7.3 离散型随机变量的数字特征
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：离散型随机变量的均值.................................................... 2
考点二：两点分布的均值............................................................. 2
考点三：离散型随机变量的方差、标准差.........................................2
考点四：离散型随机变量方差的性质...............................................3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：求离散型随机变量的均值..................................................3
题型二：均值的性质................................................................... 8
题型三：两点分布的均值........................................................... 10
题型四：由均值求参数.............................................................. 12
题型五：求离散型随机变量的方差、标准差.................................... 15
题型六：方差的性质................................................................. 20
题型七：两点分布的方差........................................................... 23
题型八：分布列、均值、方差的综合应用....................................... 25
模块三：综合巩固....................................................................... 36
7.3 离散型随机变量的数字特征
模块一：基础知识
考点一：离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝
i
n
i
i p
x
1
为随机变量X 的均值或数学期望．
2．离散型随机变量的均值的意义
①均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了
随机变量取值的平均水平．
②E(X)是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而E(X)是
不变的，它描述X 取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
3．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b 均是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，X 是随机变量，那么Y 也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)
＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y 的分布列为
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)
＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
考点二：两点分布的均值
如果随机变量X 服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
考点三：离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X 的分布列如表所示．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
我们用X 所有可能取值xi 与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的
加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E(X)的偏离程度．
我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝
i
n
i
i
p
X
E
x
1
2
为随机变量X 的方差
(variance)，有时也记为Var(X)，并称DX为随机变量X 的标准差(standard deviation)，记为σ(X)．
考点四：离散型随机变量方差的性质
1．设a，b 为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c 为常数)．
3.若X 服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
模块二：题型分类
题型一：求离散型随机变量的均值
1.已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
2
3
P
3
5
3
10
1
10
则X 的数学期望EX
A．3
2
B．2
C．5
2
D．3
【答案】A
【详解】
3
3
1
15
3
1
2
3
5
10
10
10
2
EX
,故选A．
【考点定位】离散型随机变量的期望
2.已知随机变量X 服从两点分布，
0.7
E X
，则其成功概率为（
）
A．0
B．1
C．0.3
D．0.7
【答案】D
【分析】直接利用两点分布的性质，即可得出结论,
【详解】随机变量X 服从两点分布，设成功的概率为p ，
0
1
1
0.7
E X
p
p
p
.
故选：D.
3.设随机变量X 的分布列为P(X= 4
k )=ak(k=1，2，3，4)，a 为常数，则
A．a= 1
5
B．P(X> 1
2 )= 7
10
C．P(X<4a)= 1
5
D．E(X)= 1
2
【答案】B
【分析】利用概率的性质列方程可求得
1
10
a
，根据分布列和期望公式可求出
1
P(X>
)
2 、
2
(
)
5
P X
、(
)
E X ，
从而可得答案.
【详解】因为a(1+2+3+4)=1，所以a= 1
10 ，
所以P(X> 1
2 )= 3
10 + 4
7
10
10
，
P(X<4a)=P(X< 2
5 )= 1
10 ，
E(X)= 1
4 × 1
10 + 2
4 × 2
10 + 3
4 × 3
10 + 4
4 × 4
3
10
4
.
故选：B.
【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.
4.为了备战2023 斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，
热身进行到有一人比对方多2 分或打满6 局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为
2
3，赵心童在每局中获
胜的概率为
1
3，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为�，则��=（
）
A．
5
9
B．
266
81
C．
20
81
D．
2
9
【解题思路】依题意得到�的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可.
【解答过程】由题意得，随机变量�的可能取值是2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为
�
�
�
+
�
�
�
=
�
�，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1 分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止
没有影响，
所以��= �=
�
�，��= �=
�
�×
�
�=
��
��，��= �=
�
�
�
=
��
��，
所以期望为�(�) = �×
�
�+ �×
��
��+ �×
��
��=
���
��．
故选：B．
5.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5 元，售价是每束5 元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6 元进行处
理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这
种鲜花500 束，则利润的均值是（
）
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A．706 元
B．690 元
C．754 元
D．720 元
【解题思路】先求得节日期间这种鲜花需求量的均值，再由利润�＝�. ��−���，利用均值的性质求解.
【解答过程】节日期间这种鲜花需求量的均值为��＝���× �. ��+ ���× �. ��+ ���× �. ��+ ���×
�. ��＝���(束)．
设利润为Y，则�＝��+ �. �× (���−�) −���× �. �= �. ��−���，
所以��＝�. ���−���= �. �× ���−���= ���(元)．
故选：A.
6.2022 年7 月24 日14 时22 分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B 遥三运载火箭成功发
射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M 大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和
复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给
予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50 元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100 元的奖品．现有A，
B，C 三名学生报名参加了这次竞赛，已知A 通过初赛、复赛的概率分别为
1
2，
1
3；B 通过初赛、复赛的概率
分别为
2
3，
1
2，C 通过初赛和复赛的概率与B 完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X 元，则X 的数
学期望为（
）
A．300 元
B．
1000
3 元
C．350 元
D．
2000
3 元
【解题思路】求出X 的可能取值及对应的概率，得到数学期望.
【解答过程】由题知X 的所有可能取值为150，250，350，450，
��= ���=
�
�×
�
�×
�
�=
�
��，
��= ���=
�
�×
�
�×
�
�+ �×
�
�×
�
�×
�
�=
�
��，
��= ���= �×
�
�×
�
�×
�
�+
�
�×
�
�×
�
�=
�
�，
��= ���=
�
�×
�
�×
�
�=
�
�，
所以数学期望��= ���×
�
��+ ���×
�
��+ ���×
�
�+ ���×
�
�=
����
�（元）．
故选：B．
7.一袋中装有编号分别为1，2，3，4 的4 个球，现从中随机取出2 个球，用X 表示取出球的最大编号，
则
E X
（
）
A．2
B．3
C．10
3
D．11
3
【答案】C
【分析】由题意随机变量X 所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X 的分布列，
再计算期望即可.
【详解】由题意随机变量X 所有可能取值为2，3，4.
且
2
4
1
1
(
2)
C
6
P X
，
1
2
2
4
C
1
(
3)
C
3
P X
，
1
3
2
4
C
1
(
4)
C
2
P X
.
因此X 的分布列为：
X
2
3
4
P
1
6
1
3
1
2
则
3
1
1
1
2
3
4
6
3
10
2
E X
，
故选：C.
8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的
颜色，这两次取出白球数X 的均值为（
）
A．1
B．
1
2
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
按步骤写出分布列，再利用均值公式即可.
【详解】
由题意可得，随机变量X 的所有可能值为0，1，2．
1
1
1
1
1·
1
2
2
C ·C
1
0
C C
4
P X
，
1
1
1
1
1
1
2
2
2C ·C
1
1
C ·C
2
P X
，
1
1
1
1
1
1
2
2
C ·C
1
2
C ·C
4
P X
．
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
P
1
4
1
2
1
4
1
1
1
(
)
0
1
2
1
4
2
4
E X
．
故选：A.
9.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用
身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的
概率是0.5，且规定猜对得1 分，猜错得0 分，则这两个同学各猜1 次，得分之和X 的均值（
）
A．0.9
B．0.8
C．1.2
D．1.1
【答案】A
【分析】按步骤写出分布列，再利用均值公式即可.
【详解】依题意得，X 的可能取值为0，1，2，
(
0)
(1 0.4) (1 0.5)
0.3
P X
，
(
1)
0.4 (1 0.5)
(1 0.4) 0.5
0.5
P X
，
(
2)
0.4
0.5
0.2
P X
．
可得X 的分布列如表所示：
X
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
(
)
0 0.3 1 0.5
2 0.2
0.9
E X
.
故选：A．
10.某市有�, �, �, �四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 � 的概率为
2
3，游览�, �, �的概率都是
1
2，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量 � 表示该游客游览的景点个数，错误的是（
）
A．该游客至多游览一个景点的概率为
1
4
B．�(�= 2) =
3
8
C．�(�= 4) =
1
24
D．�(�) =
13
6
【解题思路】确定�的所有可能取值为0，1，2，3，4．结合独立事件概率公式、互斥事件概率公式计算
出相应的概率，再求出期望，然后判断各选项．
【解答过程】�的所有可能取值为0，1，2，3，4．
则�(�= �) =
�−
�
�
�−
�
�
�−
�
�
�−
�
�=
�
��，
�(�= �) =
�
�× �−
�
�
�
+ �−
�
�× C�
�×
�
�× �−
�
�
�
=
�
��，
所以该游客至多游览一个景点的概率为�(�= �) + �(�= �) =
�
��+
�
��=
�
�，故A 正确．
�(�= �) =
�
�× C�
�×
�
�× �−
�
�
�
+ �−
�
�× C�
�×
�
�
�
× �−
�
�
�
=
�
�，故B 正确．
�(�= �) =
�
�×
�
�
�
=
�
��，故C 错误．
又�(�= �) =
�
�× C�
�×
�
�
�
× �−
�
�
�
+ �−
�
�× C�
�×
�
�
�
=
�
��，
所以�(�) = �×
�
��+ �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
��+ �×
�
��=
��
�，故D 正确．
故选：C．
题型二：均值的性质
1.随机变量X 的分布列如表，则
2
3
E
X
的值为（
）
X
1
2
3
P
0.2
A
0.4
A．4.4
B．7.4
C．21.2
D．22.2
【答案】B
【分析】
根据期望公式求
E X ，然后由期望性质可得.
【详解】由0.2
0.4
1
A
得
0.4
A
，
所以
1 0.2
2 0.4
3 0.4
2.2
E X
，
所以
2
3
2 (
)
3
2 2.2
3
7.4
E
X
E X
.
故选：B
2.已知
( )
6
E Y
，
4
2
Y
X
，则
(
)
E X
．
【答案】2
【分析】利用期望的性质即可得解.
【详解】∵
4
2
Y
X
，
( )
4 (
)
2
E Y
E X
又
( )
6
E Y
，∴4 (
)
2
6
E X
，解得
(
)
2
E X .
故答案为：2
3.若随机变量
3
Y
aX
，且
7
( )
3
E Y
，
1
(
)
3
E X
，则
a
．
【答案】2
【分析】
3
Y
aX
，则
( )
(
)
3
E Y
aE X
，利用此来计算即可.
