7.1 条件概率与全概率公式
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：条件概率的概念............................................................. 2
考点二：概率的乘法公式............................................................. 2
考点三：条件概率的性质............................................................. 2
考点四：条件概率的两种解法....................................................... 2
考点五：全概率公式................................................................... 3
考点六：贝叶斯公式................................................................... 3
考点七：贝叶斯公式的运用条件.................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：条件概率的定义及计算.................................................... 4
题型二：条件概率性质的应用....................................................... 7
题型三：利用全概率公式求概率...................................................12
题型四：贝叶斯公式的应用........................................................ 17
题型五：条件概率与全概率公式的综合应用.................................... 23
模块三：综合巩固....................................................................... 29
7.1 条件概率与全概率公式
模块一：基础知识
考点一：条件概率的概念
1．一般地，设A，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P（AB）
P（A）
为在事件A 发生的条件下，事
件B 发生的条件概率，简称条件概率．
2．条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系
考点二：概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘
法公式．
考点三：条件概率的性质
1.设A，B，C 都是事件且P(A)＞0.
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B 与C 互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2.一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所讲的条件概率则是随机试验结果的一部分信
息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，如某一事件A 已经发生，求另一事件B 在此条件
下发生的概率．
3.从集合角度理解条件概率
如图，用单位矩形来表示样本空间Ω，用矩形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为
相应事件的概率，设A，B 是Ω的子集．
条件概率P(B|A)＝PAB
PA
，实际上是仅局限于A 事件这个范围来考查B 事件发生的概率．几何直观上，相
当于B 在A 内的那部分AB 在A 中所占的比例．
考点四：条件概率的两种解法
1．定义法：先求
( )
P A 和
(
)
P AB ，再由
(
)
(
|
)
( )
P AB
P B A
P A
求
(
|
)
P B A ．
2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数( )
n A ，再求事件A 发生的条件下
事件B 包含的基本事件数(
)
n AB ，得
(
)
(
|
)
( )
n AB
P B A
n A
.
考点五：全概率公式
【引例理解】
如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1 号箱装有1 个红球和4 个白球，2 号箱装有2 个红球和3 个
白球，3 号箱装有3 个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球.
(1)求取得红球的概率；
(2)发现该球是红球，求该球是取自1 号箱的概率．
提示：(1)设事件Bi 表示“球取自i 号箱”(i＝1,2,3)，事件A 表示“取得红球”，其中B1，B2，B3 两两互斥，A
发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A 两两互斥．运用互
斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)＝
P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝1
3×1
5＋1
3×2
5＋1
3×3
3＝8
15.因此，取得红球的概率为8
15.
(2)设事件Bi 表示“球取自i 号箱”，事件A 表示“取得红球”，由问题1 知P(A)＝8
15.由条件概率公式得
P(B1|A)＝PB1A
PA
＝PB1PA|B1
PA
＝
1
3×1
5
8
15
＝1
8.
【定义】
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则
对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝∑
n
i＝1P(Ai)P(B|Ai）.
考点六：贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事
件B⊆Ω，P(B)>0，有P(
)=
.i＝1，2，…，n.
考点七：贝叶斯公式的运用条件
1．A 的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(
)已知.
2．事件B 是已经发生的确定事实，且A 的每种情况发生的条件下B 发生的概率已知，即P(
)已知.
3．P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到.
4．求解的目标是用A 的某种情况
的无条件概率求其在B 发生的条件下的有条件概率P(
).
模块二：题型分类
题型一：条件概率的定义及计算
1．已知
(
)
P A B 表示在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，则
(
)
P A B （
）
A．
( )
( )
P A
P B
B．
( )
( )
P B
P A
C．
(
)
P AB
D．
(
)
( )
P BA
P B
【答案】D
【分析】考查条件概率定义.
【详解】根据条件概率定义
(
)
(
)
( )
P BA
P A B
P B
，所以D 正确.
故选：D.
2.已知��= 0.5，��= 0.3，��∩�= 0.1，求��|�=（
）
A．
1
10
B．
1
3
C．
1
5
D．1
【解题思路】直接利用条件概率公式计算.
【解答过程】由题可得��|�=
���
��
=
�.�
�.�=
�
�.
故选：C.
3．甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从A ，B ，C ，D 四个社区中随机选择一个
社区，设事件M 为“甲和乙至少一人选择了A 社区”，事件N 为“甲和乙选择的社区不相同”，则
(
|
)
P N M
（
）
A．5
6
B．6
7
C．7
8
D．5
9
【答案】B
【分析】
由古典概型、条件概率计算公式即可得解.
【详解】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有
2
4
16
（种），
事件M 发生的情况共有
2
16
3
7
（种），事件M 和事件N 同时发生的情况共有6 种，
所以
6
6
16
|
7
7
16
P MN
P N M
P M
.
故选：B.
4.连续抛掷一枚质地均匀的骰子3 次，观察向上的点数．在第1 次出现奇数的条件下，3 次出现的点数之
积为偶数的概率为（
）
A．
1
2
B．
5
8
C．
3
4
D．
7
8
【解题思路】设第一次出现奇数为事件�，3 次出现的点数之积为偶数为事件�，结合条件概率的计算公式，
即可求解.
【解答过程】设第一次出现奇数为事件�，3 次出现的点数之积为偶数为事件�，
则�(�) =
�
�=
�
�，�(��) =
(�×�×�−�×�×�)
���
=
�
�，
所以�(�|�) =
�(��)
�(�) =
�
�
�
�
=
�
�.
故选：C.
5．已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个
班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（
）
A．22.5%
B．30%
C．40%
D．75%
【答案】C
【分析】由条件概率的公式计算即可得.
【详解】设事件A 为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件B 为“抽到喜欢科普阅读的学生”，
则
0.75
P A
，
0.3
P AB
，
则
0.3
2
0.75
5
P AB
P B A
P A
，
即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为40% .
故选：C.
6.从1～100 这100 个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50 的数，则它是2 或3 的倍数的概率
为
．
【答案】33
50
【详解】根据题意可知取出的一个数是不大于50 的数，则这样的数共有50 个，其中是2 或3 的倍数共有
33 个，故所求概率为33
50 .
故答案为33
50 .
7.袋中有5 个小球(3 白2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，
第二次取到白球的概率是
，两次都取到白球的概率是
．
【答案】
1
2
3
10
【分析】在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球，是一个条件概率，先求出第一次取到白球的概率
和两次都取到白球的概率，然后根据条件概率公式求解即可，
【详解】记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，
由题意可得
3
3 2
3
( )
,
(
)
5
5 4
10
P A
P AB
,
所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是
3
(
)
1
10
(
)
3
( )
2
5
P AB
P B A
P A
故答案为：1
2 ，3
10
8.甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件
A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则
|
P A B （
）
A．8
9
B．2
9
C．3
8
D．3
4
【答案】B
【分析】分别求出事件AB 、事件B 的可能的种数，代入条件概率公式
|
P AB
P A B
P B
即可得解.
【详解】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3 名同学排列在其它3 个项目，
且互不相同为
3
3A ，
事件B：甲选羽毛球，所以其它3 名同学排列在其它3 个项目，可以安排在相同项目为
33 ，
3
3
4
3
4
2
4
|
3
9
4
A
P AB
P A B
P B
.
故选：B
【点睛】本题考查条件概率、排列组合，属于基础题.
9.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨
询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“四名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有
甲同学一人报关怀老人项目”，则��|�的值为（）
A．
1
4
B．
3
4
C．
1
9
D．
2
9
【解题思路】由条件概率和独立事件的公式直接求解处理即可.
【解答过程】由题意得��=
33
44 =
27
256，P(��) =
A�
�
��=
�
���，
故�(�|�) =
�(��)
�(�) =
�
���×
���
��=
�
�.
故选：D.
10.将甲、乙、丙、丁4 名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1 名医生，A
表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则
（
）
A．事件A 与B 相互独立
B．事件A 与C 相互独立
C．��|�=
5
12
D．��|�=
5
12
【解题思路】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD.
【解答过程】将甲、乙、丙、丁4 名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含��
���
�= ��（个）样本点，
它们等可能，
事件A 含有的样本点个数为��
�+ ��
���
�= ��，
则��=
��
��=
�
�，
同理��= ��=
�
�，
事件AB 含有的样本点个数为��
�= �，则���=
�
��=
�
��，
事件AC 含有的样本点个数为��
�+ ��
���
�= �，则���=
�
��，
对于A，����=
�
�≠���，即事件A 与B 不相互独立，故A 不正确；
对于B，����=
�
�≠���，即事件A 与C 不相互独立，故B 不正确；
对于C，��|�=
���
��
=
�
�，故C 不正确；
对于D，��|�=
���
��
=
�
��，故D 正确．
故选：D.
