专题10：圆锥曲线（答案）_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_高考数学冲刺笔记猫老师猫老师2026版高考数学冲刺笔记+猫老师2026年高考数学考点一遍过全套(完整版)

圆锥曲线——题型01～03
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共43 ⼩题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
C
A
B
D
B
C
B
C
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
C
D
D
C
D
C
A
D
C
B
C
题号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
答案
B
B
A
D
D
A
B
C
B
D
B
题号
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
答案
C
C
B
D
B
C
C
C
C
B
⼀．选择题（共43 ⼩题）
1．“1＜m＜6”是“⽅程
表示椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：⽅程
表示椭圆，
则
，
解得1＜m＜6 且
，
⼜“1＜m＜6”是“1＜m＜6 且
”的必要不充分条件，
所以“1＜m＜6”是“⽅程
表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
2．若曲线
表示椭圆，则实数k 的取值范围是（
）
A．（4，6）
B．（4，5）
C．（5，6）
D．（4，5）∪（5，6）
【解答】解：因为曲线
表示椭圆，
即
表示椭圆，
则
，
即k∈（4，5）∪（5，6）．
故选：D．
3．如图，F1、F2是椭圆
与双曲线
的公共焦点，A、B 分别是C1、C2在第
⼆、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C1的离⼼率是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为双曲线C2的⽅程为
，
所以
，
此时
，
解得
，
所以
，
因为
，|AF2|+|AF1|＝2a，
所以
，
．，
在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，
由勾股定理得
，
即
，
解得a＝2，
因为椭圆与双曲线有公共焦点，
所以C1的离⼼率
．
故选：C．
4．已知椭圆C：
的左焦点为F1，焦距为2c，圆O：x2+y2＝c2与椭圆C 有四个交
点，其中点P，Q 分别在第⼀、四象限，若△F1PQ 为等边三⻆形，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由于△F1PQ 为等边三⻆形，所以
，
设
，则
，
代⼊
，
即
，
解得
，
故
，
将
代⼊椭圆⽅程得
，
故3c2a2+c2b2＝4a2b2，
故3c2a2+c2（a2﹣c2）＝4a2（a2﹣c2），
化简可得4a4﹣8a2c2+c4＝0，
故e4﹣8e2+4＝0，
解得
，
由于e2＜1，故
，故
，
故选：C．
5．设F 是椭圆
的左焦点，M，N 是C 上的任意两点，△FMN 周⻓的取值范
围为（m，n]，若n＝3m，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设椭圆C 的右焦点为E（c，0），则|ME|+|MF|＝2a，|NE|+|NF|＝2a，
所以△FMN 周⻓|MN|+|MF|+|NF|＝|MN|+（2a﹣|ME|）+（2a﹣|NE|）
＝4a+|MN|﹣（|ME|+|NE|）≤4a+|MN|﹣|MN|＝4a，
当且仅当M、N、E 共线时取等号，结合题意可得n＝3m＝4a，即
，
因为|MN|+|MF|+|NF|＞|MF|+|MF|＝2|MF|≥2（a﹣c），
所以m＝2（a﹣c），可得
，整理得a＝3c，所以C 的离⼼率e＝＝．
故选：A．
6．已知椭圆Γ：
的左、右焦点为F1，F2，上⼀点P 满⾜PF1⊥PF2，A 为线段PF2
的中垂线与Γ的交点，若△APF1的周⻓为
，则Γ的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为△APF1的周⻓为
，
所以
，
因为A 为线段PF2的中垂线与Γ的交点，
所以|AP|＝|AF2|，
所以|AF2|+|AF1|+|PF1|＝
，
由因为|AF1|+|AF2|＝2a，
所以
，
所以
，
⼜因为PF1⊥PF2，
，
所以
，
即5a2＝8c2，
即
，
所以
．
故选：B．
7．椭圆C1：
＝1 的上、下顶点分别为B2，B1，椭圆C2：
＝1 与C1的⼀个交点为M，则△
MB1B2的周⻓为（
）
A．4
B．
C．
D．6
【解答】解：椭圆C1：
＝1 的上、下顶点分别为B2，B1，
则B1（0，1），B2（0，﹣1），
⼜椭圆C2：
＝1，
则椭圆C2的焦点为B1（0，1），B2（0，﹣1），
则△MB1B2的周⻓为|MB1|+|MB2|+|B1B2|＝2×2+2＝6．
故选：D．
8．已知椭圆C：
，直线l：
，若点P 为C 上的⼀点，则点P 到直线l 的距离的最
⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
（θ∈R）是椭圆C：
上任⼀点，
设点P 到直线l：
的距离为d，
则
，其中
，
，
故当
时，sin（θ+φ）＝﹣1，d 取得最⼩值，最⼩值为
，
此时
，
，
即当P 的坐标为
时，点P 到直线l 的距离的最⼩值为
．
故选：B．
9．已知F1，F2分别为椭圆C：
的两个焦点，C 的离⼼率为
，若P 为C 上⼀点，则
△PF1F2的周⻓为（
）
A．6
B．9
C．9 或
D．12 或
【解答】解：已知F1，F2分别为椭圆C：
的两个焦点，C 的离⼼率为
，
⼜P 为C 上⼀点，
当9＞m＞0 时，可得
，
解得
，
此时△PF1F2的周⻓为
，
当9＜m 时，可得
，
解得m＝12，
此时△PF1F2的周⻓为
，
所以△PF1F2的周⻓为9 或
．
故选：C．
10．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左右顶点是A1，A2，左右焦点是F1，F2，点M 是C 上⼀点，
且满⾜∠A1MA2＝
，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，可得
＝|A1M|•|A2M|sin∠A1MA2＝
|A1M|•|A2M|，
＝|MF1|•|MF2|sin∠F1MF2，
＝|A1M|•|MF1|sin∠A1MF1，
＝|A2M|•|MF2|sin∠A2MF2，
所以
＝
＝
×
＝120，
设点M 到x 轴的距离为h，则
＝|A1A2|•h＝ah，
＝|F1F2|•h＝ch，
＝
＝（a﹣c）•h，
所以
＝
＝
＝120，可得30（a﹣c）2＝ac，
即30a2﹣61ac+30c2＝0，可得
，
即30e2﹣61e+30＝0，解得e＝（e＝不符合题意，舍去）．
故选：B．
11．已知点
，Q 为曲线
上任意⼀点，则|PQ|的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：Q 为曲线
上任意⼀点，
可设
，
⼜点
，
所以
，
当sinθ＝﹣1 时，|PQ 取最⼤值
．
故选：C．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在M 上，Q 为PF2的中点，
且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示：
根据题意可知|PF1|＝|F1F2|＝2c，
由椭圆定义|PF1|+|PF2|＝2a 可得|PF2|＝2a﹣2c，
⼜Q 为PF2的中点，
可得|PQ|＝a﹣c，
因为|F1Q|＝b，
由勾股定理可得
，
即b2+（a﹣c）2＝（2c）2；
结合b2+c2＝a2整理可得2c2+ac﹣a2＝0，
即2e2+e﹣1＝0，
解得
或e＝﹣1（舍）．
故选：C．
13．椭圆
上的两点A、B 关于直线2x﹣2y﹣3＝0 对称，则弦AB 的中点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设A（x1，y2），B（x2，y2），线段AB 的中点M（x0，y0），则
，
．
∵A、B 关于直线2x﹣2y﹣3＝0 对称，∴kAB＝﹣1，2x0﹣2y0﹣3＝0．
把A（x1，y2），B（x2，y2），代⼊椭圆的⽅程可得：
，
．
两式相减得
．
∴
，化为x0＝4y0．
联⽴
，解得
∴弦AB 的中点M 坐标为
．
故选：D．
14．P 为椭圆
+
＝1 上⼀点，F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH⊥F1F2于H，若PF1
⊥PF2，则|PH|＝（
）
A．
B．
C．8
D．
【解答】解：椭圆
+
＝1 得a2＝25，b2＝9，则c＝
＝
＝4，
∴|F1F2|＝2c＝8．
由椭圆定义可得PF1|+|PF2|＝2a＝10，
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝82．
∴2|PF1|•|PF2|＝（|PF1|+|PF2|）2﹣（|PF1|2+|PF2|2）＝100﹣64＝36．
解得
|PF1|•|PF2|＝9．
⽽
＝|PF1|•|PF2|＝|F1F2|•|PH|，
∴|PH|＝
＝．
故选：D．
15．设F1，F2为椭圆
＝1 的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF1的中点在y 轴上，则
的
值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：椭圆
＝1 的a＝3，b＝
，c＝
＝2，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，
由中位线定理可得PF2⊥x 轴，
令x＝2，可得y＝±
•
＝±
，
即有|PF2|＝，|PF1|＝6﹣＝
，
则
＝
．
故选：C．
16．已知椭圆
的两个焦点是F1、F2，点P 在椭圆上，若|PF1|﹣|PF2|＝2，则△PF1F2 的⾯积是
（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵椭圆
，焦点在x 轴上，则a＝2，由椭圆定义：|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2c＝2
，
∵|PF1|﹣|PF2|＝2，可得|PF1|＝3，|PF2|＝1，
由12+（2
）2＝9，
∴△PF2F1是直⻆三⻆形，
△PF1F2的⾯积
|PF2|×|F1F2|＝×1×2
＝
．
故选：D．
17．设点P 为椭圆C：
+
＝1 上⼀点，F1、F2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF1F2的重⼼为点G，
若|PF1|：|PF2|＝3：4，那么△GPF1的⾯积为（
）
A．24
B．12
C．8
D．6
【解答】解：∵点P 为椭圆C：
+
＝1 上⼀点，|PF1|：|PF2|＝3：4，|PF1|+|PF2|＝2a＝14
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，⼜∵F1F2＝2c＝10，
∴△PF1F2是直⻆三⻆形，
＝
，
∵△PF1F2的重⼼为点G．∴
＝
，
∴△GPF1的⾯积为8，
故选：C．
18．已知F 为双曲线C：
的右焦点，A 为C 的左顶点，点B 在C 上，且BF
垂直于x 轴，若AB 的斜率为1，则C 的实轴⻓与虚轴⻓的⽐值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知F 为双曲线C：
的右焦点，A 为C 的左顶点，点B 在C
上，且BF 垂直于x 轴，
则A（﹣a，0），B 在第⼀象限，
⼜xB＝xF＝c，
代⼊⽅程
可解得
，
⼜因为AB 的斜率为1，
所以
，
即
，
得c＝2a，
则
，
所以C 的实轴⻓为与虚轴⻓的⽐值为
．
故选：A．
19．已知双曲线
的左焦点为F1，O 为坐标原点，若在C 的右⽀上存在关
于x 轴对称的两点P，Q，使得△PF1Q 为正三⻆形，且OQ⊥F1P，则C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知双曲线
的左焦点为F1，O 为坐标原点，
⼜在C 的右⽀上存在关于x 轴对称的两点P，Q，使得△PF1Q 为正三⻆形，且OQ⊥F1P，
设双曲线的焦距为2c（c＞0），右焦点为F2，直线OQ 交F1P 于点M，连接PF2，
则M 为F1P 的中点，
所以OM∥F2P，
故
，
易知
，
所以
，
由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|＝2a，
即
，
得
．
故选：D．
20．已知双曲线
的右焦点为F，过点F 的直线l 与双曲线E 的右⽀交于B，
C 两点，且|CF|＝2|FB|，点B 关于原点O 的对称点为点A，若
，则双曲线E 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，连接AF、AF1、BF1，如图所示，
⼜∵
，∴BF⊥AF，
∴四边形AF1BF 为矩形，设|BF|＝t，则|CF|＝2t，
由双曲线的定义可得：|CF1|＝2a+2t，|BF1|＝2a+t，
⼜∵△CBF1为直⻆三⻆形，
∴
，
即（2a+t）2+（3t）2＝（2a+2t）2，
解得
，
∴
，
，
⼜∵△BFF1为直⻆三⻆形，|FF1|＝2c，
∴
，
即
，
∴
，
即
．
故选：C．
21．设直线y＝kx 与双曲线
相交于A，B 两点，P 为C 上不同于A，B 的
⼀点，直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，若C 的离⼼率为
，则k1•k2＝（
）
A．3
B．1
C．2
D．
【解答】解：由题意可知点A，B 关于原点对称，
设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），P（x，y），
则有
，
，
⼜A，B，P 都在双曲线上，
则
，
，
两式相减得
，
则
，
得
，
即
，
⼜由
，
则k1•k2＝1．
故选：B．
22．（⽂科）已知双曲线C：
＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近
线的交点分别为M，N，若△OMN 为直⻆三⻆形，则|MN|＝（
）
A．
B．4
C．
D．3
【解答】解：由题可知，双曲线
＝1 的渐近线⽅程为
，点F（
），
∵△OMN 为直⻆三⻆形，且OM 与ON 不垂直，
∴直线MN 与直线OM 或ON 垂直，
不妨设直线MN 与直线ON 垂直，则
，
∴直线MN 的⽅程为
，
将其分别与直线
联⽴，可解得M（
），N（
），
∴|MN|＝
．
故选：C．
23．双曲线C：
＝1 的右焦点为F，点P 在C 的⼀条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△
PFO 的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：双曲线C：
＝1 的右焦点为F（
，0），渐近线⽅程为：y＝±
x，不妨P 在第
⼀象限，
可得tan∠POF＝
，P（
，
），
所以△PFO 的⾯积为：×
×
＝
．
故选：B．
24．过双曲线
的右焦点F（1，0）作x 轴的垂线与双曲线交于A，B 两点，O
为坐标原点，若△AOB 的⾯积为
，则双曲线的渐近线⽅程为（
）
A．y＝±
x
B．y＝±2
x
C．y＝±2
x
D．y＝±2x
【解答】解：由右焦点F（1，0），
∴
﹣
＝1，
∴y＝±b
，
∴|AB|＝2b
，
∵△AOB 的⾯积为
，
∴
×2b
×1＝，
且a2+b2＝1，
解得a＝，b＝
，
∴双曲线的渐近线⽅程为y＝±
x，
即y＝±2
x，
故选：B．
25．已知双曲线C：
＝1（a，b＞0）的右顶点A 和右焦点F 到⼀条渐近线的距离之⽐为1：
，
则C 的渐近线⽅程为（
）
A．y＝±x
B．y＝±
x
C．y＝±2x
D．y＝±
x
【解答】解：由双曲线⽅程可得渐近线为：y＝
x，A（a，0），F（c，0），
则点A 到渐近线距离：d1＝
＝
，
点F 到渐近线距离：d2＝
＝
，
双曲线C：
＝1（a，b＞0）的右顶点A 和右焦点F 到⼀条渐近线的距离之⽐为1：
，
∴
，即：c＝
，
则
，
∴双曲线渐近线⽅程为：y＝±x．
故选：A．
26．双曲线
）的两条渐近线分别为l1，l2，F 为其⼀个焦点，若F 关于l1的对称
点在l2上，则双曲线的渐近线⽅程为（
）
A．y＝±2x
B．y＝±3x
C．y＝
D．y＝
【解答】解：不妨取F（c，0），l1：bx﹣ay＝0，
设F 关于执⾏l 的对称点为F′（m，n），
由对称性可得：
，解得：
，
∵点F′（m，n）在直线l2：bx+ay＝0 上，则：
•bc+
＝0，
整理可得：
＝3，∴
＝
，
双曲线的渐近线⽅程为：y＝±
x．
故选：D．
27．已知F1，F2分别是双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 是双曲线上⼀点，若|PF1|+|PF2|
＝6a，且△PF1F2的最⼩内⻆为
，则双曲线的渐近线⽅程为（
）
A．y＝±2x
B．y＝±
x
C．y＝±
x
D．y＝±
x
【解答】解：F1，F2分别是双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A 为左顶点，不妨设P 为
双曲线右⽀上⼀点，|PF1|+|PF2|＝6a 且△PF1F2 的最⼩内⻆为
，如图，|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以，|PF1|
＝4a，|PF2|＝2a
三⻆形△PF1F2是直⻆三⻆形，并且
＝2ctan
，
化为：
，可得3
﹣4
﹣4＝0，
解得
，
舍去，
可得：＝
，
所以双曲线的渐近线⽅程：y＝
x，所以D 正确；
故选：D．
28．设F1、F2是双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是C 上⼀点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且
△PF1F2最⼩内⻆的⼤⼩为30°，则双曲线C 的渐近线⽅程是（
）
A．
x±y＝0
B．x±
y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
【解答】解：不妨设P 为右⽀上⼀点，
由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
⼜|PF1|+|PF2|＝6a，
解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
且|F1F2|＝2c，
由于2a 最⼩，即有∠PF1F2＝30°，
由余弦定理，可得，cos30
＝
＝
．
则有c2+3a2＝2
ac，即c＝
a，
则b＝
＝
a，
则双曲线的渐近线⽅程为y＝
x，
即为y＝
x，
故选：A．
29．已知双曲线Γ：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，与x 轴平⾏的直线交Γ于B，C 两点，记∠
BAC＝θ，若Γ的离⼼率为
，则（
）
A．θ∈（0，
）
B．θ＝
C．θ∈（
，π）D．θ＝
【解答】解：∵Γ的离⼼率为
，
∴不妨设双曲线Γ：x2﹣y2＝1，
设B（x，y），C（﹣x，y），
∴
＝（x﹣1，y），
＝（﹣x﹣1，y），
∴
•
＝1﹣x2+y2＝0，
∴
⊥
，
∴θ＝
，
故选：B．
30．设抛物线C：y2＝3x 的焦点为F，点A 为C 上⼀点，若|FA|＝3，则直线FA 的倾斜⻆为（
）
A．
B．
C．
或
D．
或
【解答】解：设该A 坐标为（x，y），抛物线C：y2＝3x 的焦点为F（，0），
根据抛物线定义可知x+
＝3，解得x＝，代⼊抛物线⽅程求得y＝±
，
故A 坐标为：（，
），AF 的斜率为：
＝
，
则直线FA 的倾斜⻆为：
或
．
故选：C．
31．过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A，B 两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于（
）
A．4
B．
C．5
D．6
【解答】解：∵F（1，0），根据题意设y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，可得k2x2﹣（2k+4）x+k2＝0，
∴
，⼜|AF|＝2|BF|，
∴1+x1＝2（1+x2），
∴x1＝1+2x2，⼜x1x2＝1，
∴
，x1＝2，
∴|AB|＝p+x1+x2＝2+2+
＝，
故选：B．
32．设F 为抛物线C：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜⻆为30°的直线交C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则△
OAB 的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由y2＝2px，得2p＝3，p＝，
则F（，0）．
∴过A，B 的直线⽅程为y＝
（x﹣），
即x＝
y+
．
联⽴
，得4y2﹣12
y﹣9＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝3
，y1y2＝﹣．
∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB＝×
|y1﹣y2|＝
＝×
＝．
故选：D．
33．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点且倾斜⻆为锐⻆的直线l 与C 交于A，B 两点，过线段AB 的中点
N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l 的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．1
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），准线⽅程为x＝﹣，
设直线AB 的⽅程为y＝k（x﹣），k＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
代⼊抛物线的⽅程可得k2x2﹣p（k2+2）x+
＝0，
即有x1+x2＝p+
，
可得弦⻓|AB|＝x1+x2+p＝2p（1+
），
中点N 的坐标为（+
，），
由kMN＝﹣＝
，
可得yM＝
+
，
可得|MN|2＝（p+
）2+（﹣﹣
）2，
由|MN|＝|AB|，可得4p2（1+
）2＝（p+
）2+（﹣﹣
）2，
化为k2＝，解得k＝
．
故选：B．
34．已知F 是抛物线y2＝4x 的焦点，过焦点F 的直线l 交抛物线的准线于点P，点A 在抛物线上且|AP|＝|AF|
＝3，则直线l 的斜率为（
）
A．±1
B．
C．
D．2
【解答】解：F 是抛物线y2＝4x 的焦点（1，0），过焦点F 的直线l 交抛物线的准线于点P，点A 在抛物
线上且|AP|＝|AF|＝3，可得A 的坐标（2，±2
）．
所以P（﹣1，±2
），
所以直线l 的斜率为：
＝
．
故选：C．
35．已知直线l：y＝kx﹣k 与抛物线C：y2＝4x 及其准线分别交于M，N 两点，F 为抛物线的焦点，若
，
则实数k 等于（
）
A．
B．±1
C．
D．±2
【解答】解：抛物线C：y2＝4x 的焦点F（1，0），直线l：y＝kx﹣k 过抛物线的焦点，
过N 做NN′⊥准线x＝﹣1，垂⾜为N′，
由抛物线的定义，⼁NN′⼁＝⼁NF ⼁，
由∠N′NM 与直线l 倾斜⻆相等，由
，
则cos∠N′NM＝
＝，则tan∠N′NM＝±
，
∴直线l 的斜率k＝±
，
故选：C．
36．已知抛物线C：y2＝4x，过抛物线C 焦点F 的直线l 交抛物线C 于A、B 两点（点A 在第⼀象限），且
交抛物线C 的准线于点E．若
＝2
，则直线l 的斜率为（
）
A．3
B．2
C．
D．1
【解答】解：分别过A 和D 两点做AD、BC 垂直于准线，交准线于D、C 两点垂⾜分别为D，C，
由
＝2
，则B 为AE 的中点，|AB|＝|BE|，
则|AD|＝2|BC|，
由抛物线的定义可知：|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，
∴|AB|＝3|BC|，
∴|BE|＝3|BC|，则|CE|＝2
|BC|，
tan∠CBE＝
＝2
，
直线l 的斜率k＝tan∠AFx＝tan∠CBE＝2
，
故选：B．
37．已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x 相交于A、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|＝2|FB|，则
k＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设抛物线C：y2＝8x 的准线为l：x＝﹣2
直线y＝k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B 分别作AM⊥l 于M，BN⊥l 于N，
由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，
点B 为AP 的中点、连接OB，
则
，
∴|OB|＝|BF|，点B 的横坐标为1，
故点B 的坐标为
，
故选：D．
38．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与y 轴交于点D，过点F 作直线交抛物线E 于A、
B 两点，若AB⊥AD，且|BF|＝|AF|+4，则p 的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【解答】解：抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，），
设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），
假设k 存在，设AB ⽅程为：y＝kx+
，联⽴抛物线⽅程
整理得x2﹣2pkx﹣p2＝0，⇒
，y1y2＝
∵AB⊥AD，则∠BAD＝90°，∴（y1﹣）（y1+
）+x12＝0，
∴x12+y12＝
．
∴y12+2py1＝
⇒y1＝
∵y1y2＝
，∴y2＝
∴|BF|﹣|AF|＝（y2+
）﹣（y1+
）＝2p＝4，
则p＝2，
故选：B．
39．已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，准线为l，若射线y＝2（x﹣1）（x≤1）与C，l 分别交于P、Q 两点，
则
＝（
）
A．
B．2
C．
D．5
【解答】解：抛物线C：y2＝4x 的焦点为F（1，0），准线为l：x＝﹣1，
射线y＝2（x﹣1）（x≤1）过抛物线的焦点坐标（1，0），
如图：直线的斜率为：2，倾斜⻆为：θ，可得tanθ＝2，
则cosθ＝
＝
．
作PN 垂直抛物线的准线于N，则PF＝PN，
则
＝
＝
．
故选：C．
40．抛物线x2＝4y 的焦点为F，过F 作斜率为
的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A，过A 作
抛物线准线的垂线，垂⾜为H，则△AHF 的⾯积是（
）
A．4
B．
C．
D．8
【解答】解：由抛物线的定义可得AF＝AH，∵AF 的斜率等于
，∴AF 的倾斜⻆等于30°，∵AK⊥l，
∴∠FAK＝60°，故△AHF 为等边三⻆形．⼜焦点F（0，1），AF 的⽅程为y﹣1＝
x，
设A（m，
），m＞0，由AF＝AH 得
，
∴m＝2
，故等边三⻆形△AHF 的边⻓AH＝4，
∴△AKF 的⾯积是
×4×4sin60°＝4
，
故选：C．
41．已知抛物线C：y2＝8x 的焦点为F，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A，B 两点，且直线l 不与x
轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P（10，0），则△AOB 的⾯积为（
）
A．4
B．4
C．8
D．8
【解答】解：设直线l：x＝ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
则由
，可以得到y2﹣8ty﹣16＝0，
所以AB 的中点M（4t2+2，4t），线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P（10，0），故t≠0．
所以AB 的中垂线的⽅程为：y＝﹣（x﹣4t2﹣2）+4t＝
+8t+
，
令y＝0 可得x＝8t2+2，解⽅程10＝8t2+2，得t＝±1．
此时|AB|＝
＝8
＝16，
O 到AB 的距离为d＝
＝
，所以
＝8
．
故选：C．
42．已知抛物线y2＝4x，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A、B 两点（A 在第⼀象限内），
＝3
，
过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G，则三⻆形ABG 的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：作出抛物线的准线l：x＝﹣1，设A、B 在l 上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B 作BE⊥AC 于E．
∵
＝3
，则设|AF|＝3m，|BF|＝m，由点A、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC|＝3m，|BD|
＝m．
因此，Rt△ABE 中，cos∠BAE＝
＝，得∠BAE＝60°
∴直线AB 的倾斜⻆∠AFx＝60°，
得直线AB 的斜率k＝tan60°＝
．
则直线l 的⽅程为：y＝
（x﹣1），即
x﹣y﹣
＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，整理得：3x2﹣10x+3＝0，
则x1+x2＝
，x1x2＝1，
则y1+y2＝
（x1﹣1）+
（x2﹣1）＝
，
＝
，
∴AB 中点E（，
），
则EG 的⽅程的斜率为﹣
，则EG 的⽅程：y﹣
＝﹣
（x﹣），
当x＝0 时，则y＝
，则G（
，0），
则G 到直线l 的距离d＝
＝
，
|AB|＝x1+x2+p＝
，
则S△ABG＝×|AB|•d＝×
×
＝
，
故选：C．
43．已知抛物线x2＝2y 的焦点为F，其上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）满⾜|AF|﹣|BF|＝2，则y1+x12﹣y2
﹣x22＝（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【解答】解：抛物线x2＝2y 的焦点为F（0，），准线为y＝﹣，
A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12＝2y1，x22＝2y2，
由抛物线的定义可得|AF|﹣|BF|＝（y1+
）﹣（y2+
）＝2，
即为y1﹣y2＝2，
则y1+x12﹣y2﹣x22＝（y1﹣y2）+2y1﹣2y2＝3（y1﹣y2）＝6．
故选：B．
⼆．填空题（共4 ⼩题）
44．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满⾜
+
＝﹣
，则
+
+
＝
0
．
【解答】解：设A、B、C 三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则
∵
+
＝﹣
，
∴△ABC 的重⼼是F，
∵抛物线y2＝2px 的焦点F 的坐标为F（，0），
∴y1+y2+y3＝0，
∴
+
+
＝
+
+
＝
＝0
故答案为：0．
45．已知抛物线x2＝4y 的焦点为F，准线为l，P 为抛物线上⼀点，过P 作PA⊥l 于点A，当∠AFO＝30°（O
为坐标原点）时，|PF|＝
．
【解答】解：由抛物线x2＝4y，可得焦点F（0，1），准线l 的⽅程为：y＝﹣1．
∵∠AFO＝30°，∴xA＝
．
∵PA⊥l，
∴xP＝
，yP＝，
∴|PF|＝|PA|＝yP+1＝．
故答案为：．
46．已知抛物线C：x2＝4y 的焦点为F，直线AB 与抛物线C 相交于A，B 两点，若2
+
﹣3
＝，则
弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为
．
【解答】解：∵2
+
﹣3
＝，⇒2
﹣2
＝
﹣
，
∴
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
如图设A，B 在准线上的投影分别为A1，B1
设AF＝m，由抛物线的定义知
AA1＝m，BB1＝2m，作AC⊥BB1于C，
∴△ABC 中，BC＝m，AB＝3m，
∴kAB＝
直线AB ⽅程为y＝
x+1
与抛物线⽅程联⽴消y 得2y2﹣5y+2＝0，可得
，
所以AB 中点到准线距离为
1＝．
故答案为：
47．已知抛物线Γ：y2＝8x 的焦点为F，准线与x 轴的交点为K，点P 在Γ 上且
，则
△PKF 的⾯积为
8
．
【解答】解：由题意，设P（x，y），K（﹣2，0），F（2，0），
∵
，
∴
＝
，
整理可得，x2+y2﹣12x+4＝0，
∵y2＝8x，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴x＝2，|y|＝4，
∴S△PFK＝|FK||y|＝
＝8．
故答案为：8
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圆锥曲线——题型04～05
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共19 ⼩题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
D
B
C
A
A
B
C
D
D
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
答案
C
B
C
C
D
B
A
C
⼆．多选题（共1 ⼩题）
题号
20
答案
AC
⼀．选择题（共19 ⼩题）
1．已知点F1，F2是椭圆
的左、右焦点，点M 为椭圆E 上⼀点，点F 关于∠
F1MF2的⻆平分线的对称点N 也在椭圆E 上，若
，则椭圆E 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由图可知：|MF1|+|MF2|＝|NF1|+|NF2|＝2a，
由MP 平分∠F1MF2，则
，
所以
，
由
，则解得
，
由N 是F1关于直线MP 的对称点，则N，F2，M 共线，
，MP⊥F1N，|MF1|＝|MN|，
所以|MF1|+|MN|+|NF1|＝4a，
在Rt△MF1P 中，
，
可得
，
解得
，
，
在△F1MF2中，由余弦定理，
可得
，
代⼊可得：
，
化简可得：
，所以其离⼼率
．
故选：B．
2．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C 交于点P，Q，若
|PF1|+|QF2|＝2|PF2|，且
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，由
，得|PF1|＝|F1F2|．
设|F1F2|＝2c（0＜c＜2），
则|PF1|＝2c，|PF2|＝4﹣2c，
由|PF1|+|QF2|＝2|PF2|，
得|QF2|＝8﹣6c，|QF1|＝4﹣（8﹣6c）＝6c﹣4．
则
，
由cos∠QF2F1+cos∠PF2F1＝0，
得
，
整理得2c2﹣11c+10＝0，
得
，（
，舍去），
所以
．
故选：A．
3．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2 的直线与双曲线E
的右⽀交于A，B 两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E 的离⼼率为
，则cos∠BAF1＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据对称性，不妨设A 点在第⼀象限，
∵|AB|＝|AF1|，
∴|BF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a，
∴|BF1|＝|BF2|+2a＝4a，
∵双曲线E 的离⼼率e＝＝
，∴|F1F2|＝2c＝
，
在△BF1F2中，由余弦定理可得：
cos∠F1BF2＝
＝，
∴cos∠BAF1＝cos（π﹣2∠F1BF2）
＝﹣cos（2∠F1BF2）＝﹣（2cos2∠F1BF2﹣1）
＝
＝
．
故选：D．
4．已知F1，F2 分别为双曲线C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F1AF2
＝60°，若∠F1AF2的⻆平分线经过线段OF2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设OF2的中点为M，另设|AF1|＝m，|AF2|＝n，假设A 在双曲线的右⽀上，
由⻆平分线的性质可得
＝
＝
，
⼜M 是OF2的中点，则
，
根据双曲线的定义可得：m﹣n＝2a，所以m＝3a，n＝a，
则在三⻆形AF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2＝
，
所以cos60°＝
＝，化简可得
，即
，
所以双曲线的离⼼率为
，
故选：B．
5．设双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与曲线的右⽀交
于A，B 两点，若|F1A|＝|AB|＝2|F1B|，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．4
【解答】解：因为|F1A|＝|AB|＝2|F1B|，设|BF1|＝r，则|AF1|＝|AB|＝2r，
由双曲线的定义可得|BF2|＝|BF1|﹣2a＝r﹣2a，|AF2|＝|AB|﹣|BF2|＝2r﹣（r﹣2a）＝r+2a，
|AF1|﹣|AF2|＝2a，所以2r﹣（r+2a）＝2a，可得r＝4a，
所以|AF1|＝8a，|BF1|＝4a，|BF2|＝2a，|AF1|＝8a，|AF2|＝6a，
在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1F2A＝
＝
＝
，
在△BF1F2 中，由余弦定理：cos∠F1F2B＝
＝
＝
，
因为∠F1F2A 与∠F1F2B 互为补⻆，所以cos∠F1F2A+cos∠F1F2B＝0，
即
+
＝0，整理可得：c2＝4a2，
解得：e＝＝2，
故选：C．
6．已知F1，F2 是椭圆
的两个焦点，P 是椭圆上⼀点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2 的⾯积等于
（
）
A．24
B．26
C．
D．
【解答】解：由椭圆的⽅程可得a2＝49，b2＝24，可得c2＝a2﹣b2＝49﹣24＝25，
可得a＝7，c＝5，
由3|PF1|＝4|PF2|，⽽|PF1|+|PF2|＝2a＝14，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，
可得|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，可得PF1⊥PF2，
所以△PF1F2的⾯积等于
|PF1|•|PF2|＝×8×6＝24，
故选：A．
7．已知F1，F2是椭圆
的左、右焦点，点P 在C 上，且线段PF1的中点在以F1F2为直径的
圆上，则三⻆形PF2F1的⾯积为（
）
A．
B．
C．4
D．6
【解答】解：已知F1，F2 是椭圆
的左、右焦点，点P 在C 上，且线段PF1 的中点在以
F1F2为直径的圆上，
设PF1的中点为M，
则|PF2|＝2|OM|＝2c＝4，
于是|PF1|＝2a﹣2c＝4，
⼜|F1F2|＝4，
则△PF1F2为正三⻆形，
即
．
故选：A．
8．已知F1，F2 分别为双曲线C：x2﹣y2＝1 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝60°，则
＝
（
）
A．
B．
C．
D．3
【解答】解：由双曲线⽅程可知，a＝1，b＝1，c＝
，|F1F2|＝2
．
由双曲线定义有||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，①
在△F1PF2中，由余弦定理有：
8＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°②
联⽴①②解得|PF1||PF2|＝4，
则
＝|PF1||PF2|sin60°＝
＝
．
故选：B．
9．已知F1，F2为双曲线
的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的⾯积为
（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为双曲线
中，a＝
，b＝1，c＝
，
且|
，
，⼜∠F1PF2＝60°，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，所以|PF1||PF2|＝4，
所以△PF1F2的⾯积为
．
故选：C．
10．设F1，F2分别是双曲线
的上、下焦点，双曲线上的点P 满⾜3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的⾯
积等于（
）
A．
B．12
C．
D．6
【解答】解：已知F1，F2分别是双曲线
的上、下焦点，双曲线上的点P 满⾜3|PF1|＝5|PF2|，
由|PF1|﹣|PF2|＝2a 可得
，
故|PF2|＝3a＝3，|PF1|＝5a＝5，
⼜|F1F2|＝2c＝4，
故
，
即|PF2|⊥|F1F2|，
故△PF1F2的⾯积为
．
故选：D．
11．已知F1，F2分别是双曲线C：
的左、右两个焦点，点P 在双曲线C 上，且满⾜∠F1PF2＝60
°，则△F1PF2的⾯积是（
）
A．1
B．
C．3
D．
【解答】解：已知F1，F2分别是双曲线C：
的左、右两个焦点，点P 在双曲线C 上，
则||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝
，
⼜∠F1PF2＝60°，
则
﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即28＝42+|PF1||PF2|，
即|PF1||PF2|＝12，
即△F1PF2的⾯积是
＝
．
故选：D．
12．已知F1，F2分别是双曲线C：
的左、右焦点，P 为C 上⼀点，PF1⊥PF2，
且△F1PF2的⾯积等于8，则b＝（
）
A．
B．2
C．
D．4
【解答】解：F1，F2分别是双曲线C：
的左、右焦点，P 为C 上⼀点，PF1
⊥PF2，且△F1PF2的⾯积等于8，
可得：||PF1|﹣|PF2||＝2a，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，|PF1||PF2|＝8，解得c2﹣a2＝8，b＝2
．
故选：C．
13．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2，点P 在
C 上，且C 的离⼼率为
，△PF1F2的周⻓为10，则四边形B1F1B2F2的⾯积为（
）
A．5
B．
C．
D．
【解答】解：∵C 的离⼼率为
，∴
，即a＝4c．
⼜∵△PF1F2的周⻓为10，由椭圆的定义可得：2a+2c＝10，即a+c＝5．
联⽴
，解得
．
⼜∵a2＝b2+c2，∴
，∴四边形B1F1B2F2的⾯积为
．
故选：B．
14．已知F1，F2分别为椭圆C：
＝1 的左、右焦点，直线y＝2x 与C 交于两点A，B，则平⾏四边
形AF1BF2的周⻓为（
）
A．
B．8
C．
D．16
【解答】解：由题可得椭圆C：
＝1 的⻓半轴⻓为a＝2
，
所以|AF1|+|BF2|＝2a＝4
，
|BF1|+|BF2|＝2a＝4
．
所以平⾏四边形AF1BF2的周⻓为8
．
故选：C．
15．已知F1，F2分别为椭圆C：
的两个焦点，C 的离⼼率为
，若P 为C 上⼀点，则
△PF1F2的周⻓为（
）
A．6
B．9
C．9 或
D．12 或
【解答】解：已知F1，F2分别为椭圆C：
的两个焦点，C 的离⼼率为
，
⼜P 为C 上⼀点，
当9＞m＞0 时，可得
，
解得
，
此时△PF1F2的周⻓为
，
当9＜m 时，可得
，
解得m＝12，
此时△PF1F2的周⻓为
，
所以△PF1F2的周⻓为9 或
．
故选：C．
16．已知点F1，F2是椭圆
的左、右焦点，若过焦点F1的直线交椭圆C 于A，B 两点，则△
AF2B 的周⻓为（
）
A．6
B．4
C．
D．8
【解答】解：已知
，
则a2＝4，
则a＝2，
由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，
所以△ABF2的周⻓为|AF2|+|BF2|+|AB|＝|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|＝4a＝8．
故选：D．
17．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆
的左，右焦点，点P 为直线
与椭圆E 的⼀个公共点，满⾜PF1⊥PF2，且
，则椭圆E 的⽅程为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为点P 在椭圆E 上，
所以|PF1|+|PF2|＝2a，
可得
，
即
，
因为PF1⊥PF2，
故
，
即
，
因为
，
所以
；
易知直线
，
所以直线PF2的⽅程为
，
联⽴
，
解得
，
即
，
因为点P 在椭圆上，
所以
，
⼜a2＝b2+c2，
整理得a4﹣48a2﹣49＝0，
解得a2＝49，
则椭圆E 的⽅程为
．
故选：B．
18．已知椭圆
＝1（0＜m＜8）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 是椭圆上⼀个动点，若△PF1F2的
⾯积的最⼤值为3
，则m＝（
）
A．7
B．3
C．
D．9
【解答】解：根据题意可知椭圆半焦距
，设点P（x0，y0），y0≠0，那么
，
所以△PF1F2的⾯积
，
所以
，所以m2﹣16m+63＝0，化简得（m﹣7）（m﹣9）＝0，
即m＝7 或9．
⼜因为0＜m＜8，解得m＝7，
因此m＝7．
故选：A．
19．已知P 为椭圆C：
＝1 上⼀点，F1，F2分别是椭圆C 的左、右焦点．若点P 的横坐标为
，
则△PF1F2的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．4
【解答】解：已知P 为椭圆C：
＝1 上⼀点，F1，F2分别是椭圆C 的左、右焦点．
则
，
若点P 的横坐标为
，
则
，
即
，
则△PF1F2的⾯积为
．
故选：C．
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）20．设椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，P 是C 上的动点，则（
）
A．△PF1F2的周⻓为16
B．|PF1|的最⼩值为
C．△PF1F2的⾯积的最⼤值为12
D．存在点P，使得PF1⊥PF2
【解答】解：已知椭圆
，
则a＝5，b＝4，c＝
，F1（﹣3，0），F2（3，0），
对于A，|PF1|+|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝6，
则2a+2c＝16，
即△PF1F2的周⻓为16，
故A 正确；
对于B，当点P 在椭圆的左顶点时，得|PF1|min＝a﹣c＝2，
故B 错误；
对于C，设△PF1F2的顶点P（x0，y0），
则|y0|≤4，
则△PF1F2的⾯积
，
所以△PF1F2⾯积的最⼤值Smax＝12，
故C 正确；
对于D，设存在点P（x0，y0），使得PF1⊥PF2，
则
，
即
，
⼜
，
则
，
代⼊
，
得
，
此⽅程⽆实数解，
故D 错误．
故选：AC．
三．填空题（共4 ⼩题）
21．双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C 在第⼀
象限相交于点P．若直线PF1的斜率为
，△PF1F2的⾯积为8，则双曲线C 的⽅程为
．
【解答】解：双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆
与C 在第⼀象限相交于点P，
则PF1⊥PF2．
在Rt△PF1F2中，由直线PF1的斜率为
，
得
，
即|PF1|＝2|PF2|．
由△PF1F2的⾯积为8，
根据三⻆形⾯积公式
，
将|PF1|＝2|PF2|代⼊上式，可得
，
即
，
解得
，
．
由双曲线的定义知
，
故
．
在Rt△PF1F2中，
，
即
，
故
，
即
．
所以b2＝c2﹣a2＝10﹣2＝8，
所以双曲线C 的⽅程为
．
故答案为：
．
22．已知F1，F2 分别是离⼼率为
的椭圆
的左、右焦点，P 是E 上⼀点且
，若△F1PF2的⾯积为
，则a＝2
．
【解答】解：由题得
，
所以a＝2c，
，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
则m+n＝2a＝4c，mn＝4（a2﹣b2）＝4c2，
由余弦定理得
，
故
，
得a＝2．
故答案为：2．
23．已知双曲线
（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．通过F2且倾斜⻆为
的直线与双曲
线交于第⼀象限的点A，延⻓AF2⾄B 使得AB＝AF1．若△BF1F2的⾯积为
，则a 的值为
．
【解答】解：已知
，
则b2＝6﹣a2＞0，
解得
，
⼜
，
则
，
，
设B（xB，yB），
⼜△BF1F2的⾯积为
，
则
，
解得yB＝﹣3，
由题意可得直线AB 的斜率
，
则⽅程为
，
将yB＝﹣3 代⼊上式，
则
，
解得
，
由题意可得
，
易知
．
故答案为：
．
24．双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交双曲线的两⽀于A，
B 两点，△ABF2为等边三⻆形，则双曲线的离⼼率为
．
【解答】解：双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交双曲线
的两⽀于A，B 两点，△ABF2为等边三⻆形，
则|AF1|﹣|AF2|＝2a①，|BF2|﹣|BF1|＝2a②，
在等边△ABF2中，|AB|＝|BF2|＝|AF2|，
可得①+②可得：|AF1|﹣|BF1|＝|AB|＝4a，
则|AB|＝|AF1|＝|AF2|＝4a，
由|BF2|﹣|BF1|＝2a，
则|BF1|＝2a，
在△F1BF2中，∠F1BF2＝180°﹣∠ABF2＝120°，
由余弦定理可得：
，
即
，
由
，
则﹣2＝5﹣e2，
解得
．
故答案为：
．
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圆锥曲线—— 题型06
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共3 ⼩题）
题号
1
2
3
答案
C
A
B
⼀．选择题（共3 ⼩题）
1．已知点P 为双曲线
右⽀上⼀点，F1，F2 分别为双曲线的左右焦点，且
，Ⅰ为△PF1F2的内⼼，若
λ
，则λ的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为点P 为双曲线
右⽀上⼀点，
⼜F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且
，Ⅰ为△PF1F2的内⼼，
设△PF1F2的内切圆半径为r（r＞0），因为
，
所以
，可得|PF1|﹣|PF2|＝2λc，
因为点P 为双曲线
右⽀上⼀点，
所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得2a＝2λc，解得
，
⼜因为
，可得
，
整理得2a2+3ac﹣2c2＝0，
即2λ2+3λ﹣2＝0，解得
或λ＝﹣2（舍去）．
故选：C．
2．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作倾斜⻆为
的直线交双曲线C 于A，
B 两点，若△AF1F2，△BF1F2的内切圆半径分别为r1，r2，则r1r2＝（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【解答】解：双曲线
中，a＝3，b＝4，c＝5，
设△AF1F2，△BF1F2的内切圆的圆⼼分别为M，N，
则根据双曲线的⼏何性质易得MN⊥x 轴，且两圆都切于双曲线的右顶点P，
∠AF2M＝∠MF2F1＝60°，∠F1F2N＝∠BF2N＝30°，
∴r1＝|PF2|tan60°＝（c﹣a）×
＝
，
r2＝|PF2|tan30°＝（c﹣a）×
＝
，
∴r1r2＝4．
故选：A．
3．已知双曲线C：
＝1 的⼀条渐近线⽅程为x+
y＝0，虚轴⻓为2，C 的两焦点为F1，F2，P 为
C 上⼀点，且∠F1PF2＝60°，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别R，r，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：双曲线C：
＝1 的⼀条渐近线⽅程为x+
y＝0，虚轴⻓为2，可得b＝1，a＝
，
c＝2，由P 为双曲线的右⽀上⼀点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2
，••••①
在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|•cos60°，
可得|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1||PF2|＝16，••••②
由①②可得|PF1||PF2|＝4，|PF1|+|PF2|＝2
，
由2R＝
＝
，
⼜
＝|PF1|•|PF2|•sin60°＝
＝（|PF1|+|PF2|+2c）r＝（2+
）r，
所以r＝
，
所以
＝
＝
．
故选：B．
⼆．填空题（共4 ⼩题）
4．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F2的直线与C 的右⽀交于点G，H，若
△GF1F2的内切圆半径为2，则△HF1F2的内切圆半径为
．
【解答】解：已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F2的直线与C 的右⽀交于
点G，H，若△GF1F2的内切圆半径为2，
设△GF1F2与△HF1F2的内切圆半径分别为r1，r2，
不妨设直线GH 的斜率为正，点S，E，D1，D2均为切点．
由切线⻓定理知|GS|＝|GD1|，|F1S|＝|F1E|，|F2E|＝|F2D1|，
则|F1E|﹣|F2E|＝|F1S|﹣|F2D1|＝|F1S|+|GS|﹣（|F2D1|+|GD1|）＝|GF1|﹣|GF2|＝2a，
⼜|F1E|+|F2E|＝2c，
可得|F2E|＝c﹣a，
则E（a，0），
即△GF1F2的内切圆圆⼼C1的横坐标为a，
同理可得△HF1F2的内切圆圆⼼C2的横坐标也为a．
所以C1C2⊥x 轴，且|C1C2|＝r1+r2，
作C2R⊥C1D1于R，
则|C1R|＝|C1D1|﹣|RD1|＝r1﹣r2，|C2R|＝|D1D2|＝|D2F2|+|D1F2|＝2|EF2|＝2（c﹣a），
在△C1C2R 中，有
，
即
，
整理得
，
故当r1＝2 时，
．
故答案为：
．
5．如图所示，已知F1，F2分别为双曲线
的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右⽀交于A，B
两点，记△AF1F2 的内切圆O1 的⾯积为S1，△BF1F2 的内切圆O2 的⾯积为S2，则S1+S2 的取值范围是
【解答】解：由双曲线
，得渐近线⽅程为
，两渐近线倾斜⻆分别为
和
．
过F2的直线与双曲线的右⽀交于A，B 两点，可知直线AB 的倾斜⻆取值范围为
，
由双曲线定义和圆的切线⻓定理可知O1、O2的横坐标均为1，即O1O2与x 轴垂直．
可得圆O1和圆O2均与x 轴相切于G（1，0），圆O1和圆O2两圆外切．
在△O1O2F2中，∠O1F2O2＝90°，O1O2⊥F2G，
则由直⻆三⻆形的射影定理可知
，即（c﹣a）2＝r1•r2，则r1•r2＝1．
由直线AB 的倾斜⻆取值范围为
，可知∠AF2F1的取值范围为
，
则∠O1F2F1的取值范围为
，
故r1＝|GF2|tan∠O1F2F1＝tan∠O1F2F1∈（
），
则
，
，
令
，由对勾函数的单调性可知f（x）在
单调递减，在（1，3）单
调递增．
⼜f（1）＝2，
，
，
∴
的值域为
，
故
，
的值域为
．
故答案为：
．
6．已知F1，F2 是双曲线
的左，右焦点，过左焦点F1的直线l 交双曲线左⽀
于M，N 两点（其中M 在x 轴上⽅，N 在x 轴下⽅），△MF1F2的内切圆半径为R，△NF1F2的内切圆半
径为r．若R＝4r，则直线l 的斜率等于
．
【解答】解：已知F1，F2 是双曲线
的左，右焦点，过左焦点F1 的直线l
交双曲线左⽀于M，N 两点（其中M 在x 轴上⽅，N 在x 轴下⽅），△MF1F2的内切圆半径为R，△NF1F2
的内切圆半径为r，且R＝4r，
设△MF1F2的内切圆的圆⼼为O1，△NF1F2的内切圆的圆⼼为O2，
记边MF2，MF1，F1F2上的切点分别为P，A，D，
由切线的性质可得：|MP|＝|MA|，|F1A|＝|F1D|，|F2P|＝|F2D|，
由双曲线定义得：|MF2|﹣|MF1|＝2a，
即|MP|+|F2P|﹣（|MA|+|F1A|）＝2a，
则|F2P|﹣|F1A|＝|F2D|﹣|F1D|＝2a，
⼜
，
则|F2D|＝c+a，|F1D|＝c﹣a，
⼜|OF1|＝c，
则|OD|＝a，
即D（﹣a，0），
同理可得，△NF1F2的内切圆也与轴相切于点D（﹣a，0）．
连接O1O2，
则O1O2与x 轴垂直，
设圆O2与l 相切于点B，连接O1A，O2B，
过点O2作O2E⊥O1A 于E，
则O1A⊥MN，O2B⊥MN，
设直线l 的倾斜⻆为θ，
即∠MF1D＝θ，显然四边形O1AF1D 有外接圆，
则∠AO1D＝π﹣θ，
在Rt△O1O2E 中，|O1O2|＝|O1D|+|O2D|＝R+r＝5r，
|O1E|＝|O1A|﹣|AE|＝|O1A|﹣|O2B|＝R﹣r＝3r，
则|O2E|＝4r，
所以直线l 的斜率
．
故答案为：
．
7．设⽆论m（m∈R）取何值，直线mx+y﹣2﹣2m＝0 恒过定点（x0，y0），已知双曲线
＝1（a＞0）
的左右焦点依次为F1，F2，且P 为双曲线右⽀上任意⼀点（x 轴上的点除外），当点P 运动时，焦点三
⻆形F1PF2内切圆圆⼼始终在直线x＝x0上运动，则双曲线
＝1 的渐近线⽅程为
y＝
x
．
【解答】解：mx+y﹣2﹣2m＝0 整理可得：m（x﹣2）+（y﹣2）＝0，所以恒过（2，2），
所以x0＝2，
如图设三⻆形F1PF2内切圆与各边的切点分别为M，N，E，设右顶点为A（a，0）．
因为2a＝PF1﹣PF2＝（PM+MF1）﹣（PN+NF2）＝（PN+F1E）﹣（PN+EF2）＝EF1﹣EF2＝（c+OE）﹣
（c﹣OE）＝2OE，
所以OE＝a，即圆⼼Q 的横坐标为a，
由题意可得三⻆形F1PF2内切圆圆⼼始终在直线x＝x0＝2 上运动，所以a＝2，
所以双曲线的⽅程为：
＝1，
即a2＝4，b2＝1，
所以渐近线的⽅程为：y＝±
＝
x．，
故答案为：y＝
x．
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圆锥曲线——题型07
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共4 ⼩题）
题号
1
2
3
4
答案
D
B
B
A
⼀．选择题（共4 ⼩题）
1．已知椭圆C：
＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点对称点分别为A，B，线段MN
的中点在C 上，则|AN|+|BN|＝（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【解答】解：设MN 的中点为Q，椭圆C 的左右焦点分别为F1，F2，
如图，连接QF1，QF2，
∵F1是MA 的中点，Q 是MN 的中点，
∴F1Q 是△MAN 的中位线；
⼁QF1⼁＝⼁AN ⼁，
同理：⼁QF2⼁＝⼁NB ⼁，
∵Q 在椭圆C 上，
∴|QF1|+|QF2|＝2a＝6，
∴|AN|+|BN|＝12．
故选：D．
2．椭圆
上⼀点M 到焦点F1的距离为2，N 是MF1的中点，O 是椭圆中⼼，则|ON|的值是（
）
A．2
B．4
C．8
D．
【解答】解：∵|MF2|＝10﹣2＝8，
ON 是△MF1F2的中位线，
∴
，
故选：B．
3．从双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F 引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延⻓FT 交双曲线右
⽀于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（
）
A．c﹣a
B．b﹣a
C．a﹣b
D．c﹣b
【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O 分别为线段PF，FF′的中点，
由三⻆形中位线定理得到：|OM|＝|PF′|＝（|PF|﹣2a）＝|PF|﹣a
＝|MF|﹣a，
∴|OM|﹣|MT|＝|MF|﹣|MT|﹣a＝|FT|﹣a，连接OT，因为PT 是圆的切线，
则OT⊥FT，
在Rt△FOT 中，|OF|＝c，|OT|＝a，
∴|FT|＝
＝b．
∴|OM|﹣|MT|＝b﹣a．
故选：B．
4．过双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延⻓FE
交抛物线y2＝4cx 于点P，O 为坐标原点，若
＝（
+
），则双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，
∴|EF|＝
＝b，
∵
＝（
+
），
∴E 为PF 的中点，|OP|＝|OF|＝c，|PF|＝2b，
设F'（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO 为三⻆形PFF'的中位线，
则|PF'|＝2|OE|＝2a，可令P 的坐标为（m，n），
则有n2＝4cm，
由抛物线的定义可得|PF'|＝m+c＝2a，
m＝2a﹣c，n2＝4c（2a﹣c），
⼜|OP|＝c，即有c2＝（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），
化简可得，c2﹣ac﹣a2＝0，
由于e＝，则有e2﹣e﹣1＝0，
由于e＞1，
解得，e＝
．
故选：A．
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圆锥曲线——题型08
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共23 ⼩题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
D
A
B
B
B
D
D
C
B
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
A
A
C
D
C
A
B
C
D
C
B
题号
23
答案
C
⼀．选择题（共23 ⼩题）
1．斜率为1 的直线l 与椭圆
相交于A，B 两点，则|AB|的最⼤值为（
）
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：设直线l 的⽅程为y＝x+t，代⼊椭圆
，消去y 得3x2+4tx+2t2﹣2＝0，
A，B 两点的横坐标为：x1，x2；
x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
由题意得Δ＝（4t）2﹣12（2t2﹣2）＞0，即t2＜3．
弦⻓|AB|＝
|x1﹣x2|＝
＝
≤
．当且仅当t＝0 时取得最⼤
值．
故选：D．
2．若直线y＝kx 与曲线（x﹣
）2+（|y|﹣1）2＝1 有交点，则k 的取值范围是（
）
A．[﹣
，
]
B．[﹣1，1]
C．[﹣
，
]
D．[﹣
，
]
【解答】解：当y≥0 时，曲线⽅程为：（x﹣
）2+（y﹣1）2＝1，表示的是以M（
，1）为圆⼼，半
径为1 的圆，
当y＜0 时，曲线⽅程为：（x﹣
）2+（y+1）2＝1，表示的是以N（
）为圆⼼，半径为1 的圆，
所以圆⼼M，N 分别到直线y＝kx 的距离为d
，d
，
因为直线y＝kx 与曲线有交点，只需直线与圆M 或圆N 有公共点即可，
则d1≤1 或d2≤1，即
或
，
化简可得k
或k
，
解得0
或﹣
，
所以实数k 的取值范围为[﹣
]，
故选：A．
3．已知抛物线⽅程y2＝4x，过点P（0，2）的直线与抛物线只有⼀个交点，这样的直线有_____条．（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：因为点P（0，2）不在抛物线上，
易知当直线斜率不存在时，直线⽅程为x＝0，满⾜题意；
当直线斜率k＝0 时，易知y＝2 满⾜条件；
当直线斜率存在且k≠0 时，设直线⽅程为y＝kx+2，
由
，整理得到k2x2+（4k﹣4）x+4＝0，
由
，解得
；
综上所述：满⾜条件的直线有3 条．
故选：D．
4．直线y＝kx+1（k∈R）与椭圆
恒有公共点，则m 的取值范围是（
）
A．[1，5）∪（5，+∞）
B．（0，5）
C．[1，+∞）
D．（1，5）
【解答】解：联⽴
，消去y 得到（m+5k2）x2+10kx+5﹣5m＝0，（m＞0，m≠5）
∵直线y＝kx+1（k∈R）与椭圆
恒有公共点，
∴△≥0，即100k2﹣20（1﹣m）（m+5k2）≥0，化为m2+5mk2﹣m≥0，
∵m＞0，∴m≥﹣5k2+1，
∵﹣5k2+1≤1，∴m≥1（m≠5）．
另解：⾸先，由于是椭圆，所以，m 不等于5；其次，把定点（0，1）代⼊，由于恒有交点，所以该定点
在椭圆内或椭圆上，即0+
≤1，解得m≥1，综述，m≥1，且m≠5．
故选：A．
5．已知直线l：kx﹣y+6k﹣6＝0 和曲线
，当
时，直线l 与曲线C 的交点个数为
（
）
A．0
B．1
C．2
D．⽆法确定
【解答】解：直线l：kx﹣y+6k﹣6＝k（x+6）﹣（y+6）＝0，
所以直线l 恒过A（﹣6，﹣6），
曲线
表示以原点为圆⼼，以3 为半径的圆的上半部分，
当k＝时，直线l：y＝
与圆交于（3，0），
当k＝2 时，直线l：y＝2x+6 经过点（﹣3，0），
结合图象可知，当
时，直线l 与曲线C 的交点个数为1．
故选：B．
6．直线3x﹣2y+6＝0 与曲线
的公共点的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：x≥0 时，曲线
化为：
﹣
＝1，与直线3x﹣2y+6＝0 联⽴化为x＝0，∴y
＝3，此时只有⼀个交点（0，3）．
x＜0 时，曲线
化为：
+
＝1，与直线3x﹣2y+6＝0 联⽴化为x＝﹣2，∴y＝0，此时只
有⼀个交点（﹣2，0）．
综上可得直线3x﹣2y+6＝0 与曲线
的公共点的个数是2，
故选：B．
7．直线
与椭圆
相交于A、B 两点，该椭圆上点P，使得△APB 的⾯积等于3．这样的
点P 共有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：联⽴
，整理可得：（1﹣）2+
＝1，
即2y2﹣6y＝0，可得y＝0 或y＝3，
可得
，
，设A（0，3），B（4，0），
所以|AB|＝
＝5，
设P（4cosθ，3sinθ），θ∈[0，2π），直线AB 的⽅程为：3x+4y﹣12＝0，
设P 到直线AB 的距离为d，则S△PAB＝|AB|•d＝•5d＝3，
所以d＝，
⽽P 到直线AB 的距离d＝
＝
•|
sin（θ+
）﹣1|，
所以|
sin（θ+
）﹣1|＝，所以
sin（θ+
）﹣1＝或
sin（θ+
）﹣1＝﹣，
即
sin（θ+
）＝＞
（舍）或
sin（θ+
）＝，
即sin（θ+
）＝
，因为θ+
∈[
，π），
所以θ+
有两个⻆满⾜条件，即由两个θ满⾜条件，
即有两个P 点满⾜条件，
故选：B．
8．等轴双曲线x2﹣y2＝a2与直线y＝ax（a＞0）没有公共点，则a 的取值范围（
）
A．a＝1
B．0＜a＜1
C．a＞1
D．a≥1
【解答】解：由
得（1﹣a2）x2＝a2，
若a＝1，（1﹣a2）x2＝a2⽆解，即两曲线⽆公共点；
若1﹣a2＜0，即a＞1 或a＜﹣1（舍），两曲线⽆公共点；
综上所述，a≥1．故排除A、B、C；
故选：D．
9．已知直线y＝2x+t 与椭圆
相交于A、B 两点，若线段AB 的中点纵坐标为
，则t＝（