【详解】∵
7
( )
3
E Y
，
1
(
)
3
E X
，
3
Y
aX
,则
( )
(
)
3
E Y
aE X
，即7
1
3
3
3
a
，解得
2
a
.
故答案为：2
4.设离散型随机变量X 的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则
(
)
2
3
E
X
=（
）
A．2
B．1
C．-1
D．-2
【答案】C
【分析】套公式直接求出
(
)
E X 和
(
)
2
3
E
X
.
【详解】因为离散型随机变量X 的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，
所以
0 0.2 1 0.6
2 0.2
1
E X
,
所以
2
3
2
3
2 1 3
1
E
X
E X
.
故选：C
5.已知离散型随机变量X 服从两点分布，且
(
0)
3
4 (
1)
P X
P X
，则随机变量
3
1
Y
X
的期望
为
．
【答案】1
【分析】根据条件，求出
1
2
(
0)
,
(
1)
3
3
P X
P X
，进而得到
2
(
)
3
E X
，即可求出结果.
【详解】因为随机变量X 服从两点分布，所以
(
0)
(
1)
1
P X
P X
，
又
(
0)
3
4 (
1)
P X
P X
，得到
1
2
(
0)
,
(
1)
3
3
P X
P X
，
所以
1
2
2
(
)
0
1
3
3
3
E X
，故
( )
(3
1)
3 (
) 1
2 1 1
E Y
E
X
E X
，
故答案为：1.
6.已知随机变量X 的分布列为：
X
1
2
3
4
P
p
2
3
1
p
p
p
3
p
2
p
其中
(0,1)
p
，随机变量X 的期望为
E
X ，则当
E
X 取得最小值时，p
．
【答案】
7
2
3
【分析】根据随机变量的均值计算公式可得
(
)
E X
3
2
2
2
p
p
p
，利用导数研究
3
2
2
2(0
1)
y
p
p
p
p
的单调性，进而即可得出结果.
【详解】由题意得，
2
3
3
2
(
)
2(1
)
3
4
E X
p
p
p
p
p
p
3
2
2
2
p
p
p
，
令
3
2
2
2(0
1)
y
p
p
p
p
，则
2
3
4
1
y
p
p
，
令
7
2
0
0
3
y
p
，令
7
2
0
1
3
y
p
，
所以函数
3
2
2
2
y
p
p
p
在
7
2
(0,
)
3
上单调递减，在
7
2
(
,1)
3
上单调递增，
所以函数在
7
2
3
p
处取得最小值，
即当
7
2
3
p
时
(
)
E X 取得最小值.
故答案为：
7
2
3
.
7.已知随机变量��> 0 满足�2 −3�+ �2 �= 6，则��=（
）
A．−1 或4
B．2
C．3
D．4
【解题思路】根据均值的性质可得��−��= ���，则��−��+ ���= �即为���−���−�=
�，解方程求得答案.
【解答过程】因为��−��+ ���= �，所以���−���−�= �，
解得��= �或��=−�（舍去）,
故选：D.
8.若�，�是离散型随机变量，且�= ��+ �，其中�，�为常数，则有��= ���+ �.利用这个公式计算
���−�=（
）
A．0
B．1
C．2
D．不确定
【解题思路】由期望的运算性质直接求解即可.
【解答过程】∵��是常数，∴���−�= ��+ �−�= ��−��= �.
故选：A.
题型三：两点分布的均值
1.若随机变量X 服从两点分布，其中
1
0
3
P X
，则以下正确的是（
）
A．
1
3
E X
B．
4
2
3
3
E
X
C．
8
2
2
3
E
X
D．
7
2
1
3
E
X
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断.
【详解】因为随机变量X 服从两点分布，且
1
0
3
P X
，则
2
1
3
P X
，
故
1
2
2
0
1
3
3
3
E X
，故A 错误；
13
2
3
2 (
)
3
3
E
X
E X
，故B 错误；
10
2
2
2 (
)
2
3
E
X
E X
，故C 错误；
7
2
1
2 (
) 1
3
E
X
E X
，故D 正确.
故选：D.
2.设随机变量X 服从两点分布，若
1
0
0.4
P X
P X
，则
E X
（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【答案】D
【分析】由题意可得
(
1)
(
0)
1
P X
P X
，再结合
1
0
0.4
P X
P X
，可求出
(
1),
(
0)
P X
P X
，
从而可求出
E X
【详解】由题意得
(
1)
(
0)
1
P X
P X
，
因为
1
0
0.4
P X
P X
，
所以解得
(
1)
0.7,
(
0)
0.3
P X
P X
，
所以
1 0.7
0 0.3
0.7
E X
，
故选：D
3.已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，满足
2
0
9
1
P X
P X
，且
0
1
P X
P X
，则
E X
（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．1
4
【答案】C
【分析】根据两点分布的性质可得
0
1
1
P X
P X
，结合题意求得
1
P X
，再根据两点分布的
期望公式即可得解.
【详解】解：因为随机变量X 的分布列服从两点分布，
所以
0
1
1
P X
P X
，
则
2
1
1
9
1
P X
P X
，解得
1
1
3
P X
或2
3 ，
又因
0
1
P X
P X
，
所以
2
1
3
P X
，则
1
0
3
P X
，
所以
2
3
E X
.
故选：C.
题型四：由均值求参数
1.若随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
1
3
a
b
且
1
E X ，则b 的值为（
）
A．1
3
B．0
C．
1
2
D．2
3
【答案】A
【分析】由随机变量X 的分布列的性质和数学期望公式得出答案.
【详解】根据所给的分布列，可得1
1
3
a
b
，
由
1
E X ，可得
1
0
1
2
1
3
E X
a
b
，解得
1
3
a
b
.
故选: A.
2.已知随机变量X，Y 满足�= 2�+ 3，Y 的期望��=
7
3，X 的分布列为：
X
−1
0
1
P
1
2
a
b
则a，b 的值分别为（
）
A．�=
1
6 , �=
1
3
B．�=
1
4 , �=
1
4
C．�=
1
3 , �=
1
6
D．�=
3
8 , �=
1
8
【解题思路】根据期望的性质可求得��，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解.
【解答过程】解：因为��= ���+ �=
�
�，
所以��=−
�
�，
则有
−�×
�
�+ �× �+ �× �=−
�
�
�
�+ �+ �= �
，
解得�=
�
�, �=
�
�.
故选：C.
3.甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），
且每一局甲赢的概率都是�，随机变量�表示最终的比赛局数，若�的数学期望为
22
9 ，则�=（
）
A．
1
4
B．
1
2
C．
3
4
D．
1
3或
2
3
【解题思路】由三局两胜的比赛制度可得随机变量�可能的取值为2 和3，分别求出概率，列出分布列，
利用离散型随机变量的期望公式计算求得�的值．
【解答过程】随机变量�可能的取值为2，3．
��= �= C�
���+ C�
��−��= ���−��+ �，
��= �= C�
���−��+ C�
���−�
�−�= ��−���，
故�的分布列为：
�
2
3
�
���−��
+ �
��
−���
故��= �× ���−��+ �+ �× ��−���=−���+ ��+ �，
由−���+ ��+ �=
��
�，解得�=
�
�或
�
�．
故选：D．
4.设离散型随机变量�可能的取值为1，2，3，4，��= �= ��+ �，若�的均值��= 3，则�−�等于
（
）
A．
1
10
B．0
C．−
1
10
D．
1
5
【解题思路】将�= �，2，3，4 代入��= �的表达式，利用概率之和为1 列方程，利用期望值列出第
二个方程，联立方程组，可求解得�+ �的值.
【解答过程】依题意可的�的分布列为：
�
1
2
3
4
�
�
+ �
��
+ �
��
+ �
��
+ �
依题意得
�+ �+ ��+ �+ ��+ �+ ��+ �= �
�+ �+ ���+ �+ ���+ �+ ���+ �= �，解得�=
�
��，�= �，
故�+ �=
�
��.
故选：A.
5.某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3 次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3 次上机
考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为��≠0 ，考试次数为X，若X 的数学期望��> 1.75，
则p 的取值可能是（
）
A．
1
2
B．
5
12
C．
7
12
D．
3
4
【解题思路】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X 的分布列，根据数学期望的公式即可计算
p 的范围.
【解答过程】考试次数�的所有可能取值为1，2，3，
��= �= �，��= �= �−��，��= �= �−��，
∴��= �+ ��−��+ ��−��> �. ��，
即���−���+ �> �，解得�<
�
�或�>
�
�，
又�< �< �，故�< �<
�
�．
6.甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），
且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若X 的数学期望为22
9 ，则p （
）
A．1
4
B．1
2
C．3
4
D．1
3 或2
3
【答案】D
【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量X 可能的取值为2 和3，分别求出概率，列出分布列，利用
离散型随机变量的期望公式计算求得p 的值．
【详解】随机变量X 可能的取值为2，3．
2
2
2
2
2
2
2
2
C
C
1
2
2
1
P X
p
p
p
p
，
1
1
2
2
2
3
C
1
C
1
1
2
2
P X
p
p p
p
p
p
p
p
，
故X 的分布列为：
X
2
3
P
2
2
2
1
p
p
2
2
2
p
p
故
2
2
2
2
2
2
1
3
2
2
2
2
2
E X
p
p
p
p
p
p
，
由
2
22
2
2
2
9
p
p
，解得
1
3
p
或2
3 ．
故选：D．
7.某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3 次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3 次上机
考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为
0
p p
，考试次数为X，若X 的数学期望
1.75
E X
，
则p 的取值可能是（
）
A．
1
2
B．5
12
C．7
12
D．3
4
【答案】B
【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X 的分布列，根据数学期望的公式即可计算p 的
范围.
【详解】考试次数X 的所有可能取值为1，2，3，
1
P X
p
，
2
1
P X
p p
，
2
3
1
P X
p
，
∴
2
2 1
3 1
1.75
E X
p
p p
p
，
即
2
4
12
5
0
p
p
，解得
2
p
或
5
2
p
，
又0
1
p
，故
1
0
2
p
．
故选：B.
题型五：求离散型随机变量的方差、标准差
1.若随机变量X 的分布列如表，则X 的方差
D X 是（
）
X
1
0
1
P
1
4
1
2
1
4
A．0
B．1
C．1
4
D．
1
2
【答案】D
【分析】根据分布列利用期望与方差的公式计算即可得解.
