7.5 正态分布
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：连续型随机变量............................................................. 2
考点二：正态曲线与正态分布....................................................... 2
考点三：正态曲线的特点............................................................. 2
考点四：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则................2
考点五：正态分布的期望与方差.................................................... 3
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：正态密度函数................................................................ 3
题型二：正态曲线及特点............................................................. 6
题型三：标准正态分布的性质......................................................10
题型四：利用正态曲线的对称性求概率..........................................13
题型五：利用3σ原则求概率.......................................................15
题型六：正态分布的实际应用......................................................18
模块三：综合巩固....................................................................... 29
7.5 正态分布
模块一：基础知识
考点一：连续型随机变量
除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某
个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
考点二：正态曲线与正态分布
1．我们称f(x)＝
1
σ 2π
2
2
(
)
2
e
x
，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密
度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X 的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1 时，称随机变量X 服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X 取值不超过x 的概率P(X≤x)为图中区域A 的面积，而P(a≤X≤b)为区
域B 的面积．
考点三：正态曲线的特点
1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x 轴的上方．
2．曲线与x 轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值
1
σ 2π
.
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x 轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X 的分布比较集中；σ较大时，
曲线“矮胖”，表示随机变量X 的分布比较分散，如图②.
考点四：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X 的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]
内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学
中称为3σ原则．
考点五：正态分布的期望与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
模块二：题型分类
题型一：正态密度函数
1.已知正态分布密度函数��=
1
8π �−�2
8 ，�∈�，则�, �分别是（）
A．0 和4
B．0 和2
C．0 和8
D．0 和2
【解题思路】将��=
�
�π �−��
�化为正态密度函数的定义形式，即可求出�, �.
【解答过程】∵��=
�
�π �−��
�=
�
����
−�−��
�×��，
∴�＝�，�＝�.
故选：B.
2.设随机变量�~�0,1 ，则X 的密度函数为（
）
A．��=
1
2π e−�2
2
B．��=
1
2π e−�−1 2
2
C．��=
1
2π e−�2
2
D．��=
1
2π e−�−1 2
2
【解题思路】根据正态分布的定义可求得�= �, �= �，从而可求X 的密度函数.
【解答过程】因为�~��, �，所以�= �, ��= �，即�= �，
所以X 的密度函数为A.
故选：A.
3.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝
，方差σ2=
.
【答案】
20
2
【分析】利用正态曲线的性质求解.
【详解】从给出的正态曲线可知，
该正态曲线关于直线x＝20 对称，最大值是
1
2 ，
所以μ＝20，
1
2
＝
1
2 ，
解得σ＝
2 ，
因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝(
2 )2＝2.
故答案为：20；2.
4.如图，是当取不同值
1
2
3
,
,
的三种正态曲线
2
(0,
)
N
的图象，那么
1
2
3
,
,
的关系是（）
A．
1
2
3
1
0
B．
1
2
3
0
1
C．
1
2
3
1
0
D．
1
2
3
0
1
【答案】D
【详解】本题考查正态分布密度曲线的性质.
由图象可知，此正态分布为标准正态分布，其函数的解析式为
2
2
2
1
,
2
x
f x
e
x
R
．对于正态分布密
度曲线，其标准差反映该组数据的离散程度．越大，数据越分散，曲线越矮胖；越小，数据越集中，
曲线越瘦高.因而一定有
1
2
3
0
又由
2
2
2
1
,
2
x
f x
e
x
R
知，当
0
x
时，
2
2
2
0
2
0
2
2
2
1
1
1
0
2
2
2
f
e
e
由图象知
1
0
2
f
，则
2
1
1
2
2
，所以
2
1
.
故正确答案为D
5.下列是关于正态曲线��=
1
2��e
−�−�2
2�2
�∈R 性质的说法：
①曲线关于直线�= �对称，且恒位于�轴上方；
②曲线关于直线�= �对称，且仅当�∈−3�, 3�时才位于�轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于�轴对称；
④曲线在�= �处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由�确定，曲线的形状由�确定.
其中说法正确的是（
）
A．①④⑤
B．②④⑤
C．③④⑤
D．①⑤
【解题思路】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项.
【解答过程】正态曲线��关于直线�= �对称，该曲线总是位于�轴上方，故①正确；②不正确；
只有当�= �时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于�轴对称；此时为标准正态分布，当�≠�时，不
是偶函数，故③不正确；
正态曲线��是一条关于直线�= �对称，在�= �处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低
的曲线，故④正确；
曲线的位置由对称轴�= �确定，曲线的形状由�确定，�越大，图象越矮胖，�越小，图象越瘦高，故⑤
正确；
故①④⑤说法正确.
故选：A.
6.已知三个正态分布密度函数���=
1
2π��e
−
�−��
2
2��2
�∈R, �= 1,2,3 的图象如图所示，则下列结论正确的是
（
）
A．�1 = �2 > �3，�1 = �2 > �3
B．�1 < �2 = �3，�1 = �2 < �3
C．�1 < �2 = �3，�1 = �2 > �3
D．�1 = �2 > �3，�1 = �2 < �3
【解题思路】结合正态分布密度函数中参数�表示其均值大小，�表示离散程度，利用图象形状即可判断
出结论.
