随机变量及其分布列
知识点+题型归纳全集
7.1 条件概率与全概率公式.......................................................................................................................................4
模块一：基础知识..............................................................................................................................................4
考点一：条件概率的概念..........................................................................................................................4
考点二：概率的乘法公式..........................................................................................................................4
考点三：条件概率的性质..........................................................................................................................4
考点四：条件概率的两种解法..................................................................................................................4
考点五：全概率公式..................................................................................................................................5
考点六：贝叶斯公式..................................................................................................................................5
考点七：贝叶斯公式的运用条件..............................................................................................................5
模块二：题型分类..............................................................................................................................................6
题型一：条件概率的定义及计算..............................................................................................................6
题型二：条件概率性质的应用..................................................................................................................7
题型三：利用全概率公式求概率..............................................................................................................9
题型四：贝叶斯公式的应用....................................................................................................................11
题型五：条件概率与全概率公式的综合应用....................................................................................... 13
模块三：综合巩固............................................................................................................................................15
7.2 离散型随机变量及其分布列............................................................................................................................ 21
模块一：基础知识............................................................................................................................................21
考点一：随机变量的概念、表示及特征............................................................................................... 21
考点二：离散型随机变量........................................................................................................................21
考点三：离散型随机变量的分布列及其性质....................................................................................... 21
考点四：两点分布....................................................................................................................................22
模块二：题型分类............................................................................................................................................22
题型一：随机变量的判断........................................................................................................................22
题型二：离散型随机变量的取值............................................................................................................23
题型三：求离散型随机变量的分布列....................................................................................................24
题型四：离散型随机变量的分布列求概率........................................................................................... 26
题型五：离散型随机变量的分布列的性质求参数............................................................................... 28
题型六：两点分布....................................................................................................................................30
题型七：两个相关的随机变量的分布列问题....................................................................................... 31
题型八：离散型随机变量的综合问题....................................................................................................32
模块三：综合巩固............................................................................................................................................36
7.3 离散型随机变量的数字特征............................................................................................................................ 42
模块一：基础知识............................................................................................................................................42
考点一：离散型随机变量的均值............................................................................................................42
考点二：两点分布的均值........................................................................................................................42
考点三：离散型随机变量的方差、标准差........................................................................................... 42
考点四：离散型随机变量方差的性质....................................................................................................43
模块二：题型分类............................................................................................................................................43
题型一：求离散型随机变量的均值........................................................................................................43
题型二：均值的性质................................................................................................................................45
题型三：两点分布的均值........................................................................................................................46
题型四：由均值求参数............................................................................................................................46
题型五：求离散型随机变量的方差、标准差....................................................................................... 48
题型六：方差的性质................................................................................................................................50
题型七：两点分布的方差........................................................................................................................51
题型八：分布列、均值、方差的综合应用........................................................................................... 52
模块三：综合巩固............................................................................................................................................58
7.4 二项分布与超几何分布....................................................................................................................................65
模块一：基础知识............................................................................................................................................65
考点一：相互独立事件............................................................................................................................65
考点二：n 重伯努利试验及其特征.........................................................................................................65
考点三：二项分布....................................................................................................................................65
考点四：二项分布的均值与方差............................................................................................................65
考点五：超几何分布................................................................................................................................65
模块二：题型分类............................................................................................................................................65
题型一：n 重伯努利试验的判断.............................................................................................................65
题型二：利用二项分布求分布列............................................................................................................66
题型三：二项分布的概率最大问题........................................................................................................68
题型四：二项分布的均值与方差............................................................................................................69
题型五：建立二项分布解决实际问题....................................................................................................72
题型六：超几何分布的判断....................................................................................................................76
题型七：超几何分布的概率....................................................................................................................77
题型八：超几何分布的均值....................................................................................................................77
题型九：超几何分布的方差....................................................................................................................78
题型十：二项分布和超几何分布的综合............................................................................................... 80
模块三：综合巩固............................................................................................................................................83
7.5 正态分布.............................................................................................................................................................93
模块一：基础知识............................................................................................................................................93
考点一：连续型随机变量........................................................................................................................93
考点二：正态曲线与正态分布................................................................................................................93
考点三：正态曲线的特点........................................................................................................................93
考点四：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则........................................................93
考点五：正态分布的期望与方差............................................................................................................94
模块二：题型分类............................................................................................................................................94
题型一：正态密度函数............................................................................................................................94
题型二：正态曲线及特点........................................................................................................................95
题型三：标准正态分布的性质................................................................................................................98
题型四：利用正态曲线的对称性求概率............................................................................................... 99
题型五：利用3σ原则求概率...............................................................................................................100
题型六：正态分布的实际应用..............................................................................................................101
模块三：综合巩固..........................................................................................................................................109
7.6 随机变量及其分布常考题型总结（基础）.................................................................................................. 120
题型一：条件概率的计算......................................................................................................................120
题型二：利用全概率公式求概率..........................................................................................................121
题型三：离散型随机变量的判断..........................................................................................................122
题型四：求离散型随机变量的分布列................................................................................................. 123
题型五：两点分布..................................................................................................................................125
题型六：离散型随机变量的均值..........................................................................................................126
题型七：求离散型随机变量的方差、标准差..................................................................................... 127
题型八：二项分布的概率最大问题..................................................................................................... 130
题型九：超几何分布的判断..................................................................................................................131
题型十：正态曲线的特点......................................................................................................................132
题型十一：利用3σ原则求概率...........................................................................................................134
7.7 随机变量及其分布常考题型总结（提高）.................................................................................................. 136
题型一：条件概率与全概率公式的综合应用..................................................................................... 136
题型二：利用随机变量分布列的性质解题......................................................................................... 138
题型三：两个相关的随机变量的分布列问题..................................................................................... 139
题型四：离散型随机变量的分布列的综合应用................................................................................. 141
题型五：均值、方差的性质..................................................................................................................143
题型六：均值与方差的综合应用..........................................................................................................145
题型七：二项分布的均值与方差..........................................................................................................148
题型八：超几何分布的均值与方差..................................................................................................... 149
题型九：二项分布与超几何分布的综合应用..................................................................................... 151
题型十：正态曲线的对称性求概率..................................................................................................... 152
题型十一：正态分布的实际应用..........................................................................................................155
题型十二：随机变量及其分布综合问题............................................................................................. 158
7.8 随机变量及其分布大题总结.......................................................................................................................... 160
题型一：求离散型随机变量的分布列................................................................................................. 160
题型二：求离散型随机变量的均值..................................................................................................... 162
题型三：离散型随机变量的方差、标准差......................................................................................... 165
题型四：二项分布的均值与方差..........................................................................................................168
题型五：超几何分布的均值与方差..................................................................................................... 171
题型六：离散型随机变量的均值与方差与其他知识综合................................................................. 173
题型七：正态分布..................................................................................................................................176
高中数学选择性必修三
随机变量及其分布列知识点+题型归纳全集
7.1 条件概率与全概率公式
模块一：基础知识
考点一：条件概率的概念
1．一般地，设A，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P（AB）
P（A）
为在事件A 发生的条件下，事
件B 发生的条件概率，简称条件概率．
2．条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系
考点二：概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘
法公式．
考点三：条件概率的性质
1.设A，B，C 都是事件且P(A)＞0.
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；(3)如果B 与C 互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2.一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所讲的条件概率则是随机试验结果的一部分信
息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，如某一事件A 已经发生，求另一事件B 在此条件
下发生的概率．
3.从集合角度理解条件概率
如图，用单位矩形来表示样本空间Ω，用矩形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为
相应事件的概率，设A，B 是Ω的子集．
条件概率P(B|A)＝PAB
PA
，实际上是仅局限于A 事件这个范围来考查B 事件发生的概率．几何直观上，相
当于B 在A 内的那部分AB 在A 中所占的比例．
考点四：条件概率的两种解法
1．定义法：先求
( )
P A 和
(
)
P AB ，再由
(
)
(
|
)
( )
P AB
P B A
P A
求
(
|
)
P B A ．
2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数( )
n A ，再求事件A 发生的条件下
事件B 包含的基本事件数(
)
n AB ，得
(
)
(
|
)
( )
n AB
P B A
n A
.
考点五：全概率公式
【引例理解】
如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1 号箱装有1 个红球和4 个白球，2 号箱装有2 个红球和3 个
白球，3 号箱装有3 个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球.
(1)求取得红球的概率；
(2)发现该球是红球，求该球是取自1 号箱的概率．
提示：(1)设事件Bi 表示“球取自i 号箱”(i＝1,2,3)，事件A 表示“取得红球”，其中B1，B2，B3 两两互斥，A
发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A 两两互斥．运用互
斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)＝
P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝1
3×1
5＋1
3×2
5＋1
3×3
3＝8
15.因此，取得红球的概率为8
15.
(2)设事件Bi 表示“球取自i 号箱”，事件A 表示“取得红球”，由问题1 知P(A)＝8
15.由条件概率公式得
P(B1|A)＝PB1A
PA
＝PB1PA|B1
PA
＝
1
3×1
5
8
15
＝1
8.
【定义】
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则
对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝∑
n
i＝1P(Ai)P(B|Ai）.
考点六：贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事
件B⊆Ω，P(B)>0，有P(
)=
.i＝1，2，…，n.
考点七：贝叶斯公式的运用条件
1．A 的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(
)已知.
2．事件B 是已经发生的确定事实，且A 的每种情况发生的条件下B 发生的概率已知，即P(
)已知.
3．P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到.
4．求解的目标是用A 的某种情况
的无条件概率求其在B 发生的条件下的有条件概率P(
).
模块二：题型分类
题型一：条件概率的定义及计算
1．已知
(
)
P A B 表示在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，则
(
)
P A B （
）
A．
( )
( )
P A
P B
B．
( )
( )
P B
P A
C．
(
)
P AB
D．
(
)
( )
P BA
P B
2.已知��= 0.5，��= 0.3，��∩�= 0.1，求��|�=（
）
A．
1
10
B．
1
3
C．
1
5
D．1
3．甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从A ，B ，C ，D 四个社区中随机选择一个
社区，设事件M 为“甲和乙至少一人选择了A 社区”，事件N 为“甲和乙选择的社区不相同”，则
(
|
)
P N M
（
）
A．5
6
B．6
7
C．7
8
D．5
9
4.连续抛掷一枚质地均匀的骰子3 次，观察向上的点数．在第1 次出现奇数的条件下，3 次出现的点数之
积为偶数的概率为（
）
A．
1
2
B．
5
8
C．
3
4
D．
7
8
5．已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个
班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（
）
A．22.5%
B．30%
C．40%
D．75%
6.从1～100 这100 个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50 的数，则它是2 或3 的倍数的概率
为
．
7.袋中有5 个小球(3 白2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，
第二次取到白球的概率是
，两次都取到白球的概率是
．
8.甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件
A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则
|
P A B （
）
A．8
9
B．2
9
C．3
8
D．3
4
9.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨
询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“四名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有
甲同学一人报关怀老人项目”，则��|�的值为（）
A．
1
4
B．
3
4
C．
1
9
D．
2
9
10.将甲、乙、丙、丁4 名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1 名医生，A
表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则
（
）
A．事件A 与B 相互独立
B．事件A 与C 相互独立
C．��|�=
5
12
D．��|�=
5
12
题型二：条件概率性质的应用
1.已知
( )
0.5, ( )
0.3, (
)
0.1
P A
P B
P B
A
，求：
(1)
(
)
P B A ；
(2)
(
)
P A B ．
2.已知
1
(
|
)
(
|
)
2
P A B
P B A
，
3
( )
4
P A
，则
( )
P B
.
3.分别在下列各条件下，求
( ), (
)
P B P A B ：
(1)
( )
0.4, (
)
0.25, (
)
0.3
P A
P B A
P B A
；
(2)
( )
0.5, (
)
0.2, (
)
0.4
P A
P B A
P B A
．
4.已知
(
)
0.5, (
)
0.2
P BA
P BA
，求
( )
P B ．
5.设A ，B 为任意两个事件，且A
B
，
0
P B
，则下列选项必成立的是（
）
A．
|
P A
P A B
B．
|
P A
P A B
C．
|
P A
P A B
D．
|
P A
P A B
6.已知�ഥ，�ഥ分别为随机事件A，B 的对立事件，�(�) > 0，�(�) > 0，则下列说法正确的是（
）
A．���
+ ��ഥ�
= �(�)
B．若��+ ��= 1，则A，B 对立
C．若A，B 独立，则���
= �(�)
D．若A，B 互斥，则���
+ ���
= 1
7.已知���=
1
3，��=
2
5，则���=（
）
A．
5
6
B．
9
10
C．
2
15
D．
1
3
8.已知事件A，B，C 满足A，B 是互斥事件，且�
�∪��=
1
2，���=
1
12，��=
1
4，则���的值
等于（
）
A．
1
6
B．
1
12
C．
1
4
D．
1
3
9.已知��> 0，�1�2 = �，则下列式子成立的是（
）
①��1 �
> 0；
②�
�1 ∪�2 �
= ��1 �
+ ��2 �；
③��1�2 �
≠0；
④��1�2 �
= 1.
A．①②③④
B．②
C．②③
D．②④
10.已知事件A，B，C 满足A，B 是互斥事件，且
1
2
P
A
B C
，
1
12
P BC
，
1
4
P C
，则
P A C 的
值等于（
）
A．1
6
B．1
12
C．1
4
D．1
3
11.目前，国际上常用身体质量指数BMI
2
2
kg
m
体重单位：
身高
单位：
来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对
员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为3
100 ；女员工中，肥胖者的占比为2
100 ，已知公
司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（
）
A．3
100
B．9
200
C．3
5
D．3
4
题型三：利用全概率公式求概率
1．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次
品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（
）
A．3%
B．4%
C．5%
D．6%
2.一袋中装有10 个球，其中3 个黑球、7 个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑
球的概率为（
）
A．2
9
B．3
10
C．1
3
D．7
10
3.在2023 亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3 分球投手，在比赛
中，她3 分球投中的概率为
3
4，非3 分球投中的概率为
4
5，且她每次投球投3 分球的概率为
2
3，则该球员投一
次球得分的概率为（
）
A．
3
4
B．
1
2
C．
23
30
D．
17
30
4.2023 贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙
两家影院观影的概率分别为
2
5和
3
5．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为
3
5；如果他第一天
去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为
1
2．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（
）
A．
23
50
B．
1
2
C．
2
5
D．
5
9
5.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2 个黑球和4 个白球，乙箱装有2 个黑球和3 个
白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球
是黑球的概率是（
）
A．
11
15
B．
11
30
C．
1
15
D．
2
15
6.甲、乙两个袋子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲袋中有2 个红球，2 个白球和1 个黑球，乙袋中
有3 个红球，1 个白球和1 个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事
件�1, �2和�3分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件�表示从乙袋中取出的球是红球，则
�(�)=（
）
A．
17
30
B．
3
5
C．
9
22
D．
4
11
7.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数
之比为5:3，其中甲班中女生占3
5 ，乙班中女生占1
3 ．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女
生的概率是
．
8.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概
率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为
．
9.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
50％
30％
20％
优质率
95％
90％
70％
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．
10.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C
表示事件“被诊断者患有癌症”，则有
0.9
P A C
，
0.9
P A C
.现在对自然人群进行普查，设被试验的
人患有癌症的概率为0.01，即
0.01
P C
，则
P C A
.
11.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班
出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为1
3 ，1
3 ，1
3 ，而他自驾，坐
公交车，骑共享单车迟到的概率分别为1
4 ，1
5 ，1
6 ，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的
概率是（
）
A．12
37
B．15
37
C．3
5
D．4
7
12.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20% 的人近视，而该校大约有10% 的学生每天玩手
机超过1 小时，这些人的近视率约为60% ，现从每天玩手机不超过1 小时的学生中任意调查一名学生，则
他近视的概率为（
）
A．5
21
B．9
40
C．7
45
D．7
20
题型四：贝叶斯公式的应用
1.一道考题有4 个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为
1
3，在乱猜
时，4 个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（
）
A．
1
3
B．
2
3
C．
3
4
D．
1
4
2.三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40% ，机器乙生产的占25% ，机器丙生产的占35% .已
知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1% 不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中
随机地抽取一个零件.
(1)求取到的是不合格品的概率；
(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.
3.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数
相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是
．
4.甲和乙两个箱子中各装有10 个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4 个红球、3 个白球和3 个黑球，
乙箱中有5 个红球、2 个白球和3 个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用
1A 、
2
A 和
3
A 表示由
甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B 表示由乙箱取出的球是红球的
事件，则
2
P A B
5.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记
为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为2
5 ，被标记
为垃圾邮件的有1
10 的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有1
10 的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系
统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为
.
6.根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃
饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为
1
3和
2
3，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为
3
4，
若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为
1
2，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食
堂一楼的概率为（
）．
A．
3
7
B．
4
7
C．
1
5
D．
4
5
7.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以�表示事件“试验反应为阳性”，以�表示
事件“被诊断者患有癌症”，则有�(�|�) = 0.95，�(�ഥ|�ഥ) = 0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人
患有癌症的概率为0.005，即��= 0.005，则�(�|�) ≈（
）
A．0.087
B．0.950
C．0.050
D．0.475
8.某次考试共有8 道单选题，某学生掌握了其中5 道题，2 道题有思路，1 道题完全没有思路．掌握了的题
目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为3
5 ，没有思路的题目，只好任意猜一个答
案，猜对的概率为1
4 ．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（）
A．3
20
B．8
43
C．1
4
D．3
5
9.托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：����
=
�������
�=1
�
�������，
这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中
�=1
�
�������称为�的全概率．假设甲袋中有3
个白球和2 个红球，乙袋中有2 个白球和2 个红球．现从甲袋中任取2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取2
个球．已知从乙袋中取出的是2 个白球，则从甲袋中取出的也是2 个白球的概率为（
）
A．
37
150
B．
9
75
C．
18
37
D．
1
2
10.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、5箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，
但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（
）
A．2
9
B．3
8
C．1
12
D．5
8
11.盒子里有1 个红球与n 个白球，随机取球，每次取1 个球，取后放回，共取2 次.若至少有一次取到红球
的条件下，两次取到的都是红球的概率为1
9 ，则n （
）
A．3
B．4
C．6
D．8
12.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此
时笼内共有8 只蝇子：6 只果蝇和2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到
两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件
kA 表示“第k 只飞出笼的是苍蝇”，
1,2,
,8
k
，则
5
2
|
P A
A
为（
）
A．1
5
B．1
6
C．1
7
D．2
5
题型五：条件概率与全概率公式的综合应用
1.现有两台车床加工同一型号的零件，第1 台车床加工的零件次品率为6%，第2 台车床加工的零件次品率
为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1 台车床加工的零件数与第2 台车床加工的零件数之比为2：3，
从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率；
(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
2.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1 号箱装有1 个黑球和3 个白球，2 号箱装有
2 个黑球和2 个白球，3 号箱装有3 个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，
再从取出的箱中任意摸出一球，记事件��（�= 1，2，3）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．
(1)求�(�)的值：
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
3．中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两
个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3 盒肉馅的“饺子”，2 盒三鲜馅的“饺子”和5 盒
青菜馅的“饺子”,乙箱中有3 盒肉馅的“饺子”，3 个三鲜馅的“饺子”和4 个青菜馅的“饺子”.问：
(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是
肉馅的概率.
4.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网
约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车
费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素
满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
5.第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT 所
用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT 中．某学习小组设计了如下
问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲箱中有3 个红球、2 个白球，乙箱
中有4 个红球、1 个白球．
(1)从甲箱中随机抽出2 个球，在已知抽到红球的条件下，求2 个球都是红球的概率；
(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1 个球；如果点数大于等于5，从乙
箱子中随机抽出1 个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
6.莆田是历史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的争相打卡点，莆田文旅局调查打卡二十四景游客，
发现75%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，莆田文旅局为大家准备了4 种礼物，分别是莆田文化金
属书签､莆阳古厝徽章､广化寺祈福香包､湄洲艺术摆件.若打卡二十四景游客至少打卡两个景点，则有两次
抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4 种礼物中的1 种礼物.假设打卡
二十四景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡二十四景游客中随机抽取3 人，求3 人抽奖总次数不低于4 次的概率；
(2)任选一位打卡二十四景游客，求此游客抽中广化寺祈福香包的概率.
7.设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25% ，35%，40% ，
并且各车间的次品率依次为5%，4% ，2% .现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？
8.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4 个白球，8 个
黑球，乙盒装有1 个白球，5 个黑球，丙盒装有3 个白球，3 个黑球.
(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1 个球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.