）
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：联⽴直线与椭圆⽅程得
，整理得17x2+16tx+4t2﹣4＝0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1＝2x1+t，y2＝2x2+t，
∴x1+x2＝﹣
，x1•x2＝
，y1+y2＝2（x1+x2）+2t＝2×（﹣
）+2t＝
，
∵线段AB 的中点纵坐标为
，
∴y1+y2＝
＝1，解得t＝
，
故选：D．
10．经过椭圆
的右焦点作倾斜⻆为
的直线L，交椭圆于M，N 两点，设O 为坐标原点，则向
量
点乘向量
等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵椭圆
的右焦点为F（1，0），
故直线L：y＝x﹣1，
联⽴
，消去y 可得，7x2﹣8x﹣8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得，x1x2＝﹣，x1+x2＝，y1y2＝x1x2﹣x1﹣x2+1＝﹣．
所以
•
＝x1x2+y1y2＝﹣﹣＝﹣
．
故选：C．
11．直线y＝x+1与椭圆mx2+ny2＝mn（m＞n＞0）相交于A、B两点，弦AB的中点纵坐标为
，则双曲线
＝1 的两条渐近线所夹锐⻆的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：把直线与椭圆⽅程联⽴
，
消去x 得（m+n）y2﹣2my﹣mn+m＝0，
∴y1+y2＝
＝，
∴
＝，
双曲线
＝1 的两条渐近线
，
双曲线的渐近线⽅程y＝±2x，y＝2x 的倾斜⻆⼤于45°，
渐近线的夹⻆α的正切值为：tanα＝|
|＝，
∴两条渐近线所夹的余弦值为：cosα＝
＝
＝．
故选：B．
12．已知椭圆
上存在两点M、N 关于直线y＝﹣x+t 对称，且MN 的中点在抛物线y2＝x 上，则实
数t 的值为（
）
A．0
B．2
C．0 或2
D．0 或6
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠x2，MN 的中点为E（x0，y0），
则
，由点差法可得
，
则
，
因为
，代⼊可得
，由M，N 两点关于直线y＝﹣x+t 对称，
可得kMN＝1，所以
，⼜因为y0＝﹣x0+t，所以x0＝2t，y0＝﹣t，
代⼊抛物线y2＝x，即（﹣t）2＝2t，解得t＝0 或t＝2，
当t＝2 时，y＝﹣x+2 与椭圆相离，不符合题意，
故t＝0．
故选：A．
13．椭圆mx2+ny2＝1 与直线y＝1﹣x 交于M、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线的斜率为
，则
的
值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN 中点P（x0，y0）．
由
，
，两式相减得
．
⼜x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，
，
∴mx0﹣ny0＝0，
∵
．
∴
．
故选：A．
14．直线y＝kx（k＞0）与双曲线
没有交点，则k 的取值范围为（
）
A．[
，+∞）
B．（2，+∞）
C．[
，+∞）
D．（0，
）
【解答】解：双曲线
的渐近线⽅程为：y＝±
x，
根据双曲线的性质可知直线y＝kx（k＞0）与双曲线
没有交点，满⾜k
．
故选：C．
15．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px 上，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线与抛物线C 交于M（x1，
y1），N（x2，y2）两点，若x1+x2＝4，则|MN|＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：因为点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px 上，
所以4＝2p，解得p＝2，
所以抛物线的⽅程为y2＝4x，焦点F（1，0），准线⽅程为：x＝﹣1，
因为过点F 的直线与抛物线C 交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，
所以由抛物线的定义可得：|MN|＝|FM|+|FN|＝x1+1+x2+1＝x1+x2+2＝6．
故选：D．
16．若双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线被圆x2+（y﹣2）2＝4 所截得的弦⻓为2
，则
C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．3
【解答】解：双曲线
的⼀条渐近线⽅程设为bx﹣ay＝0，
圆x2+（y﹣2）2＝4 的圆⼼为（0，2），半径r＝2，
可得圆⼼到渐近线的距离为d＝
，
则2
＝2
，
化简可得c2＝4a2，
∴双曲线C 的离⼼率为
＝2．
故选：C．
17．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），O 为原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率为
的直线与抛物线交于点
A，B，直线AO，BO 分别交抛物线的准线于点C，D，则
为（
）
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），准线l 的⽅程y＝﹣，
依题意设直线AB 的⽅程为y﹣＝
x，即
x﹣y+
＝0，
联⽴
，得x2﹣2
px﹣p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝
p，x1x2＝﹣p2，
故y1•y2＝
＝
，
弦|AB|＝
＝2|x1﹣x2|，
因为直线AO，BO 分别交抛物线的准线于点C，D，
所以
，即
，所以
，
即C（
，
），同理可得D（
，
），
所以|CD| ＝|
| ＝
＝
＝
＝|x1﹣x2|，
所以
＝2．
故选：A．
18．已知抛物线y2＝x 的焦点为F，过点A（1，0）的直线交抛物线于M，N 两点，直线MF，NF 分别于抛
物线交于点P，Q．设直线MN，PQ 的斜率分别为k1，k2，则
＝（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【解答】解：抛物线y2＝x 的焦点为F（，0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），
所以MF 的⽅程为y＝
（x﹣），
设k0＝
，则MF：y＝k0（x﹣），
联⽴
，消去y 并整理得
x2﹣（
+1）x+
＝0，
由⻙达定理得x1x3＝
＝
，
所以x3＝
，所以y3＝k0（x3﹣）＝
（
﹣）＝
，
所以P（
，
），同理可得Q（
，
），
所以k2＝
＝
，
因为k1＝
＝
＝
，所以x1y2﹣y2＝x2y1﹣y1，
所以x1y2﹣x2y1＝y2﹣y1，
所以k2＝
＝4k1，即
＝4．
故选：B．
19．已知过点P（﹣2，2）的直线l 与抛物线y2＝4x 交于A，B 两点，且
＝
，点Q 满⾜
＝﹣
，
点C（4，0），则|QC|的最⼩值为（
）
A．
B．2
C．
D．1
【解答】解：易知直线l 的斜率存在且不为零，
不妨设直线l 的⽅程为y＝k（x+2）+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，消去x 并整理得ky2﹣4y+8k+8＝0，
因为Δ＝16﹣4k（8k+8）＞0，
所以2k2+2k﹣1＜0，
由⻙达定理得
，
，①
不妨设Q（x0，y0），
因为
，
所以y1﹣2＝λ（y2﹣2），②
因为
，
所以y1﹣y0＝﹣λ（y2﹣y0），③
联⽴②③可得（y0+2）（y1+y2）﹣2y1y2﹣4y0＝0，④
⼜
，⑤
联⽴①④⑤，可得x0﹣y0﹣2＝0，
所以|QC|的最⼩值即为点C（4，0）到直线x﹣y﹣2＝0 的距离，
则最⼩距离d＝
＝
，
经检验，其满⾜2k2+2k﹣1＜0，
所以|QC|的最⼩值为
．
故选：C．
20．若抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线
与抛物线交于A，B 两点，且|AF|﹣
，
则|AB|＝（
）
A．4
B．
C．2
D．
【解答】解：由抛物线的⽅程可知焦点F（0，），所以直线l：y＝2x+
过焦点F，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，整理可得x2﹣4px﹣p2＝0，
可得x1+x2＝4p，x1x2＝﹣p2，
所以y1+y2＝2（x1+x2）+p＝2×4p+p＝9p，y1y2＝
＝
，
因为|AF|﹣
，由抛物线的定义可得y1﹣y2＝，即
＝，
即
＝，解得p＝
，
由抛物线的性质可得|AB|＝y1+y2+p＝9p+p＝10p＝10×
＝
．
故选：D．
21．已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，过点（0，3）的直线与C 交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线
与x 轴的交点为点D，若AF+BF＝6，则△ABD 的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不妨直线AB 的⽅程为y＝kx+3，
联⽴
，消去y 并整理得k2x2+（6k﹣4）x+9＝0，
易知Δ＞0，
解得
，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由⻙达定理得
，
，
所以
，
此时AB 中点为
，
因为
，
解得k＝﹣2 或k＝（舍去），
此时AB 垂直平分线⽅程为
，
不妨令y＝0，
解得x＝4，
所以D（4，0），
此时
，
⽽点D 到直线AB 距离
，
则S△ABD＝AB•d＝
＝
．
故选：C．
22．已知⽅程组
的解集为A＝{（x1，y1），（x2，y2）}，且
，则k＝（
）
A．1 或﹣1
B．
或
C．或
D．2 或﹣2
【解答】解：由题设x2+2（kx+1）2＝4，则（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，且Δ＝16k2+8（1+2k2）＞0，
所以
，
，
⽽
，即
，
整理得
，可得
．
故选：B．
23．已知直线l：y＝2x+3 被椭圆
截得的弦⻓为7，则下列直线中被椭圆C 截
得的弦⻓⼀定为7 的有（
）
①y＝2x﹣3
②y＝2x+1
③y＝﹣2x﹣3
④y＝﹣2x+3．
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【解答】解：由于直线l：y＝2x+3 被椭圆
截得的弦⻓为7，
根据对称性可得：y＝2x﹣3，y＝﹣2x﹣3，y＝﹣2x+3．满⾜条件．
⽽直线y＝2x+1 被椭圆C 截得的弦⻓⼤于7．
综上可得：下列直线中被椭圆C 截得的弦⻓⼀定为7 的有①③④．
故选：C．
⼆．填空题（共3 ⼩题）
24．若曲线|y|＝x+3 与曲线
恰有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为
（1，+∞）
．
【解答】解：曲线
过定点（0，±3），
曲线：|y|＝x+3≥0，x≥﹣3，
故曲线是以（﹣3，0）为端点的两条射线：y＝x+3（x≥﹣1）和﹣y＝x+3（x≥﹣1），关于x 轴对称；
①当m＜0 时，曲线
为焦点在y 轴的双曲线，
则两曲线在y 轴右侧必有两个交点，还有两个顶点，所以不满⾜题意；
②当m＞0 时，曲线C1为圆或椭圆，
联⽴
，消y 得（1+
）x2+6x＝0，解得x＝0 或x＝
，
当
＝﹣3，即m＝1 时，射线与圆有3 个交点；0＜m＜1 时，射线与椭圆有4 个交点；
当m＞1 射线与椭圆有2 个交点，所以m＞1 时满⾜题意．
综上，曲线|y|＝x+3 与曲线
恰有两个不同的交点，实数m 的取值范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
25．如果直线l：kx﹣y﹣2k＝0 和曲线Γ：x2﹣4y|y|＝1 恰有⼀个交点，那么实数k 的取值范围是
．
【解答】解：根据题意，直线l：kx﹣y﹣2k＝0 即y＝k（x﹣2），可知直线l 经过定点（2，0），斜率为k．
曲线Γ：x2﹣4y|y|＝1，即x2﹣4y2＝1（y≥0）或x2+4y2＝1（y＜0），因此在坐标平⾯内作出曲线Γ，如图所
示，
该曲线由如下三部分构成：
①当x≤﹣1 时，曲线Γ是双曲线x2﹣4y2＝1 在y 轴左侧的⼀⽀，且在x 轴上⽅（含顶点）的部分；
②当﹣1＜x＜1 时，曲线Γ是椭圆x2+4y2＝1 在x 轴下⽅（不含左、右顶点）的部分；
③当x≥1 时，曲线Γ是双曲线x2﹣4y2＝1 在y 轴右侧的⼀⽀，且在x 轴上⽅（含顶点）的部分．
分以下三种情形讨论：
（1）当k＝0 时，直线l：y＝0，与曲线Γ有两个交点（﹣1，0）、（1，0），不符合题意；
（2）当k＞0 时，先研究曲线Γ的第②部分与直线l 的交点情况，将直线l：y＝k（x﹣2）与x2+4y2＝1 消
去y，
整理得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣1＝0，可得Δ＝256k4﹣4（1+4k2）（16k2﹣1）＝48k2﹣4，
当
时，Δ＝48k2﹣4＞0，曲线Γ的第②部分与直线l 有2 个交点；
当
时，Δ＝48k2﹣4＝0，曲线Γ的第②部分与直线l 有唯⼀公共交点；
当
时，Δ＝48k2﹣4＜0，曲线Γ的第②部分与直线l 有0 个公共点．
⽽曲线Γ的第①、③部分对应双曲线x2﹣4y2＝1，其渐近线为y＝
x，观察图象可得：
当
时，曲线Γ的第①、③部分与直线l 都没有交点；
当
时，曲线Γ的第①部分与直线l 没有交点，且曲线Γ的第③部分与直线l 有唯⼀交点；
因此，当k＞0 时，若曲线Γ与直线l 有唯⼀交点，则k＝
或
；
（3）当k＜0 时，曲线Γ的第③部分与直线l 恰有1 个交点，且曲线Γ的第②部分与直线l 的没有交点．
若
，则曲线Γ的第①部分与直线l 没有交点；当
时，曲线Γ的第①部分与直线l 有唯
⼀交点．
因此，当k＜0 时，若曲线Γ与直线l 有唯⼀交点，则
．
综上所述，若曲线Γ与直线l 有唯⼀交点，则
或k＝
或
，实数k 的取值范围是
．
故答案为：
．
26．直线y＝kx﹣k+1（k∈R）与焦点在x 轴上的椭圆
总有公共点，则m 的取值范围是
．
【解答】解：直线y＝kx﹣k+1，即y＝k（x﹣1）+1，直线恒过定点P（1，1），
直线与椭圆总有公共点等价于点P（1，1）在椭圆内或在椭圆上，
所以
，即
，
⼜椭圆
的焦点在x 轴上，
所以0＜m＜5，故m∈
．
故答案为：
．
三．解答题（共4 ⼩题）
27．已知动点M 到点A（6，0）的距离等于M 到点
的距离的3 倍，
（1）求动点M 的轨迹C 的⽅程；
（2）若直线y＝kx+3 与轨迹C 没有交点，求k 的取值范围．
【解答】解：（1）不妨设点M 的坐标（x，y），
因为动点M 到点A（6，0）的距离等于M 到点
的距离的3 倍，
所以|MA|＝3|MB|，
即
，
整理得x2+y2＝4，
故轨迹C 是以（0，0）点为圆⼼，2 为半径的圆，其⽅程为x2+y2＝4；
（2）联⽴
，消去y 并整理得（1+k2）x2+6kx+5＝0，
因为直线与圆C 没有交点，
所以Δ＝（6k）2﹣4（1+k2）•5＜0，
即16k2﹣20＜0，
解得
，
则k 的取值范围为（﹣
，
）．
28．已知抛物线C：y2＝2px 的焦点为F（2，0）．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）斜率为1 的直线过点F，且与抛物线C 交于A，B 两点，求线段AB 的⻓．
【解答】解：（1）已知抛物线C：y2＝2px 的焦点为F（2，0），
所以
＝2，
解得p＝4，
则抛物线C 的⽅程为y2＝8x；
（2）由（1）知抛物线的⽅程为y2＝8x，
不妨设直线AB 的⽅程为：y＝x﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，消去y 并整理得x2﹣12x+4＝0，
由⻙达定理得x1+x2＝12，
则弦⻓|AB|＝x1+x2+p＝12+4＝16．
29．已知椭圆
的右焦点为F，下顶点为A，离⼼率为
，且
．
（1）求椭圆的标准⽅程；
（2）设直线l：y＝﹣3 与y 轴交于点T，过T 作斜率为k 的直线l 交椭圆于不同的两点B，C，延⻓AB，
AC 交l 于点M，N，若|TM|+|TN|≤15，求k 的取值范围．
【解答】解：（1）由椭圆⽅程及题意可得A（0，﹣b），F（c，0），
所以|AF|＝
＝a＝
，e＝＝
＝
，可得b2＝4，
所以椭圆的标准⽅程为：
+
＝1；
（2）由（1）可得A（0，﹣2），由题意可得T（0，﹣3），如图所示：
设B（x1，y1），C（x2，y2），
直线BA 的⽅程为：y＝
x﹣2，令y＝﹣3，可得xM＝﹣
，
同理可得xN＝﹣
，
直线BC 的⽅程为y＝kx﹣3，
联⽴
，整理可得：（4+5k2）x2﹣30kx+25＝0，
则Δ＝（﹣30k）2﹣4×25×（4+5k2）＞0，可得k＞1 或k＜﹣1，
且x1+x2＝
，x1x2＝
＞0，
所以xM•xN＝﹣
•（﹣
）＝
＞0，
所以|TM|+|MT| ＝|xM+xN| ＝|
+
| ＝|
+
| ＝|
| ＝
|
|＝5|k|，
⽽|TM|+|TN|≤15，即5|k|≤15，可得|k|≤3，解得﹣3≤k≤3，
综上所述k 的范围为[﹣3，﹣1）∪（1，3]．
30．设椭圆C：
（a＞b＞0）的离⼼率为
，且与直线
相切．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若在y 轴上的截距为2 的直线l 与椭圆C 分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，且直线OA，OB 的
斜率之和等于12，求直线AB 的⽅程．
【解答】解：（1）由e＝＝，可得a＝2c，
b2＝a2﹣c2＝3c2，
则椭圆⽅程为
+
＝1，整理为：3x2+4y2＝12c2，
联⽴⽅程
，消整理可得7x2+8
x+28﹣12c2＝0，
由Δ＝（8
）2﹣28×（28﹣12c2）＝0，解得：c＝1，
所以椭圆⽅程为：
+
＝1；
（2）设lAB：y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，整理可得：（3+4k2）x2+16kx+4＝0，
Δ＝162k2﹣4（3+4k2）（16k+4）＞0，解得k＞或k＜﹣，
∴x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
所以kOA+kOB＝
+
＝
＝2k+
＝2k+2•
＝﹣6k＝12，解
得k＝﹣2，
故直线AB 的⽅程为y＝﹣2x+2．
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圆锥曲线——题型09
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共9 ⼩题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
C
B
B
A
A
D
D
A
A
⼀．选择题（共9 ⼩题）
1．已知斜率存在的直线l 与椭圆
＝1 交于A，B 两点，且l 与圆C：（x﹣1）2+y2＝1 切于点P．若P
为线段AB 的中点，则直线PC 的斜率为（
）
A．2
B．﹣
C．2
或﹣2
D．
或﹣
【解答】解：设点A，B，P 的坐标分别为：（x1，y1），（x2，y2），（m，n），
则
+
＝1，
+
＝1，作差得
+
＝0，
∴
+
•
＝0，∴
×
＝﹣；
⼜∵CP 与直线AB 垂直，故可得
×
＝﹣1，
∴
＝4，解得m＝，
⼜∵p 在圆C 上，故可得（m﹣1）2+n2＝1，解得n＝±
，
∴
＝±2
，即直线PC 的斜率为±2
．
故选：C．
2．已知椭圆C：
（m＞0 且m≠6），直线x+3y﹣4＝0 与椭圆C 相交于A，B 两点，若（1，1）是
线段AB 的中点，则椭圆的焦距为（
）
A．2
B．4
C．
D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知可得x1+x2＝2，y1+y2＝2，
且
，两式相减得：
，
⼜∵直线AB 的斜率为
，∴
，解得m＝2，
因此椭圆的焦距为
．
故选：B．
3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，AF⊥BF，线段AB 的
中点为M，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂⾜为N，则
的最⼩值为（
）
A．1
B．
C．2
D．
【解答】解：设|AF|＝m，|BF|＝n，⼜AF⊥BF，
∴|AB|＝
，
∵线段AB 的中点为M，
∴根据抛物线的性质可知：
|MN|＝（|AF|+|BF|）＝
，
∴
＝
，
⼜
，当且仅当m＝n 时取得等号，
∴
，
∴
＝
≥
，当且仅当m＝n 时取得等号，
∴则
的最⼩值为
．
故选：B．
4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q 在抛物线C 上，且线段PQ 的中点为（﹣2，
4），则直线PQ 的⽅程为（
）
A．x+2y﹣6＝0
B．x+3y﹣10＝0
C．2x+y＝0
D．2x+3y﹣8＝0
【解答】解：由抛物线C：x2＝2py 的准线为y＝﹣2，
可得
，
可得p＝4，
所以x2＝8y，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
可得
，且x1+x2＝﹣4，
两式相减，可得
，
可得
，
所以直线PQ 的⽅程为
，
即x+2y﹣6＝0．
故选：A．
5．已知抛物线C：y2＝4x，直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点．若线段AB 的中点为（2，1），则直线l 的
⽅程为（
）
A．y＝2x﹣3
B．y＝3x﹣5
C．y＝x﹣3
D．y＝x﹣1
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，
＝4x2，
两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），
⼜y1+y2＝2，
则
，
即直线l 的⽅程为y﹣1＝2（x﹣2），
即y＝2x﹣3．
故选：A．
6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，AF⊥BF，线段AB 的
中点为M，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂⾜为N，则
的最⼩值为（
）
A．1
B．
C．2
D．
【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为l，作AQ⊥l 于点Q，BP⊥l 于点P，
由抛物线的性质可设：|AF|＝|AQ|＝a，|BF|＝|BP|＝b，a＞0，b＞0，
因为AF⊥BF，
所以由勾股定理可知：
，
由梯形中位线的性质可得：
，
由基本不等式可得：
，当且仅当a＝b 时取等号，
所以
，即
，当且仅当a＝b 时取等号．
所以
，当且仅当a＝b 时取等号．
所以
的最⼩值为
．
故选：D．
7．已知直线l：x﹣y+3＝0 与双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）交于A，B 两点，点P（1，4）是弦AB
的中点，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵点P（1，4）是弦AB 的中点，
根据中点坐标公式可得：
，
∵A，B 两点在直线l：x﹣y+3＝0 根据两点斜率公式可得：
，
∵A，B 两点在双曲线C 上，
，
∴
，即
．
解得：
，
∴
．
故选：D．
8．已知双曲线
的左顶点和右焦点分别为A，F，O 为坐标原点，经过点A 的直线l 与双曲线的
两条渐近线交于点M，N，设M，N 的中点为P，满⾜|OP|＝|PF|，则直线l 的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由|OP|＝|PF|，则P 在线段OF 的中垂线上，⽽F（2，0），即P 在x＝1 上，
设MN：x＝ky﹣1 且k≠0、
，
则
，
因为双曲线的⽅程为
，
所以双曲线准线为
，
联⽴⽅程
，解得
，
不妨令
，
同理可得
，
则
，
所以3k2＝2，
解得k＝
，
所以直l 的斜率为
．
故选：A．
9．已知双曲线C：
，过点P（1，1）的直线l 与双曲线C 交于A，B 两点．若点P 为线段AB 的
中点，则直线l 的⽅程是（
）
A．x﹣3y+2＝0
B．3x﹣y﹣2＝0
C．2x﹣y﹣1＝0
D．x﹣2y+1＝0
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点P（1，1）为线段AB 的中点，
所以
，
A，B 两点为双曲线
的点，
则
，作差
，
所以
，即
，
所以直线l 的⽅程是
，即x﹣3y+2＝0，
经检验，直线x﹣3y+2＝0 满⾜题意．
故选：A．
⼆．解答题（共6 ⼩题）
10．已知椭圆M：
的⻓轴⻓是短轴⻓的
倍．
（1）求M 的⽅程；
（2）若倾斜⻆为
的直线l 与M 交于A，B 两点，线段AB 的中点坐标为
，求m．
【解答】解：（1）因为椭圆M 的⻓轴⻓是短轴⻓的
倍，
所以
，
解得a2＝6，
则M 的⽅程为
；
（2）易知
，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为线段AB 的中点坐标为
，
所以x1+x2＝2m，
＝1，
因为A，B 两点在椭圆M 上，
所以
，
整理得
，
即
，
解得m＝﹣1，
经检验，点
在椭圆M 内．
故m＝﹣1．
11．已知椭圆
的⻓轴⻓为10，焦距为6．
（1）求C 的⽅程；
（2）若直线l 与C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点坐标为
，求l 的⽅程．
【解答】解：（1）不妨设C 的焦距为2c（c＞0），⻓轴⻓为2a，
此时2a＝10，2c＝6，
解得a＝5，c＝3，
所以b2＝a2﹣c2＝16，
则C 的⽅程为
；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为A，B 两点都在椭圆C 上，
代⼊椭圆⽅程得
，
两式相减得
，
即
，
线段AB 的中点坐标为
，
所以
，
此时l 的斜率
，
则l 的⽅程为
，
即4x+5y﹣2＝0．
12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点（1，0）的直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，且|AB|的最⼩值
为4．
（1）求p 的值；
（2）若线段AB 的中点为M，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为
，求直线l 的⽅程．
【解答】解：（1）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点（1，0）的直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，
设直线l 的⽅程为x＝my+1，
将其代⼊抛物线⽅程得y2﹣2pmy﹣2p＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝2pm，y1•y2＝﹣2p，
由
＝
，
因为p＞0，
所以当m2＝0 时，|AB|取最⼩值
，
所以
，
解得p＝2．
（2）已知线段AB 的中点为M，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为
，
设M（x0，y0），
则
，
，
所以
，
整理得4m2﹣9m+2＝0，
解得m＝2 或
，
直线l 的⽅程为x﹣2y﹣1＝0 或4x﹣y﹣4＝0．
13 ．已知双曲线
与
有相同的渐近线，且经过点
．
（1）求双曲线C 的⽅程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0 与双曲线C 交于不同的两点A，B，且线段A，B 的中点在圆x2+y2＝20 上，求
实数m 的值．
【解答】解：（1）设双曲线C 的⽅程为
﹣
＝λ,
代⼊M(
,﹣
),得
﹣＝λ,解得λ＝,
所以双曲线的⽅程为x2﹣
＝1．
(2)由
,得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则AB 中点坐标为(
,
),
由⻙达定理可得x1+x2＝2m,
所以y1+y2＝(x1+x2)+2m＝4m,
所以AB 中点坐标为(m,2m),
因为点(m,2m)在圆x2+y2＝20 上，
所以m2+(2m)2＝20,解得m＝±2．
14．已知中⼼在原点，焦点在x 轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，|F1F2|＝6
，C1的⻓半
轴与C2的实半轴之差为4，离⼼率之⽐为3：7．
（1）求这两条曲线的⽅程；
（2）求曲线C2以点M（4，2）为中点的弦所在直线的⽅程；
（3）若P 为两条曲线的交点，求∠F1PF2的余弦值．
【解答】解：（1）中⼼在原点，焦点在x 轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，
|F1F2|＝6
，C1的⻓半轴与C2的实半轴之差为4，离⼼率之⽐为3：7．
设椭圆⽅程为
，
双曲线⽅程为
，
．
则
，解得a＝7，m＝3，则
，
，
因此，椭圆⽅程为
，双曲线⽅程为
．
（2）曲线C2以点M（4，2）为中点的弦的两端点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
由中点坐标公式可得x1+x2＝8，y1+y2＝4，
若AB⊥x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意，
因为
，这两个等式作差可得
，
所以，
，可得kAB＝4，
所以，直线AB 的⽅程为y﹣2＝4（x﹣4），即y＝4x﹣14，
检验：联⽴
可得7x2﹣56x+107＝0，则Δ＝562﹣28×107＝140＞0，合乎题意，
因此，曲线C2以点M（4，2）为中点的弦所在直线的⽅程为y＝4x﹣14．
（3）不妨设F1、F2分别为两曲线的左、右焦点，P 是两曲线在第⼀象限的交点，
设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a＝14，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2m＝6，
解得s＝10，t＝4，
在△F1PF2中，由余弦定理可得
．
15．已知双曲线
的⼀条渐近线与直线x+2y＝0 垂直，且右顶点P 到该条
渐近线的距离为
．
（1）求双曲线C 的⽅程；
（2）若直线l 与双曲线C 交于A、B 两点，线段AB 的中点为M（3，2），求直线l 的⽅程．
【解答】解：（1）因为双曲线C 的⼀条渐近线与直线x+2y＝0 垂直，
且直线x+2y＝0 的斜率为
，且双曲线C 的渐近线为
，则
，可得
，
所以，双曲线C 的渐近线⽅程为y＝±2x，即2x±y＝0，
因为右顶点（a，0）到该条渐近线的距离为
，所以
，
解得a＝1，所以b＝2，所以双曲线C 的⽅程为
．
（2）若直线l⊥x 轴，则A、B 关于x 轴对称，此时，线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意；
设A（x1，y1）、B（x2，y2），设直线l 的斜率为k，则
，
则
，所以
，
化简得
．
因为线段AB 的中点为M（3，2），所以x1+x2＝6，y1+y2＝4，
所以
，解得k＝6，双曲线渐近线为y＝±2x，直线斜率⼤于渐近线斜率，
故过点M（3，2）的直线与双曲线有两个交点．
所以直线l 的⽅程为6x﹣y﹣16＝0．
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圆锥曲线——题型10
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共6 ⼩题）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
C
B
A
C
⼀．选择题（共6 ⼩题）
1．已知F 是抛物线x2＝4y 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点轨迹⽅程是（
）
A．x2＝y﹣
B．x2＝2y﹣
C．x2＝2y﹣2
D．x2＝2y﹣1
【解答】解：由x2＝4y，得其焦点坐标为（0，1），
设线段PF 中点为（x，y），P（x1，y1），
由中点坐标公式得：
，
∴
，
∵P 是抛物线上的点，
∴
，
即4x2＝4（2y﹣1），
∴x2＝2y﹣1．
故选：D．
2．已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C 为圆B 上任意⼀点，则AC 的垂直平分线与BC 的交点P
的轨迹⽅程是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连结AP，根据题意，|AP|＝|CP|，
则|PB|+|PA|＝|PB|+|PC|＝8＞|AB|＝4，
故P 的轨迹是以A，B 为焦点，⻓轴⻓为8 的椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b＝2
，
∴点P 的轨迹⽅程为：
．
故选：C．
3．已知圆的⽅程x2+y2＝4，若抛物线过点A（0，﹣1），B（0，1）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨
迹⽅程是（
）
A．
+
＝1（y≠0）
B．
+
＝1（y≠0）
C．
+
＝1（x≠0）
D．
+
＝1（x≠0）
【解答】解：设切线ax+by﹣1＝0，圆⼼到切线距离等于半径
＝2
∴
＝，∴a2+b2＝
设焦点（x，y），抛物线定义，
＝
，
＝
平⽅相加得：2x2+2+2y2＝8（b2+1）
相减得：4y＝16a，b＝
所以2x2+2+2y2＝8（
+1）
即：
依题意焦点不能与A，B 共线，
∴x≠0，
故抛物线的焦点轨迹⽅程为
+
＝1（x≠0），
故选：C．
4．设C 为椭圆
上任意⼀点，A（0，﹣2），B（0，2），延⻓AC ⾄点P，使得|PC|＝|BC|，则点P
的轨迹⽅程为（
）
A．x2+（y﹣2）2＝20
B．x2+（y+2）2＝20
C．x2+（y﹣2）2＝5
D．x2+（y+2）2＝5
【解答】解：如图，
由椭圆⽅程
，得a2＝5，b2＝1，
∴c＝
＝2，
则A（0，﹣2），B（0，2）为椭圆两焦点，
∴|CA|+|CB|＝2a＝2
，
∵|PC|＝|BC|，
∴|PA|＝|PC|+|CA|＝|BC|+|CA|＝2
．
∴点P 的轨迹是以A 为圆⼼，以2
为半径的圆，其⽅程为x2+（y+2）2＝20．
故选：B．
5．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆⼼分别为C1、∁p，若动点M 满
⾜
，则M 的轨迹⽅程为（
）
A．y2＝2x﹣1
B．y2＝2x+1
C．y2＝4x+1
D．y2＝4x﹣1
【解答】解：因为点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A 且与l 相切，
所以抛物线的定义可得两个动圆的圆⼼轨迹⽅程为y2＝4x，
设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），
⼜
，
所以2（x﹣m，y﹣n）＝（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），
所以2x＝a+1，2y＝b，所以a＝2x﹣1，b＝2y，
⼜b2＝4a，
所以（2y）2＝4（2x﹣1），即y2＝2x﹣1．
故答案为：y2＝2x﹣1．
故选：A．
6．已知直线l1：mx+y+m＝0 和l2：x﹣my﹣3＝0 相交于点P，则点P 的轨迹⽅程为（
）
A．（x﹣1）2+y2＝4
B．（x+1）2+y2＝4
C．（x﹣1）2+y2＝4（x≠﹣1）
D．（x+1）2+y2＝4（x≠1）
【解答】解：由直线l1：mx+y+m＝0 和l2：x﹣my﹣3＝0 相交于点P，可知m•1+1•（﹣m）＝0，
则l1⊥l2，
由l1：（x+1）m+y＝0，则直线l1过定点A（﹣1，0），
由l2：x﹣3﹣my＝0，则直线l2过定点B（3，0），
易知动点P 的轨迹为AB 为直径的圆，圆⼼（1，0），半径r＝2，
由题意易知直线l1的斜率存在，则交点P 不能是（﹣1，0），
则动点P 的轨迹⽅程为（x﹣1）2+y2＝4（x≠﹣1）．
故选：C．
⼆．填空题（共6 ⼩题）
7．已知点P 是椭圆
+
＝1 上任意⼀点，过点P 作x 轴的垂线，垂⾜为M，则线段PM 的中点N（x，
y）的轨迹⽅程为
+y2＝1（（y≠0））
．
【解答】解：设点N 坐标为（x，y）
则点P 坐标为（x，2y）
代⼊椭圆⽅程圆
+
＝1
即
+
＝1，即
+y2＝1 上，
故答案为：
+y2＝1（y≠0）
8．已知点M 在椭圆
+
＝1 上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂⾜为P′，并且M 为线段PP′的中
点，则P 点的轨迹⽅程是
x2+y2＝36
．
【解答】解：设P（x，y），则M（x，）．
∵点M 在椭圆
+
＝1 上，
∴
+
＝1，
即P 点的轨迹⽅程为x2+y2＝36．
故答案为：x2+y2＝36．
9．点P（x，y）满⾜
＝
，则点P 的轨迹为
椭圆
，离⼼率为
．
【解答】解：∵点P（x，y）满⾜
＝
，
点P（x，y）到点A（2，2）的距离为：PA＝
＝
，
点P 到直线l：3x﹣4y﹣6＝0 的距离d＝
，
∴PA＝
，
∴点P 的轨迹为椭圆，椭圆的离⼼率为
．
故答案为：椭圆，．
10．动点M 椭圆
上，过M 作x 轴的垂线，垂⾜为N，点P 满⾜
＝
．则点P 的轨迹
⽅程
x2+y2＝2
．
【解答】解：设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），
设P（x，y），由点P 满⾜
，
可得（x﹣x0，y）＝
（0，y0），
∴x﹣x0＝0，y＝
y0，
则x0＝x，y0＝
，
代⼊椭圆⽅程
，得
，
∴点P 的轨迹⽅程为圆x2+y2＝2．
故答案为：x2+y2＝2．
11．已知椭圆C：
，若动点P（x0，y0）为椭圆外⼀点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，
求点P 的轨迹⽅程
x2+y2＝13
．
【解答】解：①当两条切线中有⼀条斜率不存在时，即A、B 两点分别位于椭圆⻓轴与短轴的端点，P
的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y＝k（x﹣x0）+y0，
，
即
＝1，
4x2+9[k2（x﹣x0）2+y02+2ky0（x﹣x0）]＝36
4x2+9[k2x2+k2x02﹣2kx0x+y02+2ky0x﹣2ky0x0]＝36
整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]＝0，
∴Δ＝[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]＝0，
整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）＝0，
∴﹣1＝k1•k2＝
＝﹣1，
∴x02+y02＝13．
把点（±3，±2）代⼊亦成⽴，
∴点P 的轨迹⽅程为：x2+y2＝13．
故答案为：x2+y2＝13．
12．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N 是圆O：x2+y2＝1 上任意⼀点，点F1关于点N 的对称点为M，线
段F1M 的垂直平分线与直线F2M 相交于点P，则点P 的轨迹⽅程是
x2﹣
．
【解答】解：连接ON，由题意可得ON＝1，且N 为MF1的中点∴MF2＝2
∵点F1关于点N 的对称点为M，线段F1M 的中垂线与直线F2M 相交于点P
由垂直平分线的性质可得PM＝PF1
∴|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2
由双曲线的定义可得点P 得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，c＝2，a＝1，则b＝
．
所以所求双曲线⽅程为：x2﹣
．
故答案为：x2﹣
．
三．解答题（共5 ⼩题）
13．已知在平⾯直⻆坐标系xoy 中的⼀个椭圆，它的中⼼在原点，左焦点为F（﹣
），右顶点为D（2，
0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准⽅程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹⽅程．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，设
+
＝1（a＞b＞0），
由椭圆的左焦点为F（﹣
，0），右顶点为D（2，0），即a＝2，c＝
，
则b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆的标准⽅程为：
+y2＝1
（2）设线段PA 的中点为M（x，y），点P 的坐标是（x0，y0），
由中点坐标公式可知
，整理得：
，
由点P 在椭圆上，
∴
+（2y﹣）2＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
∴线段PA 中点M 的轨迹⽅程是：（x﹣）2+4（y﹣）2＝1．
14．已知P 是椭圆
+
＝1 上⼀动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹⽅程．
【解答】解：设Q（x，y），P（x0，y0），由点Q 是线段OP 的中点知x0＝2x，y0＝2y，
⼜
+
＝1，
所以
+
＝1，即x2+
＝1．
15．已知椭圆的中⼼在原点，左焦点为F1（﹣
，0），且右顶点为D（2，0）．设点A 的坐标是（1，）
（1）求该椭圆的标准⽅程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹⽅程．
【解答】解：（1）∵a＝2，c＝
，∴b＝
＝1．∴椭圆的标准⽅程为：
．
（2）设P（x0，y0），M（x，y），点A 的坐标是（1，），线段PA 的中点M，
由中点坐标公式，得
，
∴
，⼜∵
，
∴
，即为中点M 的轨迹⽅程．
16．已知x 轴上⼀定点A（1，0），Q 为椭圆
+y2＝1 上的动点，求线段AQ 中点M 的轨迹⽅程．
【解答】解：设中点M 的坐标为（x，y），点Q 的坐标为（x0，y0）．
利⽤中点坐标公式，得
∴
∵Q（x0，y0）在椭圆
+y2＝1 上，
将x0＝2x﹣1，y0＝2y 代⼊上式，
得
．
故所求AQ 的中点M 的轨迹⽅程是（x﹣）2+4y2＝1．
17．设动直线l 垂直x 轴，且与椭圆
交于A、B 两点，P 是l 上满⾜|PA|•|PB|＝1 的点，求P 点的
轨迹．
【解答】解：设点P 的坐标为（x，y），依题意得：A（x，y0）B（x，﹣y0）
由|PA|•|PB|＝1 得：|y﹣y0|•|y+y0|＝|y2﹣
|＝1，即：
＝y2±1（6 分）
代⼊
中得：
（10 分）
也即：
及
故P 点的轨迹⽅程为：
及
（12 分）
所以P 点的轨迹是两椭圆夹在两直线x＝±2 之间的两部分弧⻓．（14 分）
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圆锥曲线——题型11
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共8 ⼩题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
A
A
C
B
A
A
⼀．选择题（共8 ⼩题）
1．已知F 为双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的⼀个焦点，其关于双曲线C 的⼀条渐近线的对称点
在另⼀条渐近线上，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：双曲线C：
﹣
＝1 的左焦点为F（﹣c，0），
渐近线⽅程为y＝±
x，
设F 关于y＝x 的对称点为（m，﹣m），
由题意可得
＝﹣，（*）
且
（0﹣m）＝•
（m﹣c），
可得m＝c，代⼊（*）可得b2＝3a2，
c2＝a2+b2＝4a2，
则离⼼率e＝＝2．
故选：C．
2．双曲线
的⼀个焦点为F，过点F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂⾜为
A，且交y 轴于B，若A 为BF 的中点，则双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：根据题意，双曲线
的焦点在x 轴上，
过点F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂⾜为A，
且交y 轴于B，如图
若A 为BF 的中点，则OA 垂直平分BF，
则双曲线C 的渐近线与x 轴的夹⻆为
，
即双曲线的渐近线⽅程为y＝±x，
则有a＝b，
则c＝
＝
a，
则双曲线的离⼼率e＝＝
；
故选：A．
3．已知F 是双曲线
的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的
⼀条渐近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离⼼率为e，则e2＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可设F（c，0），⼀条渐近线⽅程为y＝x，
可得M（c，
），
即有2a＝
，即bc＝2a2，
即b2c2＝4a4，即（c2﹣a2）c2﹣4a4＝0，
由e＝可得e4﹣e2﹣4＝0，
解得e2＝
（负的舍去），
故选：A．
4．若双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4 所截得的弦⻓为2，则C 的
离⼼率为（
）
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线不妨为：bx+ay＝0，
圆（x﹣2）2+y2＝4 的圆⼼（2，0），半径为：2，
双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4 所截得的弦⻓为2，
可得圆⼼到直线的距离为：
＝
，
解得：
，可得e2＝4，即e＝2．
故选：A．
5．过双曲线
（a＞0，b＞0）的右顶点A 作斜率为﹣1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的
交点分别为B，C，若A，B，C 三点的横坐标成等⽐数列，则双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：经过双曲线的右顶点A 作斜率为﹣1 的直线，直线⽅程为y＝﹣x+a
∵双曲线
的渐近线为y＝±
∴直线y＝﹣x+a 与渐近线的交点横坐标分别为xB＝
，xC＝
∵A，B，C 三点的横坐标成等⽐数列，
∴（
）2＝a•
，化简整理，解得b＝3a
∵c＝
＝
，
∴双曲线的离⼼率e＝＝
故选：C．
6．设F1，F2是双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O 是坐标原点，点P 在双曲线C 的
右⽀上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的⾯积为a2，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．4
D．2
【解答】解：由|F1F2|＝2|OP|，可得|OP|＝c，
即有△PF1F2为直⻆三⻆形，且PF1⊥PF2，
∵△PF1F2的⾯积为a2，
∴|PF1|•|PF2|＝2a2，
∵|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴（|PF1|﹣|PF2|）2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|，
由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴4a2＝4c2﹣4a2，e＞1
∴双曲线C 的离⼼率为：
故选：B．
7．设椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动
点P 在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周⻓的最⼩值为4b，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：△PEF2的周⻓为|PE|+|PF2|+|EF2|＝|PE|+|PF2|+|EF1|，
当P，E，F1共线时，此时周⻓最⼩，
∴|PE|+|PF2|+|EF1|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4b，
∴a＝2b，
∴e＝＝
＝
，
故选：A．
8．已知双曲线
的两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F 垂直于l1的直线分
别交l1、l2于A、B 两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且
与
反向，则该双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
+1
【解答】解：如图，设∠AOF＝α，则tanα＝，
在Rt△OAB 中，由|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，
设|OA|＝m﹣d，|AB|＝m，|OB|＝m+d，
则（m﹣d）2+m2＝（m+d）2，
整理，得d＝
，∴tan∠AOB＝
，
⽽tan∠AOB＝tan（π﹣2α）＝﹣tan2α＝
，
∴
，解得tanα＝2 或tan
（舍）．
即
，得b＝2a，∴b2＝c2﹣a2＝4a2，
解得e＝
．
故选：A．
⼆．填空题（共2 ⼩题）
9．已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，准线为l，若l 与双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别
交于点A 和点B，且|AB|＝4|OF|（O 为原点），则双曲线的离⼼率为
．
【解答】解：∵抛物线y2＝4x 的焦点为F，准线为l．
∴F（1，0），准线l 的⽅程为x＝﹣1，
∵l 与双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A 和点B，且|AB|＝4|OF|（O 为原点），
∴|AB|＝
，|OF|＝1，∴
＝4，∴b＝2a，
∴c＝
＝
a，
∴双曲线的离⼼率为e＝
．
故答案为：
．
10．已知F 为双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M，N 两点，且
＝0，△MNF 的⾯积为ab．则该双曲线的离⼼率为
．
【解答】解：设M（m，n），（n＞0），则
∵
＝0，△MNF 的⾯积为ab，
∴2×
＝ab，m2+n2＝c2，
∴n＝
，m2＝c2﹣
，
∴
＝1，
∴
．
故答案为
．
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圆锥曲线——题型12～15
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共18 ⼩题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
C
D
B
B
B
C
A
A
题号
12
13
14
15
16
17
18
答案
C
B
A
B
B
D
A
⼆．多选题（共1 ⼩题）
题号
19
答案
AC
⼀．选择题（共18 ⼩题）
1．如图，在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知椭圆C1：
+
＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：
﹣
＝1
（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，C2的渐近线分别交C1于A，C 和B，D 四点，若多边形ABF2CDF1
为正六边形，则C1与C2的离⼼率之和为（
）
A．
﹣1
B．2
C．
+1
D．2
【解答】解：∵多边形ABF2CDF1为正六边形，∴∠BOF2＝60°，
∴
，
∴双曲线C2的离⼼率
＝
＝2，
连接AF2，则|AF2|＝2×
＝
，
⼜∵|AF1|＝c，
∴
，
∴椭圆C1的离⼼率
＝
＝
﹣1，
∴C1与C2的离⼼率之和为2
＝
，
故选：C．
2．在直⻆坐标系xOy 中，设F 为双曲线C：
（a＞0，b＞0）的右焦点，P 为双曲线C 的右⽀上
⼀点，且△OPF 为正三⻆形，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．1
B．
C．
D．2
【解答】解：根据题意，如图，设双曲线的左焦点为M，
若△OPF 为正三⻆形，则有|OF|＝|OP|＝|OM|，
则△MFP 为直⻆三⻆形，且|PF|＝c，|PM|＝
c，
则2a＝|PM|﹣|PF|＝（
﹣1）c，
则双曲线的离⼼率e＝＝
＝1+
；
故选：A．
3．已知等腰梯形ABCD 中AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B 为焦点，且经过C，D 两
点，则该双曲线的离⼼率等于（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：等腰梯形ABCD 中AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B 为焦点，且经过
C，D 两点，
双曲线过点C 时，
，
故选：D．
4．已知F 是椭圆
的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，若
|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，由∠PFQ＝120°，则∠FPF′＝60°，
由正弦定理定理可知：∠PFF′＝30°，
∠PF′F＝90°，
则|FF′|＝
|QF|，即2c＝
|QF|，
2a＝|PF|+|QF|＝3|QF|，
∴椭圆的离⼼率e＝＝
，
故选：C．
5．椭圆
的左焦点为F，若F 关于直线
的对称点A 是椭圆C 上的点，
则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设F（﹣c，0）关于直线
的对称点A（m，n），
则
，∴
，
代⼊椭圆⽅程可得
，并把b2＝a2﹣c2代⼊化简可得e4﹣8e2+4＝0，
解得
，⼜0＜e＜1，∴
．
故选：D．
6．设A1，A2分别为双曲线
的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直
线斜率
，则双曲线C 的离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．（0，3）
【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），
设M（m，n），可得
﹣
＝1，
即有
＝
，
由题意
，
即为
•
＜2，
即有
＜2，即b2＜2a2，
c2﹣a2＜2a2，即c2＜3a2，
c＜
a，即有e＝＜
，
由e＞1，可得1＜e＜
．
故选：B．
7．双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0），M、N 为双曲线上关于原点对称的两点，P 为双曲线上的点，且直
线PM、PN 斜率分别为k1、k2，若k1•k2＝，则双曲线离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（﹣x1，﹣y1）
∴kPM•kPN＝
•
＝
，
∵
＝1，
﹣
＝1，
∴两式相减可得
＝
∵kPM•kPN＝，
∴
＝，
∴b＝
a，
∴c＝
＝a，
∴e＝＝．
故选：B．
8．已知O 为坐标原点，A，B 为双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）上两点，且
+
＝，若双曲线C
上与A，B 两点横坐标不相同的任意⼀点P，满⾜kPA•kPB＝2（k 表示直线的斜率0），则双曲线C 的离⼼
率为（
）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）
∴kPA•kPB＝
A（x1，y1），P（x2，y2），代⼊双曲线⽅程，两式相减可得
＝
∵kPA•kPB＝2，
∴
＝2
∴e2﹣1＝2
∴e＝
故选：B．
9．设A1，A2分别为椭圆
＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得
＞
﹣，则该椭圆的离⼼率的取值范围是（
）
A．（0，）
B．（0，
）
C．
D．
【解答】解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；
∴
，
；
∴
；
∴
；
∴
，a，c＞0；
∴解得
；
∴该椭圆的离⼼率的范围是（
）．
故选：C．
10．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0），相交于A、B 两点，若M 是线
段AB 的中点，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB 的斜率为﹣，即
＝﹣，
直线AB 的中点坐标为M（1，1），
，
由
，
，
两式相减得：得
，
∴
+（﹣）
＝0，
a2＝4b2，
∴e＝＝
＝
＝
，
故选：A．
11．已知椭圆
，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平⾏于FP 的直线l 交椭圆于A，
B 两点，且AB 的中点为
，则椭圆的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵AB 的中点为
，∴x1+x2＝2，y1+y2＝1．
∵PF∥l，∴kPF＝kl＝﹣＝
．
由
+
＝1，
+
＝1．
∴
+
＝0，
∴
+
＝0，可得：2bc＝a2，
∴4c2（a2﹣c2）＝a4，化为：4e4﹣4e2+1＝0，
解得e2＝，0＜e＜1．
∴e＝
．
故选：A．
12．已知椭圆
（a＞b＞0）的⼀条弦所在的直线⽅程是x﹣y+5＝0，弦的中点坐标是M（﹣4，1），
则椭圆的离⼼率是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设直线x﹣y+5＝0 与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦的中点坐标是M（﹣4，1），
则x1+x2＝﹣8，y1+y2＝2，直线AB 的斜率
＝1，
由
，得
，
∴整理可得：
＝﹣
•
＝1，
∴
＝，
故椭圆的离⼼率e＝＝
＝
＝
．
故选：C．
13．已知双曲线
，过点P（3，6）的直线l 与C 相交于A，B 两点，且AB
的中点为N（12，15），则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．2
B．
C．
D．
【解答】解法⼀：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由AB 的中点为N（12，15），则x1+x2＝24，y1+y2＝30，
由
，两式相减得：
＝
，
则
＝
＝
，
由直线AB 的斜率k＝
＝1，
∴
＝1，则
＝，
双曲线的离⼼率e＝＝
＝，
∴双曲线C 的离⼼率为
，
故选B．
⽅法⼆：设A（12+m，15+n），B（12﹣m，15﹣n），
则
，两式相减得：
＝
，
由直线l 的斜率k＝＝
，
直线AB 的斜率k＝
＝1，
∴
＝1，则
＝，
双曲线的离⼼率e＝＝
＝，
∴双曲线C 的离⼼率为
，
故选：B．
14．倾斜⻆为
的直线经过椭圆
右焦点F，与椭圆交于A、B 两点，且
，
则该椭圆的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设直线AB 的⽅程：y＝x﹣c，A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，整理得：（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2＝0
x1+x2＝
，①，x1x2＝
，②
由
，即（c﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣c，y2），则2x2+x1＝3c，③
解得：x1＝
，x2＝
，则
×
＝
，整理得：2a2
＝9c2，
椭圆的离⼼率e＝＝
，
⽅法⼆：设直线AB 的⽅程为：x＝y+c，A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，整理得：（a2+b2）y2+2b2cy﹣b4＝0，
y1+y2＝﹣
，①，y1y2＝﹣
，②
由
，即（c﹣x1，﹣y1）＝2（x2﹣c，y2），则﹣y1＝2y2，③
解得：y1＝﹣
，y2＝
，则﹣
×
＝﹣
，整理得：8c2＝a2+b2，
∴2a2＝9c2，
椭圆的离⼼率e＝＝
，
⽅法三：由
，分别过A，B 作准线l 的垂线，垂⾜分别为A1，B1，过B 作BD⊥AA1，
设|AF|＝2m，则|FB|＝m，B 到准线的距离d1，A 到准线的距离为d2，
由椭圆的第⼆定义可知：
＝e，
＝e，e 为椭圆的离⼼率，d2＝，d1＝
，
直线AB 的倾斜⻆为
，则∠BAD＝
，所以|AD|＝
m，
所以d1+|AD|＝d2，则
m＝，e＝
，
故选：A．
15．已知F 是椭圆
的右焦点，A 是椭圆短轴的⼀个端点，若F 为过AF 的椭圆的
弦的三等分点，则椭圆的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设F（c，0），A（0，b），直线AF 与椭圆的交点为M（m，n），
可得
＝
，
即为（c，﹣b）＝（m，n﹣b），
即有c＝m，﹣b＝（n﹣b），
可得m＝c，n＝﹣b，
M（c，﹣b）代⼊椭圆⽅程可得
•
+
＝1，
即有e＝＝
．
故选：B．
16．已知双曲线
的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的⼀条渐近线垂
直，直线l 与双曲线的右⽀交于不同两点A，B，若
，则该双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，
不妨设直线l 的斜率为﹣，∴直线l 的⽅程为y＝﹣（x﹣c），
联⽴
，得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0．
∴
．
由题意，⽅程得（b2﹣a2）c2y2﹣2ab3cy+a2b4＝0 的两根异号，
则a＞b，此时
＜0，
＞0．
则
，即a＝2b．
∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），∴4c2＝5a2，即e＝
．
故选：B．
17．设F1，F2分别是椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A，B 两点，
|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B＝，则椭圆E 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设|F1B|＝k（k＞0），则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
∴|AF2|＝2a﹣3k，|BF2|＝2a﹣k
∵cos∠AF2B＝，
在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，
∴（4k）2＝（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），
化简可得（a+k）（a﹣3k）＝0，⽽a+k＞0，故a＝3k，
∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，
∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，
∴AF1⊥AF2，
∴△AF1F2是等腰直⻆三⻆形，
∴c＝
a，
∴椭圆的离⼼率e＝＝
，
故选：D．
18．已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A、
B 两点，直线AF2与椭圆的另⼀个交点为C，若△ABF2的⾯积是△BCF2的⾯积的2 倍，则椭圆的离⼼率
为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x＝﹣c，代⼊椭圆⽅程可得y＝±
，
可设A（﹣c，
），C（x，y），
由△ABF2的⾯积是△BCF2的⾯积的2 倍，
可得
＝2
，
即有（2c，﹣
）＝2（x﹣c，y），
即2c＝2x﹣2c，﹣
＝2y，
可得x＝2c，y＝﹣
，
代⼊椭圆⽅程可得，
+
＝1，
由e＝，b2＝a2﹣c2，
即有4e2+
﹣e2＝1，
解得e＝
．
故选：A．
⼆．多选题（共1 ⼩题）
（多选）19．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C 上存在点P 满⾜|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：
2，则曲线C 的离⼼率可以是（
）
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：若曲线是椭圆则其离⼼率为
；
若曲线是双曲线则其离⼼率为
；
故选：AC．
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圆锥曲线——题型16～17
参考答案与试题解析
⼀．选择题（共28 ⼩题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
B
D
B
A
A
A
A
A
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
答案
B
C
A
C
C
A
D
A
A
B
B
题号
23
24
25
26
27
28
答案
D
D
C
A
D
D
⼀．选择题（共28 ⼩题）
1．已知中⼼在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第⼀象限的交点为
P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三⻆形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离⼼率分别为e1，e2，则3e1e2
的取值范围是（
）
A．
B．（1，+∞）
C．
D．
【解答】解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆⻓半轴为a1，双曲线实半轴为a2，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三⻆形，点P 在第⼀象限内，
∴|PF2|＝|F1F2|，|PF1|＞|PF2|，|PF2|+|F1F2|＞|PF1|，
即r1＝24，r2＝2c，且r1＞r2，2r2＞r1，
∴2c＜24，4c＞24，解得：6＜c＜12．
在双曲线中，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
∴
；
在椭圆中，|PF1|+|PF2|＝2a1，
∴
；
∴
；
∵6＜c＜12，∴36＜c2＜144，
则
，∴
，
可得：
，
∴3e1e2的取值范围为（1，+∞）．
故选：B．
2．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中⼼为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第⼀
象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三⻆形，双曲线的离⼼率的取值范围为（1，2），则该
椭圆的离⼼率的取值范围是（
）
A．（0，）
B．（，）
C．（，）
D．（，1）
【解答】解：设椭圆的⽅程为
+
＝1（a＞b＞0），其离⼼率为e1，双曲线的⽅程为
﹣
＝1（m
＞0，n＞0），|F1F2|＝2c，
∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第⼀象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三⻆形，
∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|＝2a，⽽|PF2|＝|F1F2|＝2c，
∴|PF1|＝2a﹣2c；①
同理，在该双曲线中，|PF1|＝2m+2c；②
由①②可得a＝m+2c．
∵e2＝∈（1，2），
∴
＜
＝＜1，
⼜e1＝＝
，
∴
＝
＝+2∈（，3），
∴
＜e1＜．
故选：C．
3．如图，F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B 分别是C1、C2在第⼆、四象限的公共点，若AF1
⊥BF1，且∠AF1O＝
，则C1与C2的离⼼率之和为（
）
A．2
B．4
C．2
D．2
【解答】解：F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B 分别是C1、C2在第⼆、四象限的公共点，
若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝
，可得：A（
，
），B（
，
），
代⼊椭圆⽅程可得：
，可得
+
，
可得e4﹣8e2+4＝0，解得e＝
．
代⼊双曲线⽅程可得：
，
可得：
，
可得：e4﹣8e2+4＝0，解得e＝
，
则C1与C2的离⼼率之和为：2
．
故选：A．
4．已知椭圆、双曲线均是以直⻆三⻆形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离
⼼率分别为e1，e2，则
＝（
）
A．
B．2
C．
D．3
【解答】解：可设A（﹣c，0），C（c，0），B 为第⼀象限内的点，
设椭圆⽅程为
+
＝1（a＞b＞0），
双曲线的⽅程为
﹣
＝1（m，n＞0），
可设|AB|＝s，|CB|＝t，
可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a﹣m，
在直⻆三⻆形ABC 中，可得4c2＝s2+t2＝2a2+2m2，
即有
+
＝2，
即
+
＝2，
故选：B．
5．如图F1、F2是椭圆C1：
+y2＝1 与双曲线C2的公共焦点，A、B 分别是C1、C2在第⼆、四象限的公共
点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离⼼率是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A 为椭圆C1：
+y2＝1 上的点，
∴2a＝4，b＝1，c＝
；
∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①
⼜四边形AF1BF2为矩形，
∴
+
＝
，即x2+y2＝（2c）2＝
＝12，②
由①②得：
，解得x＝2﹣
，y＝2+
，设双曲线C2的实轴⻓为2m，焦距为2n，
则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2
，2n＝2c＝2
，
∴双曲线C2的离⼼率e＝＝
＝
．
故选：D．
6．已知椭圆C1：
与双曲线C2：
有相同的焦点F1，F2，
点P 是两曲线的⼀个公共点，且∠F1PF2＝60°，若椭圆C1的离⼼率
，则双曲线C2的离⼼率e2
＝（
）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，设P 在第⼀象限，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，解得：s＝a+m，t＝a﹣m，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：
，
整理得：a2+3m2＝4c2，得
，
即
，
∵
，∴
，
故选：B．
7．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的⼀个公共点．且∠F1PF2＝
，则椭圆和双曲线的
离⼼率的倒数之和的最⼤值为（
）
A．
B．
C．3
D．2
【解答】解：设椭圆的⻓半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离⼼率分别为e1，e2
∵∠F1PF2＝
，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos
，①
在椭圆中，①化简为4c2＝4a2﹣3r1r2，
即
，②
在双曲线中，①化简为4c2＝4
+r1r2，
即
，③
联⽴②③得，
＝4，
由柯⻄不等式得（1+
）（
）≥（1×
+
）2，
即（
）
＝
即
，d 当且仅当
时取等号，
法2：设椭圆的⻓半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离⼼率分别为e1，e2
∵∠F1PF2＝
，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos
＝（r1）2+（r2）2﹣r1r2，
由
，得
，
∴
＝
，
令m＝
＝
＝
，
当
时，
，
∴
，
即
的最⼤值为
，
法3：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则
，
则a1+a2＝m，
则
＝
，
由正弦定理得
＝
，
即
＝
sin（120°﹣θ）≤
＝
故选：A．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是它们的⼀个交点，且∠F1PF2＝
，记椭圆和双曲线的
离⼼率分别为e1，e2．则
＝（
）
A．4
B．2
C．2
D．3
【解答】解：设椭圆的⻓半轴⻓为a1，双曲线的半实轴⻓为a2，P 在双曲线的右⽀上，
根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝
，
在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos
，
化简得3a12+a22＝4c2，
该式可变成
+
＝4，
结合e1＝
，e2＝
，
∴
＝4．
故选：A．
9．已知椭圆
＝1（a＞b＞0），与双曲线
＝1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，且在第⼀
象限交于点P，椭圆与双曲线的离⼼率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝
，则e
的最⼩值是（
）
A．
B．2+
C．
D．
【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a﹣m，
在三⻆形F1PF2中，∠F1PF2＝
，
可得4c2＝s2+t2﹣2stcos
＝a2+m2+2am+a2+m2﹣2am﹣（a2﹣m2），
即有a2+3m2＝4c2，
可得
+
＝4，
即为
+
＝4，
则e
＝（
+
）（e
）＝（4+
+
）
≥
（4+2
），当且仅当
＝
，即e22＝
e12，取得最⼩值
．
故选：A．
10．已知椭圆C1：
+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：
﹣y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2
的离⼼率，则（
）
A．m＞n 且e1e2＞1
B．m＞n 且e1e2＜1
C．m＜n 且e1e2＞1
D．m＜n 且e1e2＜1
【解答】解：由题意可得m2﹣1＝n2+1，即m2＝n2+2，
⼜m＞1，n＞0，则m＞n，
由
•
＝
•
＝
•
＝
＝1+
＞1，
则e1•e2＞1．
故选：A．
11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是它们的⼀个交点，且∠F1PF2＝
，记椭圆和双曲线的离
⼼率分别为e1，e2，则
的最⼤值是（
）
A．
B．
C．2
D．3
【解答】解：如图，设椭圆的⻓半轴⻓为a1，双曲线的半实轴⻓为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：
|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝
，则：
在△PF1F2中由余弦定理得，
4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos
∴化简得：a12+3a22＝4c2，
该式可变成：
+
＝4，
∴4＝
+
≥2
∴
≤
，
故选：A．
12．过双曲线
的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若双曲
线的对称中⼼不在以线段AB 为直径的圆内部，则双曲线离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：将x＝c 代⼊双曲线⽅程得
，
所以
，
因为双曲线的对称中⼼不在以线段AB 为直径的圆内部，
所以|AB|≤c，即
，即b2≤ac，
所以c2﹣a2≤ac，从⽽e2﹣e﹣1≤0，解得
，
⼜因为双曲线离⼼率e＞1，所以
，
所以双曲线离⼼率的取值范围为
．
故选：B．
13．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的⼀个端点为P，直线l：4x﹣3y＝0 与椭圆C
相交于A，B 两点．若|AF|+|BF|＝6，点P 到直线l 的距离不⼩于
，则椭圆离⼼率的取值范围是（
）
A．（0，]
B．（0，
]
C．（0，
]
D．（，
]
【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得：|AF′|＝|BF|，|BF′|＝|AF|，
∴|AF′|+|AF|＝|BF|+|AF|＝6＝2a，解得a＝3．
∵点P 到直线l 的距离不⼩于
，
∴
≥
，解得b≥2，
⼜b＜a，∴2≤b＜3．
∴
＜1．
∴离⼼率e＝＝
∈
．
故选：C．
14．已知F1，F2分别是椭圆C：
+
＝1 的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2
的⾯积为
，则椭圆C 的离⼼率的取值范围是（
）
A．（，
）
B．（，1）
C．（
，1）
D．（
，1）
【解答】解：F1，F2分别是椭圆C：
+
＝1 的上下两个焦点，可得2c＝2
，短半轴的⻓：
，
椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的⾯积为
，可得
2
×
，
可得m2﹣4m+3＜0，解得m∈（1，3），
则椭圆C 的离⼼率为：e＝
∈（，
）．
故选：A．
15．已知椭圆C1：
＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，过P 作圆的切线
PA，PB，切点为A，B 使得
，则椭圆C1的离⼼率的取值范围是（
）
A．[
）
B．[
]
C．[
）
D．[
]
【解答】解：连接OA，OB，OP，
依题意，O、P、A、B 四点共圆，
∵∠BPA＝
，∠APO＝∠BPO＝
，
在直⻆三⻆形OAP 中，∠AOP＝
，
∴cos∠AOP＝
＝
，得|OP|＝
b，
∴b＜|OP|≤a，∴
b≤a，
∴2b2≤a2，即2（a2﹣c2）≤a2，
∴a2≤2c2，即
≥
，
∴e＝≥
，⼜0＜e＜1，
∴
≤e＜1，
∴椭圆C 的离⼼率的取值范围是[
，1），
故选：C．
16．已知双曲线
的右焦点为F（c，0），右顶点为M，A，B 两点在双曲线
C 的右⽀上，F 为AB 中点，N 为x 轴上⼀点，且AN⊥BM．若|FN|≤a+c，则双曲线C 的离⼼率的取值范
围是（
）
A．（1，2]
B．[2，+∞）
C．
D．
【解答】解：∵F 为AB 的中点，
∴由双曲线的对称性知，xA＝xB＝c，
∵A、B 均在双曲线上，
∴yA＝
，yB＝﹣
，
设点N（xN，0），
∵|FN|≤a+c，∴xN≥﹣a，
⼜AN⊥BM，M（a，0），
∴
＝（xN﹣c，﹣
）•（a﹣c，
）＝（xN﹣c）•（a﹣c）﹣
＝0
∴xN＝
+c≥﹣a，
∵c2＝a2+b2，
∴
≤1，
∴离⼼率e＝
∈（1，
]．
故选：C．
17．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y＝x+3 上移动，椭圆C 以A，B 为焦
点且经过点P，则椭圆C 的离⼼率的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y＝x+3 的对称点为A′（﹣3，2），连接A′B 交直线l 于点P，
则椭圆C 的⻓轴⻓的最⼩值为|A′B|＝2
，
所以椭圆C 的离⼼率的最⼤值为：＝
＝
．
故选：A．
18．已知双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P 是双曲线上⼀点，△PF1F2是以
F1P 为底边的等腰三⻆形，且
，则该双曲线的离⼼率的取值范围是（
）
A．（1，2）
B．
C．
D．
【解答】解：因为△PF1F2是以F1P 为底边的等腰三⻆形，则有余弦定理可得：
|PF1|2＝|PF2|2+|F2F1|2﹣2|PF1|•|F2F1|cos∠PF2F1＝8c2（1﹣cos∠PF2F1），
即|PF1|＝2
c
，
⼜||PF2|﹣|PF1||＝2a，
因为
，所以﹣＜cos∠PF2F1
，
即
＜
，
所以2c＜2
c
•2c，
0＜||PF2|﹣|PF1||＜2c（
﹣1），
所以2a＜2c（
﹣1），即e＝＞
．
故选：D．
19．已知点F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F2且垂直于x 轴的直线与
双曲线交于A，B 两点，若△ABF1是锐⻆三⻆形，则双曲线离⼼率的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在双曲线
中，
令x＝c，得
，
所以A，B 两点的纵坐标分别为
，
由△ABF1是锐⻆三⻆形，可得
，即tan∠AF1F2＜1，
所以
，
⽽在双曲线中有b2＝c2﹣a2，
所以
，即c2﹣2ac﹣a2＜0，
同除a2得，e2﹣2e﹣1＜0，
解得
，
⼜e＞1，所以
，
故
．
故选：A．
20．正⽅形ABCD 的四个顶点都在椭圆
上，若椭圆的焦点在正⽅形的内部，则椭
圆的离⼼率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，椭圆的焦点在正⽅形的内部，
∴BD 直线⽅程为y＝x，
∴点（c，c）在椭圆内，
∴
，⼜b2＝a2﹣c2，
∴可得：e4﹣3e2+1＞0，⼜e2∈（0，1），
∴
，
∴e∈（0，
），
故选：A．
21．已知点F 为双曲线E：
（a＞0，b＞0）的右焦点，若在双曲线E 的右⽀上存在点P，使得
PF 中点到原点的距离等于点P 到点F 的距离，则双曲线E 的离⼼率的取值范围是（
）
A．（1，3）
B．（1，3]
C．（1，
]
D．[
，3]
【解答】解：设PF 中点为M，左焦点为H，则OM＝PF，
当点P 异于双曲线的右顶点时，连接PH，根据三⻆形中位线性质，则
PH＝PF，
根据双曲线定义⼜有PH﹣PF＝2a，则PF＝2a，
根据三⻆形三边关系可得：
，即1＜＜3，
当点P 事双曲线右顶点时，OM＝a+
，PF＝c﹣a，
则a+
＝c﹣a，解得e＝3，
综上1＜e≤3，
故选：B．
22．设椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C 上的两点A，B 关于原点对你，且满⾜
＝0，|FB|≤|FA|
|FB|，则椭圆C 的离⼼率的取值范围为（
）
A．[
，1）
B．[
，
]
C．[
﹣1，1）
D．[
，
]
【解答】解：取椭圆的左焦点F 两点A，B 关于原点对称可得直线AB 过原点，如图所示：
由
＝0，可得AF⊥BF，即AFBF'为矩形，AB＝FF'，FB＝AF'，|FB|≤|FA|
|FB|，可得45°≤∠
BFF'≤60°，
2a＝BF+BF'＝2c（sin∠BFF'+cos∠BFF'）＝2
•sin（∠BFF'+45°）∈[2
，（
）c]，
当B 在上顶点时，BF+BF'最⼩，当∠BFF'＝60°，BF+BF'最⼤，
所以离⼼率e＝
∈[
，
]即e∈[
，
]，
故选：B．
23．已知F1、F2分别为椭圆
的左、右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，若在
线段AB 上（不含端点）存在不同的两点Pi（i＝1，2），使得
，则椭圆C 的离⼼率的
取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：F1，F2分别为椭圆
的左、右焦点，点A，B 分别是椭圆E 的
右顶点和上顶点，
可得A（a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），
可得AB：bx+ay﹣ab＝0，（0≤x≤a），
在线段AB 上取⼀点P（x，y）（0＜x＜a），满⾜
•
＝﹣
，则y＝b﹣x，
＝（﹣c﹣x，﹣y），
＝（c﹣x，﹣y）．
∴
•
＝（﹣c﹣x）（c﹣x）+（﹣y）2＝x2+y2﹣c2＝x2+（b﹣x）2﹣c2＝﹣
，
整理得
x2﹣
x+
＝0，
由题意可知，关于x 的⽅程为
x2﹣
x+
＝0 在x∈（0，a）时有两个不等的实根，
．
可得
，
可得
＜e2＜，
所以
＜e＜
．
故选：D．
24．设F1，F2 分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆E 上存在点P 满⾜
•
，则椭圆E 离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设P（x0，y0），由椭圆的⽅程可得F1（﹣c，0），F2（c，0），
•
，则（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）＝c2，
即x02+y02＝2c2，
由P 在椭圆上可得
+
＝1，所以y02＝b2（1﹣
），
所以可得
•x02+b2＝2c2，
所以x02＝
，
由x02∈[0，a2]，
所以
整理可得：b2≤2c2，2c2﹣b2≤c2，
可得：e∈[
，
]．
故选：D．
25．已知椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆C 上存在
⼀点P，使得
，则椭圆C 的离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理知
＝
，
∵
，
∴
＝e，即|PF1|＝e|PF2|，①
⼜∵P 在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|＝2a，②
联⽴①②得|PF2|＝
∈（a﹣c，a+c），
即a﹣c＜
＜a+c，
同除以a 得，1﹣e＜
＜1+e，得
﹣1＜e＜1．
∴椭圆C 的离⼼率的取值范围为
．
故选：C．
26．已知椭圆
的左右焦点分别为F1，F2，离⼼率为e，若椭圆上存在点P，使得
＝e，则该离⼼率e 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：依题意，得使得
+1＝
＝e+1，
∴PF2＝
，
⼜a﹣c≤PF2≤a+c，
∴a﹣c≤
≤a+c，
不等号两端同除以a 得，1﹣e≤
≤1+e，
解得e≥
﹣1，
⼜0＜e＜1，
∴
．
故选：A．
27．已知椭圆
上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦
点，则该椭圆的离⼼率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|＝2a，
∵|PF1|＝3|PF2|，
∴
，
，
∵|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2c，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成⽴，
∴
，即a≤2c，则
，即
，
故该椭圆的离⼼率的取值范围是[
，1）．
故选：D．
28．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，M 为双曲线右⽀上的⼀点，若
M 在以|F1F2|为直径的圆上，且
，则该双曲线离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可得，F1M⊥F2M，
设∠MF2F1＝θ，则|MF1|＝2csinθ，|MF2|＝2ccosθ，
根据双曲线的定义|MF1|﹣|MF2|＝2a，
所以2csinθ﹣2ccosθ＝2a，
所以
＝
＝
，θ∈[
，
]，
所以θ﹣
∈[
，
]，
所以
∈[
，
+1]，
故选：D．
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圆锥曲线——题型18～20
参考答案与试题解析
⼀．解答题（共15 ⼩题）
1．已知
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2
，点P 在椭圆上，tan∠PF2F1＝2，
且△PF1F2的⾯积为4．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）点M 是椭圆上任意⼀点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA1，MA2与直线x＝
分别
交于E，F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标．
【解答】解：（1）∵tan∠PF2F1＝2，∴sin∠PF2F1＝
，cos∠PF2F1＝
．
由题意得
，
解得
．
从⽽2a＝|PF1|+|PF2|＝4+2＝6，得a＝3，结合2c＝2
，得b2＝4，
故椭圆的⽅程为
；
（2）由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），
设M（x0，y0），则直线MA1的⽅程为
，
它与直线x＝
的交点的坐标为
，
直线MA2 的⽅程为
，它与直线x ＝
的交点的坐标为
，
再设以EF 为直径的圆交x 轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，从⽽kQE•kQF＝﹣1，
即
，即
，解得m＝
．
故以EF 为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为
或
．
2．在平⾯直⻆坐标系中，已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1、F2，点P 为椭
圆C 上的动点，△F1PF2的⾯积的最⼤值为
，以原点为圆⼼，椭圆短半轴⻓为半径的圆与直线3x﹣
4y+5＝0 相切．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若直线l 过定点（1，0）且与椭圆C 交于不同的两点A，B，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM，
BM 分别与y 轴交于P，Q 两点，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐
标；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）由题意椭圆C 的中⼼在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P 为椭圆C 上的动点，
△PF1F2的⾯积最⼤值为
，以原点为圆⼼，椭圆短半轴⻓为半径的圆与直线3x﹣4y+5＝0 相切．
可得
，解得b＝1，c＝
，a＝2．
∴椭圆C 的⽅程是
；
（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．
当直线l 斜率不存在时，以线段PQ 为直径的圆的⽅程为：x2+y2＝3，恒过定点（±
，0）．
当直线l 斜率存在时，设y＝k（x﹣1），（k≠0）．
由
，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2＝
，x1x2＝
．
⼜∵点M 是椭圆C 的右顶点，∴点M（2，0）．
由题意可知直线AM 的⽅程为：y＝
（x﹣2），故点P（0，﹣
）．
直线BM 的⽅程为：y＝
（x﹣2），故点Q（0，﹣
）．
若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N（x0，0），
则等价于
恒成⽴．
⼜
，
，
∴
＝
＝0 恒成⽴．
⼜∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝
﹣2×
+4＝
，
y1y2＝k（x1﹣1）k（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝k2（
﹣
+1）＝
，
∴
＝
＝
．
解得x0＝±
．
故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点（±
，0）．
3．已知F1，F2是椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点
是C 上⼀点，AF1的中点
在y 轴上，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）已知过椭圆
＝1 上⼀点（x0，y0）的切线⽅程为
＝1．设动直线l：y＝kx+m 与椭
圆C 相切于点P，且与直线x＝4 相交于点Q，试探究：在x 轴上是否存在定点F，使得以PQ 为直径的
圆恒过点F？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）因为AF1的中点在y 轴上，可知AF2⊥x 轴，⽽A（1，），
可得
，解得a＝2，b2＝3，
所以椭圆的⽅程为：
+
＝1；
（2）由（1）可得在P 点（x0，y0），则
+
＝1，
则在P 点处的切线⽅程为：
+
＝1，
令x＝4，可得Q 的纵坐标为y＝
，即Q（4，
），
假设存在这样的F 点满⾜条件，设F（m，0），
则
•
＝0，即（m﹣x0，﹣y0）•（m﹣4，﹣
＝0，
整理可得：（m﹣1）x0﹣m（m﹣4）﹣3＝0，
要使式⼦恒成⽴，则
，解得m＝1，
即存在点F（1，0）满⾜条件．
4．如图，已知椭圆
的离⼼率是
，A1，A2分别是椭圆C 的左、右两个顶点，
点F 是椭圆C 的右焦点．点D 是x 轴上位于A2右侧的⼀点，且满⾜
．
（1）求椭圆C 的⽅程以及点D 的坐标；
（2）过点D 作x 轴的垂线n，再作直线l：y＝kx+m 与椭圆C 有且仅有⼀个公共点P，直线l 交直线n
于点Q．求证：以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．
【解答】（1）解：A1（﹣a，0），A2（a，0），F（c，0），设D（x，0），
由
有
，
⼜|FD|＝1，∴x﹣c＝1，∴x＝c+1，
于是
，
∴c+1＝（c+1+a）（c+1﹣a），
⼜∵
，∴
，
∴c2﹣c＝0，⼜c＞0，∴c＝1，
∴
，
∴椭圆
，且D（2，0）．
（2）证明：∵Q（2，2k+m），设P（x0，y0），
由
⇒x2+2（kx+m）2＝2⇒（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由于Δ＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0⇒2k2﹣m2+1＝0⇒m2＝2k2+1（*），
⽽由⻙达定理：
，
∴
，
由（*）可得
＝﹣
，∴
，∴
，
设以线段PQ 为直径的圆上任意⼀点M（x，y），
由
有
，
由对称性知定点在x 轴上，令y＝0，取A 时满⾜上式，故过定点C．
5．已知点A（0，1），过点D（0，﹣1）作与x 轴平⾏的直线l1，点B 为动点M 在直线l1上的投影，且满⾜
（1）求动点M 的轨迹C 的⽅程；
（2）已知点P 为曲线C 上的⼀点，且曲线C 在点P 处的切线为l2，若l1与直线l2相交于点Q，试探究
在y 轴上是否存在点N，使得以PQ 为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明
理由．
【解答】解：（1）设M（x，y），由题得B（x，﹣1）．
⼜A（0，1），∴
＝（﹣x，1﹣y），
＝（0，﹣1﹣y），
＝（x，﹣2），
∵
，∴（
）•
＝0．
∴（﹣x，﹣2y）•（x，﹣2）＝0，解得x2＝4y，
∴轨迹C 的⽅程为x2＝4y．
（2）设点N（0，n），P（
），
由y＝
，得
，∴k2＝
，
∴直线l2的⽅程为y﹣
＝
（x﹣x0），
令y＝﹣1，可得Q 点的坐标为（
﹣
，﹣1）．
∴
＝（
），
＝（
﹣
，﹣1﹣n），
∵点N 在以PQ 为直径的圆上，
∴
＝
＝（1﹣n）（
）+n2+n﹣2＝0（*），
要使⽅程（*）对x0∈R 恒成⽴，
则必有
，解得n＝1．
即在y 轴上存在点N，使得以PQ 为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．
6．如图，在平⾯直⻆坐标系xOy 中，离⼼率为
的椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原
点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P，Q 两点，直线PA，QA 分别与y 轴交于M，N 两点．
（1）若直线PQ 斜率为
时，PQ＝2
，求椭圆C 的标准⽅程；
（2）在（1）条件下，试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率⽆关）？请证明你的结论．
【解答】解：（1）设
，
∵直线PQ 斜率为
时，
，
∴
，
∴
，
＝1，
∴
，
∵
，化为a2＝2b2．
联⽴
，
∴a2＝4，b2＝2．
∴椭圆C 的标准⽅程为
．
（2）以MN 为直径的圆过定点
．下⾯给出证明：
设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且
，即
，
∵A（﹣2，0），∴直线PA ⽅程为：
，
∴
，
直线QA ⽅程为：
，
∴
，
以MN 为直径的圆为
，
即
，
∵
，
∴
，
令y＝0，x2+y2﹣2＝0，解得
，
∴以MN 为直径的圆过定点
．
7．已知椭圆C：
的离⼼率为
，其左、右焦点分别为F1，F2，点P 为坐标平⾯
内的⼀点，且|
|＝，
•
＝﹣，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA，MB 的倾斜⻆分别为α，β，
且α+β＝
；证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】解：（1）设P（m，n），F1（﹣c，0），F2（c，0），
由|
|＝，
•
＝﹣可得m2+n2＝，（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2＝﹣c2＝﹣，
即有c2＝3，即c＝
，⼜e＝＝
，可得a＝2，b＝
＝1，
则椭圆的⽅程为
+y2＝1；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得M（﹣2，0），
若直线AB 的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝﹣y2，由题意可得直线MA，MB 的斜率⼤于0，即y1y2＞0，⽭
盾；
因此直线BA 的斜率存在，设其⽅程为y＝kx+m．联⽴椭圆⽅程x2+4y2＝4，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2
﹣1）＝0，
∴Δ＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0，化为：1+4k2＞m2．
∴x1+x2＝﹣
，x1x2＝
．由α+β＝
，可得tanα•tanβ＝1，
∴
•
＝1，
∴（kx1+m）（kx2+m）＝（x1+2）（x2+2），化为：（k2﹣1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2﹣4＝0，
∴（k2﹣1）•
+（mk﹣2）（﹣
）+m2﹣4＝0，
化为3m2﹣16km+20k2＝0，解得m＝2k，或m＝
k．
∴直线AB 的⽅程可以表示为y＝kx+2k（舍去），或y＝kx+
k，
则直线AB 恒过定点（﹣
，0）．
8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C 上异于O 的两点．
（Ⅰ）求抛物线C 的⽅程；
（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为
，求证：直线AB 过定点．
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），所以
＝1，所以p＝2．
所以抛物线C 的⽅程为y2＝4x．…（4 分）
（Ⅱ）证明：①当直线AB 的斜率不存在时，
设A（
，t），B（
，﹣t），
因为直线OA，OB 的斜率之积为﹣，
所以
＝﹣，化简得t2＝32．
所以A（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB 的⽅程为x＝8．…（7 分）
②当直线AB 的斜率存在时，设其⽅程为y＝kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB），
联⽴得
化简得ky2﹣4y+4b＝0．…（8 分）
根据根与系数的关系得yAyB＝
，
因为直线OA，OB 的斜率之积为﹣，
所以
•
＝﹣，
即xAxB+2yAyB＝0．
即
+2yAyB＝0，
解得yAyB＝0（舍去）或yAyB＝﹣32．
所以yAyB＝
＝﹣32，即b＝﹣8k，所以y＝kx﹣8k，
即y＝k（x﹣8）．
综上所述，直线AB 过x 轴上⼀定点（8，0）．…（12 分）
9．已知双曲线C
的右焦点F，半焦距c＝2，点F 到直线
的距离为
，
过点F 作双曲线C 的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD 的中点分别为M，N．
（1）求双曲线C 的标准⽅程；
（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得c＝2，c﹣
＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，
所以双曲线的⽅程为：
﹣y2＝1；
（2）证明：设F（2，0）设过F 的弦AB 所在的直线⽅程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
则有中点M（
+2，
），
联⽴直线AB 与双曲线的⽅程：
整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，
因为弦AB 与双曲线有两个交点，所以k2﹣3≠0，
y1+y2＝
，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝
，
所以M（
，
）；
（i）当k≠0 时，将M 的坐标中的k 换成﹣，
同理可得N 的坐标（
，﹣
），
①当直线MN 不垂直于x 轴时，
直线MN 的斜率kMN＝
＝
，
将M 代⼊⽅程可得直线MN：y﹣
＝
（x﹣
），
化简可得y＝
（x﹣3），
所以直线MN 恒过定点P（3，0）；
②当直线MN 垂直于x 轴时，
＝
可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；
（ii）当k＝0 时，AB 垂直于x 轴，则AB 的中点M 与F 重合，CD 为x 轴，CD 的中点为N 与O 重合，
此时MN 为x 轴，显然过P（3，0）
当AB 的斜率为0 时，则AB 的坐标M 为原点，此时CD 与x 轴垂直，这时CD 的中点为N 与F 重合，
此时直线MN 为x 轴，也过点（3，0）；
综上所述直线MN 恒过定点P（3，0）．
10．已知P（0，2）是椭圆
的⼀个顶点，C 的离⼼率
．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）过点P 的两条直线l1，l2分别与C 相交于不同于点P 的A，B 两点，若l1与l2的斜率之和为﹣4，
则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得
，解得a＝
，b＝2，c＝
，
∴椭圆的⽅程为
+
＝1，
（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的⽅程为y＝kx+t，
A（x1，y1），B（x2，y2），联⽴
，消去y 并整理，可得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣12＝0，
∴Δ＝36（kt）2﹣4×（3k2+2）（3t2﹣12）＝0＞0，即6k2+4﹣t2＞0，
则x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
由l1与l2的斜率之和为﹣4，可得
+
＝﹣4，
⼜y1＝kx1+t，y2＝kx2+t，
∴
+
＝﹣
+
＝2k+
＝2k+
＝﹣4，
化简可得t＝﹣k﹣2，
∴y＝kx﹣k﹣2＝k（x﹣1）﹣2，
∴直线AB 经过定点（1，﹣2），
当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的⽅程为x＝m，A（m，y1），B（m，y2），
+
＝
，
⼜y1，y2互为相反数，
∴y1+y2＝0，
故x＝1，也过点（1，﹣2），
综上直线AB 经过定点，定点为（1，﹣2）
11．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的右焦点F（
，0），⻓半轴与短半轴之⽐等于2．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）设不经过点B（0，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M，N．若点B 在以线段MN 为直径的
圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】（1）解：由题意可得，
，⼜a2＝b2+c2，
所以a＝2，b＝1，
则椭圆C 的标准⽅程为
；
（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，不符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的⽅程为y＝kx+m（m≠1），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联⽴⽅程组
，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
所以Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0，
，
因为点B 在以线段MN 为直径的圆上，
所以
，
因为
＝（k2+1）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2＝0，
所以
（m﹣1）2＝0，
整理可得5m2﹣2m﹣3＝0，解得
或m＝1（舍），
故直线l 的⽅程为y＝kx﹣，
所以直线l 过定点，且该定点的坐标为
．
12．已知椭圆
的左、右顶点分别为A，B，点P 在椭圆O 上运动，若△PAB
⾯积的最⼤值为
，椭圆O 的离⼼率为
．
（1）求椭圆O 的标准⽅程；
（2）过B 点作圆E：x2+（y﹣2）2＝r2，（0＜r＜2）的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C，D（异于点
B），当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，S△PAB 最⼤，
S△PAB＝
，
∴
，解得
．
∴椭圆O 的标准⽅程为
；
（2）设过点B（2，0）与圆E 相切的直线⽅程为：y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，
∵直线与圆E：x2+（y﹣2）2＝r2相切，
∴
，得（4﹣r2）k2+8k+4﹣r2＝0．
设两切线的斜率分别为k1，k2（k1≠k2），
则k1k2＝1．
设C（x1，y1），D（x2，y2），
联⽴
，得
．
∴
，
，
同理
＝
，
．
∴
＝
．
∴直线CD 的⽅程为
．
整理得：
＝
．
∴直线CD 恒过定点（14，0）．
13．椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，其左焦点到点P（2，1）的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m 与椭圆C 相交于A，B 两点（A，B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭
圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为
，∴
，解得c＝1．
⼜
，解得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3．
∴所求椭圆C 的⽅程为：
．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）＝0，
Δ＝64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．
∴
，
．
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝
＝
．
∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kAD•kBD＝﹣1，∴
，
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，∴
．
化为7m2+16mk+4k2＝0，解得m1＝﹣2k，
．
，且满⾜3+4k2﹣m2＞0．
当m＝﹣2k 时，l：y＝k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知⽭盾；
当m＝﹣
时，l：y＝k
，直线过定点
．
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为
．
14．如图所示，已知椭圆M：
（a＞b＞0）的四个顶点构成边⻓为5 的菱形，原点O 到直线AB
的距离为
，其A（0，a），B（﹣b，0）．直线l：x＝my+n 与椭圆M 相交于C，D 两点，且以CD 为直
径的圆过椭圆的右顶点P（其中点C，D 与点P 不重合）．
（1）求椭圆M 的⽅程；
（2）试判断直线l 与x 轴是否交于定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）直线AB 的⽅程为
，即ax﹣by+ab＝0，
∴原点O 到直线AB 的距离为
①，
由四个顶点构成菱形可得a2+b2＝25②，
联⽴①②解得a＝4，b＝3，
∴椭圆M 的⽅程为
；
（2）由（1）知P（3，0），设C（x1，y1）D（x2，y2），
将x＝my+n 代⼊椭圆⽅程，整理得：（9+16m2）y2+32mny+16n2﹣144＝0，
∴y1+y2＝﹣
，y1y2＝
，
∴x1x2＝（my1+n）
（my2+n）＝m2y1y2+mn（y1+y2）+n2＝m2•
+mn•（﹣
）+n2＝
，
x1+x2＝（my1+n）+（my2+n）＝m（y1+y2）+2n＝﹣
+2n＝
，
∵以CD 为直径的圆过椭圆的右顶点P，∴
，即（x1﹣3，y1）•（x2﹣3，y2）＝0，
∴y1y2+x1x2﹣3（x1+x2）+9＝0，
∴
，解得n＝3 或n＝﹣
，
当n＝3 时直线x＝my+3 过P（3，0），此时不合题意；当n＝﹣
时，x＝my﹣
，过定点（﹣
，0），
故直线l 与x 轴交于定点（﹣
，0）．
15．如图，已知直线l：y＝kx+1（k＞0）关于直线y＝x+1 对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：
＝
1 分别交于点A、M 和A、N，记直线l1的斜率为k1．
（Ⅰ）求k•k1的值；
（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说
明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设直线l 上任意⼀点P（x，y）关于直线y＝x+1 对称点为P0（x0，y0），
直线l 与直线l1的交点为（0，1），
∴l：y＝kx+1，l1：y＝k1x+1．
，
由
，得y+y0＝x+x0+2…①，
由
，得y﹣y0＝x0﹣x…②，
由①②得：
，
；
（Ⅱ）设点M（x1，y1），N（x2，y2），
由
得
，
∴
，
．
同理：
，
．
．
MN：y﹣yM＝kMN（x﹣xM），
∴
，
即：
．
∴当k 变化时，直线MN 过定点
．
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题型21 答案
18．已知A，B 分别为椭圆E：
+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，
•
＝8．P 为直线x
＝6 上的动点，PA 与E 的另⼀交点为C，PB 与E 的另⼀交点为D．
（1）求E 的⽅程；
（2）证明：直线CD 过定点．
【分析】（1）求出
•
＝a2﹣1＝8，解出a，求出E 的⽅程即可；
（2）联⽴直线和椭圆的⽅程求出C，D 的坐标，求出直线CD 的⽅程，判断即可．
【解答】解：如图所示：
（1）由题意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），
∴
＝（a，1），
＝（a，﹣1），
•
＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，
故椭圆E 的⽅程是
+y2＝1；
（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），设P（6，m），
则直线PA 的⽅程是y＝（x+3），
联⽴
⇒（9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，
由⻙达定理﹣3xC＝
⇒xC＝
，
代⼊直线PA 的⽅程为y＝（x+3）得：
yC＝
，即C（
，
），
直线PB 的⽅程是y＝（x﹣3），
联⽴⽅程
⇒（1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，
由⻙达定理3xD＝
⇒xD＝
，
代⼊直线PB 的⽅程为y＝（x﹣3）得yD＝
，
即D（
，
），
则①当xC＝xD 即
＝
时，有m2＝3，
此时xC＝xD＝，即CD 为直线x＝，
②当xC≠xD 时，直线CD 的斜率kCD＝
＝
，
∴直线CD 的⽅程是y﹣
＝
（x﹣
），整理得：
y＝
（x﹣），直线CD 过定点（，0）．
综合①②故直线CD 过定点（，0）．
【点评】本题考查了求椭圆的⽅程问题，考查直线和椭圆的关系以及直线⽅程问题，是⼀道综合题．
19．已知椭圆C1：
的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1
的离⼼率为
，过椭圆C1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线C2所得的弦⻓为
．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的⽅程；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l 与椭圆C1交于不同的两点M，N，点M 关于x 轴的对称点为E．证明：
当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 经过定点．
【分析】（Ⅰ）利⽤椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离⼼率，列出⽅程组，求出a，b，即可
得到椭圆⽅程抛物线⽅程；
（Ⅱ）把直线⽅程与椭圆⽅程联⽴可得根与系数的关系，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），求
得直线EN 的⽅程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，
代⼊x＝c，得y2＝4ax，即y＝±2
，所以4
＝4
，
则有ac＝2，＝，a2﹣b2＝c2⇒a＝2，b＝
，c＝1，p＝4，
∴椭圆C1的⽅程为：
，抛物线C2的⽅程为：y2＝8x．
（Ⅱ）证明：由题知，直线l 的斜率存在，
设直线l：y＝k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），则E（x1，﹣y1），
联⽴
，消去y 得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，
∴
，
，
直线EN 的⽅程为
，即为
，
即
，
∴
，
∴当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 经过定点（﹣1，0）．
【点评】本题考查椭圆以及抛物线的⽅程和简单性质的应⽤，直线与椭圆的位置关系的应⽤，考查计算
能⼒，属于中档题．
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|＝2．
（Ⅰ）求抛物线C 的⽅程；
（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意⼀点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F：（x
﹣1）2+y2＝1 相切，切点分别为A，B，求证：直线AB 过定点F（1，0）．
【分析】（1）根据抛物线的准线⽅程与M 在抛物线上，列出⽅程组求出p 的值即得抛物线⽅程；
（2）根据直线EA 与圆锥曲线相切，⽤直线⽅程与圆锥曲线⽅程联⽴，Δ＝0，根据圆的对称性，写出直
线AB 的⽅程；
思路1：利⽤直线AB 的斜率、直线AB 的⽅程，判断直线AB 恒过定点；
思路2：根据三点共线以及直线的斜率，判断直线AB 过定点F．
【解答】解：（1）抛物线C 的准线⽅程为：
，
∴
，
⼜M 在抛物线上，
即
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）
∴p2﹣4p+4＝0，
解得p＝2；
所以抛物线C 的⽅程为y2＝4x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
（2）设点E（0，t）（t≠0），
由已知切线不为y 轴，设EA：y＝kx+t，
联⽴
，消去y，
可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2＝0；
直线EA 与抛物线C 相切，
∴Δ＝（2kt﹣4）2﹣4k2t2＝0，
即kt＝1 代⼊
，
∴x＝t2，即A（t2，2t）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
设切点B（x0，y0），则由⼏何性质可以判断点O，B 关于直线EF：y＝﹣tx+t 对称，
则
，
解得：
，
即
；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
思路1：直线AB 的斜率为
，
直线AB 的⽅程为
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
整理
，
∴直线AB 过定点恒过定点F（1，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11 分）
当t＝±1 时，A（1，±2），B（1，±1），此时直线AB 为x＝1，过点F（1，0）；
综上，直线AB 过定点恒过定点F（1，0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
思路2：直线AF 的斜率为
，
直线BF 的斜率为
，
∴kAF＝kBF，即A，B，F 三点共线；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
当t＝±1 时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F 共线；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11 分）
∴直线AB 过定点F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应⽤问题，也考查了抛物线的简单⼏何性质，是综合性题⽬．
21．已知曲线C：y＝
，D 为直线y＝﹣上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB 过定点．
（2）若以E（0，）为圆⼼的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的⽅程．
【分析】（1）设D（t，﹣），A（x1，y1），则
，利⽤导数求斜率及两点求斜率可得2tx1﹣2y1+1
＝0，设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0，得到直线AB 的⽅程为2tx﹣2y+1＝0，再由直线系⽅程求
直线AB 过的定点；
（2）由（1）得直线AB 的⽅程y＝tx+
，与抛物线⽅程联⽴，利⽤中点坐标公式及根与系数的关系求
得线段AB 的中点M（t，
），再由
，可得关于t 的⽅程，求得t＝0 或t＝±1．然后分类求
得|
|＝2 及所求圆的⽅程．
【解答】（1）证明：设D（t，﹣），A（x1，y1），则
，
由于y′＝x，∴切线DA 的斜率为x1，故
，
整理得：2tx1﹣2y1+1＝0．
设B（x2，y2），同理可得2tx2﹣2y2+1＝0．
故直线AB 的⽅程为2tx﹣2y+1＝0．
∴直线AB 过定点（0，）；
（2）解：由（1）得直线AB 的⽅程y＝tx+
．
由
，可得x2﹣2tx﹣1＝0．
于是
．
设M 为线段AB 的中点，则M（t，
），
由于
，⽽
，
与向量（1，t）平⾏，
∴t+（t2﹣2）t＝0，解得t＝0 或t＝±1．
当t＝0 时，|
|＝2，所求圆的⽅程为
；
当t＝±1 时，|
|＝
，所求圆的⽅程为
．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应⽤，考查计算能⼒，是中档题．
22．已知C：
＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为
，离⼼率为
，右焦点为F，过点F
的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A、B 两点，直线l：x＝2 与x 轴相交于点H，过点A 作AD⊥
l，垂⾜为D．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）①求四边形OAHB（O 为坐标原点）⾯积的取值范围；
②证明直线BD 过定点E，并求出点E 的坐标．
【分析】（1）由题意可知
，解得a，b，c，进⽽可得答案．
（2）①设直线AB 的⽅程为x＝my+1（m∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），联⽴直线AB 与椭圆的⽅程，结
合⻙达定理可得y1+y2，y1y2，进⽽求得|y1﹣y2|，可得四边形OAOAHB（O 为坐标原点）⾯积S＝|OH||y1
﹣y2|＝
，可求其范围，
②因为B（x2，y2），D（2，y1），写出直线BD 的⽅程，令y＝0，解得x，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可知
，
所以b＝1，a＝
．c＝1，
所以椭圆C 的⽅程为
+y2＝1．
（2）①由题意知，F（1，0），设直线AB 的⽅程为x＝my+1（m∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
因为Δ＝4m2+4（m2+2）＞0，
所以y1+y2＝
，y1y2＝﹣
，
则|y1﹣y2|＝
＝
，
所以四边形OAOAHB（O 为坐标原点）⾯积S＝|OH||y1﹣y2|＝
，
令
＝t，∴t≥1，S＝
＝
，
因为t+
≥2，当且仅当t＝，即t＝1 时取等号，
所以0＜S≤
，
所以四边形OAHB ⾯积的取值范围为（0，
]，
②证明：因为B（x2，y2），D（2，y1），
所以直线BD 的斜率为k＝
，
所以直线BD 的⽅程为y﹣y1＝
（x﹣2），
令y＝0 得，x＝
＝
，
所以y1+y2＝2my1y2，
所以my1y2＝（y1+y2），
所以x＝
＝
＝，
所以直线BD 过定点E（，0）．
【点评】本题考查椭圆的⽅程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要⼀定的计算能⼒，属于中档题．
23．已知动圆M 恒过点（0，1），且与直线y＝﹣1 相切．
（1）求圆⼼M 的轨迹⽅程；
（2）动直线l 过点P（0，﹣2），且与点M 的轨迹交于A、B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：
直线AC 恒过定点．
【分析】（1）由题意可知圆⼼M 的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y＝﹣1 为准线的抛物线，根据抛物线
的⽅程即可求得圆⼼M 的轨迹⽅程；
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的⽅程为：y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，
y2）．代⼊抛物线⽅，由⻙达定理及直线直线AC 的⽅程为：y﹣y2＝﹣
（x+x2），把根与系数的关
系代⼊可得4y＝（x2﹣x1）x+8，令x＝0，即可得出直线恒过定点．
【解答】解：（1）∵动点M 到直线y＝﹣1 的距离等于到定点C（0，1）的距离，
∴动点M 的轨迹为抛物线，且
＝1，解得：p＝2，
∴动点M 的轨迹⽅程为x2＝4y；
（2）证明：由题意可知直线l 的斜率存在，
设直线l 的⽅程为：y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．
联⽴
，化为x2﹣4kx+8＝0，
Δ＝16k2﹣32＞0，
解得k＞
或k＜﹣
．
∴x1+x2＝4k，x1x2＝8．
直线直线AC 的⽅程为：y﹣y2＝﹣
（x+x2），
⼜∵y1＝kx1﹣2，y2＝kx2﹣2，
∴4ky﹣4k（kx2﹣2）＝（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，
化为4y＝（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），
∵x1＝4k﹣x2，
∴4y＝（x2﹣x1）x+8，
令x＝0，则y＝2，
∴直线AC 恒过⼀定点（0，2）．
【点评】本题考查点的轨迹⽅程的求法，考查直线的⽅程求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、
⻙达定理、抛物线定义的合理运⽤，属于中档题．
24．已知P 是圆F1：（x+1）2+y2＝16 上任意⼀点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，
当点P 在圆F1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C 的⽅程；
（Ⅱ）记曲线C 与x 轴交于A，B 两点，M 是直线x＝1 上任意⼀点，直线MA，MB 与曲线C 的另⼀个交
点分别为D，E，求证：直线DE 过定点H（4，0）．
【分析】（I）利⽤定义法求曲线C 的⽅程；
（II）设M 的纵坐标为m，引参消参，证明KDH＝KEH，即证直线DE 过定点H．
【解答】（Ⅰ）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，
所以点Q 的轨迹为以为F1，F2焦点，⻓轴⻓为4 的椭圆，
故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3
所以曲线C 的⽅程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M 的坐标为（1，m）
直线MA 的⽅程为：
将
与
联⽴消去y 整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，
设点D 的坐标为（xD，yD），则
，
故
，则
直线MB 的⽅程为：y＝﹣m（x﹣2）
将y＝﹣m（x﹣2）与
联⽴消去y 整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0
设点E 的坐标为（xE，yE），则
，
故
，则
HD 的斜率为
HE 的斜率为
因为k1＝k2，所以直线DE 经过定点H．
【点评】此题属于中档题，是圆锥曲线中定值问题，引参消参，证明KDH＝KEH 即可．
25．如图，设直线l：y＝k（x+
）与抛物线C：y2＝2px（p＞0，p 为常数）交于不同的两点M，N，且当k
＝时，弦MN 的⻓为4
．
（1）求抛物线C 的标准⽅程；
（2）过点M 的直线交抛物线于另⼀点Q，且直线MQ 过点B（1，﹣1），求证：直线NQ 过定点．
【分析】（1）根据弦⻓公式即可求出答案；
（2）由（1）可知MN 的⽅程为直线l：y＝k（x+1），代⼊抛物线的⽅程，可得ky2﹣4y+4k＝0，设M（x1，
y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2＝4，直线MB 的⽅程为y+1＝
，（x﹣1），可得y2y3+4（y2+y3）
+4＝0，直线QN 的⽅程为y﹣y2＝
（x﹣x2），可得y2y3﹣y（y2+y3）+4x＝0，即可得出直线QN 过
定点．
【解答】解：（1）当k＝时，联⽴⽅程组得
，消y 可得4x2+28px+p2＝0，
∴x1+x2＝7p，x1x2＝
，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝49p2﹣p2＝48p2，
∵弦MN 的⻓为4
．
∴|MN|2＝（1+
）（x1﹣x2）2＝×48p2＝16×15，
即p2＝4，即p＝2，
∴y2＝4x；
（2）：由（1）可知MN 的⽅程为直线l：y＝k（x+1）代⼊抛物线的⽅程，可得ky2﹣4y+4k＝0
设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2＝4，
由kMQ＝
＝
＝
，
直线MB 的⽅程为y+1＝
（x﹣1），
∴y1+1＝
（x1﹣1），
可得y1＝﹣
，
∴
＝﹣
，
∴y2y3+4（y2+y3）+4＝0，
直线QN 的⽅程为y﹣y2＝
（x﹣x2），
可得y2y3﹣y（y2+y3）+4x＝0，
∴x＝1，y＝﹣4，
∴直线QN 过定点（1，﹣4）．
【点评】本题考查抛物线的⽅程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学⽣分析解决
问题的能⼒，属于中档题．
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^_^
圆锥曲线篇—题型22～题型26 答案
⼀．解答题（共48 ⼩题）
1．已知椭圆C：
的离⼼率为
，且过点A（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）若P，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠PAQ 的⻆平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率
是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由椭圆C 的离⼼率为
，且过点A（2，1），列出⽅程组，求出a，b，由此能求出椭圆C
的⽅程．
（Ⅱ）法⼀：由∠PAQ 的⻆平分线总垂直于x 轴，知PA 与AQ 所在直线关于直线x＝2 对称．设直线PA
的⽅程为y﹣1＝k（x﹣2），直线AQ 的⽅程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．由
，得（1+4k2）x2﹣（16k2
﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4＝0．由点A（2，1）在椭圆C 上，求出
．同理
，
由此能求出直线PQ 的斜率为定值
．
法⼆：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA 的斜率
，直线QA 的斜率
．由
∠PAQ 的⻆平分线总垂直于x 轴，知
，再由点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C 上，
能求出直线PQ 的斜率为定值
．
法三：设直线PQ 的⽅程为y＝kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，直线PA 的
斜率
，直线QA 的斜率
．由∠PAQ 的⻆平分线总垂直于x 轴，知
＝
，
由
，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8＝0，由此利⽤⻙达定理能求出直线PQ 的斜率为定值
．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C 的离⼼率为
，且过点A（2，1），
所以
，
．…（2 分）
因为a2＝b2+c2，
解得a2＝8，b2＝2，…（3 分）
所以椭圆C 的⽅程为
．…（4 分）
（Ⅱ）解法⼀：因为∠PAQ 的⻆平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线x＝2 对称．
设直线PA 的斜率为k，则直线AQ 的斜率为﹣k．…（5 分）
所以直线PA 的⽅程为y﹣1＝k（x﹣2），直线AQ 的⽅程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．
设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），
由
，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4＝0．①
因为点A（2，1）在椭圆C 上，所以x＝2 是⽅程①的⼀个根，则
，…（6 分）
所以
．…（7 分）
同理
．…（8 分）
所以
．…（9 分）
⼜
．…（10 分）
所以直线PQ 的斜率为
．…（11 分）
所以直线PQ 的斜率为定值，该值为
．…（12 分）
解法⼆：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则直线PA 的斜率
，直线QA 的斜率
．
因为∠PAQ 的⻆平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线x＝2 对称．
所以kPA＝﹣kQA，即
，①…（5 分）
因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C 上，
所以
，②
．③
由②得
，得
，④…（6 分）
同理由③得
，⑤…（7 分）
由①④⑤得
，
化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4＝0，⑥…（8 分）
由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4＝0，⑦…（9 分）
⑥﹣⑦得x1+x2＝﹣2（y1+y2）．…（10 分）
②﹣③得
，得
．…（11 分）
所以直线PQ 的斜率为
为定值．…（12 分）
解法三：设直线PQ 的⽅程为y＝kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，
直线PA 的斜率
，直线QA 的斜率
．…（5 分）
因为∠PAQ 的⻆平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线x＝2 对称．
所以kPA＝﹣kQA，即
＝
，…（6 分）
化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4＝0．
把y1＝kx1+b，y2＝kx2+b 代⼊上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4＝0．（*）
…（7 分）
由
，消去y 得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8＝0，（**）
则
，…（8 分）
代⼊（*）得
，…（9 分）
整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）＝0，
所以
或b＝1﹣2k．…（10 分）
若b＝1﹣2k，可得⽅程（**）的⼀个根为2，不合题意．…（11 分）
若
时，合题意．
所以直线PQ 的斜率为定值，该值为
