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微重点 15 离心率的范围问题
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解
决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．
考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2022·南京模拟)设e ，e 分别为具有公共焦点F 与F 的椭圆和双曲线的离心率，P
1 2 1 2
为两曲线的一个公共点，且满足∠FPF＝，则ee 的最小值为( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
答案 A
解析 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a，不妨设|PF|>|PF|，
1 2 1 2
由椭圆和双曲线的定义可得
得
设|FF|＝2c，
1 2
因为∠FPF＝，由余弦定理得
1 2
|FF|2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|·cos∠FPF，
1 2 1 2 1 2 1 2
即4c2＝(a＋a)2＋(a－a)2－2(a＋a)(a－a)cos ，
1 2 1 2 1 2 1 2
整理得a＋3a＝4c2，故＋＝4.
又4＝＋≥2＝，
即2≥，
所以ee≥，
1 2
即ee 的最小值为，
1 2
当且仅当＝.即e＝，e＝时，等号成立．
1 2
(2)(2022·杭州模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过原点的直线l与
1 2
椭圆C相交于M，N两点(点M在第一象限)．若|MN|＝|FF|，≥，则椭圆C的离心率e的最
1 2
大值为( )
A. B.－1
C. D.－1
答案 D解析 依题意作图，如图所示，
由于|MN|＝|FF|，并且线段MN，FF 互相平分，∴四边形MF NF 是矩形，
1 2 1 2 1 2
其中∠FMF ＝，
1 2
∴|NF |＝|MF |，
1 2
设|MF |＝x，则|MF |＝2a－x，
2 1
根据勾股定理得|MF |2＋|MF |2＝|FF|2，
1 2 1 2
即x2＋(2a－x)2＝4c2，
整理得x2－2ax＋2b2＝0，
由于点M在第一象限，
则x＝a－，
由题意得＝≥，∠MF F≥，
1 2
即|MF |≥|FF|，a－≥c，
2 1 2
整理得2a2－2ac－c2≥0，e2＋2e－2≤0，
解得0＜e≤－1，
即e的最大值为－1.
规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关
于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
跟踪演练1 (2022·嘉兴模拟)如图，已知F ，F 分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦
1 2
点，O为坐标原点，其渐近线与圆x2＋y2＝a2在第二象限交于点P，过P作圆的切线过双曲
线的左焦点且与右支交于点 Q，若|PQ|>|QF|＋|OF|，则双曲线的离心率的取值范围是
2 2
________．
答案
解析 因为OP⊥PF，
1
所以|PF|＝＝b.
1
由双曲线的定义得|PQ|＋b－|QF|＝2a，
2所以|PQ|＝2a－b＋|QF|，
2
因为|PQ|>|QF|＋|OF|，
2 2
所以2a－b＋|QF|>|QF|＋c，
2 2
所以2a－b>c，
即2a－c>b，
所以2>b2＝c2－a2，
所以21e2＋40e－125<0，
所以(3e－5)(7e＋25)<0，
所以e<，
因为直线FQ与双曲线的右支相交，
1
所以tan∠QFF<，
1 2
所以<，
所以a20，
所以e2>2，所以e>.
所以b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，
使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，
∠OPA＝α，
∵存在M，N使得∠MPN＝120°，
∴∠APB≥120°，即α≥60°，
又α<90°，
∴sin α≥sin 60°，
连接OA，则sin α＝＝≥，
∴|OP|≤.
又P是C上任意一点，
则|OP| ≤，
max
又|OP| ＝a，∴a≤，
max
则由a2＝b2＋c2，得e2≤，
又0b>0)的左、右焦点，若在直线x＝－
1 2
(c为半焦距)上存在点P，使|PF|的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为(
1
)
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图所示，椭圆＋＝1，
可得焦距|FF|＝2c，
1 2
因为在直线x＝－上存在点P，使|PF|的长度恰好为椭圆的焦距，
1
可得|MF |≤2c，即－c≤2c，
1
可得a2≤3c2，即≥，解得≥，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，
所以e∈.