模块三：综合巩固
1．据美国的一份资料报道，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，人群中有80%是不
吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.025%，则在美国总的来说患肺癌的概率约为（
）
A．0.1%
B．0.425%
C．1%
D．10%
2．某餐馆在A 网站有200 条评价，好评率为90%，在B 网站有100 条评价，好评率为87%．综合考虑这
两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（
）
A．88%
B．88.5%
C．89%
D．89.5%
3.某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性
的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（
）
A．1
2
B．9
200
C．9
19
D．18
37
4.质数（prime number）又称素数，一个大于1 的自然数，除了1 和它本身外，不能被其他自然数整除，
则这个数为质数，数学上把相差为2 的两个素数叫做“孪生素数”.如：3 和5，5 和7……，在1900 年的国际
数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23 个问题，其中第8 个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在
无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013 年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解
了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自
然数中，随机选取两个不同的数，记事件A ，这两个数都是素数；事件B ：这两个数不是孪生素数，则
P B A （
）
A．11
15
B．37
45
C．13
15
D．41
45
5.甲罐中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球（球除颜色外，大小
质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
1A ，
2
A 和
3
A 表示由甲罐中取出的球是红球，白
球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个
数是（
）
①事件
1A 与
2
A 相互独立
②
2
4
(
)
11
P B A
∣
③
9
( )
22
P B
④
1
4
(
)
9
P A B
∣
A．4
B．3
C．2
D．1
6.全概率公式在敏感性问题调查中有着重要应用．例如某学校调查学生对食堂满意度的真实情况，为防止
学生有所顾忌而不如实作答，可以设计如下调查流程：每位学生先从一个装有3 个红球，6 个白球的盒子
中任取3 个球，取到至少一个红球的学生回答问题一“你出生的月份是否为3 的倍数？”，未取到任何红球
的学生回答问题二“你对食堂是否满意？”．由于两个问题的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问
题他人并不知道（取球结果不被看到即可），因此理想情况下学生应当能给出符合实际情况的答案．已知
某学校800 名学生参加了该调查，且有250 人回答的结果为“是”，由此估计学生对食堂的实际满意度大约
为（
）
A．25%
B．35%
C．45%
D．55%
7.某饮料厂生产
,
A B 两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为40%,60% ，且这两种饮料中的碳
酸饮料的比例分别为20%,80% ，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（
）
A．0.12
B．0.20
C．0.44
D．0.32
8.为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛
中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概
率为2
3 ，甲、丙两人都回答正确的概率是1
2 ，乙、丙两人都回答正确的概率是1
4 ．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1 人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为1 1 1
,
,
2 6 3 ，求这个问题回答正
确的概率．
9.随机事件A，B，C 满足
(
|
)
(
|
)
(
|
)
1
P A B
P B C
P C A
，则
( )
( )
( )
P A
P B
P C
的取值范围是（
）
A．
9
1, 7
B．
9
0, 7
C．
3
0, 2
D．
0,2
10.第19 届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5 名大学生将前往3
个场馆
, ,
A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2 名
志愿者的概率为（
）
A．3
5
B．21
50
C．6
11
D．3
4
11.已知甲盒中有3 个红球和2 个黄球，乙盒中有2 个红球和1 个黄球.现从甲盒中随机抽取1 个球放入乙
盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1 个球，此球恰为红球的概率是（
）
A．3
8
B．9
20
C．5
8
D．13
20
12.若甲盒中有2 个白球､2 个红球､1 个黑球，乙盒中有x 个白球（x
N
）､3 个红球､2 个黑球，现从甲盒
中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色
相同的概率大于等于5
12 ，则x 的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
13.（多选）甲箱中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙箱中有3 个红球，3 个白球和3 个黑球，先从甲
箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以
1
2
,
A A 和
3
A 表示从甲箱取出的球是红球，
白球和黑球的事件，以B 表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（
）
A．
7
( )
20
P B
B．
1
1
5
P A B
C．事件B 与事件
(
1,2,3)
iA i
相互独立
D．
2
6
|
35
P A
B
14.（多选）甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由
, ,
A B C 三个工序组成，甲
只负责其中一个工序，且甲负责工序
,
,
A B C 的概率分别为0.5,0.3,0.2，当他负责工序
, ,
A B C 时，该项目达
标的概率分别为0.6 0.8 0.7
,
,
,则下列结论正确的是（
）
A．该项目达标的概率为0.68
B．若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54
C．若该项目达标，则甲负责工序A 的概率为15
34
D．若该项目未达标，则甲负责工序A 的概率为5
8
15.（多选）2023 年旅游市场强劲复苏，7，8 月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计
划2024 年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M
为“甲选择北京”，事件N 为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（
）（
A．事件M 与N 互斥
B．
P N M
P M N
C．
31
36
P MN
D．
2
3
P M
N
16.（多选）已知A ，B ，C 三个盒子，其中A 盒子内装有2 个红球，1 个黄球和1 个白球；B 盒子内装有
2 个红球，1 个白球；C 盒子内装有3 个红球，2 个黄球.若第一次先从A 盒子内随机抽取1 个球，若取出
的球是红球放入A 盒子中；若取出的球是黄球放入B 盒子中；若取出的球是白球放入C 盒子中，第二次从
第一次放入盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（
）
A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为1
2
B．第二次抽到红球的概率为1
3
C．如果第二次抽到的是红球，则它来自B 号盒子的概率最大
D．如果将5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1 个，则不同的放法有150 种
17.（多选）设A，B 是一次随机试验中的两个事件，且
1
( )
3
P A
，
1
( )
4
P B
，
7
(
)
12
P AB
AB
，则（
）
A．A，B 相互独立B．
5
(
)
6
P A
B
C．
1
3
P B A
D．
P A B
P B A
18.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，
某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器
外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1 号仓，则试验结束时该粒子是从
1 号仓到达容器外的概率为
．
19.新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在
地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有3
4 的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理
和历史的学生中选择地理的概率分别是1
3 和2
3 ，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率
为
.
20.若10 个篮球中有7 个已打足气，3 个没有打足气．已知小明用打足气的篮球投篮，命中率为0.9 ，用没
有打足气的篮球投篮，命中率为0.3，则小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为
．
21.一个袋子中有10 个大小相同的球，其中红球7 个，黑球3 个.每次从袋中随机摸出1 个球，摸出的球不
再放回.
(1)求第2 次摸到红球的概率；
(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为
1P ；第1 次摸到红球的概率为
2P ；在第1 次摸到红球的条件下，第2
次摸到红球的概率为
3P ；在第1，2 次都摸到红球的条件下，第3 次摸到红球的概率为
4P .求
1
2
3
4
,
,
,
P P P P ；
(3)对于事件
, ,
A B C ，当
0
P AB
时，写出
,
,
,
P A
P B A
P C AB
P ABC
∣
∣
的等量关系式，并加以证明.
22.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网
约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车
费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32 ，选择乙公司的频率为0.68：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62 ，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32 .
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素
满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
23.某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该
游戏进行10 轮，若在10 轮游戏中，参与者获胜5 次就送2000 元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，
直至10 轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是1
2 ，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是1
2 ，若上一
次失败则下一次成功的概率是2
3 ．记消费者甲第n 次获胜的概率为
np ，数列
np
的前n 项和
1
n
n
n
i
p
T
，且
nT 的实际意义为前n 次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2 次获胜的概率
2p ；
(2)证明：
4
7
np
为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
7.2 离散型随机变量及其分布列
模块一：基础知识
考点一：随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X 为
随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，
z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
4.随机变量与函数的关系
联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点
相当于函数定义中的自变量，样本空间
相当于函数
的定义域.
区别：样本空间
不一定是数集，随机变量的取值X(
)随着试验结果
的变化而变化，而函数是从非空
数集到非空数集的一一对应.
考点二：离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．
考点三：离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X 取每一个值xi 的概率P(X
＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列．
2.分布列的表格表示
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
分布列也可以用等式形式表示为P(X=
)=
，i=1，2，
，n，还可以用图形表示.
3．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
考点四：两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A 表示“成功”，A－表示“失败”，定义X＝
1，A 发生，
0，A－发生.
如果P(A)＝p，则P( A－)＝1－p，那么X 的分布列如表所示
X
0
1
P
1－p
p
我们称X 服从两点分布或0－1 分布．
模块二：题型分类
题型一：随机变量的判断
1.一个袋中装有除颜色外完全相同的2 个黑球和6 个红球，从中任取2 个，可以作为随机变量的是（
）
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1 个红球
D．至少取到1 个红球或1 个黑球
2.下列叙述中，是离散型随机变量的为（
）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2 个黑球6 个红球，任取2 个，取得一个红球的可能性
3.下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数�；
②一个沿�轴进行随机运动的质点，它在�轴上的位置�；
③某派出所一天内接到的报警电话次数�；
④某同学上学路上离开家的距离�．
其中是离散型随机变量的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.如果X 是一个离散型随机变量且�= ��+ �，其中a，b 是常数且�≠0，那么Y（
）
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
5.将一枚质地均匀的骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（
）
A．第一次出现的点数
B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和
D．两次出现相同点的种数
6.袋中有3 个白球、5 个黑球，从中任取2 个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（
）．
A．至少取到1 个白球
B．至多取到1 个白球
C．取到白球的个数
D．取到球的个数
7:10 件产品中有3 件次品,从中任取2 件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
题型二：离散型随机变量的取值
1.已知4 支钢笔的单价分别为10 元、20 元、30 元、40 元．从中任取2 支，若以Y 表示取到的钢笔的较高
单价（单位：元），则Y 的取值范围为（
）
A．
10,20,30,40,50,60,70,80
B．
10,20,30,40,50,60,70
C．
10,20,30,40
D．
20,30,40
2.一串钥匙有6 枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验
次数X 的最大可能取值为（
）
A．6
B．5
C．4
D．2
3.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100 分，回答不正确得100
分，则选手甲
回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
题型三：求离散型随机变量的分布列
1.投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为�，则�的分布列为（
）
A.
B.
C.
D.
2.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1 次，设两人命中总次数为X，
则X 的分布列为（
）
A.
B.
C.
D.
3.某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000 元；阴天销路一般，可获利500 元；下雨天西瓜
滞销，会亏损500 元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，
试写出销售这批西瓜获利的分布列．
4.装有除颜色外其余均相同的3 个红球，2 个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有X 个红球，随机变量X
的概率分布列如下:
X
0
1
2
P
1
x
2
x
3x
则
1
2
3
,
,
x x
x 的值分别为
、
、
.
5.学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次
机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第
一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则
直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投
篮命中率为3
4 ，在三分线处投篮命中率为2
3 ．假设学生甲每次投进与否互不影响．
(1)求学生甲被录取的概率；
(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X ，求X 的分布列．
6.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖，最多有3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10
元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；
也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为2 1 1
,
,
3 2 3 ，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为2
3 ，第二次
抽中选择继续抽奖的概率为1
4 ，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列．
7.设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：（1）2
1
X 的分布列；
（2）求
(1
4)
P
X
的值.
8.甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3 局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如
下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每
局甲校获胜的概率为2
3 ，乙校获胜的概率为1
3 ，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为1
3 ，乙校获胜
的概率为2
3 .每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1 获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布.
9.从含有2 名女生的10 名大学毕业生中任选3 人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．
题型四：离散型随机变量的分布列求概率
1.设随机变量X 的概率分布列如下表，则
(
2
1)
P X
（）
X
1
2
3
4
P
1
3
m
1
4
1
6
A．1
4
B．1
6
C．5
6
D．5
12
2.已知随机变量X 服从两点分布，且
1
0.6
P X
.设
3
2
Y
X
，那么
2
P Y
等于（
）
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.4
3.设随机变量X 的分布列
(
)
(
1,2,3)
2i
k
P X
i
i
，则
2
P X
的值为（
）
A．1
B．3
7
C．4
7
D．5
7
4.某一射手射击所得环数X 的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.05
0.06
0.08
m
m
0.21
(1)求m 的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数
8
”的概率．
5.离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，y N ）代替，分布列如下：
X
i
1
2
3
4
5
6
(
)
P X
i
0.21
0.20
0.
5
x
0.10
0.1 y
0.10
则
3
11
2
3
P
X
（
）
A．0.35
B．0.45
C．0.55
D．0.65
6.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ
－1
0
1
2
3
P
1
10
1
5
1
10
1
5
2
5
则下列各式正确的是（
）
A．��< 3 =
2
5
B．��> 1 =
4
5
C．�2 < �< 4 =
2
5
D．��< 0.5 = 0
7.随机变量ξ的分布列如下：
�
−1
0
1
�
�
�
�
其中2�= �+ �，则�( �= 1)等于（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
2
D．
2
3
8.已知随机变量�的分布列为��= �=
1
2�, �= 1,2,3, ⋯，则�1 < �≤6 =（
）
A．
17
32
B．
15
32
C．
33
64
D．
31
64
题型五：离散型随机变量的分布列的性质求参数
1.设�是一个离散型随机变量，其分布列为
�
2
3
4
�
1
2
1 −2�
2�2
则�等于（
）
A．1
B．1 −
2
2
C．
1
2
D．1 +
2
2
2.某一随机变量�的分布列为
�
0
1
2
3
�
0.1
�
2�
0.1
则��的最大值为（
）
A．0.2
B．0.8
C．0.08
D．0.6
3.已知随机变量X 的分布列为
(
)
(
1
i
P X
i
i
a
，2，3，4 ，5)，则
(2
5)
P
X
（
）
A．1
3
B．
1
2
C．3
5
D．9
10
4.已知随机变量X 的概率分布为
1,2,3,4
1
a
P X
n
n
n n
，其中a=（
）
A．1
B．5
4
C．5
6
D．2
5.若随机变量的分布列如下表：
1
2
3
4
P
0.1
m
0.2
0.3
则
3
1
P
（
）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
6.设离散型随机变量的概率分布如下，则a 的值为（）
X
1
2
3
4
P
1
6
1
3
1
6
a
A．
1
2
B．1
6
C．1
3
D．1
4
7.若随机变量X 的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8 时，实数a 的取值范围是（
）
A．(－∞，2]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．(1，2)
8.若随机变量Y 的分布列如下表，则当
0.8
P Y
x
时，实数x 的取值范围是（
）
Y
2
1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
A．
2
x
B．1
2
x
C．1
2
x
D．1
2
x
9.已知随机变量X 的分布列如表（其中a 为常数）：
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
则
1
3
P
X
等于（
）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
10.已知随机变量的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中, ,
a b c 成等差数列，则函数
2
2
f x
x
x
有且只有一个零点的概率为（
）
A．1
6
B．1
3
C．
1
2
D．5
6
题型六：两点分布
1.已知X 服从两点分布，且
0
0.3
P X
，则
1
P X
．
2.小明通过某次考试的概率是未通过的5 倍，令随机变量
1,
0,
X
考试通过
考试未通过，则
0
P X
（
）
A．1
3
B．5
6
C．1
6
D．2
3
3.设某项试验的成功率是失败率的2 倍，用随机变量去表示1次试验的成功次数，则
0
P
等于（
）
A．0
B．1
2
C．1
3
D．2
3
4.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（
）
A．抛掷一枚骰子，所得点数X
B．某射击手射击一次，击中目标的次数X
C．从装有除颜色外其余均相同的5 个红球，3 个白球的袋中任取1 个球，设
1,
0,
X
取出白球
取出红球
D．某医生做一次手术，手术成功的次数X
5.若随机变量X 服从两点分布，且
0
0.8
P X
．令
3
2
Y
X
，则
1
P Y
．
6.设随机变量X 服从两点分布，若
1
0
0.4
P X
P X
，则
1
P X
．
7.已知随机变量X 服从两点分布，且
2
0
2
P X
a
，
1
P X
a
，那么
a
．
8.已知随机变量X 服从两点分布，且��= 1 =
3
2 ��= 0 ，则��= 1 =（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
9.若离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，且�(�= 1) = �, 4 −5�(�= 0) = �，则�=（
）
A．
2
3
B．
1
2
C．
1
3
D．
1
4
题型七：两个相关的随机变量的分布列问题
1.已知随机变量X 的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.4
�
0.1
若Y＝2X－3，则��= 5 的值为______
2.设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
3.已知随机变量X 的分布列如下：
X
0
1
2
P
1
3
1
2
a
若随机变量Y 满足�= 3�−1，则下列说法正确的是（
）
A．�=
1
6
B．��> 1 =
5
6
C．��= 2 =
1
2
D．��< 2 = 0
4.已知离散型随机变量�的分布列��= �=
�
15，�= 1,2,3,4,5.令�= 2�−2，则��> 0 =
.
题型八：离散型随机变量的综合问题
1.学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人
打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平
局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7.
(1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数X 的概率分布列；
(2)求甲成为优胜者的概率.
2.在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100 名学生，其中共有4
名女生和3 名男生的成绩在90 分以上，从这7 名同学中每次随机抽1 人在全校作经验分享，每位同学最
多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求��，���，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7 名学生中随机抽取3 人进行经验分享，记被抽取的3 人中女生的人
数为X，求X 的分布列．
3.教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公
平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资
源匮乏的问题，某市教育局拟从5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3 批次进行，
每次支教需要同时派送2 名教师，且每次派送人员均从这5 人中随机抽选．已知这5 名优秀教师中，2 人
有支教经验，3 人没有支教经验．
(1)求5 名优秀教师中的“甲”，在这3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数X 的分布列；
4.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖，最多有3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10
元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；
也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为
2
3 ,
1
2 ,
1
3，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为
2
3，第二次抽
中选择继续抽奖的概率为
1
4，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量�，求�的分布列．
5.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨
论学习.甲组一共有4 人，其中男生3人，女生1人；乙组一共有5人，其中男生2 人，女生3人.现要从这9人
的两个兴趣小组中抽出4 人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件A 为“选出的这4 个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A
发生的概率；
(2)用X 表示抽取的4 人中乙组女生的人数，求随机变量X 的分布列.
6.品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，
要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n 瓶酒，并重新按品质
优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n 的n 种酒，在第二次排序时
的序号为�1, �2, �3, …, ��，并令�=
�=1
�
�−��
σ
，称X 是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排
序的偏离度的高低为其评分.
(1)当�= 3 时，若�1, �2, �3等可能地为1，2，3 的各种排列，求X 的分布列；
(2)当�= 4 时，
①若�1, �2, �3, �4等可能地为1，2，3，4 的各种排列，计算�≤2 的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有�≤2（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，
请说明理由.
7.在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中
抽取容量为200 的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100 分.调查结果显示：最低
分为51 分，最高分为100 分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频
数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男生评分结果的频数分布表
分数区间
频数
50,60
3
60,70
3
70,80
16
80,90
38
90,100
20
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
(1)求a 的值；
(2)为进一步改善食堂状况，从评分在50,70 的男生中随机抽取3 人进行座谈，记这3 人中对食堂“不满意”
的人数为X，求X 的分布列；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取两名学生，求有且只有一人对食堂“比较满意”
的概率.
模块三：综合巩固
1.从装有2 个白球、3 个黑球的袋中任取2 个小球，下列可以作为随机变量的是（
）
A．至多取到1 个黑球
B．至少取到1 个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
2.甲、乙两人下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，共下三局．用表示甲的得分，则
3
表
示（
）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3.设0
1
p
，随机变量的分布列为：
5
8
9
P
1
3
p
2
p
2
3
p
则p （
）
A．1
4
B．3
4
C．2
5
D．4
5
4.袋中有2 个黑球、5 个红球，从中任取2 个，可以作为随机变量的是（
）
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球的概率
5.如图，我国古代珠算算具算盘每个档( 挂珠的杆)上有7 颗算珠，用梁隔开，梁上面2 颗叫上珠，下面5颗
叫下珠，若从某一档的7 颗算珠中任取3 颗，记上珠的个数为X ，则
1
P X
（
）
A．6
7
B．5
7
C．3
7
D．2
7
6.若随机变量X 的分布列为
X
2
1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
0.1
0.2
则当
0.7
P X
a
时，实数a 的取值范围是（
）
A．
,2
B．
1,2
C．
1,2
D．
1,2
7.设随机变量的分布列如下表，则
2
5
1
4
P
（
）
1
2
3
4
P
1
12
a
1
3
1
3
A．5
12
B．
1
2
C．7
12
D．1
6
8.一袋中装有4 个白球和2 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红
色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X ，则
2
P X
（
）
A．4
5
B．2
5
C．1
5
D．3
5
9.（多选）已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
2
4
6
P
0.2
m
n
0.1
则下列选项正确的是（
）
A．
0.7
m
n
B．若
0.3
m
，则
(
3)
0.5
P X
C．若
0.9
m
，则
0.2
n
D．
(
1)
2 (
6)
P X
P X
10.（多选）已知随机变量X 的分布列为
(
)
(
1)(
2)
a
P X
n
n
n
（
0,1,2
n
），其中a 是常数，则（
）
A．
(
0)
(
1)
(
2)
1
P X
P X
P X
B．
4
3
a
C．
8
(0
2)
9
P
X
D．以上均不正确
11.“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X 的所有可能取值为1,2,
,n
，且
0
1,2,
,
i
P X
i
p
i
n
，
1
1
n
i
i
p
，定义X 的信息熵
3
1
log
n
i
i
i
H X
p
p
，则下列说法中正确的
是（
）
A．当
1
n 时，
0
H X
B．当
3
n
且
1
1,2,3
3
ip
i
时，
1
H X
C．若
1
1,2,
,
ip
i
n
n
，则
H X 随着n 的减小而减小
D．当
2
n
时，
H X 随着
1p 的增大而减小
12.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次
围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假
设每局比赛甲胜乙的概率都为
(0
1)
p
p
，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（
）
A．乙连胜三场的概率是
3
(1
)
p
B．
3
3
(
4)
3
(1
)
3 (1
)
P X
p
p
p
p
C．
2
2
(
5)
12
(1
)
P X
p
p
D．
(
5)
P X
的最大值是
3
8
13.（多选）已知为随机变量，从棱长为1 的正方体的12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，
0
；当
两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
1
．则下列结论正确的是（
）
A．共有24 对相交棱
B．
6
0
11
P
C．
1
2
11
P
D．
5
1
11
P
14.已知X 服从参数为0.6 的两点分布，则
0
P X
.
15.设随机变量X 的分布列为
1,2,
,8
P X
i
ai i
L
，则常数
a
.
16.离散型随机变量X 的概率分布规律为
1,2,3,4
1
a
P X
n
n
n n
，其中a 是常数，则
1
5
2
2
P
n
.
17.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n，且
0
1,2,
,
i
P X
i
p
i
n
，
1
1
n
i
i
p
，定义
1
1
n
i
n
i
i
M X
p p
．若
1
2
1
n
p p
n
，则当
3
n
时，
M X 的最大值为
．
18.已知病毒A 在某溶液中的存活个数
k 的概率满足
3
3 e
01 2
!
k
P X
k
k
k
，，，
，已知只要该溶液中存
在一个A 病毒，就可以导致生物C 死亡，则该溶液能够导致生物C 死亡的概率为
．
19.已知新高考数学共4 道多选题，评分标准是每题满分5 分，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选
或不选的得0 分．每道多选题共有4 个选项，正确答案往往为2 项或3 项. 为了研究多选题的答题规律，
某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为1
2 ，正确答案是“选三项”的概率为1
2 .现有
学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0 分的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布
列.