题型二：条件概率性质的应用
1.已知
( )
0.5, ( )
0.3, (
)
0.1
P A
P B
P B
A
，求：
(1)
(
)
P B A ；
(2)
(
)
P A B ．
【答案】(1)0.2
(2) 1
3
【分析】（1）根据条件概率公式计算即可得出答案.（2）根据条件概率公式计算即可得出答案.
【详解】（1）解：因为
( )
0.5, (
)
0.1
P A
P B
A
，
所以
(
)
0.1
(
)
0.2
0.5
P B
A
P B A
P A
；
（2）解：因为
( )
0.3, (
)
0.1
P B
P B
A
，
所以
(
)
0.1
1
(
)
0.3
3
P B
A
P A B
P B
.
2.已知
1
(
|
)
(
|
)
2
P A B
P B A
，
3
( )
4
P A
，则
( )
P B
.
【答案】1
4 /0.25
【分析】由条件概率公式求解，
【详解】由题意得
1
( )
1
( )
4
P A
P A
，而
(
)
1
(
|
)
( )
2
P AB
P B A
P A
，得
1
(
)
8
P AB
，
而
(
)
1
(
|
)
( )
2
P AB
P A B
P B
，解得
1
( )
4
P B
，
故答案为：1
4
3.分别在下列各条件下，求
( ), (
)
P B P A B ：
(1)
( )
0.4, (
)
0.25, (
)
0.3
P A
P B A
P B A
；
(2)
( )
0.5, (
)
0.2, (
)
0.4
P A
P B A
P B A
．
【答案】(1)
0.28
P B
，
5
(
)
14
P A B
(2)
0.3
P B
，
1
(
)
3
P A B
【分析】（1）由全概率公式结合条件概率的公式与对立事件的概率公式求解即可；
（2）由全概率公式结合条件概率的公式对立事件的概率公式求解即可；
【详解】（1）因为
( )
0.4, (
)
0.25, (
)
0.3
P A
P B A
P B A
所以
0.4 0.25
0.6 0.3
0.28
P B
P A
P B A
P A
P B A
，
由
(
)
P AB
P B A
P A
，
可得
=
=0.25 0.4=0.1
P AB
P B A
P A
，
所以
0.1
10
5
(
)
0.28
28
14
P AB
P A B
P B
；
（2）因为
( )
0.5, (
)
0.2, (
)
0.4
P A
P B A
P B A
所以
0.5 0.2
0.5 0.4
0.3
P B
P A
P B A
P A
P B A
，
由
(
)
P AB
P B A
P A
，
可得
= (
)
=0.2 0.5=0.1
P AB
P B A
P A
，
所以
0.1
1
(
)
0.3
3
P AB
P A B
P B
；
4.已知
(
)
0.5, (
)
0.2
P BA
P BA
，求
( )
P B ．
【答案】0.3
【分析】由全概率公式直接计算即可.
【详解】由
( )
0.5
0.2
0.7
P B
P A
P B A
P A
P B A
P BA
P BA
，
故
1
( )
1
0.7
0.3
P B
P B
.
5.设A ，B 为任意两个事件，且A
B
，
0
P B
，则下列选项必成立的是（
）
A．
|
P A
P A B
B．
|
P A
P A B
C．
|
P A
P A B
D．
|
P A
P A B
【答案】D
【分析】
由题设有
( )
(
)
P A
P AB
，根据条件概率公式有
(
|
) ( )
( )
P A B P B
P A
，结合
1
0
P B
，即可得答案.
【详解】由A
B
，则A
B
A
，故
( )
(
)
( )
P A
P AB
P B
，
而
(
)
( )
(
|
)
( )
( )
P AB
P A
P A B
P B
P B
，则
(
|
) ( )
( )
P A B P B
P A
，又
1
0
P B
，
所以
|
P A
P A B .
故选：D
6.已知�ഥ，�ഥ分别为随机事件A，B 的对立事件，�(�) > 0，�(�) > 0，则下列说法正确的是（
）
A．���
+ ��ഥ�
= �(�)
B．若��+ ��= 1，则A，B 对立
C．若A，B 独立，则���
= �(�)
D．若A，B 互斥，则���
+ ���
= 1
【解题思路】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，
即可得到答案；
【解答过程】对A，���
+ ��ഥ�
=
�(��)+�(��)
�(�)
=
�(�)
�(�) = �，故A 错误；
对B，若A，B 对立，则��+ ��= �，反之不成立，故B 错误；
对C，根据独立事件定义，故C 正确；
对D，若A，B 互斥，则���
+ ���
= �，故D 错误；
故选：C.
7.已知���=
1
3，��=
2
5，则���=（
）
A．
5
6
B．
9
10
C．
2
15
D．
1
3
【解题思路】由条件概率的计算公式求解即可.
【解答过程】由题意，知�(��) = �(��)�(�) =
�
�×
�
�=
�
��.
故选：C.
8.已知事件A，B，C 满足A，B 是互斥事件，且�
�∪��=
1
2，���=
1
12，��=
1
4，则���的值
等于（
）
A．
1
6
B．
1
12
C．
1
4
D．
1
3
【解题思路】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.
【解答过程】由题意，���=
���
��
=
�
�，由�，�是互斥事件知，�
�∪��= ���+ ���，
所以���= �
�∪��−���=
�
�−
�
�=
�
�，
故选：A．
9.已知��> 0，�1�2 = �，则下列式子成立的是（
）
①��1 �
> 0；
②�
�1 ∪�2 �
= ��1 �
+ ��2 �；
③��1�2 �
≠0；
④��1�2 �
= 1.
A．①②③④
B．②
C．②③
D．②④
【解题思路】利用条件概率公式及概率性质辨析
【解答过程】①若���= �则����=
����
��
= �，故����
≥�，故①错误；
②因为����= �所以(���)(���) = ��
��∪���
=
�
��∪���
��
=
����∪���
��
=
����+����
��
=
����
+ ����所以②正确；
③若���= �或���= �则������=�故③错误；
④若���= �或���= �则������=�故④错误.
故选：B.
10.已知事件A，B，C 满足A，B 是互斥事件，且
1
2
P
A
B C
，
1
12
P BC
，
1
4
P C
，则
P A C 的
值等于（
）
A．1
6
B．1
12
C．1
4
D．1
3
【答案】A
【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.
【详解】由题意，
1
3
P BC
P B C
P C
，由A ，B 是互斥事件知，
P
A
B C
P A C
P B C
，
所以
1
1
1
2
3
6
P A C
P
A
B C
P B C
，
故选：A．
11.目前，国际上常用身体质量指数BMI
2
2
kg
m
体重单位：
身高
单位：
来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对
员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为3
100 ；女员工中，肥胖者的占比为2
100 ，已知公
司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（
）
A．3
100
B．9
200
C．3
5
D．3
4
【答案】D
【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.
【详解】设公司男、女员工的人数分别为2n 和n ，
则男员工中，肥胖者有
3
3
2
100
50
n
n
人，
女员工中，肥胖者有
2
100
50
n
n
人，
设任选一名员工为肥胖者为事件A ，肥胖者为男性为事件B ，
则
3
1
50
(
)
3
50
n
P AB
n
，
3
2
50
50
( )
3
75
n
n
P A
n
，
则
1
(
)
3
50
(
)
2
( )
4
75
P AB
P B A
P A
.
故选：D.
题型三：利用全概率公式求概率
1．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次
品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（
）
A．3%
B．4%
C．5%
D．6%
【答案】A
【分析】设出未知数，根据全概率公式列出方程，求出答案.
【详解】设丙车间的次品率为P ，
由题知
0
0
0
0
0.5 3
0.3 5
0.2
3.6%
P
，解得
3%
P
.
故选：A
2.一袋中装有10 个球，其中3 个黑球、7 个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑
球的概率为（
）
A．2
9
B．3
10
C．1
3
D．7
10
【答案】B
【分析】设事件
1A ：表示第1 次取到黑球，事件
2
A ：表示第1 次取到白球，事件B ：表示第2 次取到黑球，
结合
1
2
( )
(
|
)
(
|
)
P B
P B A
P B A
，即可求解.
【详解】设事件
1A ：表示第1 次取到黑球，事件
2
A ：表示第1 次取到白球，
事件B ：表示第2 次取到黑球，可得
1
2
3
7
(
)
,
(
)
10
10
P A
P A
，
则
1
2
3
2
7
3
3
( )
(
|
)
(
|
)
10
9
10
9
10
P B
P B A
P B A
.
故选：B.