【解答过程】根据正态分布密度函数中参数�，�的意义，
结合图象可知���，���对称轴位置相同，所以可得��= ��；
且都在���的右侧，即��< ��= ��，
比较���和���图像可得，其形状相同，即��= ��，
又���的离散程度比���和���大，所以可得��= ��< ��；
故选：B．
题型二：正态曲线及特点
1.如图是三个正态分布�~�(0,0.64)，�~�(0,1)，�~�(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z 对应曲
线的序号分别依次为（
）.
A．①②③
B．③②①
C．②③①
D．①③②
【解题思路】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当�较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行
判定.
【解答过程】由题意，得�(�) = �. �，�(�) = �，�(�) = �，
因为当�较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且�(�) < �(�) < �(�)，
所以三个随机变量X，Y，Z 对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
故选：A.
2.已知三个正态密度函数
2
2
2
1
e
2
i
i
x
i
i
x
（x
R
，
1,2,3
i
）的图像如图所示，则（
）
A．
1
3
2
，
1
2
3
B．
1
2
3
，
1
2
3
C．
1
3
2
，
1
2
3
D．
1
2
3
，
1
2
3
【答案】C
【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.
【详解】由题图中
i
y
x
的对称轴知：
1
3
2
，
1
y
x
与
2
y
x
(一样)瘦高，而
3
y
x
胖矮，
所以
1
2
3
.
故选：C
3.设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若
(
0)
P
p
，则
(0
1)
P
与
( )
D 分别为
（
）
A．1
1
,
2
2
p
B．
1
, 2
p
C．1
1
,
2
4
p
D．
1
, 4
p
【答案】C
【分析】根据题意和正态曲线即可求得
(0
1)
P
，又根据正态曲线可得
2
1
~
1, 2
N
，进而即可求得
( )
D ．
【详解】根据题意，且
(
0)
P
p
，则
1
2
1
(0
1)
2
2
p
P
p
，
由正态曲线得
2
1
~
1, 2
N
，所以
2
1
1
( )
2
4
D
．
故选：C．
4.设�~��1, �1
2 ，�~��2, �2
2 ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（
）
A．�(�≥�2) ≥�(�≥�1)
B．�(�≤�2) ≤�(�≤�1)
C．对任意正数�，�(�≤�) ≥�(�≤�)
D．对任意正数�，�(�≥�) ≥�(�≥�)
【解题思路】由正态密度曲线的性质结合图像可得��< ��，�< ��< ��可判断AB，由密度曲线与横轴
所围成的图形的面积的意义可判断CD.
【解答过程】A 选项：�~���, ��
�、�~���, ��
�的密度曲线分别关于�= ��、�= ��对称，
因此结合所给图像可得��< ��，所以�(�≥��) < �(�≥��)，故A 错误；
B 选项：又�∼�(��, ��
�)的密度曲线较�∼�(��, ��
�)的密度曲线“瘦高”，
所以�< ��< ��，所以�(�≤��) > �(�≤��)，故B 错误；
CD 选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：
对任意正数�，�(�≤�) ≥�(�≤�)．�(�≥�) ≤�(�≥�),故C 正确，D 错误．
故选：C．
5.已知三个正态密度函数��(�) =
1
2���e
−(�−��)2
2��
2 （�∈�，�= 1,2,3）的图像如图所示，则（
）
A．�1 = �3 > �2，�1 = �2 > �3
B．�1 < �2 = �3，�1 < �2 < �3
C．�1 = �3 > �2，�1 = �2 < �3
D．�1 < �2 = �3，�1 = �2 < �3
【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.
【解答过程】由题图中�= ��(�)的对称轴知：��= ��> ��，
�= ��(�)与�= ��(�)(一样)瘦高，而�= ��(�)胖矮，
所以��= ��< ��.
故选：C.
6.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析
得到，假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，�~N �1, 62 , �~N �2, 22 ．X 和Y 的分布
密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（
）
A．�(�) = 6
B．�1 > �2
C．�(�≤38) < �(�≤38)
D．�(�≤34) < �(�≤34)
【解题思路】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A 中，随机变量�服从正态分布，且�~���, ��，
可得随机变量�的方差为��= ��，即�(�) = ��，所以A 错误；
对于B 中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量��= ��, ��= ��，
所以��< ��，所以B 错误；
对于C 中，根据正态分布密度曲线图像，可得�≤��时，随机变量�对应的曲线与�围成的面积小于�≤��
时随机变量�对应的曲线与�围成的面积，
所以�(�≤��) < �(�≤��)，所以C 正确；
对于D 中，根据正态分布密度曲线图像，可得�(�≤��) >
�
�，�(�≤��) =
�
�，
即�(�≤��) > �(�≤��)，所以D 错误.
故选：C.
