7.3 离散型随机变量的数字特征
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：离散型随机变量的均值.................................................... 2
考点二：两点分布的均值............................................................. 2
考点三：离散型随机变量的方差、标准差.........................................2
考点四：离散型随机变量方差的性质...............................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求离散型随机变量的均值..................................................3
题型二：均值的性质................................................................... 5
题型三：两点分布的均值............................................................. 6
题型四：由均值求参数................................................................ 6
题型五：求离散型随机变量的方差、标准差......................................8
题型六：方差的性质................................................................. 10
题型七：两点分布的方差........................................................... 11
题型八：分布列、均值、方差的综合应用....................................... 12
模块三：综合巩固....................................................................... 18
7.3 离散型随机变量的数字特征
模块一：基础知识
考点一：离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝
i
n
i
i p
x
1
为随机变量X 的均值或数学期望．
2．离散型随机变量的均值的意义
①均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了
随机变量取值的平均水平．
②E(X)是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而E(X)是
不变的，它描述X 取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
3．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b 均是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，X 是随机变量，那么Y 也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)
＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y 的分布列为
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)
＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
考点二：两点分布的均值
如果随机变量X 服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
考点三：离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X 的分布列如表所示．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
我们用X 所有可能取值xi 与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的
加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E(X)的偏离程度．
我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝
i
n
i
i
p
X
E
x
1
2
为随机变量X 的方差
(variance)，有时也记为Var(X)，并称DX为随机变量X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．
考点四：离散型随机变量方差的性质
1．设a，b 为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c 为常数)．
3.若X 服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
模块二：题型分类
题型一：求离散型随机变量的均值
1.已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
2
3
P
3
5
3
10
1
10
则X 的数学期望EX
A．3
2
B．2
C．5
2
D．3
2.已知随机变量X 服从两点分布，
0.7
E X
，则其成功概率为（
）
A．0
B．1
C．0.3
D．0.7
3.设随机变量X 的分布列为P(X= 4
k )=ak(k=1，2，3，4)，a 为常数，则
A．a= 1
5
B．P(X> 1
2 )= 7
10
C．P(X<4a)= 1
5
D．E(X)= 1
2
4.为了备战2023 斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，
热身进行到有一人比对方多2 分或打满6 局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为
2
3，赵心童在每局中获
胜的概率为
1
3，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为�，则��=（
）
A．
5
9
B．
266
81
C．
20
81
D．
2
9
5.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5 元，售价是每束5 元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6 元进行处
理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这
种鲜花500 束，则利润的均值是（
）
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A．706 元
B．690 元
C．754 元
D．720 元
6.2022 年7 月24 日14 时22 分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B 遥三运载火箭成功发
射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M 大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和
复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给
予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50 元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100 元的奖品．现有A，
B，C 三名学生报名参加了这次竞赛，已知A 通过初赛、复赛的概率分别为
1
2，
1
3；B 通过初赛、复赛的概率
分别为
2
3，
1
2，C 通过初赛和复赛的概率与B 完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X 元，则X 的数
学期望为（
）
A．300 元
B．
1000
3 元
C．350 元
D．
2000
3 元