3.在2023 亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3 分球投手，在比赛
中，她3 分球投中的概率为
3
4，非3 分球投中的概率为
4
5，且她每次投球投3 分球的概率为
2
3，则该球员投一
次球得分的概率为（
）
A．
3
4
B．
1
2
C．
23
30
D．
17
30
【解题思路】根据全概率公式即可求解.
【解答过程】设事件A 为“该球员投球得分”，事件B 为“该球员投中3 分球得分”，
由全概率公式：��= �����
+ �����
=
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
��
��，
故选：C.
4.2023 贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙
两家影院观影的概率分别为
2
5和
3
5．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为
3
5；如果他第一天
去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为
1
2．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（
）
A．
23
50
B．
1
2
C．
2
5
D．
5
9
【解题思路】设出事件，根据条件概率公式得到���=
�
��, ���=
�
��，结合全概率公式求出答案.
【解答过程】设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，小明第一天去乙影院为事件C，
第二天去乙影院为事件D.
故��=
�
�, ��=
�
�, ���=
�
�, ���=
�
�，
由���=
���
��
=
�
�, ���=
���
��
=
�
�可得���=
�
��, ���=
�
��，
故��= ���+ ���=
�
��+
�
��=
��
��，
则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为���=
���
��=
�
��
��
��
=
�
�.
故选：D.
5.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2 个黑球和4 个白球，乙箱装有2 个黑球和3 个
白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球
是黑球的概率是（
）
A．
11
15
B．
11
30
C．
1
15
D．
2
15
【解题思路】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.
【解答过程】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件�表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，
则�(�) = �(�ഥ) =
�
�, �(��) =
�
�=
�
�, �(��ഥ) =
�
�，
由全概率公式得�(�)�(��) + �(�ഥ)�(��ഥ) =
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
��
��．
故选：B．
6.甲、乙两个袋子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲袋中有2 个红球，2 个白球和1 个黑球，乙袋中
有3 个红球，1 个白球和1 个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事
件�1, �2和�3分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件�表示从乙袋中取出的球是红球，则
�(�)=（
）
A．
17
30
B．
3
5
C．
9
22
D．
4
11
【解题思路】由全概率公式可得.
【解答过程】易知���=
�
�, ���=
�
�, ���=
�
�，
��|��=
�
�, ��|��=
�
�, ��|��=
�
�，
所以�(�) = �����|��+ �����|��+ �����|��
=
�
�×
�
�+
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
��
��.
故选：A.
7.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数
之比为5:3，其中甲班中女生占3
5 ，乙班中女生占1
3 ．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女
生的概率是
．
【答案】1
2 /0.5
【分析】用A1，A2 分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，由题
可知P(B|A1)＝3
5 ，P(B|A2)＝1
3 ，由全概率公式即得.
【详解】如果用A1，A2 分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B 表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2 互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝5
8 ，P(A2)＝3
8 ，
且P(B|A1)＝3
5 ，P(B|A2)＝1
3 .
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝5
8 × 3
5 ＋3
8 × 1
3 ＝1
2 ，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为1
2 .
故答案为：1
2
8.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概
率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为
．
【答案】0.785
【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.
【详解】记A 为事件“植物没有枯萎”，W 为事件“邻居记得给植物浇水”，
则根据题意，知
0.9
P W
，
0.1
P W
，
0.2
P A W
，
0.85
P A W
，
因此
0.85 0.9
0.2 0.1
0.785
P A
P A W P W
P A W P W
．
故答案为：0.785．
9.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50％
30％
20％
优质率
95％
90％
70％
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．
【答案】88.5%
【分析】用事件
1A 、
2
A 、
3
A 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，
事件B 表示“买到的是优质品”，分别计算
1
P A ，
2
P A
，
3
P A
，
则
1
1
2
2
3
3
P B
P A P B A
P A
P B A
P A
P B A
.
【详解】用事件
1A 、
2
A 、
3
A 分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，
事件B 表示“买到的是优质品”，
则
1
2
3
A
A
A
，且
1A ，
2
A ，
3
A 两两互斥，
依据已知可得
1
50%
P A
，
2
30%
P A
，
3
20%
P A
，
且
1
95%
P B A
，
2
90%
P B A
，
3
70%
P B A
，
因此，由全概率公式得
1
1
2
2
3
3
P B
P A P B A
P A
P B A
P A
P B A
50% 95%
30% 90%
20% 70%
88.5%
＝
＋
＋
＝
．
10.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C
表示事件“被诊断者患有癌症”，则有
0.9
P A C
，
0.9
P A C
.现在对自然人群进行普查，设被试验的
人患有癌症的概率为0.01，即
0.01
P C
，则
P C A
.
【答案】1
12
【分析】先求
|
0.1
P A C
，
( )
0.99
P C
，根据条件概率和全概率公式可得
|
P C A
|
( )
|
( )
|
( )
|
P A C P C
P A
P A C P C
P
C P C
P A
A
C P C
，代入计算即可.
【详解】因为
0.9
P A C
，所以
|
1
P A C
|
1
0.9
0.1
P A C
，
因为
( )
0.01
P C
，所以
( )
0.99
P C
，
所以由全概率公式可得
|
|
P A
P A C
P C
P A C
P C
，
因为
P AC
|
P C A
P A
|
P A C P C
所以
|
P C A
|
( )
|
( )
|
( )
|
P A C P C
P A
P A C P C
P
C P C
P A
A
C P C
0.9 0.01
0.9 0.01
0.1 0.99
9
1
108
12
.
故答案为：
1
12 .
11.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班
出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为1
3 ，1
3 ，1
3 ，而他自驾，坐
公交车，骑共享单车迟到的概率分别为1
4 ，1
5 ，1
6 ，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的
概率是（
）
A．12
37
B．15
37
C．3
5
D．4
7
【答案】B
【分析】
设事件A 表示“自驾”，事件B 表示“坐公交车”，事件C 表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概
率公式以及条件概率公式即可得到答案.
【详解】
设事件A 表示“自驾”，事件B 表示“坐公交车”，事件C 表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：
1
1
1
1
( )
( )
( )
,
|
,
|
,
|
3
4
5
6
P A
P B
P C
P D A
P D B
P D C
，
则
1
1
1
1
37
(
)
( )
|
( )
|
( )
|
3
4
5
6
180
P D
P A P D A
P B P D B
P C P D C
，
1
1
1
(
)
( )
|
3
4
12
P AD
P A P D A
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是
1
(
)
15
12
(
)
37
(
)
37
180
P AD
P A D
P D
∣
.
故选：B.
12.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20% 的人近视，而该校大约有10% 的学生每天玩手
机超过1 小时，这些人的近视率约为60% ，现从每天玩手机不超过1 小时的学生中任意调查一名学生，则
他近视的概率为（
）
A．5
21
B．9
40
C．7
45
D．7
20
【答案】C
【分析】
根据给定条件，结合全概率公式列式求解作答.
【详解】
令
1A =“玩手机时间超过1 小时的学生”，
2
A =“玩手机时间不超过1 小时的学生”，B =“任意调查一人，此人
近视”，
1
2
A
A
，且
1
2
,
A A 互斥，
1
2
1
0.1
0.9
|
0.6,
0
,
.2
,
P A
P A
P B A
P B
，
依
题
意
有
1
1
2
2
2
|
|
0.1 0.6
0.9
|
0.2
P B
P A P B A
P A
P B A
P B A
，
解
得
2
0.14
7
0.9
45
|
P B A
从每天玩手机不超过1 小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为7
45 .
故选：C
题型四：贝叶斯公式的应用
1.一道考题有4 个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为
1
3，在乱猜
时，4 个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（
）
A．
1
3
B．
2
3
C．
3
4
D．
1
4
【解题思路】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.
【解答过程】设�表示“考生答对”，�表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得��= �����
+ ��ഥ���ഥ
=
�
�× �+
�
�×
�
�=
�
�.
又由贝叶斯公式得���
=
�����
��
=
�
��
�
�
=
�
�.
故选：B.
2.三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40% ，机器乙生产的占25% ，机器丙生产的占35% .已
知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1% 不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中
随机地抽取一个零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.
【答案】(1)0.028
(2)它是机器乙生产的概率最大
【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案.
（2）根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】（1）取到的是不合格品的概率为：
0.4 0.03
0.25 0.05
0.35 0.01
0.028
.
（2）取到的产品为不合格品，
它是机器甲生产的概率为0.4 0.03
12
3
0.028
28
7
，
它是机器乙生产的概率为0.25 0.05
125
25
0.028
280
56
，
它是机器甲生产的概率为0.35 0.01
35
7
0.028
280
56
，
所以它是机器乙生产的概率最大.