【详解】解：
1
1
1
1
0
1
0
4
2
4
E X
，
则
2
2
2
1
1
1
1
1 0
0
0
1 0
4
2
4
2
D X
.
故选：D.
2.已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若
0
EX
，
1
DX ，则
a
，b
．
X
1
0
1
2
P
a
b
c
1
12
【答案】
5
12
1
4
【详解】试题分析：由分布列性质可得
11
12
a
b
c
1
0
6
EX
a
c
，
2
2
2
1
1
1
0
2
1
12
a
c
5
1
,
12
4
a
b
考点：分布列期望方差
点评：在分布列中各概率之和为1，借助于分布列结合期望方差公式可计算这两个量
3.小明参加某射击比赛，射中得1 分，未射中扣1 分，已知他每次能射中的概率为2
3 ，记小明射击2 次的
得分为X，则
D X （
）
A．8
9
B．16
9
C．20
9
D．26
9
【答案】B
【分析】先找出X 的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.
【详解】由题意可知，X 的取值可能为2
，0 ，2 ，
因为
2
2
4
2
3
3
9
P X
，
1
1
1
2
3
3
9
P X
，
1
2
2
1
4
0
C
3
3
9
P X
，
所以
4
1
4
2
2
2
0
9
9
9
3
E X
，
故
2
2
2
2
4
2
1
2
4
16
2
2
0
3
9
3
9
3
9
9
D X
．
故选：B.
4.某离散型随机变量X 的分布列如下，若
3
(
)
4
E X
，
7
(
1)
12
P X
，则
(
)
D X （
）
X
1
0
1
2
P
a
b
c
1
3
A．15
16
B．9
8
C．5
4
D．19
16
【答案】D
【分析】可由斜率之和为1，
3
(
)
4
E X
，
7
(
1)
12
P X
，构建, ,
a b c 的等式求出, ,
a b c ，再用方差公式求方
差即可.
【详解】分布列的概率之和为1，
1
1
3
a
b
c
，即
2
3
a
b
c
①．
1
3
1
0
1
2
3
4
E X
a
b
c
，
1
12
a
c
②．
1
7
1
3
12
P X
c
，
1
4
c
，
依次代入②､①，解得
1
1
,
6
4
a
b
，
则
2
2
2
2
3
1
3
1
3
1
3
1
19
1
0
1
2
4
6
4
4
4
4
4
3
16
D X
．
故选：D．
5.已知随机变量X 的分布列如下表（其中a 为常数）则下列计算结果正确的是（
）
X
0
1
2
3
P
0.2
a
0.4
0.1
A．
0.2
a
B．
1
0.7
P X
C．
1.4
E X
D．
6.3
D X
【答案】C
【分析】A.根据分布列由概率之和为1 求解判断；B.由
(
1)
(
0)
(
1)
P X
P X
P X
求解判断；C.由期望
公式求解判断；D.由方差公式求解判断.
【详解】因为0.2
0.4
0.1
1
a
，解得
0.3
a
，故A 错误；
由分布列知
(
1)
0.2
0.3
0.5
P X
，故B 错误；
0 0.2 1 0.3
2 0.4
3 0.1
1.4
E X
，故C 正确；
2
2
2
2
0 1.4
0.2
1 1.4
0.3
2 1.4
0.4
3 1.4
0.1
0.84
D X
，故D 错误．
故选：C．
6.甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次
投篮甲、乙命中的概率分别为
1
3，
3
4.在前3 次投篮中，乙投篮的次数为�，求随机变量�的概率分布、数学期
望和方差．
【解题思路】求出�的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与方差的概念即可求出结果.
【解答过程】依题意，�的所有可能取值为0,1,2，
�(�= �) =
�
�×
�
�=
�
�；�(�= �) =
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
�
��；�(�= �) =
�
�×
�
�=
�
�，
所以�的概率分布为：
�
0
1
2
P
�
�
�
��
�
�
数学期望�(�) = �×
�
�+ �×
�
��+ �×
�
�=
��
��，
方差�(�) = (�−
��
��)�×
�
�+ (�−
��
��)�×
�
��+ (�−
��
��)�×
�
�=
���
���.
7.甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X 和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X
−1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y
−2
−1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
(1)求��和��；
(2)求��和��，并比较两种品牌手表的性能．
【解题思路】（1）由分布列可得��= ��= �．
（2）由分布列可得��= ��= �，进而可得��和��，比较其大小可得答案．
【解答过程】（1）��=−�× �. �+ �× �. �+ �× �. �= �，
��=−�× �. �+ −�× �. �+ �× �. �+ �× �. �+ �× �. �= �．
（2）��= −��× �. �+ ��× �. �+ ��× �. �= �. �，
��= −��× �. �+ −��× �. �+ �× �. �+ ��× �. �+ �×× �. �= �. �= �. �，
因为��= ��= �，��< ��，
所以仅考虑误差，甲种品牌手表的性能要好.
8.甲､乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每
次投篮甲.乙命中的概率分别为
1
3，
3
4.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3 次投篮中，乙投篮的次数为�，求�的分布列；
(3)求�的期望及标准差.
【解题思路】（1）第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，进
而结合概率的乘法公式即可求出结果；
（2）求出ξ的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果；
（3）由期望公式、标准差公式可求解.
【解答过程】
（1）因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，
所以�=
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
��
��;
（2）由题意，�可取0，1，2.
P(ξ＝0)＝
�
�×
�
�=
�
�；P(ξ＝1)＝
�
�×
�
�+
�
�×
�
�=
�
��；P(ξ＝2)＝
�
�×
�
�=
�
�.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
�
�
�
��
�
�
（3）由（2）有E(ξ)＝�×
�
�+ �×
�
��+ �×
�
�=
��
��，
D(ξ)＝�−
��
��
�
×
�
�+ �−
��
��
�
×
�
��+ �−
��
��
�
×
�
�=
���
���，所以��=
���
��.
9.假定某射手每次射击命中目标的概率为
2
3．现有3 发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一
直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求：
(1)X 的概率分布；
(2)均值��；
(3)标准差��．
【解题思路】（1）利用相互独立事件概率计算公式即可求解；
（2）利用期望计算公式即可求出�(�)；
（3）利用方差计算公式即可求出�(�)，进而可得�(�)．
【解答过程】（1）解：X 的可能取值为1，2，3，
因为�(�= �) =
�
�，�(�= �) = (�−
�
�) ×
�
�=
�
�，�(�= �) = (�−
�
�) × (�−
�
�) =
�
�．
所以�的分布列为：
�
1
2
3
�
�
�
�
�
�
�
（2）解：�(�) = �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�=
��
�；
（3）解：因为方差�(�) = (�−
��
�)�×
�
�+ (�−
��
�)�×
�
�+ (�−
��
�)�×
�
�=
��
��，
所以�(�) =
��
��=
��
�．
题型六：方差的性质
1.若随机变量�的分布列如表，且��= 2，则�2�−3 的值为（
）
�
0
2
�
�
1
6
�
1
3
A．9.2
B．5
C．4
D．1
【解题思路】由概率之和等于1 得出�=
�
�，求出方差，并由方差性质求解即可.
【解答过程】由题意可得：
�
�+ �+
�
�= �，解得�=
�
�，因为��= �，所以�×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �，
解得�= �．所以��= (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�= �．
所以���−�= ���= �．
故选：C.
2.若数据�1, �2, ⋯, ��的平均数为�，方差为�2，则5�1 + 2,5�2 + 2, ⋯, 5��+ 2 的平均数和方差分别为（
）
A．�, �2
B．5�+ 2, �2
C．5�+ 2,25�2
D．�, 25�2
【解题思路】利用期望、方差性质求新数据的期望、方差.
【解答过程】由期望、方差的性质知：�(��+ �) = ��(�) + �= ��+ �，�(��+ �) = ���(�) = ����.
故选：C.
3.一组数据
1
x 、
2
x 、
3x 、
4x 、
5x 的方差为1
2 ，则
1
2
1
x 、
2
2
1
x 、
3
2
1
x 、
4
2
1
x 、
5
2
1
x 的方差为（
）
A．2
B．3
C．4
D．1
2
【答案】A
【分析】
根据新旧方差之间的关系
2
D aX
b
a D X
计算即可.
【详解】设原数据随机变量为X，根据题可知原数据方差
1
2
D X
，
则新数据随机变量可表示为2
1
X ，根据方差公式可知
2
1
2
1
2
4
2
2
D
X
D X
.
故选：A.
4.设随机变量X 的方差
1
D X ，则
2
1
D
X
的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据公式
2
D aX
b
a D X
直接计算即可.
【详解】
2
1
4
4
D
X
D X
.
故选：C.
5.已知随机变量
,
X Y 满足Y
aX
b
，且,a b 为正数，若
(
)
2,
( )
8
D X
D Y
，则（
）
A．
2
b
B．
4
a
C．
2
a
D．
4
b
【答案】C
【分析】根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果.
【详解】由方差的性质可得，
2
( )
(
)
(
)
D Y
D
X
b
X
a
a D
，
因为
(
)
2,
( )
8
D X
D Y
，所以
2
8
2a
，
又a 为正数，所以
2
a
．
故选：C.
【点睛】本题主要考查由方差的性质求参数，属于基础题型.
6.设0
1
m
，随机变量的分布列为：
0
m
1
P
3
a
1
3
2
1
3
a
则当m 在
0,1 上增大时（
）
A．
D 单调递增，最大值为1
2
B．
D 先增后减，最大值为1
3
C．
D 单调递减，最小值为2
9
D．
D 先减后增，最小值为1
6
【答案】D
【分析】根据方差公式，结合二次函数性质可得.
【详解】由题知
1
2
1
1
3
3
3
a
a
，解得
1
a ，
所以
1
1
( )
0
3
3
3
m
m
E
所以
2
2
2
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(1
)
3
3
3
3
3
3
m
m
m
D
m
2
2
2
2
1
3
(
1)
[(
)
]
9
9
2
4
m
m
m
由二次函数性质可知，
D 在
1
0, 2
上单调递减，在
1 ,1
2
上单调递增，
所以当
1
2
m
时，
D 有最小值1
6 .