20.某县教育局从县直学校推荐的6 名教师中任选3 人去参加进修活动，这6 名教师中，语文、数学、英语
教师各2 人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X 表示选出的3 人中数学教师的人数，求X 的分布列．
21.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3 需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，
各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2 中至少有1 个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X 的分布列．
22.踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1 丙、丁
四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为1
3 ；当乙接到毽子时，乙
传给甲、丙、丁的概率分别为1
3 ，1
2 ，1
6 ；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为1
3 ，1
2 ，1
6 ；
当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为1
3 ，1
6 ，1
2 .假设毽子一直没有掉地上，经过n 次传毽子
后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为
na ，
nb ，
nc ，
n
d ，已知
1
0
a
.
(1)记丁在前2 次传毽子中，接到毽子的次数为X ，求X 的分布列；
(2)证明
1
4
na
为等比数列，并判断经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率与1
4 的大小.
23.在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学
的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为1
2 ，1
2 ，p，
复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为1
12 ．
(1)求p 的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X 的分布列．
24.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖
若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500 名参加活动的高一学生，获奖情况统计
结果如下：
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200 名男生和300 名女生中各随机抽取1 名，求抽到的2 名学生都获一等奖的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1 名，从该地区高一女生中随机抽取1 名，以X 表示这
2 名学生中获奖的人数，求X 的分布列
7.3 离散型随机变量的数字特征
模块一：基础知识
考点一：离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝
i
n
i
i p
x
1
为随机变量X 的均值或数学期望．
2．离散型随机变量的均值的意义
①均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了
随机变量取值的平均水平．
②E(X)是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而E(X)是
不变的，它描述X 取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
3．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b 均是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，X 是随机变量，那么Y 也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)
＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y 的分布列为
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)
＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
考点二：两点分布的均值
如果随机变量X 服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
考点三：离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X 的分布列如表所示．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
我们用X 所有可能取值xi 与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的
加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E(X)的偏离程度．
我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝
i
n
i
i
p
X
E
x
1
2
为随机变量X 的方差
(variance)，有时也记为Var(X)，并称DX为随机变量X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．
考点四：离散型随机变量方差的性质
1．设a，b 为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c 为常数)．
3.若X 服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
模块二：题型分类
题型一：求离散型随机变量的均值
1.已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
2
3
P
3
5
3
10
1
10
则X 的数学期望EX
A．3
2
B．2
C．5
2
D．3
2.已知随机变量X 服从两点分布，
0.7
E X
，则其成功概率为（
）
A．0
B．1
C．0.3
D．0.7
3.设随机变量X 的分布列为P(X= 4
k )=ak(k=1，2，3，4)，a 为常数，则
A．a= 1
5
B．P(X> 1
2 )= 7
10
C．P(X<4a)= 1
5
D．E(X)= 1
2
4.为了备战2023 斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，
热身进行到有一人比对方多2 分或打满6 局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为
2
3，赵心童在每局中获
胜的概率为
1
3，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为�，则��=（
）
A．
5
9
B．
266
81
C．
20
81
D．
2
9
5.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5 元，售价是每束5 元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6 元进行处
理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这
种鲜花500 束，则利润的均值是（
）
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A．706 元
B．690 元
C．754 元
D．720 元
6.2022 年7 月24 日14 时22 分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B 遥三运载火箭成功发
射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M 大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和
复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给
予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50 元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100 元的奖品．现有A，
B，C 三名学生报名参加了这次竞赛，已知A 通过初赛、复赛的概率分别为
1
2，
1
3；B 通过初赛、复赛的概率
分别为
2
3，
1
2，C 通过初赛和复赛的概率与B 完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X 元，则X 的数
学期望为（
）
A．300 元
B．
1000
3 元
C．350 元
D．
2000
3 元
7.一袋中装有编号分别为1，2，3，4 的4 个球，现从中随机取出2 个球，用X 表示取出球的最大编号，
则
E X
（
）
A．2
B．3
C．10
3
D．11
3
8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的
颜色，这两次取出白球数X 的均值为（
）
A．1
B．
1
2
C．2
D．3
9.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用
身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的
概率是0.5，且规定猜对得1 分，猜错得0 分，则这两个同学各猜1 次，得分之和X 的均值（
）
A．0.9
B．0.8
C．1.2
D．1.1
10.某市有�, �, �, �四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 � 的概率为
2
3，游览�, �, �的概率都是
1
2，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量 � 表示该游客游览的景点个数，错误的是（
）
A．该游客至多游览一个景点的概率为
1
4
B．�(�= 2) =
3
8
C．�(�= 4) =
1
24
D．�(�) =
13
6
题型二：均值的性质
1.随机变量X 的分布列如表，则
2
3
E
X
的值为（
）
X
1
2
3
P
0.2
A
0.4
A．4.4
B．7.4
C．21.2
D．22.2
2.已知
( )
6
E Y
，
4
2
Y
X
，则
(
)
E X
．
3.若随机变量
3
Y
aX
，且
7
( )
3
E Y
，
1
(
)
3
E X
，则
a
．
4.设离散型随机变量X 的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则
(
)
2
3
E
X
=（
）
A．2
B．1
C．-1
D．-2
5.已知离散型随机变量X 服从两点分布，且
(
0)
3
4 (
1)
P X
P X
，则随机变量
3
1
Y
X
的期望
为
．
6.已知随机变量X 的分布列为：
X
1
2
3
4
P
p
2
3
1
p
p
p
3
p
2
p
其中
(0,1)
p
，随机变量X 的期望为
E
X ，则当
E
X 取得最小值时，p
．
7.已知随机变量��> 0 满足�2 −3�+ �2 �= 6，则��=（
）
A．−1 或4
B．2
C．3
D．4
8.若�，�是离散型随机变量，且�= ��+ �，其中�，�为常数，则有��= ���+ �.利用这个公式计算
���−�=（
）
A．0
B．1
C．2
D．不确定
题型三：两点分布的均值
1.若随机变量X 服从两点分布，其中
1
0
3
P X
，则以下正确的是（
）
A．
1
3
E X
B．
4
2
3
3
E
X
C．
8
2
2
3
E
X
D．
7
2
1
3
E
X
2.设随机变量X 服从两点分布，若
1
0
0.4
P X
P X
，则
E X
（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
3.已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，满足
2
0
9
1
P X
P X
，且
0
1
P X
P X
，则
E X
（
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．1
4
题型四：由均值求参数
1.若随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
1
3
a
b
且
1
E X ，则b 的值为（
）
A．1
3
B．0
C．
1
2
D．2
3
2.已知随机变量X，Y 满足�= 2�+ 3，Y 的期望��=
7
3，X 的分布列为：
X
−1
0
1
P
1
2
a
b
则a，b 的值分别为（
）
A．�=
1
6 , �=
1
3
B．�=
1
4 , �=
1
4
C．�=
1
3 , �=
1
6
D．�=
3
8 , �=
1
8
3.甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），
且每一局甲赢的概率都是�，随机变量�表示最终的比赛局数，若�的数学期望为
22
9 ，则�=（
）
A．
1
4
B．
1
2
C．
3
4
D．
1
3或
2
3
4.设离散型随机变量�可能的取值为1，2，3，4，��= �= ��+ �，若�的均值��= 3，则�−�等于
（
）
A．
1
10
B．0
C．−
1
10
D．
1
5
5.某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3 次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3 次上机
考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为��≠0 ，考试次数为X，若X 的数学期望��> 1.75，
则p 的取值可能是（
）
A．
1
2
B．
5
12
C．
7
12
D．
3
4
6.甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），
且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若X 的数学期望为22
9 ，则p （
）
A．1
4
B．
1
2
C．3
4
D．1
3 或2
3
7.某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3 次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3 次上机
考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为
0
p p
，考试次数为X，若X 的数学期望
1.75
E X
，
则p 的取值可能是（
）
A．
1
2
B．5
12
C．7
12
D．3
4
题型五：求离散型随机变量的方差、标准差
1.若随机变量X 的分布列如表，则X 的方差
D X 是（
）
X
1
0
1
P
1
4
1
2
1
4
A．0
B．1
C．1
4
D．1
2
2.已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若
0
EX
，
1
DX ，则
a
，b
．
X
1
0
1
2
P
a
b
c
1
12
3.小明参加某射击比赛，射中得1 分，未射中扣1 分，已知他每次能射中的概率为2
3 ，记小明射击2 次的
得分为X，则
D X （
）
A．8
9
B．16
9
C．20
9
D．26
9
4.某离散型随机变量X 的分布列如下，若
3
(
)
4
E X
，
7
(
1)
12
P X
，则
(
)
D X （
）
X
1
0
1
2
P
a
b
c
1
3
A．15
16
B．9
8
C．5
4
D．19
16
5.已知随机变量X 的分布列如下表（其中a 为常数）则下列计算结果正确的是（
）
X
0
1
2
3
P
0.2
a
0.4
0.1
A．
0.2
a
B．
1
0.7
P X
C．
1.4
E X
D．
6.3
D X
6.甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次
投篮甲、乙命中的概率分别为
1
3，
3
4.在前3 次投篮中，乙投篮的次数为�，求随机变量�的概率分布、数学期
望和方差．
7.甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X 和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X
−1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y
−2
−1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
(1)求��和��；
(2)求��和��，并比较两种品牌手表的性能．
8.甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每
次投篮甲.乙命中的概率分别为
1
3，
3
4.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3 次投篮中，乙投篮的次数为�，求�的分布列；
(3)求�的期望及标准差.
9.假定某射手每次射击命中目标的概率为
2
3．现有3 发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一
直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：
(1)X 的概率分布；
(2)均值��；
(3)标准差��．
题型六：方差的性质
1.若随机变量�的分布列如表，且��= 2，则�2�−3 的值为（
）
�
0
2
�
�
1
6
�
1
3
A．9.2
B．5
C．4
D．1
2.若数据�1, �2, ⋯, ��的平均数为�，方差为�2，则5�1 + 2,5�2 + 2, ⋯, 5��+ 2 的平均数和方差分别为（
）
A．�, �2
B．5�+ 2, �2
C．5�+ 2,25�2
D．�, 25�2
3.一组数据
1
x 、
2
x 、
3x 、
4x 、
5x 的方差为1
2 ，则
1
2
1
x 、
2
2
1
x 、
3
2
1
x 、
4
2
1
x 、
5
2
1
x 的方差为（
）
A．2
B．3
C．4
D．1
2
4.设随机变量X 的方差
1
D X ，则
2
1
D
X
的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5.已知随机变量
,
X Y 满足Y
aX
b
，且,a b 为正数，若
(
)
2,
( )
8
D X
D Y
，则（
）
A．
2
b
B．
4
a
C．
2
a
D．
4
b
6.设0
1
m
，随机变量的分布列为：
0
m
1
P
3
a
1
3
2
1
3
a
则当m 在
0,1 上增大时（
）
A．
D 单调递增，最大值为
1
2
B．
D 先增后减，最大值为1
3
C．
D 单调递减，最小值为2
9
D．
D 先减后增，最小值为1
6
7.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝1
3 ，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)＝(
)
A．6
B．9
C．3
D．4
8.已知随机变量X 满足�2�−1 = 2，�2�−1 = 4，则（
）
A．��= 2，��=
5
4
B．��=
3
2，��=
5
4
C．��=
3
2，��= 1
D．��= 2，��= 1
9.设�> 0，若随机变量�的分布列如下表：
�
－1
0
2
P
a
2a
3a
则下列方差中最大的是（
）
A．�(�)
B．��
C．�2�−1
D．�2 �−1
题型七：两点分布的方差
1.随机变量X 服从两点分布，若�(�= 0) =
1
4，则下列结论正确的是（
）
A．�(�= 1) =
3
4
B．��=
1
4
C．�2�+ 1 =
3
2
D．�2�+ 1 =
7
4
2.若随机变量�服从两点分布，其中�(�= 0) =
1
3，则�(3�+ 2)和�(3�+ 2)的值分别是（
）
A．4 和4
B．4 和2
C．2 和4
D．2 和2
3.若随机变量�服从两点分布，其中��= 0 =
1
3，��, ��分别为随机变量�的均值与方差，则下列结论
不正确的是（
）
A．��= 1 = ��
B．�3�+ 2 = 4
C．�3�+ 2 = 2
D．��=
4
9
题型八：分布列、均值、方差的综合应用
1.袋中装有大小相同的2 个白球和3 个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
2.为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别
为两个相互独立的随机变量，，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，
8，7 环的概率分别为0.5，3a ，a ，a ，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2 .
(1)求，的分布列；
(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
3.一个骰子各个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6 ，现抛掷该股子2 次，记第一次正面朝上的数字为
1Y ，第二
次正面朝上的数字为
2
Y ，记不超过
1
2
Y
Y 的最大整数为Y ．
(1)求事件“Y
0
”发生的概率，并判断事件“
1
6
Y
”与事件“Y
0
”是否为互斥事件；
(2)求Y 的分布列与数学期望．
4.为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5 元的价格从农场购
进若干西瓜，然后以每个10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16 个西瓜，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n（单位：个，
N
n
）的
函数解析式；
(2)水果店记录了100 天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16 个西瓜，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16 个或17 个西瓜，你认为应购进16 个还是17 个？请说明理由．
5.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、
乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6 个招标问题
中随机抽取3 个问题，已知这6 个招标问题中，甲公司可正确回答其中4 道题目，而乙公司能正确回答每
道题目的概率均为
2
3，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲、乙两家公司共答对2 道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量�，求�的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
6.某学校组织知识竞赛，题库中试题分A ，B 两种类型，每个学生选择2 题作答，第1 题从A ，B 两种试
题中随机选择一题作答，学生若答对第1 题，则第2 题选择同一种试题作答的概率为2
3 ，若答错第1 题，
则第2 题选择同一种试题作答的概率为1
4 .已知学生甲答对A 种试题的概率均为1
2 ，答对B 种试题的概率均
为2
3 ，且每道试题答对与否相互独立.
(1)求学生甲2 题均选择B 种试题作答的概率；
(2)若学生甲第1 题选择A 种试题作答，记学生甲答对的试题数为X ，求X 的分布列与期望.
7.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查.如图
是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低
于40 分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1 名观众，抽取3 次，记被抽取的3 名观众
中的“体育迷”人数为�.若每次抽取的结果是相互独立的，求�的分布及期望.
(2)用分层抽样的方法从这100 名观众中抽取8 名作为样本A，则样本A 中“体育迷”和非“体育迷”分别有几
人?从样本A 的这8 名观众中随机抽取3 名，记Y 表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y 的分布及方差.
8.某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情
况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3 三组.观察一段时间后，分别从1,2,3
三组随机抽取40 株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
株高增量（单位：厘米）
4,7
7,10
10,13
13,16
第1 组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2 组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3 组鸡冠花株数
13
12
13
2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1 组所有鸡冠花中随机选取1 株，估计株高增量为7,10 厘米的概率；
(2)分别从第1 组，第2 组，第3 组的所有鸡冠花中各随机选取1 株，记这3 株鸡冠花中恰有�株的株高增
量为7,10 厘米，求�的分布列和数学期望��；
(3)用“��= 1”表示第�组鸡冠花的株高增量为4,10 ，“��= 0”表示第�组鸡冠花的株高增量为10,16 厘米，
�= 1,2,3，直接写出方差��1，��2，��3的大小关系.（结论不要求证明）
9.在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0 分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来
做，选对得2 分；
策略B：争取得5 分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2 分，全部选对得5 分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略
概率
每题耗时（分钟）
第11 题
第12 题
A
选对选项
0.8
0.5
3
B
部分选对
0.6
0.2
6
全部选对
0.3
0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10 分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1
分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11 题采用策略B，第12 题采用策略A，设他这两题得分之和为
X，求X 的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
模块三：综合巩固
1.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1 分，反面向上得－1 分，则得分X 的均值为（
）
A．0
B．1
2
C．1
D．－1
2.已知随机变量X ，Y 满足
2
Y
X
，且
2
DX
，则DY （
）
A．16
B．8
C．4
D．4
3.已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，满足
2
0
9
1
P X
P X
，且
0
1
P X
P X
，
则
E X
（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．1
4
4.从1-20 中随机抽取3 个数，记随机变量为这3 个数中相邻数组
,
1
a a
的个数．如当这三个数为11，
12，14 时，
1
；当这三个数为7，8，9 时，
2
．则
E 的值为（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
5.从1-20 中随机抽取3 个数，记随机变量为这3 个数中相邻数组
,
1
a a
的个数.如当这三个数为11，12，
14 时，
1
；当这三个数为7，8，9 时，
2
.则
E 的值约为（
）
A．0.22
B．0.31
C．0.47
D．0.53
6.设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
1
6
1
6
1
3
1
3
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（
）
A．7
6
B．17
6
C．17
3
D．32
3
7.已知随机变量
0
满足
2
2
3
6
E
E
，则
E （
）
A．1
或4
B．2
C．3
D．4
8.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示.
X
a
1
a
2
a
P
0.4
0.2
0.4
则
D X （
）
A．0.4
a
B．0.8
a
C．0.4
D．0.8
9.有两个随机变量X 和Y ，它们的分布列分别如下表：
Y
1
2
3
4
5
p
0.03
0.3
0.5
0.16
0.01
X
1
2
3
4
5
p
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
则关于它们的期望
(
)
E X ，
( )
E Y 和它们的方差
(
)
D X 和
( )
D Y ，下列关系正确的是（
）
A．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
B．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
C．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
D．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
10.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一
局甲赢的概率都是1
3 ，随机变量X 表示最终的比赛局数，则（
）
A．
26
8
,
9
81
E X
D X
B．
26
20
,
9
81
E X
D X
C．
22
8
,
9
81
E X
D X
D．
22
20
,
9
81
E X
D X
11.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5 元，售价是每束5 元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6 元进行
处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进
这种鲜花500 束，则利润的均值是（
）
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A．706 元
B．690 元
C．754 元
D．720 元
12.(多选)设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为
X
0
1
2
P
1
2
p
p
1
2
则下列说法正确的是（
）
A．
1
0, 2
p
B．
E X 最大值为3
2
C．
1
0, 4
p
D．
E X 最大值为5
2
13.随机变量的分布列为
1
1
0,1
k
k
p
k
p
p
k
，则
( )
E ，
( )
D 的值分别是（
）
A．0 和1
B．p 和
2
p
C．p 和1
p
D．p 和
(1
)
p
p
14.已知的分布列如下表：
0
1
2
P
？
!
？
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下
列各式中：①
( )
1
E ；②
( )
1
D ；③
1
(
0)
2
P
，正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
15.随机变量
(
1,2)
i i
的分布列如下所示，其中
1
2
1
2
2
p
p
，则下列说法中正确的是（
）
i
1
0
1
P
1
4
ip
1
1
4
4
i
i
p
p
4
ip
A．
1
2
D
D
B．
1
2
D
D
C．
1
2
E
E
D．
1
2
E
E
16.（多选）已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，
2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，
则（
）
A．
1
2
2
P X
B．
1
3
3
P Y
C．
E X
E Y
D．
D X
D Y
17.（多选）设离散型随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
a
0.4
0.3
0.2
若离散型随机变量Y 满足
3
1
Y
X
，则（
）
A．
1.6
EX
B．
5.8
EY
C．
1.84
DX
D．
7.56
DY
18.（多选）已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
0
1
P
1
2
a
1
6
若离散型随机变量Y 满足
2
1
Y
X
，则下列说法正确的有（
）
A．
2
1
3
P
X
B．
E X
E Y
0
C．
10
9
D Y
D．
1
1
2
P Y
19.（多选）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲
的歌名相互独立，猜对三首歌曲
, ,
A B C 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A 的概
率为0.8，可获公益基金1 千元；猜对歌曲B 的概率为0.5，可获公益基金2 千元；猜对歌曲C 的概率为0.5，
可获公益基金3 千元．规则如下：按照
,
,
A B C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记
嘉宾获得的公益基金总额为X 千元，则（
）
A．
3
0.4
P X
B．
2
1
5.4
E
X
C．
2
1
18.24
D
X
D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关
20.（多选）在一个不透明的箱子里装有6 个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从
中有放回的随机取两次，每次取一个小球，记第一次取出的小球的标号为
1a ，第二次为
2a ，设
1
2
a
A
a
，
其中
x 表示不超过x 的最大整数，则（
）
A．
1
2
1
7
6
P a
a
B．事件
1
1
a 与
0
A
对立
C．
1
2
5
12
P a
a
D．用X 表示A 的取值，则
41
36
E X
21.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5 个．从袋中随机取出3 个球，已知取出的3 个球全为黑
球的概率为1
10 ，若记取出3 个球中黑球的个数为X，则
(
)
E X
．
22.某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5 的五批疫苗，供全市所
辖的A，B，C 三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，记A，B，C 三个区选择的疫苗
批号的中位数为X，则X 的期望是
．
23.已知随机变量X 的分布为
2
1
3
0.16
0.44
0.40
，则
2
5
E
X
.
24.已知某人每次投篮的命中率为
0
1
p
p
，投进一球得1 分，投不进得0 分，记投篮一次的得分为X，
则
4
3
2
D X
E X
的最大值为
．
25.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为 3
4 ；第偶数局，乙赢的概率为 3
4 ．每一局没
有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩
的局数的数学期望为
．
26.在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题
者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3 次时游戏均结束，两人各答错3 次视为平局．已知甲每
次答对题的概率均为1
4 ，乙每次答对题的概率均为1
3 ，且每次答题互不影响．
(1)求两人共答题不超过4 次时，甲获胜的概率；
(2)求游戏结束时乙答题次数X 的分布列与数学期望．
27.2023 年12 月11 日至12 日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新
能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车
要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只
有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5 分、良好可得3 分、合格可得1 分，该型号新能源汽车在碰
撞测试中结果为优秀的概率为1
2 ，良好的概率为1
3 ；在续航测试中结果为优秀的概率为2
5 ，良好的概率为
2
5 ，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
28.现有5 个红色气球和4 个黄色气球，红色气球内分别装有编号为1，3，5，7，9 的号签，黄色气球内分
别装有编号为2，4，6，8 的号签.参加游戏者，先对红色气球随机射击一次，记所得编号为a ，然后对黄
色气球随机射击一次，若所得编号为2a ，则游戏结束；否则再对黄色气球随机射击一次，将从黄色气球中
所得编号相加，若和为2a ，则游戏结束；否则继续对剩余的黄色气球进行射击，直到和为2a 为止，或者
到黄色气球打完为止，游戏结束.