3.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数
相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是
．
【答案】14
15
【分析】以事件A 表示“选出的是男性”，则事件A 表示“选出的是女性”，以事件H 表示“选出的人是色盲
患者”.由已知得
1
2
P A
P A
，
7%
P H A
，
0.5%
P H A
.根据贝叶斯公式可求得答案.
【详解】解：以事件A 表示“选出的是男性”，则事件A 表示“选出的是女性”，以事件H 表示“选出的人是
色盲患者”.
由题意，知
1
2
P A
P A
，
7%
P H A
，
0.5%
P H A
.
由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为
1
7%
14
2
1
1
15
7%
0.5%
2
2
P H A P A
P AH
P A H
P H
P H A P A
P H A P A
.
故答案为：14
15 .
4.甲和乙两个箱子中各装有10 个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4 个红球、3 个白球和3 个黑球，
乙箱中有5 个红球、2 个白球和3 个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用
1A 、
2
A 和
3
A 表示由
甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B 表示由乙箱取出的球是红球的
事件，则
2
P A B
【答案】5
18
【分析】由题设求出
1
4
(
)
10
P A
，
2
3
(
)
10
P A
，
3
3
(
)
10
P A
，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可．
【详解】由题意得
1
4
(
)
10
P A
，
2
3
(
)
10
P A
，
3
3
(
)
10
P A
，
若
1A 发生，此时乙箱中有6 个红球，2 个白球和3 个黑球，则
1
6
(
|
)
11
P B A
，
先
2
A 发生，此时乙箱中有5 个红球，3 个白球和3 个黑球，则
2
5
(
|
)
11
P B A
，
先
3
A 发生，此时乙箱中有5 个红球，2 个白球和4 个黑球，则
3
5
(
|
)
11
P B A
．
2
2
2
5
3
15
(
)
(
|
) (
)
11
10
110
P A B
P B A P A
，
1
1
2
2
3
3
24
15 15
54
(
|
)
(
|
)
(
|
)
110
110
P B
P B A P A
P B A P A
P B A P A
；
2
2
(
)
15
5
( )
54
18
P A B
P A B
P B
.
故答案为：5
18
5.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记
为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为2
5 ，被标记
为垃圾邮件的有1
10 的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有1
10 的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系
统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为
.
【答案】6
7
【分析】记A “正常邮件”，B “标记为正常邮件”，根据题设有
2
( )
5
P B
，
1
(
|
)
10
P A B
，
1
(
|
)
10
P A B
，
再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功过滤的概率.
【详解】记A “正常邮件”，B “标记为正常邮件”，则
2
( )
5
P B
，
1
(
|
)
10
P A B
，
1
(
|
)
10
P A B
，
所以
3
( )
1
( )
5
P B
P B
，
9
(
|
)
1
(
|
)
10
P A B
P A B
，
故
3
18
21
( )
(
|
) ( )
(
|
) ( )
50
50
50
P A
P A B P B
P A B P B
，
所以
18
( ) (
|
)
6
50
(
|
)
21
7
( )
50
P B P A B
P B A
P A
.
故答案为：
6
7
6.根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃
饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为
1
3和
2
3，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为
3
4，
若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为
1
2，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食
堂一楼的概率为（
）．
A．
3
7
B．
4
7
C．
1
5
D．
4
5
【解题思路】利用贝叶斯概率公式求解即可.
【解答过程】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，
则本题所求���ഥ
=
��ഥ�⋅��
��ഥ�⋅��+��ഥ�ഥ⋅��ഥ=
�
��
�
�
��
�+�
��
�
=
�
�．
故选：A．
7.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以�表示事件“试验反应为阳性”，以�表示
事件“被诊断者患有癌症”，则有�(�|�) = 0.95，�(�ഥ|�ഥ) = 0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人
患有癌症的概率为0.005，即��= 0.005，则�(�|�) ≈（
）
A．0.087
B．0.950
C．0.050
D．0.475
【解题思路】根据条件概率的性质及变式可求得�(�|�ഥ)，由已知可求得��ഥ= �. ���，根据贝叶斯公式
可求得答案．
【解答过程】解：因为�(�ഥ|�ഥ) = �. ��，所以�(�|�ഥ) = �−�(�ഥ|�ഥ) = �. ��，
因为��= �. ���，所以��ഥ= �. ���，
所以由全概率公式可得��= �(�|�) ⋅��+ �(�|�ഥ) ⋅��ഥ，
因为���= �(�|�)��= �(�|�)��，
所以�(�|�) =
�(�|�)��
�(�|�)��+�(�|�ഥ)��ഥ=
�.���.���
�.���.���+�.���.���=
��
���．
所以�(�|�) =
��
���≈�. ���．
故选：A.
8.某次考试共有8 道单选题，某学生掌握了其中5 道题，2 道题有思路，1 道题完全没有思路．掌握了的题
目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为3
5 ，没有思路的题目，只好任意猜一个答
案，猜对的概率为1
4 ．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（）
A．3
20
B．8
43
C．1
4
D．3
5
【答案】B
【分析】
根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.
【详解】
设事件
1A 表示选到会做的题，事件
2
A 表示选到有思路的题，事件
3
A 表示选到完全没有思路的题；
设事件B 表示答对该题，则
1
2
3
(
|
)
1
(
|
)
(
1
)
5
|
3
4
P B A
P B A
P B A
，
，
，
设事件U 表示答对某个题，
则
1
1
2
2
3
3
5
2
1
(
)
(
) (
|
)
(
) (
|
)
3
5
(
) (
|
)
1
8
8
8
P U
P A P B A
P A P B A
P A P B A
12
4
0
1
9
16
，
设事件C 表示将有思路的题目做对，则
2
2
(
) (
|
)
8
( )
(
)
43
P A P B A
P C
P U
，
故选：B
9.托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：����
=
�������
�=1
�
�������，
这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中
�=1
�
�������称为�的全概率．假设甲袋中有3
个白球和2 个红球，乙袋中有2 个白球和2 个红球．现从甲袋中任取2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取2
个球．已知从乙袋中取出的是2 个白球，则从甲袋中取出的也是2 个白球的概率为（
）
A．
37
150
B．
9
75
C．
18
37
D．
1
2
【解题思路】根据题意，先分析求解设从甲中取出�个球，其中白球的个数为�个的事件为��，事件��的概
率为���，从乙中取出�个球，其中白球的个数为2 个的事件为�，事件�的概率为��，再分别分析�=
�, �, �三种情况求解即可
【解答过程】设从甲中取出�个球，其中白球的个数为�个的事件为��，事件��的概率为���，从乙中取
出�个球，其中白球的个数为2 个的事件为�，事件�的概率为��，由题意：
①���=
C�
�C�
�
C�
�=
�
��，��|��=
C�
�C�
�
C�
�=
�
��；
②���=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�，��|��=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�；
③���=
C�
�C�
�
C�
�=
�
��，��|��=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2 个红球，则从甲袋中取出的也是2 个红球的概率为���|�=
�����|��
�����|��+�����|��+�����|��
=
�
���
�
�
��× �
��+�
��
�+ �
���
�
=
�
�+�+�=
��
��
故选：C.
10.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、5箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，
但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（
）
A．2
9
B．3
8
C．1
12
D．5
8
【答案】B
【分析】用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用
1
B 表示丢失的一箱为英语书，
2
B 表示丢失的一箱为
数学书，利用全概率公式计算出
P A 的值，然后利用贝叶斯公式计算出
1
P B A 的值.
【详解】用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用
1
B 表示丢失的一箱为英语书，
2
B 表示丢失的一箱为
数学书，
则
1
2
1
2
P B
P B
，
2
4
1
2
9
C
6
1
C
36
6
P A B
，
2
5
2
2
9
C
10
5
C
36
18
P A B
，
由全概率公式可得
1
1
2
2
1
1
1
5
2
2
6
2
18
9
P A
P B
P A B
P B
P A B
，
所以，
1
1
1
1
3
2
6
2
8
9
P AB
P B A
P A
.
故选：B.
11.盒子里有1 个红球与n 个白球，随机取球，每次取1 个球，取后放回，共取2 次.若至少有一次取到红球
的条件下，两次取到的都是红球的概率为1
9 ，则n （
）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】分别计算出至少有一次取到红球与两次都取到红球的概率，用条件概率计算公式计算.
【详解】设事件A 为至少有一次取到红球，事件B 为两次都取到红球，由每次取后放回知
2
1
1
1
1
1
1
P B
n
n
n
两次都取到白球的概率为
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
故
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
P A
n
n
1
1
|
2
1
9
P AB
P B
P B A
P A
P A
n
，故
4
n
.
