是（
）
A．相关系数⽤来衡量x 与y 之间的线性相关程度
B．|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越⼩
C．|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越⼤
D．|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越⼤
第6⻚（共82⻚）
题型24：线性回归⽅程
17．⾊差和⾊度是衡量⽑绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检⼀批产品测得如下数据：
⾊差x
21
23
25
27
⾊度y
15
18
19
20
已知该产品的⾊度y 和⾊差x 之间满⾜线性相关关系，且
，现有⼀对测量数据为（30，23.6），
则该数据的残差为（
）
A．0.96
B．﹣0.8
C．0.8
D．﹣0.96
18．根据x 与y 之间的⼀组数据求得两个变量之间的经验回归⽅程为＝1.5x+0.8，已知数据x 的平均值为
1.2，则数据y 的平均值为（
）
A．2.6
B．2.3
C．1.8
D．1.5
19．⾊差和⾊度是衡量⽑绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检⼀批产品测得数据如如表：已知该产品的⾊
度y 和⾊差x 之间满⾜线性相关关系，且＝0.8x+ ，现有⼀组测量数据为（31，22.4），则该数据的残
差为（
）
⾊差x
22
24
26
28
⾊度y
16
19
20
21
A．1.4
B．1.2
C．﹣1.2
D．﹣1.4
第7⻚（共82⻚）
20．根据5 对数据A（1，10），B（2，12），C（3，m），D（4，18），E（5，20）绘制散点图，其样本点呈直
线趋势，且经验回归⽅程为
，则m＝（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
21．具有线性相关关系的变量x，y 有⼀组观测数据（xi，yi）（xi＝2i﹣1，i＝1，2，…，5），其经验回归⽅程
为
，则
＝（
）
A．40
B．32
C．8
D．12.8
22．⽤模型y＝aekx 拟合⼀组数（xi，yi）（i＝1，2，…，2024），若x1+x2+…+x2024＝2024，y1y2…y2024＝e20240，设
z＝lny，得变换后的线性回归⽅程为
，则ak＝（
）
A．20240
B．6e4
C．4e6
D．2024
23．根据3 对数据A（1，7），B（3，m），C（5，16）绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归⽅
程为Y＝2.25X+4.25，则m＝（
）
A．11
B．10
C．9
D．8
第8⻚（共82⻚）
24．在⼀段时间内，分5 次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的⼀组数据，绘制散点图如
图所示，利⽤最⼩⼆乘法求得相应的经验回归⽅程为
根据上述信息，如下判断正确的是
（
）
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
m
3
A．商品的价格和需求量存在正相关关系
B．y 与x 不具有线性相关关系
C．m＝6
D．价格定为1.9 万元，预测需求量⼤约为6.25t
25．2024 海峡两岸各⺠族欢度“三⽉三”暨福籽同⼼爱中华•福建省第⼗⼀届“三⽉三”畲族⽂化节活动在宁德
隆重开幕．海峡两岸各⺠族同胞⻬聚于此，与当地群众共同欢庆“三⽉三”，畅叙两岸情．在活动现场，
为了解不同时段的⼊⼝游客⼈流量，从上午10 点开始第⼀次向指挥中⼼反馈⼊⼝⼈流量，以后每过⼀
个⼩时反馈⼀次．指挥中⼼统计了前5 次的数据（i，yi），其中i＝1，2，3，4，5，yi 为第i 次⼊⼝⼈流
量数据（单位：百⼈），由此得到y 关于i 的回归⽅程
，已知
，根据回归⽅程
（参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3），可预测下午4 点时⼊⼝游客的⼈流量为（
）
A．9.6
B．11.0
C．11.4
D．12.0
第9⻚（共82⻚）
26．具有线性相关关系的变量x，y 的样本数据如下：
x
﹣2
﹣4
﹣6
﹣8
y
17.4
13
8.2
5
其回归直线⽅程为
，则回归直线经过（
）
A．第⼀、⼆、三象限
B．第⼆、三、四象限
C．第⼀、⼆、四象限
D．第⼀、三、四象限
27．⾊差和⾊度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的⾊度y 和⾊差x 之间满⾜线性相关关系，
且
，现有⼀对测量数据为（30，22.8），则该数据的残差为（
）
A．0.6
B．0.4
C．﹣0.4
D．﹣0.6
28．下列说法中，正确的是（
）
A．已知⼀系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3…）⼀个经验回归⽅程
，若样本点（m，3）与（2，
n）的残差相等，则3m+n＝11
B．已知随机变量ζ～N（0，σ2），若P（ζ＞2）＝0.2，则P（﹣2≤ζ≤2）＝0.4