7.设
2
1
1
~
,
X
N
，
2
2
2
~
,
Y
N
，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．
2
1
P Y
P Y
D．
2
1
P X
P X
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小
【详解】因为
2
1
1
~
,
X
N
，
2
2
2
~
,
Y
N
，两曲线分别关于
1
2
,
x
x
对称，
所以由图可知，
1
2
，所以A 错误，
因为X 的分布曲线“高瘦”，Y 的分布曲线“矮胖”，
所以
1
2
，所以B 错误，
所以
2
1
P Y
P Y
，
2
1
P X
P X
，
所以C 错误，D 正确，
故选：D
题型三：标准正态分布的性质
1.设随机变量�服从标准正态分布�(0,1)，已知�( −1.96) = 0.025，则�( �< 1.96) =（
）
A．0.025
B．0.050
C．0.950
D．0.975
【解题思路】根据变量符合正态分布，且对称轴为�= �，得到�( �< �. ��) = �−��( −�. ��)应用所
给条件即可求出结果.
【解答过程】�服从标准正态分布�(�，�)，
∴�( �< �. ��) = �( −�. ��< �< �. ��) = �(�. ��) −�( −�. ��)
= �−��( −�. ��) = �−�× �. ���= �. ���，
故选：C.
2.设随机变量
0,1
N
，已知
1.96
0.025
P
，则
1.96
P
（
）
A．0.95
B．0.05
C．0.975
D．0.425
【答案】A
【分析】服从标准正态分布，利用标准正态分布的对称性可求得其概率．
【详解】
1
1
(
1.96)
2
1.96
2
0.025
0.950
2
2
P
P
.
故选：A.
3.某校高三数学摸底考试成绩X （单位：分）近似服从正态分布
2
110,
N
，且
90
130
0.86
P
X
，
该校高三数学摸底考试成绩超过90 分的人数有930 人，则（
）
A．估计该校高三学生人数为1200
B．估计该校学生中成绩不超过90 分的人数为70．
C．估计该校学生中成绩介于90 到110 分之间的人数为425．
D．估计该校学生中成绩不超过90 分的人数比超过130 分的人数多．
【答案】B
【分析】
由正态分布曲线的对称性可求得
90
P X
，由频数、频率和总数的关系可求得结果．
【详解】
解：由
90
130
0.86
P
X
，得
1
90
1 0.86
0.07
2
P X
，
90
1 0.07
0.93
P X
．
估计该校学生人数为：930
0.93
1000
人，A 不正确；
估计该校学生中成绩不超过90 分的人数为1000 0.07
70
，B 正确；
估计该校学生中成绩介于90 到110 分之间的人数为1000 0.86
2
430
，C 错误；
由
1
90
130
1 0.86
0.07
2
P X
P X
，
估计该校学生中成绩不超过90 分的人数与超过130 分的人数相等，D 错误，
故选：B．
4.阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，其密
度曲线如图所示，则以下结论错误的是（
）
A．Y 的数据较X 更集中
B．若有34min 可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min 可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
(
30)
30
1
P X
P Y
【答案】D
【分析】
根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
【详解】观察图象知，
2
2
1
2
~
30,
,
~
34,
X
N
Y
N
，
对于A，Y 的密度曲线瘦高、X 的密度曲线矮胖，即随机变量Y 的标准差小于X 的标准差，即
1
2
，
因此Y 的数据较X 更集中，A 正确；
对于B，显然
1
(
34)
(
34)
2
P X
P Y
，则当有34min 可用时，坐公交车不迟到的概率大，B 正确；
对于C，显然
(
38)
(
38)
P X
P Y
，则当有38min 可用时，骑自行车不迟到的概率大，C 正确；
对于D，显然
1
1
(
30)
,
(
30)
(
34)
2
2
P X
P Y
P Y
，因此
(
30)
(
30)
1
P X
P Y
，D 错误.
故选：D
5.设随机变量�服从正态分布�0,1 ，则下列结论正确的是（
）
①��< �= ��< �+ ��>−�
�> 0 ；②��< �= 2��< �−1 �> 0 ；
③��< �= 1 −2��< �
�> 0 ；④��< �= 1 −��≥�
�> 0 ．
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
【解题思路】由��< �= �−�< �< �可判断①，根据正态分布曲线的对称性可得��< �=
���< �−�可判断②③，由��< �+ ��≥�= �可判断④.
【解答过程】因为随机变量�服从正态分布��, �，
因为��< �= �−�< �< �，所以①不正确；
因为��< �= �−�< �< �= ��< �−��<−�= ��< �−��> �
= ��< �−�−��< �
= ���< �−��> �，
所以②正确，③不正确；
因为��< �+ ��≥�= �，
所以��< �= �−��≥�
�> �，所以④正确．
所以结论正确的是②④.
故选：D.