故选：B
12.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此
时笼内共有8 只蝇子：6 只果蝇和2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到
两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件
kA 表示“第k 只飞出笼的是苍蝇”，
1,2,
,8
k
，则
5
2
|
P A
A
为（
）
A．1
5
B．1
6
C．1
7
D．2
5
【答案】C
【分析】利用条件概率的计算公式以及排列数、组合数进行计算求解.
【详解】由题得
1
7
2
7
2
8
8
C
A
1
A
4
P A
，
2
6
2
6
2
5
8
8
A
A
1
A
28
P A A
，
则
2
5
5
2
2
1
7
P A A
P A
A
P A
∣
，故A，B，D 错误.
故选：C.
题型五：条件概率与全概率公式的综合应用
1.现有两台车床加工同一型号的零件，第1 台车床加工的零件次品率为6%，第2 台车床加工的零件次品率
为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1 台车床加工的零件数与第2 台车床加工的零件数之比为2：3，
从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率；
(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
【答案】(1)0.054
(2) 4
9
【分析】
（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】（1）
解：记事件
1A ：第一台车床加工的零件，记事件
2
A ：第二台车床加工的零件，
记事件B ：这个零件是次品，
由题意可得
1
2
(
)
0.4
5
P A
，
2
3
(
)
0.6
5
P A
，
1
(
|
)
0.06
P B A
，
2
(
|
)
0.05
P B A
，
由全概率公式可得：
1
1
2
2
( )
(
)
(
|
)
(
)
(
|
)
0.4 0.06
0.6 0.05
0.054
P B
P A
P B A
P A
P B A
.
（2）
解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为
1
1
1
1
(
)
(
)
(
|
)
0.024
4
(
|
)
( )
( )
0.054
9
P A B
P A
P B A
P A B
P B
P B
.
2.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1 号箱装有1 个黑球和3 个白球，2 号箱装有
2 个黑球和2 个白球，3 号箱装有3 个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，
再从取出的箱中任意摸出一球，记事件��（�= 1，2，3）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．
(1)求�(�)的值：
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
【解题思路】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，
即黑球取自于1 号，2 号或者3 号箱，故事件�属于全概率事件，分别计算出�(��)和�(�|��), �= �, �, �，
代入全概率公式即得；
（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率�(��|�), �= �, �, �，根据条件概率
公式分别计算再比较即得.
【解答过程】（1）由已知得：�(��) = �(��) = �(��) =
�
�,�(�|��) =
�
�, �(�|��) =
�
�, �(�|��) = �,而
�(���) = �(�|��) ⋅�(��) =
�
�×
�
�=
�
��, �(���) = �(�|��) ⋅�(��) =
�
�×
�
�=
�
�, �(���) = �(�|��) ⋅
�(��) = �×
�
�=
�
�.
由全概率公式可得：�(�) = �(���) + �(���) + �(���) =
�
��+
�
�+
�
�=
�
��.
（2）因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1 号箱”可表示为：���,其概率为�(��|�) =
�(���)
�(�) =
�
��
�
��
=
�
�,
“小明取出的球是黑球，该黑球来自2 号箱”可表示为：���,其概率为�(��|�) =
�(���)
�(�) =
�
�
�
��
=
�
�,
“小明取出的球是黑球，该黑球来自3 号箱”可表示为：���,其概率为�(��|�) =
�(���)
�(�) =
�
�
�
��
=
�
�.
综上，�(��|�)最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3 号箱的概率最大.
3．中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两
个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3 盒肉馅的“饺子”，2 盒三鲜馅的“饺子”和5 盒
青菜馅的“饺子”,乙箱中有3 盒肉馅的“饺子”，3 个三鲜馅的“饺子”和4 个青菜馅的“饺子”.问：
(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是
肉馅的概率.
【详解】（1）设事件A “取出饺子是肉馅”，
3
10
P A
，
（2）设事件B “甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件C “取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
3
2
2
10
9
3
9
10
P BC
P C B
P B
（3）设事件D =“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.
设事件
1A ，
2
A ，
3
A 分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，
1
1
2
2
3
3
P D
P A P D A
P A
P D A
P A
P D A
3
4
2
3
5
3
3
10
11
10
11
10
11
10
4.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网
约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车
费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素
满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
【解题思路】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用
满意的概率，即可得出结论；
（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.
【解答过程】（1）解：设事件�:用户选择甲公司的网约车出行，事件�:用户对等待时间满意，
事件�:用户对乘车舒适度满意，事件�:用户对乘车费用满意.
则��= �����
+ �����
= �. ��× �. ��+ �. ��× �. ��= �. ����，
��= �����
+ �����
= �. ��× �. ��+ �. ��× �. ��= �. ����，
��= �����
+ �����
= �. ��× �. ��+ �. ��× �. ��= �. ����
所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
（2）解：由题知，���
=
���
��
=
�.���.��
�.����
=
���
����，
���
=
���
��
=
�.���.��
�.����
=
����
����，
所以，���
< ���，故该用户选择乙公司出行的概率更大.
5.第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT 所
用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT 中．某学习小组设计了如下
问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲箱中有3 个红球、2 个白球，乙箱
中有4 个红球、1 个白球．
(1)从甲箱中随机抽出2 个球，在已知抽到红球的条件下，求2 个球都是红球的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1 个球；如果点数大于等于5，从乙
箱子中随机抽出1 个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
【解题思路】（1）利用条件概率公式求摸出的2 个球是红球的概率；
（2）利用全概率公式和贝叶斯公式求红球来自乙箱的概率.
【解答过程】（1）记事件A 表示“抽出的2 个球中有红球”，事件B 表示“两个球都是红球”，
则��= �−
C�
�
C�
�=
�
��，���=
C�
�
C�
�=
�
��，
故���
=
���
��
=
�
��
�
��
=
�
�
（2）设事件C 表示“从乙箱中抽球”，则事件�表示“从甲箱中抽球”，事件D 表示“抽到红球”，
��=
�
�=
�
�,��=
�
�=
�
�,
���
=
�
�,���
=
�
�
��= ���+ ���
= �����
+ �����
=
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
�
�,
故���
=
�����
��
=
�
��
�
�
�
=
�
�.
6.莆田是历史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的争相打卡点，莆田文旅局调查打卡二十四景游客，
发现75%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，莆田文旅局为大家准备了4 种礼物，分别是莆田文化金
属书签､莆阳古厝徽章､广化寺祈福香包､湄洲艺术摆件.若打卡二十四景游客至少打卡两个景点，则有两次
抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4 种礼物中的1 种礼物.假设打卡
二十四景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡二十四景游客中随机抽取3 人，求3 人抽奖总次数不低于4 次的概率；
(2)任选一位打卡二十四景游客，求此游客抽中广化寺祈福香包的概率.
【解题思路】（1）用间接法，先求其对立事件“3 人抽奖总次数低于4 次”的概率即可；
（2）应用全概率公式求解.
【解答过程】（1）设3 人抽奖总次数为�，则�的可能取值为3，4，5，6.
由题意知，每位打卡二十四景游客至少打卡两个景点的概率为
�
�，只打卡一个景点的概率为
�
�，随机抽取3
人，3 人打卡景点情况相互独立.
�= �表示抽奖总次数为3 次，即3 人都只打卡一个景点.
依题意可得，��= �=
�
�
�
=
�
��，
所以��≥�= ��= �+ ��= �+ ��= �= �−�(�= �) = �−
�
��=
��
��.
（2）记事件�=“每位打卡二十四游客至少打卡两个景点”，
则�=“每位打卡二十四景游客只打卡一个景点”，
事件�=“一位打卡二十四景游客抽中广化寺祈福香包”，
则��=
�
�，��=
�
�，
因为每次抽奖可随机获得4 种礼物中的1 种礼物，所以游客抽到每个香包的概率都是
�
�.
一个游客至少打卡两个景点，抽中广化寺祈福香包的概率为���= �−
�
�
�
=
�
��，
一个游客打卡一个景点，抽中广化寺祈福香包的概率为���ഥ=
�
�，
由全概率公式得，
��= �����+ ��ഥ���ഥ=
�
�×
�
��+
�
�×
�
�=
��
��.
7.设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25% ，35%，40% ，
并且各车间的次品率依次为5%，4% ，2% .现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
【答案】(1)0.0345
(2)甲车间生产的概率为：25
69 ，由乙车间生产的概率为：28
69 ，由丙车间生产的概率为：16
69
【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.
（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.