C．将5 名同学分到三个组开展活动，每个组⾄少1 名，则不同分配⽅法数是240
D．若随机事件A，B 满⾜：
，
，
，则事件A 与B 相互独⽴
第10⻚（共82⻚）
29．某学习⼩组对⼀组数据（xi，yi）
（i＝1，2，3，…，7）进⾏回归分析，甲同学⾸先求出回归直线⽅程
，
样本点的中⼼为（2，m）．⼄同学对甲的计算过程进⾏检查，发现甲将数据（4，6）误输成（6，4），将
这两个数据修正后得到回归直线⽅程
，则实数k＝（
）
A．
B．
C．
D．
30．如下表给出5 组数据（x，y），为选出4 组数据使其线性相关程度最⼤，且保留第1 组数据（5，3），则
应去掉（
）
i
1
2
3
4
5
xi
5
4
3
2
﹣4
yi
3
2
7
1
﹣6
A．（4，2）
B．（3，7）
C．（2，1）
D．（﹣4，﹣6）
31．已知某⼀家旗舰店近五年“五⼀”⻩⾦周期间的成交额如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号t
1
2
3
4
5
成交额y（万元）
50
60
70
80
100
若y 关于t 的线性回归⽅程为
，则根据回归⽅程预测该店2023 年“五⼀”⻩⾦周的成交额是
（
）
A．84 万元
B．96 万元
C．108 万元
D．120 万元
第11⻚（共82⻚）
32．下列说法中正确的个数为（
）个．
①对⽴事件⼀定是互斥事件
②在经验回归直线⽅程
中，当解释变量x 每增加⼀个单位时，预报变量减少0.1 个单位
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
④在回归分析模型中，若相关指数R2越⼩，则残差平⽅和越⼤，模型的拟合效果越好
A．1
B．2
C．3
D．4
33．某市物价部⻔对某商品在5 家商场的售价x（元）及其⼀天的销售量y（件）进⾏调查，得到五对数据
（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5），经过分析、计算，得
，
，x，y 之间的经验回归⽅程是：
，
则相应于点（9.5，10）的残差为（
）
A．0.4
B．1.5
C．8
D．9.6
题型25：独⽴性检验
34．某⾼校为研究学⽣每周平均体育运动时间进⾏了⼀次抽样调查，已知被抽取的男、⼥⽣⼈数相同．调
查显示：抽取的男⽣中每周平均体育运动时间超过4 ⼩时的⼈数占⽐为
，抽取的⼥⽣中每周平均体育
运动时间超过4 ⼩时的⼈数占⽐为
，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学⽣每周
平均体育运动时间与性别有关．则被抽取的男⽣⼈数⾄少为（
）
附：
P（x2≥k）
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
A．60
B．65
C．70
D．75
第12⻚（共82⻚）
35．为了考查⼀种新疫苗预防某X 疾病的效果，研究⼈员对⼀地区某种动物进⾏试验，从该试验群中随机
进⾏了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2 倍，接种且发病占接种的
，没接种且
发病的占没接种的
，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为接种该疫苗与预防某
X 疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物⾄少有（
）只．
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
A．35
B．36
C．37
D．38
36．某学校在⼀次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（
）
男⽣
⼥⽣
篮球迷
30
15
⾮篮球迷
45
10
附：
，
P（χ2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
A．没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
第13⻚（共82⻚）
37．某医疗研究机构为了解打鼾与患⼼脏病的关系，运⽤2×2 列联表进⾏独⽴性检验，经计算χ2≈6.803，则
所得到的统计学结论是认为打鼾与患⼼脏病有关系的把握约为（
）
P（χ2≥x0）
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．99.5%
B．99%
C．0.1%
D．0.5%
38．某课外兴趣⼩组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的
分类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独⽴性检验的⼩概率值和相应的临界值，知x0.01＝6.635，
则下列判断正确的是（
）
A．若某⼈数学成绩优秀，那么他为男⽣的概率是0.010
B．每100 个数学成绩优秀的⼈中就会有1 名是⼥⽣
C．数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不⼤于0.01