故选：D
7.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝1
3 ，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)＝(
)
A．6
B．9
C．3
D．4
【答案】A
【分析】直接利用方差的性质
2
D a
b
a
D
求解即可.
【详解】由题意得
1
1
2
3
2
3
E
，
2
2
2
1
2
1
2
2
2
3
2
3
3
D
，
2
3
5
3
6
D
D
，故选A.
【点睛】本题主要考查方差的性质与应用，意在考查对基本性质掌握的熟练程度，属于中档题.
8.已知随机变量X 满足�2�−1 = 2，�2�−1 = 4，则（
）
A．��= 2，��=
5
4
B．��=
3
2，��=
5
4
C．��=
3
2，��= 1
D．��= 2，��= 1
【解题思路】根据期望和方差公式，即可判断选项.
【解答过程】���−�= ���−�= �，得��=
�
�，
���−�= ���= �，��= �.
故选：C.
9.设�> 0，若随机变量�的分布列如下表：
�
－1
0
2
P
a
2a
3a
则下列方差中最大的是（
）
A．�(�)
B．��
C．�2�−1
D．�2 �−1
【解题思路】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.
【解答过程】由题意，得�+ ��+ ��= �，则�=
�
�，
所以�(�) =−�×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�=
�
�，��
= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�=
�
�，
所以�(�) =
�
�× −�−
�
�
�
+
�
�× �−
�
�
�
+
�
�× �−
�
�
�
=
��
��，��
=
�
�× �−
�
�
�
+
�
�× �−
�
�
�
+
�
�×
�−
�
�
�
=
��
��，
所以���−�= ��(�) = �×
��
��=
��
�，���−�= ���
=
��
�，
即���−�最大，
故选：C.
题型七：两点分布的方差
1.随机变量X 服从两点分布，若�(�= 0) =
1
4，则下列结论正确的是（
）
A．�(�= 1) =
3
4
B．��=
1
4
C．�2�+ 1 =
3
2
D．�2�+ 1 =
7
4
【解题思路】根据分布列的性质求得�(�= �) =
�
�，利用公式求得��=
�
�，��=
�
��，结合期望和方差
的性质，即可求解.
【解答过程】由随机变量�服从两点分布，若�(�= �) =
�
�，
根据分布列的性质，可得�(�= �) = �−�(�= �) =
�
�，所以A 正确；
又由��= �×
�
�+ �×
�
�=
�
�，��= (�−
�
�)�×
�
�+ (�−
�
�)�×
�
�=
�
��，所以B 错误；
由���+ �= ���+ �= �×
�
�+ �=
�
�，所以C 错误；
由���+ �= ��⋅��= �×
�
��=
�
�，所以D 错误.
故选：A.
2.若随机变量�服从两点分布，其中�(�= 0) =
1
3，则�(3�+ 2)和�(3�+ 2)的值分别是（
）
A．4 和4
B．4 和2
C．2 和4
D．2 和2
【解题思路】根据两点分布求出�(�= �)，再应用期望、方差公式求�(�)、�(�)，最后根据期望、方差
的性质求结果.
【解答过程】由于服从两点分布，�(�= �) =
�
�，�(�= �) =
�
�，
因此�(�) = �×
�
�+ �×
�
�=
�
�，�(�) = (�−
�
�)�×
�
�+ (�−
�
�)�×
�
�=
�
�，
所以�(��+ �) = ��(�) + �= �，�(��+ �) = ��(�) = �．
故选：B．
3.若随机变量�服从两点分布，其中��= 0 =
1
3，��, ��分别为随机变量�的均值与方差，则下列结论
不正确的是（
）
A．��= 1 = ��
B．�3�+ 2 = 4
C．�3�+ 2 = 2
D．��=
4
9
【解题思路】由题知�(�= �) =
�
�，进而得�(�) =
�
�，�(�) =
�
�，再根据期望、方差的性质求解即可.
【解答过程】解：因为随机变量�服从两点分布，其中�(�= �) =
�
�，
所以�(�= �) =
�
�，
所以�(�) = �×
�
�+ �×
�
�=
�
�= �(�= �)，�(�) = (�−
�
�)�×
�
�+ (�−
�
�)�×
�
�=
�
�，
�(��+ �) = ��(�) + �= �，�(��+ �) = ��(�) = �.
故D 错误，ABC 正确.
故选：D.
题型八：分布列、均值、方差的综合应用
1.袋中装有大小相同的2 个白球和3 个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
【答案】(1) 12
25
(2) 4
5 ，9
25
【分析】（1）由互斥事件和相互独立事件的概率公式可求解；
（2）先求白球的个数的所有可能取值，再分别求解每个取值的概率，进而可得结果.
【详解】（1）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，
摸出一球是白球的概率为2
5 ，摸出一球是黑球的概率为3
5 ，
由互斥事件和相互独立事件的概率公式得到
2
3
3
2
12
( )
5
5
5
5
25
P A
．
（2）由题意知，的可能取值为0，1，2，
当
0
时，表示摸出两球中白球的个数为0，
3
2
3
(
)
5
4
0
10
P
当
1
时，表示摸出两球中白球的个数为1，
3
2
2
3
3
(
1)
5
4
5
4
5
P
当
2
时，表示摸出两球中白球的个数为2，
2
1
1
(
)
5
4
2
10
P
∴
3
3
1
4
0
1
2
10
5
10
5
E
，
2
2
2
4
3
4
3
4
1
9
0
1
2
5
10
5
5
5
10
25
D
．
即摸出白球个数ξ的期望和方差分别是4
5 ，9
25 ．
2.为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别
为两个相互独立的随机变量，，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，
8，7 环的概率分别为0.5，3a ，a ，a ，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2 .
(1)求，的分布列；
(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
9.2
E
，
8.7
E
，
0.96
D
，
1.21
D
，甲的射击技术好，选甲.
【分析】
1 依据题意知，0.5
3
1
a
a
a
，求得a 的值，进而求出乙射中7 环的概率为0.2 ，列出分布列
即可；
2 根据分布列的数据，代入公式求出相应期望和方差，根据所得数据进行比较，进而得出结论.
【详解】（1）解：依据题意知，0.5
3
1
a
a
a
，解得
0.1
a
.
因为乙射中10，9，8 环的概率分别为0.3，0.3，0.2 ，
所以乙射中7 环的概率为
1
0.3
0.3
0.2
0.2
.
所以，的分布列分别为
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
（2）解：结合
1 中，的分布列，可得：
10
0.5
9
0.3
8 0.1
7
0.1
9.2
E
，
10
0.3
9
0.3
8 0.2
7
0.2
8.7
E
，
2
2
2
2
10
9.2
0.5
9
9.2
0.3
8
9.2
0.1
7
9.2
0.1
0.96
D
，
2
2
2
2
10
8.7
0.3
9
8.7
0.3
8
8.7
0.2
7
8.7
0.2
1.21
D
.
因为
E
E
，说明甲平均射中的环数比乙高.
又因为
D
D
，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，
所以甲的射击技术好，故应选甲.
3.一个骰子各个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6 ，现抛掷该股子2 次，记第一次正面朝上的数字为
1Y ，第二
次正面朝上的数字为
2
Y ，记不超过
1
2
Y
Y 的最大整数为Y ．
(1)求事件“Y
0
”发生的概率，并判断事件“
1
6
Y
”与事件“Y
0
”是否为互斥事件；
(2)求Y 的分布列与数学期望．
【答案】(1)
5
0
12
P Y
，事件“
1
6
Y
”与事件“Y
0
”为互斥事件；
(2)分布列见解析，
41
36
E Y
【分析】（1）列举出Y
0
所包含的情况数，计算出
0
P Y
，判断出事件“
1
6
Y
”与事件“Y
0
”不能同时
发生，为互斥事件；
（2）求出Y 的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望值.
【详解】（1）当
2
Y 取
1
6,Y 取值为1,2,3,4,5时，Y
0
，
当
2
Y 取
1
5,Y 取值为1,2,3,4时，Y
0
，
当
2
Y 取
1
4,Y 取值为1,2,3时，Y
0
，
当
2
Y 取
1
3,Y 取值为1，2 时，Y
0
，
当
2
Y 取
1
2,Y 取值为1 时，Y
0
，
所以
1 2
3
4
5
5
0
6 6
12
P Y
，
当
1
6
Y
时，
2
6
1,
0
Y
Y
，事件“
1
6
Y
”与事件“Y
0
”不能同时发生，为互斥事件；
（2）Y 的取值为0,1,2,3,4,5,6 ，
1
2
,
Y Y
取值为
1,1 , 2,2 , 3,2 , 3,3 , 4,3 , 5,3 , 4,4 , 5,4 , 6,4 , 5,5 ，
6,5 , 6,6 时，
12
1
1
6 6
3
P Y
，
1
2
,
Y Y
取值为
2,1 , 4,2 , 5,2 , 6,3 时，
4
1
2
6 6
9
P Y
，
1
2
,
Y Y
取值为
3,1 , 6,2 时，
2
1
3
6 6
18
P Y
，
1
2
,
Y Y
取值为
4,1 时，
1
1
4
6 6
36
P Y
，
1
2
,
Y Y
取值为
5,1 时，
1
1
5
6 6
36
P Y
，
1
2
,
Y Y
取值为
6,1 时，
1
1
6
6 6
36
P Y
，
所以Y 的分布列为
Y
0
1
2
3
4
5
6
P
5
12
1
3
1
9
1
18
1
36
1
36
1
36
所以
5
1
1
1
1
1
1
41
0
1
2
3
4
5
6
12
3
9
18
36
36
36
36
E Y
．
4.为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5 元的价格从农场购
进若干西瓜，然后以每个10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16 个西瓜，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n（单位：个，
N
n
）的
函数解析式；
(2)水果店记录了100 天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16 个西瓜，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16 个或17 个西瓜，你认为应购进16 个还是17 个？请说明理由．
【答案】(1)
10
80
15
N
80
16
n
n
y
n
n
-
.
(2)①分布列见解析；期望为76 ，方差44 ；②应购进17 个；理由见解析
【分析】（1）分
16
n
和
15
n
两种情况讨论，分别求出所对应的利润，即可得解；
（2）①依题意可得X 的可能取值为60 ，70 ，80，求出所对应的概率，即可得到分布列，从而求出数学
期望与方差；②求出购进17 个西瓜所对应的利润，即可判断.