【详解】（1）记事件A 表示A 车间生产的产品，
记事件B 表示B 车间生产的产品，
记事件C 表示C 车间生产的产品，
记事件D 表示抽取到次品，
则
0.25,
0.35,
0.4
P A
P B
P C
,
0.05,
0.04,
0.02
P D A
P D B
P D C
，
取到次品的概率为
P D
P A P D A
P B P D B
P C P D C
0.25 0.05
0.35 0.04
0.4 0.02
0.0345
（2）若取到的是次品，
此次品由甲车间生产的概率为：
0.25 0.05
0.0125
25
0.0345
0.0345
69
P A P D A
P A D
P A P D A
P B P D B
P C P D C
此次品由乙车间生产的概率为：
0.35 0.04
0.014
28
0.0345
0.0345
69
P B P D B
P B D
P A P D A
P B P D B
P C P D C
此次品由丙车间生产的概率为：
0.4 0.02
0.008
16
0.0345
0.0345
69
P C P D C
P C D
P A P D A
P B P D B
P C P D C
8.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4 个白球，8 个
黑球，乙盒装有1 个白球，5 个黑球，丙盒装有3 个白球，3 个黑球.
(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1 个球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.
【答案】(1) 2
3
(2) 5
12
【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.
（2）利用条件概率公式求解即可.
【详解】（1）记取到甲盒子为事件
1A ，取到乙盒子为事件
2
A ，取到丙盒子为事件
3
A ，取到黑球为事件B：
由全概率公式得
1
1
2
2
3
3
1
8
1
5
1
3
2
( )
(
) (
|
)
(
) (
|
)
(
) (
|
)
3
12
3
6
3
6
3
P B
P A P B A
P A P B A
P A P B A
，
故摸出的球是黑球的概率是2
3 .
（2）由条件概率公式得
2
2
1
5
(
)
5
3
6
(
|
)
2
( )
12
3
P A B
P A
B
P B
，
故此球属于乙箱子的概率是5
12
模块三：综合巩固
1．据美国的一份资料报道，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，人群中有80%是不
吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.025%，则在美国总的来说患肺癌的概率约为（
）
A．0.1%
B．0.425%
C．1%
D．10%
【答案】A
【分析】根据全概率公式求得正确答案.
【详解】依题意，在美国总的来说患肺癌的概率约为：
0.2 0.004
0.8 0.00025
0.001
0.1%
.
故选：A
2．某餐馆在A 网站有200 条评价，好评率为90%，在B 网站有100 条评价，好评率为87%．综合考虑这
两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（
）
A．88%
B．88.5%
C．89%
D．89.5%
【答案】C
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】解：由已知可得这家餐馆的好评率为200 90% 100 87%
89%
200 100
.
故选:C.
3.某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性
的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（
）
A．1
2
B．9
200
C．9
19
D．18
37
【答案】D
【分析】记事件
:
A 某人是癌症患者，事件
:
B 化验结果呈阳性，利用全概率公式求出
P B 的值，再利用条
件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件
:
A 某人是癌症患者，事件
:
B 化验结果呈阳性，
由题意可知
0.05
P A
，
=0.9
P B A
，
=0.05
P B A
，
所以
=
+
P B
P A
P B A
P A
P B A
=0.05 0.9
1 0.05
0.05=0.0925
，
现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：
0.05 0.9
18
=
=
=
=
0.0925
37
P A
P B A
P AB
P A B
P B
P B
.
故选：D
4.质数（prime number）又称素数，一个大于1 的自然数，除了1 和它本身外，不能被其他自然数整除，
则这个数为质数，数学上把相差为2 的两个素数叫做“孪生素数”.如：3 和5，5 和7……，在1900 年的国际
数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23 个问题，其中第8 个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在
无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013 年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解
了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自
然数中，随机选取两个不同的数，记事件A ，这两个数都是素数；事件B ：这两个数不是孪生素数，则
P B A （
）
A．11
15
B．37
45
C．13
15
D．41
45
【答案】D
【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.
【详解】不超过30的自然数有31个，其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，
孪生素数有3和5，5和7 ，11和13，17 和29 ，共4 组.
所以
2
10
2
2
31
31
C
45
C
C
P A
，
2
10
2
2
31
31
C
4
41
C
C
P AB
，
所以
2
31
2
31
41
C
41
45
45
C
P AB
P B A
P A
.
故选：D
5.甲罐中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球（球除颜色外，大小
质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
1A ，
2
A 和
3
A 表示由甲罐中取出的球是红球，白
球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个
数是（
）
①事件
1A 与
2
A 相互独立
②
2
4
(
)
11
P B A
∣
③
9
( )
22
P B
④
1
4
(
)
9
P A B
∣
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】根据独立事件的概念判断①，计算条件概率判断②，根据全概率公式求解判断②④，即可回
答.
【详解】显然，
1A ，
2
A ，
3
A 是两两互斥的事件，且
1
5
1
5
2
3
2
P A
，
2
2
1
5
2
3
5
P A
，
而
1
2
1
2
(
(
)
)
0
(
)
P A A
P A
P A
，①错误；
2
2
1
5
2
3
5
P A
，
2
1
4
4
5
11
55
P A B
，所以
2
4
11
P B A
，②正确；
1
1
2
2
3
3
1
5
4
1
3
4
9
( )
2
11
11
5
10
11
22
P B
P B A
P A
P B A
P A
P B A
P A
，③正确；
1
1
1
5
5
2
11
9
( )
9
22
P A B
P A B
P B
，④错误，综上：结论正确的个数为2.
故选：C.
6.全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用．例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止
学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3 个红球，6 个白球的盒子
中任取3 个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3 的倍数？”，未取到任何红球
的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问
题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案．已知
某学校800 名学生参加了该调查，且有250 人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约
为（
）
A．25%
B．35%
C．45%
D．55%
【答案】A
【分析】利用全概率公式可求答案.
【详解】设学生对食堂的实际满意度为p ，事件A “回答问题一”，事件B “回答的结果为是”.
3
6
3
9
C
5
1
C
21
P A
,
16
1
21
P A
P A
,
1 ,
3
P B A
P B A
p
，
由全概率公式可得
250
800
P A P B A
P A P B A
，即16
5
5
63
21
16
p
，
解得
59
0.25
240
p
.
故选：A.
7.某饮料厂生产
,
A B 两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为40%,60% ，且这两种饮料中的碳
酸饮料的比例分别为20%,80% ，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（
）
A．0.12
B．0.20
C．0.44
D．0.32
【答案】C
【分析】由全概率公式计算即可得.
【详解】由题意，选到非碳酸饮料的概率为
40%
1 20%
60%
1 80%
0.44
.
故选：C.
8.为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛
中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概
率为2
3 ，甲、丙两人都回答正确的概率是1
2 ，乙、丙两人都回答正确的概率是1
4 ．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1 人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为1 1 1
,
,
2 6 3 ，求这个问题回答正
确的概率．
【答案】(1) 17
18
(2) 23
36
【分析】（1）设乙答题正确的概率为
2p ，丙答题正确的概率为
3p ，根据相互独立事件的概率公式求出
3p 、
2p ，再根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）根据全概率公式计算可得.
【详解】（1）设乙答题正确的概率为
2p ，丙答题正确的概率为
3p ，
则甲、丙两人都回答正确的概率是
3
2
1
3
2
p
，解得
3
3
4
p
，
乙、丙两人都回答正确的概率是
2
3
1
4
4
p
，解得
2
1
3
p
，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少1 人回答正确的概率
2
1
3
17
1
1
1
1
3
3
4
18
P
.
（2）记事件
1A 为“甲抢答这道题”，事件
2
A 为“乙抢答这道题”，事件
3
A 为“丙抢答这道题”，记事件B 为“这
道题被答对”，
则
1
1
2
P A
，
2
1
6
P A
，
3
1
3
P A
，
且
1
2
|
3
P B A
，
2
1
|
3
P B A
，
3
3
|
4
P B A
，
由全概率公式可得
3
1
1
2
1
1
1
3
23
( )
|
2
3
6
3
3
4
36
i
i
i
P B
P A P B A
.
9.随机事件A，B，C 满足
(
|
)
(
|
)
(
|
)
1
P A B
P B C
P C A
，则
( )
( )
( )
P A
P B
P C
的取值范围是（
）
A．
9
1, 7
B．
9
0, 7
C．
3
0, 2
D．
0,2
【答案】D
【分析】根据概率性质结合条件概率以及互斥事件的定义分析判断.