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别⽆关
39．某疾病预防中⼼随机调查了339 名50 岁以上的公⺠，研究吸烟习惯与慢性⽓管炎患病的关系，调查数
据如下表：
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性⽓管炎者
121
162
283
患慢性⽓管炎者
13
43
56
总计
134
205
339
假设H0：患慢性⽓管炎与吸烟没有关系，即它们相互独⽴．
通过计算统计量χ2，得χ2≈7.468，根据χ2分布概率表：
P（χ2≥6.635）≈0.01，P（χ2≥5.024）≈0.025，
P（χ2≥3.841）≈0.05，P（χ2≥2.706）≈0.1．
给出下列3 个命题，其中正确的个数是（
）
①“患慢性⽓管炎与吸烟没有关系”成⽴的可能性⼩于5%②有99%的把握认为患慢性⽓管炎与吸烟有关
③χ2分布概率表中的0.05、0.01 等⼩概率值在统计上称为显著性⽔平，⼩概率事件⼀般认为不太可能发
⽣
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
第14⻚（共82⻚）
40．设研究某两个属性变量时，作出零假设H0并得到2×2 列联表，计算得χ2＞χ0.052，则下列说法正确的是
（
）
A．有99.5%的把握认为H0不成⽴
B．有5%的把握认为H0的反⾯正确
C．有95%的把握判断H0正确
D．有95%的把握能反驳H0
41．利⽤独⽴性检验的⽅法调查⾼中⽣的写作⽔平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120 名⾼中⽣是否
喜好阅读，利⽤2×2 列联表，由计算可得χ2＝4.236．
P（χ2＞k）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
参照附表，可得正确的结论是（
）
A．有95%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读有关”
B．有99%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读有关”
C．有95%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读⽆关”
D．有99%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读⽆关”
42．针对2025 年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学⽣性别的关系”进⾏了⼀次
调查，其中被调查的男、⼥⽣⼈数相同，男⽣中喜欢冰雪运动的⼈数占男⽣⼈数的
，⼥⽣中喜欢冰雪
运动的⼈数占⼥⽣⼈数的
，若依据α＝0.05 的独⽴性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学⽣性别有关，
则被调查的学⽣中男⽣的⼈数不可（
）
附：
．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．48
B．54
C．60
D．66
第15⻚（共82⻚）
43．⼈⽣因阅读⽽⽓象万千，⼈⽣因阅读⽽精彩纷呈．腹有诗书⽓⾃华，读书有益于开拓眼界、提升格局；
最是书⾹能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校⾼中学⽣的读书情况进⾏了
调查，结果如下：
喜欢读书
不喜欢读书
合计
男⽣
260
60
320
⼥⽣
200
m
m+200
合计
460
m+60
m+520
附：
，其中n＝a+b+c+d．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根据⼩概率值α＝0.001 的独⽴性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则m 的值可以为（
）
A．10
B．20
C．30
D．40
第16⻚（共82⻚）
题型26：统计分析解答题综合
44．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在⽤户⽣活中覆盖⾯越来越⼴泛，
针对短视频的碎⽚化缺陷，将短视频剪接成⻓视频势必成为⼀种新的技能．某机构在⽹上随机对1000
⼈进⾏了⼀次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成⻓视频的APP，得到如下数据：
⻘年⼈
中年⼈
⽼年⼈
对短视频剪接成⻓视频的APP 有需求
2a+4b
200
a
对短视频剪接成⻓视频的APP ⽆需求
a+b
150
4b
其中的数据为统计的⼈数，已知被调研的⻘年⼈数为400．
（1）求a，b 的值；
（2）判断是否有99.9%的把握认为对短视频剪接成⻓视频的APP 需求，⻘年⼈与中⽼年⼈是否有差异？
参考公式：
，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
第17⻚（共82⻚）
45．某学校有A，B 两家餐厅，A 餐厅有2 种套餐选择，B 餐厅有4 种套餐选择，且这6 种套餐各不相同．A