6.设随机变量�~�(0,1), �(�) = �(�⩾�)，其中�> 0，则下列等式成立的是（
）
A．�(2�) = 2�(�)
B．�( −�) = 1 −�(�)
C．�(�⩽�) = 2�(�) −1
D．�(|�| > �) = 2 −�(�)
【解题思路】根据随机变量�服从标准正态分布�(�, �)，得到正态曲线关于�= �对称，再结合正态分布
的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项，即可得到答案．
【解答过程】解：因为随机变量�~�(�, �)，
所以正态曲线关于直线�= �对称，
因为�(�) = �(�⩾�)(�> �)，
所以根据正态曲线的对称性可得�( −�) = �(�< �) = �−�(�)，故选项B 正确；
因为�(��) = �(�⩾��)，��(�) = ��(�⩾�)，所以选项A 错误；
�(�⩽�) = �−�(�⩾�) = �−�(�)，故选项C 错误；
�(|�| > �) = �(�> �或�<−�) = ��(�)，故选项D 错误．
故选：B．
7.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本
方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时�~�(30, 62)，骑自行车用时
�~�(34, 22)，则（
）
A．�(�≤38) > �(�≤38)
B．�(�≤34) > �(�≤34)
C．如果有38 分钟可用，小明应选择坐公交车D．如果有34 分钟可用，小明应选择自行车
【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答过程】因为�~�(��, ��)，�~�(��, ��)，
将�, �化为标准正态分布，则
�−��
�
∼��, �,
�−��
�
∼��, �，
因为
��−��
�
<
��−��
�
，所以�(�≤��) < �(�≤��)，故A 错误；
又�(�≤��) >
�
�, �(�≤��) =
�
�，�(�≤��) > �(�≤��)，故B 正确；
因为�(�≤��) < �(�≤��)，所以如果有38 分钟可用，小明应选择自行车，故C 错误；
因为�(�≤��) > �(�≤��)，所以如果有34 分钟可用，小明应选择坐公交车，故D 错误.
故选：B．
题型四：利用正态曲线的对称性求概率
1.已知随机变量�服从正态分布�2, �2 ，且��< 3 = 0.6，则�1 < �< 2 =（
）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【解题思路】根据题意，由正态分布密度曲线的性质，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由题意可得�= �，且��< �= �. �，则��> �= ��< �= �−�. �= �. �，所以��<
�< �=
�−�.�×�
�
= �. �.
故选：A.
2.设随机变量X 服从正态分布�3,4 ，若��> �−2 = ��< 6 −3�，则�=（
）
A．−2
B．−1
C．
1
2
D．1
【解题思路】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.
【解答过程】由题意随机变量X 服从正态分布��, �，即正态分布曲线关于�= �对称,
因为��> �−�= ��< �−��，
故
�−�+(�−��)
�
= �, ∴�=−�，
故选：B.
3.某班有45 名学生，最近一次的市联考数学成绩X 服从正态分布
2
95,
N
，若
75,115
X
的学生人为
18，则
115
P X
（
）
A．0.2
B．0.25
C．0.3
D．0.35
【答案】C
【分析】结合3原则与正态分布曲线的对称性即可求解．
【详解】由题可设
115
75
P X
P X
m
，则
75
115
1 2
P
X
m
，
又
75,115
X
的学生人数为
45 1 2
18
m
，故
0.3
m
.
故选：C
4.已知随机变量X 服从正态分布
2
N
,
，若
4
2
P X
P X
，则（
）
A．1
B．1
C．2
D．2
【答案】B
【分析】由正态分布曲线的对称性直接求解即可.
【详解】
2
N
,
X
，
4
2
P X
P X
，
4
2
1
2
.
故选：B.
5.已知随机变量
2
~
,
,
X
N
且
1
2
1
1
2
1
1
P X
P X
P
X
，则（
）
A．1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性列方程，再解方程即可.
【详解】
1
1
1
P
X
P
X
，
2
1
2
1
2
1
P
X
P X
P X
.
因为
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
P
X
P
X
P
X
P X
P X
，
所以
1
2
1
，解得
0
.
故选：B.
6.若随机变量�∼�10, 22 ，则下列选项错误的是（
）
A．��≥10 = 0.5
B．��≤8 + ��≤12 = 1
C．�8 ≤�≤12 = 2�8 ≤�≤10
D．�2�+ 1 = 8
【解题思路】根据正态分布曲线的对称性即可结合选项逐一求解,
【解答过程】根据随机变量�∼���, ��可知正态分布曲线的对称轴为�= ��，均值为2，方差为4，
所以��≥��= �. �，故A 正确，��≤�+ ��≤��= ��≥��+ ��≤��= �，故B 正确，
��≤�≤��= ���≤�≤��，C 正确，
���+ �= ���= ��，故D 错误，
故选：D.
7.在某项测试中，测量结果�∼�1, �2
�> 0 ，若�1 < �< 2 = 0.3，则��≤0 =（
）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【解题思路】由正态分布的对称性求解即可.
【解答过程】解析：由正态分布知��> �= �. �，因为��< �< �= �. �，
∴��≥�= �. �，由对称性知��≤�= ��≥�= �. �，
故选：B．
题型五：利用3σ原则求概率
1.已知
2
~
4,
N
，且
(2
6)
0.6827
P
，则
，
(|
2| 4)
P
．
【答案】
2
0.84
【分析】利用正态分布的三个常用数据可求出的值，再根据
(|
2 | 4)
( 2
6)
P
P
，借助常用数据
和正态曲线的对称性，可求出概率值.