【详解】由题意可知：
0
,
,
P A
P B
P C
，
例如A
B
，
,
A C 为互斥事件，则
0
,
,
1
P A
P B
P C
，
可知
,
0,
1
P A
P B
P AB
P AC
P BC
P B
P C
，
则
(
|
)
1, (
|
)
(
|
)
0
P A B
P B C
P C A
，满足题意，
所以
( )
( )
( )
1
2
P A
P B
P C
P A
，显然
( )
( )
( )
0
P A
P B
P C
，
即
( )
( )
( )
P A
P B
P C
的取值范围包含
0,2 ，结合选项可知D 正确.
故选：D.
10.第19 届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5 名大学生将前往3
个场馆
, ,
A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2 名
志愿者的概率为（
）
A．3
5
B．21
50
C．6
11
D．3
4
【答案】B
【分析】
首先得甲去场馆B 或C 的总数为
2
150
100
3
，进一步由组合数排列数即可得所求概率.
【详解】
不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为
2
2
3
3
5
3
5
3
2
2
C C
C
A
150
A
，
甲去场馆
, ,
A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为
2
150
100
3
，
甲不去场馆A ，分两种情况讨论，
情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有
1
1
2
4
3
2
24
C C A
种；
情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有
1
2
4
3
C C
12
种，
场馆B 场馆A 均有两人共有
2
4
C
6
种，所以甲不去场馆A 时，
场馆B 仅有2 名志愿者的概率为24 12
6
42
21
100
100
50
.
故选：B．
11.已知甲盒中有3 个红球和2 个黄球，乙盒中有2 个红球和1 个黄球.现从甲盒中随机抽取1 个球放入乙
盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1 个球，此球恰为红球的概率是（
）
A．3
8
B．9
20
C．5
8
D．13
20
【答案】D
【分析】根据全概率公式即可求解.
【详解】若从甲盒中抽到黄球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为
1
2
2
4
5
4
20
p
；
若从甲盒中抽到红球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为
2
3
3
9
5
4
20
p
.
因此，从乙盒中抽到的红球的概率为
1
2
4
9
13
20
20
20
p
p
.
故选；D
12.若甲盒中有2 个白球､2 个红球､1 个黑球，乙盒中有x 个白球（x
N
）､3 个红球､2 个黑球，现从甲盒
中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色
相同的概率大于等于5
12 ，则x 的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】
由全概率公式即可得解.
【详解】
设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为
1A ，
2
A ，
3
A ，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为B ，
则
1
1
2
2
3
3
|
|
|
P
A P B A
A
P B A
A P B A
B
P
P
P
2
1
2
4
1
3
2
13
5
5
6
5
6
5
6
5
6
12
x
x
x
x
x
x
，
解得
6
x
，则x 的最大值为6．
故选：C.
13.（多选）甲箱中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙箱中有3 个红球，3 个白球和3 个黑球，先从甲
箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以
1
2
,
A A 和
3
A 表示从甲箱取出的球是红球，
白球和黑球的事件，以B 表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（
）
A．
7
( )
20
P B
B．
1
1
5
P A B
C．事件B 与事件
(
1,2,3)
iA i
相互独立
D．
2
6
|
35
P A
B
【答案】ABD
【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的乘法公式判断C，根据条件概率公式计算判断BD.
【详解】因为
1
5
1
5
2
3
2
P A
，
2
2
1
5
2
3
5
P A
，
3
3
3
5
2
3
10
P A
，
若
1A 发生，则乙箱中有4 个红球，3 个白球和3个黑球，所以
1
4
2
|
10
5
P B A
，
若
2
A 发生，则乙箱中有3 个红球，4 个白球和3个黑球，所以
2
3
|
10
P B A
，
若
3
A 发生，则乙箱中有3个红球，3个白球和4 个黑球，所以
3
3
|
10
P B A
，
所以
1
1
2
2
3
3
|
|
|
P B
P A P B A
P A
P B A
P A P B A
1
2
1
3
3
3
7
2
5
5
10
10
10
20
，故A 正确；
因为
1
1
1
|
P A B
P B A
P A
，所以
1
1
1
2
1
1
|
5
2
5
P A B
P B A
P A
，故B 正确；
所以
1
1
1
7
1
2
20
5
P A P B
P A B
，所以事件B 与事件
1A 不是相互独立，故C 错误；
2
2
2
2
3
1
|
6
10
5
|
7
35
20
P A B
P B A
P A
P A
B
P B
P B
，故D 正确；
故选：ABD
14.（多选）甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由
, ,
A B C 三个工序组成，甲
只负责其中一个工序，且甲负责工序
,
,
A B C 的概率分别为0.5,0.3,0.2，当他负责工序
, ,
A B C 时，该项目达
标的概率分别为0.6 0.8 0.7
,
,
,则下列结论正确的是（
）
A．该项目达标的概率为0.68
B．若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54
C．若该项目达标，则甲负责工序A 的概率为15
34
D．若该项目未达标，则甲负责工序A 的概率为5
8
【答案】ACD
【分析】根据题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.
【详解】记甲负责工序A 为事件
1
M ，甲负责工序B 为事件
2
M ，甲负责工序C 为事件
3
M ，该项目达标为
事件N ．
对于选项A，该项目达标的概率为
1
1
2
2
3
3
(
)
P N
P M
P N M
P M
P N M
P M
P N M
0.5 0.6
0.3 0.8
0.2 0.7
0.68
，故选项
A 正确；
对于选项B，
1
1
2
2
1
2
1
2
0.5 0.6
0.3 0.8
27
0.5
0.3
40
P M
P N M
P M
P N M
P N
M
M
P M
P M
，故选项B 错误；
对于选项C，
1
1
1
0.5 0.6
15
(
)
0.68
34
P M
P N M
P M N
P N
，所选项C 正确；
对于选项D，
1
1
1
0.5 (1
0.6)
5
(
)
1
0.68
8
P M
P N M
P M N
P N
，所以选项D 正确，
故选：ACD.
15.（多选）2023 年旅游市场强劲复苏，7，8 月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计
划2024 年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M
为“甲选择北京”，事件N 为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（
）（
A．事件M 与N 互斥
B．
P N M
P M N
C．
31
36
P MN
D．
2
3
P M
N
【答案】BC
【分析】根据互斥事件的含义判断A；根据条件概率公式求出
,
P N M
P M N 的值，判断B；根据对立
事件的概率计算，判断C；根据并事件的概率计算，判断D.
【详解】对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件M 与N 会同时发生，不互斥，A 错误；
对于B，由题意知共有事件个数
2
3
4
3
C A
36
，事件M 与N 的个数均为
3
2
2
3
3
2
A
C A
12
个，
故
12
1
(
)
( )
36
3
P M
P N
，
2
1
1
2
2
2
C
C C
5
(
)
36
36
P MN
,
则
5
12
P MN
P N M
P M
，
5
12
P MN
P M N
P N
，即
P N M
P M N
，B 正确，
对于C，
5
31
1
1
36
36
P MN
P MN
，C 正确；
对于D，
1
1
5
19
(
)
(
)
(
)
3
3
36
36
P M
N
P M
P N
P MN
，D 错误，
故选：BC
16.（多选）已知A ，B ，C 三个盒子，其中A 盒子内装有2 个红球，1 个黄球和1 个白球；B 盒子内装有
2 个红球，1 个白球；C 盒子内装有3 个红球，2 个黄球.若第一次先从A 盒子内随机抽取1 个球，若取出
的球是红球放入A 盒子中；若取出的球是黄球放入B 盒子中；若取出的球是白球放入C 盒子中，第二次从
第一次放入盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（
）
A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为1
2
B．第二次抽到红球的概率为1
3
C．如果第二次抽到的是红球，则它来自B 号盒子的概率最大
D．如果将5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1 个，则不同的放法有150 种
【答案】AD
【分析】由条件概率判断选项A ；利用全概率公式计算选项B ；利用贝叶斯公式计算选项C ；求不同元素
的分组分配种数判断选项D .
【详解】记第一次抽到红､黄､白球的事件分别为
1A ，
2
A ，
3
A ，则有
1
1
2
P A
，
2
3
1
4
P A
P A
，对
于A ，在第一次抽到黄球的条件下，则黄球放入B 盒子内，
因此第二次抽到红球的概率为
2
1
4
2
P
，A 正确；
记第二次在第A ，B ，C 号盒内抽到红球的事件分别为
1,2,3
i
C i
，而
1A ，
2
A ，
3
A 两两互斥，和为Ω ，
1
1
1
2
P C A
，
2
2
1
2
P C A
，
3
3
1
2
P C A
，
记第二次抽到红球的事件为C ，
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
2
2
4
2
4
2
2
i
i
i
i
i
i
i
P C
P AC
P A
P C A
，B 不正确；
若取出的球是红球放入A 盒子中，若取出的球是黄球放入B 盒子中，若取出的球是白球放入C 盒子中，第
二次从第一次放入盒子中任取一个球，
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
P A
P C A
P A C
P C
，
2
2
2
2
2
1
1
1
4
2
1
4
2
P A
P C A
P A C
P C
，
3
3
3
3
3
1
1
1
4
2
1
4
2
P A
P C A
P A C
P C
，
即第二次抽到的是红球，则它来自A 盒子的概率最大，C 不正确；
把5 个不同的小球分成3 组的不同分组方法数是
2
2
3
5
3
5
2
2
C C
C
A
种，
将每一种分组方法分成的小球放在3 个盒子中有
3
3
A 种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的方法种数是
2
2
3
3
5
3
5
3
2
2
C C
C
A
150
A
种，D 正确.