7.一袋中装有编号分别为1，2，3，4 的4 个球，现从中随机取出2 个球，用X 表示取出球的最大编号，
则
E X
（
）
A．2
B．3
C．10
3
D．11
3
8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的
颜色，这两次取出白球数X 的均值为（
）
A．1
B．
1
2
C．2
D．3
9.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用
身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的
概率是0.5，且规定猜对得1 分，猜错得0 分，则这两个同学各猜1 次，得分之和X 的均值（
）
A．0.9
B．0.8
C．1.2
D．1.1
10.某市有�, �, �, �四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 � 的概率为
2
3，游览�, �, �的概率都是
1
2，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量 � 表示该游客游览的景点个数，错误的是（
）
A．该游客至多游览一个景点的概率为
1
4
B．�(�= 2) =
3
8
C．�(�= 4) =
1
24
D．�(�) =
13
6
题型二：均值的性质
1.随机变量X 的分布列如表，则
2
3
E
X
的值为（
）
X
1
2
3
P
0.2
A
0.4
A．4.4
B．7.4
C．21.2
D．22.2
2.已知
( )
6
E Y
，
4
2
Y
X
，则
(
)
E X
．
3.若随机变量
3
Y
aX
，且
7
( )
3
E Y
，
1
(
)
3
E X
，则
a
．
4.设离散型随机变量X 的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则
(
)
2
3
E
X
=（
）
A．2
B．1
C．-1
D．-2
5.已知离散型随机变量X 服从两点分布，且
(
0)
3
4 (
1)
P X
P X
，则随机变量
3
1
Y
X
的期望
为
．
6.已知随机变量X 的分布列为：
X
1
2
3
4
P
p
2
3
1
p
p
p
3
p
2
p
其中
(0,1)
p
，随机变量X 的期望为
E
X ，则当
E
X 取得最小值时，p
．
7.已知随机变量��> 0 满足�2 −3�+ �2 �= 6，则��=（
）
A．−1 或4
B．2
C．3
D．4
8.若�，�是离散型随机变量，且�= ��+ �，其中�，�为常数，则有��= ���+ �.利用这个公式计算
���−�=（
）
A．0
B．1
C．2
D．不确定
题型三：两点分布的均值
1.若随机变量X 服从两点分布，其中
1
0
3
P X
，则以下正确的是（
）
A．
1
3
E X
B．
4
2
3
3
E
X
C．
8
2
2
3
E
X
D．
7
2
1
3
E
X
2.设随机变量X 服从两点分布，若
1
0
0.4
P X
P X
，则
E X
（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
3.已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，满足
2
0
9
1
P X
P X
，且
0
1
P X
P X
，则
E X
（
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．1
4
题型四：由均值求参数
1.若随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
1
3
a
b
且
1
E X ，则b 的值为（
）
A．1
3
B．0
C．
1
2
D．2
3
2.已知随机变量X，Y 满足�= 2�+ 3，Y 的期望��=
7
3，X 的分布列为：
X
−1
0
1
P
1
2
a
b
则a，b 的值分别为（
）
A．�=
1
6 , �=
1
3
B．�=
1
4 , �=
1
4
C．�=
1
3 , �=
1
6
D．�=
3
8 , �=
1
8
3.甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），
且每一局甲赢的概率都是�，随机变量�表示最终的比赛局数，若�的数学期望为
22
9 ，则�=（
）
A．
1
4
B．
1
2
C．
3
4
D．
1
3或
2
3
4.设离散型随机变量�可能的取值为1，2，3，4，��= �= ��+ �，若�的均值��= 3，则�−�等于
（
）
A．
1
10
B．0
C．−
1
10
D．
1
5
5.某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3 次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3 次上机
考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为��≠0 ，考试次数为X，若X 的数学期望��> 1.75，
则p 的取值可能是（
）
A．
1
2
B．
5
12
C．
7
12
D．
3
4
6.甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），
且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若X 的数学期望为22
9 ，则p （
）
A．1
4
B．
1
2
C．3
4
D．1
3 或2
3
7.某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3 次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3 次上机
考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为
0
p p
，考试次数为X，若X 的数学期望
1.75
E X
，
则p 的取值可能是（
）
A．
1
2
B．5
12
C．7
12
D．3
4
题型五：求离散型随机变量的方差、标准差
1.若随机变量X 的分布列如表，则X 的方差
D X 是（
）
X
1
0
1
P
1
4
1
2
1
4
A．0
B．1
C．1
4
D．1
2
2.已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若
0
EX
，
1
DX ，则
a
，b
．
X
1
0
1
2
P
a
b
c
1
12
3.小明参加某射击比赛，射中得1 分，未射中扣1 分，已知他每次能射中的概率为2
3 ，记小明射击2 次的
得分为X，则
D X （
）
A．8
9
B．16
9
C．20
9
D．26
9
4.某离散型随机变量X 的分布列如下，若
3
(
)
4
E X
，
7
(
1)
12
P X
，则
(
)
D X （
）
X
1
0
1
2
P
a
b
c
1
3
A．15
16
B．9
8
C．5
4
D．19
16
5.已知随机变量X 的分布列如下表（其中a 为常数）则下列计算结果正确的是（
）
X
0
1
2
3
P
0.2
a
0.4
0.1
A．
0.2
a
B．
1
0.7
P X
C．
1.4
E X
D．
6.3
D X
6.甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次
投篮甲、乙命中的概率分别为
1
3，
3
4.在前3 次投篮中，乙投篮的次数为�，求随机变量�的概率分布、数学期
望和方差．
7.甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X 和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X
−1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y
−2
−1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
(1)求��和��；
(2)求��和��，并比较两种品牌手表的性能．
8.甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每
次投篮甲.乙命中的概率分别为
1
3，
3
4.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3 次投篮中，乙投篮的次数为�，求�的分布列；
(3)求�的期望及标准差.