【详解】因为
2
~
4,
N
，且
(2
6)
0.6827
P
又
(
)
0.6827
P
X
，故
2
又
0.9973
0.6827
(
2
4)
( 2
6)
(
3
)
0.84
2
P
P
P
X
故答案为：2；0.84
2.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X 近似服从正态分布N(70，72)，已
知成绩在77 分以上的学生有208 人，如果成绩大于84 分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有
人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)
【答案】26
【分析】由已知求得
70
，
7
，利用对称性求得
(
77)
0.16
P X
，可得成绩在77 分以上的学生有208
人，求得高二学生总人数，求出
(
84)
0.02
P X
.
，利用概率求得结果．
【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得
70
，
7
，
1
1
(
77)
(
)
(
)
0.16
2
2
P X
P X
P
X
，又成绩在77 分以上的学生有208 人，则高二学生
总数为208
0.16
1300
；
1
1
(
84)
(
2
2 )
0.02
2
2
P X
P
X
，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有1300 0.02
26
人.
故答案为：26.
3.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布�90,4 （单位：g），现有该新品
种大枣10000 个，估计单果质量在86,92 范围内的大枣个数约为（
）附：若�∼��, �2 ，则��−�<
�< �+ �= 0.6826，��−2�< �< �+ 2�= 0.9544，��−3�< �< �+ 3�= 0.9974.
A．8185
B．8400
C．9974
D．9987
【解题思路】求出�、�的值，结合��原则可求得���< �< ��的值，乘以�����可得结果.
【解答过程】因为�= ��，�= �，则��= �−��，��= �+ �，
则���< �< ��= ��−��< �< �+ �
= �
���−��< �< �+ ��+ ��−�< �< �+ �
=
�
�× �. ����+ �. ����= �. ����，
因此，估计单果质量在��, ��范围内的大枣个数约为�����× �. ����= ����个.
故选：A.
4.若随机变量�~�
�, �2
�> 0 ，则有如下结论：（��−�< �= 0.6826，��−�< 2�= 0.9544，
��−�< 3�= 0.9974）,高三（1）班有40 名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，
方差为100，理论上说在130 分以上人数约为（
）
A．19
B．12
C．6
D．5
【解题思路】由正态曲线的对称性求出理论上说在130 分以上的概率，即可求出理论上说在130 分以上人
数.
【解答过程】∵数学成绩近似地服从正态分布����, ���，��−�< �= �. ����，
∴��−���< ��= �. ����，
根据正态曲线的对称性知：理论上说在130 分以上的概率为
�
��−�. ����= �. ����，
∴理论上说在130 分以上人数约为�. ����× ��≈�.
故选：C．
5.已知随机变量�~�20, 22 ，则�(�< 16) =（
）(附：若�~��, �2 ，则��−�≤�≤�+ �≈0.6827，
��−2�≤�≤�+ 2�≈0.9545)
A．0.02275
B．0.1588
C．0.15865
D．0.34135
【解题思路】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
【解答过程】由题意可得：�= ��, �= �，则���≤�≤��≈�. ����，
所以�(�< ��) =
�
��−���≤�≤��
≈�. �����.
故选：A.
6.为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩�∼
�(70,100)，其中60 分及以上为及格，90 分及以上为优秀，则下列说法正确的是（
）
附：若�∼��, �2 ，则�(�−�≤�< �+ �) = 0.6826，�(�−2�≤�< �+ 2�) = 0.9544．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为85
C．该校学生体育成绩的及格率小于85%
D．该校学生体育成绩的优秀率大于3%
【解题思路】根据正态分布的特征可求A,B 选项的正误，根据优秀和及格的标准可得C,D 选项的正误.
【解答过程】因为�∼�(��, ���)，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A,B 均不正确；
因为60 分及以上为及格，
所以�(�≥��) = �−
�−�(��−��≤�<��+��)
�
= �. ����< �. ��，C 正确；
因为90 分及以上为优秀，所以�(�≥��) =
�−�(��−��≤�<��+��)
�
= �. ����< �. ��，D 不正确.
故选：C.
7．据统计2023 年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X 服从正态分布
2
2000,100
N
，则在此期
间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800 的概率为（
）
附：
2
~
,
X
N
，
(
)
0.6827
P
X
，
(
2
2 )
0.9545
P
X
，
(
3
3 )
0.9973
P
X
A．0.4987
B．0.8413
C．0.9773
D．0.9987
【答案】C
【分析】根据3原则求得正确答案.
【详解】依题意，
=2000, =100
，
1800 =
2
P X
P X
1 0.9545
=1
=0.97725
0.9773
2
.
故选：C
8．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩
~
78,9
X
N
，如果按照16%，34%，34%，16%的比例
将考试成绩由高到低分为A，B，C，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（
）
参考数据：若
2
~
,
X
N
，则
0.68
P X
，
2
0.96
P X
.