．…（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认
真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆位置关系的合理运⽤．
2．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，右焦点为F，右顶点为E，P 为直线x＝a 上的任
意⼀点，且（
+
）•
＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）过F 垂直于x 轴的直线AB 与椭圆交于A，B 两点（点A 在第⼀象限），动直线l 与椭圆C 交于M，
N 两点，且M，N 位于直线AB 的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN 的斜率为定值．
【分析】（I）根据（
+
）•
＝2 列⽅程得出a，c 的关系，再根据离⼼率求出a，b 得出椭圆⽅程；
（II）由题意可知AM 与AN 的斜率之和为0，设l ⽅程：y＝kx+m，代⼊椭圆⽅程，根据根与系数的关
系列出恒等式求出k 的值．
【解答】解：（I）F（c，0），E（a，0），设P（
，y），
则
＝（
，﹣2y），
＝（c﹣a，0），
∴（
+
）•
＝（c﹣
）（c﹣a）＝2，
∵椭圆的离⼼率e＝
，∴a＝2c，
∴c＝1，a＝2，b＝
＝
，
∴椭圆C 的⽅程为：
＝1．
（II）直线AB 的⽅程为x＝1，代⼊椭圆⽅程得y＝±
．
∴A（1，），
设直线l 的⽅程为y＝kx+m，代⼊椭圆⽅程得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
由题意可知Δ＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝
，x1x2＝
，
∵∠MAB＝∠NAB，∴kAM+kAN＝0，
∵kAM＝
＝
，kAN＝
＝
，
∴
+
＝2k+（k+m﹣）
＝2k﹣（k+m﹣）
＝
0，
∴（4k﹣2）m+4k2﹣8k+3＝0 恒成⽴，
∴
，解得k＝．
∴直线MN 的斜率为定值
．
【点评】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
3．如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线
上．
（Ⅰ）写出该抛物线的⽅程及其准线⽅程；
（Ⅱ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜⻆互补时，求y1+y2的值及直线AB 的斜率．
【分析】（I）设出抛物线的⽅程，把点P 代⼊抛物线求得p 则抛物线的⽅程可得，进⽽求得抛物线的准
线⽅程．
（II）设直线PA 的斜率为kPA，直线PB 的斜率为kPB，则可分别表示kPA 和kPB，根据倾斜⻆互补可知kPA
＝﹣kPB，进⽽求得y1+y2的值，把A，B 代⼊抛物线⽅程两式相减后即可求得直线AB 的斜率．
【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的⽅程为y2＝2px
∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2
故所求抛物线的⽅程是y2＝4x
准线⽅程是x＝﹣1
（II）设直线PA 的斜率为kPA，直线PB 的斜率为kPB
则
，
∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜⻆互补
∴kPA＝﹣kPB
由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）
∴
∴y1+2＝﹣（y2+2）
∴y1+y2＝﹣4
由（1）﹣（2）得直线AB 的斜率
【点评】本⼩题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运⽤解析⼏何的⽅法分析问题和解决问题的能
⼒．
4．如图，在平⾯直⻆坐标系xoy 中，椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，直线l：y＝
x 与
椭圆E 相交于A，B 两点，AB＝
，C，D 是椭圆E 上异于A，B 两点，且直线AC，BD 相交于点M，
直线AD，BC 相交于点N．
（1）求a，b 的值；
（2）求证：直线MN 的斜率为定值．
【分析】（1）运⽤离⼼率公式和联⽴直线⽅程和椭圆⽅程，求得A 的坐标，解⽅程可得a，b；
（2）求出椭圆⽅程，求得A，B 的坐标，①当CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，设出直线AD 的⽅程
为y﹣2＝k2（x﹣4），直线BC 的⽅程为y+2＝﹣
（x+4），联⽴直线⽅程求出M，N 的坐标，可得直
线MN 的斜率；②当CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，同理求得M，N 的坐标，可得直
线MN 的斜率．
【解答】解：（1）因为e＝＝
，即c2＝a2，即a2﹣b2＝a2，则a2＝2b2；
故椭圆⽅程为
+
＝1．
由题意，不妨设点A 在第⼀象限，点B 在第三象限，
由
解得A（
b，
b）；
⼜AB＝4
，所以OA＝2
，即
b2+
b2＝20，解得b2＝12；
故a＝2
，b＝2
；
（2）证明：由（1）知，椭圆E 的⽅程为
，
从⽽A（4，2），B（﹣4，﹣2）；
①当CA，CB，DA，DB 斜率都存在时，
设直线CA，DA 的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），
显然k1≠k2；
，
所以kCB＝﹣
；同理kDB＝﹣
，
于是直线AD 的⽅程为y﹣2＝k2（x﹣4），直线BC 的⽅程为y+2＝﹣
（x+4）；
∴
，
从⽽点N 的坐标为
；
⽤k2代k1，k1代k2得点M 的坐标为
；
∴
，
即直线MN 的斜率为定值﹣1；
②当CA，CB，DA，DB 中，有直线的斜率不存在时，
根据题设要求，⾄多有⼀条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA 的斜率不存在，从⽽C（4，﹣2）；
仍然设DA 的斜率为k2，由①知kDB＝﹣
；
此时CA：x＝4，DB：y+2＝﹣＝﹣
（x+4），它们交点M（4，
）；
BC：y＝﹣2，AD：y﹣2＝k2（x﹣4），它们交点N（
，﹣2），
从⽽kMN＝﹣1 也成⽴；
由①②可知，直线MN 的斜率为定值﹣1．
【点评】本题考查椭圆的⽅程和性质，考查直线和椭圆⽅程联⽴，求出交点，考查分类讨论的思想⽅法，
注意直线的斜率和直线⽅程的运⽤，考查运算能⼒，属于难题．
5．已知椭圆C 的中⼼在原点，离⼼率等于
，它的⼀个短轴端点恰好是抛物线x2＝8
y 的焦点．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，
①若直线AB 的斜率为
，求四边形APBQ ⾯积的最⼤值；
②当A、B 运动时，满⾜∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆C 的⼀个顶点恰好是抛物线
的焦点，离⼼率等于
．由此列式解出a，
b 的值，即可得到椭圆C 的⽅程．
（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB 的⽅程为
，将直线的⽅程代⼊椭圆的⽅程，消去y
得到关于x 的⼀元⼆次⽅程，再结合根系数的关系利⽤弦⻓公式即可求得四边形APBQ 的⾯积，从⽽解
决问题．
②设直线PA 的斜率为k，则PB 的斜率为﹣k，PA 的直线⽅程为y﹣3＝k（x﹣2）将直线的⽅程代⼊椭圆
的⽅程，消去y 得到关于x 的⼀元⼆次⽅程，再结合根系数的关系利⽤弦⻓公式即可求得x1+2，同理
PB 的直线⽅程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得x2+2，从⽽得出AB 的斜率为定值
．
【解答】解：（Ⅰ）设C ⽅程为
，则
．
由
，得a＝4
∴椭圆C 的⽅程为
．…（4 分）
（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB 的⽅程为
，
代⼊
，得x2+tx+t2﹣12＝0
由Δ＞0，解得﹣4＜t＜4…（6 分）
由⻙达定理得x1+x2＝﹣t，x1x2＝t2﹣12．
∴
＝
＝
．
由此可得：四边形APBQ 的⾯积
∴当t＝0，
．…（8 分）
②解：当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k
则PB 的斜率为﹣k，直线PA 的直线⽅程为y﹣3＝k（x﹣2）
由
（1）代⼊（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48＝0
∴
…（10 分）
同理直线PB 的直线⽅程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得
∴
…
（
12
分
）
所以AB 的斜率为定值
．…（14 分）
【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准⽅程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出
椭圆的标准⽅程是解答本题的关键．
6．已知圆
＝64，N 为圆上⼀动点，
，若线段NF1的垂直平分线交
NF2于点M．
（1）求动点M 的轨迹⽅程E；
（2）如图，点
在曲线E 上，A，B 是曲线E 上位于直线PQ 两侧的动点，
当A，B 运动时，满⾜∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
【分析】（1）根据给定条件，可得|MF1|+|MF2|＝8，再结合椭圆的定义求出⽅程E 作答．
（2）设出直线AP 的⽅程，与⽅程E 联⽴求出点A 的横坐标，同理可得点B 的横坐标，再利⽤斜率坐
标公式计算作答．
【
解
答
】
解
：（
1
）
依
题
意
，
|MF1|
＝
|MN|
，
因
此
，
于是点M 的轨迹为以F1，F2为焦点，⻓轴⻓为8 的椭圆，则⻓半轴⻓a＝4，半焦距
，短半轴⻓
，
所以曲线E 的轨迹⽅程为
．
（2）直线AB 的斜率为定值．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠APQ＝∠BPQ，得直线PA，PB 的斜率互为相反数，
设直线PA 的斜率为k，则直线PB 的斜率为﹣k，直线PA 的⽅程为
，
由
消去y 得
，
，同理得
，
，依题意，k≠0，
所以直线AB 的斜率
，
即直线AB 的斜率为定值
．
【点评】本题考查轨迹⽅程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，考查分析问题解决问题的能⼒，
是中档题．
7．已知直线l 经过椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左焦点和下顶点，坐标原点O 到直线l 的距离为
a．
（Ⅰ）求椭圆C 的离⼼率；
（Ⅱ）若椭圆C 经过点P（2，1），A，B 是椭圆C 上的两个动点，且∠APB 的⻆平分线总是垂直于y 轴，
试问：直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）法⼀：过点（﹣c，0），（0，﹣b）的直线l 的⽅程为bx+cy+bc＝0，通过坐标原点O 到直线
l 的距离转化求解离⼼率即可．
法⼆：由三⻆形等⾯积法可知：
，然后求解离⼼率即可．
（Ⅱ）求出椭圆⽅程，
法⼀：AP 与BP 所在直线关于直线y＝1 对称．设直线AP 的斜率为k，则直线BP 的斜率为﹣k，设直线
AP 的⽅程为y﹣1＝k（x﹣2），直线BP 的⽅程为y﹣1＝﹣k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）．联⽴
直线与椭圆⽅程，推出
．
转化求解直线的斜率即可．
法⼆：设直线AB 的⽅程为y＝kx+t，点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＝kx1+t，y1＝kx2+t，直线AP 的斜
率
，直线BP 的斜率
，说明AP 与BP 所在直线关于直线y＝1 对称．kAP＝﹣kBP，
推出2kx1x2+（t﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4t+4＝0，联⽴直线与椭圆⽅程，转化求解直线的斜率即可．
法三：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AP 的斜率
，直线BP 的斜率
，
说明AP 与BP 所在直线关于直线y＝1 对称．通过kAP＝﹣kBP，点A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C 上，
转化求解直线的斜率即可．
【解答】解：（Ⅰ）法⼀：过点（﹣c，0），（0，﹣b）的直线l 的⽅程为bx+cy+bc＝0，……………………（1
分）
则坐标原点O 到直线l 的距离为
，……………………（2 分）
可得
．…………………（4 分）
法⼆：由三⻆形等⾯积法可知：
，……………………（2 分）
可得
．…………………（4 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）易知
，则椭圆C：
经过点P（2，1），
解得b2＝3，则椭圆C：
．…………………（5 分）
法⼀：因为∠APB 的⻆平分线总垂直于y 轴，所以AP 与BP 所在直线关于直线y＝1 对称．
设直线AP 的斜率为k，则直线BP 的斜率为﹣k，
所以设直线AP 的⽅程为y﹣1＝k（x﹣2），直线BP 的⽅程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）
设点A（x1，y1），B（x2，y2）．…………………（6 分）
由
，消去y，得（1+2k2）x2+4（k﹣2k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0．
因为点P（2，1）在椭圆C 上，则有
，即
．…………………（8 分）
同理可得
．…………………（9 分）
所以
，⼜
．…………………（11 分）
所以直线AB 的斜率为
．…………………（12 分）
法⼆：设直线AB 的⽅程为y＝kx+t，点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＝kx1+t，y1＝kx2+t，
直线AP 的斜率
，直线BP 的斜率
，
因为∠APB 的⻆平分线总垂直于y 轴，所以AP 与BP 所在直线关于直线y＝1 对称．
所以kAP＝﹣kBP，即
，…………………（6 分）
化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4＝0，
把y1＝kx1+t，y1＝kx2+t，代⼊上式，并化简得2kx1x2+（t﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4t+4＝0，……………（7 分）
由
，消去y，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣6＝0，
则
，
，
代⼊化简得
，……………（9 分）
整理得2k2﹣3k+1+kt﹣t＝0⇒（k﹣1）（t+2k﹣1）＝0，
所以k＝1 或t+2k﹣1＝0，……………（10 分）
若t＝1﹣2k，可得⽅程（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣6＝0 的⼀个根为2，不合题意．……………（11 分）
当k＝1 时，合题意．所以直线AB 的斜率为
．…………………（12 分）
法三：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AP 的斜率
，直线BP 的斜率
，
因为∠APB 的⻆平分线总垂直于y 轴，所以AP 与BP 所在直线关于直线y＝1 对称．
所以kAP＝﹣kBP，即
，…………………（6 分）
因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C 上，所以
，
，
则有
，
同理有
，…………………（8 分）
从⽽有
，…………………（9
分）
由
，
两式相减得x1+x2＝﹣2（y1+y2），…………………（10 分）
⼜因为
，…………………（11 分）
所以直线AB 的斜率为
．…………………（12 分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，椭圆的简单性质的应⽤，考查转化思想以及计算
能⼒，是中档题．
8．已知椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）过点（0，1），且离⼼率为
．
（1）求椭圆E 的标准⽅程；
（2）设直线l：y＝
x+m 与椭圆E 交于A，C 两点，以AC 为对⻆线作正⽅形ABCD，记直线l 与x 轴
的交点为N，求证：BN 的⻓度为定值．
【分析】（1）由题意，根据椭圆经过点（0，1）以及离⼼率公式，列出等式即可求出a，b 的值，进⽽可
得椭圆的标准⽅程；
（2）设A（x1，y1），C（x2，y2），线段AC 的中点为M，将直线l 的⽅程与椭圆⽅程联⽴，结合根的判别
式得到m 的取值范围，利⽤⻙达定理以及弦⻓公式求出AC，根据直线l 与x 轴的交点为N，得到MN，
再根据勾股定理进⾏求证即可．
【解答】（1）解：已知椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）过点（0，1），
则椭圆的焦点在x 轴上，且b＝1，
⼜椭圆离⼼率
，
解得a＝2，
所以椭圆E 的标准⽅程为
；
（2）证明：不妨设A（x1，y1），C（x2，y2），线段AC 的中点为M，
联⽴
，消去y 并整理得x2+2mx+2m2﹣2＝0，
此时Δ＝（2m）2﹣4（2m2﹣2）＝8﹣4m2＞0，
解得
，
由⻙达定理得x1+x2＝﹣2m，
，
所以
，
则
，
此时AC＝
•|x1﹣x2|＝
•
＝
，
因为直线l 与x 轴的交点N（﹣2m，0），
所以
＝
，
所以
，
故BN 的⻓度为定值．
【点评】本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能⼒．
9．已知椭圆
在右、上顶点分别为A、B，F 是椭圆Γ的左焦点，P（
）
是椭圆Γ上的点，且|OB|＝|OF|（O 是坐标原点）．
（1）求椭圆Γ的⽅程；
（2）设直线l 与椭圆Γ相切于点M（M 在第⼆象限），过O 作直线l 的平⾏线与直线MF 相交于点N，问：
线段MN 的⻓是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【分析】（1）由题意可得b＝c，及点的坐标代⼊，和a，b，c 之间的关系求出a，b 的值，进⽽求出椭圆
的⽅程；
（2）设切点M 的坐标，代⼊椭圆的⽅程看横纵坐标的关系，由题意可得直线ON 的⽅程，直线MF 的
⽅程，联⽴两条直线的⽅程求出N 的坐标，求出|MN|的表达式，整理可得为定值．
【解答】解：（1）由题意可得：
，解得：a2＝2，b2＝c2＝1，
所以椭圆的⽅程为：
+y2＝1；
（2）由题意F（﹣1，0），设切点M（x0，y0），则
+y02＝1，
切线⽅程l 为：
+y0y＝1，
⽽ON∥l，且ON 过原点，所以ON：
+y0y＝0，
直线MF：（x0+1）y＝y0（x+1），
联⽴直线ON 与MF 的⽅程可得：N（
，
），
则|MN|2＝（x0+
）2+（y0﹣
）2＝（
）2+（
）2＝2，
所以|MN|＝
为定值．
【点评】本题考查求椭圆的⽅程及直线与椭圆相切的性质，属于中档题．
10．已知椭圆C
的左右顶点分别为A，B，左焦点为F，O 为原点，点P 为椭
圆C 上不同于A，B 的任⼀点，若直线PA 与PB 的斜率之积为
，且椭圆C 经过点
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）若P 点不在坐标轴上，直线PA，PB 交y 轴于M，N 两点；若直线OT 与过点MN 为直径的圆相切，
切点为T，问切线⻓|OT|是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由斜率之积的a，b 的关系，⼜过⼀点⼜得a，b 的关系，解出a，b 的值，求出椭圆的⽅程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，B 的坐标，设P 的坐标，满⾜椭圆的⽅程，得直线AP，BP，求出M，N 的坐标，再
⽤圆中切割线定理得切线⻓的值．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意得A（﹣a，0），B（a，0），∴kAP•kBP＝
＝
，∴
＝﹣⽽
＝1 得：b2＝a2①，
⼜过（1，）∴
＝1②，所以由①②得：a2＝4，b2＝3；
所以椭圆C 的⽅程：
+
＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A（﹣2，0），B（2，0）设P（m，n），
，则直线的⽅程PA：y＝
（x+2），
令x＝0，则y＝
，所以M 的坐标（0，
），
直线PB 的⽅程：y＝
（x﹣2），令x＝0，y＝
，所以坐标N（0，
），
∵△OTN∽△OMT∴
，∴OT2＝|ON|•|OM|＝|
|＝3
|所以切线⻓|OT|2＝
．
【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题．
11．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，且过点A（2，1）．
（1）求C 的⽅程；
（2）点M，N 在C 上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂⾜．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【分析】（1）由题可知，
，解出a2和b2的值即可；
（2）分两⼤类进⾏讨论：①当直线MN 的斜率存在时，设其⽅程为y＝kx+m，与椭圆⽅程联⽴，消去y，
写出⻙达定理，结合
＝0 可得m＝1﹣2k 或m＝
，分别找出两种情形下直线MN 所过的定
点，并利⽤圆的⼏何性质可得点Q 的坐标；②当直线MN 的斜率不存在时，此时D 为（，1），验证Q
（，）是否符合题意即可．
【解答】解：（1）∵离⼼率
，
∴a＝
c，
⼜a2＝b2+c2，
∴b＝c，a＝
b，
把点A（2，1）代⼊椭圆⽅程得，
，解得b2＝3，
故椭圆C 的⽅程为
．
（2）①当直线MN 的斜率存在时，设其⽅程为y＝kx+m，
联⽴
，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
由Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，知m2＜6k2+3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝
，x1x2＝
，
∵AM⊥AN，∴
＝（x1﹣2，y1﹣1）•（x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2
﹣2m+5＝0，
∴（k2+1）•
+（km﹣k﹣2）（
）+m2﹣2m+5＝0，化简整理得，4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝（2k+m
﹣1）（2k+3m+1）＝0，
∴m＝1﹣2k 或m＝
，
当m＝1﹣2k 时，y＝kx﹣2k+1，过定点A（2，1），不符合题意，舍去；
当m＝
时，y＝kx
，过定点B
．
∵AD⊥MN，∴点D 在以AB 为直径的圆上，
故当点Q 为AB 的中点，即Q（，）时，|DQ|＝
，为定值；
②当直线MN 的斜率不存在时，设其⽅程为x＝t，M（t，s），N（t，﹣s），且
，
∵AM⊥AN，∴
＝（t﹣2，s﹣1）•（t﹣2，﹣s﹣1）＝t2﹣4t﹣s2+5＝
＝0，解得t＝或
2（舍2），
∴D（，1），此时|DQ|＝
，为定值．
综上所述，存在定点Q（，），使得|DQ|为定值，且该定值为
．
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，涉及分类讨论的思想和先猜
后证的⽅法，有⼀定的计算量，考查学⽣的逻辑推理能⼒、转化与化归能⼒和运算能⼒，属于难题．
12．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB 的⾯
积为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 上⼀点，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定
值．
【分析】（Ⅰ）运⽤椭圆的离⼼率公式和三⻆形的⾯积公式，结合a，b，c 的关系，解⽅程可得a＝2，b
＝1，进⽽得到椭圆⽅程；
（Ⅱ）⽅法⼀、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02＝4，求出直线PA 的⽅程，令x＝0，求得y，|BM|；
求出直线PB 的⽅程，令y＝0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．
⽅法⼆、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA 的⽅程，令x＝0，求得y，|BM|；求出直线PB
的⽅程，令y＝0，可得x，|AN|，运⽤同⻆的平⽅关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝
，
⼜△OAB 的⾯积为1，可得
ab＝1，
且a2﹣b2＝c2，
解得a＝2，b＝1，c＝
，
可得椭圆C 的⽅程为
+y2＝1；
（Ⅱ）证法⼀：设椭圆上点P（x0，y0），
可得x02+4y02＝4，
若P（0，﹣1），可得PA 与y 轴交于点M（0，﹣1），直线PB 与x 轴交于点N（0，0），
可得|AN|•|BM|＝4；
直线PA：y＝
（x﹣2），令x＝0，可得y＝﹣
，
则|BM|＝|1+
|；
直线PB：y＝
x+1，令y＝0，可得x＝﹣
，
则|AN|＝|2+
|．
可得|AN|•|BM|＝|2+
|•|1+
|
＝|
|＝|
|
＝|
|＝4，
即有|AN|•|BM|为定值4．
证法⼆：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y＝
（x﹣2），令x＝0，可得y＝﹣
，
则|BM|＝|
|；
直线PB：y＝
x+1，令y＝0，可得x＝﹣
，
则|AN|＝|
|．
即有|AN|•|BM|＝|
|•|
|
＝2|
|
＝2|
|＝4．
则|AN|•|BM|为定值4．
【点评】本题考查椭圆的⽅程的求法，注意运⽤椭圆的离⼼率和基本量的关系，考查线段积的定值的求
法，注意运⽤直线⽅程和点满⾜椭圆⽅程，考查化解在合理的运算能⼒，属于中档题．
13．已知椭圆
．
（1）直线l 过点D（1，1）与椭圆C 交于P，Q 两点，若
，求直线l 的⽅程；
（2）在圆O：x2+y2＝2 上取⼀点M，过点M 作圆O 的切线l′与椭圆C 交于A，B 两点，求|MA|•|MB|的
值．
【分析】（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由
，可得x1+x2＝2，y1+y2＝2，把P，Q 两点代⼊椭圆C
的⽅程，结合作差法即可求得直线l 的⽅程；
（2）当切线l′斜率不存在时，不妨设l′的⽅程为x＝
，求得A（
，
），B（
，﹣
），可得
＝0，即OA⊥OB．当切线l′斜率存在时，可设l′的⽅程为y＝kx+m，由圆⼼到直线的距离等于半径可得
m 与k 的关系，联⽴直线⽅程与椭圆⽅程，利⽤向量数量积证明OA⊥OB．可得圆O 上任意⼀点M 处
的切线交椭圆C 于点A，B，都有OA⊥OB．在Rt△OAB 中，由△OAM 与△BOM 相似，即可求得|MA|•
|MB|＝|OM|2＝2．
【解答】解：（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵D（1，1），且
，∴（1﹣x1，1﹣y1）＝（x2﹣1，y2﹣1），
即
，解得x1+x2＝2，y1+y2＝2．
∵P，Q 两点在椭圆C 上，∴
，
，
两式相减，得
，则
，
故直线l 的⽅程为y﹣1＝
（x﹣1），即y＝﹣
；
（2）当切线l′斜率不存在时，不妨设l′的⽅程为x＝
，
由椭圆C 的⽅程可知，A（
，
），B（
，﹣
），
则
＝0，即OA⊥OB．
当切线l′斜率存在时，可设l′的⽅程为y＝kx+m，A（x3，y3），B（x4，y4），
∴
，即m2＝2（k2+1），
联⽴l′和椭圆的⽅程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0．
则Δ＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＞0．
，
．
∵
＝x3x4+y3y4＝x3x4+（kx3+m）（kx4+m）
＝
＝
＝
＝
，
∴OA⊥OB．
综上所述，圆O 上任意⼀点M 处的切线交椭圆C 于点A，B，都有OA⊥OB．
在Rt△OAB 中，由△OAM 与△BOM 相似，
得|MA|•|MB|＝|OM|2＝2．
【点评】本题考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应⽤，考查运算求解能⼒，是中档题．
14．如图，已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）经过点（1，），且离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若直线l 过椭圆C 的左焦点F1交椭圆于A，B 两点，AB 的中垂线交⻓轴于点D，试探索
是
否为定值？若是，求出该定值，否则说明理由．
【分析】（1）由题意知e＝＝，
+
＝1，从⽽求椭圆C 的⽅程；
（2）分类讨论，从⽽分别确定
＝
；从⽽证明．当斜率存在且不为0 时，设直线l 的⽅程为y
＝k（x+1），k≠0；从⽽联⽴⽅程化简得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，利⽤⻙达定理求距离，从⽽求⽐值．
【解答】解：（1）由题意知，
e＝＝，
+
＝1，
解得，a＝2，b＝
，c＝1；
故椭圆C 的⽅程为
+
＝1；
（2）①当直线l 的斜率为0 时，|AB|＝2a＝4，
|DF1|＝c＝1，
故
＝；
②当直线l 的斜率不存在时，|DF1|不存在，
故
不存在；
③设直线l 的⽅程为y＝k（x+1），k≠0；
与
+
＝1 联⽴消元可得：
（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
故|AB|＝
＝
•
＝
；
（x1+x2）＝﹣
，
＝k（x1+x2）+k＝
故AB 的中点的坐标为（﹣
，
），
故AB 的中垂线的⽅程为y﹣
＝﹣（x+
），
令y＝0 解得，x＝﹣
，
故D（﹣
，0），
故|DF1|＝|﹣
+1|＝
，
故
＝；
综上所述，
为定值
．
【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，同时考查了学⽣的化简运算能⼒及分类讨论的思想⽅法应
⽤．
15．如图，已知椭圆
的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2
的内切圆为C2．
（1）求圆C2的标准⽅程；
（2）已知圆C2的⼀条不与坐标轴平⾏的切线l 交椭圆C1于P，M 两点．
（ⅰ）求证：OP⊥OM；
（ⅱ）试探究
是否为定值．
【分析】（1）根据椭圆的性质和点到直线的距离求得C2的半径，从⽽可得内切圆的⽅程；
（2）（i）转化为证明：x1x2+y1y2＝0
（ii）将直线OP 的⽅程代⼊椭圆OP2，OM2，再倒过来相加，变形可得定值．
【解答】解：（1）因为A2，B1分别为椭圆
的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为（2，
0），（0，1），可得直线A2B1的⽅程为：x+2y＝2，
则原点O 到直线A2B1的距离为
，则圆C2的半径
，
故圆C2的标准⽅程为
，
（2）（i）可设切线l：y＝kx+b（k≠0），P（x1，y1），M（x2，y2），
将直线PM ⽅程代⼊椭圆C1可得
，由⻙达定理得：
则
，
⼜l 与圆C2相切，可知原点O 到l 的距离
，整理得
，
则
，所以
，故OP⊥OM．
（ii）由OP⊥OM 知
，
①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时
；
②当直线OP 的斜率存在时，设OP：y＝k1x 代⼊椭圆⽅程可得
，则
，
故
，
同理
，
则
．
综上可知：
为定值．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题．
16．如图，已知M（x0，y0）是椭圆C：
+
＝1 上的任⼀点，从原点O 向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2
＝2 作两条切线，分别交椭圆于点P、Q．
（1）若直线OP，OQ 的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值．
（2）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【分析】（1）设直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，P（x1，y1），Q（x2，y2），设过原点圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）
2＝2 的切线⽅程为y＝kx，运⽤直线和圆相切的条件：d＝r，再由⼆次⽅程的⻙达定理，即可得到定值﹣
；
（2）联⽴直线OP、OQ ⽅程和椭圆⽅程，求得P，Q 的坐标，运⽤⻙达定理，化简整理，即可得到定
值9．
【解答】解：（1）因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆R 相切，
由直线和圆相切的条件：d＝r，
可得
＝
＝
，
平⽅整理，可得k12（2﹣x02）+2k1x0y0+2﹣y02＝0，
k22（2﹣x02）+2k2x0y0+2﹣y02＝0，
所以k1，k2是⽅程k2（2﹣x02）+2kx0y0+2﹣y02＝0 的两个不相等的实数根，
k1•k2＝
，
因为点R（x0，y0）在椭圆C 上，
所以
+
＝1，
即y02＝3（1﹣
）＝3﹣•x02，
所以k1k2＝
＝﹣为定值；
（2）OP2+OQ2是定值，定值为9．
理由如下：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联⽴
，解得x12＝
，y12＝
，
所以x12+y12＝
，
同理得x22+y22＝
，
由k1k2＝﹣，
所以OP2+OQ2＝x12+y12+x22+y22＝
+
＝
+
＝
＝9．
故OP2+OQ2为定值9．
【点评】本题考查椭圆的⽅程和性质，主要考查椭圆的⽅程的运⽤，以及直线和圆相切的条件，考查化
简运算能⼒，属于中档题．
17．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，O 是坐标原点，点A，B 分别为椭圆C 的左右
顶点，|AB|＝4
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程．
（2）若P 是椭圆C 上异于A，B 的⼀点，直线l 交椭圆C 于M，N 两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN
的⾯积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【分析】（1）运⽤椭圆的离⼼率公式和a，b，c 的关系，解⽅程可得a，b，进⽽得到椭圆⽅程；
（2）求得A，B 的坐标，设P（x0，y0），由直线的斜率公式和平⾏线的性质，可得kON•kOM＝kAP•kBP＝﹣
，讨论直线l 的斜率是否存在，设出直线⽅程，联⽴椭圆⽅程，运⽤⻙达定理和弦⻓公式，以及点到
直线的距离公式，三⻆形的⾯积公式，化简整理可得所求定值．
【解答】解：（1）由2a＝4
，e＝＝
，解得a＝2
，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4，则椭圆的⽅程为
+
＝1；
（2）由题意可得A（﹣2
，0），B（2
，0），设P（x0，y0），可得
+
＝1，即x02+2y02＝8，
则kAP•kBP＝
•
＝
＝
＝﹣，则kON•kOM＝kAP•kBP＝﹣，
①当直线l 的斜率不存在时，设l：x＝m，联⽴椭圆⽅程可得y＝±
，
由kON•kOM＝﹣，可得﹣
＝﹣，解得m＝±2，则S△MNO＝×2×2
＝2
；
②当直线l 的斜率存在时，设直线l：y＝kx+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联⽴直线y＝kx+n 和x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8＝0，
可得x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+kn（x1+x2）+n2，
kON•kOM＝
＝k2+
+
＝﹣，可得n2＝2+4k2，
|MN| ＝
•
＝
•
＝
•
＝
，
点（0，0）到直线l 的距离为d＝
＝
，
则S△OMN＝d•|MN|＝2
，
所以△OMN 的⾯积为定值2
．
【点评】本题考查椭圆的⽅程和性质，考查直线⽅程和椭圆⽅程联⽴，运⽤⻙达定理和弦⻓公式，三⻆
形的⾯积公式，考查分类讨论思想和运算能⼒，属于难题．
18．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的焦距为2，四个顶点构成的四边形⾯积为2
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于M、N 两点，O 为坐标原点，
＝
+
，若点P 在椭圆上，
请判断△OMN 的⾯积是否为定值．
【分析】（1）根据椭圆的⼏何性质，列⽅程组，解之即可；
（2）设直线l 的⽅程是y＝kx+m，与椭圆⽅程联⽴，利⽤弦⻓公式求得|MN|，根据平⾯向量的坐标运算
求得点P，将其代⼊椭圆⽅程，可得k 与m 之间的等量关系，再结合点到直线的距离公式，表示S△OMN，
化简运算，得解．
【解答】解：（1）由题意知，2c＝2，即c＝1，
因为四个顶点构成的四边形⾯积为2
，所以
×2a×2b＝2
，即ab＝
，
⼜a2＝c2+b2，所以b＝1，a＝
，
故椭圆C 的标准⽅程为
+y2＝1．
（2）设直线l 的⽅程是y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），
联⽴
，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
则Δ＝8（2k2﹣m2+1）＞0，x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝
，
|MN|＝
•|x1﹣x2|＝
•
，
因为
＝
+
，
所以（x0，y0）＝（x1+x2，y1+y2）＝（﹣
，
），即P（﹣
，
），
将其代⼊椭圆⽅程有（﹣
）2+2（
）2＝2，整理得4m2＝2k2+1，
点O 到直线l 的距离d＝
，
所以△OMN 的⾯积S△OMN＝|MN|•d＝•
•
•
＝
•
•|m|＝
•
•|m|＝
，
故△OMN 的⾯积是定值
．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握直线与椭圆联⽴解决问题的⽅法，点到直线的距离
公式，弦⻓公式等是解题的关键，考查逻辑推理能⼒和运算能⼒，属于难题．
19．如图，点F 是抛物线τ：x2＝2py（p＞0）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且
＝（2，0），点B，C 是
抛物线上的动点，直线AB，AC 斜率分别为k1，k2．
（I）求抛物线τ的⽅程；
（Ⅱ）若k2﹣k1＝2，点D 是点B，C 处切线的交点，记△BCD 的⾯积为S，证明S 为定值．
【分析】（Ⅰ）设A（x0，y0），可知F（0，），故
．求得A 坐标，代⼊
x2＝2py，得p＝2．即可
（Ⅱ）过D 作y 轴的平⾏线交BC 于点E ，并设B （
），C （
），由
＝2，得x2﹣x1＝8．联⽴直线、直线⽅程得
．由题意
，即可求△BCD 的⾯积为S ＝
× ED × （x2 ﹣x1 ）＝
＝
（定值）
【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，y0），可知F（0，），故
．
∴
，代⼊x2＝2py，得p＝2．
∴抛物线τ的⽅程为x2＝4y．
（Ⅱ）过D 作y 轴的平⾏线交BC 于点E，并设B（
），C（
），
由（Ⅰ）得A（﹣2，1）．
＝2，
∴x2﹣x1＝8．
直线DBy＝
，直线CDy＝
，解得
．
∴直线BC 的⽅程为y﹣
＝
，将xD 代⼊得
．
∴△BCD的⾯积为S＝×ED×（x2﹣x1）＝
＝
（定值）
【点评】本题考查了抛物线的⽅程，抛物线与直线的位置关系，属于中档题，
20．已知椭圆
的四个顶点围成的菱形的⾯积为
，椭圆的⼀个焦点为圆x2+y2
﹣2x＝0 的圆⼼．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）若M，N 为椭圆上的两个动点，直线OM，ON 的斜率分别为k1，k2，当
时，△MON
的⾯积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．
【分析】（1）根据题⽬中条件建⽴⽅程求解；
（2）⽅法⼀先联⽴⽅程组得出根与系数关系，计算出弦⻓|MN|、O 到直线MN 的距离，进⽽得出，△
MON 的⾯积表达式，根据
得出变量间的关系，从⽽得出△MON 的⾯积；⽅法⼆利⽤椭圆
的参数⽅程，得出△MON 的⾯积的表达式，然后根据据
得关系式，进⽽得出△MON 的⾯
积．
【解答】解：（1）由题意可知，
，……………………（1 分）
圆x2+y2﹣2x＝0 的圆⼼为（1，0），所以c＝1，…………………（2 分）
因此a2﹣b2＝1，联⽴
，解之a2＝4，b2＝3，
故椭圆的⽅程为
．…………………………………………………………（4 分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN 的斜率存在时，设⽅程为y＝kx+m，
由
，消y 可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0……………………（5 分）
则有Δ ＝64k2m2 ﹣4 （3+4k2 ）（4m2 ﹣12 ）＝48 （4k2 ﹣m2+3 ）＞0 ，即m2 ＜4k2+3 ，
，…………………………………………………（6 分）
所
以
＝
＝
．…………………………………………………（7 分）
点O 到直线MN 的距离
，
所以
．……………………………（8 分）
⼜因为
，
所以
，
化简可得2m2＝4k2+3，满⾜Δ＞0，………………………………………………（9 分）
代⼊S△MON＝
，……………………………（10 分）
当直线MN 的斜率不存在时，由于
，考虑到OM，ON 关于x 轴对称，不妨设
，则点M，N 的坐标分别为
，
此时
，
综上，△MON 的⾯积为定值
．……………………………………………………（12 分）
法⼆：设
，
由题意
，可得cos（θ1﹣θ2）＝0，………………（6 分）
所以
，………………（7 分）
⽽
＝
………………（10 分）
因为
，所以sin（θ1﹣θ2）＝±1，故S△MON＝
为定值．……………（12 分）
（注：若
，则
）
【点评】本题考查椭圆的⽅程、直线与椭圆的关系，属于中档题⽬．
21．已知点F 是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点M 是抛物线上的定点，且
＝（4，0）．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）直线AB 与抛物线C 交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|x2﹣x1|＝3，直线l 与AB 平⾏，且与
抛物线C 相切，切点为N，试问△ABN 的⾯积是否是定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）设M（x0，y0），根据题意求出点M 的坐标，再代⼊到x2＝2py，即可求出p，可得抛物线的
⽅程，
（2）直线AB 的斜率存在，设其⽅程为y＝kx+b，由
，消去y 整理可得x2﹣8kx﹣8b＝0，根据
⻙达定理，中点坐标公式，设由条件可设切线⽅程为y＝kx+t，求出t＝﹣2k2，求出点N 的坐标可得NQ
⊥x 轴，表示出三⻆形的⾯积，即可求出．
【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可知F（0，），
∴
＝（﹣x0，﹣y0）＝（4，0），
∴
，即x0＝﹣4，y0＝，
代⼊到x2＝2py 可得16＝p2，解得p＝4，
∴抛物线C 的⽅程为x2＝8y．
（2）由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其⽅程为y＝kx+b，
由
，消去y 整理可得x2﹣8kx﹣8b＝0，
则x1+x2＝8k，x1x2＝﹣8b，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝8k2+2b，
设AB 的中点为Q，则点Q 的坐标为（4k，4k2+b），
由条件可设切线⽅程为y＝kx+t，
由
，消去y 整理可得x2﹣8kx﹣8t＝0，
∵直线与抛物线相切，
∴Δ＝64k2+32t＝0，
∴t＝﹣2k2，
∴x2﹣8kx+16k2＝0，
∴x＝4k，
∴y＝2k2，
∴点N 的坐标为（4k，2k2），
∴NQ⊥x 轴，
∴|NQ|＝4k2+b﹣2k2＝2k2+b，
∵x2﹣x1＝3，
⼜（x2﹣x1）2＝（x2+x1）2﹣4x1x2＝64k2+32b，
∴9＝64k2+32b，
∴S△ABN＝|NQ|•|x2﹣x1|＝
∴△ABN 的⾯积是定值，且定值为
．
【点评】本题考查了抛物线的⽅程，直线和抛物线的位置关系，切线⽅程，考查了运算求解能⼒和转化
与化归能⼒，属于难题．
22．如图，设点A，B 的坐标分别为（﹣
，0），（
，0），直线AP，BP 相交于点P，且它们的斜率之积
为﹣．
（1）求P 的轨迹⽅程；
（2）设点P 的轨迹为C，点M、N 是轨迹为C 上不同于A，B 的两点，且满⾜AP∥OM，BP∥ON，求
证：△MON 的⾯积为定值．
【分析】（1）由题意知
（x
），可求P 的轨迹⽅程；
（2）设直线MN 的⽅程为x＝my+t，代⼊椭圆⽅程
，利⽤kOMkON＝
＝﹣，得2t2
＝2m2+3，即可证明结论．
【解答】（1）解：由已知设点P 的坐标为（x，y），由题意知
（x
），
化简得P 的轨迹⽅程为
（x
）…（5 分）
（2）证明：由题意M，N 是椭圆C 上⾮顶点的两点，且AP∥OM，BP∥ON，
则直线AP，BP 斜率必存在且不为0，⼜由已知kAPkBP＝﹣．
因为AP∥OM，BP∥ON，所以kOMkON＝﹣…（6 分）
当MN 的斜率为0 时，由对称性有kOM＝﹣kON，
所以
，所以kOM，kON 分别为
和
，
联⽴
，解得
或
，
不妨取
，则
，所以
．
设直线MN 的⽅程为x＝my+t，代⼊椭圆⽅程
，得（3+2m2）y2+4mty+2t2﹣6＝0…①，…（7 分）
设M，N 的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝﹣
，y1y2＝
…（8 分）
所以kOMkON＝
＝﹣，得2t2＝2m2+3…（10 分）
⼜S△MON＝|t||y1﹣y2|＝
＝
，
即△MON 的⾯积为定值
…（12 分）
【点评】本题考查轨迹⽅程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、⾯积的计算，属于中档题．
23．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C 与y 轴的⼀个交点为M，
且|F1F2|＝2
，|MF1|＝2．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）设O 为坐标原点，A，B 为椭圆C 上不同的两点，点A 关于x 轴的对称点为点D．若直线BD 的斜
率为1，求证：△OAB 的⾯积为定值．
【分析】（1）通过焦距求解c，由|MF1|＝2，求解a，推出b，即可得到椭圆C 的标准⽅程．
（2）证明：由题意知直线AB 斜率⼀定存在，设直线⽅程为y＝kx+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），△OAB
⾯积为
，D（x1，﹣y1），联⽴直线与椭圆⽅程，利⽤⻙达定理，弦⻓公式，转
化求解三⻆形的⾯积，推出结果即可．
【解答】解：（1）因为焦距为
，所以
，即
，
由|MF1|＝2，得a＝2，即a2＝4，b2＝1，
所以椭圆C 的标准⽅程为
；
（2）证明：由题意知直线AB 斜率⼀定存在，设直线⽅程为y＝kx+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
则△OAB ⾯积为
，D（x1，﹣y1），
联⽴⽅程
，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
即x1+x2＝
，x1x2＝
，
因为直线BD 的斜率为1，
所以
，即k（x2+x1）+2m＝x2﹣x1，
即
，
解得5m2＝16k2+4，
所以
，
综上，△OAB ⾯积为定值
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应⽤，椭圆⽅程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，考查
分析问题解决问题的能⼒，是难题．
24．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率e＝
，其右顶点A 在抛物线y2＝﹣8x 的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设B 为椭圆的上顶点，P 是椭圆C 在第⼀象限上⼀点，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴
交于点N，问△PMN 与△PAB ⾯积之差是否为定值？说明理由．
【分析】（Ⅰ）本问主要考查求糊圆的标准⽅程，可以根据待定系数法求⽅程，右顶点A（2，0），即a＝
2，⼜离⼼率
，则可以求出c，根据a2＝b2+c2，求出b2后即得到椭圆⽅程；（Ⅱ）设P（x0，
y0）（x0＞0，y0＞0），根据
，求出|BM|＝|1﹣yM|，根据
，求出|AN|
＝|2﹣xN|，则△PMN 与△PAB ⾯积之差等于
，⽤坐标
表示后整理、化简后可以判断是否为定值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得
，
解得
，
则椭圆C 的⽅程为
．
（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则
，
，令x＝0 得
，
则
，
，令y＝0 得
，
则
，
∴
＝
＝
＝
．
∴△PMN 与△PAB ⾯积之差为定值．
【点评】本题主要考查直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题，考查学⽣的运算能⼒，属于难题．
25．已知椭圆E：
的离⼼率e 满⾜2e2﹣3
e+2＝0，右顶点为A，上顶点为B，
点C（0，﹣2），过点C 作⼀条与y 轴不重合的直线l，直线l 交椭圆E 于P，Q 两点，直线BP，BQ 分
别交x 轴于点M，N；当直线l 经过点A 时，l 的斜率为
．
（1）求椭圆E 的⽅程；
（2）证明：S△BOM•S△BCN 为定值．
【分析】（1）由
求出离⼼率，结合AC 的斜率，转化求解a，b，即可得到椭圆⽅程．
（2）设直线l 的⽅程为y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）由
得（2k2+1）x2﹣8kx+6＝0，利
⽤⻙达定理以及弦⻓公式，结合三⻆形的⾯积，转化求解即可．
【解答】解：（1）由
解得
，∴
，
⼜
，∴
，
∴b＝1，
∴椭圆E 的⽅程为
．
（2）由题知，直线l 的斜率⽐存在，设直线l 的⽅程为y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）
由
得（2k2+1）x2﹣8kx+6＝0
，
Δ＝（﹣8k）2﹣4×6×（2k2+1）
＝16k2﹣24＞0，
∴
，
直线BP 的⽅程为
，
令y＝0 解得
∴
，
同理可得
，
，
y1y2＝（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4
＝
，
∴
＝
＝
＝，
∴S△BOM•S△BON 为定值．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，椭圆⽅程的求法，考查分析问题解决问题的能⼒，
是难题．
26．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）过点A（2，0），C（，
）两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程及离⼼率；
（Ⅱ）设P 为第三象限内⼀点且在椭圆C 上，椭圆C 与y 轴正半轴交于B 点，直线PA 与y 轴交于点M，
直线PB 与x 轴交于点N，求证：四边形ABNM 的⾯积为定值．
【分析】（Ⅰ）由椭圆过点A（2，0），C（
，
）两点，列出⽅程组，求出a＝2，b＝1，由此能求出
椭圆C 的⽅程和离⼼率．
（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0），则
＝4．由A（2，0），B（0，1），得直线PA 的⽅程为y
＝
（x﹣2），从⽽|BM|＝1﹣yM＝1+
．直线PB 的⽅程为y＝
x+1．从⽽|AN|＝2﹣xN＝
2+
．由此能证明四边形ABNM 的⾯积为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：
＝1（a＞b＞0）过点A（2，0），C（，
）两点．
∴
，解得：a＝2，b＝1，
∴椭圆C 的⽅程为：
＝1．…（4 分）
⼜c＝
＝
，
∴离⼼率e＝
．…（6 分）
证明：（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0），则
＝4．
⼜A（2，0），B（0，1），∴直线PA 的⽅程为y＝
（x﹣2）．
令x＝0，得yM＝﹣
，从⽽|BM|＝1﹣yM＝1+
．
…（8 分）
直线PB 的⽅程为y＝
x+1．
令y＝0，得xN＝﹣
，从⽽|AN|＝2﹣xN＝2+
．
…（10 分）
∴四边形ABNM 的⾯积：
S＝|AN|•|BM|＝（2+
）（1+
）
＝
＝
＝2．
…（12 分）
从⽽四边形ABNM 的⾯积为定值．
【点评】本题考查椭圆⽅程及离⼼率的求法，考查四边形的⾯积为定值的证明，考查椭圆性质、直线⽅
程等基础知识，考查推理论证能⼒、运算求解能⼒，考查化归与转化思想、函数与⽅程思想，是中档题．
27．已知椭圆
的离⼼率为
，点
在椭圆上，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）已知点P，M，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平⾏四边形，证明四边形OPMN 的⾯积
S 为定值，并求该定值．
【分析】（1）由椭圆的离⼼率得出a、c 的关系，再由a、b、c 的平⽅关系，
把点Q 的坐标代⼊椭圆C 的⽅程，求出b、a 的值，写出椭圆C 的⽅程；
（2）讨论直线PN 的斜率k 不存在和斜率k 存在时，分别计算四边形OPMN 的⾯积S，
即可得出四边形OPMN 的⾯积为定值．
【解答】解：（1）由椭圆
的离⼼率为
，
得
，
∴
＝
∴
，
∴a2＝2b2；
将Q 代⼊椭圆C 的⽅程，得
+
＝1，
解得b2＝4，
∴a2＝8，
∴椭圆C 的⽅程为
；
（2）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN ⽅程为：
或
，
从⽽有
，
所以四边形OPMN 的⾯积为
；
当直线PN 的斜率k 存在时，
设直线PN ⽅程为：y＝kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；
将PN 的⽅程代⼊C 整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
所以
，
，
，
由
得：
，
将M 点坐标代⼊椭圆C ⽅程得：m2＝1+2k2；
点O 到直线PN 的距离为
，
，
四边形OPMN 的⾯积为
．
综上，平⾏四边形OPMN 的⾯积S 为定值
．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应⽤问题，也考查了分类讨论思想的应⽤问题，考查了转化
法与⽅程组以及根与系数关系的应⽤问题，是综合性题⽬．
28．已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，右焦点为F（1，0），直线l 经过点F，且与椭圆交
于A、B 两点，O 为坐标原点．
（I）求椭圆的标准⽅程；
（II）当直线l 绕点F 转动时，试问：在x 轴上是否存在定点M，使得
为常数？若存在，求出定
点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（I）因为椭圆的离⼼率为
，所以e＝＝
，再根据右焦点为F（1，0），求出c 的值，就
可得到a 的值，再根据a，b，c 的关系，解出b 值，则椭圆⽅程可知．
（II）当直线l 斜率存在时，设出直线l 的⽅程，与椭圆⽅程联⽴，消去y，得到关于a 的⼀元⼆次⽅程，
求出x1+x2，x1x2，设出M 点坐标，求出
，
的坐标，以及
，要使得
为常数λ，只需要
＝λ，化简，可求出λ的值，当直线l 垂直于x 轴时，同样求出λ的值，两
个λ⼀致，所以在x 轴上存在定点M，使得
为常数．
【解答】解：（I）由题意可知，c＝1，⼜e＝＝
，解得a＝
∴b2＝a2﹣c2＝1
∴椭圆的标准⽅程为
（II）若直线l 不垂直于x 轴，可设l 的⽅程为y＝k（x﹣1）
由
，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
Δ＝16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝
，x1x2＝
，
设M（t，0），则
＝（x1﹣t，y1），
＝（x2﹣t，y2），
＝（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2
＝x1x2﹣t（x1+x2）+t2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）
＝（1+k2）x1x2﹣（t+k2）（x1+x2）+t2+k2
＝（1+k2）
﹣（t+k2）
）+t2+k2
＝
＝
要使得
＝λ（λ为常数），只要
＝λ，
即（2t2﹣4t+1﹣2λ）k2+（t2﹣2﹣λ）＝0（*）
对于任意实数k，要使（*）式恒成⽴，只要
，
解得
，
若直线l 垂直于x 轴，其⽅程为x＝1
此时，直线与椭圆两交点为A（1，
），B（1，﹣
）
取点S（，0），有
＝（﹣，
），
＝（﹣，
），
＝﹣
＝λ
综上所述，过定点F（1，0）的直线l 与椭圆相交于A，B 两点，当直线l 绕点F 转动时，存在定点M（，
0），
使得
＝﹣
【点评】本题主要考查了椭圆⽅程的求法，以及动直线与椭圆相交时存在性问题的解法．做题时综合运
⽤了向量数量积的运算，⻙达定理的应⽤．
29．已知O 为坐标原点，双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，离⼼率等
于
，点P 是双曲线C 在第⼀象限上的点，直线PF1 与y 轴的交点为Q，△PQF2 的周⻓等于6a，
．
（1）求C 的⽅程；
（2）过圆O：x2+y2＝1 上⼀点W（W 不在坐标轴上）作C 的两条切线，对应的切点为A，B．证明：直
线AB 与椭圆
相切于点T，且|WT|•|AB|＝|WA|•|WB|．
【分析】（1）根据题意求出
，再根据离⼼率求出b＝1，进⽽求解；
（2）设W（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），设l1的⽅程为：y＝k1（x﹣x1）+y1，联⽴⽅程组，利⽤判
别式可得k1，k2为
的两解，利⽤⻙达定理可得△WAB 为直⻆三⻆形，
进⽽可得直线AB 的⽅程为：
，将其代⼊椭圆⽅程，得到
，
进⽽求证．
【解答】解：（1）由题意知，|PQ|+|QF2|+|PF2|＝|PF1|+|PF2|＝6a，
⼜因为|PF1|﹣|PF2|＝2a，
所以
，
所以
，⼜因为
，所以b＝1，
所以C 的⽅程为：
；
证明：（2）设W（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则
，
，
设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2，设l1的⽅程为：y＝k1（x﹣x1）+y1，
因为
，所以
，
所以
，
所以
（*），
因为
，整理得
，
即
，所以
，同理：
，
因为切线l1，l2均过点W（x0，y0），同理根据上⾯可知，
k1，k2为
的两解，所以
，
所以WA⊥WB，△WAB 为直⻆三⻆形，
因为
，所以
，
所以
，同理：
，
所以直线AB 的⽅程为：
，
将直线
，代⼊椭圆D 的⽅程：
可得：
，即
，
所以
，
所以直线AB 与椭圆D 相切，切点T（2x0，﹣y0），
所以kWT•kAB＝﹣1，所以WT⊥AB，
所以2S△WAB＝|WA|•|WB|＝|WT|•|AB|．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合应⽤，属于中档题．
30．椭圆
的两顶点为A，B 如图，离⼼率为
，过其焦点F（0，1）的直线l 与
椭圆交于C，D 两点，并与x 轴交于点P，直线AC 与直线BD 交于点Q．
（Ⅰ）当
时，求直线l 的⽅程；
（Ⅱ）当点P 异于A，B 两点时，求证：
为定值．
【分析】（Ⅰ）根据题意求出椭圆的⽅程，设出直线l 的⽅程，分k 存在和不存在讨论．利⽤弦⻓公式和
⻙达定理求解k 即可．
（Ⅱ）设直线l 的⽅程为y＝kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），可得P 点的坐标为
，
利⽤⻙达定理和斜率关系建⽴关系求解
为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准⽅程为
，
由已知得：
，所以
，椭圆的⽅程为
，
当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，
设直线l 的⽅程为y＝kx+1，C1（x1，y1），D（x2，y2），
将直线l 的⽅程代⼊椭圆的⽅程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，
则
，
，
∴
＝
，
解得：
，
所以直线l 的⽅程为
，
（Ⅱ）证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，
设直线l 的⽅程为y＝kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P 点的坐标为
，
由（Ⅰ）知
，
，
且直线AC 的⽅程为
，且直线BD 的⽅程为
，
将两直线联⽴，消去y 得
，
∵﹣1＜x1，x2＜1，∴
与
异号，
＝
，
，
∴
与y1y2异号，
与
同号，
∴
，解得，x＝﹣k，
故Q 点坐标为（﹣k，y0），
，
故
为定值．
【点评】本题主要考查了椭圆⽅程与直线的位置关系以及弦⻓公式和⻙达定理灵活性的运⽤，考查运算
求解能⼒，属于中档偏难的题．
31．如图，点M 在椭圆
+
＝1（0＜b＜
）上，且位于第⼀象限，F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1，
F2，M 的圆与y 轴交于点P，Q（P 在Q 的上⽅），|OP|•|OQ|＝1．
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）直线PM 与直线x＝2 交于点N，试问，在x 轴上是否存在定点T，使得
•
为定值？若存在，
求出点T 的坐标与该定值；若不存在，请说明理由．
【分析】（I）设圆⼼（0，t）．则圆的⽅程为：x2+（y﹣t）2＝c2+t2．令x＝0，得：y2﹣2ty﹣c2＝0，即可得
出|OP|•|OQ|＝|yP•yQ|，进⽽得出．
（II）设M（x0，y0）．将M（x0，y0）代⼊圆与椭圆的⽅程，可得P 坐标，可得直线PM 的⽅程，设T（d，
0），可得
•
，即可得出．
【解答】解：（I）设圆⼼（0，t）．则圆的⽅程为：x2+（y﹣t）2＝c2+t2．
令x＝0，得：y2﹣2ty﹣c2＝0（*），
∴|OP|•|OQ|＝|yP•yQ|＝c2＝1．
∴b＝a2﹣c2＝1．
（II）设M（x0，y0）．
将M（x0，y0）代⼊圆与椭圆的⽅程，可得：
+
﹣2ty0﹣1＝0，
+2
＝2，
消去x0，
得t＝
，代⼊（*）得：y2﹣
﹣1＝0，可得：yP＝
．
则直线PM 的⽅程为：y＝
x+
，令x＝2，得yN＝
+
＝
．
设T（d，0），
•
＝（x0﹣d，y0）•（2﹣d，
）＝（x0﹣d）•（2﹣d）+1﹣x0＝（1﹣d）x0﹣d（2
﹣d）+1．
当d＝1 时，
•
＝0 为定值．
存在定点T（1，0），使得
•
为定值0．
【点评】本题考查了椭圆的标准⽅程及其性质、数量积运算性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中
档题．
32．已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离⼼率为
，过右焦点且垂直于x 轴的直线l1与椭圆C 交于
A，B 两点，且
，直线l2：y＝k（x﹣m）
与椭圆C 交于M，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）已知点
，若
是⼀个与k ⽆关的常数，求实数m 的值．
【分析】（1）利⽤已知条件列出⽅程组，解得
，b＝1，c＝1，即可得到椭圆C 的标准⽅程．
（2）设M（x1，y1）N（x2，y2），联⽴⽅程
，利⽤⻙达定理以及向量的数量积的表达式，
然后求解即可．
【解答】（本⼩题满分12 分）
解：（1）联⽴
解得
，故
⼜
，a2＝b2+c2，联⽴三式，解得
，b＝1，c＝1，
故椭圆C 的标准⽅程为
……………………………………………………（4 分）
（2）设M（x1，y1）N（x2，y2），联⽴⽅程
，
消元得（1+2k2）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0，
Δ＝16m2k4﹣4（1+2k2）（2k2m2﹣2）＝8（2k2﹣m2k2+1），
∴
，
，……………………………………（6 分）
＝（x1﹣）（x2﹣）+y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+
+k2（x1﹣m）（x2﹣m）
＝
……．（9 分）
⼜
是⼀个与k ⽆关的常数，∴3m2﹣5m﹣2＝﹣4，即3m2﹣5m+2＝0，
∴m1＝1，
．∵
，∴m＝1………………………………………………（11 分）
当m＝1 时，Δ＞0，直线l2与椭圆C 交于两点，满⾜题意……………………………（12 分）
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆⽅程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，考查转化
思想以及计算能⼒．
33．已知椭圆W：
（a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F1，F2分别为椭圆
W 的左、右焦点，且∠F1BF2＝120°．
（Ⅰ）求椭圆W 的标准⽅程；
（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A，B 的任意⼀点，过点M 作MN⊥y 轴于N，E 为线段MN 的中点．直线AE
与直线y＝﹣1 交于点C，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求∠OEG 的⼤⼩．
【分析】（Ⅰ）由b＝1，由∠F1BO＝60°，则a＝2．即可求得椭圆W 的标准⽅程；
（Ⅱ）由题意设N 和E 点坐标，设直线AE 的⽅程，当y＝﹣1，即可求得C 点坐标，求得G 点坐标，则
，
．根据向量数量积的坐标运算，即可求得
•
＝
0，则
，则∠OEG＝90°．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，得b＝1．⼜∠F1BF2＝120°，