(2)(2022·萍乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F ，
1
F ，以FF 为直径的圆交双曲线一条渐近线于 P，Q两点，若cos∠PAQ≥－，则该双曲线
2 1 2
离心率的取值范围是( )
A．(1，] B.
C. D．[，＋∞)
答案 B
解析 以FF 为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，
1 2
双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，
由
解得(不妨设)P(a，b)，Q(－a，－b)，A(－a，0)，
所以AP＝(2a，b)，AQ＝(0，－b)，
所以cos∠PAQ＝
＝
＝－≥－，
即≤，
解得≤，
所以双曲线的离心率10，b>0)的左、右
焦点分别为F ，F ，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的点 P，使得
1 2
∠PFF＝3∠PFF，则双曲线离心率的取值范围为____________．
2 1 1 2
答案 (，2)
解析 双曲线C与直线y＝x有交点，
则>1，＝>1，
解得e＝>，
双曲线上存在不是顶点的点P，
使得∠PFF＝3∠PFF，
2 1 1 2则P点在右支上，设PF 与y轴交于点Q，由对称性知|QF|＝|QF|，
1 1 2
所以∠QFF＝∠QFF，
1 2 2 1
所以∠PFQ＝∠PFF－∠QFF
2 2 1 2 1
＝2∠PFF＝∠PQF ，
1 2 2
所以|PQ|＝|PF|，
2
所以|PF|－|PF|＝|PF|－|PQ|
1 2 1
＝|QF|＝2a，
1
由|QF|>|OF|得2a>c，
1 1
所以e＝<2，
在△PFF 中，∠PFF＋∠PFF＝4∠PFF<180°，∠PFF<45°，
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
所以＝cos∠PFF>，
1 2
即e＝>，
综上，b>0)的左、右焦点，若椭
1 2
圆上存在一点P使得PF1·PF2＝c2，则椭圆C的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设点P(x，y)，PF1·PF2
＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2
＝x2－c2＋b2－x2＝x2－c2＋b2，
因为0≤x2≤a2，
所以b2－c2≤PF1·PF2≤b2，
即b2－c2≤c2≤b2，
结合b2＝a2－c2可得≤≤，
所以e∈.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线的右支上，且|
1 2
PF|＝4|PF|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
1 2
A. B. C．2 D.
答案 B
解析 方法一 由双曲线的定义知|PF|－|PF|＝2a，①
1 2
又|PF|＝4|PF|，②
1 2
故联立①②，解得|PF|＝a，|PF|＝a.
1 2
在△PFF 中，由余弦定理，
1 2
得cos∠FPF＝＝－e2，
1 2
要求e的最大值，即求cos∠FPF 的最小值，
1 2
当cos∠FPF＝－1时，
1 2
解得e＝，即e的最大值为.
方法二 由双曲线的定义知，|PF|－|PF|＝2a，
1 2
又|PF|＝4|PF|，
1 2
∴|PF|＝a，|PF|＝a，
1 2
∵|FF|＝2c，
1 2
∴a＋a≥2c，
∴≤，
即双曲线的离心率e的最大值为.
3．(2022·湘豫名校联考)已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，以线
1 2
段FF 为直径的圆O与双曲线M在第一象限交于点A，若tan∠AFF≤2，则双曲线M的离
1 2 2 1
心率的取值范围为( )
A．[，＋∞) B．(1，]
C．(1，] D．[，＋∞)
答案 D
解析 依题意可得|AF|－|AF|＝2a，
1 2
又|AF|2＋|AF|2＝|FF|2＝4c2，
1 2 1 2
所以(|AF|＋2a)2＋|AF|2＝4c2，
2 2
得|AF|＝－a＋，
2
所以|AF|＝2a＋|AF|＝a＋，
1 2
所以tan∠AFF＝＝≤2，
2 1
得c2≥5a2，得e≥.