A．69
B．81
C．87
D．96
【答案】B
【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
【详解】由题意可知：
78,
9
3
，
因为
1
0.16
2
P X
P X
，
所以A 等级的分数线应该是
78
3
81
.
故选：B.
9．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计
测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X 服从正态分布
0.05
36.9,
N
n
，若X 的值在
36.6,37.2 内的概率
约为0.9973，则n 的值约为（
）
参考数据：若
2
~
,
X
N
，则
3
0.9973
P X
．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据体温X 服从正态分布
0.05
36.9,
N
n
，结合X 的值在
36.6,37.2 内的概率约为0.9973，且
3
0.9973
P X
，得到
36.9
3
36.9
3
0.9973
P
X
求解.
【详解】解：因为体温X 服从正态分布
0.05
36.9,
N
n
，
所以
2
0.05
36.9,
n
，
因为X 的值在
36.6,37.2 内的概率约为0.9973，且
3
0.9973
P X
，
则
36.9
3
36.9
3
0.9973
P
X
，
所以
36.9
3
36.9
3
36.9
0.3
36.9
0.3
P
X
P
X
，
则3
0.3
，解得
0.1
，
所以
2
0.05
0.1
n
，解得
5
n
，
故选：C
题型六：正态分布的实际应用
1.某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布
(60,100)
N
，规定：分数高于80分为优秀．
(1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有40000 名高二年级的考生，估计全市物理成绩在(50,80] 内的学生人数．
参考数据：若
2
~
,
X
N
，则
0.6826
P
X
，
2
2
0.9544
P
X
，
3
3
0.9974
P
X
．
【答案】(1) 2.28%
(2)32740人
【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果；
（2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案.
【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量X ，
则
~
(60,100)
X
N
，所以
60
，
10
，
所以
(40
80)
(
2
2 )
0.9544
P
X
P
X
，
1
(40
80)
(
80)
0.0228
2
P
X
P X
，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为2.28% ．
（2）由题意，得
(
)
0.6826
P
X
，
(
2
2 )
0.9544
P
X
，
即
(50
70)
0.6826
P
X
，
(40
80)
0.9544
P
X
，
所以
1
(50
60)
(50
70)
0.3413
2
P
X
P
X
，
1
(60
80)
(40
80)
0.4772
2
P
X
P
X
，
所以
(50
80)
(50
60)
(60
80)
0.3413
0.4772
0.8185
P
X
P
X
P
X
．
又40000 0.8185
32740
，
所以全市物理成绩在(50,80]内的学生人数估计为32740人．
2.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了
100 个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100 箱到600 箱之间）情况如下：
丑橘数量（箱）
100,200
200,300
300,400
400,500
500,600
购物群数量（个）
�
18
�+ 8
�+ 20
18
(1)求实数�的值，并用组中值估计这100 个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；
(2)假设所有购物群销售丑橘的数量�服从正态分布��, �2 ，其中�为（1）中的平均数，�2 =12100.若参与
销售该基地丑橘的购物群约有2000 个，销售丑橘的数量在[266,596)（单位：箱）内的群为“一级群”，销
售数量小于266 箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596 箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个
“优质群”奖励1000 元，每个“一级群”奖励200 元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？
附：若�服从正态分布�∼��, �2 ，则�(�−�< �< �+ �) ≈0.683, �(�−2�< �< �+ 2�) ≈
0.954, �(�−3�< �< �+ 3�) ≈0.997.
【解题思路】（1）根据样本总数可得�+ ��+ �+ �+ �+ ��+ ��= ���，可求得�= ��，利用平均数
的定义即可求得平均数为376（箱）.
（2）根据购物群的划分等级，利用正态分布的对称性可分别求出各类群的数量，即可求得奖励资金应准
备373400 元.
【解答过程】（1）由题意得�+ ��+ �+ �+ �+ ��+ ��= ���，解得�= ��.
故平均数为
�
���× ���× ��+ ���× ��+ ���× ��+ ���× ��+ ���× ��= ���（箱）.
（2）由题意，�= ���, �= ���，且���= ���−���= �−�, ���= ���+ ���= �+ ��，
故�(�> ���) = �(�> �+ ��) =
�
�× �−�. ���= �. ���，
所以“优质群”约有����× �. ���= ��（个），
�(���≤�< ���) = �(�−�< �< �+ ��) =
�
�× �. ���+
�
�× �. ���= �. ����，
所以“一级群”约有����× �. ����= ����（个），
所以需要资金为��× ����+ ����× ���= ������（元），
故至少需要准备373400 元.
3.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进
行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3 个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2
分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4 分，答错不得分.
(1)若一共有100 人应聘，他们的笔试得分X 服从正态分布
60,144
N
，规定
72
X ≥
为达标，求进入面试环
节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为2
3 ，后两题答对的概率均为4
5 ，每道题是否答对互不影响，求
该应聘者的面试成绩Y 的数学期望.