故选：AD.
17.（多选）设A，B 是一次随机试验中的两个事件，且
1
( )
3
P A
，
1
( )
4
P B
，
7
(
)
12
P AB
AB
，则（
）
A．A，B 相互独立B．
5
(
)
6
P A
B
C．
1
3
P B A
D．
P A B
P B A
【答案】ABD
【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A、B，利用条件概率的定义与公
式可判定C、D.
【详解】由题意可知
2
3
( )
1
,
1
3
4
P A
P A
P B
P B
，
事件
,
AB AB 互斥，且
,
P AB
P AB
P A
P AB
P AB
P B
，
所以
7
(
)
2
12
P AB
AB
P AB
P AB
P A
P B
P AB
，
即
2
1
7
1
2
3
4
12
6
P AB
P AB
P A P B
，故A 正确；
则
(
)
P A
B
P A
P B
P AB
P A
P B
P A
P B
1
3
1
3
5
3
4
3
4
6
，故B 正确；
由条件概率公式可知：
1
1
1
6
2
4
3
3
P AB
P B A
P A
，故C 错误；
1
1
1
4
6
1
3
4
P AB
P B
P AB
P A B
P B
P B
，
2
1
3
3
6
2
4
3
P BA
P A
P AB
P B A
P A
P A
即
P A B
P B A
，故D 正确.
故选：ABD
18.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，
某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器
外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1 号仓，则试验结束时该粒子是从
1 号仓到达容器外的概率为
．
【答案】10
13
【分析】定义从i 出发最终从1 号口出的概率为
iP ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.
【详解】设从i 出发最终从1 号口出的概率为
iP ，所以
1
2
2
1
3
1
2
3
2
2
1
3
3
1
1
1
1
0
3
3
3
6
1
2
P
P
P
P
P
P
P
P
P
，解得
1
10
13
P
.
故答案为：10
13 .
19.新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在
地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有3
4 的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理
和历史的学生中选择地理的概率分别是1
3 和2
3 ，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率
为
.
【答案】5
12
【分析】由全概率公式可得答案.
【详解】设选择地理的概率为P，由全概率公式，得
3
1
1
2
5
4
3
4
3
12
P
，
即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为5
12 .
故答案为：5
12 .
20.若10 个篮球中有7 个已打足气，3 个没有打足气．已知小明用打足气的篮球投篮，命中率为0.9 ，用没
有打足气的篮球投篮，命中率为0.3，则小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为
．
【答案】0.72 / 18
25
【分析】根据独立事件的乘法公式和全概率的加法公式计算即可求解.
【详解】由题意知，小明任意拿一个球投篮命中的概率为
0.7 0.9
0.3 0.3
0.72
P
.
故答案为：0.72
21.一个袋子中有10 个大小相同的球，其中红球7 个，黑球3 个.每次从袋中随机摸出1 个球，摸出的球不
再放回.
(1)求第2 次摸到红球的概率；
(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为
1P ；第1 次摸到红球的概率为
2P ；在第1 次摸到红球的条件下，第2
次摸到红球的概率为
3P ；在第1，2 次都摸到红球的条件下，第3 次摸到红球的概率为
4P .求
1
2
3
4
,
,
,
P P P P ；
(3)对于事件
, ,
A B C ，当
0
P AB
时，写出
,
,
,
P A
P B A
P C AB
P ABC
∣
∣
的等量关系式，并加以证明.
【答案】(1) 7
10
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；
（3）根据（2）猜想
P ABC
P A P B A P C AB
，由条件概率公式证明即可.
【详解】（1）记事件“第i 次摸到红球”为
1,2,3,
,10
iA i
，则第2 次摸到红球的事件为
2
A ，
于是由全概率公式，
得
2
1
2
1
1
2
1
|
|
P A
P A P A
A
P A P A
A
7
2
3
7
7
10
3
10
9
10
.
（2）由已知得
3
7
1
1
2
3
3
10
A
7
A
24
P
P A A A
，
2
1
7
10
P
P A
，
2
1
2
7
3
2
1
2
1
10
A
10
7
10
2
|
A
7
15
7
3
P A A
P
P A
A
P A
，
1
2
3
4
3
1
2
1
2
7
15
5
|
24
7
8
P A A A
P
P A
A A
P A A
.
（3）由（2）可得
1
2
3
4
P
P P P
，即
1
2
3
1
2
1
3
1
2
|
|
P A A A
P A P A
A P A
A A
，
可猜想：
P ABC
P A P B A P C AB
,
证明如下：由条件概率及
( )
0
(
)
0
,
P A
P AB
，
得
|
P AB
P B A
P A
，
|
P ABC
P C AB
P AB
，
所以
( ) (
) (
)
P AB
P ABC
P A P B A P C AB
P A
P ABC
P A
P AB
.
22.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网
约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车
费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32 ，选择乙公司的频率为0.68：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62 ，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32 .
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素
满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析
【分析】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意
的概率，即可得出结论；
（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：设事件
:
M 用户选择甲公司的网约车出行，事件
:
A 用户对等待时间满意，
事件
:
B 用户对乘车舒适度满意，事件
:
C 用户对乘车费用满意.
则
0.32 0.62
0.68 0.78
0.7288
P A
P M P A M
P M P A M
，
0.32 0.68
0.68 0.61
0.6324
P B
P M P B M
P M P B M
，
0.32 0.21 0.68 0.32
0.2848
P C
P M P C M
P M P C M
所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
（2）解：由题知，
0.32 0.68
544
0.6324
1581
P MB
P M B
P B
，
0.68 0.61
1037
0.6324
1581
P MB
P M B
P B
，
所以，
P M B
P M B
，故该用户选择乙公司出行的概率更大.
23.某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该
游戏进行10 轮，若在10 轮游戏中，参与者获胜5 次就送2000 元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，
直至10 轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是1
2 ，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是1
2 ，若上一
次失败则下一次成功的概率是2
3 ．记消费者甲第n 次获胜的概率为
np ，数列
np
的前n 项和
1
n
n
n
i
p
T
，且
nT 的实际意义为前n 次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2 次获胜的概率
2p ；
(2)证明：
4
7
np
为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
【答案】(1)
2
7
12
P
(2)详见解析
【分析】（1）应用全概率公式计算可得出
2P ；
（2）计算得出
1
4
1
4
7
6
7
n
n
p
p
，结合等比数列的定义可证得结论成立；再结合分组求和计算判断最
少轮数即可.
【详解】（1）
1
1
2
1
2
2
7
=
+ 1
2
3
1
1
1
2
2
1
2
3
2
P
P
P
（2）
1
1
1
2
=
+ 1
,
2
3
n
n
n
P
P
P
1
2
1
= 3
6
n
n
P
P
,
1
4
1
4
7
6
7
n
n
p
p
,
1
1
4
1
4
1
7
=
4
6
7
14
7
n
n
p
p
p
，
,
4
7
np
为等比数列, 且公比为
1
6
；
1
4
1
1
7
14
6
n
n
p
.
1
1
1
4
+
14
6
7
n
np
1
1
1
1
1
1
14
6
1
1
4
4
+
1
14
6
=
7
1
6
= 7
n
n
n
n
n
n
i
i
T
p
n
,
4
3
1
4
3
3
1
1
7
49
6
7
49
49
6
n
n
nT
n
n
，
因为
1
1
1
4
+
0
14
6
7
n
n
n
p
T
单调递增，
当n 为奇数时，
4
3
1
4
1
7
49
6
7
n
n
T
n
n
<
，
7
9
7
9
3
1
36
3
1
4
1
4
1
5
49
6
7
49
6
T
T
< ，
> ，所以得获
奖至少要玩9 轮.
当n 为偶数时，
4
3
1
1
7
49
6
n
n
T
n
，
8
10
8
10
32
3
1
32
40
3
1
1
5
1
5
7
49
6
7
7
49
6
T
T
，
，得奖至
少要玩10 轮，
所以平均至少要玩9 轮才可能获奖.