(1)求某人只射击两次的概率；
(2)若某人射击气球的次数X 与所得奖金Y 的关系为
10(5
)
Y
X
，求此人所得奖金Y 的分布列和期望.
29.为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑
雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程，若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率
为1
3 ：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为3
4 ，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为2
5 .
(1)若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：
(2)若某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X，
求X 的分布列及期望，
7.4 二项分布与超几何分布
模块一：基础知识
考点一：相互独立事件
1．事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
2．设A,B 是两事件,如果满足等式P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B 相互独立,简称A,B 独立．
考点二：n 重伯努利试验及其特征
1．伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2．n 重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．
3．n 重伯努利试验的共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n 次．(2)各次试验的结果相互独立．
考点三：二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A 发生的次数，
则X 的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X 服从二项分布，记作X～B(n，p)．
考点四：二项分布的均值与方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
考点五：超几何分布
1．定义：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用
X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为
P(X＝k)＝CkMCn－k
N－M
CnN
，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布．
2．均值：E(X)＝nM
N .
模块二：题型分类
题型一：n 重伯努利试验的判断
1.n 重伯努利试验的定义及特征
（1）定义：将一个伯努利试验
进行
所组成的随机试验称为n 重伯努利试验．
（2）特征：①同一个伯努利试验重复做
．
②各次试验的结果
．
2. n 重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是（
）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
3.下列例子中随机变量服从二项分布的有
．
①随机变量表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3 的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数
M
N
；
④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数
M
N
．
题型二：利用二项分布求分布列
1.已知�∼�4,
1
3 ，则�(�= 1) =（
）
A．
8
81
B．
32
81
C．
4
27
D．
8
27
2.已知随机变量�服从二项分布�∼�6,
1
3 ，则��= 2 等于（
）
A．
13
16
B．
4
243
C．
13
243
D．
80
243
3.设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p 等于(
)
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
4．（22-23 高二下·重庆·期末）若
1
6, 3
B
，则
4
P
（
）
A．3
16
B．20
243
C．13
243
D．80
243
5.有8 件产品，其中4 件是次品，从中有放回地取3 次（每次1 件），若X 表示取得次品的次数，则�(�≤2) =
（
）
A．
3
8
B．
13
14
C．
4
5
D．
7
8
6.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛
获胜的概率均为2
3 ，则甲以3∶1 的比分获胜的概率为(
)
A．8
27
B．64
81
C．4
9
D．8
9
7.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10 门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3
次的概率为A；若击中目标记2 分，记10 门大炮总得分的期望值为B，则A，B 的值分别为（
）
A．15
128 ，5
B．15
128 ，10
C．15
256 ，5
D．15
256 ，10
8.为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，
否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为1
9 ，第二轮检测不合格的概率为1
10 ，两轮检测是否
合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40 元，若产品不能销售，则每件产品亏损80
元，已知一轮中有4 件产品，记一箱产品获利X 元，则
80
P X
等于（
）
A．96
625
B．256
625
C．608
625
D．209
625
题型三：二项分布的概率最大问题
1.若X～B 7,
1
2 ，则使P（X＝k）最大的k 的值是（
）
A．2
B．3
C．4 或3
D．4
2.某人在11 次射击中击中目标的次数为X，若�~�11,0.8 ，若��= �最大，则k＝（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
3.经检测一批产品中每件产品的合格率为3
5 ，现从这批产品中任取5 件，设取得合格产品的件数为X ，则
以下选项正确的是（
）
A．X 的可能取值为1，2，3，4，5
B．
3
2
2
5
3
2
(
2)
C
5
5
P X
C．
3
X
的概率最大
D．X 服从超几何分布
4.某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且
,0.7
X
B n
，记
kP
P X
k
，
0,1,2,
,
k
n
L
，若
7P 是唯
一的最大值，则
E X 的值为（
）
A．7
B．7.7
C．8.4
D．9.1
5.已知�∼��, �，若4��= 2 = 3��= 3 ，则�的最大值为（
）
A．
5
6
B．
4
5
C．
3
4
D．
2
3
6.设随机变量�∼��, �，记��= C�
���1 −��−�，�= 0,1,2, ⋯, �，下列说法正确的是（
）
A．当k 由0 增大到n 时，��先增后减，在某一个（或两个）k 值处达到最大.二项分布当�= 0.5 时是
对称的，当�< 0.5 时向右偏倚，当�> 0.5 时向左偏倚
B．如果�+ 1 �为正整数，当且仅当�= �+ 1 �时，��取最大值
C．如果�+ 1 �为非整数，当且仅当k 取�+ 1 �的整数部分时，��取最大值
D．��= ��1 −�
题型四：二项分布的均值与方差
1.设随机变量�∼�4,
2
3 ，则下列说法不正确的有（
）
A．��= 1 =
8
81
B．��= 2 = ��= 3
C．�的数学期望��=
8
3
D．�的方差��=
8
9
2.已知
1
~
4, 2
X
B
，则
(3
2)
E
X
（
）
A．12
B．9
C．6
D．4
3.某次数学测验共有10 道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的
题目数为X ，且X 服从二项分布
1
10, 4
B
，则以下说法错误的是（
）
A．
5
2
E X
B．
15
8
D X
C．
2
1
6
E
X
D．
3
1
4
P X
4.在3 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为
63
64，则事
件A 发生的次数X 的期望和方差分别为（
）
A．
9
4和
9
64
B．
3
4和
3
16
C．
9
16和
3
64
D．
9
4和
9
16
5.已知随机变量
~
,
X
B n p ，若
1
E X ，
4
5
D X
，则
4
P X
（
）
A．4
625
B．32
125
C．1
125
D．1
25
6.�、�两组各有3 人独立的破译某密码，�组每个人成功破译出该密码的概率为�1，�组每个人成功破译出
该密码的概率为�2，记�、�两组中成功破译出该密码的人数分别为�, �，若0 < �1 < �2 <
1
2，则下列关系
正确的是（
）
A．�(�) > �(�), �(�) < �(�)
B．�(�) > �(�), �(�) > �(�)
C．�(�) < �(�), �(�) < �(�)
D．�(�) < �(�), �(�) > �(�)
7.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独
立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（
）
A．�(2�+ 1) = 160
B．�(�= 30) = C100
30 (0.8)30(0.2)70
C．�(2�+ 1) = 32
D．存在�≠50，使得�(�= �) = �(�= 100 −�)成立
8.某广场上有4 盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是2
3 ，出现绿
灯的概率都是1
3 .记这4 盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4 盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2 时的概率；
（2）求ξ的均值．
9.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另1 天的日销售量低于50 个的概率；
(2)用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
10.某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女学生各
25 名，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
男生人数
2
5
8
9
1
女生人数
a
b
10
3
2
(1)从该校参加活动的男生中随机抽取3 人，X 表示这3 人成绩不低于80 分的人数，求X 的分布列、数学
期望和方差；
(2)试确定a，b 为何值时，使得抽取的女生成绩的方差最小，并说明理由．
11.某市体育中考由平时体育成绩和体育测试成绩两部分组成，满分为30分，其中平时体育成绩占15分，
体育测试成绩占15分．现从该市某学校参加中考的九（1）班、九（2 ）班两个班级学生中随机抽取了各20
名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：
成绩
0,15
15,18
18,21
21,24
24,27
27,30
九（1）班人数
2
2
8
1
3
4
九（2 ）班人数
m
n
6
2
4
2
(1)从该校九（1）班的学生中随机抽取3 人，X 表示这3人成绩不低于21分的人数，求X 的分布列、数学
期望和方差；
(2)试确定
,
m n 为何值时，使得抽取的九（2 ）班成绩的方差最小，并说明理由．
题型五：建立二项分布解决实际问题
1.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相
互独立的，并且概率都是1
3 ．
(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、期望、方差；
(2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
2.非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重
要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为
研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000 名非遗短视频粉丝，记录他们的年
龄，将数据分成6 组：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求a 的值；
(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2 人，记取出的2 人中年龄不超过40 岁的人数为X，用频率估计概
率，求X 的分布列及数学期望
(
)
E X ；
(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频
粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m 与n 的大小关系．（结论不要求证明）
3.甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共
设定5 个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5 个投篮点投球，且每投中一次
可获得1 分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，
且每投中一次可获得2 分.按累计得分高低确定胜负．
(1)若乙得6 分的概率1
8
p
，求p ；
(2)由（1）问中求得的p 值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
4.某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛．每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响、
每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答
题结束．已知甲同学第一组每道题答对的概率均为2
3 ，第二组每道题答对的概率均为1
2 ，两组题至少答对
3 题才可获得一枚纪念章．
(1)记甲同学在一轮比赛中答对的题目数为X ，请写出X 的分布列，并求
E X ；
(2)若甲同学进行了4 轮答题，求甲同学恰好获得2 枚纪念章的概率．
5.小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每轮均有��∈N* 道题．第一轮每道题都要作答；第二轮按
次序作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题．第一轮每道题答对得5 分，否则
得0 分；第二轮每道题答对得20 分，否则得0 分．无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率
均为
1
3，第二轮每题答对的概率均为
2
3．设小明第一轮答题的总得分为�，第二轮答题的总得分为�．
(1)若�= 30，求��；
(2)证明：当�≥24 时，��> ��．
6.某商场对M ，N 两类商品实行线上销售（以下称“ A 渠道”）和线下销售（以下称“ B 渠道”）两种销售模
式．M 类商品成本价为120 元件，总量中有40%将按照原价200 元/件的价格走B 渠道销售，有50%将按
照原价8.5 折的价格走A 渠道销售；N 类商品成本价为160 元/件，总量中有20%将按照原价300 元/件的
价格走B 渠道销售，有40%将按照原价7.5 折的价格走A 渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原价
6 折的价格销售，并能全部售完．
(1)通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；
(2)某商场举行让利大用卖活动，全场M ，N 两类商品走A 渠道销售，假设每位线上购买M ，N 商品的顾
客只选其中一类购买，每位顾客限购1 件，且购买商品的顾客中购买M 类商品的概率为1
4 ．已知该商场当
天这两类商品共售出5 件，设X 为该商场当天所售N 类商品的件数，Y 为当天销售这两类商品带来的总收
益，求Y 的期望
E Y ，以及当
0.5
P X
n
（nN）时，n 可取的最大值．
7.为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知
识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采
取电脑出题的方式，从题库中随机出10 道题，编号为�1，�2，�3，�4，⋯，�10，电脑依次出题，参赛选
手按规则作答，每答对一道题得10 分，答错得0 分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3 的倍数，
且不少于18 人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参
赛：
方案一：将班级选派的3�名参赛选手每3 人一组，分成�组，电脑随机分配给同一组的3 名选手一道相同
的试题，3 人均独立答题，若这3 人中至少有2 人回答正确，则该小组顺利出线；若这�个小组都顺利出线，
则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的3�名参赛选手每�人一组，分成3 组，电脑随机分配给同一组的�名选手一道相同
的试题，每人均独立答题，若这�个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3 个小组中至少有2 个小组
顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为
4
5，每次作答结果相互独立，且他
不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A 班每位参赛选手答对试题的概率均为常数�0 < �< 1 ，A 班为使晋级团体赛
决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
题型六：超几何分布的判断
1.判断正误
（1）超几何分布就是一种概率分布模型．(
)
（2）一个袋子里装有4 个白球，5 个黑球和6 个黄球，从中任取4 个球，则取出的黑球个数X 服从超几何
分布．(
)
2.下列随机变量中，服从超几何分布的有
．(填序号)
①在10 件产品中有3 件次品，一件一件地不放回地任意取出4 件，记取到的次品数为X；
②从3 台甲型彩电和2 台乙型彩电中任取2 台，记X 表示所取的2 台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6 个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.
3.在15 个村庄中，有7 个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10 个村庄中交通不方便的村庄的个
数，则X 服从超几何分布，其参数为（
）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
4.一个袋子中100 个大小相同的球，其中有40 个黄球，60 个白球，从中不放回地随机摸出20 个球作为样
本，用随机变量�表示样本中黄球的个数，则�服从（
）
A．二项分布，且��= 8
B．两点分布，且��= 12
C．超几何分布，且��= 8
D．超几何分布，且��= 12
5.下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70% ，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的
分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4 只，蓝球5只，任取3 只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的分布列；
(4)某班级有男生25 人，女生20 人．选派4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记
为X ，求X 的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X ，求X 的
分布列．
题型七：超几何分布的概率
1.数学老师从6 道习题中随机抽3 道让同学检测，规定至少要解答正确2 道题才能及格．某同学只能求解
其中的4 道题，则他能及格的概率是
2.某党支部有10名党员，7 男3女，为迎接建党100周年，从中选取2 人做汇报演出，若X 表示选中的女党
员数，则
2
P X
（
）.
A．7
15
B．8
15
C．14
15
D．1
3.已知共15 张卡牌由5 张红卡、10 张其它颜色卡组成，混合后分3 轮发出，每轮随机发出5 张卡．
(1)求事件“第1 轮无红色卡牌”的概率
1p ；
(2)求事件“第1 轮有至少3 张红色卡牌”的概率
2p ；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率
3p ．
4.某12 人的兴趣小组中，有5 名“三好学生”，现从中任意选6 人参加竞赛，用X 表示这6 人中“三好学生”
的人数，则当X 取
时，对应的概率为
2
3
5
7
6
12
C C
C
.
5.在10 个排球中有6 个正品，4 个次品，从中随机抽取4 个，则正品数比次品数少的概率为（
）
A．5
42
B．4
35
C．19
42
D．8
21
题型八：超几何分布的均值
1.一个口袋中装有7 个球，其中有5 个红球，2 个白球抽到红球得2 分，抽到白球得3 分．现从中任意取
出3 个球，则取出3 个球的得分Y 的均值
E Y 为
．
2.一个不透明的袋子中装有3 个黑球，n 个白球
*
N
n
，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意
取出3 个球，已知取出2 个黑球，1 个白球的概率为9
20 ，设X 为取出白球的个数，则
E X
（
）
A．3
2
B．1
2
C．1
D．2
3.从装有6个白球，2 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2 分，每取出1个白
球得1分. 按照规则从容器中任意抽取2 个球，所得分数的期望为（
）
A．5
2
B．3
C．10
3
D．7
2
4.某班级要从4 名男生，2 名女生中随机选取3 人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为X ，
则
E X
（
）
A．4
3
B．8
5
C．6
5
D．1
5.某地盛行糕点有n 种，该地的糕点店从中准备了m（�< �）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕
点有k（�< �）种，则当其随机进入一家糕点店时，会发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量
X 为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则��=（
）
A．
��
�
B．
�+�
�2
C．
��
�
D．
�−�
�
6.设随机变量�∼�(10, �, 1000)（2 ≤�≤992 且�∈�∗），�(2; 10, �, 1000)最大时，�(�) =（
）
A．1.98
B．1.99
C．2.00
D．2.01
7.从装有6 个白球，2 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1 个红球得2 分，每取出1
个白球得1 分. 按照规则从容器中任意抽取2 个球，所得分数的期望为（
）
A．
5
2
B．3
C．
10
3
D．
7
2
题型九：超几何分布的方差
1.已知6 件产品中有2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取3 件进行检测，记取到的正品数为X ，则
下列结论正确的是（
）
A．
4
2
1
3
E
X
B．
1
5
D X
C．
1
E X
D．
8
2
1
5
D
X
2.某公司有日生产件数为95 件的“生产能手”3 人，有日生产件数为55 件的“新手”2 人，从这5 人中任意抽
取2 人，则2 人的日生产件数之和X 的标准差为
．
3.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1 个红球，乙盒子里有3 个红球和3 个黑球，现从乙盒子里随机取出�1 ≤
�≤6, �∈�∗个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为�个，则随着�1 ≤�≤
6, �∈�∗的增加，下列说法正确的是（
）
A．��增加，��增加
B．��增加，��减小
C．��减小，��增加
D．��减小，��减小
4.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参
与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4 人，女生2 人，现从中随机
选取2 人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X 的分布列及期望��、方差��.
5.2020 年5 月28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021 年1 月1
日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性
地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并
组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20 名学生的成绩（单位：分），
绘制成如图所示的茎叶图：
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩（单位：分）
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
等级
合格
中等
良好
优秀
（1）从样本中任取2 名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2 名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3 人座谈，记�为抽到高二年级的人数，求�的分布列，数
学期望与方差.
题型十：二项分布和超几何分布的综合
1.为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要
在�，�两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：�，�两名学生各自从6 个问题中随机抽取3 个问
题作答.已知这6 个问题中，学生�能正确回答其中的4 个问题，而学生�能正确回答每个问题的概率均为
2
3.�，
�两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求�，�两名学生恰好答对2 个问题的概率.
（2）设�答对的题数为�，�答对的题数为�，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
2.某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6 道备选题中一次性随
机抽取3 道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2 个选题方可通过.6 道备选题中，考
生甲有4 个选题能正确完成，2 个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是
2
3，且每个选题正确
完成与否互不影响.
(1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）；
(2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力.
3.“英才计划”最早开始于2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023 年已经培养了6000 多名具
有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、
化学学科夏令营活动．
(1)若数学组的7 名学员中恰有3 人来自A 中学，从这7 名学员中选取3 人，表示选取的人中来自A 中学
的人数，求的分布列和数学期望：
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，
每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答
对每道题的概率分别为
1
2
,
p p ，且
1
2
4
3
p
p
，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次
答题活动中取得6 轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
4.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题，按照答对
题目的个数为标准进行筛选.已知6 道备选题中应聘者甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙
每题正确完成的概率都是
2
3，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
5.普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强
对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5 轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则
如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10 分．每一轮比赛中，参赛者在30 分钟
内完成法律文书题和案例分析题各2 道，若有不少于3 道题得分超过8 分，将获得“优胜奖”，5 轮比赛中，
至少获得4 次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽
取法律文书题和案例分析题各5 道，其中有4 道法律文书题和3 道案例分析题得分超过8 分．
(1)从这10 道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2 道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概
率；
(2)将上述两类题目得分超过8 分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前
强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8 分的概率共增加了0.1，以获得“优胜奖”的次数期望为
参考，试预测该同学能否进入决赛．
6.近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8 道谜语中一次性抽出4 道作答．小张
有6 道谜语能猜中，2 道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为�(0 < �< 1)，且猜中每道谜语与否
互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求�的取值范围．
模块三：综合巩固
1.将一枚均匀的硬币投掷6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．
2.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲
队获胜的概率为2
3 ，乙队获胜的概率为1
3 ，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为
．
3.已知离散型随机变量X 服从二项分布
~
( , )
X
B n p ，且
(
)
4
E X
，
(
)
D X
q
，则1
1
p
q
的最小值为
A．2
B．5
2
C．9
4
D．4
4.设随机变量
~
(12,
)
X
B
p ，若
4
E X
，则
D X 的最大值为（
）
A．4
B．3
C．8
3
D．2
9
5.已知在10件产品中有2 件次品，现从这10件产品中任取3 件，用X 表示取得次品的件数，则
1
P X
（
）
A．
1
2
3
10
C
C
B．
1
2
2
8
3
10
C C
C
C．
2
1
3
8
3
10
C C
C
D．
1
1
2
3
3
10
C C
C
6.一个袋子中装有6 个红球和4 个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2 个球，其
中白球的个数为X，则X 的数学期望是（
）．
A．4
5
B．3
5
C．2
5
D．1
5
7.有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是（
）
A．N
B．
1
n
M
N
C．nM
N
D．
1
n
M
N
8.一个不透明的袋子有10 个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6 个黑球，4 个白球.现进行
如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3 个球，记取到白球的个数为
1
X ，期望和方差分别为
1
1
,
E X
D X
；试验二：逐个有放回地随机摸出3 个球，记取到白球的个数为
2
X ，期望和方差分别为
2
2
,
E X
D X
.则下列判断正确的是（
）
A．
1
2
E X
E X
B．
1
2
E X
E X
C．
1
2
D X
D X
D．
1
2
D X
D X
9.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是
一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若
从这10 个数中任取3 个数，则这3 个数中至多有1 个阴数的概率为（
）
A．1
2
B．1
3
C．1
4
D．2
3
10.设随机变量
2
3,
,
3
X
B
p
D X
，且
1
E X ．若8 名党员中有15
2
p 名男党员，从这8 人中选4 名代
表，记选出的代表中男党员人数为Y ，则
3
P Y
（
）
A．3
7
B．4
7
C．5
7
D．6
7
11.课桌上有12 本书，其中理科书籍有4 本，现从中任意拿走6 本书，用随机变量表示这6 本书中理科
书籍的本数，则概率为
6
0
5
1
8
4
8
4
6
6
12
12
C C
C C
+
C
C
的是（
）
A．
(
1)
P
B．
(
1)
P
C．
(
1)
P
D．(
2)
P
12.设随机变量
10,
X
B
p
，且满足
2.1
D X
，
4
6
P X
P X
，则p （
）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
13.一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3 位的二进制数
1
2
3
A
a a a
，其中A 的各位数中，
1,2,3
k k
a
出现0 的概率为1
3 ，出现1 的概率为2
3 ．若启动一次出现的二进制数为
100
A
，则称这次试验成功．若成
功一次得2 分，失败一次得1
分，则81 次这样的独立重复试验的总得分Y 的数学期望为（
）
A．63
B．6
C．63
D．6
14.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互
独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（
）
A．
(2
1)
160
E
X
B．
30
30
70
100
(
30)
C
(0.8) (0.2)
P X
C．
(2
1)
32
D
X
D．存在
50
k
，使得
(
)
(
100
)
P X
k
P X
k
成立
15.（多选）若随机变量
1
~
6, 3
X
B
，下列说法中正确的有（
）
A．
2
4
2
6
1
2
2
C
3
3
P X
B．期望
4
3
E X
C．期望
2
1
3
E
X
D．方差
2
1
4
D
X
16.（多选）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3 个黑球，3 个白球，现从中任取4 个球，设这4 个
球中黑球的个数为X ，则（
）
A．X 服从二项分布
B．X 的值最小为1
C．
3
2
5
P X
D．
2
E X
17.（多选）若袋子中有4 个白球，2 个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4 次，每次取一个球，取到白
球记1分，取到黑球记0 分，记4 次取球的总分数为X ，则（
）
A．
1
~
4, 3
X
B
B．
32
3
81
P X
C．
8
3
E X
D．
16
9
D X
18.（多选）为了响应国家强军强国的战略，某中学在军训中组织了射击比赛．规定每名同学有4 次射击机
会，击中一次得10 分，没击中得5
分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射击机会，每次击中的概率为
是3
4 ，每次射击相互独立．记X 为小明的得分总和，记Y 为小明击中的次数，下列结论正确的是（
）
A．
3
E Y
B．
27
3
64
P Y
C．
189
20
256
P X
D．
675
4
D X
19.（多选）一个袋子有5 个大小相同的球，其中有2 个红球，3 个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出
2 个球，记取到红球的个数为
1
X ，期望和方差分别为
1
1
,
E X
D X
；试验二：从中随机地无放回摸出2
个球，记取到红球的个数为
2
X ，期望和方差分别为
2
2
,
E X
D X
；则（
）
A．
1
2
E X
E X
B．
1
2
E X
E X
C．
1
2
D X
D X
D．
1
2
D X
D X
20.（多选）某中学组织了足球射门比赛，规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得4 分，没踢进得0 分．小
明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为2
3 ，每次射门相互独立．记X 为小明得分总
和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（
）
A．
10
3
E
B．
4
4
5
2
2
4
C
1
3
3
P X
C．
40
3
E X
D．
49
9
D X
21.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3 个白球和m 个黑球，从中随机摸取1 个球，有放回地摸取3
次，记摸取白球的个数为X．若
9
(
)
4
E X
，则
(
2)
P X =
=
．
22.有一批产品，其中有12 件正品和4 件次品，从中有放回地任取3 件，若X 表示取到次品的次数，则
2
P X
，
D X
．
23.某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20 道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题
答对与否相互独立．若答对一题得3 分，答错一题扣1 分，则该同学总得分的数学期望为
，方差
为
．
24.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间
留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可
能向左或向右落下，其中向左落下的概率为1
3 ，向右下落的概率为2
3 ，最后落入底部的格子中.格子从左到
右分别编号为0 ，1，2 ，...，10，则小球落入
号格子的概率最大.( 图片仅供参考)
25. 2022 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林
匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥
会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了
10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过30人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从
这10所学校中随机选出3所，记X 为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求X 的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这4个动作技巧进行集训，且在集训中进
行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这4 个动作中至少有3 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在
集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为2
3 ，其余每个动作达到“优秀”的概率都为1
3 ，
每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到
5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
26.“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目．该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过
一至四关的概率依次是5 4 3 2
,
,
,
6 5 4 3 ，女生闯过一至四关的概率依次是4 3 2 1
,
,
,
5 4 3 2 ．男生甲、乙，女生丙、丁
四人小组前往参加闯关挑战（个人赛）．
(1)求甲闯过四关的概率；
(2)设随机变量
X 为该四人小组闯过四关的人数，求
E X
．
27.中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了
解程度，某学习小组随机向该地100 位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据
如下表所示：
规定成绩在
0,60 内代表对中医药文化了解程度低，成绩在
60,100 内代表对中医药文化了解程度高.