【详解】（1）解：当
16
n
时，
16 (10
5)
80
y
，
当
15
n
时，
5
5(16
)
10
80
y
n
n
n
，
所以
10
80
15
N
80
16
n
n
y
n
n
-
.
.
（2）解：①依题意可得X 的可能取值为60 ，70 ，80，
所以
(
60)
0.1
P X
，
(
70)
0.2
P X
，
(
80)
0.7
P X
，
所以X 的分布列为
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
所以
60 0.1 70 0.2
80 0.7
76
E X
，
2
2
2
16
0.1 6
0.2
4
0.7
44
D X
．
②购进17 个时，当天的利润为
(14 5
3 5) 0.1
(15 5
2 5) 0.2
y
(16 5 1 5) 0.16
17 5 0.54
，
76.4
因为76.4
76
，所以应购进17 个．
5.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、
乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6 个招标问题
中随机抽取3 个问题，已知这6 个招标问题中，甲公司可正确回答其中4 道题目，而乙公司能正确回答每
道题目的概率均为
2
3，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲、乙两家公司共答对2 道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量�，求�的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【解题思路】（1）将甲乙共答对2 道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结
合古典概率求解作答.
（2）求出�的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.
（3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.
【解答过程】（1）记“甲、乙两家公司共答对2 道题” 的事件为�，它是甲乙各答对1 道题的事件、甲答对
2 题乙没答对题的事件和，它们互斥，
则有�(�) =
C�
�C�
�
C�
�× C�
�(
�
�)�(�−
�
�)�+
C�
�C�
�
C�
�× (�−
�
�)�=
�
��，
所以甲、乙两家公司共答对2 道题目的概率是
�
��.
（2）设甲公司答对题数为�，则�的取值分别为�, �, �，
��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�, ��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�, ��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
�，
则�的分布列为：
�
1
2
3
�
�
�
�
�
�
�
期望��= �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
�= �，方差��= (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�=
�
�.
（3）设乙公司答对题数为�，则�的取值分别为�, �, �, �，
�(�= �) = (
�
�)�=
�
��, �(�= �) = C�
�×
�
�× (
�
�)�=
�
�，
�(�= �) = C�
�× (
�
�)�×
�
�=
�
�, �(�= �) = (
�
�)�=
�
��，
则�的分布列为：
�
0
1
2
3
�
�
��
�
�
�
�
�
��
期望��= �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
�+ �×
�
��= �，
方差��= (�−�)�×
�
��+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
�+ (�−�)�×
�
��=
�
�，
显然��= ��, ��< ��，
所以甲公司竞标成功的可能性更大.
6.某学校组织知识竞赛，题库中试题分A ，B 两种类型，每个学生选择2 题作答，第1 题从A ，B 两种试
题中随机选择一题作答，学生若答对第1 题，则第2 题选择同一种试题作答的概率为2
3 ，若答错第1 题，
则第2 题选择同一种试题作答的概率为1
4 .已知学生甲答对A 种试题的概率均为
1
2 ，答对B 种试题的概率均
为2
3 ，且每道试题答对与否相互独立.
(1)求学生甲2 题均选择B 种试题作答的概率；
(2)若学生甲第1 题选择A 种试题作答，记学生甲答对的试题数为X ，求X 的分布列与期望.
【答案】(1) 19
72
(2)分布列见解析，157
144 .
【分析】（1）学生甲2 题均选择B 种试题作答是指第1 题选择B 种试题作答并且答对或答错的两种情况，
由此利用事件的概率公式能求解即可．
（2）由已知得X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列与数学期望．
【详解】（1）若学生甲第1 题选择B 种试题作答并且答对，则第2 题选择B 种试题作答的概率
1
1
2
2
2
2
3
3
9
P
，
若学生甲第1 题选择B 种试题作答并且答错，则第2 题选择B 种试题作答的概率
2
1
1
1
1
2
3
4
24
P
，
故学生甲2 题均选择B 种试题作答的概率
2
1
19
9
24
72
P
.
（2）由题可知，X 的取值可能为0，1，2，
且
1
1
1
1
3
1
3
0
2
4
2
2
4
3
16
P X
，
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
77
1
2
3
2
2
3
3
2
4
2
2
4
3
144
P X
，
1
2
1
1
1
2
5
2
2
3
2
2
3
3
18
P X
，
故X 的分布列为
X
0
1
2
P
3
16
77
144
5
18
则
3
77
5
157
0
1
2
16
144
18
144
E X
.
7.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查.如图
是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低
于40 分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1 名观众，抽取3 次，记被抽取的3 名观众
中的“体育迷”人数为�.若每次抽取的结果是相互独立的，求�的分布及期望.
(2)用分层抽样的方法从这100 名观众中抽取8 名作为样本A，则样本A 中“体育迷”和非“体育迷”分别有几
人?从样本A 的这8 名观众中随机抽取3 名，记Y 表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y 的分布及方差.
【解题思路】由频率分布直方图可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1 名观众，该观众是“体育迷”
的概率为
�
�.
（1）由题可得�所有可能的取值为0，1，2，3，从而可得分布列及对应期望；
（2）由题可得8 人中，体育迷有2 人，则�所有可能的取值为0，1，2，后可得分布列及对应方差.
【解答过程】（1）“体育迷”对应的频率为：�. ��+ �. ���× ��= �. ��=
�
�，
用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1 名观众，该观众是“体育迷”的概率为
�
�，则�
所有可能的取值为0，1，2，3
∴��= �= C�
�×
�
�
�
=
��
��；��= �= C�
�×
�
�×
�
�
�
=
��
��；
��= �= C�
�×
�
�
�
×
�
�=
�
��；��= �= C�
�×
�
�
�
=
�
��；
∴�的分布列为：
�
0
1
2
3
�
��
��
��
��
�
��
�
��
则数学期望��=
��
��× �+
�
��× �+
�
��× �=
�
�.
（2）根据分层抽样原则知：抽取的8 人中，有“体育迷”�×
�
�= �人，非“体育迷”体育迷�×
�
�= �人，则�
所有可能的取值为0，1，2.
��= �=
C�
�
C�
�=
��
��=
�
��，��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
��
��=
��
��，��= �=
C�
�C�
�
C�
�=
�
��=
�
��.
故�的分布列为：
�
0
1
2
�
�
��
��
��
�
��
则��=
��
��× �+
�
��× �=
�
�，���=
��
��× �+
�
��× �=
��
��，
故��= ���−���=
��
��−
�
��=
��
���.
8.某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情
况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3 三组.观察一段时间后，分别从1,2,3
三组随机抽取40 株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
株高增量（单位：厘米）
4,7
7,10
10,13
13,16
第1 组鸡冠花株数
9
20
9
2
第2 组鸡冠花株数
4
16
16
4
第3 组鸡冠花株数
13
12
13
2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1 组所有鸡冠花中随机选取1 株，估计株高增量为7,10 厘米的概率；
(2)分别从第1 组，第2 组，第3 组的所有鸡冠花中各随机选取1 株，记这3 株鸡冠花中恰有�株的株高增
量为7,10 厘米，求�的分布列和数学期望��；
(3)用“��= 1”表示第�组鸡冠花的株高增量为4,10 ，“��= 0”表示第�组鸡冠花的株高增量为10,16 厘米，
�= 1,2,3，直接写出方差��1，��2，��3的大小关系.（结论不要求证明）
【解题思路】（1）根据表格数据，第1 组所有鸡冠花中随机选取1 株，得�, ��厘米的总数，由古典概型
概率公式可得结果；
（2）首先估计各组鸡冠花增量为�, ��厘米的概率，然后可确定�所有可能的取值，根据独立事件概率公
式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；
（3）由两点分布方差计算公式可求得���，���，���的值，由此可得大小关系．
【解答过程】（1）设事件�为“从第1 组所有鸡冠花中随机选取1 株，株高增量为�, ��厘米”，
根据题中数据，第1 组所有鸡冠花中，有20 株鸡冠花增量为�, ��厘米,
所以��估计为
��
��=
�
�；
（2）设事件�为“从第2 组所有鸡冠花中随机选取1 株，株高增量为�, ��厘米”，
设事件�为“从第3 组所有鸡冠花中随机选取1 株，株高增量为�, ��厘米”，
根据题中数据，��估计为
��
��=
�
�，��估计为
��
��=
�
��，
根据题意，随机变量�的所有可能取值为0,1,2.3，且
��= �= ����= ������= �−
�
�× �−
�
�× �−
�
��=
��
���；
��= �= ����+ ���+ ���= ������+ ������+ ������=
��
��；
��= �= ����+ ���+ ���= ������+ ������+ ������=
��
���；
��= �= ����= ������=
�
��，
则�的分布列为：
�
0
1
2
3
�
��
���
��
��
��
���
�
��
所以��= �×
��
���+ �×
��
��+ �×
��
���+ �×
�
��=
�
�.
（3）���< ���< ���
理由如下：
���= �=
��
��, ���= �=
��
��，所以���= �×
��
��+ �×
��
��=
��
��, ���= �−
��
��
�
×
��
��+ �−
��
��
�
×
��
��=
���
����；
���= �=
��
��=
�
�, ���= �=
�
�，所以���= �×
�
�+ �×
�
�=
�
�, ���= �−
�
�
�
×
�
�+ �−
�
�
�
×
�
�=
�
�=
���
����；
���= �=
��
��=
�
�, ���= �=
�
�，所以���= �×
�
�+ �×
�
�=
�
�, ���= �−
�
�
�
×
�
�+ �−
�
�
�
×
�
�=
��
��=
���
����；
所以���< ���< ���.