在Rt△BF1O 中，∠F1BO＝60°，则a＝2．
∴椭圆W 的标准⽅程为
．
…（4 分）
（Ⅱ）设M（x0，y0），x0≠0，则N（0，y0），E
．
由点M 在椭圆W 上，则
．即
．
⼜A（0，1），则直线AE 的⽅程为
．
令y＝﹣1，得C
．
⼜B（0，﹣1），G 为线段BC 的中点，则G
．
∴
，
．
∵
＝
＝
＝1﹣y0﹣1+y0＝0，
∴
．则∠OEG＝90°，
∠OEG 为90°．
…（13 分）
【点评】本题考查椭圆的标准⽅程，直线的点斜式⽅程，向量数量积的坐标运算，考查计算能⼒，属于
中档题．
34．已知点M（x0，y0）为椭圆C：
+y2＝1 上任意⼀点，直线l：x0x+2y0y＝2 与圆（x﹣1）2+y2＝6 交于A，
B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C 的离⼼率及左焦点F 的坐标；
（Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；
（Ⅲ）判断∠AFB 是否为定值，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离⼼率公式即可求出，
（Ⅱ）根据判别式即可证明．
（Ⅲ）根据向量的数量积和⻙达定理即可证明，需要分类讨论，
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a＝
，b＝1，则c＝
＝1，
∴椭圆C 的离⼼率e＝＝
，左焦点F 的坐标（﹣1，0），
证明：（Ⅱ）由题意可得
+y02＝1，
当y0＝0 时，直线l 的⽅程为x＝
或x＝﹣
，直线l 与椭圆相切，
当y0≠0 时，由
可得（2y02+x02）x2﹣4x0x+4﹣4y02＝0，
即x2﹣2xx0+2﹣2y02＝0，
∴Δ＝（﹣2x0）2﹣4（2﹣2y02）＝4x02+8y02﹣8＝0，
故直线l 与椭圆C 相切．
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当y0＝0 时，x1＝x2，y1＝﹣y2，x1＝±
，
∴
•
＝（x1+1）2﹣y12＝（x1+1）2﹣6+（x1﹣1）2＝2x12﹣4＝0，
∴
⊥
，即∠AFB＝90°
当y0≠0 时，由
，（y02+1）x2﹣2（2y02+x0）x+2﹣10y02＝0，
则x1+x2＝
，x1x2＝
，
∴y1y2＝
x1x2﹣
（x1+x2）+
＝
，
∴
•
＝（x1+1，y1）•（x2+1，y2）＝x1x2+x1+x2+1+y1y2
＝
+
+
＝
＝0，
∴
⊥
，即∠AFB＝90°
综上所述∠AFB 为定值90°．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线⽅程和椭圆⽅程联⽴，运⽤⻙达定理，
考查化简整理的运算能⼒，属于中档题．
35．已知点F1为椭圆
的左焦点，
在椭圆上，PF1⊥x 轴．
（1）求椭圆的⽅程：
（2）已知直线l 与椭圆交于A，B 两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为
的⼤⼩是否为定
值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【分析】（1）由PF1⊥x 轴，及点P 的坐标可得F1的坐标，即c 的值，将P 的坐标代⼊，由a，b，c 之
间的关系的关系求出a，b 的值，进⽽求出椭圆的⽅程；
（2）对直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线l 的⽅
程，代⼊椭圆中求出A，B 的坐标，进⽽可得数量积
的值为0，可得∠AOB＝
；当直线l 的斜
率存在时，设直线l 的⽅程与椭圆联⽴求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的
关系，将其代⼊数量积
的表达式，可得恒为0，即∠AOB 恒为定值
【解答】解：（1）因为PF1⊥x 轴，⼜
在椭圆上，可得F1（﹣1，0），
所以c＝1，
+
＝1，a2＝c2+b2，
解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆的⽅程为：
+y2＝1；
（2）当直线l 的斜率不存在时，由原点O 到直线l 的距离为
，可得直线l 的⽅程为：x＝
，代
⼊椭圆可得
A（
，
），B（
，
）或A（﹣
，
），B（﹣
，
），
可得
＝0，所以∠AOB＝
；
当直线l 的斜率存在时，设直线的⽅程为：y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由原点O 到直线l 的距离为
，可得
＝
，可得3m2＝2（1+k2），①
直线与椭圆联⽴
，整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，将①代⼊△中可得Δ＝16m2+8＞0，
x1+x2＝
，x1x2＝
，y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝
﹣
+m2＝
，
所以
＝x1x2+y1+y2＝
+
＝
，将①代⼊可得，
＝0，
所以∠AOB＝
，
综上所述∠AOB＝
恒成⽴．
【点评】本题考查求椭圆的⽅程及直线与椭圆的综合，属于中档题．
36．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，左、右焦点分别为F1、F2，A 为椭圆C 上⼀点，
AF2⊥F1F2，且|AF2|＝．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点为A1、A2，过A1、A2分别作x 轴的垂线l1、l2，椭圆C 的⼀条切线l：y＝kx+m
与l1、l2交于M、N 两点，求证：∠MF1N 为定值．
【分析】（Ⅰ）根据离⼼率公式和椭圆的定义，以及勾股定理可得a＝3，c＝1，即可求出椭圆的⽅程；
（Ⅱ）由题设知l1：x＝﹣3，l2：x＝3，l 与C 的⽅程联⽴消去y 可得（1+9k2）x2+18kmx+9（m2﹣8）＝0，
（*），（*），根据判别式可得m2﹣9k2＝8，再求出点M，N 的坐标，根据向量的数量积即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，即
＝，
∵|PF1|+|PF2|＝2a，|AF2|＝，AF2⊥F1F2，
∴|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2，
即（2a﹣）2＝（）2+（2c）2＝（）2+（
）2，
解得a＝3，c＝1，
∴b2＝a2﹣c2＝8，
∴椭圆⽅程为
+
＝1，
（Ⅱ）证明：由题设知l1：x＝﹣3，l2：x＝3，
l 与C 的⽅程联⽴可得
，消去y 可得（8+9k2）x2+18kmx+9（m2﹣8）＝0，（*），
∵l 与C 相切，
∴“*”中Δ＝182k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣8）＝0，
∴m2﹣9k2＝8，
l 与11，l2联⽴得M（﹣3，﹣3k+m），N（3，3k+m），
⼜F1（﹣1，0），
∴
•
＝（﹣2，﹣3k+m）•（4，3k+m）＝﹣8+m2﹣9k2＝﹣8+8＝0
∴MF1⊥NF1，
即∠MF1N＝
，
故∠MF1N 为定值，定值为
．
【点评】本题考查椭圆的标准⽅程，直线与椭圆的位置关系，考查⻙达定理，向量的数量积，直线⽅程
的综合应⽤，考查计算能⼒，属于中档题．
37．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径
的圆O 经过这两个焦点，点A，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）已知P，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平⾏，直线
AP，BP 分别与y 轴交于点M，N．求证：∠MQN 为定值．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a＝2，由题意可得b＝c，结合椭圆的a，b，c 的关系，解⽅程可得b，c，
进⽽得到圆和椭圆的⽅程；
（Ⅱ）⽅法⼀：设出P 的坐标，得到Q 的坐标，代⼊圆和椭圆⽅程，由AP 和BP 的⽅程，求得M，N 的
坐标，再由向量QM，QN，运⽤数量积的坐标表示，即可证得∠MQN 为定值．
⽅法⼆、设P（x0，y0），AP：y＝k（x+2）（k≠0）．联⽴椭圆⽅程，求得P 的坐标，进⽽得到Q，M 的坐
标，再由BP 的⽅程得到N 的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得
解得：a＝2，
．
所以圆O 的⽅程为x2+y2＝2，椭圆C 的⽅程为
．
（Ⅱ）证法⼀：如图所示，设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0），则
即
，
⼜由
得
．
由
得
．
所以
，
．
所以
．
所以QM⊥QN，即∠MQN＝90°．
（Ⅱ）证法⼆：如图所示，设P（x0，y0），AP：y＝k（x+2）（k≠0）．
由
得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4＝0．
所以
，即
．
所以
，即
．
所以直线BP 的斜率为
．
所以
．
令x＝0 得：M（0，2k），
．
设Q（xQ，y0），则
，
．
所以
．
因为
，
所以
．
所以QM⊥QN，即∠MQN＝90°．
【点评】本题考查椭圆的定义、⽅程和性质，主要考查椭圆的定义和⽅程的运⽤，联⽴直线⽅程和圆的
⽅程，运⽤⻙达定理和向量垂直的条件，考查运算能⼒，属于中档题．
38．过抛物线C：x2＝2py（p＞0）焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，交准线于点M，当|AB|＝
12 时，AB 的中点到x 轴的距离是5．
（Ⅰ）求抛物线C 的⽅程；
（Ⅱ）已知
＝λ1
，
＝λ2
，求λ1+λ2的值．
【分析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），利⽤定义可得|AF|＝y1+
，|BF|＝y2+
，|AB|＝y1+y2+p，AB 的
中点到x 轴的距离是5，可得
＝5，解得p．
（II）由题意可得：直线AB 的斜率存在且不为0，设为：y＝kx+1（k≠0），与抛物线⽅程联⽴化为：x2﹣
4kx﹣4＝0，M 在直线y＝kx+1 上，且yM＝﹣1，∴可得＝﹣．即M
，根据
＝λ1
，
＝
λ2
，可得
＝λ1（0﹣x1），x2+
＝λ2（0﹣x2），再利⽤根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|＝y1+
，|BF|＝y2+
，|AB|＝y1+y2+p，
AB 的中点到x 轴的距离是5，∴
＝5，∴y1+y2＝10，10+p＝12，解得p＝2．
∴x2＝4y．
（II）由题意可得：直线AB 的斜率存在且不为0，设为：y＝kx+1（k≠0），
联⽴
，化为：x2﹣4kx﹣4＝0，则Δ＝16k2+16＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
M 在直线y＝kx+1 上，且yM＝﹣1，∴xM＝﹣．即M
，∵
＝λ1
，
＝λ2
，
∴
＝λ1（0﹣x1），x2+
＝λ2（0﹣x2），
∴λ1+λ2＝﹣2﹣×
＝0．
【点评】本题考查了抛物线的定义标准⽅程及其性质、⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系、向量运算性质，
考查了推理能⼒与计算能⼒，属于难题．
39．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离⼼率等于
，且过点（1，
）．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A，B 两点，交y 轴于M 点，若
＝λ1
，
＝λ2
，
求证：λ1+λ2为定值．
【分析】（Ⅰ）设椭圆C 的⽅程为
＝1（a＞b＞0），由离⼼率等于
，且过点（1，
），列
出⽅程组求出a，b，由此能求出椭圆C 的标准⽅程．
（Ⅱ）设直线l 的⽅程是y＝k（x﹣2），与椭圆联⽴，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0，由此利⽤⻙达定
理、向量相等，结合已知条件能证明λ1+λ2为定值．
【解答】（本⼩题满分12 分）
解：（Ⅰ）∵椭圆C 的焦点在x 轴上，∴设椭圆C 的⽅程为
＝1（a＞b＞0），
∵离⼼率等于
，且过点（1，
），
∴
，解得
，
∴椭圆C 的标准⽅程为
．…（4 分）
证明：（Ⅱ）设点A，B，M 的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），
⼜由题意知F 点的坐标为F（2，0），直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k，
则直线l 的⽅程是y＝k（x﹣2），
联⽴
，消去y 并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0，…（8 分）
∴
，
，…（9 分）
⼜∵
，
＝
，
将各点坐标代⼊得
，
，…（11 分）
∴
＝
＝
＝﹣10．…（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，考查代数式和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意
椭圆性质、椭圆与直线的位置关系的合理运⽤．
40．已知抛物线C：y2＝2px 经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A，B，
且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，
＝λ
，
＝µ
，求证：
+
为定值．
【分析】（Ⅰ）将P 代⼊抛物线⽅程，即可求得p 的值，设直线AB 的⽅程，代⼊抛物线⽅程，由Δ＞0，
即可求得k 的取值范围；
（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ＝1﹣yM，µ＝1﹣yN，求得直线PA 的⽅程，令x＝0，求得M 点坐
标，同理求得N 点坐标，根据⻙达定理即可求得
+
为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px 经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，
设过点（0，1）的直线⽅程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
联⽴⽅程组可得
，消y 可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
∴Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0 解得k＜1，
且k≠0，x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
⼜∵PA、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，
故直线l 的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），
则
＝（0，yM﹣1），
＝（0，﹣1）
因为
＝λ
，所以yM﹣1＝﹣λ，故λ＝1﹣yM，同理µ＝1﹣yN，
直线PA 的⽅程为y﹣2＝
（x﹣1）＝
（x﹣1）＝
（x﹣1），
令x＝0，得yM＝
，同理可得yN＝
，
因为
+
＝
+
＝
+
＝
＝
＝
＝
＝
＝2，
∴
+
＝2，∴
+
为定值．
【点评】本题考查抛物线的⽅程，直线与抛物线的位置关系，考查⻙达定理的应⽤，考查转化思想，计
算能⼒，属于中档题．
41．在平⾯直⻆坐标系中，圆O 交x 轴于点F1，F2，交y 轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为
左、右焦点的椭圆E，恰好经过点
．
（1）求椭圆E 的标准⽅程；
（2）设经过点（﹣2，0）的直线l 与椭圆E 交于M，N 两点，求△F2MN ⾯积的最⼤值．
【分析】
（1）根据题意，设椭圆E 的标准⽅程为
，分析可得b＝c，将点
代⼊椭圆的⽅程，分析可得a、b 的值，即可得椭圆的⽅程；
（2）设直线l 的斜率为k，则直线l：y＝k（x+2），设M（x1，y1），N（x2，y2），联⽴直线与椭圆的⽅程，
可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2＝0，利⽤根与系数的关系分析，⽤k 表示△F2MN ⾯积，由基本不等式的性
质分析可得答案．
【解答】解：（1）由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上．
设椭圆E 的标准⽅程为
，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2+c2＝2b2，∴椭圆E 的标准⽅程为
．
⼜椭圆E 过点
，∴
，解得b2＝1．
∴椭圆E 的标准⽅程为
．
（2）由于点（﹣2，0）在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在．
设直线l 的斜率为k，则直线l：y＝k（x+2），设M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
消去y 得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2＝0．
由Δ＞0 得
，从⽽
，
∴
．
∵点F2（1，0）到直线l 的距离
，
∴△F2MN 的⾯积为
．
令1+2k2＝t，则t∈[1，2），
∴
＝
，
当
即
时，S 有最⼤值，
，此时
．
所以，当直线l 的斜率为
时，可使△F2MN 的⾯积最⼤，其最⼤值
．
【点评】本题考查椭圆的⼏何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的⽅程．
42．已知O 为坐标原点，M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆
+
＝1 上的点，且x1x2+2y1y2＝0，设动点P
满⾜
＝
+2
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的⽅程；
（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m≠0）与曲线C 交于A，B 两点，求三⻆形OAB ⾯积的最⼤值．
【分析】（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），由
，得（x，y）＝（x1，y1）+2（x2，
y2），由点差法得
，由此能求出动点P 的轨迹C 的⽅程．
（Ⅱ）将曲线C 与直线l 联⽴：
，得：3x2+4mx+2m2﹣20＝0，设A（x3，y3），B（x4，y4），
由此利⽤根的判别式、⻙达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出三⻆形OAB ⾯积的最⼤
值．
【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则由
，得（x，y）＝（x1，y1）+2（x2，y2），
即x＝x1+2x2，y＝y1+2y2，因为点M，N 在椭圆
上，
所以
，
故
＝
＝20+4（x1x2+2y1y2），
设kOM，kON 分别为直线OM，ON 的斜率，
由题意知，
，
因此x1x2+2y1y2＝0，
所以动点P 的轨迹C 的⽅程为x2+2y2＝20．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P 点是椭圆
上的点，
设该椭圆的左右焦点为F1、F2，则由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|为定值，
⼜因为
，
因此两焦点的坐标分别为
．
将曲线C 与直线l 联⽴：
，消y 得：3x2+4mx+2m2﹣20＝0，
∵直线l 与曲线C 交于A、B 两点，设A（x3，y3），B（x4，y4），
∴Δ＝16m2﹣4×3×（2m2﹣20）＞0，
，
⼜∵m≠0，得0＜m2＜30，
∵点O 到直线AB：x﹣y+m＝0 的距离
，
∴
，
∴
＝
．
∴三⻆形OAB ⾯积的最⼤值为5
．
【点评】本题考查点的轨迹⽅程的求法，考查三⻆形的⾯积的最⼤值的求法，解题时要认真审题，注意
根的判别式、⻙达定理、点到直线的距离公式的合理运⽤．
43．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F 与双曲线
的右顶点重合，过点P（0，﹣4）的直线l
与抛物线交于A，B 两点．
（1）求抛物线⽅程；
（2）若
，且A 在x 轴的下⽅，B 在x 轴的上⽅，求△OAB 的⾯积．
【分析】（1）求出双曲线的右顶点，得到抛物线的焦点，即可求解抛物线⽅程．
（2）A，B 两点在抛物线上，设A，B 两点的坐标，由
解出坐标，可求△OAB 的⾯积．
【解答】解：（1）由双曲线
的右顶点为（1，0），
即可得抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），
所以p＝2，
所以抛物线的⽅程为y2＝4x．
（2）过点P（0，﹣4）的直线l 与抛物线交于A，B 两点，设
，
，
由
，有
，
由yA＜0，yB＞0，可得yA＝﹣2，yB＝4，有A（1，﹣2），B（4，4），
直线l 的斜率
，则直线l 的⽅程为y＝2x﹣4，直线与x 轴相交于点（2，0），
所以△OAB 的⾯积
．
【点评】本题考查抛物线的标准⽅程及其性质，考查直线与圆锥曲线的综合运⽤，考查运算求解能⼒，
属于中档题．
44．已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F1，F2，离⼼率
，短轴⻓为2．
（Ⅰ）求椭圆的⽅程；
（Ⅱ）如图，点A 为椭圆上⼀动点（⾮⻓轴端点），AF2的延⻓线与椭圆交于B 点，AO 的延⻓线与椭圆
交于C 点，求△ABC ⾯积的最⼤值．
【分析】（Ⅰ）由题意解得b，利⽤离⼼率以及a，b，c 的关系求解a，b，即可得到椭圆的⽅程．
（Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时，求解三⻆形的⾯积；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的⽅
程为y＝k（x﹣1），联⽴⽅程组
，设A（x1，y1），B（x2，y2），利⽤⻙达定理弦⻓公式求出|AB|，
通过点O 到直线kx﹣y﹣k＝0 的距离求出d，表示出三⻆形的⾯积．利⽤基本不等式求解最值．
【解答】（本⼩题满分12 分）
解：（Ⅰ）由题意得2b＝2，解得b＝1，…（1 分）
∵
，a2＝b2+c2，∴
，c＝1，
故椭圆的标准⽅程为
．…（3 分）
（Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取
，
，C（﹣1，
），
故
：…（4 分）
②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的⽅程为y＝k（x﹣1），
联⽴⽅程组
，
化简得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，…（5 分）
设A （x1 ，y1 ），B （x2 ，y2 ），
，
，… （6 分）
＝
＝
，…（8 分）
点O 到直线kx﹣y﹣k＝0 的距离
＝
因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d＝
，…（9 分）
∴
＝2
…（11 分）
综上，△ABC ⾯积的最⼤值为
…（12 分）
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应⽤，考查直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，考查转化思想以及
计算能⼒．
45．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知椭圆C：
过点P（2，1），且离⼼率e＝
．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）直线的l 的斜率为
，直线l 与椭圆C 交于A、B 两点．求△PAB ⾯积的最⼤值．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离⼼率得到a，b 的关系，再由椭圆过定点P 得另⼀关系式，联⽴后求得a，b 的
值，则椭圆⽅程可求；
（Ⅱ）设出直线l 的斜截式⽅程，和椭圆⽅程联⽴后化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，利⽤根与系数关系及弦
⻓公式求得弦⻓，由点到直线的距离公式求出AB 边上的⾼，代⼊⾯积公式后利⽤基本不等式求最值．
【解答】解：（I）∵
，
∴a2＝4b2，①
⼜椭圆C：
过点P（2，1），
∴
，②
联⽴①②解得，a2＝8，b2＝2．
故所求椭圆⽅程为
；
（II）设l 的⽅程为y＝x+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，整理得x2+2mx+2m2﹣4＝0．
∴
．
则
＝
．
点P 到直线l 的距离
．
因此
＝
．
当且仅当m2＝2，即
时取得最⼤值．
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应⽤，直线与曲线联⽴，根据⽅程的
根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常⽤的⽅法，但圆锥曲线的特点是计算量⽐较⼤，要求
考⽣具备较强的运算推理的能⼒，是⾼考试卷中的压轴题．
46．已知抛物线C1：y2＝4x 和C2：x2＝2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（﹣1，﹣1），且F1F2⊥OP（O
为坐标原点）．
（I）求抛物线C2的⽅程；
（II）过点O 的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN ⾯积的最⼩值．
【分析】（Ⅰ）求得焦点坐标，运⽤向量垂直的条件：数量积为0，解得p＝2，进⽽得到抛物线的⽅程；
（II）设过点O 的直线为y＝kx，联⽴抛物线的⽅程，求得交点M，N 的坐标，进⽽得到MN 的⻓，由P
到直线的距离，运⽤三⻆形的⾯积公式，由⼆次函数的最值，即可得到所求最⼩值．
【解答】解：（Ⅰ）F1（1，0），
，
∴
，
，
∴p＝2，
∴抛物线C2的⽅程为x2＝4y；
（Ⅱ）设过点O 的直线为y＝kx，
联⽴
得（kx）2＝4x，求得M（
，），
联⽴
得N（4k，4k2）（k＜0），
从⽽
，
点P 到直线MN 的距离
，
进⽽
＝
，
令
，
有S△PMN＝2（t﹣2）（t+1），
当t＝﹣2 时k＝﹣1，取得最⼩值．
即当过原点直线为y＝﹣x，
△PMN ⾯积的⾯积取得最⼩值8．
【点评】本题考查抛物线的⽅程和性质，考查直线⽅程和抛物线的⽅程联⽴，求交点，考查⼆次函数的
最值的求法，考查运算能⼒，属于中档题．
47．已知椭圆M：
，其短轴的⼀个端点到右焦点的距离为2，且点A（
，1）
在椭圆M 上．直线l 的斜率为
，且与椭圆M 交于B、C 两点．
（Ⅰ）求椭圆M 的⽅程；
（Ⅱ）求△ABC ⾯积的最⼤值．
【分析】（Ⅰ）把点A 代⼊椭圆⽅程，结合a＝2 解出b，则椭圆的标准⽅程可求；
（Ⅱ）写出直线的点斜式⽅程，和椭圆⽅程联⽴后化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，由判别式⼤于0 解出m
的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A 到BC 边的距离，写出⾯积后利⽤基本不等
式求⾯积的最⼤值，验证得到的m 值符合判别式⼤于0．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知
，解得
．
故所求椭圆⽅程为
；
（Ⅱ）设直线l 的⽅程为
，则m≠0．
设B（x1，y1），C（x2，y2），
代⼊椭圆⽅程并化简得
，
由Δ＝2m2﹣4（m2﹣2）＝2（4﹣m2）＞0，可得0＜m2＜4①．
由①，得
，
故
．
⼜点A 到BC 的距离为
，
故
＝
，
当且仅当m2＝4﹣m2，即m＝
时取等号，满⾜①式．
所以△ABC ⾯积的最⼤值为
．
【点评】本题考查了椭圆的标准⽅程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了弦⻓公式的⽤法，考查了
利⽤基本不等式求最值，考查了学⽣的计算能⼒，属难题．
48．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率e＝
，且点P（2，1）在椭圆
C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）若点A、B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP（不包括端点）上．求△AOB ⾯积的最⼤值．
【分析】（Ⅰ）由题意列出关于a，b，c 的⽅程组，求解⽅程组可得a，b 的值，则椭圆⽅程可求；
（Ⅱ）利⽤“点差法”求出A，B 所在直线的斜率，设出直线⽅程，与椭圆⽅程联⽴，由弦⻓公式求得弦⻓，
再由点到直线的距离公式求出原点到直线AB 的距离，代⼊三⻆形⾯积公式，利⽤基本不等式求得最值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：
，解得
，
∴椭圆C 的⽅程为
；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线AB 的斜率为k，
则
，两式作差可得
，得
，
⼜直线OP：
，M 在线段OP 上，
∴
，解得k＝﹣1．
设直线AB 的⽅程为y＝﹣x+m，m∈（0，3），
联⽴
，得3x2﹣4mx+2m2﹣6＝0，
Δ＝16m2﹣12（2m2﹣6）＝72﹣8m2＞0，得﹣3＜m＜3．
．
∴|AB|＝
，原点到直线的距离d＝
，
∴
．
当且仅当
∈（0，3）时，等号成⽴．
∴△OAB ⾯积的最⼤值
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应⽤，训练了利⽤基本不等式求最值，
是中档题．
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圆锥曲线篇—题型27 题型30 答案
⼀．解答题（共30 ⼩题）
1．定圆M：
＝16，动圆N 过点F
且与圆M 相切，记圆⼼N 的轨迹为E．
（I）求轨迹E 的⽅程；
（Ⅱ）设点A，B，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC|＝|CB|，当△ABC 的⾯积最⼩时，求直线
AB 的⽅程．
【分析】（I）因为|NM|+|NF|＝4＞|FM|，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且
，所以b＝1，从⽽
可求求轨迹E 的⽅程；
（Ⅱ）分类讨论，直线AB 的⽅程为y＝kx，代⼊椭圆⽅程，求出|OA|，|OC|，可得S△ABC＝2S△OAC＝|OA|
×|OC|，利⽤基本不等式求最值，即可求直线AB 的⽅程．
【解答】解：
（Ⅰ）因为点
在圆
内，所以圆N 内切于圆M，因为|NM|+|NF|
＝4＞|FM|，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且
，所以b＝1，所以轨迹E 的⽅程为
．…
（4 分）
（Ⅱ）（i）当AB 为⻓轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），
此时
|AB|＝2．…（5 分）
（ii）当直线AB 的斜率存在且不为0 时，设其斜率为k，直线AB 的⽅程为y＝kx，
联⽴⽅程
得
，
所以|OA|2＝
．…（7 分）
由|AC|＝|CB|知，△ABC 为等腰三⻆形，O 为AB 的中点，OC⊥AB，所以直线OC 的⽅程为
，
由
解得
，
＝
，
，…（9 分）
S△ABC＝2S△OAC＝|OA|×|OC|＝
，
由于
，所以
，…（11 分）
当且仅当1+4k2＝k2+4，即k＝±1 时等号成⽴，此时△ABC ⾯积的最⼩值是
，
因为
，所以△ABC ⾯积的最⼩值为
，此时直线AB 的⽅程为y＝x 或y＝﹣x．…（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查基本不等式的运⽤，考查学⽣分析
解决问题的能⼒，属于中档题．
2．已知椭圆
的左右焦点分别为F1，F2，P 在椭圆上（异于椭圆C 的左右顶点），
过右焦点F2作∠F1PF2的外⻆平分线L 的垂线F2Q，交L 于点Q，且|OQ|＝2（O 为坐标原点），椭圆的
四个顶点围成的平⾏四边形的⾯积为4．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）若直线l：x＝my+4（m∈R）与椭圆交于A，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A1，直线A1B 交x
轴于点D，求证：点D 的横坐标为定值；并求当三⻆形ABD 的⾯积最⼤时，直线l 的⽅程．
【分析】（1）由题意可得ab＝2，延⻓F2Q 交直线F1P 于点R，由垂直平分线性质，以及椭圆的定义、
三⻆形的中位线定理可得a＝2，b＝1，进⽽得到椭圆⽅程；
（2）联⽴直线l 和椭圆⽅程，运⽤⻙达定理和直线⽅程，令y＝0，化简可得定值；再由S△ABD＝
•3|y1
﹣y2|，结合⻙达定理和换元法、基本不等式可得最⼤值和直线l 的⽅程．
【解答】解：（1）椭圆的四个顶点围成的平⾏四边形的⾯积为4，
可得
•2a•2b＝4，即ab＝2，
延⻓F2Q 交直线F1P 于点R，由垂直平分线性质可得F2P＝PR，
由Q 为F2R 的中点，O 为F1F2的中点，可得OQ＝F1R＝（PF1+PF2）＝a＝2，
解得b＝1，
则椭圆⽅程为
+y2＝1；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），A1（x1，﹣y1），
直线l：x＝my+4，联⽴椭圆⽅程x2+4y2＝4，
可得（m2+4）y2+8my+12＝0，
即有y1+y2＝﹣
，y1y2＝
，
直线A1B 的⽅程为y+y1＝
（x﹣x1），
令y＝0，xD＝
＝
＝4+
＝4﹣3＝1；
S△ABD＝•3|y1﹣y2|＝
＝
＝6
，
设
＝t（t≥0），则m2＝12+t2，
S△ABD＝
＝
≤
＝，
当t＝4，m＝±2
时，S△ABD＝的最⼤值为
，
直线l 的⽅程x±2
y﹣4＝0．
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，注意运⽤椭圆的定义和垂直平分线性质、三⻆形的中位线定理，考
查直线⽅程和椭圆⽅程联⽴，运⽤⻙达定理，考查三⻆形的⾯积的最值，注意运⽤基本不等式，属于中
档题．
3．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）和定点M（0，1），设过点M 的动直线交抛物线C 于A，B 两点，抛物
线C 在A，B 处的切线交点为N．
（1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；
（2）若三⻆形ABN 的⾯积最⼩值为4，求抛物线C 的⽅程．
【分析】（1）联⽴直线和抛物线，得到⽅程组，结合根与系数的关系求出p 的值即可；
（2）表示出三⻆形ABN 的⾯积，求出P 的值，从⽽求出C 的⽅程．
【解答】解：（1）设AB 的⽅程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
将AB ⽅程代⼊抛物线C ⽅程得x2﹣2pkx﹣2p＝0，
则x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣2p①，
⼜x2＝2py 得
，则A，B 处的切线斜率乘积为
，
则有p＝2；
（2）设切线AN 为
，
由切点A 在抛物线上，知
，∴
，
∴
，同理
，
∵N 在yAN 和yBN 上，
∴
，∴
，
∴
，∴N（pk，﹣1），
，
点N 到直线AB 的距离
，
，
∴
，∴p＝2，
故抛物线C 的⽅程为x2＝4y．
【点评】本题考查了求抛物线的⽅程，考查点到直线的距离以及三⻆形的⾯积公式，考查根与系数的关
系，是⼀道中档题．
4．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A，B 两点，点C
在抛物线上，使得△ABC 的重⼼G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q，且Q 在点F 的右侧．记△AFG，
△CQG 的⾯积分别为S1，S2．
（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线⽅程；
（Ⅱ）求
的最⼩值及此时点G 的坐标．
【分析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：＝1，由此能求出抛物线的准线⽅程；
（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重⼼G（xG，yG），令yA＝2t，t≠0，则
，从⽽直
线AB 的⽅程为x＝
，代⼊y2＝4x，得：
，求出B（
，﹣
），由重
⼼在x 轴上，得到
＝0，从⽽C（（
）2，2（
）），G（
，0），进⽽直线
AC 的⽅程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），由此结合已知条件能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：＝1，
∴p＝2，
∴抛物线的准线⽅程为x＝﹣1；
（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重⼼G（xG，yG），
令yA＝2t，t≠0，则
，
由于直线AB 过F，故直线AB 的⽅程为x＝
，
代⼊y2＝4x，得：
，
∴2tyB＝﹣4，即yB＝﹣，∴B（
，﹣），
⼜xG＝（xA+xB+xC），yG＝（yA+yB+yC），重⼼在x 轴上，
∴
＝0，
∴C（（
）2，2（
）），G（
，0），
∴直线AC 的⽅程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），
∵Q 在焦点F 的右侧，∴t2＞2，
∴
＝
＝
＝
＝2﹣
，
令m＝t2﹣2，则m＞0，
＝2﹣
＝2﹣
≥2﹣
＝1+
，
∴当m＝
时，
取得最⼩值为1+
，此时G（2，0）．
【点评】本题考查实数值、抛物线标准⽅程的求法，考查三⻆形的⾯积的⽐值的最⼩值及相应点的坐标
的求法，考查抛物线、直线⽅程、重⼼性质、弦⻓公式等基础知识，考查运算求解能⼒，考查化归与转
化思想，是中档题．
5．已知点A（0，﹣2），椭圆E：
的离⼼率为
，F 是椭圆E 的右焦点，且直线
AF 的斜率为
，O 为坐标原点．
（1）求E 的⽅程；
（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P，Q 两点，当△OPQ 的⾯积最⼤时，求直线l 的⽅程．
【分析】（1）设出F，由直线AF 的斜率为
求得c，结合离⼼率求得a，再由隐含条件求得b，即可
求椭圆⽅程；
（2）点l⊥x 轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线l：y＝kx﹣2，联⽴直线⽅程和椭圆⽅程，
由判别式⼤于零求得k 的范围，再由弦⻓公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代
⼊三⻆形⾯积公式，化简后换元，利⽤基本不等式求得最值，进⼀步求出k 值，则直线⽅程可求．
【解答】解：（1）设F（c，0），因为直线AF 的斜率为
，A（0，﹣2），
所以
，
，
⼜
，
解得a＝2，b＝1，
所以椭圆E 的⽅程为
．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意可设直线l 的⽅程为：y＝kx﹣2，
联⽴
消去y 得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，
当Δ＝16（4k2﹣3）＞0，所以
，即
或
时，
，
所以
＝
＝
，
点O 到直线l 的距离
，
所以
，
设
，则4k2＝t2+3，
，
当且仅当t＝2，即
，
解得
时取等号，
满⾜
，
所以ΔOPQ 的⾯积最⼤时直线l 的⽅程为：
或
．
【点评】本题主要考查椭圆⽅程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，⻙达定理及其应⽤，由⾯积最值
求直线⽅程的⽅法等知识，属于中等题．
6．若椭圆
（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx 的焦点F 内分成
了3：1 的两段．
（1）求椭圆的离⼼率；
（2）过点C（﹣1，0）的直线l 交椭圆于不同两点A、B，且
，当△AOB 的⾯积最⼤时，求直线
l 和椭圆的⽅程．
【分析】（1）由c+
＝3（c﹣），能够求出椭圆的离⼼率．
（2）设直线l：x＝ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由
，知2y2+y1＝0，由
，得
（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2＝0，再利⽤⻙达定理，结合题设条件，能够求出椭圆⽅程．
【解答】解：（1）由题意知，c+
＝3（c﹣），…（2 分）
∴b＝c，
∴a2＝2b2，…（3 分）
∴e＝＝
＝
．…（5 分）
（2）设直线l：x＝ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵
，
∴（﹣1﹣x1，﹣y1）＝2（x2+1，y2），即2y2+y1＝0，①…（7 分）
由（1）知，a2＝2b2，∴椭圆⽅程为x2+2y2＝2b2，
由
，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2＝0，
∴
，…②
，…③
由①②知，
，
，…（9 分）
∵
＝
，
∴S＝3•
＝3•
≤3•
＝
，…（11 分）
当且仅当|k|2＝2，即k＝
时取等号，
此时直线的⽅程为x＝
或x＝
．…（12 分）
⼜当|k|2＝2 时，
＝﹣
＝﹣1，
∴由
，得b2＝，
∴椭圆⽅程为
．…（14 分）
【点评】本题考查椭圆的离⼼率的求法，考查椭圆⽅程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合
理地进⾏等价转化．
7．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，且过点（1，
）．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，求△OAB ⾯积的最⼤值，及取得最⼤值
时直线l 的⽅程．
【分析】（1）运⽤椭圆的离⼼率公式和点满⾜椭圆⽅程，解⽅程可得a，b，进⽽得到椭圆⽅程；
（2）讨论①当k 不存在时，②当k 存在时，设直线为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m
代⼊椭圆⽅程，运⽤⻙达定理和弦⻓公式，以及直线和圆相切的条件：d＝r，结合基本不等式即可得到
所求⾯积的最⼤值和直线l 的⽅程．
【解答】解：（1）由题意可得，e＝＝
，a2﹣b2＝c2，
点（1，
）代⼊椭圆⽅程，可得
+
＝1，
解得a＝
，b＝1，
即有椭圆的⽅程为
+y2＝1；
（2）①当k 不存在时，x＝±
时，可得y＝±
，
S△OAB＝×
×
＝；
②当k 存在时，设直线为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线y＝kx+m 代⼊椭圆⽅程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，
x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
由直线l 与圆O：x2+y2＝相切，可得
＝
，
即有4m2＝3（1+k2），
|AB|＝
•
＝
•
＝
•
＝
•
＝
•
≤
•
＝2，
当且仅当9k2＝
即k＝±
时等号成⽴，
可得S△OAB＝|AB|•r≤
×2×
＝
，
即有△OAB ⾯积的最⼤值为
，此时直线⽅程y＝±
x±1．
【点评】本题考查椭圆的⽅程的求法，注意运⽤离⼼率公式和点满⾜椭圆⽅程，考查三⻆形的⾯积的最
⼤值，注意运⽤分类讨论的思想⽅法，联⽴直线⽅程和椭圆⽅程，运⽤⻙达定理和弦⻓公式，以及直线
和圆相切的条件：d＝r，和基本不等式的运⽤，属于中档题．
8．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，设椭圆
＝1（a
）的右焦点为F，右顶点为A，已知|OA|﹣|OF|
＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离⼼率．
（Ⅰ）求椭圆的标准⽅程及离⼼率e；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B（B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M，与y 轴交于点
H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l 的斜率的取值范围．
【分析】本题第（Ⅰ）题可根据|OA|﹣|OF|＝1 解得a、c 的值，然后即可得到椭圆的标准⽅程及离⼼率e；
第（Ⅱ）题可设直线l 的斜率为k（k≠0），设直线l 的⽅程为y＝k（x﹣2），然后联⽴直线l 与椭圆的标准
⽅程可得点B 的坐标，然后步步推进可得M 点坐标，再根据在△OMA 中，∠MOA≤∠MAO，得到|OM|2
≥|AM|2，代⼊具体关于k 的表达式，可得k 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得a﹣c＝1，即
，解得a＝2，所以c＝1，
得
，椭圆⽅程为
．
（Ⅱ）解：由题意，画图如下：
设直线l 的斜率为k（k≠0），则直线l 的⽅程为y＝k（x﹣2），
设B（xB，yB）由⽅程组
，消去y，
整理得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0
解得x＝2 或
，
即得：xB＝
，
则yB＝k（xB﹣2）
＝k（
﹣2）
＝﹣
．
∴B 点坐标为（
，﹣
）．
∵F 点坐标为（1，0），
∴直线lBF 的⽅程为：y＝﹣
（x﹣1）．
∵kBF•kHF＝﹣1，
∴kHF＝﹣
＝
．
∴直线lHF 的⽅程为：y＝
（x﹣1）．
∴H 点坐标为（0，﹣
），
∴直线lHM 的⽅程为：y＝﹣x﹣
．
由为
，解得：
．
∴M 点坐标为（
，﹣
），
∴|OM|2＝（
）2+（
）2，
|AM|2＝（
）2+（
）2．
∵在△OMA 中，∠MOA≤∠MAO，
∴|OM|2≥|AM|2，
即：
≥
．
化简，得：20k2+9≥4k2+15，
∴16k2≥6，
即：k2≥
．
∴k≤﹣
，或k≥
．
直线l 的斜率的取值范围为：（﹣∞，﹣
]∪[
，+∞）．
【点评】本题第（Ⅰ）题主要考查椭圆的基本概念及离⼼率的知识点；第（Ⅱ）题综合考查了联⽴直线与
椭圆的标准⽅程可得点的坐标，互相垂直的直线求直线⽅程，以及三⻆形知识的综合题．本题属较难的
中档题．
9．设F1、F2分别是椭圆E：
+
＝1（b＞0）的左、右焦点，若P 是该椭圆上的⼀个动点，且
•
的最⼤值为1．
（1）求椭圆E 的⽅程；
（2）设直线l：x＝ky﹣1 与椭圆E 交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐⻆（O 为坐标原点），求k 的取
值范围．
【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，设出P 的坐标（m，n），运⽤向量的数量积的坐标表示，以及两点
的距离的含义，结合椭圆的性质，可得b2＝1，进⽽得到椭圆⽅程；
（2）将直线⽅程，与已知椭圆联⽴⽅程组，运⽤设⽽不求⻙达定理求出根的关系，求出k 的取值范围．
【解答】解：（1）设P（m，n），由椭圆E：
+
＝1（b＞0）＝1
可得，F1（﹣
，0），F2（
，0），
＝（﹣
﹣m，﹣n），
＝（
﹣m，﹣n），
可得
•
＝m2+n2﹣（4﹣b2），
由m2+n2表示原点和椭圆上的点的距离的平⽅，
可得x 轴上的顶点与原点的距离最⼤，
即有4﹣（4﹣b2）＝1，解得b2＝1，
则椭圆的⽅程为
+y2＝1；
（2）可设，A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，消去x，整理得：（k2+4）y2﹣2ky﹣3＝0
∴Δ＝4k2+12（k2+4）＞0，
∴y1+y2＝
，y1y2＝﹣
，
∴x1x2＝（ky1﹣1）（ky2﹣1）
＝k2y1y2﹣k（y1+y2）+1＝
﹣
﹣+1＝
∵∠AOB 为锐⻆，
∴cos∠AOB＞0，
∴x1x2+y1y2＞0，
∴
﹣
＞0，
即1﹣4k2＞0，
解得﹣＜k＜，
故k 的取值范围为（﹣，）．
【点评】本题主要考查直线、椭圆、平⾯向量的数量积等基础知识，以及综合应⽤数学知识解决问题及
推理计算能⼒，需要熟练运⽤设⽽不求⻙达定理．本题为中档题
10．已知点C 为圆（x+1）2+y2＝8 的圆⼼，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A（1，0）和
AP 上的点M，满⾜
•
＝0，
＝2
．
（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其⽅程；
（Ⅱ）若斜率为k 的直线l 与圆x2+y2＝1 相切，与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F，H，且
≤
•
≤
（其中O 是坐标原点）求k 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出|CP|＝|QC|+|QP|＝2
＞|CA|＝2，求出对应的a，c，b 的值，从⽽求出Q 的轨迹⽅程
即可；
（Ⅱ）设出直线⽅程，根据直线和圆相切以及⼆次函数的性质求出
•
的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线，
所以|CP|＝|QC|+|QP|＝|QC|+|QA|＝2
＞|CA|＝2，
所以点Q 的轨迹是以点C，A 为焦点，焦距为2，⻓轴为2
的椭圆，
∴a＝
，c＝1，b＝
＝1，
故点Q 的轨迹⽅程是
+y2＝1；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2），
直线l 与圆x2+y2＝1 相切，
故
＝1，解得：b2＝k2+1，
联⽴
，
故（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，
Δ＝16k2b2﹣4（1+2k2）（b2﹣1）＝8（2k2﹣b2+1）＝8k2＞0，
故k≠0，x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
•
＝x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
＝
﹣
+k2+1
＝
，
所以
≤
≤
，
∴
≤k2≤
，
故
≤|k|≤
，
故﹣
≤k≤﹣
或
≤k≤
，
故所求范围为[﹣
，﹣
]∪[
，
]．
【点评】本题考查了直线和圆的关系，考查椭圆的⽅程以及⼆次函数的性质，考查向量的运算，是⼀道
综合题．
11．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，且椭圆C 上的点到⼀个焦点的距离的最⼩值为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）已知过点T（0，2）的直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，若在x 轴上存在⼀点E，使∠AEB＝90°，
求直线l 的斜率k 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）运⽤椭圆的离⼼率和最⼩距离a﹣c，解⽅程可得a，c 的值，再由隐含条件求得b，进⽽得
到椭圆⽅程；
（Ⅱ）由已知，以AB 为直径的圆与X 轴有公共点，联⽴直线⽅程与椭圆⽅程求得|AB|，再由
列式求得直线l 的斜率k 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝
，
由椭圆的性质可得，a﹣c＝
，
解⽅程可得a＝
，
则b＝
，
故椭圆的⽅程为
；
（Ⅱ）由已知，以AB 为直径的圆与X 轴有公共点，
设A（x1，y1），b（x2，y2），AB 中点M（x0，y0）
直线l：y＝kx+2 代⼊
，得（3+k2）x2+4kx+1＝0，
由Δ＝12k2﹣12＞0，得k＜﹣1 或k＞1．
，
，
|AB|＝
，
由
，得
，
解得k4≥13，即k≥
或k≤﹣
．
∴所求直线l 的斜率k 的取值范围是k≥
或k≤﹣
．
【点评】本题考查椭圆的性质与⽅程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属
于中档题．
12．在圆x2+y2＝9 上任取⼀点P，过点P 作x 轴的垂线段PD，D 为垂⾜，点M 在线段DP 上，满⾜
＝，当点P 在圆上运动时，设点M 的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C 的⽅程；
（Ⅱ）若直线y＝m（x+5）上存在点Q，使过点Q 作曲线C 的两条切线互相垂直，求实数m 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设出P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），由点M 在线段PD 上，且满⾜DM＝DP，M 的
坐标⽤P 的坐标表示，代⼊圆的⽅程得答案；
（Ⅱ）设过点Q（x0，y0）的椭圆的切线⽅程为y﹣y0＝k（x﹣x0），
由y＝kx﹣kx0+y0，
，整理得：（4+9k2）x2+18k（﹣kx0+y0）x+9（﹣kx0+y0）2﹣36＝0，由Δ＝324k2
（﹣kx0+y0）2﹣36（4+9k2）[（﹣kx0+y0）2﹣4]＝0，整理得：（9﹣
）k2+2kx0y0+4﹣
＝0．由k1k2＝
⇒
，点Q 是圆x2+y2＝9 与y＝m（x+5）的公共点，∴O（0，0）到直线y＝m
（x+5）的距离d
即可．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x0，y0），M（x，y），D（x0，0），
∵点M 在线段PD 上，且满⾜满⾜
＝，∴x0＝x，y0＝y，
⼜P 在圆x2+y2＝9 上，∴x02+y02＝9，∴x2+
y2＝9，
曲线C 的⽅程为：
．
（2）假设在直线y＝m（x+5）上存在点Q（x0，y0），设过点Q（x0，y0）的椭圆的切线⽅程为y﹣y0＝k
（x﹣x0），即y＝kx﹣kx0+y0．
由y＝kx﹣kx0+y0，
，整理得：（4+9k2）x2+18k（﹣kx0+y0）x+9（﹣kx0+y0）2﹣36＝0，
由Δ＝324k2（﹣kx0+y0）2﹣36（4+9k2）[（﹣kx0+y0）2﹣4]＝0，
整理得：（9﹣
）k2+2kx0y0+4﹣
＝0．
故过点Q（x0，y0）的椭圆的两条切线斜率k1，k2分别是：（9﹣
）k2+2kx0y0+4﹣
＝0 的两解
故k1k2＝
⇒
，
∴点Q 是圆x2+y2＝9 与y＝m（x+5）的公共点，∴O（0，0）到直线y＝m（x+5）的距离d
即可．
解得12m2≤13，即﹣
，
实数m 的取值范围：[
]．
【点评】本题考查了轨迹⽅程的求法，考查了代⼊法求曲线的轨迹⽅程，椭圆的切线问题，属于难题．
13．已知F1，F2是椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．
（1）若△POF2为等边三⻆形，求C 的离⼼率；
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的⾯积等于16，求b 的值和a 的取值范围．
【分析】（1）根据△POF2为等边三⻆形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，在根据直⻆三⻆形和椭圆
定义可得；
（2）根据三个条件列三个⽅程，解⽅程组可得b＝4，根据x2＝
（c2﹣b2），所以c2≥b2，从⽽a2＝b2+c2
≥2b2＝32，故a≥4
，
【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三⻆形可知在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝
c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（
+1）c，
故曲线C 的离⼼率e＝＝
﹣1．
（2）由题意可知，满⾜条件的点P（x，y）存在，且：|y|•2c＝16，
•
＝﹣1，
+
＝1，
即c|y|＝16，①
x2+y2＝c2，②
+
＝1，③
由②③及a2＝b2+c2得y2＝
，⼜由①知y2＝
，故b＝4，
由②③得x2＝
（c2﹣b2），所以c2≥b2，从⽽a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4
，
当b＝4，a≥4
时，存在满⾜条件的点P，
所以b＝4，a 的取值范围为[4
，+∞）．
（备注：求b 还可以⽤焦点三⻆形的⾯积：因为PF1⊥PF2，故b2•tan
＝b2＝16，解得b＝4（负值舍））．
【点评】本题考查椭圆的定义和⼏何性质，考查分类讨论思想和运算求解能⼒，是中档题．
14．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣
＝0，椭圆C：
+y2＝1，F1、F2分别为椭圆C 的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l 过右焦点F2时，求直线l 的⽅程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，△AF1F2，△BF1F2 的重⼼分别为G、H．若原点O 在以线段
GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）把F2代⼊直线⽅程求得m，则直线的⽅程可得．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆⽅程联⽴消去x，根据判别式⼤于0 求得m 的范围，且根
据⻙达定理表示出y1+y2和y1y2，根据
，
＝2
，可知G（
，
），h（
，
），表
示出|GH|2，设M 是GH 的中点，则可表示出M 的坐标，进⽽根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0 把
x1x2和y1y2的表达式代⼊求得m 的范围，最后综合可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣
＝0，经过F2（
，0），
所以
＝
，得m2＝2，
⼜因为m＞1，所以m＝
，
故直线l 的⽅程为x﹣
y﹣1＝0．
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
，消去x 得
2y2+my+
﹣1＝0
则由Δ＝m2﹣8（
﹣1）＝﹣m2+8＞0，知m2＜8，
且有y1+y2＝﹣，y1y2＝
﹣．
由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O 为F1F2的中点，
由
，
＝2
，可知G（
，
），H（
，
）
|GH|2＝
+
设M 是GH 的中点，则M（
，
），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（
）2+（
）2]＜
+
即x1x2+y1y2＜0
⽽x1x2+y1y2＝（my1+
）（my2+
）+y1y2＝（m2+1）（
）
所以（
）＜0，即m2＜4
⼜因为m＞1 且Δ＞0
所以1＜m＜2．
所以m 的取值范围是（1，2）．
【点评】本题主要考查椭圆的⼏何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析⼏
何的基本思想⽅法和综合解题能⼒．
15．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A，B 的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），且AC，BC
所在直线的斜率之积等于﹣2，记顶点C 的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E 的⽅程；
（Ⅱ）设直线y＝kx+2（0＜k＜2）与y 轴相交于点P，与曲线E 相交于不同的两点Q，R（点R 在点P 和
点Q 之间），且
＝λ
，求实数λ的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设点C（x，y），可得
•
＝﹣2，化简得曲线E 的⽅程；
（Ⅱ）设直线y＝kx+2 与y 轴相交于点P（0，2），
与曲线E 相交于不同的两点Q，R（点R 在点P 和点Q 之间），设Q（x1，y1），R（x2，y2）
联⽴⽅程得（2+k2）x2+4kx+2＝0；
Δ＝16k2﹣24﹣12k2＝4k2﹣24＞0，⇒k2＞2
⼜0＜k＜2，∴2＜k2＜4
由
＝λ
，得x1＝λx2
结合⻙达定理得⇒
，结合k 得实数λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设点C（x，y），∵△ABC 的两个顶点A，B 的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），
且AC，BC 所在直线的斜率之积等于﹣2，
∴
＝﹣2，
化简得曲线E 的⽅程为：2x2+y2＝2（y≠0）；
（Ⅱ）设直线y＝kx+2（0＜k＜2）与y 轴相交于点P（0，2），
与曲线E 相交于不同的两点Q，R（点R 在点P 和点Q 之间），设Q（x1，y1），R（x2，y2）
∴
∴（2+k2）x2+4kx+2＝0；
，x1x2＝
…①
Δ＝16k2﹣16﹣8k2＝8k2﹣16＞0，⇒k2＞2
⼜0＜k＜2，∴2＜k2＜4…②
∵
，
，且
＝λ
，
∴x1＝λx2…③
由①②得（1+λ）x2＝
，
⇒
结合②得
⇒实数λ的取值范围．
⇒
⇒
且λ≠1．
∵点R 在点P 和点Q 之间，∴λ＞1
综上，实数λ的取值范围：（1，3）
【点评】本题考查了动点轨迹⽅程的求解，直线与曲线的位置关系，考查了根与系数的关系、向量运算，
属于中档题．
16．设椭圆
的两个焦点是F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），且椭圆C 上的点到焦
点F2的最短距离为
．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k≠0）与椭圆C 交于不同的两点M、N，线段MN 垂直平分线恒过点A（0，﹣
1），求实数m 的取值范围．
【分析】（1）求出设椭圆上的点P（x，y）到焦点F2的距离dmin＝a﹣c，利⽤条件即⼏何量的关系，即
可求得椭圆的⽅程；
（2）由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0，根据直线l：y＝kx+m（k≠0）与椭圆C 交于不
同的两点M、N，可得m2＜3k2+1①，根据线段MN 垂直平分线恒过点A（0，﹣1），可得2m＝3k2+1（k≠
0）②，由①②，即可求得实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）设椭圆上的点P（x，y）到焦点F2的距离为d
∴
∵
∴x＝a 时，dmin＝a﹣c
∴
，∴
，∴b＝1
∴椭圆的⽅程为
；
（2）由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）＝0
∵直线l：y＝kx+m（k≠0）与椭圆C 交于不同的两点M、N，
∴Δ＞0，∴m2＜3k2+1①
设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2＝
∴MN 的中点为B（
）．
∵线段MN 垂直平分线恒过点A（0，﹣1），
∴AQ⊥MN
∴
∴2m＝3k2+1（k≠0）②
由①②得m2＜2m，∴0＜m＜2
由②得m＞
∴实数m 的取值范围是
．
【点评】本题以椭圆的⼏何性质为载体，考查椭圆的标准⽅程，考查直线与椭圆的位置关系，联⽴⽅程
组是关键．
17．已知椭圆
的离⼼率为
，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线
l 交椭圆C 于E，G 两点，且△EGF2的周⻓为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C 相交于不同两点A，B，且A，B 两点都在y 轴的右侧，设P 为
椭圆上⼀点，且满⾜
为坐标原点），求实数t 的取值范围．
【分析】（1）由于△EGF2的周⻓为
，可得4a＝4
，解得a．⼜
＝
，b2＝a2﹣c2，解出即可得
出．
（2）易知直线AB 的斜率存在，即t≠0．设直线AB 的⽅程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P
（x，y），与椭圆⽅程联⽴化为（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0．利⽤Δ＞0，及其因为A，B 两点都在y 轴的
右侧，可得x1+x2＞0，x1x2＞0，解得k 的取值范围．利⽤
，及其根与系数的关系可得点P
的坐标，代⼊椭圆C 的⽅程解出即可得出．
【解答】解：（1）∵△EGF2的周⻓为
，∴4a＝4
，解得a＝
．
⼜
＝
，解得c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝1．
∴椭圆C 的⽅程为
．
（2）易知直线AB 的斜率存在，即t≠0．设直线AB 的⽅程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P
（x，y），
联⽴
，化为（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0．
由Δ＝64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，得
．
∴
，
⼜因为A，B 两点都在y 轴的右侧，∴
．
∴
．⽽
，∴
．
∵
，∴（x1+x2，y1+y2）＝t（x，y），
∴
，
．
∵点P 在椭圆C 上，∴
，
∴16k2＝t2（1+2k2）．
∴
，
⼜
，∴
．
∴
，
∴实数t 的取值范围为
．
【点评】本题考查了椭圆的标准⽅程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量的坐标运算性质、⼀元⼆次
⽅程的判别式及其根与系数的关系、不等式的解法及其性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于难题．
18．如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|﹣1，
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）若直线AF 交抛物线于另⼀点B，过B 与x 轴平⾏的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N，AN
与x 轴交于点M，求M 的横坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利⽤抛物线的性质和已知条件求出抛物线⽅程，进⼀步求得p 值；
（Ⅱ）设出直线AF 的⽅程，与抛物线联⽴，求出B 的坐标，求出直线AB，FN 的斜率，从⽽求出直线
BN 的⽅程，根据A、M、N 三点共线，可求出M 的横坐标的表达式，从⽽求出m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线x＝﹣1 的距离，
由抛物线定义得，
，即p＝2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线⽅程为y2＝4x，F（1，0），可设A（t2，2t），t≠0，t≠±1，
∵AF 不垂直y 轴，
∴设直线AF：x＝sy+1（s≠0），
联⽴
，得y2﹣4sy﹣4＝0．
y1y2＝﹣4，
∴B（
），
⼜直线AB 的斜率为
，故直线FN 的斜率为﹣
，
从⽽得FN：
，直线BN：y＝﹣，
则N（
），
设M（m，0），由A、M、N 三点共线，得
，
于是m＝
＝
，得m＜0 或m＞2．