(1)从这100 位市民中随机抽取1 人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
(2)将频率视为概率，现从该地41 岁~50 岁年龄段的市民中随机抽取3 人，记X 为对中医药文化了解程度
高的人数，求X 的分布列和期望.
28.第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在杭州举行，在保持原有40 个大项目不变的前提下，
增设了电子竞技（E-Sports）和霹雳舞（Breaking）两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子
竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取10 个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，
各省代表队人数如下表：
省代表队
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
电子竞技人数
45
52
24
38
57
19
26
47
34
29
霹雳舞人数
26
18
44
43
32
27
56
36
48
20
(1)从这10 支省代表队中随机抽取3 支，在抽取的3 支代表队参与电子竞技的人数均超过35 人的条件下，
求这3 支代表队参与霹雳舞的人数均超过25 人的概率；
(2)某省代表队准备进行为期3 个月的霹雳舞封闭训练，对Powermove 中的Swipe、Windmill、Air tracks、
Flare、Headspin 动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，有一个裁判判定每项
评分，有一个动作达到“优秀”即可得1 分．已知在一轮测试的5 个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的
概率均为2
3 ，每个动作互不影响．如果甲队员在集训测试中的得分不低于4 分的次数的平均值不低于8 次，
那么至少要进行多少轮测试？
29.2024 年7 月18 日第30 届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价
工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50 名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介
于40 至100 之间，将数据按照[40 ，50) ，[50 ，60) ，[60 ，70) ，[70 ，80)，[80 ，90) ，[90 ，100] 分成6
组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m 的值，并估计这50 名学生成绩的中位数；
(2)在这50 名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70 ，80)，[80 ，90) ，[90 ，100] 的三组中抽取了11 人，再
从这11 人中随机抽取3 人，记为3 人中成绩在[80 ，90) 的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在[90 ，100] 的为A 等级，成绩在[70 ，90) 的为B 等级，其它为C 等级．以样
本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100 人，其中获得B 等级的人数
设为，记B 等级的人数为k 的概率为
(
)
P
k
，写出
(
)
P
k
的表达式，并求出当k 为何值时，(
)
P
k
最
大？
30.2024 年3 月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全
省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电.某市电力公司为了让居民
节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量x （千瓦时）时，按
平价计费，每月用电量超过标准电量x （千瓦时）时，超过部分按议价计费.随机抽取了100 户居民月均用
电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450 度，将数据按照
0,50 ，
50,100 ，…
400,450 分成9
组，制成了频率分布直方图（如图所示）.
(1)求直方图中m 的值；
(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的
值；
(3)在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4 户，若其中不小于400（千瓦时）的有X 户居
民，求X 的分布列.
7.5 正态分布
模块一：基础知识
考点一：连续型随机变量
除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某
个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
考点二：正态曲线与正态分布
1．我们称f(x)＝
1
σ 2π
2
2
(
)
2
e
x
，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密
度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X 的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1 时，称随机变量X 服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X 取值不超过x 的概率P(X≤x)为图中区域A 的面积，而P(a≤X≤b)为区
域B 的面积．
考点三：正态曲线的特点
1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x 轴的上方．
2．曲线与x 轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值
1
σ 2π
.
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x 轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X 的分布比较集中；σ较大时，
曲线“矮胖”，表示随机变量X 的分布比较分散，如图②.
考点四：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X 的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]
内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学
中称为3σ原则．
考点五：正态分布的期望与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
模块二：题型分类
题型一：正态密度函数
1.已知正态分布密度函数��=
1
8π �−�2
8 ，�∈�，则�, �分别是（）
A．0 和4
B．0 和2
C．0 和8
D．0 和2
2.设随机变量�~�0,1 ，则X 的密度函数为（
）
A．��=
1
2π e−�2
2
B．��=
1
2π e−�−1 2
2
C．��=
1
2π e−�2
2
D．��=
1
2π e−�−1 2
2
3.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝
，方差σ2=
.
4.如图，是当取不同值
1
2
3
,
,
的三种正态曲线
2
(0,
)
N
的图象，那么
1
2
3
,
,
的关系是（）
A．
1
2
3
1
0
B．
1
2
3
0
1
C．
1
2
3
1
0
D．
1
2
3
0
1
5.下列是关于正态曲线��=
1
2��e
−�−�2
2�2
�∈R 性质的说法：
①曲线关于直线�= �对称，且恒位于�轴上方；
②曲线关于直线�= �对称，且仅当�∈−3�, 3�时才位于�轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于�轴对称；
④曲线在�= �处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由�确定，曲线的形状由�确定.
其中说法正确的是（
）
A．①④⑤
B．②④⑤
C．③④⑤
D．①⑤
6.已知三个正态分布密度函数���=
1
2π��e
−
�−��
2
2��
2
�∈R, �= 1,2,3 的图象如图所示，则下列结论正确的是
（
）
A．�1 = �2 > �3，�1 = �2 > �3
B．�1 < �2 = �3，�1 = �2 < �3
C．�1 < �2 = �3，�1 = �2 > �3
D．�1 = �2 > �3，�1 = �2 < �3
题型二：正态曲线及特点
1.如图是三个正态分布�~�(0,0.64)，�~�(0,1)，�~�(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z 对应曲
线的序号分别依次为（
）.
A．①②③
B．③②①
C．②③①
D．①③②
2.已知三个正态密度函数
2
2
2
1
e
2
i
i
x
i
i
x
（x
R
，
1,2,3
i
）的图像如图所示，则（
）
A．
1
3
2
，
1
2
3
B．
1
2
3
，
1
2
3
C．
1
3
2
，
1
2
3
D．
1
2
3
，
1
2
3
3.设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若
(
0)
P
p
，则
(0
1)
P
与
( )
D 分别为
（
）
A．1
1
,
2
2
p
B．
1
, 2
p
C．1
1
,
2
4
p
D．
1
, 4
p
4.设�~��1, �1
2 ，�~��2, �2
2 ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（
）
A．�(�≥�2) ≥�(�≥�1)
B．�(�≤�2) ≤�(�≤�1)
C．对任意正数�，�(�≤�) ≥�(�≤�)
D．对任意正数�，�(�≥�) ≥�(�≥�)
5.已知三个正态密度函数��(�) =
1
2���e
−(�−��)2
2��
2 （�∈�，�= 1,2,3）的图像如图所示，则（
）
A．�1 = �3 > �2，�1 = �2 > �3
B．�1 < �2 = �3，�1 < �2 < �3
C．�1 = �3 > �2，�1 = �2 < �3
D．�1 < �2 = �3，�1 = �2 < �3
6.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析
得到，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，�~N �1, 62 , �~N �2, 22 ．X 和Y 的分布
密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（
）
A．�(�) = 6
B．�1 > �2
C．�(�≤38) < �(�≤38)
D．�(�≤34) < �(�≤34)
7.设
2
1
1
~
,
X
N
，
2
2
2
~
,
Y
N
，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．
2
1
P Y
P Y
D．
2
1
P X
P X
题型三：标准正态分布的性质
1.设随机变量�服从标准正态分布�(0,1)，已知�( −1.96) = 0.025，则�( �< 1.96) =（
）
A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975
2.设随机变量
0,1
N
，已知
1.96
0.025
P
，则
1.96
P
（
）
A．0.95
B．0.05
C．0.975
D．0.425
3.某校高三数学摸底考试成绩X （单位：分）近似服从正态分布
2
110,
N
，且
90
130
0.86
P
X
，
该校高三数学摸底考试成绩超过90 分的人数有930 人，则（
）
A．估计该校高三学生人数为1200
B．估计该校学生中成绩不超过90 分的人数为70．
C．估计该校学生中成绩介于90 到110 分之间的人数为425．
D．估计该校学生中成绩不超过90 分的人数比超过130 分的人数多．
4.阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，其密
度曲线如图所示，则以下结论错误的是（
）
A．Y 的数据较X 更集中
B．若有34min 可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min 可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
(
30)
30
1
P X
P Y
5.设随机变量�服从正态分布�0,1 ，则下列结论正确的是（
）
①��< �= ��< �+ ��>−�
�> 0 ；②��< �= 2��< �−1 �> 0 ；
③��< �= 1 −2��< �
�> 0 ；④��< �= 1 −��≥�
�> 0 ．
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
6.设随机变量�~�(0,1), �(�) = �(�⩾�)，其中�> 0，则下列等式成立的是（
）
A．�(2�) = 2�(�)
B．�( −�) = 1 −�(�)
C．�(�⩽�) = 2�(�) −1
D．�(|�| > �) = 2 −�(�)
7.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本
方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时�~�(30, 62)，骑自行车用时
�~�(34, 22)，则（
）
A．�(�≤38) > �(�≤38)
B．�(�≤34) > �(�≤34)
C．如果有38 分钟可用，小明应选择坐公交车D．如果有34 分钟可用，小明应选择自行车
题型四：利用正态曲线的对称性求概率
1.已知随机变量�服从正态分布�2, �2 ，且��< 3 = 0.6，则�1 < �< 2 =（
）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
2.设随机变量X 服从正态分布�3,4 ，若��> �−2 = ��< 6 −3�，则�=（
）
A．−2
B．−1
C．
1
2
D．1
3.某班有45 名学生，最近一次的市联考数学成绩X 服从正态分布
2
95,
N
，若
75,115
X
的学生人为
18，则
115
P X
（
）
A．0.2
B．0.25
C．0.3
D．0.35
4.已知随机变量X 服从正态分布
2
N
,
，若
4
2
P X
P X
，则（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
5.已知随机变量
2
~
,
,
X
N
且
1
2
1
1
2
1
1
P X
P X
P
X
，则（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
6.若随机变量�∼�10, 22 ，则下列选项错误的是（
）
A．��≥10 = 0.5
B．��≤8 + ��≤12 = 1
C．�8 ≤�≤12 = 2�8 ≤�≤10
D．�2�+ 1 = 8
7.在某项测试中，测量结果�∼�1, �2
�> 0 ，若�1 < �< 2 = 0.3，则��≤0 =（
）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
题型五：利用3σ原则求概率
1.已知
2
~
4,
N
，且
(2
6)
0.6827
P
，则
，
(|
2| 4)
P
．
2.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X 近似服从正态分布N(70，72)，已
知成绩在77 分以上的学生有208 人，如果成绩大于84 分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有
人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)
3.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布�90,4 （单位：g），现有该新品
种大枣10000 个，估计单果质量在86,92 范围内的大枣个数约为（
）附：若�∼��, �2 ，则��−�<
�< �+ �= 0.6826，��−2�< �< �+ 2�= 0.9544，��−3�< �< �+ 3�= 0.9974.
A．8185
B．8400
C．9974
D．9987
4.若随机变量�~�
�, �2
�> 0 ，则有如下结论：（��−�< �= 0.6826，��−�< 2�= 0.9544，
��−�< 3�= 0.9974）,高三（1）班有40 名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，
方差为100，理论上说在130 分以上人数约为（
）
A．19
B．12
C．6
D．5
5.已知随机变量�~�20, 22 ，则�(�< 16) =（
）(附：若�~��, �2 ，则��−�≤�≤�+ �≈0.6827，
��−2�≤�≤�+ 2�≈0.9545)
A．0.02275
B．0.1588
C．0.15865
D．0.34135
6.为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩�∼
�(70,100)，其中60 分及以上为及格，90 分及以上为优秀，则下列说法正确的是（
）
附：若�∼��, �2 ，则�(�−�≤�< �+ �) = 0.6826，�(�−2�≤�< �+ 2�) = 0.9544．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为85
C．该校学生体育成绩的及格率小于85%
D．该校学生体育成绩的优秀率大于3%
7．据统计2023 年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X 服从正态分布
2
2000,100
N
，则在此期
间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800 的概率为（
）
附：
2
~
,
X
N
，
(
)
0.6827
P
X
，
(
2
2 )
0.9545
P
X
，
(
3
3 )
0.9973
P
X
A．0.4987
B．0.8413
C．0.9773
D．0.9987
8．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩
~
78,9
X
N
，如果按照16%，34%，34%，16%的比例
将考试成绩由高到低分为A，B，C，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（
）
参考数据：若
2
~
,
X
N
，则
0.68
P X
，
2
0.96
P X
.
A．69
B．81
C．87
D．96
9．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计
测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X 服从正态分布
0.05
36.9,
N
n
，若X 的值在
36.6,37.2 内的概率
约为0.9973，则n 的值约为（
）
参考数据：若
2
~
,
X
N
，则
3
0.9973
P X
．
A．3
B．4
C．5
D．6
题型六：正态分布的实际应用
1.某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布
(60,100)
N
，规定：分数高于80分为优秀．
(1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有40000 名高二年级的考生，估计全市物理成绩在(50,80] 内的学生人数．
参考数据：若
2
~
,
X
N
，则
0.6826
P
X
，
2
2
0.9544
P
X
，
3
3
0.9974
P
X
．
2.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了
100 个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100 箱到600 箱之间）情况如下：
丑橘数量（箱）
100,200
200,300
300,400
400,500
500,600
购物群数量（个）
�
18
�+ 8
�+ 20
18
(1)求实数�的值，并用组中值估计这100 个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；
(2)假设所有购物群销售丑橘的数量�服从正态分布��, �2 ，其中�为（1）中的平均数，�2 =12100.若参与
销售该基地丑橘的购物群约有2000 个，销售丑橘的数量在[266,596)（单位：箱）内的群为“一级群”，销
售数量小于266 箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596 箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个
“优质群”奖励1000 元，每个“一级群”奖励200 元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？
附：若�服从正态分布�∼��, �2 ，则�(�−�< �< �+ �) ≈0.683, �(�−2�< �< �+ 2�) ≈
0.954, �(�−3�< �< �+ 3�) ≈0.997.
3.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进
行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3 个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2
分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4 分，答错不得分.
(1)若一共有100 人应聘，他们的笔试得分X 服从正态分布
60,144
N
，规定
72
X ≥
为达标，求进入面试环
节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为2
3 ，后两题答对的概率均为4
5 ，每道题是否答对互不影响，求
该应聘者的面试成绩Y 的数学期望.
附：若
2
~
,
X
N
（
0
），则
0.683
P
X
，
2
2
0.954
P
X
，
3
3
0.997
P
X
.
4.零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，
质检部门随机抽查了100 个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
1.0,1.2
1.2,1.4
1.4,1.6
1.6,1.8
1.8,2.0
零件个数
10
25
30
25
10
已知零件的直径可视为服从正态分布��, �2 ，�，�2分别为这100 个零件的直径的平均数及方差（同一组
区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
(1)分别求�，�2的值；
(2)试估计这批零件直径在1.044,1.728 的概率；
(3)随机抽查2000 个零件，估计在这2000 个零件中，零件的直径在1.044,1.728 的个数.
参考数据：0.052 ≈0.228；若随机变量�∼��, �2 ，则��−�≤�≤�+ �≈0.6827，��−2�≤�≤
�+ 2�≈0.9545，��−3�≤�≤�+ 3�≈0.9973.
5.为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一
学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300 名教职工的学习时间（满时长
15 小时），将其分成[3,5), [5,7), [7,9), [9,11), [11,13), [13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同
一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量�服从正态分布��, �2 ，则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �≤�+
2�) ≈0.9545，�(�−3�< �≤�+ 3�) ≈0.9973．
(1)求a 的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间�近似服从正态分布��, �2 ，其中�近似为样本的平均数，经
计算知�≈2.39．若该地区有5000 名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9), [9,11)内的教职工中随机抽取5 人，并从中随机抽取3
人作进一步分析，分别求这3 人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
6.为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从
参加该活动的学生中随机抽取了100 名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩（分）
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
2
4
22
40
28
4
(1)求抽取的100 名学生竞赛成绩的方差�2（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X 近似地服从正态分布��, �2 ，其中�近似为样本平均分
�ത，�2近似为样本方差�2，若�−�< �≤�+ 2�，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若�> �+ 2�，参
赛学生可获得“参赛先锋证书”.
①若我校有3000 名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96 分的学生能否获得“参赛先锋证书”.
附：若�~��, �2 ，则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �≤�+ 2�) ≈0.9545，�(�−3�< �≤
�+ 3�) ≈0.9973；抽取的这100 名学生竞赛成绩的平均分�ത= 75.
7.浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄
岩区江口街道东岙村一棵树龄约120 多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天
东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有
积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径
2
~
,
X
N
（单位：mm），但因气候、施肥和
技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出
1000 颗，并测量这1000 颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.
(1)用频率分布直方图估计样本的平均数x 近似代替，标准差s 近似代替，已知
0.3
s
.根据以往经验，
把果径与的差的绝对值在2内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20 颗果，请问这20 颗果恰好有一
颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.
现该农场有一款“9 20
A
”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20 颗，售价80 元，客户在收到货时如果有坏
果，每一个坏果该农场要赔付4 元.根据收集到的数据，知若采用A 款包装盒，成本(1
5)
a
a
元，且每盒
出现坏果个数满足
1
,
1,2,3,4
2
1
(
)
,
0
16
0,
5,6,
,20
t
i
P
i
i
i
，若采用B 款包装盒，成本8
7
a 元，且每盒出现坏果个数满
足
1
,
1,2,3
(
)
2
0,
0,4,5,6,
,20
t
m
i
P
i
i
，（m 为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获
得更大利润?
参考数据：
36.2 0.2
36.4 0.25
36.6 0.7
36.8 0.8
37 1.1 37.2 0.8
37.4 0.65
37.6 0.4
37.8 0.05
38 0.05
185
；
(
)
0.6826
P
X
；
(
2
2 )
0.9544
P
X
；
(
3
3 )
0.9974
P
X
；
19
0.9544
0.412
；
20
0.9544
0.393
.
8.为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000 名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下
的频数分布表：
周末运动时间t （分钟）
30,40
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
人数
300
600
900
450
450
300
（1）从周末运动时间在
70,80 的学生中抽取3 人，在
80,90 的学生中抽取2 人，现从这5人中随机推荐2
人参加体能测试，记推荐的2 人中来自
70,80 的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）由频数分布表可认为：周末运动时间t 服从正态分布
2
( ,
)
N
，其中为周末运动时间的平均数t ，
近似为样本的标准差s ，并已求得
14.6
s
．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生
中随机抽取10名学生，记周末运动时间在
43.9,87.7 之外的人数为Y ，求
2
P Y
（精确到0.001）；
参考数据1：当
2
( ,
)
t
N
时，
0.6827
P
t
，
2
2
0.9545
P
t
，
3
3
0.9973
P
t
．
参考数据2：
8
0.8186
0.202
，
2
0.1814
0.033
.