9.在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0 分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来
做，选对得2 分；
策略B：争取得5 分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2 分，全部选对得5 分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略
概率
每题耗时（分钟）
第11 题
第12 题
A
选对选项
0.8
0.5
3
B
部分选对
0.6
0.2
6
全部选对
0.3
0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10 分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1
分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11 题采用策略B，第12 题采用策略A，设他这两题得分之和为
X，求X 的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
【解题思路】（1）先求出随机变量�的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，即可求出数学期
望与方差；
（2）依题意列出所有可能情况，分别求出数学期望，即可判断；
【解答过程】（1）解：设事件��为“第11 题得0 分”，事件��为“第11 题得2 分”，事件��为“第11 题得5
分”，
事件��为“第12 题得0 分”，事件��为“第12 题得2 分”，
所以�(��) = �. �，�(��) = �. �，�(��) = �. �，�(��) = �. �，�(��) = �. �，
由题意可知，�的可能取值为0，2，4，5，7，
则�(�= �) = �(����) = �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �(����+ ����) = �. �× �. �+ �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �(����) = �. �× �. �= �. �，
�(�= �) = �(����) = �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �(����) = �. �× �. �= �. ��，
所以小明第11 题和第12 题总得分�的分布列为：
�
0
2
4
5
7
�
�. ��
�. ��
�. �
�. ��
�. ��
所以��= �× �. ��+ �× �. ��+ �× �. �+ �× �. ��+ �× �. ��= �. �，
��= �−�. ��× �. ��+ �−�. ��× �. ��+ �−�. ��× �. �+ �−�. ��× �. ��+ �−�. ��×
�. ��= �. ��；
（2）解：依题意该同学答题方案有：
方案�: ��题采用策略�，12 题采用策略�；
方案�: ��题和12 题均采用策略�；
方案�: ��题和12 题均采用策略�；
方案�: ��题采用策略�，12 题采用策略�；
设随机变量�为该同学采用方案2 时，第11 题和第12 题总得分，
则�的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故�(�= �) = �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �. �× �. �+ �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �. �× �. �+ �. �× �. �= �. �，
�(�= �) = �. �× �. �+ �. �× �. �= �. ��，
�(�= ��) = �. �× �. �= �. ��，
故�的分布列为：
�
0
2
4
5
7
10
�
0.01
0.08
0.12
0.1
0.48
0.21
所以�(�) = �× �. ��+ �× �. ��+ �× �. ��+ �× �. �+ �× �. ��+ ��× �. ��= �. ��，但因为时间超
过10 分钟，后面的题得分少�分，相当于得分均值为3�. ��−�= �. ��分，
因为�. ��> �. �，
方案�的期望值一定小于�，故不选方案�，
设随机变量�为该同学采用方案4 时，第11 题和第12 题总得分，
则�的可能取值为0，2，4，5，7，
故�(�= �) = �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �. �× �. �+ �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �. �× �. �= �. ��，
�(�= �) = �. �× �. �= �. ��，
故�的分布列为：
�
0
2
4
5
7
�
0.02
0.12
0.16
0.14
0.56
所以�(�) = �× �. ��+ �× �. ��+ �× �. ��+ �× �. ��+ �× �. ��= �. �，方案�的期望值也小于�(�)，
故不选方案�；
所以我建议该同学按照方案�: ��题和12 题均采用策略�．
模块三：综合巩固
1.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1 分，反面向上得－1 分，则得分X 的均值为（
）
A．0
B．
1
2
C．1
D．－1
【答案】A
【分析】利用随机变量的均值的定义即得.
【详解】因为P(X＝1)＝
1
2 ，P(X＝－1)＝
1
2 ，
所以由均值的定义得E(X)＝1×
1
2 ＋(－1)×
1
2 ＝0．
故选：A.
2.已知随机变量X ，Y 满足
2
Y
X
，且
2
DX
，则DY （
）
A．16
B．8
C．4
D．4
【答案】B
【分析】由方差的性质求解即可.
【详解】由题可知
2
4
8
DY
D
X
DX
.
故选：B.
3.已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，满足
2
0
9
1
P X
P X
，且
0
1
P X
P X
，
则
E X
（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．1
4
【答案】C
【分析】根据两点分布的性质可得
0
1
1
P X
P X
，结合题意求得
1
P X
，再根据两点分布的
期望公式即可得解.
【详解】解：因为随机变量X 的分布列服从两点分布，
所以
0
1
1
P X
P X
，
则
2
1
1
9
1
P X
P X
，解得
1
1
3
P X
或2
3 ，
又因
0
1
P X
P X
，
所以
2
1
3
P X
，则
1
0
3
P X
，
所以
2
3
E X
.
故选：C.
4.从1-20 中随机抽取3 个数，记随机变量为这3 个数中相邻数组
,
1
a a
的个数．如当这三个数为11，
12，14 时，
1
；当这三个数为7，8，9 时，
2
．则
E 的值为（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【答案】B
【分析】随机变量的取值为0,1,2，结合变量对应的事件写出概率，算出期望．
【详解】随机变量的取值为0,1,2，
当
1
时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2 和19,20，对应取法为17 种，其余17 情况取法为
16 种，
3
20
2 17 17 16
306
1
1140
C
P
，
当
2
时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18 种，
3
20
18
18
2
1140
C
P
，
所以当
0
时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有1140 18
306
798
种，
798
0
1140
P
，
798
306
18
0
1
2
0.3
1140
1140
1140
E
.
故选：B.
5.从1-20 中随机抽取3 个数，记随机变量为这3 个数中相邻数组
,
1
a a
的个数.如当这三个数为11，12，
14 时，
1
；当这三个数为7，8，9 时，
2
.则
E 的值约为（
）
A．0.22
B．0.31
C．0.47
D．0.53
【答案】B
【分析】
确定随机变量的取值为0，1，2，结合变量对应的事件写出概率，即可计算出期望.
【详解】随机变量的取值为0，1，2，
当
1
时，所取的三个数中仅两个数相邻，两数相邻有19 种情况，
其中相邻两数取1，2 和19，20 时，对应取法为17 种，
其余17 种情况取法均有16 种，
3
20
2 17 17 16
306
1
1140
C
P
，
当
2
时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18 种，
3
20
18
18
2
1140
C
P
，
所以当
0
时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有1140 18
306
798
种，
798
0
1140
P
，
798
306
18
0
1
2
0.3
1140
1140
1140
E
.
故选：B.
6.设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
1
6
1
6
1
3
1
3
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（
）
A．7
6
B．17
6
C．17
3
D．32
3
【答案】D
【解析】先求E(ξ)，进一步求出E(η).
【详解】E(ξ)＝1× 1
6 ＋2× 1
6 ＋3× 1
3 ＋4× 1
3 ＝17
6 ，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×17
6 ＋5＝32
3 .
故选：D.
7.已知随机变量
0
满足
2
2
3
6
E
E
，则
E （
）
A．1
或4
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据均值的性质可得
2
3
3
E
E
，则
2
2
3
6
E
E
即为
2
3
4
0
E
E
，解
方程求得答案.
【详解】因为
2
2
3
6
E
E
，所以
2
3
4
0
E
E
，
解得
4
E
或
1
E （舍去）,
故选：D
8.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示.
X
a
1
a
2
a
P
0.4
0.2
0.4
则
D X （
）
A．0.4
a
B．0.8
a
C．0.4
D．0.8
【答案】D
【分析】根据随机变量的方差公式可得.
【详解】由分布列可得
0.4
0.2
1
0.4
2
1
E X
a
a
a
a
，
2
2
2
0.4
1
0.2
1
1
0.4
2
1
0.8
D X
a
a
a
a
a
a
，
故选：D
9.有两个随机变量X 和Y ，它们的分布列分别如下表：
Y
1
2
3
4
5
p
0.03
0.3
0.5
0.16
0.01
X
1
2
3
4
5
p
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
则关于它们的期望
(
)
E X ，
( )
E Y 和它们的方差
(
)
D X 和
( )
D Y ，下列关系正确的是（
）
A．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
B．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
C．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
D．
(
)
( )
E X
E Y
，且
(
)
( )
D X
D Y
【答案】A
【分析】根据方差和期望的公式即可求解.
【详解】
(
)
0.1
0.4
0.9
0.8 1.0
3.2,
( )
0.03
0.6
1.5
0.64
0.05
2.82
E X
E Y
,
2
2
2
2
2
(
)
1 3.2
0.1
2
3.2
0.2
3
3.2
0.3
4
3.2
0.2
5
3.2
0.2
1.56
D X
2
2
2
2
2
( )
1 2.82
0.03
2
2.82
0.3
3
2.82
0.5
4
2.82
0.16
5
2.82
0.01
0.5876
D Y
,
所以
(
)
( )
E X
E Y
且
(
)
( )
D X
D Y
，
故选：A
10.甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一
局甲赢的概率都是1
3 ，随机变量X 表示最终的比赛局数，则（
）
A．
26
8
,
9
81
E X
D X
B．
26
20
,
9
81
E X
D X
C．
22
8
,
9
81
E X
D X
D．
22
20
,
9
81
E X
D X
【答案】D
【分析】求出随机变量X 的所有取值，求出对应概率，再根据期望与方差公式计算即可.
【详解】由题意，X 可取2,3，
2
2
1
1
5
2
1
3
3
9
P X
，
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
4
3
C
1
C
1
1
3
3
3
3
3
3
9
P X
，
则
5
4
22
2
3
9
9
9
E X
，
2
2
5
22
4
22
20
2
3
9
9
9
9
81
D X
.
故选：D.
11.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5 元，售价是每束5 元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6 元进行
处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进
这种鲜花500 束，则利润的均值是（
）
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A．706 元
B．690 元
C．754 元
D．720 元
【答案】A
【分析】先求得节日期间这种鲜花需求量的均值，再由利润
3.4
450
Y
X
＝
，利用均值的性质求解.
【详解】节日期间这种鲜花需求量的均值为
200 0.20
300 0.35
400 0.30
500 0.15 340
E X
＝
＝
(束)．
设利润为Y，则
5
1.6
500
500 2.5
3.4
450
Y
X
X
X
＝
，
所以
3.4
450
3.4 340
450
706
E Y
E X
＝
(元)．
故选：A.
12.(多选)设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为
X
0
1
2
P
1
2
p
p
1
2
则下列说法正确的是（
）
A．
1
0, 2
p
B．
E X 最大值为3
2
C．
1
0, 4
p
D．
E X 最大值为5
2
【答案】AB
【分析】根据分布列的性质可求p 的范围，根据均值公式及一次函数单调性求解最值.
【详解】由分布列的性质可得
1
0
1
2
0
1
p
p
，解得
1
0
2
p
，即
1
0, 2
p
，
均值
1
1
0
1
2
1
2
2
E X
p
p
p
，
所以当
1
2
p
时，
max
3
2
E X
.