经检验，m＜0 或m＞2 满⾜题意．
∴点M 的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应⽤，考查数学转化思想⽅法，
属中档题．
19．已知椭圆
的左、右焦点分别是F1、F2，其离⼼率
，过F1且垂直于
x 轴的直线被椭圆C 截得的线段⻓为1．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）点P 是椭圆C 上除⻓轴端点外的任⼀点，过点P 作斜率为k 的直线l，使得l 与椭圆C 有且只有⼀
个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，证明：
为定值，并求出这个定值；
（3）点P 是椭圆C 上除⻓轴端点外的任⼀点，设∠F1PF2的⻆平分线PM 交椭圆C 的⻓轴于点M（m，
0），求m 的取值范围．
【分析】（1）根据通径的⻓可得a＝2b2，根据离⼼率可得
，故可求a，b 后可得椭圆的⽅程．
（2）设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l 的⽅程为y﹣y0＝k（x﹣x0），联⽴直线⽅程和椭圆⽅程后利⽤判别
式为零可求斜率，从⽽可证
为定值．
（3）利⽤⻆平分线的性质、点到直线的距离和P 在椭圆上可得
，据此可求m 的范围．
【解答】解：（1）由于c2＝a2﹣b2，将x＝﹣c 代⼊椭圆⽅程
，得
．
由题意知
，即a＝2b2．
⼜e＝＝
＝
，即
＝，
所以a＝2，b＝1．
所以椭圆C 的⽅程为
．
（2）设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l 的⽅程为y﹣y0＝k（x﹣x0）．
联⽴得
，
整理得
，
由题意得Δ＝0，即
．
⼜
，所以
，故
．
⼜知
，
所以
，
因此
为定值，这个定值为﹣8．
（3）
设P（x0，y0）（y0≠0），⼜
，
，
所以直线PF1，PF2的⽅程分别为
，
．
由题意知
，
由于点P 在椭圆上，所以
．
所以
，
结合y0≠0 整理得到：
，⽽x0∈（﹣2，2），
故
，
⽽M 在F1，F2之间，
，﹣2＜x0＜2，
故
即
，
因此
，
即m 的取值范围是（﹣，）．
【点评】本题考查求椭圆的⽅程，及直线与椭圆的综合及⻆平分线的性质，属于中档题．
20．已知直线x＝﹣2 上有⼀动点Q，过点Q 作直线l，垂直于y 轴，动点P 在l1上，且满⾜
（O
为坐标原点），记点P 的轨迹为C．
（1）求曲线C 的⽅程；
（2）已知定点M（
，0），N（，0），点A 为曲线C 上⼀点，直线AM 交曲线C 于另⼀点B，且点
A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另⼀点D，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．
【分析】（1）设点P 的坐标为（x，y），结合题意得出点Q 的坐标，再利⽤向量数量积的运算可得出点P
的轨迹⽅程；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），设直线AM 的⽅程为
，将该直线⽅程与曲线
C 的⽅程联⽴，结合⻙达定理进⾏计算得出点B 和点D 的横坐标相等，于是得出BD⊥x 轴，根据⼏何
性质得出△MBD 的内切圆圆⼼H 在x 轴上，且该点与切点的连线与AB 垂直．
⽅法⼀是计算出△MBD 的⾯积和周⻓，利⽤等⾯积法可得出其内切圆的半径的表达式；
⽅法⼆是设H（x2﹣r，0），直线BD 的⽅程为x＝x2，写出直线AM 的⽅程，利⽤点H 到直线AB 和AM
的距离相等得出r 的表达式；
⽅法三是利⽤△MTH∽△MEB，得出
，然后通过计算得出△MBD 内切圆半径r 的表达式．
通过化简得到r 关于x2的函数表达式，并换元
，将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系
式，然后利⽤单调性可求出r 的取值范围．
【解答】解：（1）设点P（x，y），则Q（﹣2，y），∴
、
，
∵
，所以，
，即y2＝2x．
因此，点P 的轨迹⽅程为y2＝2x；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），直线BD 与x 轴的交点为E，内切圆与AB 切于点T，
设直线AM 的⽅程为
，联⽴⽅程
，得
，
∴
，且0＜x1＜x2，∴
，所以，直线AN 的⽅程为
，
与
⽅
程
y2
＝2x
联
⽴
得
：
，化
简
得
，
解得
或x＝x1，∵
，∴BD⊥x 轴，
设△MBD 的内切圆圆⼼为H，则H 在x 轴上，且HT⊥AB．
⽅法⼀：∴
，且△MBD 的周⻓为：
∴
∴
；
⽅法⼆：设H（x2﹣r，0），直线BD 的⽅程为x＝x2，其中
．
直线AM 的⽅程为：
，即
，且点H 与点O 在直线AB 的同
侧，
∴
，
解
得
：
．
⽅法三：∵△MTH∽△MEB，∴
，即
，
解
得
：
＝
，
令
，则t＞1，∴
在（1，+∞）上单调递增，则
，
即r 的取值范围是
．
【点评】本题考查轨迹⽅程以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能⼒与化简变形能⼒，属于难题．
21．已知A，B，C 是椭圆m：
+
＝1（a＞b＞0）上的三点，其中点A 的坐标为（2
，0），BC 过椭
圆m 的中⼼，且
，且|
|＝2|
|．
（1）求椭圆m 的⽅程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m 交于两点P，Q，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的
交点，且|
|＝|
|．求实数t 的取值范围．
【分析】（1）根据A 是椭圆m 的右顶点得出a 的值，利⽤平⾯向量的数量积和椭圆的对称性，
求得点C 的坐标，从⽽求得椭圆标准⽅程；
（2）讨论直线l 的斜率k＝0 和k≠0 时，利⽤直线⽅程与椭圆⽅程组成⽅程组，
消去y 得关于x 的⼀元⼆次⽅程，由判别式Δ＞0 和根与系数的关系，
再结合题意求得t 的取值范围．
【解答】解（1）如图所示，
∵
＝2
，且BC 过点O（0，0），则
；
⼜
•
＝0，∴∠OCA＝90°，且A（2
，0），则点C
，
由a＝
，可设椭圆的⽅程m：
；
将C 点坐标代⼊⽅程m，得
，解得c2＝8，b2＝4；
∴椭圆m 的⽅程为：
；
（2）如图所示，
由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t），
∴1°当k＝0 时，显然﹣2＜t＜2，
2°当k≠0 时，设l：y＝kx+t，则
，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12＝0；
由Δ＞0，可得t2＜4+12k2①
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ 的中点为H（x0，y0）；
则x0＝
＝﹣
，y0＝kx0+t＝
，
∴H
；
由
，∴DH⊥PQ，则kDH＝﹣，
∴
＝﹣；
∴t＝1+3k2②
∴t＞1，将①代⼊②，得1＜t＜4，
∴t 的范围是（1，4）；
综上，得t∈（﹣2，4）．
【点评】本题考查了直线与椭圆知识的综合应⽤以及向量在解析⼏何中的应⽤问题，也考查了数形结合
思想⽅法．
22．已知椭圆
的两焦点与短轴的⼀个端点的连线构成等腰直⻆三⻆形，直线
x+y+1＝0 与以椭圆C 的上焦点为圆⼼，以椭圆的⻓半轴⻓为半径的圆相切．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设P 为椭圆C 上⼀点，若过点M（0，2）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T，满⾜
（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．
【分析】（1）圆⼼到直线x+y+1＝0 的距离
，由椭圆C 的两焦点与短轴的⼀个端点的连线
构成等腰直⻆三⻆形，知b＝c，由此能求出椭圆⽅程．
（2）当直线l 的斜率不存在时，可得t＝0；当直线l 的斜率存在时，t≠0，设直线l ⽅程为y＝kx+2，设P
（x0，y0），将直线⽅程代⼊椭圆⽅程得：（k2+2）x2+4kx+2＝0，由此利⽤根的判别式、⻙达定理、向量知
识，结合已知条件能求出实数t 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，以椭圆C 的上焦点为圆⼼，以椭圆的⻓半轴⻓为半径的圆的⽅程为x2+（y﹣
c）2＝a2，
∴圆⼼到直线x+y+1＝0 的距离
∵椭圆C 的两焦点与短轴的⼀个端点的连线构成等腰直⻆三⻆形，
∴b＝c，
，代⼊得b＝c＝1，∴
，
故所求椭圆⽅程为
…（4 分）
（2）当直线l 的斜率不存在时，可得t＝0，适合题意．…（5 分）
当直线l 的斜率存在时，t≠0，设直线l ⽅程为y＝kx+2，设P（x0，y0），
将直线⽅程代⼊椭圆⽅程得：（k2+2）x2+4kx+2＝0，…（6 分）
∴Δ＝16k2﹣8（k2+2）＝8k2﹣16＞0，∴k2＞2．
设S（x1，y1），T（x2，y2），则
，…（7 分）
由
，
当t≠0，得
…（8 分）
整理得：
，由k2＞2 知，0＜t2＜4，…（10 分）
所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），…（11 分）
综上可得t∈（﹣2，2）．…（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程求法，考查实数的取值范围的求法，考查椭圆、⻙达定理、根的判别式、直
线⽅程、向量知识等基础知识，考查推理论证能⼒、运算求解能⼒，考查化归与转化思想、函数与⽅程
思想，是中档题．
23．已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离⼼率为
，过点M（1，0）的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，
|MA|＝λ|MB|，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB|＝
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若λ∈[
，2]，求弦⻓|AB|的取值范围．
【分析】（1）先由离⼼率得到a，b 的关系，再由求出b，再由直线l 垂直于x 轴时，|AB|＝
求得关于
a，b 的另⼀⽅程，联⽴求得a，b 的值，则椭圆的标准⽅程可求；
（2）设AB 的⽅程y＝k（x﹣1），将直线的⽅程代⼊椭圆的⽅程，消去x 得到关于y 的⼀元⼆次⽅程，
再结合根系数的关系，利⽤向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB 的斜率的取值范围，从⽽求
得弦⻓|AB|的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
，即
，
∴
，则a2＝2b2，①
把x＝1 代⼊
，得y＝
，
则
，②
联⽴①②得：a2＝2，b2＝1．
∴椭圆C 的⽅程为
；
（2）如图，当直线l 的斜率存在时，设直线l ⽅程为y＝k（x﹣1），
联⽴
，得（1+2k2）y2+2ky﹣k2＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，③
由|MA|＝λ|MB|，得
，
∴（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），则﹣y1＝λy2，④
把④代⼊③消去y2得：
，
当λ∈[
，2]时，
∈[0，]．
解得：
．
|AB|＝
＝
＝
＝
．
∴弦⻓|AB|的取值范围为
．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义和标准⽅程、直线与圆锥曲线的综合问题、平⾯向量的运算等．直
线与圆锥曲线联系在⼀起的综合题在⾼考中多以⾼档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与⽅
程、等价转化等数学思想⽅法．
24．设点F 为椭圆
的左焦点，直线y＝x 被椭圆C 截得弦⻓为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）圆
与椭圆C 交于A，B 两点，M 为线段AB 上任意
⼀点，直线FM 交椭圆C 于R，Q 两点，若AB 为圆P 的直径，且直线FM 的斜率⼤于1，求|RF|•|QF|
的取值范围．
【分析】（1）由
，得
，解得m＝1，即可求出椭圆C 的⽅程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利⽤中点坐标公式以及平⽅差法，求解
，得到直线AB
的⽅程，代⼊椭圆C 的⽅程并整理得
，求出直线FM 的斜率
，设FM：
y＝k（x+1），利⽤
，消去y，设P（x3，y3），Q（x4，y4），利⽤⻙达定理以及弦⻓公式，转
化求解即可．
【解答】解：（1）由
，得
，
故
，解得m＝1，
故椭圆C 的⽅程为
．
（3 分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，⼜
，（4 分）
所以
，则（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0，故
，
则直线AB 的⽅程为
，即
，代⼊椭圆C 的⽅程并整理得
，
则
，故直线FM 的斜率
，（7 分）
设FM：y＝k（x+1），由
，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
设R（x3，y3），Q（x4，y4），则有
，（8 分）
⼜
，
所以
＝
，（10 分）
因为
，所以
，
即|RF|•|QF|的取值范围是
．
（12 分）
【点评】本题考查椭圆的⽅程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，考查转化思想以及计算能⼒．
25．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，椭圆C：
的离⼼率是
，且直线l1：
被
椭圆C 截得的弦⻓为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）若直线l1与圆D：x2+y2﹣6x﹣4y+m＝0 相切：
（i）求圆D 的标准⽅程；
（ii）若直线l2 过定点（3，0），与椭圆C 交于不同的两点E、F，与圆D 交于不同的两点M、N，求
|EF|•|MN|的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离⼼率公式及勾股定理即可求得a 和b 的值，求得椭圆⽅程；
（Ⅱ）（i）由题意求得直线l1⽅程，将圆转化成标准⽅程，利⽤点圆⼼到直线的距离公式，求得半径，即
可求得椭圆⽅程；
（ii）设l2：y＝k（x﹣3），代⼊椭圆⽅程，利⽤⻙达定理及弦⻓公式求得|EF|•|MN|，根据⼆次函数的单调
性即可求得|EF|•|MN|的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得直线l1过定点（a，0），（0，b），a2+b2＝5，
⼜
，a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，
故所求椭圆C 的标准⽅程为
．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得直线l1的⽅程为
，即x+2y﹣2＝0，
⼜圆D 的标准⽅程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13﹣m，
∴圆⼼为（3，2），圆的半径
，
∴圆D 的标准⽅程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝5．
（ii）由题可得直线l2的斜率存在，
设l2：y＝k（x﹣3），与椭圆C 的两个交点为E（x1，y1）、F（x2，y2），
由
消去y 得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4＝0，
由Δ＞0，得
，
，
，
∴
＝
＝
．
⼜圆D 的圆⼼（3，2）到直线l2：kx﹣y﹣3k＝0 的距离
，
∴圆D 截直线l2所得弦⻓
，
∴
，
设
，
，
则
，
∵y＝﹣9x2+50x﹣25 的对称轴为
，在
上单调递增，0＜y≤16，
∴
，
∴0＜|EF|•|MN|≤8．
【点评】本题考查椭圆的标准⽅程及简单⼏何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的标准⽅程，考查⻙达
定理，弦⻓公式及圆锥曲线与⼆次函数的综合应⽤，考查计算能⼒，属于中档题．
26．已知椭圆
的离⼼率为
，且椭圆C 过点
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，且与圆：x2+y2＝2 交于E、F 点，求|AB|•|EF|2
的取值范围．
【分析】（1）由题意可得
，解得a2＝3，b2＝2，即可求出椭圆⽅程，
（2）若直线l 的斜率不存在，则此时l 的⽅程为x＝1，此时求出|AB|•|EF|2＝
，若直线l 的斜率存
在，设l 的⽅程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），根据⻙达定理和弦⻓公式，以及直线和圆的
位置关系，即可求出|AB|•|EF|2＝
（1+
），即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得
，解得a2＝3，b2＝2，c2＝1，
∴椭圆C 的标准⽅程
+
＝1，
（2）椭圆C 的右焦点为（1，0），
若直线l 的斜率不存在，则此时l 的⽅程为x＝1，则A（1，
），B（1，﹣
），E（1，1），F（1，
﹣1），
∴|AB|＝
，|EF|2＝4，则|AB|•|EF|2＝
，
若直线l 的斜率存在，设l 的⽅程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
可得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6＝0，
∴x1+x2＝
，x1x2＝
，
∴|AB|＝
•
＝
•
＝
，
圆⼼O 到直线l 的距离d＝
，
∴|EF|2＝4（2﹣
）＝
∴|AB|•|EF|2＝
•
＝
•
＝
（1+
）∈（
，16
]，
综上所述|AB|•|EF|2的取值范围[
，16
]．
【点评】本题考查了椭圆的简单性质和椭圆的⽅程、直线和椭圆和圆的位置关系，⻙达定理，点到直线
的距离公式等基础知识与基本技能⽅法，考查了运算求解能⼒，转化与化归能⼒，属于中档题．
27．已知椭圆Γ：
，过点P（1，1）作倾斜⻆互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆Γ交于A、B
两点，l2与椭圆Γ交于C，D 两点．
（1）若P（1，1）为线段AB 的中点，求直线AB 的⽅程；
（2）记λ＝
，求λ的取值范围．
【分析】（1）设直线l1的⽅程为y﹣1＝k（x﹣1），根据⻙达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率k，
问题得以解决，
（2）根据弦⻓公式分别求出|AB|，|CD|，再根据基本不等式即可求出．
【解答】解：（1）设直线l1的⽅程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx+1﹣k，设A（x1，y1），B（x2，y2）
由
，消y 可得（1+2k2）x2+4k（1﹣k）x+2（k﹣1）2﹣4＝0，
∴x1+x2＝
，x1x2＝
，
∵P（1，1）为线段AB 的中点，
∴x1+x2＝
＝2，
解得k＝﹣，
∴直线AB 的⽅程为y＝﹣x+
，即为x+2y﹣3＝0；
（2）由（1）可知，|AB|＝
•
＝
•
•
，
设直线l2的⽅程为y﹣1＝﹣k（x﹣1），即y＝﹣kx+1+k，
同理可得|CD|＝
•
•
，
∴λ2＝（
）2＝
＝1+
＝1+
，
当k＞0 时，3k+
≥2
，当且仅当
时取等号，
当k＜0 时3k+
＝﹣[（﹣3k）+
]≤2
，当且仅当﹣
时取等号，
∴1﹣
≤λ2≤1+
，
∴2﹣
≤λ2≤2+
，
∵由于AB 与CD 是不同的直线，斜率k≠0，
∴λ≠1
∴λ的取值范围[
，1）∪（1，
]．
【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，⻙达定理和弦⻓公式和基本不等式，考查了运算能⼒和转
化能⼒，属于中档题．
28．已知点F 为椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的左焦点，且两焦点与短轴的⼀个顶点构成⼀个等边三⻆
形，直线
+
＝1 与椭圆E 有且仅有⼀个交点M．
（1）求椭圆E 的⽅程；
（2）设直线
+
＝1 与y 轴交于P，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|•|PB|，
求实数λ的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意可得a，b 与c 的关系，化椭圆⽅程为
，联⽴直线⽅程与椭圆⽅程，
由判别式为0 求得c，则椭圆⽅程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得M 坐标，得到|PM|2，当直线l 与x 轴垂直时，直接由λ|PM|2＝|PA|•|PB|求得λ值；当直
线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的⽅程为y＝kx+2，联⽴直线⽅程与椭圆⽅程，利⽤判别式⼤于0 求得k
的取值范围，再由根与系数的关系，结合λ|PM|2＝|PA|•|PB|，把λ⽤含有k 的表达式表示，则实数λ的取
值范围可求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得a＝2c，b＝
则椭圆E 为：
，
联⽴
，得x2﹣2x+4﹣3c2＝0，
∵直线
+
＝1 与椭圆E 有且仅有⼀个交点M，
∴Δ＝4﹣4（4﹣3c2）＝0，得c2＝1，
∴椭圆E 的⽅程为
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得M（1.
）
直线
+
＝1 与y 轴交于P（0，2），∴|PM|2＝，
①当直线l 与x 轴垂直时，λ|PM|2＝|PA|•|PB|＝
＝1，∴λ＝；
②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的⽅程为y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，得（3+4k2）x2+16kx+4＝0，
依题意得，x1x2＝
，且Δ＝48（4k2﹣1）＞0，
∴λ|PM|2＝|PA|•|PB|＝（1+k2）x1x2＝（1+k2）
＝1+
．
∵
，∴λ∈
，
综上所述，λ的取值范围是
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应⽤，体现了“分类讨论”的数学思想
⽅法，属中档题．
29．已知椭圆
的离⼼率为
，短轴⻓为2．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）设直线l：y＝kx+m 与椭圆C 交于M，N 两点，O 为坐标原点，若
，求原点O 到直线
l 的距离的取值范围．
【分析】（1）由已知求得b，再由椭圆离⼼率及隐含条件求得a，则椭圆⽅程可求；
（2）联⽴直线⽅程与椭圆⽅程，化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，由判别式⼤于0 求得m2＜4k2+1，再由
，可得
，从⽽求得k 的范围，再由点到直线的距离公式求出原点O 到直线l 的
距离，则取值范围可求．
【解答】解：（1）设焦距为2c，由已知
，2b＝2，∴b＝1，
⼜a2＝1+c2，解得a＝2，
∴椭圆C 的标准⽅程为
；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
联⽴
得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
依题意，Δ＝（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，化简得m2＜4k2+1，①
，
，
若
，则
，即4y1y2＝5x1x2，
∴
，
∴
，
即（4k2﹣5）（m2﹣1）﹣8k2m2+m2（4k2+1）＝0，化简得
，②
由①②得
，
∵原点O 到直线l 的距离
，
∴
，
⼜∵
，
∴
，
∴原点O 到直线l 的距离的取值范围是
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应⽤，体现了“设⽽不求”的解题思想⽅
法，是中档题．
30．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）经过点P（1，
），且离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设F1，F2分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过F1的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A，B，如
果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求焦点F2到直线l 的距离d 的取值范围．
【分析】（1）由题意可得e＝
，
，解⽅程可得a，b，进⽽得到椭圆⽅程；
（2）设直线l 的⽅程y＝kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），通过x1、x2满⾜⽅程
+（kx+m）2＝1、利⽤
根的判别式⼤于零、化简可知2k2+1＞m2，利⽤直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列及y1＝kx1+m、
y2＝kx2+m、计算可知x1+x2+2＝0，结合⻙达定理可知m＝k+
，进⽽可知|k|＞
，通过点到直线的距
离公式，化简可知点F2（1，0）到直线l：y＝kx+m 的距离d＝（t+
），通过借助函数f（t）＝（t+
）
在[1，
]上单调递减可知f（
）＜d＜f（1），进⽽计算即得结论．
【解答】解：（1）由题意可得e＝
，
解得a＝
，b＝c＝1，
即有椭圆的标准⽅程为
+y2＝1；
（2）设直线l 的⽅程为：y＝kx+m，代⼊
得（2k2+1）x2+4kmx+（2m2﹣2）＝0，
设点A、B 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
则x1、x2是⽅程（2k2+1）x2+4kmx+（2m2﹣2）＝0，①
由于点A、B 不重合，且直线l 的斜率存在，
因此Δ＝（4km）2﹣4•（2k2+1）•（2m2﹣2）＝8（2k2+1﹣m2）＞0，
即2k2+1＞m2，②，x1+x2＝﹣
，x1x2＝
由直线AF1、l、BF1的斜率
、k、
依次成等差数列，
可得
＝2k，
⼜y1＝kx1+m，y2＝kx2+m，
即有（kx1+m）•（x2+1）+（kx2+m）•（x1+1）＝2k（x1+1）•（x2+1），
化简并整理得：（m﹣k）（x1+x2+2）＝0．
∵直线l 的⽅程为：y＝kx+k 不经过点F1（﹣1，0），m＝k 不符合条件，
则x1+x2+2＝0，
由⽅程①及⻙达定理可知：
＝﹣（x1+x2）＝2，
即m＝k+
，③
由②、③可知，2k2+1＞m2＝（k+
）2，
化简得：k2＞
，这等价于：|k|＞
，
记点F2（1，0）到直线l：y＝kx+m 的距离为d，d＝
＝
令t＝
），∴
．
函数f（t）＝（t+
）在[1，
]上单调递减，
故由⑤可知f（
）＜d＜f（1），
即d∈（
，2）．
【点评】本题考查椭圆的⽅程的求法，注意运⽤椭圆的性质和离⼼率公式，考查直线与椭圆的位置关系、
等差数列的中项的性质，考查运算求解能⼒，综合性较强，注意解题⽅法的积累，属于难题．
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圆锥曲线篇—题型31 题型32 答案
⼀．解答题（共10 ⼩题）
1．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）与双曲线
﹣y2＝1 的离⼼率互为倒数，且直线x﹣y﹣2＝0 经过
椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M、N 两点，且直线OM、MN、ON 的斜率依次成等⽐数列，
求△OMN ⾯积的取值范围．
【分析】（Ⅰ）通过双曲线的离⼼率，求出椭圆的离⼼率，求出椭圆的右顶点，求出a，c，b，求出椭圆⽅
程．
（Ⅱ）由题意可设直线的⽅程为：y＝kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）联⽴
消
去y，利⽤⻙达定理，结合直线OM、MN、ON 的斜率依次成等⽐数列．求出k，设原点O 到直线的距
离为d，表示出三⻆形的⾯积，然后由m 的取值范围可得△OMN ⾯积的取值范围为（0，1）．
【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线的离⼼率为
，所以椭圆的离⼼率
，
⼜∵直线x﹣y﹣2＝0 经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2，0），即a＝2，c＝
，b＝1，…（2 分）
∴椭圆⽅程为：
．…（4 分）
（Ⅱ）由题意可设直线的⽅程为：y＝kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）
联⽴
消去y 并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0…（5 分）
则
，
于是
…（6 分）
⼜直线OM、MN、ON 的斜率依次成等⽐数列．
∴
…（8 分）
由m≠0 得：
⼜由Δ＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2
显然m2≠1（否则：x1x2＝0，则x1，x2中⾄少有⼀个为0，
直线OM、ON 中⾄少有⼀个斜率不存在，与已知⽭盾）
…（10 分）
设
原
点
O
到
直
线
的
距
离
为
d
，
则
∴故由m 的取值范围可得△OMN ⾯积的取值范围为（0，1）…（12 分）
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应⽤，弦⻓公式以及三⻆形的⾯积的表式，考查转化思想以及
计算能⼒．
2．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）⼀点，抛物线C：y2＝4x 上存在不同的两点A，B 满⾜PA，PB
的中点均在C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x2+
＝1（x＜0）上的动点，求△PAB ⾯积的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设P（m，n），A（
，y1），B（
，y2），运⽤中点坐标公式可得M 的坐标，再由中点
坐标公式和点在抛物线上，代⼊化简整理可得y1，y2为关于y 的⽅程y2﹣2ny+8m﹣n2＝0 的两根，由⻙
达定理即可得到结论；
（Ⅱ）由题意可得m2+
＝1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，可得△PAB ⾯积为S＝|PM|•|y1﹣y2|，再由配⽅和
换元法，可得⾯积S 关于新元的三次函数，运⽤单调性可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（
，y1），B（
，y2），
AB 中点为M 的坐标为（
，
），
抛物线C：y2＝4x 上存在不同的两点A，B 满⾜PA，PB 的中点均在C 上，
可得（
）2＝4•
，
（
）2＝4•
，
化简可得y1，y2为关于y 的⽅程y2﹣2ny+8m﹣n2＝0 的两根，
可得y1+y2＝2n，y1y2＝8m﹣n2，
可得n＝
，
则PM 垂直于y 轴；
（另解：设PA，PB 的中点分别为E，F，
EF 交PM 于G，EF 为△PAB 的中位线，
EF∥AB，⼜M 为AB 的中点，
G 为EF 的中点，
设AB：y＝kx+b1，EF：y＝kx+b2，
由y2＝4x，y＝kx+b1，y＝kx+b2，
解得yM＝yP＝，所以PM 垂直于y 轴）
（Ⅱ）若P 是半椭圆x2+
＝1（x＜0）上的动点，
可得m2+
＝1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，
由（Ⅰ）可得y1+y2＝2n，y1y2＝8m﹣n2，
由PM 垂直于y 轴，可得△PAB ⾯积为S＝|PM|•|y1﹣y2|
＝（
﹣m）•
＝[
•（4n2﹣16m+2n2）﹣m]•
＝
（n2﹣4m）
，
可令t＝
＝
＝
，
可得m＝﹣时，t 取得最⼤值
；
m＝﹣1 时，t 取得最⼩值2，
即2≤t≤
，
则S＝
t3在2≤t≤
递增，可得S∈[6
，
]，
△PAB ⾯积的取值范围为[6
，
]．
【点评】本题考查抛物线的⽅程和运⽤，考查转化思想和运算能⼒，以及换元法和三次函数的单调性，
属于难题．
3．已知A，B 是x 轴正半轴上两点（A 在B 的左侧），且|AB|＝a（a＞0），过A，B 作x 轴的垂线，与抛物线
y2＝2px（p＞0）在第⼀象限分别交于D，C 两点．
（Ⅰ）若a＝p，点A 与抛物线y2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；
（Ⅱ）若O 为坐标原点，记△OCD 的⾯积为S1，梯形ABCD 的⾯积为S2，求
的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得抛物线的焦点坐标A，可得B 的坐标，代⼊抛物线⽅程可得C，D 的坐标，应⽤直线
的斜率公式可得所求值；
（Ⅱ）可设CD：y＝kx+b（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），且x2﹣x1＝a，联⽴抛物线⽅程消去x，可得y
的⼆次⽅程，应⽤⻙达定理和判别式⼤于0，可得0＜kb＜p，
再由点到直线的距离公式可得O 到CD 的距离，应⽤三⻆形的⾯积和梯形的⾯积公式可得S1．S2，即可
点到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得A（，0），B（a+
，0），则C（a+
，
），D（，p），
⼜a＝p，可得C（p，
p），则直线CD 的斜率为
＝
﹣1；
（Ⅱ）可设CD：y＝kx+b（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），且x2﹣x1＝a，
由
消去x，可得ky2﹣2py+2pb＝0，
Δ＝4p2﹣8pkb＞0，即kb＜p，
⼜y1+y2＝
＞0，y1y2＝
＞0，可得k＞0，b＞0，
则|CD|＝
|x1﹣x2|＝a
，
O 到CD 的距离为
，则S1＝d•|CD|＝•
•a
＝ab，
S2＝|y1+y2|•|x2﹣x1|＝•
a＝
，
则
＝
，∵0＜kb＜p，
∴0＜
＜．
【点评】本题考查抛物线的⽅程和应⽤，考查直线⽅程和抛物线联⽴，应⽤⻙达定理和弦⻓公式，考查
直线的斜率和⽅程的应⽤，考查⽅程思想和运算能⼒，属于中档题．
4．已知椭圆
左、右焦点分别为F1、F2．
（Ⅰ）过右焦点的直线被C 所截线段是弦PQ，当PQ 垂直于x 轴时弦为通径ST，求证：|PQ|最⼩值是通
径|ST|．
（Ⅱ）如图所示，若C 的右顶点为A（2，0），过点A 且斜率为
的直线与y 轴交于点P，与椭圆交于另
⼀个点B，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F1．
（ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（ⅱ）过点P 且斜率⼤于
的直线与椭圆交于M，N 两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN＝λ，求实数λ
的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的⽅程为x＝c，求出此时|PQ|，当直线PQ 的斜率存
在时，设直线PQ 的⽅程为y＝k（x﹣c），设P（x1，y1），Q（x2，y2），联⽴椭圆⽅程，结合⻙达定理可
得x1+x2，x1x2，再利⽤弦⻓公式求出|PQ|，即可得出答案．
（Ⅱ）（ⅰ）因为BF1⊥x 轴，得到点B（﹣c，﹣
），则
，解得a，b，c，即可得出答案．
（ⅱ）由
＝
＝
＝λ（λ＞2），得
＝﹣
，设直线MN 的⽅程为y＝
kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），联⽴椭圆⽅程，结合⻙达定理可得x1+x2，x1x2，进⽽可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：椭圆C 的右焦点F2（c，0），
当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的⽅程为x＝c，
联⽴
，解得y＝±
，
所以|PQ|＝
﹣（﹣
）＝
，
当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的⽅程为y＝k（x﹣c），
联⽴
，得（b2+a2k2）x2﹣2ca2k2x+a2k2c2﹣a2b2＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
所以x1+x2＝
，x1x2＝
，
所以|PQ|＝
＝
＝
＝
＝2ab
＝2ab
＝2ab2•
＝2ab2•
＝2ab2•
，
因为1+k2≥1，b2﹣a2＜0，
所以0＞
≥b2﹣a2，
所以a2＞a2+
≥b2，
所以
＜
≤
，
所以
＜2ab2•
≤2a，
所以
＜|PQ|≤2a，
综上所述，|PQ|的最⼩值为
，
所以当PQ 垂直于x 轴时弦为通径ST，|PQ|最⼩值是通径|ST|．
（Ⅱ）（ⅰ）因为BF1⊥x 轴，得到点B（﹣c，﹣
），
所以
，
解得
，
所以椭圆的⽅程为
+
＝1．
（ⅱ）因为
＝
＝
＝λ（λ＞2），
所以
＝﹣
，
由（ⅰ）可知P（0，﹣1），
设直线MN 的⽅程为y＝kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联⽴
，得（4k2+3）x2﹣8kx﹣8＝0，
所以
，（*）
⼜
＝（x1，y1+1），
＝（x2，y2+1），
＝﹣
，
所以x1＝﹣
x2，
将x1＝﹣
x2代⼊（*），得
＝
，
因为k＞，
所以
＝
∈（1，4），
则1＜
＜4 且λ＞2，
所以4＜λ＜4+2
，
综上所述，实数λ的取值范围为（4，4+2
）．
【点评】本题考查椭圆的⽅程，直线与椭圆的相交问题，解题需要⼀定的计算能⼒，属于难题．
5．设圆x2+y2+2x﹣15＝0 的圆⼼为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B
作AC 的平⾏线交AD 于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹⽅程；
（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两
点，求四边形MPNQ ⾯积的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆⼼和半径，运⽤直线平⾏的性质和等腰三⻆形的性质，可得EB＝ED，再由
圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹⽅
程；
（Ⅱ）设直线l：x＝my+1，代⼊椭圆⽅程，运⽤⻙达定理和弦⻓公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y
＝﹣m（x﹣1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦⻓公式可得|PQ|，再由四边形的⾯积公式，化简整理，
运⽤不等式的性质，即可得到所求范围．
（Ⅱ）另解：设∠MBA＝θ（θ∈（0，π）），利⽤余弦定理结合|MA|+|MB|＝4，可解得|MB|＝
，
同理|NB|＝
，从⽽可得|MN|，利⽤圆的弦⻓公式求得|PQ|，再由四边形的⾯积公式，结合三⻆
函数的有界性即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15＝0 即为（x+1）2+y2＝16，
可得圆⼼A（﹣1，0），半径r＝4，
由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，
由AC＝AD，可得∠D＝∠C，
即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，
则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4＞|AB|，
故E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，
且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b＝
＝
，
则点E 的轨迹⽅程为
+
＝1（y≠0）；
（Ⅱ）椭圆C1：
+
＝1，设直线l：x＝my+1，
由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（x﹣1），
由
可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得y1+y2＝﹣
，y1y2＝﹣
，
则|MN|＝
•|y1﹣y2|＝
•
＝
•
＝12•
，
A 到PQ 的距离为d＝
＝
，
|PQ|＝2
＝2
＝
，
则四边形MPNQ ⾯积为S＝|PQ|•|MN|＝•
•12•
＝24•
＝24
，
当m＝0 时，S 取得最⼩值12，⼜
＞0，可得S＜24•
＝8
，
即有四边形MPNQ ⾯积的取值范围是[12，8
）．
第⼆问另解：
设∠MBA＝θ（θ∈（0，π）），
则在△MAB 中，应⽤余弦定理有|MA|²＝|MB|²+|AB|²﹣2|MB||AB|cosθ，
结合|MA|+|MB|＝4，可解得|MB|＝
，
类似的|NB|＝
，
从⽽|MN|＝|MB|+|NB|＝
+
＝
，
此时直线PQ 的⽅程为xcosθ＝ysinθ+cosθ，
于是圆的弦⻓|PQ|＝2
＝4
，
于是可得四边形MPNQ 的⾯积S＝|MN|•|PQ|＝
，
于是四边形MPNQ ⾯积的取值范围是[12，8
）．
【点评】本题考查轨迹⽅程的求法，注意运⽤椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆⽅程联⽴，运⽤⻙达定
理和弦⻓公式，以及直线和圆相交的弦⻓公式，考查不等式的性质，属于中档题．
6．已知椭圆C1：
+
＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）有⼀公共焦点，抛物线C2的准线l
与椭圆C1有⼀交点坐标是（
，﹣2）．
（1）求椭圆C1与抛物线C2的⽅程；
（2）若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB 与椭圆C1分
别交于点E，F，求
•
的取值范围．
【分析】（1）由准线⽅程y＝﹣2，可得抛物线的⽅程；再由椭圆的焦点坐标，可得椭圆的c＝2，运⽤椭
圆的定义可得a，求得b，进⽽得到椭圆⽅程；
（2）设点P（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），求得切线的斜率，得到切线AP
的⽅程，求得AB 的⽅程，代⼊椭圆⽅程，运⽤⻙达定理，由向量的数量积的坐标表示，即可得到所求
范围．
【解答】解：（1）抛物线C2的准线⽅程是y＝﹣2，
所以
，所以抛物线C2的⽅程是：x2＝8y，
椭圆
的焦点坐标是（0，﹣2），（0，2），
所以c＝2，
，
所以
，即椭圆C1的⽅程是
+
＝1；
（2）设点P（t，﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），
抛物线⽅程可以化为：
，
，
所以AP 的⽅程为：
，
所以
，即
，同理：
，
所以直线AB 的⽅程为：
，
将直线AB ⽅程代⼊椭圆C1的⽅程得到：（t2+32）x2+16tx﹣64＝0，
则Δ＝256t2+256（t2+32）＞0，
且
，
所以
，
因为
，
所以
的取值范围是（﹣8，2]．
【点评】本题考查椭圆和抛物线的⽅程和性质，考查直线和抛物线及椭圆的位置关系，注意联⽴直线⽅
程和椭圆⽅程或抛物线⽅程，运⽤⻙达定理，考查运算能⼒，属于中档题．
7．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且⻓轴⻓为8，T 为椭圆上⼀点，直线
TA、TB 的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设O 为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C 交于P、Q 两点，求
•
+
•
的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得直线TA，TB 的斜率，由
•
＝﹣，即可求得椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设直线PQ ⽅程，代⼊椭圆⽅程，利⽤⻙达定理及向量数量积的坐标，求函数的单调性，即可求得
•
+
•
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设T（x，y），则直线TA 的斜率为k1＝
，直线TB 的斜率为k2＝
，…（2 分）
于是由k1k2＝﹣，得
•
＝﹣，
整理得
；…（4 分）
（Ⅱ）当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的⽅程为y＝kx+2，点P，Q 的坐标分别为（x1，y1），（x2，
y2），
直线PQ 与椭圆⽅程联⽴
，得（4k2+3）x2+16kx﹣32＝0．
所以，x1+x2＝﹣
，x1x2＝﹣
．…（6 分）
从⽽
•
+
•
＝x1x2+y1y2+[x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）]，
＝2（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
＝
＝﹣20+
．…（8 分）
﹣20＜
•
+
•
≤﹣
，…（10 分）
当直线PQ 斜率不存在时
•
+
•
的值为﹣20，
综上所述
•
+
•
的取值范围为[﹣20，﹣
]．…（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查⻙达定理及向量数量积的坐标运算，
函数单调性及最值与椭圆的综合应⽤，属于中档题．
8．已知点M（
，
）在椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和
为2
．
（1）求C 的⽅程；
（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求
・
的取值范围．
【分析】（1）由题意可得：
+
＝1，2a＝2
，解得a，b．即可得出椭圆的标准⽅程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM 的⽅程为：y＝x．弦AB 的中点在线段OM（不含端点O，
M）上，可得
＝×
．由
+
＝1，
+
＝1，相减可得：
＝﹣1＝kAB．设直
线AB 的⽅程为：y＝﹣x+m，代⼊椭圆⽅程可得：3x2﹣4mx+2m2﹣2＝0．Δ＞0．解得m2＜3．把根与系数
的关系代⼊
・
＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）化简即可得出．
【解答】解：（1）由题意可得：
+
＝1，2a＝2
，解得a＝
，b＝1．
∴椭圆的标准⽅程为：
+y2＝1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM 的⽅程为：y＝x．
弦AB 的中点在线段OM（不含端点O，M）上，∴
＝×
，化为：x1+x2＝2（y1+y2）．
由
+
＝1，
+
＝1，相减可得：
+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0．
∵x1﹣x2≠0，∴
+（y1+y2）
＝0．
∴
＝﹣1＝kAB．
设直线AB 的⽅程为：y＝﹣x+m，代⼊椭圆⽅程可得：3x2﹣4mx+2m2﹣2＝0．
Δ＝16m2﹣24（m2﹣1）＝8（3﹣m2）＞0．解得m2＜3．
⼜
＝
∈（0，
），∴
．
由根与系数的关系可得：x1+x2＝
，x1x2＝
．
∴
・
＝x1x2+y1y2＝x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）＝2x1x2﹣m（x1+x2）+m2＝2×
﹣
+m2＝m2﹣
．
⽽
．
∴
・
＝m2﹣∈
．
【点评】本题考查了椭圆的标准⽅程及其性质、⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率
计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于难题．
9．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，短轴⻓为2．直线l：y＝kx+m 与椭圆C 交于M、
N 两点，⼜l 与直线y＝
x 分别交于A、B 两点，其中点A 在第⼀象限，点B 在第⼆象限，
且△OAB 的⾯积为2（O 为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）求
的取值范围．
【分析】（I）由题意可得：b＝1，⼜
＝
，a2＝b2+c2，联⽴解得：a2即可得出．
（II）联⽴
，解得A
，联⽴
，解得B
．⼜点A 在
第⼀象限，点B 在第⼆象限，可得
，解得1﹣4k2＞0．利⽤两点之间的距离公式可得|AB|＝
．原点到直线l 的距离d＝
．S△OMN＝
×
×
＝2，可得m2
＝1﹣4k2，设M（x1，y1），N（x2，y2）．把直线l 的⽅程代⼊椭圆⽅程可得：
（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，利⽤根与系数的关系可得y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝
．利⽤数
量积运算性质可得
＝x1x2+y1y2．
【解答】解：（I）由题意可得：b＝1，⼜
＝
，a2＝b2+c2，联⽴解得：a2＝2．
∴椭圆C 的⽅程为：
+y2＝1．
（II）联⽴
，解得A
，联⽴
，解得B
．
⼜点A 在第⼀象限，点B 在第⼆象限，∴
，化为：m2（1﹣4k2）＞0，⽽m2＞0，∴1﹣4k2＞0．
⼜|AB|＝
＝
．原点到直线l 的距离d＝
，
为△OMN 的底边AB 上的⾼．
∴S△OMN＝×
×
＝2，∴m2＝1﹣4k2，设M（x1，y1），N（x2，y2）．把直线
l 的⽅程代⼊椭圆⽅程可得：
（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴x1+x2＝
，x1•x2＝
．Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝48k2
＞0，∴k≠0．
∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝
．
∴
＝x1x2+y1y2＝
+
＝
﹣7．
∵
，∴（1+2k2）∈
．∴
∈
．
∴
∈
．
【点评】本题考查了椭圆的标准⽅程⽅程及其性质、向量数量积运算性质、⼀元⼆次⽅程的根与系数的
关系、三⻆形⾯积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于难题．
10．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，且以原点为圆⼼，椭圆的焦距为直径的圆与直
线x•sinθ+y•cosθ﹣1＝0 相切（θ为常数）．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）如图，若椭圆C 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l 与椭圆分别交于两点M、N，求
•
的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由椭圆离⼼率为
，以原点为圆⼼，椭圆的焦距为直径的圆与直线x•sinθ+y•cosθ﹣1＝0
相切，列出⽅程组求出a，b，由此能求出椭圆C 的标准⽅程
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，推导出
＝
．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的⽅程为y
＝k（x﹣1），由
，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，利⽤⻙达定理、向量知识，结合题意能
求出
•
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，
且以原点为圆⼼，椭圆的焦距为直径的圆与直线x•sinθ+y•cosθ﹣1＝0 相切，
∴
，
解得a＝
，b＝1，
∴椭圆C 的标准⽅程为
．
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l⊥x 轴，⽅程为x＝1，M（1，
），N（1，﹣
），
∴
＝（2，
），
＝（2，﹣
），∴
＝．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的⽅程为y＝k（x﹣1），
则由
，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
，
，
，
＝（x2+1，y2），
则
＝（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（x1+1）（x2+1）+k（x1﹣1）•k（x2﹣1）
＝（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2，
代⼊⻙达定理得：
＝
+
+k2+1＝
＝
，
由k2≥0，得
•
∈[﹣1，）．
综上，
•
的取值范围是[﹣1，]．
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审
题，注意⻙达定理、向量知识、椭圆性质的合理运⽤．
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圆锥曲线篇—题型33 答案
⼀．解答题（共8 ⼩题）
1．在学习数学的过程中，我们通常运⽤类⽐猜想的⽅法研究问题．
（1）已知动点P 为圆O：x2+y2＝r2外⼀点，过P 引圆O 的两条切线PA、PB，A、B 为切点，若
＝0，求动点P 的轨迹⽅程；
（2）若动点Q 为椭圆M：
＝1 外⼀点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC、QD，C、D 为切点，若
＝0，求出动点Q 的轨迹⽅程；
（3）在（2）问中若椭圆⽅程为
＝1（a＞b＞0），其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹⽅程是什
么（直接写出答案即可，⽆需过程）．
【分析】（1）由切线的性质及
可知，四边形OAPB 为正⽅形，所以点P 在以O 为圆⼼，|OP|
⻓为半径的圆上，进⽽可得动点P 的轨迹⽅程；
（2）设两切线为l1，l2，分当l1与x轴不垂直且不平⾏时，和当l1与x轴垂直或平⾏时两种情况，结合
＝0，可得动点Q 的轨迹⽅程；
（3）类⽐（2）的求解过程，可得动点Q 的轨迹⽅程．
【解答】解：（1）由切线的性质及
可知，四边形OAPB 为正⽅形，
所以点P 在以O 为圆⼼，|OP|⻓为半径的圆上，且
，
进⽽动点P 的轨迹⽅程为x2+y2＝2r2…（3 分）
（2）设两切线为l1，l2，
①当l1与x 轴不垂直且不平⾏时，设点Q 的坐标为Q（x0，y0）则x0≠±3，
设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为﹣，
l1的⽅程为y﹣y0＝k（x﹣x0），联⽴
，
得
，…（5 分）
因为直线与椭圆相切，所以Δ＝0，得
，
化简，
，
进⽽
，
所以
…（7 分）
所以k 是⽅程
的⼀个根，
同理﹣是⽅程
的另⼀个根，
∴k•（﹣）＝
，得
，其中x0≠±3，…（9 分）
②当l1与x 轴垂直或平⾏时，l2与x 轴平⾏或垂直，
可知：P 点坐标为：（±3，±2），
∵P 点坐标也满⾜
，
综上所述，点P 的轨迹⽅程为：
．…（10 分）
（3）动点Q 的轨迹⽅程是
…（12 分）
【点评】本题考查的知识点是轨迹⽅程，类⽐推理，向量数量积运算，直线与圆锥曲线的关系，难度中
档．
2．在学习过程中，我们通常遇到相似的问题．
（1）已知动点P 为圆O：x2+y2＝r2外⼀点，过P 引圆O 的两条切线PA、PB．A、B 为切点，若
＝0，求动点P 的轨迹⽅程；
（2）若动点Q 为椭圆M：
外⼀点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC、QD．C、D 为切点，若
＝0，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹⽅程．
【分析】（1）由切线的性质及
•
＝0 可知，四边形OAPB 为正⽅形，从⽽点P 在以O 为圆⼼，|OP|
⻓为半径的圆上，由此能求出动点P 的轨迹⽅程．
（2）动点Q 的轨迹是⼀个圆，设两切线l1，l2，当l1与x 轴不垂直且不平⾏时，设点Q 的坐标为Q（x0，
y0），则x0≠±2，设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为﹣，l1的⽅程为y﹣y0＝k（x﹣x0），联⽴
＝
1，得（3+4k2）x2+8k（y0﹣kx0）x+4（y0﹣kx0）2﹣12＝0，推导出
，其中x0≠±2．当l1⊥x 轴或
l1∥x 轴时，对应l2∥x 轴或l2⊥x 轴，可知P（±2，
），满⾜上式，由此能求出点P 的轨迹⽅程．
【解答】解：（1）由切线的性质及
•
＝0 可知，四边形OAPB 为正⽅形
所以点P 在以O 为圆⼼，|OP|⻓为半径的圆上，且|OP|＝
＝
，
∴动点P 的轨迹⽅程为x2+y2＝2r2．
（2）动点Q 的轨迹是⼀个圆，
设两切线l1，l2，
①当l1与x 轴不垂直且不平⾏时，设点Q 的坐标为Q（x0，y0），则x0≠±2，
设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为﹣，
l1的⽅程为y﹣y0＝k（x﹣x0），联⽴
＝1，
得（3+4k2）x2+8k（y0﹣kx0）x+4（y0﹣kx0）2﹣12＝0，
∵直线与椭圆相切，∴Δ＝64k2（y0﹣kx0）2﹣4（3+4k2）•4[（y0﹣kx0）2﹣3]＝0，
化简4k2（y0﹣kx0）2﹣（3+4k2）（y0﹣kx0）2+（3+4k2）﹣3＝0，
进⽽（y0﹣kx0）2﹣（3+4k2）＝0，
∴（
﹣4）k2﹣2x0y0k+y02﹣3＝0，
∴k 是⽅程（
）k2﹣2x0y0k+y02﹣3＝0 的⼀个根．
同理﹣是⽅程（
）k2﹣2x0y0k+
的另⼀个根．
∴
，得
，其中x0≠±2．
②当l1⊥x 轴或l1∥x 轴时，对应l2∥x 轴或l2⊥x 轴，可知P（±2，
），满⾜上式，
综上知：点P 的轨迹⽅程为x2+y2＝7．
【点评】本题考查点的轨迹⽅程的求法，考查直线⽅程、椭圆、根的判别式、⻙达定理等基础知识，考
查运算求解能⼒，考查函数与⽅程思想，是中档题．
3．在椭圆C：
＝1（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在⼀个定圆F：x2+y2＝a2+b2上，称此圆
为椭圆的蒙⽇圆．椭圆C 过P（1，
），Q（﹣
，）．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）过椭圆C 的蒙⽇圆上⼀点M，作椭圆的⼀条切线，与蒙⽇圆交于另⼀点N，若kOM，kON 存在，证
明：kOM•kON 为定值．
【分析】（1）设椭圆的⽅程为mx2+ny2＝1，代⼊点的坐标可求椭圆C 的⽅程；
（2）求得蒙⽇圆⽅程为x2+y2＝3，分斜率是否存在进⾏计算可求得kOM•kON 为定值．
【解答】解：（1）设椭圆的⽅程为mx2+ny2＝1，代⼊P（1，
），Q（﹣
，）．
可得
，解得
，
∴椭圆C 的⽅程为
+y2＝1；
（2）证明：由题意可知，蒙⽇圆⽅程为x2+y2＝3，
（i）当MN 的斜率不存在时，则直线MN 的⽅程为：x＝
或x＝﹣
，
不妨即x＝
，易得M（
，1），N（
，﹣1），kOM＝
，kON＝﹣
，∴kOM•kON＝﹣，
（ii）若直线MN 的斜率存在时，可设直线MN 的⽅程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
，联⽴消去y 可得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣3＝0，
则x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
则y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝
，
当直线PQ 与椭圆相切时，由
，
联⽴消去y 可得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
Δ＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0，
化简得2k2+1＝m2，
所以kOM•kON＝
＝﹣，
综上所述：kOM•kON＝﹣．
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能⼒，属中档题．
4．法国数学家加斯帕尔•蒙⽇被誉为画法⼏何之⽗．他在研究椭圆切线问题时发现了⼀个有趣的重要结论：
⼀椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是⼀个圆，尊称为蒙⽇圆，且蒙⽇圆的圆⼼是该椭圆的中⼼，
半径为该椭圆的⻓半轴与短半轴平⽅和的算术平⽅根．
已知在椭圆
中，离⼼率
，左、右焦点分别是F1、F2，上顶点为Q，且
|QF2|＝2，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的⽅程，并请直接写出椭圆C 的蒙⽇圆的⽅程；
（2）设P 是椭圆C 外⼀动点（不在坐标轴上），过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂⾜H，
若两切线斜率都存在且斜率之积为
，求△POH ⾯积的最⼤值．
【分析】（1）由题意可得a，c 的值，进⽽求出b 的值，可得椭圆的⽅程及它的蒙⽇圆⽅程；
（2）设P 的坐标，及过P 的切线的⽅程，与椭圆的⽅程联⽴，由判别式为0 可得两条切线的斜率的关
系，再由斜率之积的值，可得P 的轨迹⽅程，由均值不等式可得P 的横坐标之积的最⼤值，进⽽求出△
POH 的⾯积的最⼤值．
【解答】解：（1）由题意可知e＝＝，可得a＝2c，
|QF2|＝a＝2，所以c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，
所以椭圆C 的⽅程为：
+
＝1；
由题意可得蒙⽇圆的半径r＝
＝
＝
，
所以蒙⽇圆的⽅程为x2+y2＝7；
（2）设P（x0，y0），设过点P 的切线⽅程为y﹣y0＝k（x﹣x0），
联⽴
，整理可得：（3+4k2）x2+4（2ky0﹣2k2x0）x+4k2x02﹣8kx0y0+4y02﹣12＝0，
由于相切，所以⽅程①的Δ＝0，可得16（2ky0﹣2k2x0）2﹣4（3+4k2）（4k2x02﹣8kx0y0+4y02﹣12）＝0，
整理成关于k 的⽅程可得：（4﹣x02）k2+2x0y0k+3﹣y02＝0，
设过点P 的两切线斜率为k1，k2，
据题意得k1+k2＝﹣
，k1k2＝
，
由题意k1k2＝﹣，所以
＝﹣，整理可得：
+
＝1，（x0≠±2，x0≠0，x0≠±
），
即P 点的轨迹⽅程为：
+
＝1，（x0≠±2，x0≠0，x0≠±
）．
由均值不等式可得1＝
+
≥2•
＝
|x0||y0|，当且仅当
＝
时取等号，
可得|x0||y0|≤
，
所以S△POH＝|x0||y0|≤
•
＝
，
即△POH 的⾯积的最⼤值为
．
【点评】本题考查求偶椭圆的⽅程及直线与椭圆的综合应⽤，属于中档题．
5．定义椭圆
的“蒙⽇圆”的⽅程为x2+y2＝a2+b2，已知椭圆C 的⻓轴⻓为4，
离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程和它的“蒙⽇圆”E 的⽅程；
（2）过“蒙⽇圆”E 上的任意⼀点M 作椭圆C 的⼀条切线MA，A 为切点，延⻓MA 与“蒙⽇圆”E 交于点
D，O 为坐标原点，若直线OM，OD 的斜率存在，且分别设为k1，k2，证明：k1•k2为定值．
【分析】（1）由椭圆C 的⻓轴⻓为4，离⼼率为
，列⽅程组，解得a，b，c，进⽽可得答案．
（2）当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的⽅程为y＝kx+m，联⽴直线与椭圆的⽅程，得关
于x 的⼀元⼆次⽅程，可由Δ＝0，得m2＝3+4k2，再联⽴直线与“蒙⽇圆”E 的⽅程可得关于x 的⼀元⼆次
⽅程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由⻙达定理可得x1+x2，x1x2，再计算k1k2，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知2a＝4，
，
∴c＝1，∴b2＝3，
∴椭圆的⽅程
，
∴“蒙⽇圆”E 的⽅程为x2+y2＝4+3＝7，即x2+y2＝7．
（2）证明：当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的⽅程为y＝kx+m，
则由
，消去y 得（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12＝0，
∴Δ＝64m2k2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，∴m2＝3+4k2，
由
，消去y 得（1+k2）x2+2mkx+m2﹣7＝0，
∴Δ＝4m2k2﹣4（1+k2）（m2﹣7）＝4+12k2＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
，
，
∴
＝
＝
，
∵m2＝3+4k2，∴
，
当切线MA 的斜率不存在且为零时，
成⽴，
∴k1k2为定值﹣．
【点评】本题考查椭圆的⽅程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要⼀定的计算能⼒，属于中档题．
6．已知椭圆
的⼀个焦点为
，离⼼率为
．
（1）求C 的标准⽅程；
（2）若动点M 为C 外⼀点，且M 到C 的两条切线相互垂直，求M 的轨迹D 的⽅程；
（3）设C 的另⼀个焦点为F2，过C 上⼀点P 的切线与（2）所求轨迹D 交于点A，B，求证：|PA|•|PB|
＝|PF1|•|PF2|
【分析】（1）由离⼼率及焦点坐标和a，b，c 的关系求出椭圆的标准⽅程；
（2）设过M 与椭圆相切的直线，联⽴椭圆的⽅程，⽤判别式等于零整理成关系k 的⽅程，由题意得两
根之积为﹣1，得到关于M 的坐标之间的关系，即M 的轨迹⽅程；
（3）由圆的相交弦定理得结论．
【解答】（1）解：设a2﹣b2＝c2（c＞0），
由题设，得
，
，所以a＝4，b2＝9，
所以C 的标准⽅程为
；
（2）解：如图，设M（m，n），切点分别为P1，P2，
当m≠±4 时，设切线⽅程为y﹣n＝k（x﹣m），
联⽴⽅程，得
消去y，得（16k2+9）x2+32k（n﹣km）x+16（n﹣km）2﹣144＝0，①
关于x 的⽅程①的判别式
，
化简，得（16﹣m2）k2+2mnk+9﹣n2＝0，②
关于k 的⽅程②的判别式
，
因为M 在椭圆
外，
所以
，即9m2+16n2﹣144＞0，所以△2＞0．
关于k 的⽅程②有两个实根k1，k2分别是切线MP1，MP2的斜率，
因为MP1⊥MP2，所以k1k2＝﹣1，即
，化简为m2+n2＝25，
当m＝±4 时，可得n＝±3，满⾜m2+n2＝25，
所以M 的轨迹⽅程为x2+y2＝25；
（3）证明：如图，设P（x0，y0），先求|PA|•|PB|．
⽅法⼀：由相交弦定理，得
．
⽅法⼆：切线AB 的参数⽅程为
（t 为参数），
图9
，
代⼊圆x2+y2＝25，整理得
，
因为点P（x0，y0）在圆x2+y2＝25 内，
所以上述⽅程必有两个不等实根t1，t2，
，且
，
所以
，
当y0＝0 时，x0＝±4，仍有
．
再
求
|PF1|
•
|PF2|.