9.假定某射手每次射击命中目标的概率为
2
3．现有3 发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一
直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：
(1)X 的概率分布；
(2)均值��；
(3)标准差��．
题型六：方差的性质
1.若随机变量�的分布列如表，且��= 2，则�2�−3 的值为（
）
�
0
2
�
�
1
6
�
1
3
A．9.2
B．5
C．4
D．1
2.若数据�1, �2, ⋯, ��的平均数为�，方差为�2，则5�1 + 2,5�2 + 2, ⋯, 5��+ 2 的平均数和方差分别为（
）
A．�, �2
B．5�+ 2, �2
C．5�+ 2,25�2
D．�, 25�2
3.一组数据
1
x 、
2
x 、
3x 、
4x 、
5x 的方差为1
2 ，则
1
2
1
x 、
2
2
1
x 、
3
2
1
x 、
4
2
1
x 、
5
2
1
x 的方差为（
）
A．2
B．3
C．4
D．1
2
4.设随机变量X 的方差
1
D X ，则
2
1
D
X
的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5.已知随机变量
,
X Y 满足Y
aX
b
，且,a b 为正数，若
(
)
2,
( )
8
D X
D Y
，则（
）
A．
2
b
B．
4
a
C．
2
a
D．
4
b
6.设0
1
m
，随机变量的分布列为：
0
m
1
P
3
a
1
3
2
1
3
a
则当m 在
0,1 上增大时（
）
A．
D 单调递增，最大值为
1
2
B．
D 先增后减，最大值为1
3
C．
D 单调递减，最小值为2
9
D．
D 先减后增，最小值为1
6
7.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝1
3 ，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)＝(
)
A．6
B．9
C．3
D．4
8.已知随机变量X 满足�2�−1 = 2，�2�−1 = 4，则（
）
A．��= 2，��=
5
4
B．��=
3
2，��=
5
4
C．��=
3
2，��= 1
D．��= 2，��= 1
9.设�> 0，若随机变量�的分布列如下表：
�
－1
0
2
P
a
2a
3a
则下列方差中最大的是（
）
A．�(�)
B．��
C．�2�−1
D．�2 �−1
题型七：两点分布的方差
1.随机变量X 服从两点分布，若�(�= 0) =
1
4，则下列结论正确的是（
）
A．�(�= 1) =
3
4
B．��=
1
4
C．�2�+ 1 =
3
2
D．�2�+ 1 =
7
4
2.若随机变量�服从两点分布，其中�(�= 0) =
1
3，则�(3�+ 2)和�(3�+ 2)的值分别是（
）
A．4 和4
B．4 和2
C．2 和4
D．2 和2
3.若随机变量�服从两点分布，其中��= 0 =
1
3，��, ��分别为随机变量�的均值与方差，则下列结论
不正确的是（
）
A．��= 1 = ��
B．�3�+ 2 = 4
C．�3�+ 2 = 2
D．��=
4
9
题型八：分布列、均值、方差的综合应用
1.袋中装有大小相同的2 个白球和3 个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
2.为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别
为两个相互独立的随机变量，，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，
8，7 环的概率分别为0.5，3a ，a ，a ，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2 .
(1)求，的分布列；
(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
3.一个骰子各个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6 ，现抛掷该股子2 次，记第一次正面朝上的数字为
1Y ，第二
次正面朝上的数字为
2
Y ，记不超过
1
2
Y
Y 的最大整数为Y ．
(1)求事件“Y
0
”发生的概率，并判断事件“
1
6
Y
”与事件“Y
0
”是否为互斥事件；
(2)求Y 的分布列与数学期望．
4.为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5 元的价格从农场购
进若干西瓜，然后以每个10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16 个西瓜，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n（单位：个，
N
n
）的
函数解析式；
(2)水果店记录了100 天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16 个西瓜，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16 个或17 个西瓜，你认为应购进16 个还是17 个？请说明理由．
5.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、
乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6 个招标问题
中随机抽取3 个问题，已知这6 个招标问题中，甲公司可正确回答其中4 道题目，而乙公司能正确回答每
道题目的概率均为
2
3，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲、乙两家公司共答对2 道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量�，求�的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
6.某学校组织知识竞赛，题库中试题分A ，B 两种类型，每个学生选择2 题作答，第1 题从A ，B 两种试
题中随机选择一题作答，学生若答对第1 题，则第2 题选择同一种试题作答的概率为2
3 ，若答错第1 题，
则第2 题选择同一种试题作答的概率为1
4 .已知学生甲答对A 种试题的概率均为1
2 ，答对B 种试题的概率均
为2
3 ，且每道试题答对与否相互独立.