附：若
2
~
,
X
N
（
0
），则
0.683
P
X
，
2
2
0.954
P
X
，
3
3
0.997
P
X
.
【答案】(1)16
(2)116
15
【分析】（1）由正态分布的性质可求得
72
P X
，由此可估计进入面试的人数．
（2）由已知得Y 的可能取值为0，2，4，6，8，10，分别求得Y 取每一个可能的值的概率，得的分布列，
根据数学期望公式可求得答案.
【详解】（1）
因为X 服从正态分布
60,144
N
，所以
60
，
12
，72
，
所以
1
0.683
72
0.1585
2
P X
≥
.
进入面试的人数
~
100,0.1585
Z
B
，
100
0.1585
16
E Z
.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）
由题意可知，Y 的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则
2
2
4
1
0
1
1
3
5
75
P Y
；
2
2
4
2
2
1
3
5
75
P Y
；
1
2
2
4
4
8
4
1
C
1
3
5
5
75
P Y
；
1
2
2
4
4
16
6
C
1
3
5
5
75
P Y
；
2
2
4
16
8
1
3
5
75
P Y
；
2
2
4
32
10
3
5
75
P Y
.
所以
1
2
8
16
16
32
580
116
0
2
4
6
8
10
75
75
75
75
75
75
75
15
E Y
.
4.零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，
质检部门随机抽查了100 个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
1.0,1.2
1.2,1.4
1.4,1.6
1.6,1.8
1.8,2.0
零件个数
10
25
30
25
10
已知零件的直径可视为服从正态分布��, �2 ，�，�2分别为这100 个零件的直径的平均数及方差（同一组
区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
(1)分别求�，�2的值；
(2)试估计这批零件直径在1.044,1.728 的概率；
(3)随机抽查2000 个零件，估计在这2000 个零件中，零件的直径在1.044,1.728 的个数.
参考数据：0.052 ≈0.228；若随机变量�∼��, �2 ，则��−�≤�≤�+ �≈0.6827，��−2�≤�≤
�+ 2�≈0.9545，��−3�≤�≤�+ 3�≈0.9973.
【解题思路】（1）根据平均数与方差的公式即可求解.
（2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.
（3）根据区间�. ���, �. ���上的概率计算即可.
【解答过程】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
�=
�
���× ��× �. �+ ��× �. �+ ��× �. �+ ��× �. �+ ��× �. �
=
�
���× ��× �. �+ �. �+ ��× �. �+ �. �+ ��× �. �
=
�
���× ���
= �. �.
��=
�
���× ��× �. �−�. ��+ ��× �. �−�. ��+ ��× �. �−�. ��+ ��× �. �−�. ��+ ��× �. �−�. ��
=
�
���× ��× �. ��+ ��× �. ��+ ��× �+ ��× �. ��+ ��× �. ��
=
�
���× �. �
= �. ���.
故�=�. �，��= �. ���.
（2）设�表示零件直径，则�∼��, ��，即�∼��. �, �. ����.
��−�≤�≤�+ �=��. �−�. ���≤�≤�. �+ �. ���=�. ����，
由对称性得，���. �≤�≤�. ���=�. ����，即��. �≤�≤�. ���=�. �����.
同理，��−��≤�≤�+ ��=��. �−�× �. ���≤�≤�. �+ �× �. ���=�. ����，
���. ���≤�≤�. �=�. ����，即��. ���≤�≤�. �=�. �����.
��. ���≤�≤�. �. ��=��. ���≤�≤�. �+��. �≤�≤�. ���=�. �����+ �. �����=�. ����.
故这批零件直径在�. ���, �. ���的概率为0.8186.
（3）由（2）知，��. ���≤�≤�. �. ��=�. ����，
所以在这2000 个零件中，零件的直径在�. ���, �. ���的有����× �. ����≈����个.
5.为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一
学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300 名教职工的学习时间（满时长
15 小时），将其分成[3,5), [5,7), [7,9), [9,11), [11,13), [13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同
一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量�服从正态分布��, �2 ，则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �≤�+
2�) ≈0.9545，�(�−3�< �≤�+ 3�) ≈0.9973．
(1)求a 的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间�近似服从正态分布��, �2 ，其中�近似为样本的平均数，经
计算知�≈2.39．若该地区有5000 名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9), [9,11)内的教职工中随机抽取5 人，并从中随机抽取3
人作进一步分析，分别求这3 人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
【解题思路】（1）由频率之和等于1，得出�；
（2）计算平均数得出�= �. ��，再由正态分布的概率估计即可；
（3）由分层抽样得出�的所有可能取值，再由超几何分布求解.