＝
＝
，
因为点P（x0，y0）在椭圆C 上，所以
，即
，
所以
，
所以|PA|•|PB|＝|PF1|•PF2|．
【点评】考查直线与椭圆的综合应⽤，属于中难题．
7．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的⼀个焦点为（
，0），离⼼率为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）若动点P（x0，y0）为椭圆外⼀点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹⽅程．
【分析】（Ⅰ）由焦点坐标可得
，再由离⼼率及椭圆参数关系求a、b，即可得椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）当切线不与坐标轴垂直，设切线为y＝kx﹣kx0+y0联⽴椭圆⽅程，根据Δ＝0 得到关于k 的⼀元⼆次
⽅程，再由切线的垂直关系及⻙达定理k1k2＝﹣1，即可得轨迹⽅程，然后注意判断切线与坐标轴垂直时
是否符合所得轨迹⽅程即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题设，椭圆参数
且
，则a＝2，
所以b2＝a2﹣c2＝1，故椭圆C 的标准⽅程：
．
（Ⅱ）当切线不与坐标轴垂直时，切线为y﹣y0＝k（x﹣x0），则y＝kx﹣kx0+y0，
代⼊椭圆C 整理得：
，
所以
，整理得
，
所以
，若两条切线斜率分别为k1，k2，
⼜P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，即
，故
；
当切线与坐标轴垂直时P（±2，±1），也满⾜
；
综上，P 的轨迹⽅程为x2+y2＝5．
【点评】本题主要考查椭圆⽅程的求解，轨迹⽅程的求解等知识，属于基础题．
8．给定椭圆C：
＝1（a＞b＞0），称圆⼼在原点O，半径为
的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭
圆C 的⼀个焦点为F（
，0），其短轴上的⼀个端点到F 的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程和其“准圆”⽅程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．
（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的⽅程并证明l1⊥l2；
（ⅱ）求证：线段MN 的⻓为定值．
【分析】（Ⅰ）利⽤已知椭圆的标准⽅程及其
即可得出；
（Ⅱ）（i）把直线⽅程代⼊椭圆⽅程转化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，利⽤直线与椭圆相切⇔Δ＝0，即可解
得k 的值，进⽽利⽤垂直与斜率的关系即可证明；
（ii）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），⼜分别交其准圆于点M，N，⽆论两条直线中的斜率是否存在，
都有l1，l2垂直．即可得出线段MN 为准圆x2+y2＝4 的直径．
【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C 的⼀个焦点为F（
，0），其短轴上的⼀个端点到F 的距离为
．
∴
，
，
∴
＝1，
∴椭圆⽅程为
，
∴准圆⽅程为x2+y2＝4．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2＝4 与y 轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y＝kx+2，
联⽴
得（1+3k2）x2+12kx+9＝0．
∵直线y＝kx+2 与椭圆相切，
∴Δ＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝0，解得k＝±1，
∴l1，l2⽅程为y＝x+2，y＝﹣x+2．
∵
，
∴l1⊥l2．
（ⅱ）①当直线l1，l2中有⼀条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，
则l1：
，
当l1：
时，l1与准圆交于点
，
此时l2为y＝1（或y＝﹣1），显然直线l1，l2垂直；
同理可证当l1：
时，直线l1，l2垂直．
②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中
．
设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y＝t（x﹣x0）+y0，
∴由
得
．
由Δ＝0 化简整理得
，
∵
，∴有
．
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，
∵l1，l2与椭圆相切，
∴t1，t2满⾜上述⽅程
，
∴t1•t2＝﹣1，即l1，l2垂直．
综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），⼜分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．
∴线段MN 为准圆x2+y2＝4 的直径，|MN|＝4，
∴线段MN 的⻓为定值．
【点评】本题考查了椭圆的标准⽅程及其性质、新定义、直线与椭圆相切⇔Δ＝0、直线垂直与斜率的关
系、分类讨论等基础知识与基本技能⽅法，考查了推理能⼒和计算能⼒，属于难题．
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圆锥曲线篇—题型34～题型35 答案
⼀．解答题（共12 ⼩题）
1．已知抛物线C：x2＝2y，P 是C 的准线l 上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为A，B．
（1）当P 点在y 轴上时，求切线PA，PB 的⽅程；
（2）设圆M 是△PAB 的外接圆，当圆M 的⾯积最⼩时，求圆M 的⽅程．
【分析】（1）可得P（0，﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜0，x2＞0，利⽤导数求解切线⽅程．
（2）设点P（t，﹣
），切线⽅程为
，联⽴抛物线⽅程Δ＝4k2﹣4（2kt+1）＝0⇒4k2﹣8kt
﹣4＝0．即可知切线PA，PB 互相垂直．即△PAB 是直⻆三⻆形，△PAB 的外接圆直径为弦AB．当圆M
的⾯积最⼩时，即是AB 最短时，即可求得圆的⽅程．
【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2y，准线l 的⽅程y＝﹣，
∵P 点在y 轴上，
∴P（0，﹣），
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜0，x2＞0
由y＝x2，求导y′＝x，
∴kPA＝
＝
＝x1，
解得x1＝﹣1，
∴切线PA 的⽅程为y+
＝﹣（x+1），即2x+2y+3＝0，
同理可得切线PB 的⽅程为2x﹣2y+3＝0，
（2）如图：设点P（t，﹣），
设过点P 与抛物线C：x2＝2y 相切的直线⽅程为
，
由
⇒x2﹣2kx+2kt+1＝0
Δ＝4k2﹣4（2kt+1）＝0⇒4k2﹣8kt﹣4＝0．
∴k1k2＝﹣1，
即切线PA，PB 互相垂直．即△PAB 是直⻆三⻆形，△PAB 的外接圆直径为弦AB．
当圆M 的⾯积最⼩时，即是AB 最短时，
|AB|min＝2p＝2，此时AB 垂直y 轴，△PAB 的外接圆圆⼼为（0，），
圆的⽅程为x2+（y﹣）2＝1．
【点评】本题考查直线和抛物线相切的条件，考查运算能⼒，属于中档题．
2．已知定点F（0，1），定直线l：y＝﹣1，动圆M 过点F，且与直线l 相切．
（Ⅰ）求动圆M 的圆⼼轨迹C 的⽅程；
（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A，B 两点，分别过点A，B 作曲线C 的切线l1，l2，两条切线相交
于点P，求△PAB 外接圆⾯积的最⼩值．
【分析】（Ⅰ）利⽤直接法，即可求动圆M 的圆⼼轨迹C 的⽅程；
（Ⅱ）证明△PAB 的外接圆的圆⼼为线段AB 的中点，线段AB 是直径．得到当k＝0 时线段AB 最短，最
短⻓度为4，此时圆的⾯积最⼩，最⼩⾯积为4π．
【解答】解：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d，依题意|MF|＝d．
设M（x，y），则有
＝|y+1|．
化简得x2＝4y．
所以点M 的轨迹C 的⽅程为x2＝4y．
（Ⅱ）设lAB：y＝kx+1，
代⼊x2＝4y 中，得x2﹣4kx﹣4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4．
所以
．
因为C：x2＝4y，即
，所以
．
所以直线l1的斜率为
，直线l2的斜率为
．
因为
，
所以PA⊥PB，即△PAB 为直⻆三⻆形．
所以△PAB 的外接圆的圆⼼为线段AB 的中点，线段AB 是直径．
因为|AB|＝4（k2+1），
所以当k＝0 时线段AB 最短，最短⻓度为4，此时圆的⾯积最⼩，最⼩⾯积为4π．
【点评】本题考查轨迹⽅程，考查直线与抛物线位置关系的运⽤，考查学⽣的计算能⼒，属于中档题．
3．已知椭圆
＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），A、C 是椭圆短
轴的两端点，过点E（3c，0）的直线AE 与椭圆相交于另⼀点B，且F1A∥F2B
（I ）求椭圆的离⼼率；
（II）设直线F2B 上有⼀点H（m，n）（m≠0）在△AF1C 的外接圆上，求
的值．
【分析】（Ⅰ）由已知可得|EF2|＝|F1F2|，且F1A∥F2B，得B 是A 和E 的中点，不妨设A（0，b），由E（3c，
0），求得B 的坐标，代⼊椭圆⽅程即可求得椭圆的离⼼率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a2＝3c2，b2＝a2﹣c2＝2c2，设椭圆⽅程为2x2+3y2＝6c2．分A（0，
）与A（0，﹣
）
两类可得
的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵|EF2|＝3c﹣c＝2c＝|F1F2|，且F1A∥F2B，
∴B 是A 和E 的中点，
不妨设A（0，b），由E（3c，0），
∴B（
），代⼊
得：
，
∴
，即椭圆的离⼼率e＝
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，得a2＝3c2，b2＝a2﹣c2＝2c2，
∴椭圆的⽅程可设为2x2+3y2＝6c2．
若A（0，
），则C（0，﹣
），
线段AF1 的垂直平分线l 的⽅程为y﹣
，
直线l 与x 轴的交点（
）是△AF1C 外接圆的圆⼼．
因此，外接圆的⽅程为
．
直线F2B 的⽅程为y＝
（x﹣c），于是点H（m，n）的坐标满⾜⽅程组：
，由m≠0，解得
．
故
；
若A（0，﹣
），则C（0，
），
同理可得
．
∴
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应⽤，考查逻辑思维能⼒与运算求解
能⼒，是中档题．
4．已知椭圆
（a＞b＞0）经过点
，且其离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若F 为椭圆C 的右焦点，椭圆C 与y 轴的正半轴相交于点B，经过点B 的直线与椭圆C 相交于另
⼀点A，且满⾜
，求△ABF 外接圆的⽅程．
【分析】（1）通过将点
代⼊椭圆C ⽅程以及
，计算即得结论；
（2）通过
计算可得A（0，﹣1）或
，分A 为（0，﹣1）、A 为
两种情况
讨论即可．
【解答】解：（1）∵椭圆C 经过点
，∴
，①
∵椭圆C 的离⼼率为
，∴
，即a2＝2b2②
联⽴①②解得：a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C 的⽅程为
；
（2）∵椭圆C 的⽅程为
，
∴F（1，0），B（0，1）．
设A（x0，y0），则
，③
∵
，且
，
∴x0﹣（y0﹣1）＝2，即y0＝x0﹣1，④
联⽴③④解得：
，或
，
∴A（0，﹣1），或
，
当A 为（0，﹣1）时，∵|OA|＝|OB|＝|OF|＝1，
∴△ABF 的外接圆是以O 为圆⼼，1 为半径的圆，
此时外接圆的⽅程为：x2+y2＝1；
当A 为
时，设△ABF 的外接圆⽅程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则
，解得
，
此时外接圆的⽅程为：
，
综上所述，△ABF 的外接圆的⽅程为：x2+y2＝1 或
．
【点评】本题是⼀道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆、圆的⽅程，考查运算求解能⼒，注意解题
⽅法的积累，属于中档题．
5．（本题⽂科学⽣做）如图，在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知F1（﹣4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y
＝t（0＜t＜8）与线段AF1、AF2分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t＝3 时，求以F1，F2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准⽅程；
（Ⅱ）过点Q 作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C．
①求证：圆⼼C 在定直线7x+4y+8＝0 上；
②圆C 是否恒过异于点F1的⼀个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的⽅程，根据当t＝3 时，PQ 中点为（0，3），所以b＝3，利⽤F1（﹣4，0），F2（4，
0），即可求得椭圆的标准⽅程；
（Ⅱ）①确定直线AF1：y＝2x+8；AF2：y＝﹣2x+8，求得P（
，t），Q（
，t），R（4﹣t，0），利⽤
待定系数法，设△PRF1的外接圆C 的⽅程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，进⽽可确定圆⼼坐标，即可证得结论；
②由①可得圆C 的⽅程，分离参数，分别令其为0，即可求得定点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的⽅程为
，当t＝3 时，PQ 中点为（0，3），所以b＝3
∵a2﹣b2＝16，∴a2＝25
∴椭圆的标准⽅程为
；
（Ⅱ）①证明：直线AF1：y＝2x+8；AF2：y＝﹣2x+8；
所以可得P（
，t），Q（
，t）
∵直线QR∥AF1交F1F2于点R，∴R（4﹣t，0）
设△PRF1的外接圆C 的⽅程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则
∴
∴圆⼼坐标为
∴圆⼼C 在定直线7x+4y+8＝0 上；
②由①可得圆C 的⽅程为：x2+y2+tx+（4﹣
）y+4t﹣16＝0
整理可得（x2+y2+4y﹣16）+t（x﹣y+4）＝0
∴x2+y2+4y﹣16＝0，且x﹣y+4＝0
联⽴此两⽅程解得x＝
，y＝
或x＝﹣4，y＝0
∴圆C 恒过异于点F1的⼀个定点，该点的坐标为（
，
）．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查椭圆的标准⽅程，考查圆的⽅程，考查恒过定点问题，解题的
关键是利⽤待定系数法，分离参数法，属于中档题．
6．已知点P 是抛物线C：y＝
﹣3 的顶点，A，B 是C 上的两个动点，且
•
＝﹣4．
（1）判断点D（0，﹣1）是否在直线AB 上？说明理由；
（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆⼼，求点M 的轨迹⽅程．
【分析】（1）由抛物线的⽅程可得顶点P 的坐标，设直线AB 的⽅程，与抛物线联⽴求出两根之和及两
根之积，求出数量积
•
，再由题意
•
＝﹣4 可得直线AB 恒过（0，﹣1），即得D 在直线AB 上；
（2）设A，B 的坐标，可得直线PA，PB 的斜率及线段PA，PB 的中点坐标，进⽽求出线段PA，PB 的
中垂线的⽅程，两个⽅程联⽴求出外接圆的圆⼼M 的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k 的表
达式，消参数可得M 的轨迹⽅程．
【解答】解：（1）由抛物线的⽅程可得顶点P（0，﹣3），由题意可得直线AB 的斜率存在，设直线AB
的⽅程为：y＝kx+4，设A（x1，y1），B（x2，y2）
联⽴直线与抛物线的⽅程：
，整理可得：x2﹣4kx﹣4（b+3）＝0，Δ＝16k2+16（3+b）＞0，即
k2+3+b＞0，
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4（b+3），y1y2＝k2x1x2+kb（x1+x2）+b2＝﹣4k2（b+3）+4k2b+b2＝b2﹣12k2，y1+y2＝k（x1+x2）
+2b＝4k2+2b，
因为
＝（x1，y1+3）（x2，y2+3）＝x1x2+y1y2+3（y1+y2）+9＝﹣4（b+3）+b2﹣12k2+3（4k2+2b）+9＝
b2+2b﹣3，
⽽
•
＝﹣4，所以b2+2b﹣3＝﹣4，解得b＝﹣1，m 满⾜判别式⼤于0，
即直线⽅程为y＝kx﹣1，所以恒过（0，﹣1）
可得点D（0，﹣1）在直线AB 上．
（2）因为点M 是△PAB 的外接圆的圆⼼，所以点M 是三⻆形PAB 三条边的中垂线的交点，
设线段PA 的中点为F，线段PB 的中点为E，
因为P（0，﹣3），设A（x1，y1），B（x2，y2）
所以F（
，
），E（
，
），kPA＝
，kPB＝
，
所以线段PA 的中垂线的⽅程为：y﹣
＝﹣
（x﹣
），
因为A 在抛物线上，所以y1+3＝
，
PA 的中垂线的⽅程为：y﹣
+3＝﹣
（x﹣
），即y＝﹣
x+
﹣1，
同理可得线段PB 的中垂线的⽅程为：y＝﹣
x+
﹣1，
联⽴两个⽅程
，解得
，
由（1）可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4（b+3）＝﹣8，
所以xM＝﹣
＝k，yM＝
＝
＝2k2，
即点M（k，2k2），所以xM2＝
，
即点M 的轨迹⽅程为：x2＝y．
【点评】本题考查求直线恒过定点的⽅程及直三⻆形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应⽤，属于中
难题．
7．已知直线l：y＝x+m 交抛物线C：y2＝4x 于A，B 两点．
（1）设直线l 与x 轴的交点为T．若
＝2
，求实数m 的值；
（2）若点M，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A，B，M，N 四点共圆．
【分析】先利⽤直线y＝x+m 与抛物线⽅程，写出⻙达定理，（1）然后根据已知向量关系以及⻙达定理
即可求解；（2）设出点M，N 的坐标，根据点关于直线对称的性质建⽴⽅程关系，然后求出向量MA，
MB 的数量积化简为0，得出MA 与MB 垂直，同理得出NA 与NB 垂直，进⽽可以证明．
【解答】解：由
，得y2﹣4y+4m＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝4m，
因为直线l 与C 相交，所以Δ＝16﹣16m＞0，得m＜1，
（1）由
＝2
，得y1+2y2＝0，
所以4+y2＝0，解得y2＝﹣4，从⽽y1＝8，
因为y1y2＝4m，所以4m＝﹣32，解得m＝﹣8；
（2）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4），
因为M，N 两点关于直线y＝x+m 对称，
则
＝﹣1，解得y4＝﹣4﹣y3，
⼜
+m，
于是
，解得x4＝﹣4﹣2m﹣x3，
⼜点N 在抛物线上，于是（﹣4﹣y3）2＝4（﹣4﹣2m﹣x3），
因为y32＝4x3，所以y32+4y3+16+4m＝0，
于是
+（y1﹣y3）（y2﹣y3）
＝（
）（
）+（y1﹣y3）（y2﹣y3）
＝
＝
＝
＝0，
所以MA⊥MB，同理，NA⊥NB，
于是点M，N 在以AB 为直径的圆上，即A，B，M，N 四点共圆．
【点评】本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系的应⽤，涉及到向量的运算性质以及证
明四点共圆的问题，考查了学⽣的运算推理能⼒，属于中档题．
8．已知椭圆
上三点A、M、B 与原点O 构成⼀个平⾏四边形AMBO．
（1）若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标；
（2）若A、M、B、O 四点共圆，求直线AB 的斜率．
【分析】（1）由椭圆的⽅程可得B 的坐标，设A，M 的坐标，由平⾏四边形AMBO，可得A，M 的坐标
的关系，再由A，M 在椭圆上，求出M 的坐标；
（2）设直线AB 的⽅程，与椭圆联⽴求出两根之和及两根之积，再由平⾏四边形AMBO，可得线段AB
的中点与线段OM 的中点相同可得M 的坐标，将M 的坐标代⼊椭圆的⽅程可得参数的关系，再由A、
M、B、O 四点共圆可得OA 垂直于OB，即
＝0，可得参数的关系，进⽽求出直线AB 的斜率．
【解答】解：（1）因为平⾏四边形AMBO，所以AM∥OB，AM＝OB，
设A（x1，y1），则M（x2，y1），由椭圆⽅程
及题意可得B（﹣2，0），
所以
＝
，
＝
，所以可得：x1﹣x2＝2，所以x1﹣2＝x2，
⼜因为M，A 在椭圆上，所以
解得：x1＝1，y1＝
，
所以x2＝﹣1，y1＝
，
所以M（﹣1，±
）；
（2）设直线AB 的⽅程为：y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）
联⽴直线与椭圆的⽅程：
整理可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
则Δ＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，
即m2＜1+4k2，x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝
+2m＝
，
因为平⾏四边形AMBO，所以AB 的中点与OM 的中点相同，
所以M（
，
），⽽M 在椭圆上，
所以
，整理可得：4m2＝4k2+1
①
⼜因为平⾏四边形AMBO 四点共圆，所以OA⊥OB，即
＝0，
所以x1x2+y1y2＝0，⽽y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝
+km•（﹣
）+m2＝
，
所以
+
＝0，可得：5m2＝4k2+4②，
由①②可得：5（1+4k2）＝4（4k2+4）解得：k2＝
，这时m2＝3，符合判别式⼤于0，
所以k＝
即直线AB 的斜率为
．
【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，及四点共圆的性质，属于中档题．
9．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0）上的点（，a）到其焦点的距离为1．
（Ⅰ）求p 和a 的值；
（Ⅱ）若直线l：y＝x+m 交抛物线P 于两点A、B，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于两点C、D，求
证：A、B、C、D 四点共圆．
【分析】（Ⅰ）由已知结合抛物线焦半径公式求得p，得到抛物线⽅程，再由点（，a）在抛物线上列式
求得a 值；
（Ⅱ）联⽴直线l 与抛物线⽅程，求出AB 的⻓度及AB 的中点坐标，再写出CD 所在直线⽅程，与抛物
线⽅程联⽴，求出CD ⻓度与CD 的中点坐标，证明|AN|＝|CD|，可得点A 在以CD 为直径的圆上，同
理点B 在以CD 为直径的圆上，即可证明A、B、C、D 四点共圆．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为x＝﹣，
∵点（，a）到其焦点的距离为1，∴
，即p＝，
∴抛物线⽅程为y2＝x，
⼜点（，a）在抛物线上，∴
，即a＝
；
证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联⽴
，得y2﹣y+m＝0，
则y1+y2＝1，y1y2＝m，且1﹣4m＞0，即m＜，
则|AB|＝
＝
＝
，
且线段AB 中点的纵坐标为
，则x＝
，
∴线段AB 的中点M（
，），
∵直线CD 为线段AB 的垂直平分线，直线CD 的⽅程为y＝﹣x+1﹣m，
联⽴
，得y2+y+m﹣1＝0．
设C（x3，y3），D（x4，y4），
则y3+y4＝﹣1，y3y4＝m﹣1，
故|CD|＝
•|y3﹣y4|＝
＝
．
线段CD 的中点为N（
，﹣），
∵
，
＝
，
∴|AN|＝|CD|，
∴点A 在以CD 为直径的圆上，同理点B 在以CD 为直径的圆上，
故A、B、C、D 四点共圆．
【点评】本题考查抛物线⽅程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应⽤，考查化归与转化思想，考查
运算求解能⼒，是中档题．
10．已知直线l1：3x﹣y﹣6＝0 与x 轴，y 轴分别交于A，B，线段AB 的中垂线l2与抛物线E：y2＝2px（p＞
0）有两个不同的交点C，D．
（1）求p 的取值范围；
（2）是否存在p，使得A，B，C，D 四点共圆，若存在，请求出p 的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）易得线段AB 的中垂线l2：x+3y+8＝0，联⽴
，Δ＝36p2﹣4×16p＞0，就看到p 的
取值范围．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD 的中点为M（x0，y0），CD＝
＝2
．由MA＝
，解得p＝5．即可．
【解答】解：（1）因为直线l1：3x﹣y﹣6＝0 与x 轴，y 轴分别交于A，B，所以A（2，0），B（0，﹣6），
可得线段AB 的中点为（1，﹣3），kAB＝3．
∴线段AB 的中垂线l2：x+3y+8＝0，
联⽴
，⇒y2+6py+16p＝0．
Δ＝36p2﹣4×16p＞0，∴
．
p 的取值范围（
，+∞）．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），线段CD 的中点为M（x0，y0），
则
.
．
CD＝
＝2
．
若A，B，C，D 四点共圆，则MA＝
，即MA
．
∴
．
∴（9p﹣10）2+9p2＝90p2﹣160p，解得p＝5．
p＝5 满⾜
，
∴存在p＝5，使得A，B，C，D 四点共圆．
【点评】本题考查了抛物线、圆的性质，考查了⻙达定理、转化思想，属于中档题．
11．已知斜率为k 的直线交椭圆3x2+y2＝λ（λ＞0）于A，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C，D 两点，
点N（1，y0）是线段AB 的中点．
（1）若y0＝3，求直线AB 的⽅程以及λ的取值范围；
（2）不管λ怎么变化，都有A，B，C，D 四点共圆，求y0的取值范围．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当y0＝3 时，直线AB 的⽅程为y＝k（x﹣1）+3，将AB ⽅程代
⼊3x2+y2＝λ求出直线的斜率k＝﹣1，得到AB 的⽅程为x+y﹣4＝0 然后求解λ的范围即可．
（2）设直线AB 的⽅程为y＝k（x﹣1）+y0，将⽅程代⼊3x2+y2＝λ通过弦⻓公式，点到直线的距离，利
⽤四点共圆的条件，推出y0的取值范围即可．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当y0＝3 时，直线AB 的⽅程为y＝k（x﹣1）+3，
将AB ⽅程代⼊3x2+y2＝λ得：（3+k2）x2+2k（3﹣k）x+（3﹣k）2﹣λ＝0．①
由
，解得k＝﹣1，此时AB 的⽅程为x+y﹣4＝0．………………………（2 分）
将k＝﹣1 代⼊①，得4x2﹣8x+16﹣λ＝0．
由Δ＝64﹣16（16﹣λ）＞0，解得λ＞12．…………………………………………（4 分）
（2）设直线AB 的⽅程为y＝k（x﹣1）+y0，
将⽅程代⼊3x2+y2＝λ得：
．②
由题意
，即﹣ky0＝3．……………………………………………………（5 分）
，
，……（7 分）
所以CD 中点P 的横坐标
，
点P 到AB 的距离d 为
，…………………………（9 分）
由A，B，C，D 四点共圆
，
即
，③
不管λ怎么变化，都有A，B，C，D 四点共圆，即上式恒成⽴，所以
，解得k2＝1，
此时③式成⽴．代⼊②，由Δ＞0 得此时λ＞12．
所以y0的取值范围为{﹣3，3}．………………………………（12 分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，考查学⽣分析问题解决问题的能⼒的数学素养，
是难题．
12．已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx 与椭圆交于A，
B 两点．
（Ⅰ）若△AF1F2的周⻓为16，求椭圆的标准⽅程；
（Ⅱ）若
，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离⼼率e 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P（x0，y0）为椭圆上⼀点，且直线PA 的斜率k1∈（﹣2，﹣1），试求直线
PB 的斜率k2的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意得c＝3，2a+2c＝16，由此能求出椭圆的⽅程．
（Ⅱ）由
，得
．由此利⽤⻙达定理、AB、EF 互相平分且共圆，
向量的数量积，结合已知条件能求出离⼼率．
（Ⅲ）由椭圆⽅程为
，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），求出
，由此能求出
直线PB 的斜率k2的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx
与椭圆交于A，B 两点．
∴由题意得c＝3，…（1 分）根据2a+2c＝16，得a＝5．
…（2 分）
结合a2＝b2+c2，解得a2＝25，b2＝16．…（3 分）
∴椭圆的⽅程为
．
…（4 分）
（Ⅱ）（解法⼀）由
，得
．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则
，…（6 分）
由AB、EF 互相平分且共圆，∴AF2⊥BF2，
∵
，
，
∴
．
即x1x2＝﹣8，∴
，
结合b2+9＝a2．解得a2＝12，∴离⼼率
．…（8 分）
（若设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1）相应给分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）结论，椭圆⽅程为
，…（9 分）
由题可设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），
，
∴
，…（10 分）
⼜
，即
，
由﹣2＜k1＜﹣1 可知，
．…（12 分）
【点评】本题考查椭圆的标准⽅程的求法，考查椭圆的离⼼率和直线的斜率的取值范围的求法，是中档
题，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的相交综合问题的合理运⽤．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2024/5/2020:15:50；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
圆锥曲线篇—题型36～题型38 答案
⼀．解答题（共15 ⼩题）
1．已知椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的⼀个顶点为A（0，1），焦距为2
．
（Ⅰ）求椭圆E 的⽅程；
（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与x 轴交
于点M，N．当|MN|＝2 时，求k 的值．
【分析】（Ⅰ）利⽤已知和a，b，c 的关系，可得a，b，进⽽得到椭圆⽅程．
（Ⅱ）联⽴直线与椭圆⽅程，再利⽤⻙达定理求出x1+x2，x1•x2，再表示出|MN|，化简即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，
，∴b＝1，c＝
，a＝2，
∴椭圆E 的⽅程为
+y2＝1．
（Ⅱ）设过点P（﹣2，1）的直线为y﹣1＝k（x+2），B（x1，y1），C（x2，y2），
联⽴得
，即（1+4k2）x2+（16k2+8k）x+16k2+16k＝0，
∵直线与椭圆相交，∴Δ＝[（16k2+8k）]2﹣4（1+4k2）（16k2+16k）＞0，∴k＜0，
由⻙达定理得x1+x2＝﹣
，x1•x2＝
，
∵kAB＝
，∴直线AB 为y＝
x+1，
令y＝0，则x＝
，∴M（
，0），同理N（
，0），
∴|MN|＝|
﹣
|＝|
﹣
|＝|
（
﹣
）|
＝|
•
|＝|
•
|
＝|
|＝2，
∴|
•
|＝2，∴|
|＝，
∴k＝﹣4．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联⽴法和⻙达定理、⽅程思想和运算能⼒，是⼀道综合
题．
2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），O 为坐标原点，A、B 是抛物线C 上异于O 的两点．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）若OA⊥OB，求证直线AB 过定点．
【分析】（1）由抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），求出p，即可求抛物线C 的⽅程；
（2）设AB：x＝ty+m，与抛物线⽅程联⽴，利⽤OA⊥OB，求出m，即可证明直线AB 过定点．
【解答】（1）解：依题意知
，p＝2，抛物线⽅程为y2＝4x．…4'
（2）证明：依题意知，设AB：x＝ty+m，A（x1，y1），B（x2y2）…5'
由OA⊥OB，则
…6'
，…7'
∴
…8'
代⼊（1）式，得m2﹣4m＝0，∴m＝0 或4．…9'
∵A，B 是抛物线上异于O 的两点，∴m＝0 不合题意．
因此m＝4．∴AB：x＝ty+4，∴直线AB 过定点（4，0）．…10'
【点评】本题考查抛物线的⽅程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查⻙达定理的运⽤，正确运
⽤⻙达定理是关键．
3．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）过点（
，），且离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）已知点A 的坐标是（2，1），M，N 是椭圆C 上的两点，满⾜AM⊥AN，证明：直线MN 过定点．
【分析】（1）根据题意，建⽴关于a，b，c 的⽅程组，解出即可得到椭圆的标准⽅程；
（2）分斜率存在及斜率不存在讨论，当斜率存在时，设出直线⽅程，并与椭圆⽅程联⽴，应⽤⻙达定
理求出两根之和及两根之积，再根据AM⊥AN 化简整理即可得出结论；当斜率不存在时，设其⽅程为x
＝t，根据题意建⽴关于t 的⽅程，解出即可；综合即可得证．
【解答】解：（1）∵椭圆C 过点（
，），且离⼼率为
，
∴
，解得
，
∴椭圆C 的标准⽅程为
；
（2）证明：①当直线MN 的斜率存在时，设其⽅程为y＝kx+m，
联⽴
，消去y 得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
由Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，解得m2＜6k2+3，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
，
∵AM⊥AN，
∴
，即（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，
化简可得
，
∴
，
进⼀步化简可得4k2+8km+（3m2﹣2m﹣1）＝（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，
∴m＝1﹣2k 或
，
当m＝1﹣2k 时，y＝kx﹣2k+1，过定点A（2，1），不符合题意，舍去；
当
时，
，过定点
；
②当直线MN 的斜率不存在时，设其⽅程为x＝t，并设M（t，s），N（t，﹣s），且
，
∵AM⊥AN，
∴
，解得
或t＝2（舍去），
显然直线MN 过定点
；
综上，直线MN 过定点
．
【点评】本题考查椭圆标准⽅程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查定点问题，考查运算求解能
⼒及分类讨论思想，属于中档题．
4．已知椭圆C：
＝1（a＞0，b＞0），离⼼率为
，且椭圆C 经过点P（0，1）．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A，B 两点．若直线PA 与直线PB 的斜率的和为﹣1，试问：
直线l 是否经过定点，若经过求出该定点的坐标，若不经过请说明理由．
【分析】（1）根据椭圆过点（0，1）即可求得b＝1，再由离⼼率可求得a＝2，从⽽可得椭圆的标准⽅程；
（2）当斜率不存在时，不满⾜；当斜率存在时，设l：y＝kx+m（m≠1），与椭圆⽅程联⽴，得（1+4k2）
x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由此利⽤根的判别式、根与系数的关系、直线⽅程，结合已知条件即可证明直线l
过定点（2，﹣1）．
【解答】解：（1）由椭圆C 经过点P（0，1）．可得b＝1，
因为e＝＝
＝
，所以a2＝4；
所以椭圆C 的⽅程为
+y2＝1．
（2）当直线l 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知kPB+kPB＝0，不满⾜题意；
当直线l 斜率存在时，设l：y＝kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
整理，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
所以x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
Δ＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0⇒4k2+1﹣m2＞0．
kPB+kPB＝
+
＝
＝﹣1，
⇒2×
＝﹣1，
⼜m≠1，所以m＝﹣2k﹣1，此时Δ＝﹣4k，存在k，使得Δ＞0 成⽴，
所以直线l 的⽅程为y＝kx﹣2k﹣1，
当x＝2 时，y＝﹣1，
所以直线ll 过定点（2，﹣1）．
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，考查直线与椭圆的综合，考查推理论证能⼒、运算求解能⼒，属于
中档题．
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，离⼼率为
，M 是椭圆上的动
点，△MF1F2的最⼤⾯积为1．
（1）求椭圆Γ的⽅程；
（2）求证：过椭圆
上的⼀点T（x0，y0）的切线⽅程为
；
（3）设点P 是直线l：x＝2 上的⼀个动点，过P 作椭圆Γ的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 是
否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．
【分析】（1）yM≤b 利⽤三⻆形的最值，求出ab＝1，结合离⼼率求解a，b，得到椭圆⽅程．
（2）（⽅法⼀）：由
得
（*）通过点（x0，y0）在
椭圆上，推出x＝x0.说明直线和椭圆仅有⼀个公共点，推出结果．
（⽅法⼆）：由
，推出
（*），
点（x0，y0）在椭圆上转化求解x＝x0.说明l 为椭圆的公切线．
（⽅法三）由
，得
（*），点
（x0，y0）在椭圆上，通过Δ＝0，说明⽅程组仅有⼀解．则直线和椭圆仅有⼀个公共点．推出l 为椭圆的
公切线．
（⽅法四）：由
得
（*），点（x0，y0）在椭圆上
推出判别式为0，说明⽅程组仅有⼀解．则直线和椭圆仅有⼀个公共点，l 为椭圆的公切线．
（3）解法⼀：设P（2，t），切点A（x1，y1），B（x2，y2），切线PA，PB 的⽅程分别为
，
，P 在切线上，说明（x1，y1），（x2，y2）都满⾜x+ty＝1，即可得到直线AB 过定点（1，
0）．解法⼆：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），切线PA，PB 的⽅程分别为
，
，
P 在切线上，说明x1+ty1＝1，x2+ty2＝1，直线AB 过定点F（1，0），然后利⽤直线的斜率相等，证明即
可．
【解答】（1）解：∵yM≤b，∴
，
即|yM|＝b 时，
，（1 分）
∵
，∴
，（3 分）
∴椭圆Γ的⽅程为
．（4 分）
（2）证明：
（⽅法⼀）：由
得
（*）（6 分）
∵点（x0，y0）在椭圆上，
∴
，
∴
∴
∴
，
得x＝x0.则直线和椭圆仅有⼀个公共点，
∴l 为椭圆的公切线．（8 分）
（⽅法⼆）：由
得
（*）（6 分）
∵点（x0，y0）在椭圆上，∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，得x＝x0．
则直线和椭圆仅有⼀个公共点∴l 为椭圆的公切线．（8 分）
（⽅法三）由
，
得
（*）（6 分）
∵点（x0，y0）在椭圆上，∴
，
∴
，
∴（*）可化为：
，
∵a2b2≠0，Δ＝
，
∴⽅程组仅有⼀解．则直线和椭圆仅有⼀个公共点．
∴l 为椭圆的公切线（8 分）
（⽅法四）：由
得
（*）（6 分）
∵点（x0，y0）在椭圆上，∴
，∴
，
∴
，
∴
，
∴⽅程组仅有⼀解．则直线和椭圆仅有⼀个公共点．
∴l 为椭圆的公切线（8 分）
（3）解法⼀：设P（2，t），切点A（x1，y1），B（x2，y2），
则切线PA，PB 的⽅程分别为
，
（9 分）
∵P 在切线上∴x1+ty1＝1，x2+ty2＝1，
∴（x1，y1），（x2，y2）都满⾜x+ty＝1，
直线AB 的⽅程为：x+ty＝1（11 分），
∴直线AB 过定点（1，0）（12 分）
解法⼆：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则
切线PA，PB 的⽅程分别为
，
（9 分）
∵P 在切线上∴x1+ty1＝1，x2+ty2＝1，
直线AB 过定点F（1，0），（10 分）
证明如下：∵
，
（11 分）
∴kAF＝kBF，
∴A，F，B 三点共线，
故直线过定点F．（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，考查转化思想以及计算能⼒，
是中档题．
6．已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x＝﹣1．
（1）若曲线C 上存在⼀点Q，它到l 的距离与到坐标原点的距离相等，求Q 的坐标；
（2）过直线l 上任⼀点P 作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB 过定点．
【分析】（1）设Q（x，y），则（x+1）2＝x2+y2，即y2＝2x+1，与抛物线⽅程联⽴，得Q 的坐标；
（2）先通过特例求出定点，再证明⼀般性结论．
【解答】（1）解：设Q（x，y），则（x+1）2＝x2+y2，即y2＝2x+1，
与抛物线⽅程联⽴，得Q（，
）；
（2）证明：设直线⽅程为y﹣t＝k（x+1）（k≠0），代⼊抛物线⽅程整理得ky2﹣4y+4t+4k＝0，
Δ＝0，可得k2+kt﹣1＝0．
特别地，t＝0，k＝±1，这时切点为A（1，2），B（1，﹣2），AB 过定点F（1，0）．
⼀般地，k1+k2＝﹣t，k1k2＝﹣1，切点为A（
，
），B（
，
），
∴
＝（
﹣1，
），
＝（
﹣1，
），
∴（
﹣1）
﹣＝
﹣1）
）＝0，
∴
∥
，
∴AB 过点F（1，0），
综上所述，直线AB 过点F（1，0）．
【点评】本题考查轨迹⽅程，考查直线过定点，考查学⽣分析解决问题的能⼒，属于中档题．
7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的⼀点
到它的焦点的距离为
．
（1）求p 的值．
（2）过点N（﹣2，t）（t∈R）作曲线C 的切线，切点分别为P，Q．求证：直线PQ 过定点．
【分析】（1）曲线C 上点M 到焦点的距离等于它到准线的距离．求解p 即可．
（2）设过N 的直线：y﹣t＝k（x+2），代⼊y2＝4x 得，ky2﹣4y+4t+8k＝0．与曲线C 相切，则
得
2k2+tk﹣1＝0．设NP，NQ 的斜率分别为k1，k2，则
．然后求解QP ⽅程说明直线PQ 过定点
（2，0）．即可得证．
【解答】解：（1）曲线C 上点M 到焦点的距离等于它到准线的距离．
∴
，∴
，∴p＝2．
（2）证明：依题意，过点N 的抛物线切线的斜率存在，
故可设过N 的直线：y﹣t＝k（x+2），代⼊y2＝4x 得，ky2﹣4y+4t+8k＝0．
与曲线C 相切，则
得2k2+tk﹣1＝0．
设NP，NQ 的斜率分别为k1，k2，则
．
且
，
．
当|k1|≠|k2|时，直线PQ 的⽅程：
．
即：
．＝
．
即
：
．
＝
．
＝
．＝
．
∴直线PQ 过定点（2，0）．
当|k1|＝|k2|时，即
，
则PQ 所在的直线为x＝2．过点（2，0），
综上可得，直线PQ 过定点（2，0）．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应⽤，考查转化思想以及计算能⼒，是中档题．
8．已知动圆M 过定点F（0，﹣1），且与直线y＝1 相切，圆⼼M 的轨迹为曲线C，设P 为直线l：x﹣y+2
＝0 上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA，PB，其中A，B 为切点．
（Ⅰ）求曲线C 的⽅程；
（Ⅱ）当点P（x0，y0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的⽅程；
（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最⼩值．
【分析】（Ⅰ）先设M（x，y），由两点间的距离公式可得轨迹C 的⽅程；
（Ⅱ）求出切线PA，PB 的⽅程，利⽤切线PA，PB 均过P（x0，y0），可得A，B 的坐标是⽅程x0x+2y+2y0
＝0 的两组解，从⽽可求直线AB 的⽅程；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|＝1﹣y1，|BF|＝1﹣y2，表示出|AF|•|BF|，利⽤配⽅法可求|AF|•|BF|的最⼩值．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则
，
化简得：x2＝﹣4y，
∴曲线C 的⽅程为x2＝﹣4y；
（Ⅱ）抛物线⽅程可化为
，求导得
，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA，PB 的
斜率分别为
，
，
∴PA 的⽅程为
，即x1x+2y+2y1＝0．
同理PB 的⽅程为x2x+2y+2y2＝0，
∵切线PA，PB 均过P（x0，y0），
∴x1x0+2y0+2y1＝0，x2x0+2y0+2y2＝0．
∴（x1，y1），（x2，y2）为⽅程x0x+2y+2y0＝0 的两组解，
∴直线AB 的⽅程为x0x+2y+2y0＝0；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|＝1﹣y1，|BF|＝1﹣y2，
∴|AF|•|BF|＝（1﹣y1）（1﹣y2）＝1﹣（y1+y2）+y1y2．
由
，整理得：
，
∴
．
∴|AF|•|BF|＝
．
∵点P 在直线l 上，
∴x0＝y0﹣2．
∴|AF|•|BF|＝
＝
．
∴当
时，|AF|•|BF|取得最⼩值，最⼩值为
．
【点评】本题考查轨迹⽅程，考查抛物线的切线⽅程，考查⻙达定理的运⽤，考查学⽣的计算能⼒，属
于难题．
9．已知点A（0，﹣1），B（0，1），动点P 满⾜|
||
|＝
•
．记点P 的轨迹为曲线C．
（1）求C 的⽅程；
（2）设D 为直线y＝﹣2 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF 过定点．
【分析】（1）设P（x，y），利⽤
，求出动点的轨迹⽅程；
（2）设D（t，﹣2），E（x1，y1），F（x2，y2），利⽤直线与圆锥曲线相切，得到直线EF 的⽅程，再确定
定点即可．
【解答】解：（1）设P（x，y），则
＝（﹣x，﹣1﹣y），
＝（﹣x，1﹣y）
＝（0，2），
＝（0，﹣2），
所以
，所以
化简得x2＝4y，所以C 的⽅程为x2＝4y．
（2）由题意可设D（t，﹣2），E（x1，y1），F（x2，y2），
由题意知切线DE，DF 的斜率都存在，
由x2＝4y，得
，则
，所以
，
直线DE 的⽅程为
，即
，①
因为E（x1，y1）在x2＝4y 上，所以
，即
，②
将②代⼊①得x1x﹣2y1﹣2y＝0，
所以直线DE 的⽅程为x1x﹣2y1﹣2y＝0，
同理可得直线DF 的⽅程为x2x﹣2y2﹣2y＝0，
因为D（t，﹣2）在直线DE 上，所以tx1﹣2y1+4＝0，
⼜D（t，﹣2）在直线DF 上，所以tx2﹣2y2+4＝0，
所以直线EF 的⽅程为tx﹣2y+4＝0，
故直线EF 过定点（0，2）．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查转化思想，属于中档题．
10．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F 与双曲线
的⼀个焦点重合，D 为直线y＝﹣2 上的
动点，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）证明直线AB 过定点．
【分析】（1）求得双曲线的焦点可得F 的坐标，由抛物线的焦点，解⽅程可得p，即可得到抛物线的⽅
程；
（2）设D（x0，﹣2），设切线⽅程为y+2＝k（x﹣x0），与抛物线的⽅程联⽴，运⽤相切的条件：判别式
为0，设两条切线的斜率分别为k1，k2，运⽤⻙达定理和直线的斜率公式，可得直线AB 的斜率，以及⽅
程，再由直线恒过定点的求法，可得所求定点．
【解答】解：（1）由题意可得双曲线
的焦点为（0，﹣2），（0，2），
即有抛物线的焦点F（0，2），
则
，
所以抛物线C 的⽅程为：x2＝8y；
（2）证明：设D（x0，﹣2），设切线⽅程为y+2＝k（x﹣x0），联⽴x2＝8y 得：x2﹣8kx+8kx0+16＝0……①，
由
．
设两条切线的斜率分别为k1，k2，则
，k1•k2＝﹣1，
由①知等根为x＝4k，故设
，
，则
，
所以直线AB 的⽅程为：
，
化简得
．
所以直线AB 过定点（0，2）．
【点评】本题考查抛物线的⽅程和运⽤，考查直线和抛物线的位置关系：相切，考查⽅程思想和化简运
算能⼒，属于中档题．
11．已知椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率是
，A1、A2分别为椭圆E 的左、右顶点，B 为上顶
点，△A1BA2的⾯积为2．直线l 过点D（1，0）且与椭圆E 交于P，Q 两点．
（1）求椭圆E 的标准⽅程；
（2）求△OPQ ⾯积的最⼤值；
（3）设直线A1P 与直线QA2交于点N，证明：点N 在定直线上，并写出该直线⽅程．
【分析】（1）根据离⼼率和三⻆形的⾯积即可求出a＝2，b＝1，
（2）分两种情况，当PQ 斜率不存在时，S△OPQ＝
，当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的⽅程为y＝k
（x﹣1），k≠0，由此利⽤根的判别式、⻙达定理、弦⻓公式、，函数的性质，结合已知条件能求出△OPQ
的⾯积的最⼤值．
（3）分两种情况，PQ 斜率不存在时，易知N（4，
），当直线PQ 的斜率存在时，直线A1P 的⽅程为
y＝
（x+2），直线A2Q 的⽅程为y＝
（x﹣2），即可整理化简可得
＝，解得即可．
【解答】解：由题意知e＝＝
＝
，
∴
＝，即a＝2b，
∵△A1BA2的⾯积为2，
∴ab＝2，
解得a＝2，b＝1，
∴椭圆E 的标准⽅程为
+y2＝1，
（2）PQ 斜率不存在时，易知P（1，
），Q（1，﹣
），此时S△OPQ＝
，
当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的⽅程为y＝k（x﹣1），k≠0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
将y＝k（x﹣1）代⼊
+y2＝1，整理可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
∴x1+x2＝
，x1x2＝
，
∴|x1﹣x2|＝
＝
，
∴S△OPQ＝×1×|y1﹣y2|＝
•|x1﹣x2|＝
，
令1+4k2＝t，t＞1，
∴S△OPQ＝
＝
＜
，
故△OPQ ⾯积的最⼤值
证明（3）PQ 斜率不存在时，易知N（4，
），
当直线PQ 的斜率存在时，直线A1P 的⽅程为y＝
（x+2），直线A2Q 的⽅程为y＝
（x﹣2），
∴
（x+2）＝
（x﹣2），
∴
＝
＝
＝
＝
＝，
解得x＝4，即N 点的横坐标为4，
综上所述，点N 在定直线x＝4 上．
【点评】本题考查椭圆性质、根的判别式、⻙达定理、弦⻓公式、考查考查推理论证能⼒、数据处理能
⼒、运算求解能⼒，考查函数与⽅程思想、化归与转化思想，属于中档题．
12．已知A，B 分别为椭圆
的左、右顶点，E 为椭圆C 的上顶点，F 为椭圆C
的右焦点，E 与F 关于直线y＝x 对称，△AEF 的⾯积为
，过
的直线交椭圆C 于两点
M，N（异于A，B 两点）．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）证明：直线AM 与BN 的交点P 在⼀条定直线上．
【分析】（1）利⽤已知条件推出，b＝c，结合三⻆形的⾯积，转化求解a，b，得到椭圆⽅程．
（2）设直线x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2）由
得（t2+2）y2+2ty﹣3＝0，利⽤⻙达定理，
结合椭圆的对称性可知，交点必在⼀条垂直于x 轴的直线上，求解直线AM，直线BN，然后证明求解即
可．
【解答】（1）解：E 为椭圆C 的上顶点，F 为椭圆C 的右焦点，E 与F 关于直线y＝x 对称，
可得b＝c，△AEF 的⾯积为
，可得
（2 分）
得
，（4 分）
椭圆C 的⽅程为
．（5 分）
（2）证明：由题可知，直线MN 与x 轴不重合，设为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2）（6 分）
由
，得（t2+2）y2+2ty﹣3＝0，
∴
，
，（7 分）
由椭圆的对称性可知，交点必在⼀条垂直于x 轴的直线上，（8 分）
直线
，即
，①（9 分）
直线
，即
，②（10 分）
联⽴①②得：
，（11 分）
直线AM 与BN 的交点P 在定直线x＝4 上．
（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，考查转化思想以及计算能⼒，
是难题．
13．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，左右顶点分别是A1、A2，离⼼率是
，过F2的直线与椭圆交于两点P、Q（不是左、右顶点），且△F1PQ 的周⻓是4
，直线A1P ⻢A2Q
交于点M．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）①求证直线A1P 与A2Q 的交点M 在⼀条定直线l 上；②N 是定直线l 上的⼀点，且PN 平⾏于x 轴，
证明：
是定值．
【分析】（1）根据椭圆的焦点三⻆形周⻓求出a，再由离⼼率求出c，进⽽求出b 值，可得椭圆的标准⽅
程；
（2）①直线PQ 的⽅程是：x＝my+1，代⼊椭圆的⽅程
结合⻙达定理，可得：y1+y2，y1y2，y2
﹣y1的值，进⽽联⽴A1P 和A2Q 的⽅程，求出交点的横坐标，可得：直线A1P 与A2Q 的交点M 在⼀条
定直线l：x＝2 上；
②根据椭圆的定义，结合直线l：x＝2 为椭圆的右准线，可得
是定值e．
【解答】解：（1）∵△F1PQ 的周⻓是4
，
∴4a＝4
，即a＝
，
⼜由离⼼率是e＝＝
，故c＝1，
故b2＝a2﹣c2＝1，
故椭圆的⽅程为
证明：（2）①由（1）知A1、A2的坐标为（
，0），
设直线PQ 的⽅程是：x＝my+1，
代⼊椭圆的⽅程
并整理得：
（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
记P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2＝
，y1y2＝
，
则y2﹣y1＝
，
A1P 的⽅程为：y＝
…①，A2Q 的⽅程：y＝
…②，
联⽴两⽅程得：x＝
＝
•
＝
•
＝2，
故直线A1P 与A2Q 的交点M 在⼀条定直线l：x＝2 上；
②由直线l：x＝2 为椭圆
的右准线，
F2为椭圆
的右顶点，
故
＝e＝
【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准⽅程，直线的交点坐标，椭圆的定义，是直
线与圆锥曲线的综合应⽤，难度较⼤，属于难题．
14．已知A1、A2分别是离⼼率
的椭圆
的左右顶点，P 是椭圆E 的上顶
点，且
．
（1）求椭圆E 的⽅程；
（2）若动直线l 过点（0，﹣4），且与椭圆E 交于A、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线
AM 恒过定点．
【分析】（1）根据
＝﹣c2＝﹣1，解出c＝1．结合离⼼率e，可得a，进⽽求得b 即可；
（2）设直线y＝kx﹣4，与椭圆⽅程联⽴，可得
，
．进⽽表示出直线AM
的⽅程为
，可得其过定点．
【解答】解：（1）由题意得A1（﹣a，0），A2（a，0），P（0，b），
则
，所以c＝1，
⼜
，所以
，b＝1，所以椭圆E 的⽅程为
．
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l：y＝kx﹣4，A（x1，y1），B（x2，y2），则M（﹣x2，y2），
由
，消去y 得（1+2k2）x2﹣16kx+30＝0．由Δ＝（﹣16k）2﹣120（1+2k2）＞0，
得
，所以
，
．
，
直线AM 的⽅程为
，
即
＝
，
因为
，
，所以
，
直线AM 的⽅程为可化为
，则直线AM 恒过定点
．
当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点
，综上知直线AM 恒过定点
．
【点评】本题考查椭圆⽅程的求解，考查直线恒过定点问题，联⽴⽅程，利⽤根与系数关系是关键，属
于中档偏难题．
15．已知椭圆W：
的⻓轴⻓为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆
W 相交于不同的两点C，D（不与点A，B 重合）．
（Ⅰ）求椭圆W 的⽅程及离⼼率；
（Ⅱ）求四边形ACBD ⾯积的最⼤值；
（Ⅲ）若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于⼀条定直线上？若是，写出该直线的⽅程．
（结
论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）由题意可知：m＝1，可得椭圆⽅程，根据离⼼率公式即可求出
（Ⅱ）设直线CD 的⽅程，代⼊椭圆⽅程，根据⻙达定理，由SACBD＝S△ACB+S△ADB，换元，根据函数的单