故选：AB
13.随机变量的分布列为
1
1
0,1
k
k
p
k
p
p
k
，则
( )
E ，
( )
D 的值分别是（
）
A．0 和1
B．p 和
2
p
C．p 和1
p
D．p 和
(1
)
p
p
【答案】D
【解析】分别表示出
0 ,
1
p
p
，利用期望和方差的定义求解即可.
【详解】解：由随机变量的概率分布为：
1
1
0,1
k
k
p
k
p
p
k
，
得：
0
0
1
0
1
1
,
1
1
p
p
p
p p
p
p
p
，
0
1
1
E
p
p
p
，
2
2
0
1
1
1
D
p
p
p
p
p
p
.
故选：D.
14.已知的分布列如下表：
0
1
2
P
？
!
？
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下
列各式中：①
( )
1
E ；②
( )
1
D ；③
1
(
0)
2
P
，正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的分布列中概率之和为1 以及方差期望的计算公式即可求解.
【详解】设“？”处的数据为,x 则“!”处数据为1 2x
,则
1
0
2
x
,故
( )
0
1
1 2
2
1
E
x
x
x
( )
1
E
,
2
2
2
0 1
1
2
1 1
2 1
2
1
D
x
x
x
x
1
0
2
P
x
故选:C
15.随机变量
(
1,2)
i i
的分布列如下所示，其中
1
2
1
2
2
p
p
，则下列说法中正确的是（
）
i
1
0
1
P
1
4
ip
1
1
4
4
i
i
p
p
4
ip
A．
1
2
D
D
B．
1
2
D
D
C．
1
2
E
E
D．
1
2
E
E
【答案】D
【分析】先分别计算
1
2
,
E
E
，再做差比较大小，即可求解；代方差的计算公式，构造函数判定其单
调性，利用单调性来比较
1
D
与
2
D
大小
【详解】根据分布列可得：
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
,
4
4
4
4
4
4
p
p
p
p
E
E
p
p
p
p
，
则
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
4
4
4
p p
p
p
p
p
E
E
p
p
p p
，
因为
1
2
1
2
2
p
p
，故
1
2
0
E
E
，即
1
2
E
E
．
1
1
1
1
0
1
1
4
4
4
4
4
4
i
i
i
i
i
i
i
p
p
p
E
p
p
p
2
2
2
1
1
0
1
1
4
4
4
i
i
i
i
i
i
i
i
p
p
D
E
p
E
E
p
2
2
1
1
1
16
16
4
4
8
i
i
i
i
p
p
p
p
令
2
2
1
1
1
16
16
4
4
8
x
x
g x
x
x
（1
2
2
x
）
则
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
1
8
8
4
4
8
x
x
x
g
x
x
x
x
x
当
1 ,1
2
x
时，
0
g
x
，
g x 单调递增；
当
1,2
x
时，
0
g x
，
g x 单调递减
又因为
1
2
1
2
2
p
p
所以
1
D
与
2
D
大小无法确定
故选：D．
16.（多选）已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，
2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，
则（
）
A．
1
2
2
P X
B．
1
3
3
P Y
C．
E X
E Y
D．
D X
D Y
【答案】BD
【分析】通过古典概型的概率计算公式即可判断A、B 选项；通过X 和Y 的分布列，可以计算对应的期望
和方差的大小关系.
【详解】对选项A：正四面体骰子，记向下的数字为X，当
2
X
时，对应的概率为
1
2
4
P X
，错误；
对选项B：正六面体骰子，记向上的数字为Y，其中
3
Y
时，即
1
2
Y
Y
，
，则
1
1
1
3
1
2
6
6
3
P Y
P Y
P Y
，正确；
对选项C、D：X 的分布列为：
X
1
2
3
4
P
1
4
1
4
1
4
1
4
则
1
1
1
1
5
1
2
3
4
4
4
4
4
2
E X
，且
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
5
5
1
2
3
4
4
4
4
4
2
4
D X
E X
E X
；
Y 的分布列为：
Y
1
2
3
4
5
6
P
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
则
1
1
1
1
1
1
7
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
2
E X
，且
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
7
7
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
2
4
D Y
E Y
E Y
，
所以
E X
E Y
，C 错误；
D X
D Y
，D 正确；
故选：BD
17.（多选）设离散型随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
a
0.4
0.3
0.2
若离散型随机变量Y 满足
3
1
Y
X
，则（
）
A．
1.6
EX
B．
5.8
EY
C．
1.84
DX
D．
7.56
DY
【答案】ABD
【分析】利用分布列的性质求得a ，从而利用期望与方差公式与性质即可得解.
【详解】由分布列的性质知
0.4
0.3
0.2
1
a
，则
0.1
a
，
故
0 0.1 1 0.4
2 0.3 3 0.2
1.6
EX
，故A 正确；
2
2
2
2
0.1 1.6
0.4 0.6
0.3 0.4
0.2 1.4
0.84
DX
，故C 错误；
则
(3
1)
3
1
3 1.6 1
5.8
EY
E
X
EX
，故B 正确；
所以
(3
1)
9
9 0.84
7.56
DY
D
X
DX
，故D 正确．
故选：ABD．
18.（多选）已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
0
1
P
1
2
a
1
6
若离散型随机变量Y 满足
2
1
Y
X
，则下列说法正确的有（
）
A．
2
1
3
P
X
B．
E X
E Y
0
C．
10
9
D Y
D．
1
1
2
P Y
【答案】AB
【分析】先求得a ，然后根据概率、期望、方差的知识求得正确答案.
【详解】由1
1
2
1
1,
2
6
3
3
a
a
a
，
所以
1
1
2
1
2
6
3
P
X
，所以A 选项正确.
1
1
1
1
1
0
1
2
3
6
3
E X
，
Y
1
1
3
P
1
2
1
3
1
6
所以
1
Y ，对应概率为0，所以D 选项错误.
1
1
1
1
1
1
3
2
3
6
3
E Y
，
所以
0
E X
E Y
，所以B 选项正确.
2
2
2
1
1
1
1
1
1
20
1
1
3
3
2
3
3
3
6
9
D Y
，C 选项错误.
故选：AB
19.（多选）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲
的歌名相互独立，猜对三首歌曲
, ,
A B C 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A 的概
率为0.8，可获公益基金1 千元；猜对歌曲B 的概率为0.5，可获公益基金2 千元；猜对歌曲C 的概率为0.5，
可获公益基金3 千元．规则如下：按照
,
,
A B C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记
嘉宾获得的公益基金总额为X 千元，则（
）
A．
3
0.4
P X
B．
2
1
5.4
E
X
C．
2
1
18.24
D
X
D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关
【答案】BC
【分析】确定X 的取值，求得每个值对应概率，可判断A；继而可求得期望和方差，根据期望和方差的性
质可判断B，C；再求出按照
,
,
A C B 的顺序猜时的期望值，比较可判断D.
【详解】由题意，可分别用
,
,
A B C 表示猜对三首歌曲
, ,
A B C 歌名的的事件，则
, ,
A B C 相互独立，
按照
,
,
A B C 的顺序猜，则X 的取值可能为0,1,3,6，
则
0
0.2
P X
P A
，
1
0.8 0.5
0.40
P X
P AB
，
(
3)
(
)
0.8 0.5 0.5
0.2
P X
P ABC
，
(
6)
(
)
0.8 0.5 0.5
0.2
P X
P ABC
，
则
0 0.2 1 0.4
3 0.2
6 0.2
2.2
E X
，
2
2
2
2
0
2.2
0.2
1
2.2
0.4
3
2.2
0.2
6
2.2
0.2
4.56
D X
，
故
2
1
2 2.2 1
5.4
E
X
，
2
1
4 4.56
18.24
D
X
，
由此可知A 错误；B 正确，C 正确；
假设按照
,
,
A C B 的顺序猜，设Y 表示此时获得的公益基金总额
则
0
0.2
P Y
P A
，
1
0.8 0.5
0.40
P Y
P AC
，
(
4)
(
)
0.8 0.5 0.5
0.2
P Y
P ACB
，
(
6)
(
)
0.8 0.5 0.5
0.2
P Y
P ABC
，
则
0 0.2 1 0.4
4 0.2
6 0.2
2.4
E Y
，
与按照
,
,
A B C 的顺序猜的期望值不同，故D 错误，
故选：BC
20.（多选）在一个不透明的箱子里装有6 个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从
中有放回的随机取两次，每次取一个小球，记第一次取出的小球的标号为
1a ，第二次为
2a ，设
1
2
a
A
a
，
其中
x 表示不超过x 的最大整数，则（
）
A．
1
2
1
7
6
P a
a
B．事件
1
1
a 与
0
A
对立
C．
1
2
5
12
P a
a
D．用X 表示A 的取值，则
41
36
E X
【答案】ACD
【分析】首先列举取球结果的所有情况，再根据古典概型，即可概率，判断AC；再根据对立事件的定义，
判断B；最后列举X 的取值，根据分布列，求期望.
【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为
1
2
a a ）：11，12，13，14，15，16，21，22，
23，24，25，26，31，32，33，34，35，36，41，42，43，44，45，46，51，52，53，54，55，56，61，
62，63，64，65，66，共36 种，
若
1
2
7
a
a
，此时取16，61，25，52，34，43，所以
1
2
6
1
7
36
6
P a
a
，故A 正确；
当
1
1
a ，
2
2
a
时，
1
2
0
a
A
a
，此时事件
1
1
a 与
0
A
均发生，所以事件
1
1
a 与
0
A
不对立，故B
错误；
1
2
5
4
3
2 1
5
6 6
12
P a
a
，故C 正确；
X
0
1
2
3
4
5
6
P
5
12
1
3
1
9
1
18
1
36
1
36
1
36
所以
5
1
1
1
1
1
1
41
0
1
2
3
4
5
6
12
3
9
18
36
36
36
36
E X
，D 正确.
故选：ACD
21.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5 个．从袋中随机取出3 个球，已知取出的3 个球全为黑
球的概率为1
10 ，若记取出3 个球中黑球的个数为X，则
(
)
E X
．
【答案】9
5
【分析】利用组合与古典概型求得黑球的个数n ，从而求得X 的分布列，进而求得X 的期望，由此得解.