9.某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定
赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化
学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门
等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，B ，B ，C ，C ，D ，D ，E 共8个等级. 参照正
态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7% ，16% ，24% ，24% ，16% ，7% ，3%. 等级考
试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到
90,100 ，
80,90 ，
70,80 ，
60,70 ，
50,60 ，
40,50 ，
30,40 ，
20,30 八个分数区间，得到考生的
等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a 的值；
(2)估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到B 等级及以上（含B 等级）？
(3)由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩x 及方差
2s . 已
知某校初三共有1000名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到B 等级及以上（含B 等
级）的人数Z ，将该校学生的化学原始成绩X 看作服从正态分布
2
,
0
N
，并用这1000 名学生的化
学平均成绩
59
x
作为的估计值，用这1000名学生化学成绩的方差
2
169
s
作为
2
的估计值，计算人数Z
（结果保留整数）．
附：
0.6827
P
X
，
2
2
0.9545
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
.
模块三：综合巩固
1.关于正态分布N(μ，
2
)，下列说法正确的是（
）
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件
D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
2.在某市2024 年3 月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加
本次考试的全市学生有9 455 人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108 分，那么他的数学成绩大约
排在全市第（
）
A．1 500 名
B．1 700 名
C．4 500 名
D．8 000 名
3.若随机变量
2
,
N
，其分布密度函数为
2
1
8
1
2 2
x
x
e
xR ，则的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
4.若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是
1
10, 2
，则该随机变量的方差等于（
）
A．10
B．100
C．2
D．
2
5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
2
(0,3 )
N
，从中随机取一件，其长度误差落在区间
(3,6) 内的概率为（
）
（附：若随机变量ξ服从正态分布
2
,
N
，则
P
68.27%，
2
2
P
95.45%）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
6.随机变量
2
2,
X
N
～
，若
.
(
)
1 5
P X
m
，
2
2.5
1 3
P
X
m
，则
2.5
P X
（
）
A．0.25
B．0.5
C．0.75
D．0.85
7.某次数学联考成绩的数据分析，20000 名考生成绩服从正态分布
2
72,8
N
，则80 分以上的人数大约是（
）
参考数据：若
2
~
,
X
N
，则
0.6827
P
X
A．3173
B．6346
C．6827
D．13654
8.某校高三年级800 名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布
2
89,13
N
，若某学生数学成绩
为102 分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（
）
（附：
0.6827
P
X
，
2
2
0.9545
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
）
A．第18 名
B．第127 名
C．第245 名
D．第546 名
9.某物理量的测量结果服从正态分布
2
100,
N
，下列结论中错误的是（
）
A．该物理量在一次测量中大于100 的概率为0.5
B．越小，该物理量在一次测量中落在(99101)
，
的概率越大
C．该物理量在一次测量中小于99.9 与大于100.1 的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(99102)
，
与落在(100103)
，
的概率相等
10.为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取
*
k k N
罐咖啡，并测量其质
量（单位：g ）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1 罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误
差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布
2
,
N
.假设生产状态正常，记X 表
示每天抽取的k 罐咖啡中质量在
3 ,
3
之外的罐数，若X 的数学期望
0.026
E X
，则k 的最小
值为（
）
附：若随机变量X 服从正态分布
2
,
N
，则
(
3
3 )
0.9974
P
X
.
A．10
B．11
C．12
D．13
11.某地区有10000 名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布
2
92,4
N
，则数学成绩位于
96,100 的人数约为（
）
参考数据：
0.6827,
2
2
0.9545
P
X
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
A．455
B．1359
C．3346
D．1045
12.下列判断错误的是（
）
A．若随机变量服从正态分布
2
1,
N
，
4
0.79
P
，则
2
0.21
P
B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变
C．若随机变量服从二项分布
1
5, 5
B
，则
2
1
1
E
D．若方差
3
D X
，则
2
1
7
D
X
13.某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布
2
~
10,
N
，根据检测结果可知
9.98
10.02
0.98
P
，某公司购买该种包装的大米3000 袋．大米质量在10.02kg 以上的袋数大约为（
）
A．10
B．20
C．30
D．40
14.已知随机变量
,
X Y ，
1
~
4, 2
X
B
，
2
~
,
Y
N
，且
D X
E Y
，又
1
3
2
1
P Y
a
P Y
a
，
则实数
a
（
）
A．0
B．1
4
C．1
2
D．3
4
15.（多选）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重
~
3.5,0.25
X
N
，则下列结论正确
的是（
）
A．该正态分布的均值为3.5
B．
1
3.5
2
P X
C．
1
4
4.5
2
P
X
D．
4.5
3
P X
P X
16.（多选）若随机变量
2
1
1
,
X
N
，
2
2
2
,
Y
N
，X、Y 的分布密度曲线如图所示，则（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．
1
1
2
2
P X
P Y
D．
1
2
2
1
P X
P Y
17.（多选）为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000 米跑测试，测试结果表明所有
男生的成绩X （单位：分）近似服从正态分布
2
75,
N
，
60
0.1
P X
，
70
0.3
P X
，则下列说
法正确的是（
）
A．若从高三男生中随机挑选1 人，则他的成绩在
80,90 内的概率为0.2
B．若从高三男生中随机挑选1 人，则他的成绩在
70,80 内的概率为0.4
C．若从高三男生中随机挑选2 人，则他们的成绩都不低于75 的概率为0.25
D．越大，
75
P X
的值越小
18.（多选）冯老师教高二4 班和5 班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学
成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数
2
2
2
1
e
2π
x
f x
的图象如图所示，其中是正态分布的期
望，是正态分布的标准差，且
0.6827
P
X
，
2
0.9545
P
X
，
3
0.9973
P
X
.
关于这次数学考试成绩，下列结论错误的是（
）
A．4 班的平均分比5 班的平均分高
B．相对于5 班，4 班学生的数学成绩更分散
C．4 班108 分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．5 班112 分以上的人数与4 班108 分以上的人数大致相等
19.（多选）某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差服从正态分布
2
,
N
，把质量差在
,
内的产品称为优等品，在
,
2
内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，
其余的产品作为废品处理．根据大量的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均
数
70
x
作为的近似值，将样本标准差s 作为的估计值，已知质量差
,100
X
N
，则下列说法中正
确的是（
）
参考数据：若随机变量服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827
P
，
2
2
0.9545
P
，
3
3
0.9973
P
．
A．样本数据的中位数为71
B．若产品质量差为62 mg，则该产品为优等品
C．该企业生产的产品为正品的概率是0.8186
D．从该企业生产的正品中随机抽取1000件，约有834件优等品
20.（多选）下列说法中，正确的是（
）
A．一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22 的第80 百分位数为18
B．若随机变量
2
3,
N
，且
6
0.84
P
，则
3
6
0.34
P
．
C．袋中装有除颜色外完全相同的4 个红球和2 个白球，从袋中不放回地依次抽取2 个球，记事件A
第一次抽到的是白球，事件B 第二次抽到的是白球，则
1
3
|
P B A
D．设随机事件A，B，已知
0.4
P A
，
|
0.3
P B A
，
0.2
P B A
，则
0.24
P B
．
21.已知随机变量
2
12,
X
N
，若
9
0.36
P X
，则
12
15
P
X
.
22.在工业生产中轴承的直径服从
3.0,0.0025
N
，购买者要求直径为3.0
，不在这个范围的将被拒绝，
要使拒绝的概率控制在4.55% 之内，则至少为
；
（若
2
~
,
X
N
，则
2
0.9545
P
X
）
23.某工厂生产一批零件，其直径
10,4
X
N
，现在抽取10000 件进行检查，则直径在
12,14 之间的零件
大约有
件.
（注：
(
)
0.6826, (
2
2 )
0.9544, (
3
3 )
0.9974
P
X
P
X
P
X
）
24.设随机变量服从正态分布
1,4
N
，若
P
a
b
P
a
b
，且
2
2
1
P
a
b
P
b
a
，
则b
．
25.已知某批产品的质量指标X 服从正态分布
25,0.16
N
，其中
24.6,26.2
X
的产品为“可用产品”，则在
这批产品中任取1 件，抽到“可用产品”的概率约为
.
参考数据：若
2
,
X
N
，则
0.6827,
2
2
0.9545,
3
3
0.9973
P
X
P
X
P
X
.
26.某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250 名顾客，采取100 分制对产品功能满意
程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布
80,25
N
，对产品
外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90 分以上（不含90 分）视为非常满意.
(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）
(2)若这250 人中对两项都非常满意的有2 人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机
抽取3 人，设3 人中两项都非常满意的有X 人，求X 的分布列和数学期望.
（附：若
2
~
,
Y
N
，则
0.6826
P
Y
，
2
2
0.9544
P
Y
）
27.某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200 元/人，赔付金额为5 万元/人.假设该保险产品的客
户为10000 名，每人被赔付的概率均为0.25% ，记10000 名客户中获得赔偿的人数为X .
(1)求
E X ，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次
数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二
项分布的相关概率计算问题，我们知道若
,
X
B n p
，则
1
D X
np
p
，当n 较大且p 较小时，我们
为了简化计算，常用
E X 的值估算
D X 的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100 万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若
2
,
X
N
，则
0.683,
3
3
0.997
P
X
P
X
.
28.某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500 天内每天可配送的货物量，按照可配送货
物量T（单位：箱）分成了以下几组：[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135]，并绘
制了如图所示的频率分布直方图．
(1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从
2
~
,
T
N
的正态
分布，经计算近似为
2
100,近似为150．
①利用该正态分布，求
(87.8
124.4)
P
T
；
②试利用该正态分布，估计该物流公司2000 天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留
整数）．
(2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励
员工，按每日的可配送货物量划分为三级：
95
T
时，奖励50 元；95
115
T
时，奖励80 元；
115
T
时，
奖励120 元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量
不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的
概率如下表：
奖金
50
100
概率
4
5
1
5
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他
更有利？
附：150
12.2
，若
2
~
,
Z
N
，则
(
)
0.6827, (
2
2 )
0.9545
P
Z
P
Z
．
29.某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市
民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把
得到的数据列成如表所示的频数分布表：
旅游消费支出
0,20
20,40
40,60
60,80
80,100
频数
12
388
452
138
10
(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布
2
40,15
N
，若该市总人口为700 万人，试估
计有多少市民每年旅游费用支出在7000 元以上；
(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3 人，
一年内继续来该签约景区游玩记2 分，不来该景点游玩记1 分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客
之间的选择意愿相互独立，求3 人总得分为4 分的概率.
（参考数据：
(
)
0.6827,
(
2
2 )
0.9545,
(
3
3 )
0.9973)
P
X
P
X
P
X
）
30.红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了
研究生长了4 年的红松树的生长状况，从中随机选取了12 棵生长了4 年的红松树，并测量了它们的树干
直径
ix （单位：厘米），如下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ix
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
计算得：
12
12
2
1
1
360,
10992
i
i
i
i
x
x
.
(1)求这12 棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差
2s .
(2)假设生长了4 年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件A ：在森林公园内再从中随机选取12 棵生长了4 年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求
P A ；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4 年的红松树的树干直径近似服从正态分布
2
30,8
N
.
在这个条件下，求
P A ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若
2
,
Y
N
，
则
0.6827,
2
0.9545,
3
0.9973
P Y
P Y
P Y
.
参考数据：
12
12
12
0.6827
0.01,0.9545
0.57,0.9973
0.97
.
31. 2020 年9月22 日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快
形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力
的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030 年前达到峰值，努力争取2060 年前实现碳中和．某企业为了响
应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗
进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表．
树苗高度（cm ）
120,140
140,160
160,180
树苗售价（元/株）
4
6
8
（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之和高于16 元的概率；
（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布
2
,
N
，并用该企业采购的120株树苗作样本，来估
计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且
2
185
s
．
①若该育苗基地共有5000株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，得到数列
na
，求
114
a
的估
计值．
②若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，记树苗高度超过150cm的株数为，求随机变量的分布列和期
望．
参考数据：若
2
~
,
X
N
，
0.6826
P
X
，
2
2
0.9544
P
X
，
185
13.6
．
7.6 随机变量及其分布常考题型总结（基础）
题型一：条件概率的计算
1.正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4 名大
学生将前往3 处场地A，B，C 开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加
且只能去一处场地，则当甲去场地A 时，场地B 有且只有1 名志愿者的概率为（
）
A．3
4
B．21
50
C．6
11
D．3
5
2.某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为
2
3，连续答
对两道题的概率为
1
2.用事件A 表示“甲选手答对第一道题”，事件B 表示“甲选手答对第二道题”，则�(�|�)
＝（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
3
4
3.已知��= 0.5，��= 0.3，��∩�= 0.1，求��|�=（
）
A．
1
10
B．
1
3
C．
1
5
D．1
4.某校从学生文艺部6 名成员（4 男2 女）中，挑选2 人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
5.在一个盒子中有大小与质地相同的20 个球，其中10 个红球，10 个白球，两人依次不放回地各摸1 个球，
求：
(1)在第一个人摸出1 个红球的条件下，第二个人摸出1 个白球的概率；
(2)第一个人摸出1 个红球，且第二个人摸出1 个白球的概率.
题型二：利用全概率公式求概率
1.某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%, 30%和35%，
又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03 和0.02.
(1)每条流水线都提供了两件产品放进展厅，一名客户来到展厅后随手拿起了两件产品，求这两件产品来自
同一流水线的概率；
(2)从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是多少？
2.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手
机超过1 小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1 小时的学生中任意调查一名学生，则
他近视的概率为（
）
A．
5
21
B．
9
40
C．
9
20
D．
7
20
3.甲、乙两个袋子中各装有5 个大小相同的小球，其中甲袋中有2 个红球，2 个白球和1 个黑球，乙袋中
有3 个红球，1 个白球和1 个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事
件�1, �2和�3分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件�表示从乙袋中取出的球是红球，则
�(�)=（
）
A．
17
30
B．
3
5
C．
9
22
D．
4
11
4.莆田是历史文化名城.著名的“莆田二十四景”是游客的争相打卡点，莆田文旅局调查打卡二十四景游客，
发现75%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，莆田文旅局为大家准备了4 种礼物，分别是莆田文化金
属书签､莆阳古厝徽章､广化寺祈福香包､湄洲艺术摆件.若打卡二十四景游客至少打卡两个景点，则有两次
抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4 种礼物中的1 种礼物.假设打卡
二十四景游客打卡景点情况相互独立.
(1)从全体打卡二十四景游客中随机抽取3 人，求3 人抽奖总次数不低于4 次的概率；
(2)任选一位打卡二十四景游客，求此游客抽中广化寺祈福香包的概率.
题型三：离散型随机变量的判断
1.下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数�；
②一个沿�轴进行随机运动的质点，它在�轴上的位置�；
③某派出所一天内接到的报警电话次数�；
④某同学上学路上离开家的距离�．
其中是离散型随机变量的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（
）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数�1；
②一个沿直线�= 2�进行随机运动的质点离坐标原点的距离�2；
③某同学射击3 次，命中的次数�3；
④某电子元件的寿命�4；
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
3.下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)一瓶果汁的容量为500±2 mL.
4.指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10 张已编好号码的卡片(1 号到10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
题型四：求离散型随机变量的分布列
1.已知随机变量X 的分布列为
X
1
0
1
P
1
4
1
4q
q
则实数q （
）
A．1
4
B．1
6
C．1
8
D．1
12
2.一个袋中装有5 个形状大小完全相同的小球，其中红球有2 个，白球有3 个，从中任意取出3 个球.
(1)求取出的3 个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X 表示取得红球的个数，求随机变量X 的分布列.
3.设离散型随机变量�的分布列如下表：
�
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
则�=__________；作出2�+ 1 的分布列；作出�−1 的分布列．
4.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨
论学习.甲组一共有4 人，其中男生3 人，女生1 人；乙组一共有5 人，其中男生2 人，女生3 人.现要从
这9 人的两个兴趣小组中抽出4 人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件�为“选出的这4 个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件�
发生的概率；
(2)用�表示抽取的4 人中乙组女生的人数，求随机变量�的分布列.
题型五：两点分布
1.已知离散型随机变量�的分布列服从两点分布，且��= 0 = 2 −5��= 1 = �，则�=（
）
A．
3
4
B．
1
2
C．
1
3
D．
2
3
2.已知随机变量��满足���= 0 = ��，���= 1 = 1 −��，且0 < ��<
1
2，�= 1,2．若��1 < ��2 ，则（
）．
A．�1 < �2，且��1 < ��2
B．�1 > �2，且��1 > ��2
C．�1 < �2，且��1 > ��2
D．�1 > �2，且��1 < ��2
3.在一次购物抽奖活动中，假设10 张奖券中有一等奖奖券1 张，可获价值50 元的奖品，有二等奖奖券3
张，每张可获价值10 元的奖品，其余6 张没有奖品．顾客甲从10 张奖券中任意抽取1 张，求中奖次数X
的分布列．
4.袋中有除颜色外都相同的红球10 个，白球5 个，从中摸出2 个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问
如何定义随机变量X，才能使X 满足两点分布，并求分布列．
题型六：离散型随机变量的均值
1.已知某随机变量X 的分布为
�
-1
1
2
�
0.3
0.2
�
则��等于（
）
A．0.9
B．0.7
C．1.2
D．无法确定
2.元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15 个大小和形状均相同的小球，其中白球10 个，红球5 个，
每次摸出2 个球．若摸出的红球个数为�，则�5�−5 =（
）
A．−
5
3
B．
5
3
C．−
10
3
D．
10
3
3.我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120 个学生，得到这些学生5 天
内每天坚持自主学习时长�（单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5 小时．
时长�
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
4，5
学生数
30
24
40
16
10
(1)估计这120 个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)以表中�的分组中各组的频率为概率，校领导要从120 名学生中任意抽取两名进行家长座谈．若抽取的
时长�∈[0,1)，则赠送家长慰问金100 元；抽取的时长�∈[1,2)，则赠送家长慰问金200 元；抽取的时长�∈
2,5 ，则赠送家长慰问金300 元．设抽取的2 名学生家长慰问金额之和为�，求�的分布列及数学期望．
4.学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20 米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”
考核合格得4 分，否则得0 分；“20 米运球绕杆射门”考核合格得6 分，否则得0 分.现将某班学生分为两组，
一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20 米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进
行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个
项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20 米运球绕杆射门”考核合
格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
(1)若小明先进行“定位球传准”考核，记�为小明结束考核后的累计得分，求�的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.
题型七：求离散型随机变量的方差、标准差
1.设0 < �< 1，随机变量�的分布列为
�
0
1
2
P
2 −�
3
1
3
b
则当�在(0,1)内增大时（
）
A．��增大
B．��减小
C．��先减小后增大
D．��先增大后减小
2.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局
甲赢的概率都是
1
3，随机变量�表示最终的比赛局数，则（
）
A．��=
26
9 , ��=
8
81
B．��=
26
9 , ��=
20
81
C．��=
22
9 , ��=
8
81
D．��=
22
9 , ��=
20
81
3.某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广
告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X 分别为0 元，20 万元，40 万元，且��= 20 = 0.3，
期望��= 30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y 分别为10 万元，20 万元，30 万元，其概率依次为0.3,0.4,0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差��；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
4.不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12 款不粘锅商品，并
委托第三方检测机构进行检测，本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6 项性能项
目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6 个
指标．其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐磨性”检测结果的数据如下：
检测结果
检测结果
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
1
品牌1
Ⅰ级
Ⅰ级
7
品牌7
Ⅰ级
Ⅰ级
2
品牌2
Ⅱ级
Ⅰ级
8
品牌8
Ⅰ级
Ⅰ级
3
品牌3
Ⅰ级
Ⅰ级
9
品牌9
Ⅱ级
Ⅱ级
4
品牌4
Ⅱ级
Ⅱ级
10
品牌10
Ⅱ级
Ⅱ级
5
品牌5
Ⅰ级
Ⅰ级
11
品牌11
Ⅱ级
Ⅱ级
6
品牌6
Ⅱ级
Ⅰ级
12
品牌12
Ⅱ级
Ⅱ级
（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）
(1)从这12 个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率：
(2)从前六个品牌、后六个品牌中各随机选取两个品牌的数据，求两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌
个数恰为2 个的概率；
(3)顾客甲从品牌�，�+ 1，�+ 2 �= 1，4，7，10 中随机选取1 个品牌，用“��= 1”表示选取的品牌两
个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级，“��= 0”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”不都是Ⅰ级（k=1，4，
7，10）．写出方差��1, ��4, ��7, ��10的大小关系（结论不要求证明）．
题型八：二项分布的概率最大问题
1.若�~�10,0.5 ，则��= �取得最大值时，�=（
）
A．4 或5
B．5 或6
C．10
D．5
2.设随机变量�∼��, �，记��= ��
���(1 −�)�−�, �= 0,1,2, ⋯, �.在研究��的最大值时，某数学兴趣小组的
同学发现：若�+ 1 �为正整数，则�= �+ 1 �时，��= ��−1，此时这两项概率均为最大值；若�+ 1 �
为非整数，当�取�+ 1 �的整数部分，则��是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地
均匀的股子并实时记录点数1 出现的次数.当投郑到第30 次时，记录到此时点数1 出现7 次，若继续再进
行70 次投掷试验，则当投掷到第100 次时，点数1 总共出现的次数为（
）的概率最大
A．16
B．17
C．18
D．19
3.某种植户对一块地的��∈�∗, �> 2 个坑进行播种，每个坑播3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为
1
2，且
每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要
补播种.