餐厅距离教学楼相⽐于B 餐厅要近很多，经调查发现，100 名不同性别的学⽣选择餐厅⽤餐的情况如下：
男
⼥
在A 餐厅⽤餐
40
20
在B 餐厅⽤餐
15
25
（1）求某天甲、⼄两名同学选择同⼀套餐⽤餐的概率；
（2）依据α＝0.005 的独⽴性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联？
附：
．
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
第18⻚（共82⻚）
46．⻰泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之⼀，并
在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10 天销售优惠券情况．
⽇期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
经计算可得：
yi＝2.2，
，
．
（1）因为优惠券购买⽕爆，App 平台在第10 天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量⼤幅减
少，已知销售量y 和⽇期t 呈线性关系，现剔除第10 天数据，求y 关于t 的经验回归⽅程（结果中的数
值⽤分数表示）；
（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为
，选择B 套餐的概率为
，并且A 套餐可以⽤⼀张优
惠券，B 套餐可以⽤两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为Pn，求Pn；
（3）记（2）中所得概率Pn 的值构成数列
．
①求Pn 的最值；
②数列收敛的定义：已知数列{an}，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N0，使得当n＞N0时，|an
﹣a|＜ε，（a 是⼀个确定的实数），则称数列{an}收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列{Pn}收敛．
参考公式：＝
＝
，
．
第19⻚（共82⻚）
47．近年来，我国新能源汽⻋发展进⼊新阶段．某品牌2018 年到2022 年新能源汽⻋年销量w（万）如下表：
其中年对应的年份代码t 为1﹣5．
年份代码t
1
2
3
4
5
销量w（万）
4
9
14
18
25
（1）判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数（精确到0.01）；
（2）（i）假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），两个变量满⾜⼀元
线性回归模型
（随机误差ei＝yi﹣bxi），请写出参数b 的最⼩⼆乘估计；
（ii）令变量
，则变量x 与变量Y 满⾜⼀元线性回归模型
，
利⽤（i）中结论求y 关于x 的经验回归⽅程，并预测2025 年该品牌新能源汽⻋的销售量．
附：样本相关系数
，
，
，
，
．
第20⻚（共82⻚）
48．近年来，我国众多新能源汽⻋制造企业迅速崛起．某企业着⼒推进技术⾰新，利润稳步提⾼．统计该
企业2019 年⾄2023 年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019 年⾄2023 年对应的年
份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，y＝a+bx 和y＝c+dx2哪⼀个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x
的回归⽅程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建⽴y 关于x 的回归⽅程；
（3）根据（2）的结果，估计2024 年的企业利润．
参考公式及数据；
，＝﹣
，
，
，
，
，
第21⻚（共82⻚）
49．某地2019 年⾄2023 年五年新能源汽⻋保有量如表．
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份编号x
1
2
3
4
5
保有量y（万
辆）
18
20
23
25
29
（1）请⽤相关系数说明y 与x 的线性相关程度；
（2）求y 关于x 的回归直线⽅程y＝x+ ，并预测2025 年该地新能源汽⻋保有量．
附：相关系数
．
在回归直线⽅程
中，
．取
．
第22⻚（共82⻚）
50．随着新⾼考改⾰，⾼中阶段学⽣选修分为物理⽅向和历史⽅向，为了判断学⽣选修物理⽅向和历史⽅
向是否与性别有关，现随机抽取50 名学⽣，得到如下列联表：
物理⽅向
历史⽅向
总计
男⽣
13
a
23
⼥⽣
7
20
27
总计
b
c
50
（1）计算a，b，c 的值；
（2）问是否有95%的把握认为选修物理⽅向和历史⽅向与性别有关？
附：
，n＝a+b+c+d．
P（χ2≥k0）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第23⻚（共82⻚）