(1)求学生甲2 题均选择B 种试题作答的概率；
(2)若学生甲第1 题选择A 种试题作答，记学生甲答对的试题数为X ，求X 的分布列与期望.
7.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查.如图
是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低
于40 分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1 名观众，抽取3 次，记被抽取的3 名观众
中的“体育迷”人数为�.若每次抽取的结果是相互独立的，求�的分布及期望.
(2)用分层抽样的方法从这100 名观众中抽取8 名作为样本A，则样本A 中“体育迷”和非“体育迷”分别有几
人?从样本A 的这8 名观众中随机抽取3 名，记Y 表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y 的分布及方差.
8.某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情
况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3 三组.观察一段时间后，分别从1,2,3
三组随机抽取40 株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
株高增量（单位：厘米）
4,7
7,10
10,13
13,16
第1 组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2 组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3 组鸡冠花株数
13
12
13
2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1 组所有鸡冠花中随机选取1 株，估计株高增量为7,10 厘米的概率；
(2)分别从第1 组，第2 组，第3 组的所有鸡冠花中各随机选取1 株，记这3 株鸡冠花中恰有�株的株高增
量为7,10 厘米，求�的分布列和数学期望��；
(3)用“��= 1”表示第�组鸡冠花的株高增量为4,10 ，“��= 0”表示第�组鸡冠花的株高增量为10,16 厘米，
�= 1,2,3，直接写出方差��1，��2，��3的大小关系.（结论不要求证明）
9.在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0 分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来
做，选对得2 分；
策略B：争取得5 分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2 分，全部选对得5 分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略
概率
每题耗时（分钟）
第11 题
第12 题
A
选对选项
0.8
0.5
3
B
部分选对
0.6
0.2
6
全部选对
0.3
0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10 分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1
分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11 题采用策略B，第12 题采用策略A，设他这两题得分之和为
X，求X 的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
模块三：综合巩固
1.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1 分，反面向上得－1 分，则得分X 的均值为（
）
A．0
B．1
2
C．1
D．－1
2.已知随机变量X ，Y 满足
2
Y
X
，且
2
DX
，则DY （
）
A．16
B．8
C．4
D．4
3.已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，满足
2
0
9
1
P X
P X
，且
0
1
P X
P X
，
则
E X
（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．1
4
4.从1-20 中随机抽取3 个数，记随机变量为这3 个数中相邻数组
,
1
a a
的个数．如当这三个数为11，
12，14 时，
1
；当这三个数为7，8，9 时，
2
．则
E 的值为（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
5.从1-20 中随机抽取3 个数，记随机变量为这3 个数中相邻数组
,
1
a a
的个数.如当这三个数为11，12，
14 时，
1
；当这三个数为7，8，9 时，
2
.则
E 的值约为（
）
A．0.22
B．0.31
C．0.47
D．0.53
6.设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
1
6
1
6
1
3
1
3
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（
）
A．7
6
B．17
6
C．17
3
D．32
3
7.已知随机变量
0
满足
2
2
3
6
E
E
，则
E （
）
A．1
或4
B．2
C．3
D．4
8.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示.
X
a
1
a
2
a
P
0.4
0.2
0.4
则
D X （
）
A．0.4
a
B．0.8
a
C．0.4
D．0.8
9.有两个随机变量X 和Y ，它们的分布列分别如下表：
Y
1
2
3
4
5
p
0.03
0.3
0.5
0.16
0.01
X
1
2
3
4
5
p
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
则关于它们的期望
(
)
E X ，
( )
E Y 和它们的方差
(
)
D X 和
( )
D Y ，下列关系正确的是（
）
A．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
B．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
C．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
D．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
10.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一
局甲赢的概率都是1
3 ，随机变量X 表示最终的比赛局数，则（
）
A．
26
8
,
9
81
E X
D X
B．
26
20
,
9
81
E X
D X
C．
22
8
,
9
81
E X
D X
D．
22
20
,
9
81
E X
D X
11.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5 元，售价是每束5 元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6 元进行
处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进
这种鲜花500 束，则利润的均值是（
）
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A．706 元
B．690 元
C．754 元
D．720 元
12.(多选)设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为
X
0
1
2
P
1
2
p
p
1
2
则下列说法正确的是（
）
A．
1
0, 2
p
B．
E X 最大值为3
2
C．
1
0, 4
p
D．
E X 最大值为5
2
13.随机变量的分布列为
1
1
0,1
k
k
p
k
p
p
k
，则
( )
E ，
( )
D 的值分别是（
）
A．0 和1
B．p 和
2
p
C．p 和1
p
D．p 和
(1
)
p
p
14.已知的分布列如下表：
0
1
2
P
？
!