(1)从�个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？
(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？
(3)当�取何值时，有3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
4.随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要
力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软
件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件
正确应答的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了�(�≥6)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个
数为X，�= �(�= 0,1, ⋯, �)的概率记为��= �，则n 为何值时，��= 6 的值最大？
题型九：超几何分布的判断
1.一个袋中有6 个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4 个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中
任取4 个球，有如下几种变量：
①X 表示取出的最大号码；
②X 表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2 分，取出一个白球记1 分，X 表示取出的4 个球的总得分；
④X 表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(
)
A．①②
B．③④
C．①②④
D．
①②③④
2.在一个袋中装有质地大小一样的6 个黑球，4 个白球，现从中任取4 个小球，设取的4 个小球中白球的
个数为X，则下列结论正确的是（
）
A．�(�= 1) =
2
5
B．随机变量�服从二项分布
C．随机变量�服从超几何分布
D．��=
8
3
3.一个袋子中100 个大小相同的球，其中有40 个黄球，60 个白球，从中不放回地随机摸出20 个球作为样
本，用随机变量�表示样本中黄球的个数，则�服从（
）
A．二项分布，且��= 8
B．两点分布，且��= 12
C．超几何分布，且��= 8
D．超几何分布，且��= 12
4.下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6 的骰子的个数记为�，求�的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10 颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为�，求�的分
布列；
(3)盒子中有红球3 只，黄球4 只，蓝球5 只，任取3 只球，把不是红色的球的个数记为�，求�的分布列；
(4)某班级有男生25 人，女生20 人．选派4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数
记为�，求�的分布列；
(5)现有100 台平板电脑未经检测，抽取10 台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为�，求�
的分布列．
题型十：正态曲线的特点
1.设�~��1, �1
2 ，�~��2, �2
2 ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（
）
A．�1 > �2
B．�1 > �2
C．��≥�2 ≥��≥�1
D．��≤�2 ≥��≤�1
2.已知三个正态分布密度函数��(�) =
1
2���
−(�−��)2
2��2 (�∈�, �= 1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是
（
）
A．�1 = �2>�3
B．�1 > �3
C．�1 = �2
D．�2 < �3
3.已知某公司人均月收入X 服从正态分布，其密度函数图像如图所示．
(1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式；
(2)求此公司人均月收入在8 000～8 500 元之间的人数所占的百分比．
4.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），
经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4
(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用X 和Y 表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X 和Y 的概率密度曲线如图（a）所示，如果
某天有38min 可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min 可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理
由.
（提示：
（2）中X 和Y 的概率密度曲线分别反映的是X 和Y 的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，
图（b）中阴影部分的面积表示的就是X 取值不大于38min 时的概率.）
题型十一：利用3σ原则求概率
1.已知服从正态分布�(�,�2)的随机变量在区间(�−�,�+ �),(�−2�,�+ 2�)和(�−3�,�+ 3�)内取值的概
率约为68.3%，95.4%和99.7%.若某校高一年级1000 名学生的某次考试成绩X 服从正态分布�90, 152 ，
则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有（）
A．997 人
B．972 人
C．954 人
D．683 人
2.某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000 名学生参赛，统计得考试成绩�（满分150 分）服从正态分
布�110,100 .考试成绩140 分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（
）附：�(�−
�< �< �+ �) = 0.6826, �(�−2�< �< �+ 2�) = 0.9544, �(�−3�< �< �+ 3�) = 0.9974.
A．26
B．52
C．456
D．13
3.设�∼�1, 22 ，试求：
(1)�−1 < �≤3 ；
(2)�3 < �≤5 .
参考数据：��−�< �≤�+ �≈0.6826，��−2�< �≤�+ 2�≈0.9544
4.某公司建有1000 个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X 服从正态分布��, �2 ，其中�=
376, �2 = 12100，公司把销售件数不小于596 的群称为“A 级群”，销售件数在[266,596)内的群为“B 级群”，
销售件数小于266 的群为“C 级群”．
(1)若�(�< �) ≥�(�> 2�−1)，求a 的取值范围；
(2)该公司决定对每个“A 级群”奖励1000 元，每个“B 级群”奖励500 元，每个“C 级群”奖励200 元，那么公
司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，�~��, �2 ，则�(�−�< �< �+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �< �+ 2�) ≈0.9545，�(�−3�<
�< �+ 3�) ≈0.9973．
7.7 随机变量及其分布常考题型总结（提高）
题型一：条件概率与全概率公式的综合应用
1.某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布
2
100,10
N
，从中抽取一个同
学的数学成绩X ，记该同学的成绩为80
100
X
为事件A ，记该同学的成绩为70
90
X
为事件B ，则
在A 事件发生的条件下，B 事件发生的概率
P B A 为（
）（附参考数据：
0.68
P
X
，
2
2
0.95
P
X
，
3
3
0.99
P
X
）
A．27
95
B．36
95
C．12
95
D．24
95
2.现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3 个白球、2 个黑球，现从袋中随机依
次摸出2 个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回
袋中.记事件A “第一次摸球摸出黑球”，事件B “第二次摸球摸出白球”，则
P B A （）
A．6
25
B．8
25
C．3
5
D．4
5
3.随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行
方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不
迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上
班小明迟到的概率是（
）
A．0.24
B．0.14
C．0.067
D．0.077
4.小明参加某项答题闯关游戏，每答对一道题则进入下一轮，某次答题时小明从A、B 两块题板中任选择
一个答题，已知他答对A 题板中题目概率为0.8，答对B 题板中题目的概率为0.3，假设小明不了解每块题
板背后的题目，即小明随机等可能地从A、B 两块题板中任选一个作答，现已知小明进入了下一轮，则他
答的是A 题板中题目的概率是（
）
A．
3
11
B．
1
2
C．
8
11
D．1
5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选
拔，高一年级有
1
3的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有
1
4的学生成为公益活动志愿者．
(1)设事件�=“在三个年级中随机抽取的1 名学生是志愿者”；事件��=“在三个年级中随机抽取1 名学生，
该生来自高�年级”（�= 1,2,3）．请完成下表中不同事件的概率：
事件概率
��1 ��2 ��3 ���1 ���2 ���3 ��
概率值
1
3
(2)若在三个年级中随机抽取1 名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．
6.某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网
约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车
费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素
满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
题型二：利用随机变量分布列的性质解题
1.设�是一个离散型随机变量，其分布列如下，则�等于（
）
�
−1
0
1
�
1
3
1
−2�
3�2 −�+
1
3
A．
2
3
B．
1
3
C．
1
4
D．
3
4
2.从6 名男生和4 名女生中随机选出3 名同学参加一项竞技测试．
(1)求选出的3 名同学中至少有1 名女生的概率；
(2)设表示选出的3 名同学中男生的人数，求的分布列．
3.随机变量ξ的分布列如下：
�
−1
0
1
�
�
�
�
其中2�= �+ �，则�( �= 1)等于（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
2
D．
2
3
4.某一射手射击所得环数�的分布列如下：
�
4
5
6
7
8
9
10
�
0.02
0.05
0.06
0.08
�
�
0.21
(1)求�的值．
(2)求此射手“射击一次命中的环数≤8”的概率．
5.已知离散型随机变量�的分布列��=
�
5 = ���= 1,2,3,4,5 ．
(1)求常数�的值；
(2)求��≥
3
5 ；
(3)求�
1
10 < �<
3
5 ．
题型三：两个相关的随机变量的分布列问题
1.设离散型随机变量X 的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.15
0.15
0.15
0.25
m
若随机变量�= �−2，则�(�= 2)等于（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
2.已知X 的分布列为
X
﹣1
0
1
P
1
2
1
3
1
6
且Y＝aX+3，E（Y）=
7
3，则a 为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.已知随机变量�的分布列如表所示．
�
−2
−1
0
1
2
3
�
1
12
1
4
1
3
1
12
1
6
1
12
(1)求随机变量�= �2的分布列；
(2)若��< �=
11
12，求实数�的取值范围．
4.某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000 元，每工作1 小时获取30 元．从该快
餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X 小时，获取的税前月工资为Y 元．
(1)当�= 110 时，求Y 的值；
(2)写出X 与Y 之间的关系式；
(3)若��≤120 = 0.6，求��> 4600 的值．
题型四：离散型随机变量的分布列的综合应用
1.某商场为了促销规定顾客购买满500 元商品即可抽奖，最多有3 次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10
元，30 元，50 元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；
也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500 元商品并参
与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为
2
3 ,
1
2 ,
1
3，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为
2
3，第二次抽
中选择继续抽奖的概率为
1
4，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量�，求�的分布列．
2.踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1 丙、丁
四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为
1
3；当乙接到毽子时，乙
传给甲、丙、丁的概率分别为
1
3，
1
2，
1
6；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为
1
3，
1
2，
1
6；当丁接
到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为
1
3，
1
6，
1
2.假设毽子一直没有掉地上，经过�次传毽子后，毽子被
甲、乙、丙、丁接到的概率分别为��，��，��，��，已知�1 = 0.
(1)记丁在前2 次传毽子中，接到毽子的次数为�，求�的分布列；
(2)证明��−
1
4 为等比数列，并判断经过150 次传毽子后甲接到毽子的概率与
1
4的大小.
3.某公司在一种传染病毒的检测试剂吅上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型�和�.
现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂�和�合格的概率分别为
2
3和
3
5，第二次检测时两类试剂�和�
合格的概率分别为
3
4和
2
3.已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格.
(1)设经过两次检测后两类试剂�和�合格的种类数为�，求�的分布列;
(2)若地区排查期间，一户4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭
成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”.设该
家庭每个成员检测呈阳性的概率均为�0 < �< 1 且相互独立，该家庭至少检测了3 个人才可以确定为“感
染高危户”率为��，若该家庭被确定为“感染高危户”，且当�= �0时，��最大，求�0的值.
4.中国的CT 机打破了欧美30 年的技术垄断，实现了从无到有的突破，中国的CT 机不仅在技术上达到了
国际水平，而且在价格上也更具竞争力.此外，中国的CT 机还具有更好的定制化服务，能够更好地满足不
同地区和不同医疗机构的需求，明峰医疗和联影医疗是中国CT 机行业中的佼佼者.2023 年8 月某医院购进
甲型CT 机2 台，乙型CT 机1 台，该医院决定按照以下方案调试新机器：每台设备最多进行
．．．．2．次调试
．．．，
只要调试成功就投入使用
．．．．．．．．．．．，每次调试费用0 元：如果两次调试均不成功，则邀请生产商上门调试，生产商
调试一台医院调试不成功的CT 机需要额外支付1000 元，生产商调试后直接投入使用；其中医院对甲机型
每次调试成功的概率为
2
3，对乙机型每次调试成功的概率为
1
2，调试相互独立.
(1)求医院不需要生产商上门调试的概率�；
(2)计算医院支付调试费用�的分布列.
题型五：均值、方差的性质
1.已知随机变量�服从两点分布，且��= 1 =
1
3，则�3�−2 和�3�−2 分别为（
）
A．3,2
B．−1,2
C．−1, −
4
3
D．−1,
2
3
2.设离散型随机变量�的分布列为
�
0
1
2
3
4
�
�
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量�满足�= 2�+ 1，则下列结论中正确的是（
）
A．�= 0.01
B．�(�) = 3
C．�(�) = 7.4
D．�(�) = 5
3.已知
,
B n p
，且
3
2
9.2
E
，
3
2
12.96
D
，则下列说法不正确的有（
）
A．
6
n
，
0.4
p
B．
6
1
1 0.6
P
C．
3
3
3
6
(
3)
C
0.6
0.4
P
D．
0,1,2,
,
P
k
k
n
中
3
P
是最大值
4.若随机变量X 服从两点分布，其中
1
0
3
P X
，
,
E X
D X 分别为随机变量X 的均值与方差，则下
列结论不正确的是（
）
A．
1
P X
E X
B．
3
2
4
E
X
C．
3
2
4
D
X
D．
2
9
D X
5.已知随机变量X 的分布列为
X
0
1
x
P
1
2
1
3
p
若��=
2
3，
(1)求��的值;
(2)若�= 3�−2，求��的值.
6.已知随机变量�的概率分布表如下表所示：
�
�1
�2
…
��
�
�1
�2
…
��
其中，��≥0，�= 1,2, ⋅⋅⋅, �，
�=1
�
��
σ
= 1，记随机变量�的数学期望和方差分别为��，��．求证：
(1)���+ �= ���+ �；
(2)��=
�=1
�
��
2
��−�2 �．
题型六：均值与方差的综合应用
1.某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30 天的新闻点击量变化数据，如下表所示.
在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，
即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相
同.
时段
新闻点击量
第1 天到第15 天
↑
-
↑
↓
↑
-
↓
↑
-
↓
↑
↓
-
↓
↓
第16 天到第30 天
-
↑
-
↑
-
↑
↓
↑
↓
↑
-
↓
↑
↓
↑
用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；
(2)从样本中的前15 天和后15 天中各随机抽取1 天，记�表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求�
的分布列和数学期望��；
(3)从样本给出的30 天中任取1 天，用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”，“�= 0”表示该天新闻点击量“下
降”或“不变”，然后继续统计接下来的10 天的新闻点击量，其中有6 天“上涨”、3 天“下降”、1 天“不变”，
相应地，从这40 天中任取1 天，用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”，“�= 0”表示该天新闻点击量“下降”
或“不变”，直接写出方差��，��大小关系.
2.我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家
建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6 个招标问题中随
机抽取3 个问题，已知这6 个招标问题中，甲公司能正确回答其中4 道题目，而乙公司能正确回答每道题
目的概率均为
2
3，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对2 道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
3.气象部门提供了某地区今年六月份（30 天）的日最高气温的统计表如下：
日最高气温t（单位：℃）
�
≤22℃
22℃< �
≤28℃
28℃< �
≤32℃
�
> 32℃
天数
6
12
Y
Z
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和Z 数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气
温不高于32℃的频率为0.9．
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：
日最高气温t（单位：℃）
�
≤22℃
22℃< �
≤28℃
28℃< �
≤32℃
�
> 32℃
日销售额X（千元）
2
5
6
8
(1)求Y，Z 的值；
(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5 千元的概率．
4.为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5 元的价格从农场购
进若干西瓜，然后以每个10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16 个西瓜，求当天的利润�（单位：元）关于当天需求量�（单位：个，�∈N）的函
数解析式；
(2)水果店记录了100 天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量�
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16 个西瓜，�表示当天的利润（单位：元），求�的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16 个或17 个西瓜，你认为应购进16 个还是17 个？请说明理由．
题型七：二项分布的均值与方差
1.一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3 位的二进制数�= �1�2�3，其中�的各位数中，���= 1,2,3
出现0 的概率为
1
3，出现1 的概率为
2
3．若启动一次出现的二进制数为�= 100，则称这次试验成功．若成功
一次得2 分，失败一次得−1 分，则81 次这样的独立重复试验的总得分�的数学期望为（
）
A．−63
B．−6
C．63
D．6
2.已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100 位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独
立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（
）
A．�(2�+ 1) = 160
B．�(�= 30) = C100
30 (0.8)30(0.2)70
C．�(2�+ 1) = 32
D．存在�≠50，使得�(�= �) = �(�= 100 −�)成立
3.现有60 道选择竞答题，两名同学独立完成，甲同学答对了36 道，乙同学答对了24 道，假设答对每道题
都是等可能的，试求：
(1)任选一道题目，恰有一个人答对的概率；
(2)任选10 道题目，记甲答对的题目数为�，求�的期望值．
4.某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同
方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为了比较某项指标�的对比情况，随机地
抽取了部分甲生产线上产品该项指标的�值，并计算得到其平均数�ത= 74，中位数�= 72，随机地抽得乙
生产线上100 件产品该项指标的�值，并绘制成如下的频率分布直方图．
(1)求乙生产线的产品指标�值的平均数�ത与中位数�（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生
产线较甲生产线的产品指标�值是否更好（如果|�ത−�| < |�ത−�|，则认为乙生产线的产品指标�值较甲生产
线的产品指标�值更好，否则不认为更好）．
(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5 件产品，抽出指标�值不小于70 的产品个数用�表示，求�
的数学期望与方差．
题型八：超几何分布的均值与方差
1.已知6 件产品中有2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取3 件进行检测，记取到的正品数为�，则下
列结论正确的是（
）
A．�2�−1 =
4
3
B．��=
1
5
C．��= 1
D．�2�−1 =
8
5
2.口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4 个小球．ξ表示当n＝3 时取出
黑球的数目，η表示当n＝4 时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（
）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）
B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）
D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
3.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机
抽取了50 名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100 分，将数据分成6 组：[40,50)，[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；
(2)在样本中，从其成绩在80 分及以上的学生中随机抽取3 人，用�表示其成绩在[90,100]中的人数，求�
的分布列及数学期望；
(3)在（2）抽取的3 人中，用�表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差�(�)与�(�)的大小.（直接写结果）
4.某区域中的物种�拥有两个亚种（分别记为�种和�种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研
究小组计划在该区域中捕捉100 个物种�，统计其中�种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试
验结果.重复进行这个试验共20 次，记第�次试验中�种的数目为随机变量�� (�= 1,2, ⋯, 20).设该区域中�
种的数目为�，�种的数目为�，每一次试验均相互独立.
(1)求�1的分布列；
(2)记随机变量�ഥ=
1
20
�=1
20 ��
σ
.已知�(��+ ��) = �(��) + �(��)，�(��+ ��) = �(��) + �(��)；
（ⅰ）证明：�(�ഥ) = �(�1)，�(�ഥ) =
1
20 �(�1)；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到��的实际取值分别为�� (�= 1,2, ⋯, 20).数据�� (�= 1,2, ⋯, 20)的平均值
�ത= 40，方差�2 = 1.176.采用�ത和�2分别代替�(�ഥ)和�(�ഥ)，给出�，�的估计值.
题型九：二项分布与超几何分布的综合应用
1.口袋中有6 个球（除颜色外其他属性都相同），其中3 个黑球，2 个红球，1 个白球，�表示有放回的摸球
3 次，每次摸一个，取出红球的数目，�表示不放回的摸球3 次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结
论成立的是（
）
A．��< ��
B．��> ��
C．��= ��
D．无法判断
2.若10 件产品中有4 件次品和6 件正品．现从中随机抽取3 件产品，记取得的次品数为随机变量�，则下
列结论正确的是（
）
A．若是有放回的抽取，则��= 2 = 0.096
B．若是无放回的抽取，则��= 2 = 0.3
C．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，�的数学期望��相等
D．无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，�的方差相等��相等
3.为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要
在�，�两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：�，�两名学生各自从6 个问题中随机抽取3 个问
题作答.已知这6 个问题中，学生�能正确回答其中的4 个问题，而学生�能正确回答每个问题的概率均为
2
3.�，
�两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求�，�两名学生恰好答对2 个问题的概率.
（2）设�答对的题数为�，�答对的题数为�，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
4.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题，按照答对
题目的个数为标准进行筛选.已知6 道备选题中应聘者甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙
每题正确完成的概率都是
2
3，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
题型十：正态曲线的对称性求概率
1.某班学生的一次数学考试成绩�（满分：100 分）服从正态分布：�∼�85, �2 ，且�(83 < �< 87) =
0.3, �(78 < �< 83) = 0.13，则�(�< 78) =（
）
A．0.14
B．0.22
C．0.23
D．0.26
2.某校高三数学摸底考试成绩�（单位：分）近似服从正态分布�110, �2 ，且�90 < �< 130 = 0.86，
该校高三数学摸底考试成绩超过90 分的人数有930 人，则（
）
A．估计该校高三学生人数为1200
B．估计该校学生中成绩不超过90 分的人数为70．
C．估计该校学生中成绩介于90 到110 分之间的人数为425．
D．估计该校学生中成绩不超过90 分的人数比超过130 分的人数多．
3.为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行
动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100 名，统计出他们竞赛成绩分布如
下：
成绩（分）
[40.50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
(90,100]
人数
2
4
22
40
28
4
(1)求抽取的100 名居民竞赛成绩的平均分�ത和方差�2（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X 近似地服从正态分布��, �2 ，其中�近似为样本成绩
平均分�ത，�2近似为样本成绩方差�2，若�−�< �≤�+ 2�，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若�> �+ 2�，
参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
①若该社区有3000 名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96 分的居民能否获得“反诈先锋证书”．
附：若�∼��, �2 ，则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �≤�+ 2�) ≈0.9545，�(�−3�<
�≤�+ 3�) ≈0.9973．
4.为普及传染病防治知识，增强市民的疾病防范意识，提高自身保护能力，某市举办传染病防治知识有奖
竞赛．现从该市所有参赛者中随机抽取了100 名参赛者的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如表所示的频率
分布表．
竞赛成绩
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
6
10
18
33
16
11
6
(1)求这100 名参赛者的竞赛成绩的样本均值�ത和样本方差�2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若该市所有参赛者的成绩X 近似地服从正态分布��, �2 ，用样本估计总体，�近似为样本均值，�2近似
为样本方差，利用所得正态分布模型解决以下问题：（参考数据：226 ≈15）
①如果按照15.87%, 34.13%, 34.13%, 15.87%的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、
特等奖四个等级，试确定各等级的分数线（精确到整数）；
②若该市共有10000 名市民参加了竞赛，试估计参赛者中获得特等奖的人数（结果四舍五入到整数）．
附：若随机变量X 服从正态分布��, �2 ，则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �≤�+ 2�) ≈
0.9545, �(�−3�< �≤�+ 3�) ≈0.9973．
题型十一：正态分布的实际应用
1.我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选
考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B
＋，B，C
＋，C，D
＋，D，E 共8 个等级，
参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考
科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，
[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果
某次高考模拟考试物理科目的原始成绩�∼�(50,256)，那么D 等级的原始分最高大约为（
）
附：①若�∼�(�, �2)，�=
�−�
�，则�∼�(0,1)；
②当�∼�(0,1)时，�(�≤1.5) ≈0.9.
A．23
B．29
C．26
D．43
2.近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者
满意度调查，某县人口约为50 万人，从该县随机选取5000 人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5
组：50,60 、60,70 、⋯、90,100 ，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：
分）近似地服从正态分布��, �2 ，且��−�< �< �+ �≈0.6826，��−2�< �< �+ 2�≈0.9544，
��−3�< �< �+ 3�≈0.9974，其中�近似为样本平均数，�近似为样本的标准差s，并已求得�= 12.