51．为了了解⾼中学⽣课后⾃主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验⼩
组做了调查，得到⼀些数据（表⼀）．
表⼀
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
（1）经分析，可⽤线性回归模型拟合y 与x 的关系，请求出线性回归⽅程，并由此预测每天课后⾃主学
习数学时间为100 分钟时的数学成绩．（参考数据：
的⽅差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学⽣周末⾃主学习．经过⼀学期的实施后，抽样调查了220 位学⽣．按照
是否参与周末⾃主学习以及成绩是否有进步进⾏统计，得到2×2 列联表（表⼆）．依据表中数据，判断
是否有99.9%的把握认为“周末⾃主学习与成绩进步”有关．
表⼆
没有进步
有进步
合计
参与周末⾃主学习
35
130
165
末参与周末⾃主学习
25
30
55
合计
60
160
220
附：
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
第24⻚（共82⻚）
52．为了给学⽣提供更为丰富的校园⽂化⽣活，学校增设了两⻔全新的课程A，B，学⽣根据⾃⼰的兴趣爱
好在这两⻔课程中任选⼀⻔进⾏学习．学校统计了学⽣的选课情况，得到如下表格．
选择课程A
选择课程B
男⽣
40
60
⼥⽣
20
80
（1）根据上表，依据⼩概率值α＝0.005 的χ2独⽴性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
（2）现从男⽣的样本中，按分层抽样的⽅法选出5 ⼈组成⼀个⼩组，再从这5 名男⽣中抽取3 ⼈做问卷
调查，求这3 ⼈中选择课程B 的⼈数⽐选择课程A 的⼈数多的概率．
附：
．
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
第25⻚（共82⻚）
53．将氢储存在甲基环⼄烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要⽅向．2023 年12 ⽉俄罗斯科学院⻄
伯利亚分院科研⼈员⽤镍和锡取代铂，研发出⼀种新型⾼效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储
氢载体没有破坏作⽤，可重复使⽤．近年来，我国氢能源汽⻋产业迅速发展，下表是某市氢能源乘⽤⻋
的年销售量与年份的统计表：
年份x
2018
2019
2020
2021
2022
销量y（万台）
2
3.5
2.5
8
9
（1）求氢能源乘⽤⻋的销量y 关于年份x 的线性回归⽅程，并预测2024 年氢能源乘⽤⻋的销量；
（2）为了研究不同性别的学⽣对氢能源的了解情况，某校组织了⼀次有关氢能源的知识竞赛活动，随
机抽取了男⽣和⼥⽣各60 名，得到如表所示的数据：
了解
不了解
合计
男⽣
25
⼥⽣
20
合计
（ⅰ）根据已知条件，填写上述2×2 列联表；
（ⅱ）依据α＝0.01 的独⽴性检验，能否认为该校学⽣对氢能源的了解情况与性别有关？
参考公式：
①回归⽅程
中斜率和截距的最⼩⼆乘法估计公式分别为
；
②
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
第26⻚（共82⻚）
54．2023 年全国竞⾛⼤奖赛（第1 站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3 ⽉4 ⽇在安徽⻩⼭开赛．重庆队的贺相
红以2 ⼩时22 分55 秒的成绩打破男⼦35 公⾥竞⾛亚洲纪录．某⽥径协会组织开展竞⾛的步⻓和步频之
间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
步频x（单位：
s）
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步⻓y（单位：
cm）
90
95
99
103
117
（1）根据表中数据，得到步频和步⻓近似为线性相关关系，求出y 关于x 的回归直线⽅程，并利⽤回归
⽅程预测，当步⻓为80cm 时，步频约是多少？
（2）记
，其中yi 为观测值，
为对应（xi，yi）的残差，求（1）中步⻓的残
差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成⽴？若成⽴，请证明；若不成⽴，
请说明理由．
参考数据：
，
．
参考公式：
，
．
第27⻚（共82⻚）
55．某兴趣⼩组调查并统计了某班级学⽣期末统考中的数学成绩和建⽴个性化错题本的情况，⽤来研究这
两者是否有关．若从该班级中随机抽取1 名学⽣，设A＝“抽取的学⽣期末统考中的数学成绩不及格”，
B＝“抽取的学⽣建⽴了个性化错题本”，且
．
（1）求P（A）和P（A|B）；
（2）若该班级共有36 名学⽣，请完成列联表，并依据⼩概率值α＝0.005 的独⽴性检验，分析学⽣期末
统考中的数学成绩与建⽴个性化错题本是否有关．
个性化错题本
学⽣期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建⽴
未建⽴
合计
参考公式及数据：
．
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