【详解】依题意，设黑球的个数为n ，由
3
3
5
C
1
C
10
n
P
，得
3
C
1
n ，则
3
n
，
记取出3 个球中黑球的个数为X ，X 的取值可以为1，2，3；
2
1
2
3
3
5
3
(
1)
10
C C
P X
C
，
1
2
2
3
3
5
6
3
(
2)
10
5
C C
P X
C
，
0
3
2
3
3
5
C C
1
(
3)
C
10
P X
，
则X 分布列如下：
X
1
2
3
P
3
10
3
5
1
10
所以
3
3
1
9
1
2
3
10
5
10
5
E X
.
故答案为：9
5 .
22.某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5 的五批疫苗，供全市所
辖的A，B，C 三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，记A，B，C 三个区选择的疫苗
批号的中位数为X，则X 的期望是
．
【答案】3
【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，由三个区选择的疫苗批号的中位数为X 的所有可能值
为1,2,3,4,5，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.
【详解】设三个区选择的疫苗批号的中位数为X ，则X 的所有可能值为1,2,3,4,5，
可得
2
2
1
3
3
3
3
3
3
3
1 C
4
1 C
4
C A
13
31
(
1)
, (
2)
5
125
5
125
P X
P X
，
2
1
1
3
2
1
3
3
2
2
3
3
3
3
3
3
1 C
4
C C A
1 C
4
C A
37
31
(
3)
, (
4)
5
125
5
125
P X
P X
，
2
3
3
1 C
4
13
(
5)
5
125
P X
，
所以X 的数学期望为
13
31
37
31
13
1
2
3
4
5
3
125
125
125
125
125
E X
.
故答案为：3.
23.已知随机变量X 的分布为
2
1
3
0.16
0.44
0.40
，则
2
5
E
X
.
【答案】7.64
【分析】
根据期望的计算公式以及性质即可求解.
【详解】由题意可得
2 0.16
0.44
3 0.4
1.32
E X
,
所以
2
5
2
5
7.64
E
X
E X
,
故答案为：7.64
24.已知某人每次投篮的命中率为
0
1
p
p
，投进一球得1 分，投不进得0 分，记投篮一次的得分为X，
则
4
3
2
D X
E X
的最大值为
．
【答案】2
2 3
/ 2 3
2
【分析】
结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意可知，X 服从两点分布，可得
E X
p
，0
1
p
，
1
D X
p p
，则
4
3
4
1
3
3
2
2
2
2
2
D X
p
p
p
E X
p
p
3
3
2
2
2
2 2
2
2 3
2
2
p
p
p
p
，
当且仅当
3
2
2
p
p
，即
3
2
p
时，等号成立，
故
4
3
2
D X
E X
最大值为2
2 3
．
故答案为：2
2 3
.
25.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为 3
4 ；第偶数局，乙赢的概率为 3
4 ．每一局没
有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩
的局数的数学期望为
．
【答案】16
3 / 1
5 3
【分析】利用期望满足的性质可求题设中的数学期望.
【详解】设甲、乙两人玩的局数为，其数学期望为
E ，由题设，游戏至少进行两局，
若
2
，则比分为2 : 0，且
3
1
3
(
2)
2
4
4
8
P
，
否则前两局的比分为1:1，从此刻开始知道游戏结束，进行的局数的期望跟比分为0 : 0 时相同，总局数的期
望为
2
E
，
故
3
3
2
1
2
8
8
E
E
，故
16
3
E
，
故答案为：16
3 .
26.在一次智力游戏中，甲、乙两人轮流答题，每人每次答一题，游戏开始时由甲先答题，约定：先答对题
者为游戏获胜方：当游戏分出胜负或两人各答错3 次时游戏均结束，两人各答错3 次视为平局．已知甲每
次答对题的概率均为1
4 ，乙每次答对题的概率均为1
3 ，且每次答题互不影响．
(1)求两人共答题不超过4 次时，甲获胜的概率；
(2)求游戏结束时乙答题次数X 的分布列与数学期望．
【答案】(1) 3
8 ；
(2)分布列见解析；期望为21
16 ．
【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率计算公式即可得到答案；
（2）首先写出X 所有可能的取值，再计算对应的概率，最后根据数学期望公式即可得到答案.
【详解】（1）计
iA ，
iB 分别表示甲、乙在第i 次答题答对，则
1
4
i
P A
，
1
3
i
P B
，
1,2,3
i
，
记“甲获胜”为事件C ，则
1
1
1
2
1
3
2
1
3
4
4
3
4
8
P C
P A
P A B A
；
（2）X 的所有可能为：0，1，2，3，
1
0
4
P X
，
3
1
3
2
1
3
1
4
3
4
3
4
8
P X
，
3
2
3
1
3
2
3
2
1
3
2
4
3
4
3
4
3
4
3
4
16
P X
，
3
2
3
2
3
3
3
4
3
4
3
4
16
P X
，
综上所述，X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
1
4
3
8
3
16
3
16
数学期望
1
3
3
3
21
0
1
2
3
4
8
16
16
16
E X
（次）．
27.2023 年12 月11 日至12 日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新
能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车
要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只
有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5 分、良好可得3 分、合格可得1 分，该型号新能源汽车在碰
撞测试中结果为优秀的概率为
1
2 ，良好的概率为1
3 ；在续航测试中结果为优秀的概率为2
5 ，良好的概率为
2
5 ，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
【答案】(1) 3
10
(2)分布列见解析，数学期望为106
15
【分析】
（1）设出事件，得到相应的概率，相加后得到答案；
（2）得到随机变量的可能取值及对应的概率，得到分布列和数学期望.
【详解】（1）记事件
iA 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为i 分(
1,3,5)
i
”，
则
5
1
2
P A
，
3
1
3
P A
，
1
1
1
2
P A
1
1
3
6
.
记事件
iB 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i 分(
1,3,5)
i
”，
则
5
2
5
P B
，
3
2
5
P B
，
1
2
1
5
P B
2
1
5
5
.
记事件C 为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
5
1
3
1
1
5
1
3
( )
P C
P A B
P A B
P A B
P A B
1
1
1
1
1
0
2
1
2
2
5
3
5
6
5
1
5
6
3
，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为3
10 .
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，
1
1
1
(
2)
6
5
30
P
，
1
1
1
2
2
(
4)
3
5
6
5
15
P
，
1
1
1
2
1
2
3
(
6)
2
5
6
5
3
5
10
P
，
1
2
1
2
1
(
8)
2
5
3
5
3
P
，
1
2
1
(
10)
2
5
5
P
，
则离散型随机变量的分布列为
2
4
6
8
10
P
1
30
2
15
3
10
1
3
1
5
所以数学期望
1
2
3
( )
2
4
6
8
30
15
10
E
1
1
106
10
3
5
15
.
28.现有5 个红色气球和4 个黄色气球，红色气球内分别装有编号为1，3，5，7，9 的号签，黄色气球内分
别装有编号为2，4，6，8 的号签.参加游戏者，先对红色气球随机射击一次，记所得编号为a ，然后对黄
色气球随机射击一次，若所得编号为2a ，则游戏结束；否则再对黄色气球随机射击一次，将从黄色气球中
所得编号相加，若和为2a ，则游戏结束；否则继续对剩余的黄色气球进行射击，直到和为2a 为止，或者
到黄色气球打完为止，游戏结束.
(1)求某人只射击两次的概率；
(2)若某人射击气球的次数X 与所得奖金Y 的关系为
10(5
)
Y
X
，求此人所得奖金Y 的分布列和期望.
【答案】(1) 1
10
(2)分布列见解析，20
3
【分析】
（1）利用古典概型计算概率的公式和概率的基本性质计算即可；
（2）分别求出射击两次、三次、四次和五次的概率，然后列分布列求期望即可.
【详解】（1）设
iA 表示事件：对红色气球随机射击一次，所得编号为i ，则
1 (
1,3,5,7,9)
5
i
P A
i
，
设
iB 表示事件：对黄色气球随机射击一次，所得编号为j ，则
1 (
2,4,6,8)
4
j
P B
j
，
C 表示事件：某人只射击两次.
则
1
2
3
6
1
2
3
6
( )
P C
P A B
A B
P A B
P A B
1
2
3
6
P A P B
P A P B
1
1
1
1
1
5
4
5
4
10
.
即某人只射击两次的概率为1
10 .
（2）由题知X 的可能取值为2，3，4，5，Y 为30，20，10，0，
其概率分别为
1
(
30)
(
2)
( )
10
P Y
P X
P C
，
(
20)
(
3)
P Y
P X
2
2
3
2
4
2
5
4
6
2
8
2
P A B B
P A
B B
B B
A
A
2
7
6
8
2
P A B B
A
3
2
4
5
4
6
2
2
P A P B
P B
P A
P B
P B
5
2
8
7
6
8
2
2
P A
P B
P B
P A
P B
P B
1
1
1
2
8
5
4
3
15
，
3
3
7
2
4
8
3
9
4
6
8
3
(
10)
(
4)
P Y
P X
P A B B B
P A B B B
A
A
7
2
4
8
6
P A
P B
P B
P B
9
4
6
8
6
P A
P B
P B
P A
1
1
1
1
1
6
2
5
4
3
2
10
，
(
0)
(
5)
P Y
P X
2
1
( (
2)
(
3)
(
4))
3
P X
P X
P X
，
Y 的分布列为
Y
0
10
20
30
P
2
3
1
10
2
15
1
10
2
1
2
1
20
( )
0
10
20
30
3
10
15
10
3
E Y
.
29.为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑
雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程，若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率
为1
3 ：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为3
4 ，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为2
5 .
(1)若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：
(2)若某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X，
求X 的分布列及期望，
【答案】(1) 3
10
(2)分布列见解析，27
20
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解；
（2）易得随机变量X 的可能取值为1，2，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.
【详解】（1）解：若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ，
则
3
2
3
4
5
10
P A
.
（2）随机变量X 的可能取值为1，2.
3
2
3
1
13
2
2
1
1
7
1
,
2
.
5
3
4
3
20
5
3
4
3
20
P X
P X
所以X 的分布列为：
X
1
2
P
13
20
7
20
13
7
27
2
.
20
20
20
E X