则以下不正确的是（
）
A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5
B．由直方图可估计样本的中位数约为75
C．由正态分布估计全县�≥98.5 的人数约为2.3 万人
D．由正态分布估计全县62.5 ≤�< 98.5 的人数约为40.9 万人
3.自1996 年起，我国确定每年3 月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是
为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保
护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛
奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的
学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100 名学生的竞赛成绩，统
计如下：
成绩（分）
30,40
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
90,100
.
频数
6
12
18
24
18
12
10
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布�∼�(65,100)，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85 分的学生数（结果四舍五入到
整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4 名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65
分以上的学生数为Y，求随机变量Y 的分布列及数学期望.
附参考数据：若随机变量X 服从正态分布��, �2 ，则：�(�−�< �⩽�+ �) ≈0.6827, �(�−2�< �⩽�+
2�) ≈0.9545, �(�−3�< �⩽�+ 3�) ≈0.9973.
4.某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成
绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽
取100 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
(1)规定预赛成绩不低于80 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60 分的学生中随机地抽取2 人，求
至少有1 人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数�的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩�服从正态分布��, �2 ，其中�可近似为样
本中的100 名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且�2 = 361，已知小明的
预赛成绩为91 分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛?
(3)复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100 分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量�，每
一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第�题时“花”掉的分数为0.2�（�= 1，2，
⋯，�）；③每答对一题加2 分，答错既不加分也不减分；④答完�题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，
已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳
的复赛成绩，则他的答题数量�应为多少?
附：若�∼��, �2 ，则��−�< �< �+ �≈0.6827，��−2�< �< �+ 2�≈0.9545，��−3�< �<
�+ 3�≈0.9973；362 ≈19．
题型十二：随机变量及其分布综合问题
1.近年随着全民健身运动的大力推广，2023 年下半年某市举办第二届职工足球比赛.假设共有12 支队伍参
加比赛，12 支队伍分成三个小组，每小组四支球队，每小组进行单循环比赛（小组内的每两支队伍比赛一
场），胜利方得3 分，平局各得1 分，输球方不得分.每小组的前2 名直接进入第二阶段淘汰赛，剩下六支
队伍中成绩最好的前两名也进入第二阶段淘汰赛，一共有八支队伍进入第二阶段淘汰赛，淘汰赛中胜利方
直接进入下一轮，输球方直接淘汰，直到决出冠军､亚军和季军.
(1)问本次比赛一共要打多少场比赛？
(2)假设小组赛时甲所在小组每队实力相当，胜平负都是等可能，记X 表示小组赛时甲队比赛得分，求X 的
分布列及数学期望.
2.来自微碧江的报道：2023 年6 月17 日，铜仁市碧江区第二届房地产交易展示会在三江公园隆重开幕．据
了解，本次房交会以政府搭台、企业让利、政策支持、百姓受益为办展宗旨，聚集了碧江区17 家房开企
业、18 个楼盘参展，2080 套房源、25 万平方米供群众选购，9 大银行和公积金中心在现场助阵和提供咨
询服务．本次房交会从6 月17 日持续到6 月22 日，期间每天都安排有精彩演出、免费美食、互动游戏、
露天电影和游江龙舟五类活动．
(1)甲、乙两名市民参加了不同类的活动，且每人只参加一类活动．已知甲参加了免费美食的活动，求乙参
加游江龙舟活动的概率是多少?
(2)已知来自某小区的市民参加互动游戏的概率是1
10 ，设来自该小区的2 名市民参加互动游戏的人数为，
求的分布列与期望．
3.2023 年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情
况，在某高速公路收费点记录了10 月1 日上午8:20 ~ 9:40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时
间段内共有1000 辆车通过该收费点，为方便统计，时间段8:20 ~ 8:40 记作区间[20,40) ，8:40 ~ 9:00 记
作
40,60 ，9:00 ~ 9:20记作
60,80 ，9: 20 ~ 9: 40记作
80,100 ，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，
已知
2
m
n
，8:20 ~ 9:40 时间段内的车辆数的频数如下表：
时间段
[20,40)
40,60
60,80
80,100
频数
100
300
m
n
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000 辆车中抽取10 辆，再从这10 辆车中随机抽
取4 辆，设抽到的4 辆车中在9：00~9：40 通过的车辆数为X ，求X 的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻
2
~
,
T
N
，其中可用（1）中这
1000 辆车在8:20 ~ 9:40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，
2
可用样本的方差近似代替（同一
组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800 辆车通过该收费点，估计在8:28 ~ 9:22 之间通
过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若
2
~
,
T
N
，则①
0.6827
P
T
；②
2
2
0.9545
P
T
；
③
3
3
0.9973
P
T
.
7.8 随机变量及其分布大题总结
题型一：求离散型随机变量的分布列
1.已知新高考数学共4 道多选题，评分标准是每题满分5 分，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错选
或不选的得0 分．每道多选题共有4 个选项，正确答案往往为2 项或3 项. 为了研究多选题的答题规律，
某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为
1
2，正确答案是“选三项”的概率为
1
2.现有学
生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0 分的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布
列.
2.学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4 次，投中一球得2 分，没有投中得0 分，假设每次投篮投中与
否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是
1
3.
(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4 次投篮后的总得分ξ的分布列
3.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3 需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，
各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2 中至少有1 个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X 的分布列．
4.设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求随机变量�= �－1 的分布列；
(2)求随机变量�= �2的分布列.
5.教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公
平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资
源匮乏的问题，某市教育局拟从5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3 批次进行，
每次支教需要同时派送2 名教师，且每次派送人员均从这5 人中随机抽选．已知这5 名优秀教师中，2 人
有支教经验，3 人没有支教经验．
(1)求5 名优秀教师中的“甲”，在这3 批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数�的分布列；
题型二：求离散型随机变量的均值
1.在当今信息泛滥的时代，很多因素容易分散孩子们的注意力．某儿童注意力训练机构从2~14 岁的学员中
随机抽取了50 名学员，得到相关数据如图所示：
(1)若抽取的这50 名学员的平均年龄为6.2 岁（每组数据以所在区间的中点值为代表），求图中a，b 的值．
(2)从所抽取的年龄在2,4 ，6,8 ，8,10 内的学员中，按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取7 人，再
从这7 人中任选3 人，记这3 人中年龄在6,8 内的学员人数为X，求X 的分布列和数学期望．
2.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴
定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5 项流程，其中前4 项流程选拔均通过，则被确认为有效招
飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4 项流程的概率依次约为
3
4 ,
1
3 ,
2
3 , 1.
假设学生能否通过这5 项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为
2
3 ,
3
5 ,
3
5，设甲､乙､丙三
人能被招飞院校录取的人数为X，求X 的分布列及数学期望.
3.为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”
主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖
学生人数统计如下：
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
(1)从获奖学生中随机抽取1 人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1 人，以�表示这2 人中团体赛获奖的人数，求�的分布列和数学期
望；
4.3 月14 日为国际数学日，也称为π节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数
学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，
两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙
两组通过第一轮比赛的概率分别是
3
4 ,
3
5，通过第二轮比赛的概率分别是
4
5 ,
2
3，且各个小组所有轮次比赛的结
果互不影响.
(1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为�，求�的数学期望；
(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100 分，答错一题
扣100 分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，
且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是
1
3 ,
2
3，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题
中得100 分的情况下甲获胜的概率.
5.杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和
西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销
商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20 元，盲盒外观完全相同，内部
随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可
能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30 元．
(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3 次购买时恰好首次出现与已买到的
吉祥物款式相同的概率；
(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案
二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？
题型三：离散型随机变量的方差、标准差
1.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院
将此药给10 位病人服用，试验方案为：若这10 人中至少有2 人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；
否则，则认为该药无效．
(1)如果在该次试验中有5 人痊愈，院方欲从参加该次试验的10 人中随机选2 人了解服药期间的感受，记
抽到痊愈的人的个数为X，求X 的概率分布．
(2)在第（1）题的条件下求随机变量X 的期望与方差．
(3)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率P 并根据P 的值解释该试
验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）．
2.某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30 天的新闻点击量变化数据，如下表所示.
在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，
即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相
同.
时段
新闻点击量
第1 天到第15 天
↑
-
↑
↓
↑
-
↓
↑
-
↓
↑
↓
-
↓
↓
第16 天到第30 天
-
↑
-
↑
-
↑
↓
↑
↓
↑
-
↓
↑
↓
↑
用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；
(2)从样本中的前15 天和后15 天中各随机抽取1 天，记�表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求�
的分布列和数学期望��；
(3)从样本给出的30 天中任取1 天，用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”，“�= 0”表示该天新闻点击量“下
降”或“不变”，然后继续统计接下来的10 天的新闻点击量，其中有6 天“上涨”、3 天“下降”、1 天“不变”，
相应地，从这40 天中任取1 天，用“�= 1”表示该天新闻点击量“上涨”，“�= 0”表示该天新闻点击量“下降”
或“不变”，直接写出方差��，��大小关系.
3.为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000 名顾客进行回访，调查结果如表：
运动鞋款式
A
B
C
D
E
回访顾客（人数）
700
350
300
250
400
满意度
0.4
0.5
0.6
0.5
0.6
注：
1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，
用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1 人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1 人，设其中满意的人数为�，求�的分布列和数学期
望；
(3)用“�= 1”和“�= 0”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“�= 1”和“�= 0”分别表示对B 款运动满
意和不满意，试比较方差�(�)与�(�)的大小.
4.为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质
均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中
学打算从各年级推荐的总共6 名老师中任选3 名去参加“送教下乡”的活动．这6 名老师中，英语老师､化学
老师､数学老师各2 名．
(1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；
(2)设�表示选出的3 人中数学老师的人数，求�的均值与方差．
5.为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班∼(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：
每班随机各抽10 名学生进行身体素质监测.经统计，每班10 名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散
点图如下（�轴表示对应的班号，�轴表示对应的优秀人数）：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1 人，求该生身体素质监测成
绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1 人，设�表示2 人中身体素质监测成绩达
到优秀的人数，求�的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10 名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中
分别随机抽取1 名同学，用“��= 1”表示第�班抽到的这名同学身体素质优秀，“��= 0”表示第�班抽到的这
名同学身体素质不是优秀（�= 1,2, . . . , 8）．写出方差��1 , ��2 , ��3 , ��4 的大小关系（不必写出证明
过程）．
题型四：二项分布的均值与方差
1.在某次猜灯谜活动中，共有20 道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜对
概率为0.6，乙同学猜对概率为0.4，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
(1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率；
(2)任选2 道灯谜，恰好甲猜对了2 次乙猜对1 次的概率；
(3)记20 道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为X，求X 的期望．
2.我校高二年级决定从2024 年起实现新的奖励评审方案，方案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，
决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：每名学生抛掷一枚质地均匀的股子，连续抛掷两次.约定“如
果两次的点数恰好有一次的点数能被3 整除，则按方式I 回答问卷，否则按方式II 回答问卷”
方式I：若第一次点数能被3 整除，则在问卷中画“△”，否则画“×”
方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“×”.
当所有学生完成问卷调查后，统计画△，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新
奖励评审方案的满意度的估计值.其中满意度=（满意的学生数/学生总数）× 100%.
(1)若高二年级-共有900 名学生，用X 表示其中用方式1 回答问卷的人数，求X 的数学期望；
(2)若高二年级的调查问卷中，画△与画×的人数的比例为5：4，试估计学生对新的奖励评审方案的满意度.
3.第19 届亚运会于9 月23 日至10 月8 日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献
亚运的浓厚氛围举办“心心相融·爱答亚运”知识挑战赛．挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战者和守擂者
轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜．若赛制要求挑战者先答题，守擂者和挑战者每次
答对问题的概率都是0.5，且每次答题互不影响．
(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少?
(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少?
(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8 位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之
二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利．若再增加1 位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?
并说明理由．
4.某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同
方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为了比较某项指标�的对比情况，随机地
抽取了部分甲生产线上产品该项指标的�值，并计算得到其平均数�ത= 74，中位数�= 72，随机地抽得乙
生产线上100 件产品该项指标的�值，并绘制成如下的频率分布直方图．
(1)求乙生产线的产品指标�值的平均数�ത与中位数�（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生
产线较甲生产线的产品指标�值是否更好（如果|�ത−�| < |�ത−�|，则认为乙生产线的产品指标�值较甲生产
线的产品指标�值更好，否则不认为更好）．
(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5 件产品，抽出指标�值不小于70 的产品个数用�表示，求�
的数学期望与方差．
5.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号�次，每次发射信号“0”和“1”是等可能
的.记发射信号1 的次数为�.
(1)当�= 6 时，求��≤2
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量�，若其数学期望��和方差��均存在，则对任意正实数�，
有��−��
< �≥1 −
��
�2 .根据该不等式可以对事件“ �−��
< �”的概率作出下限估计.为了至少
有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4 与0.6 之间，试估计信号发射次数�的最小值.
题型五：超几何分布的均值与方差
1.假设某市大约有800 万网络购物者，某电子商务公司对该地区n 名网络购物者某年度上半年前6 个月内
的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.5,1.1]内，其频率分布直方图如图所示，
若频率分布直方图中的a，b，c，d 满足�= �+ 0.5 = �+ 1 = �+ 1.5，且从左到右6 个小矩形依次对应第
一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d 的值；
(2)现用分层抽样方法从前4 组中选出18 人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2 组所抽取的人中，再随机抽取3 人，记这3 人来自第一组的人数为X，求随机变量X 的分布列与
数学期望．
2.某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4 个黑球，3 个红球，1
个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3 个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有�
个红球，则分得�个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
3.近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8 道谜语中一次性抽出4 道作答．小张
有6 道谜语能猜中，2 道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为�(0 < �< 1)，且猜中每道谜语与否
互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求�的取值范围．
4.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参
与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4 人，女生2 人，现从中随机
选取2 人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X 的分布列及期望��、方差��.
5.某区域中的物种�拥有两个亚种（分别记为�种和�种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研
究小组计划在该区域中捕捉100 个物种�，统计其中�种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试
验结果.重复进行这个试验共20 次，记第�次试验中�种的数目为随机变量�� (�= 1,2, ⋯, 20).设该区域中�
种的数目为�，�种的数目为�，每一次试验均相互独立.
(1)求�1的分布列；
(2)记随机变量�ഥ=
1
20
�=1
20 ��
σ
.已知�(��+ ��) = �(��) + �(��)，�(��+ ��) = �(��) + �(��)；
（ⅰ）证明：�(�ഥ) = �(�1)，�(�ഥ) =
1
20 �(�1)；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到��的实际取值分别为�� (�= 1,2, ⋯, 20).数据�� (�= 1,2, ⋯, 20)的平均值
�ത= 40，方差�2 = 1.176.采用�ത和�2分别代替�(�ഥ)和�(�ഥ)，给出�，�的估计值.
题型六：离散型随机变量的均值与方差与其他知识综合
1.如图是2023 年11 月1 日到11 月20 日，某地区甲流疫情新增数据的走势图．
(1)从这20 天中任选1 天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100 的概率；
(2)从新增确诊的人数超过100 的日期中任选两天，用�表示新增确诊的人数超过140 的天数，求�的分布
列和数学期望；
(3)记每天新增确诊的人数为�，每天新增疑似的人数�，根据这20 天统计数据，试判断��与��的大小关
系（结论不要求证明）．
2.为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设，某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞
赛设置6 个不同的题目，参赛人员从中随机抽取3 个题目进行作答，若所抽取的3 个题目全部作答正确，
则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这6 个题目，某科室的甲能正确作答其中的4 个题目，乙能正确作
答每个题目的概率均为
2
3，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的．
(1)已知甲乙两人总共正确作答3 个题目，求甲答对1 道乙答对2 道的概率；
(2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由．
3.杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966 年率先提出，1972 年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水
稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展.截至2021 年5 月22 日，中国国家水稻数
据中心收录杂交水稻品种超1000 种.如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和第80 百分位数；
(2)以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，
检验规定如下：①检验次数不超过5 次；
②若检验出3 个生育期超过中位数的稻种则检验结束.
设检验结束时，检验的次数为X，求随机变量X 的分布列、期望和方差.
4.某数学学习小组的5 位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试
的成绩如下表所示（满分100 分）
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
第一次
82
89
78
92
81
第二次
83
90
75
95
76
(1)在5 位学生中依次抽取3 位学生．在前2 位学生中至少有1 位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，
求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
(2)设��（�= 1，2，…，5）表示第i 位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5
位学生中随机选取2 位，得到数据��, ��(1 ≤�, �≤5, �≠�)，定义随机变量X 如下：�=
0,
0 ≤��−��< 3,
1,
3 ≤��−��< 6,
2,
��−��≥6,
求X 的分布列和数学期望EX 和方差．
5.随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解�、�两个旅游景点游客的满意度，某研究性学
习小组采用随机抽样的方法，获得关于�旅游景点的问卷100 份，关于�旅游景点的问卷80 份.问卷中，对
景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差评，对应分数分别为：4 分、3 分、2 分、1 分，数据统
计如下：
非常满意
满意
一般
差评
�景点
50
30
5
15
�景点
35
30
7
8
假设用频率估计概率，且游客对�，�两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有（人数足够多）在�旅游景点的游客中随机抽取2 人，从所有（人数足够多）在�旅游景点的游
客中随机抽取2 人，估计这4 人中恰有2 人给出“非常满意”的概率；
(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择�、�哪个旅游景点?说明理由.
题型七：正态分布
1.为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化
课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10 名学生进行体质测试，
得到如下表格：
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩
ix （分）
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
记这10 名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，
2s ，经计算
10
2
1
1
1690
i
x
x
，
10
2
1
33050
i
i
x
．
(1)求x ；
(2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布
2
,
N
，用x ，
2s 的值分别作为，
2
的近似值，
若监测中心计划从全市抽查100 名高中生进行体质测试，记这100 名高中生的体质测试成绩恰好落在区间
30,82 的人数为Y ，求Y 的数学期望
( )
E Y ．
附：若
2
~
,
N
，则(
)
0.6827
P
，
(
2
2 )
0.9545
P
，
3
3
0.9
(
)
973
P
．
2.新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展．某企业为了提高新能源汽车品
控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程．现从该企业生产的该零件中随机抽取100
件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表．
质量差（单位：mg）
56
67
70
78
86
件数（单位：件）
10
20
48
19
3
(1)求样本平均数x 的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差X 近似服从正态分布
2
,
N
，
其中
2
36
，用样本平均数x 作为的近似值，求概率
64
82
P
X
的值；
(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1 条生产线的生产效率是第2 条生产线的生产效率的两
倍．若第1 条生产线出现废品的概率约为0.015，第2 条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产
线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽
取一件，求该零件为废品的概率．
参考数据：若随机变量服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827
P
，
2
2
0.9545
P
，
3
3
0.9973
P
．
3.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如
下：得分在
70,80 内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在
90,100 内的学生获一等奖，
其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制
了如图所示的样本频率分布直方图.
(1)估计这100 名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若该市共有10000 名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布
2
,
N
，其中
14
，
为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78 分的学生人数（结果四舍五入到整数）.
附：若随机变量X 服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827
P
X
，
2
2
0.9545
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
.
4.某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究.
(1)该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的体温（单位：C
）
近似服从正态分布
37.6,0.16
N
，流感患者甲服用了该退烧药，设一天后他的体温为X，求
37.2
38.4
P
X
；
(2)数据显示人群中每个人患有该流感的概率为1%，该医疗机构使用研发小组最新研制的试剂检测病人是
否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80%，即一个患有该流感的病人有80%的可能
检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有80%的可能检测结果为阴性.
（i）若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率；
（ii）若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率.
附：
2
~
,
X
N
，则
0.6827
P
X
，
2
2
0.9545
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
.
5.“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内
容，建立纵向到底、横向到边的网络学习平台.“学习强国”学习平台提供权威、准确、详尽、丰富的学习资
源，通过组织管理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习.某校团委组织全体
教职工参加“学习强国”知识竞赛.现从全校教职工中随机抽取100 人，对他们的分数（满分：100 分）进行
统计，按
50,60 ，
60,70 ，
70,80 ，
80,90 ，
90,100 分成5 组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)现从这100 人中随机抽取2 人，记其中得分不低于90 分的人数为X，求随机变量X 的分布列和期望.
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y 服从正态分布
2
,
N
，其中近似为样本平
均数，
2
近似为样本方差.经计算知样本分数的平均数
76
Y
，样本分数的方差
2 135
s
.已知该校教职工共
有1000 人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61 分的教职工人数.
参考公式：若随机变量Z 服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827
P
Z
≤
≤
，
2
2
0.9545
P
Z
≤
≤
，
3
3
0.9973
P
Z
.
参考数据：15
3.87
.
6.某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000 名学生中随机选出40 名学生统计成绩，其中24 名女生平均
成绩为70 个，标准差为4；16 名男生平均成绩为80 个，标准差为6.
(1)高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布
2
,
N
，若用这40名参赛的同学的样本平均数x
和标准差s（四舍五入取整数）分别作为，，估计高一年级颠球成绩不超过60 个的人数（四舍五入取
整数）；
(2)颠球比赛决赛采用5 局3 胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获胜的概率为2
3 ，在甲获
胜的条件下，求其前2 局获胜的概率.
附：若
2
~
,
X
N
，则
0.6827
P
X
，
2
0.9545
P
X
，
3
0.9973
P X
.
7.学习强国是由中共中央宣传部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，建立纵
向到底､横向到边的网络学习平台．学习强国APP 提供权威、准确、详尽、丰富的学习资源，通过组织管
理和积分奖励等方法，实现“有组织、有管理、有指导、有服务”的学习．某校团委组织全体教职工参加“学
习强国”竞赛．现从全校教职工中随机抽取100 人，对他们的分数（满分：100 分）进行统计，按
50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ，分成5 组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)现从这100 人中随机抽取2 人，记其中得分不低于90 分的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加竞赛人员的分数Y 服从正态分布
2
,
N
，其中近似为样本平
均数，
2
近似为样本方差．已知该校教职工共有1200 人，估计该校这次竞赛分数不低于87.61 分的教职
工人数（结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
参考公式：若随机变量Z 服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827,
2
2
0.9545,
P
Z
P
Z
3
3
0.9973
P
Z
.
参考数据：15
3.87
.