调性即可求得四边形ACBD ⾯积的最⼤值．
（Ⅲ）点M 在⼀条定直线上，且该直线的⽅程为x＝4
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得a2＝4m＝4，解得m＝1．
所以椭圆W ⽅程为
．
故a＝2，b＝1，
．
所以椭圆W 的离⼼率
．
（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的⽅程为x＝1，
代⼊椭圆W 的⽅程，得
，
，
⼜因为|AB|＝2a＝4，AB⊥CD，
所以四边形ACBD 的⾯积
．
当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的⽅程为y＝k（x﹣1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），
联⽴⽅程
消去y，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0．
由题意，可知Δ＞0 恒成⽴，则
，
．
四边形ACBD的⾯积S＝S△ABC+S△ABD＝
＝
＝
2|k（x1﹣x2）|＝
，
设4k2+1＝t，则四边形ACBD 的⾯积
，
，
所以
．
综上，四边形ACBD ⾯积的最⼤值为
．
（Ⅲ）结论：点M 在⼀条定直线上，且该直线的⽅程为x＝4．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线位置关系的应⽤，考查了椭圆的简单性质，考查弦⻓公式的应⽤，
体现了“设⽽不求”的解题思想⽅法，函数性质的运⽤，计算量⼤，要求能⼒⾼，属于难题．
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圆锥曲线篇—题型39～题型42 答案
⼀．解答题（共25 ⼩题）
1．曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2＝8（m∈R）．
（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；
（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；
（3）设m＝4，曲线C 与y 轴交点为A，B（A 在B 上⽅），y＝kx+4 与曲线C 交于不同两点M，N，y＝1
与BM 交于G，求证：A，G，N 三点共线．
【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：（5﹣m）（m﹣2）＜0，解得m 的范围；
（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则m﹣2＞5﹣m＞0，解得m 的取值范围；
（3）由已知直线代⼊椭圆⽅程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，Δ＝32（2k2﹣3），解得：k2＞，设N（xN，
kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB ⽅程为：y＝
，则G（
，1），从⽽可得
＝
（
，﹣1），
＝（xN，kxN+2），欲证A，G，N 三点共线，只需证
，
共线，利⽤⻙达定理，
可以证明．
【解答】解：（1）若曲线C 表示双曲线，
则：（5﹣m）（m﹣2）＜0，
解得：m∈（﹣∞，2）∪（5，+∞）；
（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，
则：m﹣2＞5﹣m＞0．
解得：m∈（，5）…（8 分）
证明：（3）当m＝4，曲线C 可化为：x2+2y2＝8，
当x＝0 时，y＝±2，
故A 点坐标为：（0，2），B（0，﹣2）
将直线y＝kx+4 代⼊椭圆⽅程x2+2y2＝8 得：（2k2+1）x2++16kx+24＝0，
若y＝kx+4 与曲线C 交于不同两点M，N，
则Δ＝32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞，…（10 分）
由⻙达定理得：xm+xn＝
①，
xm•xn＝
②…（12 分）
设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），
MB ⽅程为：y＝
，则G（
，1），…（14 分）
∴
＝（
，﹣1），
＝（xN，kxN+2），
欲证A，G，N 三点共线，只需证
，
共线，
即
（kxN+2）＝﹣xN，
将①②代⼊可得等式成⽴，则A，G，N 三点共线得证．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的标准⽅程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键
是直线与椭圆⽅程联⽴，利⽤⻙达定理进⾏求解．
2．椭圆C 的中⼼为坐标原点O，焦点在y 轴上，离⼼率
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1﹣
，
直线l 与y 轴交于点P（0，m），与椭圆C 交于相异两点A、B，且
＝3
．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）求m 的取值范围．
【分析】（1）由条件知a﹣c＝1﹣
，＝
，由此能导出C 的⽅程．
（2）设l：y＝kx+m 与椭圆C 交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联⽴得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）＝0，
再由根的判别式和⻙达定理进⾏求解．
【解答】解：（1）由条件知a﹣c＝1﹣
，＝
，
∴a＝1，b＝c＝
，故C 的⽅程为：y2+
＝1．
（2）设l：y＝kx+m 与椭圆C 交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
联⽴得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）＝0
Δ＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）＝4（k2﹣2m2+2）＞0 （*）
x1+x2＝﹣
，x1x2＝
∵
＝3
，
∴﹣x1＝3x2
∴x1+x2＝﹣2x2，x1x2＝﹣3x22，
消去x2，得3（x1+x2）2+4x1x2＝0，
∴3（﹣
）2+4×
＝0
整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2＝0
m2＝时，上式不成⽴；
m2≠
时，k2＝
，
因λ＝3，∴k≠0，∴k2＝
＞0，
∴﹣1＜m＜﹣或
＜m＜1
容易验证k2＞2m2﹣2 成⽴，所以（*）成⽴
即所求m 的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．
【点评】本题以平⾯向量为⼯具，考查了直线与椭圆⽅程的综合应⽤，以及根与系数的关系式在圆锥曲
线中的应⽤问题．
3．已知圆O 的⽅程为x2+y2＝4，圆O 与y 轴的交点为A，B（点A 在点B 的上⽅），直线l：y＝kx+1 与圆O
相交于M，N 两点．
（1）当k＝1 时，求弦⻓|MN|；
（2）若直线y＝4 与直线BM 交于点D，求证：D、A、N 三点共线．
【分析】（1）当k＝1 时，直线⽅程为x﹣y+1＝0．求出圆⼼到直线的距离，再由垂径定理求弦⻓
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线⽅程为x＝1，直接得到D、A、N 三点共线；当直线l 的斜率存在
时，A（0，2），B（0，﹣2），设M（x1，y1），N（x2，y2），联⽴直线⽅程与圆的⽅程，化为关于x 的⼀元
⼆次⽅程，写出根与系数的关系，再求出MB 所在直线⽅程，令y＝4，得D 点坐标，求得
，
，由向量共线的坐标运算证明．
【解答】（1）解：当k＝1 时，直线⽅程为x﹣y+1＝0．
圆⼼（0，0）到直线的距离d＝
．
∴|MN|＝2
；
（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，直线⽅程为x＝1，
此时M，N，D 均在y 轴上，则D、A、N 三点共线；
当直线l 的斜率存在时，A（0，2），B（0，﹣2），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联⽴
，得（1+k2）x2+2kx﹣3＝0．
，
．
BM 所在直线⽅程为：y+2＝
，令y＝4，得
．
∴D（
），
，
．
∵
＝
＝
＝
＝
＝
．
∴
与
共线，⼜两向量共点A，
∴D、A、N 三点共线．
综上，D、A、N 三点共线．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应⽤，考查向量共线的坐标运算，考查计算能⼒，是中档题．
4．已知抛物线C：y2＝2px 经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A，B，
且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，
＝λ
，
＝µ
，求证：
+
为定值．
【分析】（Ⅰ）将P 代⼊抛物线⽅程，即可求得p 的值，设直线AB 的⽅程，代⼊抛物线⽅程，由Δ＞0，
即可求得k 的取值范围；
（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ＝1﹣yM，µ＝1﹣yN，求得直线PA 的⽅程，令x＝0，求得M 点坐
标，同理求得N 点坐标，根据⻙达定理即可求得
+
为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2＝2px 经过点P（1，2），∴4＝2p，解得p＝2，
设过点（0，1）的直线⽅程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
联⽴⽅程组可得
，消y 可得k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
∴Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0 解得k＜1，
且k≠0，x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
⼜∵PA、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，
故直线l 的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），
则
＝（0，yM﹣1），
＝（0，﹣1）
因为
＝λ
，所以yM﹣1＝﹣λ，故λ＝1﹣yM，同理µ＝1﹣yN，
直线PA 的⽅程为y﹣2＝
（x﹣1）＝
（x﹣1）＝
（x﹣1），
令x＝0，得yM＝
，同理可得yN＝
，
因为
+
＝
+
＝
+
＝
＝
＝
＝
＝
＝2，
∴
+
＝2，∴
+
为定值．
【点评】本题考查抛物线的⽅程，直线与抛物线的位置关系，考查⻙达定理的应⽤，考查转化思想，计
算能⼒，属于中档题．
5．已知椭圆C 的中⼼在原点，焦点在x 轴上，且短轴⻓为2，离⼼率等于
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A，B 两点，交y 轴于M 点，若
，
求证：λ1+λ2为定值．
【分析】（1）由题意设出椭圆⽅程，并得到b＝1，结合椭圆的离⼼率及隐含条件列式求得a，则椭圆C
的⽅程可求；
（2）设直线l 的斜率为k，则直线l 的⽅程是y＝k（x﹣2）．将直线l 的⽅程代⼊到椭圆C 的⽅程中，消
去y 并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0．然后利⽤根与系数的关系证明λ1+λ2为定值．
【解答】（1）解：由题意设椭圆⽅程为
，
则2b＝2，b＝1，⼜
，可得
，
∵a2＝b2+c2，∴可得a2＝5．
∴椭圆C 的⽅程为
；
（2）证明：设A、B、M 点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．
⼜易知F 点的坐标为（2，0）．
显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k，则直线l 的⽅程是y＝k（x﹣2）．
将直线l 的⽅程代⼊到椭圆C 的⽅程中，消去y 并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0．
∴
，
．
⼜∵
，将各点坐标代⼊得
，
．
∴
＝
＝
＝﹣10．
【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准⽅程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出
椭圆的标准⽅程是解答本题的关键，是中档题．
6．如图，已知抛物线y2＝4x 的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
直线AF，BF 分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）记直线MN 的斜率为k1，直线AB 的斜率为k2．证明：
为定值．
【分析】（Ⅰ）依题意，设直线AB 的⽅程为x＝my+2，与抛物线⽅程联⽴消x 得关于y 的⼀元⼆次⽅程，
根据⻙达定理即可求得y1y2；
（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），设直线AM 的⽅程为x＝ny+1，将其代⼊y2＝4x，消去x，得到关于y
的⼀元⼆次⽅程，从⽽得y1y3＝﹣4，同理可得y2y4＝﹣4，根据斜率公式可把
表示成关于y1与y2的
表达式，再借助（Ⅰ）的结果即可证明．
【解答】（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的⽅程为x＝my+2．
将其代⼊y2＝4x，消去x，整理得y2﹣4my﹣8＝0．
从⽽y1y2＝﹣8．
（Ⅱ）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4）．
则
＝
×
＝
×
＝
．
设直线AM 的⽅程为x＝ny+1，将其代⼊y2＝4x，消去x，
整理得y2﹣4ny﹣4＝0．
所以y1y3＝﹣4．
同理可得y2y4＝﹣4．
故
＝
＝
＝
．
由（Ⅰ）得
＝2，为定值．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的简单性质，考查学⽣综合运⽤知识分析问题解
决问题的能⼒，难度较⼤．
7．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l 交C 于A，B 两点，且A，B 两点与原点不重合，点M（1，2）
为线段AB 的中点．
（1）若直线l 的斜率为1，求抛物线C 的⽅程；
（2）分别过A，B 两点作抛物线C 的切线，若两条切线交于点S，证明点S 在⼀条定直线上．
【分析】（1）设直线l 的⽅程为y＝x+t，代⼊抛物线⽅程，消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），运⽤⻙达
定理，以及中点坐标公式，可得p，即可得到所求抛物线⽅程；
（2）求得y＝
的导数，可得抛物线在A，B 处的切线的斜率，由点斜式⽅程和点A，B 满⾜抛物线⽅
程，可得在A，B 处的切线⽅程，联⽴两切线⽅程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点S 所在
的定直线⽅程．
【解答】解：（1）设直线l 的⽅程为y＝x+t，代⼊抛物线C：x2＝2py（p＞0），
可得x2﹣2px﹣2pt＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2p，
点M（1，2）为线段AB 的中点，可得2p＝2，即p＝1，
则抛物线的⽅程为x2＝2y；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），点M（1，2）为线段AB 的中点，
可得x1+x2＝2，y1+y2＝4，
由y＝
的导数为y′＝，可得抛物线在A 处的切线斜率为
，切线⽅程为y﹣y1＝
（x﹣x1），
由x12＝2py1，可得x1x＝p（y+y1），①
同理可得x2x＝p（y+y2），②
①+②可得（x1+x2）x＝p（2y+y1+y2），
即为2x＝p（2y+4），即x﹣py﹣2p＝0．
可得交点S 在⼀条定直线x﹣py﹣2p＝0 上．
【点评】本题考查抛物线的⽅程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联⽴直线⽅程和抛物线⽅
程，考查⻙达定理的运⽤，考查化简运算能⼒，属于中档题．
8．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F 为抛物线C 的焦点．以F 为圆⼼，p 为半径作圆，与抛物线C 在第
⼀象限交点的横坐标为2．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）直线y＝kx+1 与抛物线C 交于A，B 两点，过A，B 分别作抛物线C 的切线l1，l2，设切线l1，l2的
交点为P，求证：△PAB 为直⻆三⻆形．
【分析】（1）由题意可得M 点的坐标为（2，），代⼊抛物线⽅程，即可求出p 的值；
（2）A（x1，
），B（x2，
），利⽤导数的⼏何意义得到A，B 两点处的切线斜率分别为
，
，联⽴直线与抛物线⽅程，利⽤⻙达定理得到k1k2＝﹣1，从⽽得到△PAB 为直⻆三⻆形．
【解答】解：（1）记抛物线C 与圆F 在第⼀象限的交点为M，
由题意可知：圆F 与抛物线C 的准线相切，且M 到抛物线C 准线的距离等于圆F 的半径p，
所以M 点的坐标为（2，），代⼊抛物线⽅程得：4＝p2（p＞0），
所以p＝2；
（2）设A（x1，
），B（x2，
），
由x2＝4y 得y＝
，求导得y'＝
，
所以A，B 两点处的切线斜率分别为
，
，
由
，得x2﹣4kx﹣4＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴
，
∴PA⊥PB，即△PAB 为直⻆三⻆形．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．
9．已知动点Q 在x 轴上⽅，且到定点F（0，1）的距离⽐到x 轴的距离⼤1，
（Ⅰ）求动点Q 的轨迹C 的⽅程；
（Ⅱ）过点P（1，1）的直线l 与曲线C 交于A，B 两点，点A，B 分别异于原点O，在曲线C 的A，B
两点处的切线分别为l1，l2且l1，l2交于点M，求证：M 在定直线上．
【分析】（Ⅰ）动点P（x，y）（其中y≥0）到x 轴的距离为y，到x 轴的距离为y+1．|PM|＝y+1，列出⽅程．化
简即可得出．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联⽴可得x2﹣4kx+4k﹣4＝0，设出AB 坐标，利⽤⻙达定理，结合函数
的导数求解切线的斜率，求出直线⽅程，解出交点的轨迹⽅程，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）动点P（x，y）（其中y＞0）到x 轴的距离为y，到x 轴的距离为y+1．
∴|PM|＝y+1，
⼜M（0，1），∴
＝y+1．
得轨迹C 的⽅程：x2＝4y，y≠0．
（Ⅱ）证明：由题意，直线l 的斜率为存在并且不为1，
设直线l 的⽅程为：y＝k（x﹣1）+1，k≠1，与x2＝4y 联⽴，
可得x2﹣4kx+4k﹣4＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2＝4k，x1x2＝4k﹣4，①⼜y＝
，所以y′＝，
所以切线l1的⽅程为：y＝
，
即y＝
，
同理，切线l2：y＝
，
联⽴可得：x＝
＝2k，y＝
＝k﹣1，
两式相消k 可得：x﹣2y﹣2＝0，当k＝1 时，x＝2，y＝0，
所以解得M 的轨迹⽅程为：x﹣2y﹣2＝0，去掉（2，0）．
交点M 在定直线上．
【点评】本题考查了抛物线的标准⽅程及其性质、⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系、斜率计算公式，考
查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．
10．已知抛物线x2＝4y 的焦点为F，A，B 是抛物线上的两个动点，且
＝λ
（λ＞0），过两点分别作抛
物线的切线，设其交点为P．
（1）若直线PA 与x，y 轴分别交于点M，N，且△MON 的⾯积为
，求|AF|的值；
（2）记△ABP 的⾯积为S，求S 的最⼩值，并指出S 最⼩时对应的点P 的坐标．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线⽅程，设A（x1，y1），求得A 处的切线⽅程，求得M，N 的坐标，
再由抛物线的定义可得所求值；
（2）利⽤（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k 和λ的关系式，进⽽求得弦⻓AB，可表示出△ABM
⾯积．最后根据均值不等式求得S 的范围，得到最⼩值．
【解答】解：（1）x2＝4y 的焦点F（0，1），准线⽅程为y＝﹣1，
设A（x1，y1），
曲线4y＝x2上任意⼀点处切线的斜率为y′＝，
则易得切线AP 为y＝x1（x﹣x1）+y1，
其中4y1＝x12，
即为y＝x1x﹣
，可得M（x1，0），N（0，﹣
），
由题意可得
•
•
|x1|＝，解得x1＝±2，y1＝1，
则|AF|＝1+1＝2；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（xo，yo），焦点F（0，1），准线⽅程为y＝﹣1，
显然AB 斜率存在且过F（0，1），
设其直线⽅程为y＝kx+1，联⽴4y＝x2消去y 得：x2﹣4kx﹣4＝0，
判别式Δ＝16（k2+1）＞0．
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
于是曲线4y＝x2上任意⼀点斜率为y′＝，
则易得切线AP，BP ⽅程分别为y＝x1（x﹣x1）+y1，y＝x2（x﹣x2）+y2，
其中4y1＝x12，4y2＝x22，联⽴⽅程易解得交点P 坐标，
xo＝
＝2k，yo＝
＝﹣1，即P（2k，﹣1），
△ABP 中，FP⊥AB，因⽽S＝|AB|•|FP|．
∵
＝λ
（λ＞0），
∴（﹣x1，1﹣y1）＝λ（x2，y2﹣1），即
，
⽽4y1＝x12，4y2＝x22，
则x22＝
，x12＝4λ，
|FP|＝
＝
＝
＝
+
．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B 到抛物线准线y＝﹣1 的距离，所以
|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝x12+
x22+2＝λ+
+2＝（
+
）2．
于是S＝|AB||FP|＝（
+
）3，
由
+
≥2 知S≥4，且当λ＝1 时，即P（0，﹣1），S 取得最⼩值4．
【点评】本题主要考查了抛物线的应⽤．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近⼏年⾼考的热点，
故应重点掌握．
11．已知以动点P 为圆⼼的⊙P 与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．
（Ⅰ）求动圆圆⼼P 的轨迹⽅程C；
（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M、N（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂⾜记为M1、N1，
直线l 交x 轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的⾯积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直
线MN 过定点．
【分析】（Ⅰ）设点P（x，y），由动圆P 既与直线l：x＝﹣相切，⼜与定圆F 相外切，知x＞﹣，所以
，化简即可求出动圆圆⼼P 的轨迹⽅程C；
（Ⅱ）由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的⽅程为：y＝kx+m（k≠0），与抛物线⽅程联⽴，
利⽤⻙达理得到
，
，y1y2＝
，分别⽤k，m 表达出S1，S2，S3，再利⽤S22
＝4S1S3，得到k2+4m2+4km＝0，即（k+2m）2＝0，所以k＝﹣2m，从⽽得到直线MN 过定点（，0）．
【解答】解：（Ⅰ）定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝，圆⼼F（1，0），半径为
，设点P（x，y），
由动圆P 既与直线l：x＝﹣相切，⼜与定圆F 相外切，知x＞﹣，
∴
，
化简得：y2＝4x，
∴动圆圆⼼P 的轨迹C 的⽅程为：y2＝4x；
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的⽅程为：y＝kx+m（k≠0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M 在x 轴上⽅，点N 在x 轴下⽅，
联⽴⽅程
，消去y 得，k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，
∴
，
，
∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝
＝
，
∵S1＝
，S3＝
，
∴4S1S3＝﹣（y1y2）（x1
）（
）
＝﹣
×
＝﹣
×
＝
，
∵直线MN 的⽅程为：y＝kx+m，设直线MN 与x 轴的交点为点B，
令y＝0 得，x＝﹣，∴B（﹣，0），
∴S2＝
，
∴
＝（﹣+
）2（y1﹣y2）2
＝×
×
＝×
×[4（x2+x1）﹣2y1y2]
＝×
×
＝
，
∵S22＝4S1S3，
∴4k2﹣4k3m+16m2﹣16km3﹣16mk+16k2m2＝﹣16km3﹣32km+16k2m2﹣4k3m，
∴4k2+16m2+16mk＝0，
即k2+4m2+4km＝0，
∴（k+2m）2＝0，
∴k＝﹣2m，
∴直线MN 的⽅程为：y＝﹣2mx+m＝﹣2m（x﹣），
∴直线MN 过定点（，0）．
【点评】本题主要考查了动点轨迹，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．
12．已知椭圆M：
（a＞b＞0）过A（﹣2，0），B（0，1）两点．
（Ⅰ）求椭圆M 的离⼼率；
（Ⅱ）设椭圆M 的右顶点为C，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交
于点Q，直线BP 交x 轴于点S，求证：直线SQ 过定点．
【分析】（Ⅰ）由点A（﹣2，0），B（0，1）都在椭圆M 上，得a＝2，b＝1，推出c＝
＝
，进
⽽可得答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆M 的⽅程为
+y2＝1，C（2，0），写出直线AB 的⽅程，进⽽设Q（2yQ﹣2，yQ），
S（xS，0），P（x0，y0）（y0≠0，y0≠±1），由C，P，Q 三点共线，推出
∥
，进⽽可得Q 点的坐标，由
B，S，P 三点共线，推出S 点坐标，写出直线QS 的⽅程，化简即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为点A（﹣2，0），B（0，1）都在椭圆M 上，
所以a＝2，b＝1，
所以c＝
＝
，
所以椭圆M 的离⼼率为e＝＝
．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆M 的⽅程为
+y2＝1，C（2，0），
由题意知直线BA 的⽅程为x＝2y﹣2，
设P（x0，y0）（y0≠0，y0≠±1），Q（2yQ﹣2，yQ），S（xS，0），
因为C，P，Q 三点共线，
所以
∥
，
所以（x0﹣2）yQ＝y0（2yQ﹣4），
所以yQ＝
，
所以Q（
，
），
因为B，S，P 三点共线，
所以
＝
，即xS＝
，
所以S（
，0），
所以直线QS 的⽅程为x＝
y+
，
因为点P 在椭圆M 上，
所以x02＝4﹣4y02，
所以直线QS 的⽅程为x＝
（y﹣1）+2，
所以直线QS 过定点（2，1）．
【点评】本题考查椭圆的离⼼率，直线与椭圆的相交问题，解题中需要⼀定的计算能⼒，属于中档题．
13．若双曲线x2﹣y2＝9 与椭圆
共顶点，且它们的离⼼率之积为
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为A1，A2，直线l 与椭圆C 交于P、Q 两点，设直线A1P 与A2Q 的斜
率分别为k1，k2，且
．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明
理由．
【分析】（1）求出椭圆的离⼼率为
；结合a，求解b．得到椭圆⽅程．
（2）当直线l 的斜率为零时，验证是否满⾜题意．直线l 的斜率不为零．设直线l 的⽅程为x＝ty+n，与
椭圆⽅程联⽴，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），利⽤⻙达定理，结合直线的斜率，推出t（n﹣2）（n﹣3）＝
（2﹣n）（t2+9）y2，然后说明直线恒过的定点．
【解答】解：（1）由已知得双曲线的离⼼率为
，⼜两曲线离⼼率之积为
，
所以椭圆的离⼼率为
；
由题意知a＝3，所以
，b＝1．
所以椭圆的标准万程为
．
（2）当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：k1＝﹣k2≠0，不满⾜
，
故直线l 的斜率不为零．设直线l 的⽅程为x＝ty+n，
由
，得：（t2+9）y2+2tny+n2﹣9＝0，
因为直线l 与椭圆C 交于P、Q 两点，
所以Δ＝4t2n2﹣4（t2+9）（n2﹣9）＞0，
整理得：t2﹣n2+9＞0，
设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则
，
，
，
．
因为
，
所以
，
整理得：4ty1y2+5（n﹣3）y1﹣（n+3）y2＝0，4ty1y2+5（n﹣3）（y1+y2）＝（6n﹣12）y2，
将
，
代⼊整理得：t（n﹣2）（n﹣3）＝（2﹣n）（t2+9）y2，
要使上式恒成⽴，只需n＝2，此时满⾜t2﹣n2+9＞0，
因此，直线l 恒过定点（2，0）．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，椭圆⽅程的求法，考查转化思想以及计算能⼒，
是难题．
14．如图，椭圆E：
的离⼼率是
，过点P（0，1）的动直线l 与椭圆相交于A、
B 两点，当直线l 平⾏于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段⻓为2
．
（Ⅰ）求椭圆E 的⽅程；
（Ⅱ）在平⾯直⻆坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得
恒成⽴？若存在，
求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）通过直线l 平⾏于x 轴时被椭圆E 截得的线段⻓为2
及离⼼率是
，计算即得结论；
（Ⅱ）通过直线l 与x 轴平⾏、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满⾜条件，则Q 点坐标只能是
（0，2）．然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利⽤⻙达定理及直线斜率计算⽅法，证明对任意
直线l，均有
即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 平⾏于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段⻓为2
，
∴点（
，1）在椭圆E 上，
⼜∵离⼼率是
，
∴
，解得a＝2，b＝
，
∴椭圆E 的⽅程为：
+
＝1；
（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点Q（0，2），使得
恒成⽴．
理由如下：
当直线l 与x 轴平⾏时，设直线l 与椭圆相交于C、D 两点，
如果存在定点Q 满⾜条件，则有
＝
＝1，即|QC|＝|QD|．
∴Q 点在直线y 轴上，可设Q（0，y0）．
当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M、N 两点，
则M、N 的坐标分别为（0，
）、（0，﹣
），
⼜∵
＝
，∴
＝
，解得y0＝1 或y0＝2．
∴若存在不同于点P 的定点Q 满⾜条件，则Q 点坐标只能是（0，2）．
法⼀：
下⾯证明：对任意直线l，均有
．
当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成⽴．
当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的⽅程为y＝kx+1，
A、B 的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
联⽴
，消去y 并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，
∵Δ＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2＝﹣
，x1x2＝﹣
，
∴
+
＝
＝2k，
已知点B 关于y 轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），
⼜kAQ＝
＝
＝k﹣
，kQB′＝
＝
＝﹣k+
＝k﹣
，
∴kAQ＝kQB′，即Q、A、B′三点共线，
∴
＝
＝
＝
．
法⼆：
当斜率存在时，过点A 作AA'⊥y 轴，垂⾜为A'，过点B 作BB'⊥y 轴，垂⾜为B'，易知AA'∥BB'，
则△AA'P 相似于△BB'P，则
＝
，
若证上命题，则需证直线QA 与直线QB 交于点Q（0，2）时关于y 轴对称，则要证kQA+kQB＝0，
联⽴
，消去y 并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，
∵Δ＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2＝﹣
，x1x2＝﹣
，∴
+
＝
＝2k，
kAQ＝
＝
＝k﹣
，kQB＝
＝
＝k﹣
＝﹣k+
，可证得kQA+kQB＝0，
所以△QAA'相似于△QBB'
进⽽得证：
＝
＝
，
当斜率不存在时，由上可知，结论也成⽴．
故存在与点P 不同的定点Q（0，2），使得
恒成⽴．
【点评】本题考查椭圆的标准⽅程与⼏何性质、直线⽅程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推
理论证能⼒、运算求解能⼒，考查数形结合、化归与转化、特殊与⼀般、分类与整合等数学思想，注意
解题⽅法的积累，属于难题．
15．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆
的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F．设
过点T（t，m）的直线TA，TB 与此椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．
（Ⅰ）设动点P 满⾜：|PF|2﹣|PB|2＝4，求点P 的轨迹；
（Ⅱ）设
，求点T 的坐标；
（Ⅲ）设t＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的⼀定点（其坐标与m ⽆关），并求出该定点的坐标．
【分析】（Ⅰ）由题意求得A，B 和F 坐标，设P，根据两点之间的坐标公式，求得|PF|2，|PB|2，由|PF|2﹣
|PB|2＝4，整理求得
，即可求得点P 的轨迹；
（Ⅱ）分别求得M 和N 坐标及AM 和BN 直线⽅程，联⽴即可求得点T 的坐标；
（Ⅲ）设直线AT，BT 的⽅程代⼊代⼊椭圆⽅程，求得M 和N 坐标，当x1＝x2，求得m，求得MN 的⽅
程，求得点D，当x1≠x2，
，求得直线MD 和ND 的斜率，由kMD＝kND，直线MN 过点D（1，
0），因此直线MN 必过x 轴上⼀定点D（1，0）．
【解答】解：（Ⅰ）由题设得，A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设动点P（x，y），
由|PF|2＝（x﹣2）2+y2，|PB|2＝（x﹣3）2+y2，
∵|PF|2﹣|PB|2＝4
代⼊化简得，
．
故点P 的轨迹为直线
．…（4 分）
（Ⅱ）由x1＝2，
，y1＞0 得
，则点
，直线AM 的⽅程为
，
由
，
，y2＜0 得
，则点
，直线BN 的⽅程为
，
由
…（8 分）
（Ⅲ）证明：由题设知，直线AT 的⽅程为：
，直线BT 的⽅程为：
，
点M（x1，y1）满⾜
；
点N（x2，y2）满⾜
；
若x1＝x2，
＝
且m＞0，得
，
此时直线MN 的⽅程为x＝1，过点D（1，0）；
若x1≠x2，则
，直线MD 的斜率
，
直线ND 的斜率
，
∴kMD＝kND，
∴直线MN 过点D（1，0）．
因此直线MN 必过x 轴上⼀定点D（1，0）．…（13 分）
【点评】本题考查考查轨迹⽅程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能⼒，
属于难题．
16．已知椭圆C：
（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣
），且过点P（
）．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）已知A1，A2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x＝1 上任意⼀点，直线A1Q，A2Q 分别交椭圆
C 于不同的两点M，N．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．
【分析】（1）由椭圆的定义知：PF1+PF2＝2a，代⼊计算得a＝2，b2＝a2﹣c2求得b 的值，求得椭圆⽅程；
（2）设Q（1，t），M（x1，y1），N（x2，y2），分别求出M，N 的坐标，根据斜率公式和求出直线⽅程，
则可得y＝﹣
（x﹣4），即可求出定点坐标．
【解答】解：（1）椭圆的⼀个焦点F1（﹣
，0），则另⼀个焦点为F2（
，0），
由椭圆的定义知：PF1+PF2＝2a，代⼊计算得a＝2，
⼜b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆C 的标准⽅程为
+y2＝1，
（2）证明：设Q（1，t），M（x1，y1），N（x2，y2），
则直线A1Q 的⽅程为y＝（x+2），与
+y2＝1 联⽴，解得M（
，
），
同理N（
，
），
所以直线MN 的斜率为
＝﹣
，
所以直线MN 的⽅程为y﹣
＝﹣
（x﹣
），
则y＝﹣
（x﹣4），
所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为（4，0）．
【点评】本题考查椭圆的标准⽅程及简单⼏何性质，考查直线与椭圆的位置关系，直线⽅程，考查计算
能⼒，属于中档题．
17．设椭圆
＝1（a＞b＞0）过点
，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A，B 时，在线段AB 上取点Q，满⾜
•
＝
•
，证明：点Q 总在某定直线上．
【分析】（Ⅰ）通过椭圆焦点坐标知c＝
，且有a2＝b2+c2，⼜点M 的坐标满⾜椭圆⽅程，则列⽅程组
解之即可；
（Ⅱ）欲证点Q 总在某定直线上，所以先设点Q 的坐标为变量（x，y），点A、B 的坐标分别为参数（x1，
y1）、（x2，y2），然后根据已知条件可变形得
，设其⽐值为λ则有
、
，
此时利⽤定⽐分点定理可得A、B、P 三点横坐标关系及纵坐标关系，同时可得A、B、Q 三点横坐标关
系及纵坐标关系，⼜因为点A、B 的坐标满⾜椭圆⽅程，则有x12+2y12＝4，x22+2y22＝4，再利⽤已得关系
式构造x12+2y12与x22+2y22则可整体替换为4，同时消去参数λ，最后得到变量x、y 的关系式，则问题得
证．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得
，
解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆C 的⽅程为
．
（Ⅱ）设点Q、A、B 的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2）．
由题设知
，
，
，
均不为零，记
，则λ＞0 且λ≠1
⼜A，P，B，Q 四点共线，从⽽
于是
，
，
，
从⽽
①，
②，
⼜点A、B 在椭圆C 上，即x12+2y12＝4 ③，x22+2y22＝4 ④，
①+②×2 并结合③、④得4x+2y＝4，
即点Q（x，y）总在定直线2x+y﹣2＝0 上．
【点评】本题综合考查椭圆性质与定⽐分点定理，同时考查构造消元处理⽅程组的能⼒．
18．已知F1、F2分别为椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离⼼率为
，点A（﹣
，
）
在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）是否存在斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M、N，使直线F2M 与F2N 的倾斜⻆互补，
且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由已知得
，由此能求出椭圆C 的⽅程．
（2）由题意知直线MN 存在斜率，其⽅程为y＝kx+m，由
，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由此利⽤根的判别式和⻙达定理结合已知条件推导出直线MN 过定点（2，0）．
【解答】解：（1）∵F1、F2分别为椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，
且离⼼率为
，点A（﹣
，
）在椭圆C 上．
∴
，解得a2＝2，b2＝1．
∴椭圆C 的⽅程为
．…（6 分）
（2）由题意知直线MN 存在斜率，其⽅程为y＝kx+m，
由
，
消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，
设M（
，
，…（8 分）
⼜kF2M＝
，
，
由已知直线F2M 与F2N 的倾斜⻆互补，
得
．
化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m＝0，
∴
整理得m＝﹣2k．…（10 分）
直线MN 的⽅程为y＝k（x﹣2），
因此直线MN 过定点，该定点的坐标为（2，0）．…（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，考查直线过定点的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、⻙
达定理，倾斜解互补的性质的合理运⽤．
19．椭圆上顶点为M，O 为椭圆中⼼，F 为椭圆的右焦点，且焦距为2，离⼼率为
．
（1）求椭圆的标准⽅程；
（2）直线l 交椭圆于P，Q 两点，判断是否存在直线l，使点F 恰为△PQM 的垂⼼？若存在，求出直线
l 的⽅程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设椭圆的标准⽅程为
，（a＞b＞0），焦距为2c，故2c＝2⇒c＝1，利⽤离⼼率求
出a，b，得到椭圆⽅程．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），F 为△PQM 的垂⼼，设直线PQ 的⽅程为y＝x+m，代⼊到
得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，通过Δ＞0，求出m 的范围，利⽤⻙达定理，结合垂⼼，向量的数量积为0，转化
求解即可．
【解答】解：（1）设椭圆的标准⽅程为
，（a＞b＞0），焦距为2c，故2c＝2⇒c＝1，
⼜
，a2＝b2+c2，∴a2＝2，b2＝1，
故椭圆的标准⽅程为
．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），F 为△PQM 的垂⼼，∴MF⊥PQ，MP⊥FQ．
∵M（0，1），F（1，0），∴kMF＝﹣1，∴kPQ＝1，
设直线PQ 的⽅程为y＝x+m，代⼊到
得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，
∴Δ＝（4m）2﹣12（2m2﹣2）＞0，
解得
且m≠1，
∴
，
，
∵
，
，﹣y1），
，y2﹣1），
∴x2﹣x1x2+y1﹣y1y2＝0，
即
由根与系数的关系，得3m2+m﹣4＝0．
解得
或m＝1（舍去）．
故存在直线l，使点F 恰为△PQM 的垂⼼，且直线l 的⽅程为
．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应⽤，椭圆⽅程的求法，向量数量积的应⽤，考查转化
思想以及计算能⼒．
20．已知椭圆C 的中⼼在原点O，焦点在x 轴上，离⼼率为
，右焦点到右顶点的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于A，B 两点的直线l：y＝kx+m（k∈R），使得
•
＝0 成⽴？若存在，求
出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准⽅程，并得到a，c 的关系，联⽴求得a，c 的值，结合隐含条件求
得b，则椭圆⽅程可求；
（Ⅱ）联⽴直线⽅程和椭圆⽅程，利⽤根与系数的关系及判别式求得满⾜
•
＝0 成⽴的直线l：y＝kx+m
存在．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C 的⽅程为
（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意
，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c＝1，解得c＝1，a＝2．
∴b2＝a2﹣c2＝3．
∴椭圆C 的标准⽅程是
．
（Ⅱ）存在直线l，使得
•
＝0 成⽴．理由如下：
由
，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．
Δ＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，
．
若
•
＝0，则x1x2+y1y2＝0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，
得
，即
，
化简得，7m2＝12+12k2，将
代⼊3+4k2＞m2中，得
，解得
．
⼜由7m2＝12+12k2≥12，得
，即
或
．
∴实数m 的取值范围是：（﹣∞，
]∪[
，+∞）．
【点评】本题考查椭圆标准⽅程的求法，考查了椭圆的简单性质，训练了直线与椭圆位置关系的应⽤，
体现了“设⽽不求”的解题思想⽅法，是中档题．
21．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）为椭圆C 的左、右焦点，且点P（1，
）在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）过点F1的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，问△F2AB 的内切圆的⾯积是否存在最⼤值？若存在求其
最⼤值及此时的直线⽅程；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）设椭圆C 的⽅程为
，（a＞b＞0），由|PF1|+|PF2|＝2a，利⽤已知条件能求出a2＝3，
b2＝2，由此能求出椭圆C 的⽅程．
（2）设直线l：y＝k（x+1），由
，得（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0，利⽤⻙达定理推导出
＜
．当k 不存在时圆⾯积最⼤，此时直线⽅程为x＝﹣1．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设椭圆C 的⽅程为
，（a＞b＞0），
∵|PF1|+|PF2|＝
+
＝2
＝2a，
∴a2＝3，b2＝2，
∴椭圆C 的⽅程为
．…（4 分）
（2）当直线l 斜率存在时，设直线l：y＝k（x+1），
由
，得（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，
．…（6 分）
所以|x1﹣x2|＝
＝
，
设内切圆半径为r，∵△ABF2的周⻓为4a＝4
（定值），
，
∴当△ABF2的⾯积最⼤时，内切圆⾯积最⼤，
⼜
＝
＝|y1﹣y2|
＝|k||x1﹣x2|＝
，…（8 分）
令t＝2+3k2≥2，则k2＝
，
∴
＝
＝4
＝
＜
．…（10 分）
⼜当k 不存在时，|y1﹣y2|＝
，
此时r＝
＝，S 圆＝
，
∴当k 不存在时圆⾯积最⼤，S 圆＝
，
此时直线⽅程为x＝﹣1．…（12 分）
【点评】本题考查椭圆⽅程的求法，考查三⻆形内切圆⾯积是否存在最⼤值的判断，解题时要认真审题，
注意⻙达定理和分类讨论思想的合理运⽤．
22．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知圆x2+y2﹣12x+32＝0 的圆⼼为Q，过点P（0，2）且斜率为k 的直线l
与圆Q 相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求圆Q 的⾯积；
（Ⅱ）求k 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量
与
共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）把圆的⽅程化为标准形式，求出半径，即可求得圆的⾯积．
（Ⅱ）把直线⽅程代⼊圆的⽅程化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，由判别式⼤于0 求得k 的取值范围．
（Ⅲ）设出A，B 的坐标，⽤条件向量
与
共线可得解得
，由（Ⅱ）知
，
可得没有符合题意的常数k．
【解答】解：（Ⅰ）圆的⽅程可化为（x﹣6）2+y2＝4，可得圆⼼为Q（6，0），半径为2，故圆的⾯积为4π．
（Ⅱ）设直线l 的⽅程为y＝kx+2，将直线⽅程代⼊圆⽅程得x2+（kx+2）2﹣12x+32＝0，
整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36＝0．
①
直线与圆交于两个不同的点A，B 等价于Δ＝[4（k﹣3）]2﹣4×36（1+k2）＝42（﹣8k2﹣6k）＞0，
解得
，即k 的取值范围为
．
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，由⽅程①得，
②，⼜y1+y2＝k（x1+x2）+4 ③，⽽
．
所以，
与
共线等价于﹣2（x1+x2）＝6（y1+y2），将②③代⼊上式，解得
．
由（Ⅱ）知
，故没有符合题意的常数k．
【点评】本题考查直线和圆相交的性质，以及向量在⼏何中的应⽤，如何应⽤条件向量
与
共
线，是解决问题的关键．
23．已知椭圆C 的中⼼在坐标原点，焦点在x 轴上，⻓轴⻓为
，离⼼率为
，经过其左焦点F1的直
线l 交椭圆C 于P、Q 两点．
（I）求椭圆C 的⽅程；
（II）在x 轴上是否存在⼀点M，使得
恒为常数？若存在，求出M 点的坐标和这个常数；若不存
在，说明理由．
【分析】（I）根据题意设出椭圆的⽅程，根据⻓轴2a 的⻓和离⼼率e＝，列出⽅程组求出a 与c 的值，
然后根据椭圆的性质求出b 的值，把a 与b 的值代⼊设出的椭圆⽅程即可确定出椭圆C 的⽅程；
（II）根据（I）求出的c 的值写出椭圆左焦点F1的坐标，假设在x 轴上存在⼀点M（t，0），使得
恒为常数，分两种情况考虑：①当直线l 与x 轴不垂直时，设出过左焦点F1 的直线⽅程，以及P 和Q
两点的坐标，把所设的直线⽅程与椭圆⽅程联⽴，消去y 得到关于x 的⽅程，利⽤⻙达定理求出两根之
和与两根之积，然后表示出
，把其中的纵坐标代换为横坐标，化简后将求出的两根之和与两根
之积代⼊得到⼀个关系式，由此关系式与k 的取值⽆关，得到关于t 的式⼦为0，即可求出此时t 的值，
从⽽此时这个常数；②当直线l 与x 轴垂直时，求出P 与Q 两点的坐标，且求出t 及
的值，与①
中求出的常数相等，综上，在x 轴上存在⼀点M，使得
恒为常数．
【解答】解：（I）设椭圆C 的⽅程为
．
由题意，得
，解得
，所以b2＝2．（3 分）
所求的椭圆⽅程为
．（4 分）
（II）由（I）知F1（﹣1，0）．
假设在x 轴上存在⼀点M（t，0），使得
恒为常数．
①当直线l 与x 轴不垂直时，设其⽅程为y＝k（x+1），P（x1，y1）、Q（x2，y2）．
由
得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）＝0．（6 分）
所以
，
．（7 分）
＝（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2
＝（x1﹣t）（x2﹣t）+k2（x1+1）（x2+1）
＝（k2+1）x1x2+（k2﹣t）（x1+x2）+k2+t2
＝
＝
．
因为
是与k ⽆关的常数，从⽽有
，即
．（10 分）
此时
．（11 分）
②当直线l 与x 轴垂直时，此时点P、Q 的坐标分别为
，
当
时，亦有
．（13 分）
综上，在x 轴上存在定点
，使得
恒为常数，且这个常数为
．（14 分）
【点评】本题考查椭圆的应⽤，及平⾯向量的运算法则，考查了分类讨论的数学思想．关键是看清题中
给出的条件，灵活运⽤⻙达定理，中点坐标公式进⾏求解．
24．已知如图，圆N：（x+2）2+y2＝8 和抛物线C：y2＝2x，圆的切线l 与抛物线C 交于不同的点A，B．
（1）当直线l 的斜率为1 时，求线段AB 的⻓；
（2）设点M 和点N 关于直线y＝x 对称，问是否存在圆的切线l：x＝my+a 使得
？若存在，求
出直线l 的⽅程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由圆N：（x+2）2+y2＝8，知圆⼼N 为（﹣2，0），半径r＝2
，设A（x1，y1），B（x2，y2），
设l 的⽅程为y＝x+m，由直线l 是圆N 的切线，可得
＝2
，解得直线l 的⽅程为y＝x﹣2，
由此能求出弦⻓|AB|；
（2）假设存在圆的切线l：x＝my+a 使得
，由直线l 是圆N 的切线，得
＝2
，可
得m，a 的关系式，再由向量垂直的条件：数量积为0，可得m，a 的⼜⼀关系，解⽅程即可得到所求a，
m，即可判断存在性．
【解答】解：（1）∵圆N：（x+2）2+y2＝8，
∴圆⼼N 为（﹣2，0），
半径r＝2
，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线的斜率为1 时，设l 的⽅程为y＝x+m，即x﹣y+m＝0，
∵直线l 是圆N 的切线，∴
＝2
，
解得m＝﹣2，或m＝6（舍去）
此时直线l 的⽅程为y＝x﹣2，
由
，消去x 得y2﹣2y﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣2）2+16＝20＞0，
y1+y2＝2，y1•y2＝4，
（y1﹣y2）2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝4+16＝20，
∴弦⻓|AB|＝
|y1﹣y2|＝
•
＝2
；
（2）假设存在圆的切线l：x＝my+a 使得
．
∵直线l 是圆N 的切线，∴
＝2
，
得8m2﹣a2﹣4a+4＝0，①
由
，消去x 得y2﹣2my﹣2a＝0，
∴Δ＝4m2+4×2a＞0，即m2+2a＞0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2a，
∵点M 与点N 关于直线y＝x 对称，∴M（0，﹣2），
∴
＝（x1，y1+2），
＝（x2，y2+2），
∵
，∴x1x2+（y1+2）（y2+2）＝0，
将A，B 在直线x＝my+a 上代⼊并化简，得
（my1+a）（my2+a）+（y1+2）（y2+2）＝0，
即为（m2+1）y1y2+（ma+2）（y1+y2）+a2+4＝0，
代⼊y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2a，
得﹣（m2+1）•2a+（ma+2）•2m+a2+4＝0，
化简，得a2+4+4m﹣2a＝0，②
由①②解得a＝2，代⼊①，解得m＝﹣1，
满⾜条件m2+2a＞0，
此时直线l 的⽅程为x＝﹣y+2．
所述，存在满⾜条件的直线l，其⽅程为y＝﹣x+2．
【点评】本题考查线段⻓的求法，探索直线是否存在，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的性质及其应
⽤、直线与圆锥曲线的位置关系的应⽤．综合性强，难度⼤，是⾼考的重点．解题时要认真审题，仔细
解答，注意合理地进⾏等价转化．
25．已知曲线C1：x2+（y﹣
）2＝1（y≥
），C2：x2＝8y﹣1（|x|≥1），动直线l 与C2相交于A，B 两点，曲
线C2在A，B 处的切线相交于点M．
（1）当MA⊥MB 时，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线l 与C1相切于点P，试问：在y 轴上是否存在两个定点T1，T2，当直线MT1，MT2斜率存在
时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满⾜条件的点T1，T2的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设l：y＝kx+b，由
，得x2﹣8kx﹣8b+1＝0，由此利⽤⻙达定理、导数性质，结合
已知条件能求出l 的⽅程为y＝kx+
，恒过定点（0，
）．
（2）设M（u，v），直线MA：
，由此可得切线AB 的⽅程为
＝0，由直线
AB 与圆相切得
，由此能求出存在两个定点T1（0，﹣1），T2（0，1），满⾜
＝
恒为定值．
【解答】证明：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设l：y＝kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
，得x2﹣8kx﹣8b+1＝0，
则x1x2＝﹣8b+1，…（2 分）
⼜由y＝
，得
，
，x1x2＝﹣16，
∴﹣8b+1＝﹣16，∴b＝
，…（4 分）
∴l 的⽅程为y＝kx+
，恒过定点（0，
）．…（5 分）
解：（2）设M（u，v），直线MA：y﹣y1＝
（x﹣x1），即
，
⼜MA 经过M（u，v），∴
，即
＝0，
∴
，
由此可得切线AB 的⽅程为
＝0，…（8 分）
由直线AB 与圆相切得
＝1，化简得
，…（10 分）
从⽽动点M 的轨迹⽅程为
，为焦点在y 轴上的双曲线．
取T1（0，﹣1），T2（0，1），则
＝
＝
＝
＝
为定值
故存在两个定点T1（0，﹣1），T2（0，1），满⾜
＝
恒为定值．…（12 分）
【点评】本题考查直线恒过定点的证明及定点坐标的求法，考查两直线的斜率之积恒为定值的定点是否
存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意⻙达定理、导数数性质、直线⽅程、圆的性质的合理运⽤．
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