第28⻚（共82⻚）
56．某⻘少年跳⽔队共有100 ⼈，在强化训练前、后，教练组对他们进⾏了成绩测试，分别得到如图1 所
示的强化训练前的频率分布直⽅图，如图2 所示的强化训练后的频率分布直⽅图．
（1）根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作代表）与成
绩的中位数（中位数精确到0.01）．
（2）我们规定得分80 分以上的为“优秀”，低于80 分的为“⾮优秀”．
优秀⼈数
⾮优秀⼈数
合计
强化训练前
强化训练后
合计
将上⾯的表格补充完整，依据⼩概率值α＝0.005 的独⽴性检验，能否据此推断跳⽔运动员是否优秀与强
化训练有关？
附：
．
α
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
第29⻚（共82⻚）
57．某校研究性学习⼩组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20 名同学期末考试中的数
学成绩和物理成绩，如表1：
表1：
序号
数学
物理
1
144
95
2
130
90
3
124
79
4
120
85
5
110
69
6
107
82
7
103
80
8
102
62
9
100
67
10
98
75
11
98
68
12
95
77
13
94
59
14
92
65
15
90
57
16
88
58
17
85
70
18
85
55
19
80
52
20
75
54
（1）数学120 分及以上记为优秀，物理80 分及以上记为优秀．
（i）完成如下列联表；
第30⻚（共82⻚）
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
不优秀
合计
（ii）依据α＝0.01 的独⽴性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
（2）从这20 名同学中抽取5 名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
数学成绩
130
110
100
85
75
物理成绩
90
69
67
70
54
如图所示：以横轴表示数学成绩、纵轴表示物理成绩建⽴直⻆坐标系，将表2 中的成对样本数据表示为
散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在⼀条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关．
（i）求样本相关系数r；
（ii）建⽴物理成绩y 关于数学成绩x 的⼀元线性回归模型，求经验回归⽅程，并预测数学成绩120 的同
学物理成绩⼤约为多少？（四舍五⼊取整数）
第31⻚（共82⻚）
参考公式：（1）样本相关系数
．
（2）经验回归⽅程
.
．
（3）
，其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
第32⻚（共82⻚）
58．为预防季节性流感，某市防疫部⻔⿎励居⺠接种流感疫苗．为了进⼀步研究此疫苗的预防效果，该防
疫部⻔从市⺠中随机抽取了1000 ⼈进⾏检测，其中接种疫苗的700 ⼈中有570 ⼈未感染流感，未接种疫
苗的300 ⼈中有70 ⼈感染流感．医学统计研究表明，流感的检测结果存在错检现象，即未感染者其检测
结果为阳性或感染者其检测结果为阴性．已知未感染者其检测结果为阳性的概率为0.01，感染者其检测
结果为阳性的概率为0.95．将上述频率近似看成概率．
（1）根据所给数据，完成以下列联表，并依据α＝0.10 的独⽴性检验，能否认为接种流感疫苗与预防流
感有关？
疫苗
流感
合计
感染
未感染
接种
未接种
合计
（2）已知某⼈流感检测结果为阳性，求此⼈感染流感的概率（精确到0.01）．
附：
；
α
0.10
0.05
0.01
x
2.706
3.841
6.635
第33⻚（共82⻚）
59．为研究⼉童性别是否与患某种疾病有关，某⼉童医院采⽤简单随机抽样的⽅法抽取了66 名⼉童．其中：
男童36 ⼈中有18 ⼈患病，⼥童30 ⼈中有6 ⼈患病．
附：
，n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（1）填写下⾯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为⼉童性别与患病有关？
性别
是否患病
合计
是
否
男
⼥
合计
（2）给患病的⼥童服⽤某种药物，治愈的概率为p（0＜p＜1），则恰有3 名被治愈的概率为f（p），求f
（p）的最⼤值和最⼤值点p0的值．
第34⻚（共82⻚）
60．某⺠营学校为增强实⼒与影响⼒，⼤⼒招揽名师、建设校园硬件设施，近5 年该校招⽣⼈数的数据如
下表：
年份序号x
1
2
3
4
5
招⽣⼈数y/千
⼈
0.8
1
1.3
1.7
2.2
（Ⅰ）由表中数据可看出，可⽤线性回归模型拟合y 与x 的关系，请⽤相关系数加以证明；
（Ⅱ）求y 关于x 的回归直线⽅程，并预测当年份序号为7 时该校的招⽣⼈数．
参考数据：
，
，
．
参考公式：相关系数
，回归⽅程
中斜率和截距的最⼩⼆乘估
计公式分别为
，
．