？
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下
列各式中：①
( )
1
E ；②
( )
1
D ；③
1
(
0)
2
P
，正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
15.随机变量
(
1,2)
i i
的分布列如下所示，其中
1
2
1
2
2
p
p
，则下列说法中正确的是（
）
i
1
0
1
P
1
4
ip
1
1
4
4
i
i
p
p
4
ip
A．
1
2
D
D
B．
1
2
D
D
C．
1
2
E
E
D．
1
2
E
E
16.（多选）已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，
2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，
则（
）
A．
1
2
2
P X
B．
1
3
3
P Y
C．
E X
E Y
D．
D X
D Y
17.（多选）设离散型随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
a
0.4
0.3
0.2
若离散型随机变量Y 满足
3
1
Y
X
，则（
）
A．
1.6
EX
B．
5.8
EY
C．
1.84
DX
D．
7.56
DY
18.（多选）已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
0
1
P
1
2
a
1
6
若离散型随机变量Y 满足
2
1
Y
X
，则下列说法正确的有（
）
A．
2
1
3
P
X
B．
E X
E Y
0
C．
10
9
D Y
D．
1
1
2
P Y
19.（多选）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲
的歌名相互独立，猜对三首歌曲
, ,
A B C 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A 的概
率为0.8，可获公益基金1 千元；猜对歌曲B 的概率为0.5，可获公益基金2 千元；猜对歌曲C 的概率为0.5，
可获公益基金3 千元．规则如下：按照
,
,
A B C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记
嘉宾获得的公益基金总额为X 千元，则（
）
A．
3
0.4
P X
B．
2
1
5.4
E
X
C．
2
1
18.24
D
X
D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关
20.（多选）在一个不透明的箱子里装有6 个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从
中有放回的随机取两次，每次取一个小球，记第一次取出的小球的标号为
1a ，第二次为
2a ，设
1
2
a
A
a
，
其中
x 表示不超过x 的最大整数，则（
）
A．
1
2
1
7
6
P a
a
B．事件
1
1
a 与
0
A
对立
C．
1
2
5
12
P a
a
D．用X 表示A 的取值，则
41
36
E X
21.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5 个．从袋中随机取出3 个球，已知取出的3 个球全为黑
球的概率为1
10 ，若记取出3 个球中黑球的个数为X，则
(
)
E X
．
22.某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5 的五批疫苗，供全市所
辖的A，B，C 三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，记A，B，C 三个区选择的疫苗
批号的中位数为X，则X 的期望是
．
23.已知随机变量X 的分布为
2
1
3
0.16
0.44
0.40
，则
2
5
E
X
.
24.已知某人每次投篮的命中率为
0
1
p
p
，投进一球得1 分，投不进得0 分，记投篮一次的得分为X，
则
4
3
2
D X
E X
的最大值为
．
25.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为 3
4 ；第偶数局，乙赢的概率为 3
4 ．每一局没
有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩
的局数的数学期望为
．
26.在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题
者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3 次时游戏均结束，两人各答错3 次视为平局．已知甲每
次答对题的概率均为1
4 ，乙每次答对题的概率均为1
3 ，且每次答题互不影响．
(1)求两人共答题不超过4 次时，甲获胜的概率；
(2)求游戏结束时乙答题次数X 的分布列与数学期望．
27.2023 年12 月11 日至12 日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新
能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车
要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只
有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5 分、良好可得3 分、合格可得1 分，该型号新能源汽车在碰
撞测试中结果为优秀的概率为1
2 ，良好的概率为1
3 ；在续航测试中结果为优秀的概率为2
5 ，良好的概率为
2
5 ，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
28.现有5 个红色气球和4 个黄色气球，红色气球内分别装有编号为1，3，5，7，9 的号签，黄色气球内分
别装有编号为2，4，6，8 的号签.参加游戏者，先对红色气球随机射击一次，记所得编号为a ，然后对黄
色气球随机射击一次，若所得编号为2a ，则游戏结束；否则再对黄色气球随机射击一次，将从黄色气球中
所得编号相加，若和为2a ，则游戏结束；否则继续对剩余的黄色气球进行射击，直到和为2a 为止，或者
到黄色气球打完为止，游戏结束.
(1)求某人只射击两次的概率；
(2)若某人射击气球的次数X 与所得奖金Y 的关系为
10(5
)
Y
X
，求此人所得奖金Y 的分布列和期望.
29.为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑
雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程，若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率
为1
3 ：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为3
4 ，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为2
5 .
(1)若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：
(2)若某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X，
求X 的分布列及期望，