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线x＝2a与C交于A，B两点(A在B的上方)，DA＝
AB，点E在y轴上，且EA∥x轴．若△BDE的内心到y轴的距离不小于，则C的离心率的最
大值为( )
A. B.
C. D.
答案 B解析 因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以A(2a，b)，
B(2a，－b)，
则|AB|＝2b.
因为DA＝AB，
所以A是线段BD的中点，
又EA∥x轴，
所以|ED|＝|EB|，EA⊥BD，
所以△BDE的内心G在线段EA上．
因为DG平分∠EDA，在△EDA中，
由角平分线定理知＝，
因为G到y轴的距离不小于，
所以≥＝2，
所以≥2，所以∠EDA≥60°，
因此tan∠EDA＝＝≥，
即a≥3b，≤，
故1b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，
1 2
长轴长为4，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A．|QF|＋|QF|＝4
1 2
B．当离心率为时，|QF|的最大值为2＋
1
C．椭圆C离心率的取值范围为
D．存在点Q使得QF1·QF2＝0
答案 AB
解析 由长轴长为4，故2a＝4⇒a＝2，由点Q在椭圆上，
根据椭圆的定义得|QF|＋|QF|＝4，故A正确；
1 2
当离心率为时，可得e＝＝⇒c＝，
则|QF|的最大值为2＋，故B正确；
1
点P(，1)在椭圆内部，故＋<1⇒4>b2>2，
椭圆C的离心率为e＝＝∈，故C错误；
由选项C知，c＝ae∈(0，)，b∈(，2)，
∴|OQ| ＝b>c，
min
故不存在点Q使得QF1·QF2＝0，故D错误．
6．(多选)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近
线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则( )
A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点
B．C的离心率的最大值是
C．若FA·FB>0，则C的离心率的取值范围是
D．若OA＝AB，则C的离心率为
答案 ACD
解析 对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切
的直线与C没有公共点(如图)，故选项A正确；
对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知|FD|＝b，
因为圆F与直线l相交，
所以b0，
则0<∠AFB<，故0<∠AFD<，
故cos∠AFD>，所以>，
即>，a，
又由B知e∈(1，)，
所以e∈，故选项C正确；
对于D，因为OA＝AB，
所以A为线段OB的中点，
设|AD|＝m，则|OA|＝2m，|OD|＝3m，在Rt△AFD和Rt△OFD中，
由勾股定理得
消去m2，得c2＝9a2－8b2，即17a2＝9c2，
所以e＝，故选项D正确．
7．(2022·湖南六校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点Q是双曲
线C的左支上一动点，圆O：x2＋y2＝1与y轴的一个交点为P，若|PQ|＋|QF|＋|PF|≥13，则
双曲线C的离心率的取值范围为________．
答案
解析 设双曲线C的左焦点为F′，
则|QF|－|QF′|＝2a，
即|QF|＝|QF′|＋2a，
故|QF|＋|PQ|＝|QF′|＋|PQ|＋2a
≥|PF′|＋2a.
由题意可得|PF|＝|PF′|＝＝5，
∵|PQ|＋|QF|＋|PF|≥|PF′|＋2a＋|PF|
＝10＋2a≥13，∴a≥，
则双曲线C的离心率e＝＝≤.
∴1b>0)和C ：＋＝1有相同的焦点F ，F ，离心
1 1 1 2 1 2
率分别为e ，e ，B为椭圆C 的上顶点，FP⊥FB，且垂足P在椭圆C 上，则的最大值是
1 2 1 2 1 2
________．
答案
解析 由图知e＝＝，
1
e＝＝＝，
2
则＝，
设∠PFF＝θ，|FF|＝2c，
1 2 1 2则|PF|＋|PF|＝2c·(sin θ＋cos θ)，
1 2
|BF|＝，
1
则＝(sin θ＋cos θ)·cos θ
＝sin＋≤，
当且仅当2θ＝时，等号成立．