【解答过程】（1）解：由题意得�× (�. ��+ �. ��+ �+ �. ��+ �. ��+ �. ��) = �，解得�= �. ��．
（2）由题意知样本的平均数为
�× �. ��× �+ �× �. ��× �+ �× �. ��× �+ ��× �. ��× �+ ��× �. ��× �+ ��× �. ��× �= �. ��
，所以�= �. ��．
又�≈�. ��，所以
�(�. ��< �≤��. ��) = �(�−�< �≤�+ ��) = �
���−�< �≤�+ �+
�
���−��< �≤�+ ��≈
�
�× �. ����+ �. ����= �. ����．
则����× �. ����= ����，
所以估计该地区教职工中学习时间在(�. ��, ��. ��]内的人数约为4093．
（3）[�, �), [�,��)对应的频率比为�. ��: �. ��，即为�: �，
所以抽取的5 人中学习时间在[�, �), [�,��)内的人数分别为2，3，
设从这5 人中抽取的3 人学习时间在[�, �)内的人数为�，
则�的所有可能取值为0，1，2，
�(�= �) =
C�
�
C�
�=
�
��, �(�= �) =
C�
�C�
�
C�
�=
�
�, �(�= �) =
C�
�C�
�
C�
�=
�
��，
所以�(�) = �×
�
��+ �×
�
�+ �×
�
��=
�
�．
则这3 人中学习时间在[�, �)内的教职工平均人数约为1．
6.为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从
参加该活动的学生中随机抽取了100 名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
成绩（分）
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
2
4
22
40
28
4
(1)求抽取的100 名学生竞赛成绩的方差�2（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X 近似地服从正态分布��, �2 ，其中�近似为样本平均分
�ത，�2近似为样本方差�2，若�−�< �≤�+ 2�，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若�> �+ 2�，参
赛学生可获得“参赛先锋证书”.
①若我校有3000 名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96 分的学生能否获得“参赛先锋证书”.
附：若�~��, �2 ，则�(�−�< �≤�+ �) ≈0.6827，�(�−2�< �≤�+ 2�) ≈0.9545，�(�−3�< �≤
�+ 3�) ≈0.9973；抽取的这100 名学生竞赛成绩的平均分�ത= 75.
【解题思路】（1）利用公式直接求出方差即可；
（2）①结合给的概率和正态分布的性质，确定获得“参赛纪念证书”，进而计算可得人数；
②利用正态分布的知识求出�> �+ ��，即�> ��，进而可得结果.
【解答过程】（1）由题意，抽取的这100 名学生竞赛成绩的平均分�ഥ= ��，
所以100 名学生本次竞赛成绩方差
��= (��−��)�×
�
���+ (��−��)�×
�
���+ (��−��)�× ��
���
+ (��−��)�×
��
���+ (��−��)�×
��
���+ (��−��)�×
�
���= ���；
（2）①由于�近似为样本成绩平均分�ഥ，��近似为样本成绩方差��，
所以�= ��, ��= ���，可知，�=
���= ��，
由于竞赛成绩X 近似地服从正态分布��, ��，
因此竞赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率
�(�−�< �≤�+ ��) =
�
��(�−�< �≤�+ �) +
�
��(�−��< �≤�+ ��)
≈
�
�× �. ����+
�
�× �. ����= �. ����，
所以����× �. ����= ����. �≈����，
故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2456，
②当�> �+ ��时，即�> ��时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，
所以竞赛成绩为96 分的学生能获得“参赛先峰证书”.
7.浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄
岩区江口街道东岙村一棵树龄约120 多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天
东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有
积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径
2
~
,
X
N
（单位：mm），但因气候、施肥和
技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出
1000 颗，并测量这1000 颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.
(1)用频率分布直方图估计样本的平均数x 近似代替，标准差s 近似代替，已知
0.3
s
.根据以往经验，
把果径与的差的绝对值在2内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20 颗果，请问这20 颗果恰好有一
颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.
现该农场有一款“9 20
A
”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20 颗，售价80 元，客户在收到货时如果有坏
果，每一个坏果该农场要赔付4 元.根据收集到的数据，知若采用A 款包装盒，成本(1
5)
a
a
元，且每盒
出现坏果个数满足
1
,
1,2,3,4
2
1
(
)
,
0
16
0,
5,6,
,20
t
i
P
i
i
i
，若采用B 款包装盒，成本8
7
a 元，且每盒出现坏果个数满
足
1
,
1,2,3
(
)
2
0,
0,4,5,6,
,20
t
m
i
P
i
i
，（m 为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获
得更大利润?
参考数据：
36.2 0.2
36.4 0.25
36.6 0.7
36.8 0.8
37 1.1 37.2 0.8
37.4 0.65
37.6 0.4
37.8 0.05
38 0.05
185
；
(
)
0.6826
P
X
；
(
2
2 )
0.9544
P
X
；
(
3
3 )
0.9974
P
X
；
19
0.9544
0.412
；
20
0.9544
0.393
.
【答案】(1)0.38
(2)当
3
2
a
时，采用两种包装利润一样，当
3
1, 2
a
时，采用B 款包装盒，当
3 ,5
2
a
时，采用A 款包
装盒.
【分析】（1）利用二项分布求出相应概率；（2）分别求出采用A，B 款包装盒获得利润的数学期望，通过
比较大小，得到相应结论.
【详解】（1）由题意得：
185 0.2
37
x
，所以
37
，
0.3
s
，则
2
37
0.6
36.4
，
2
37
0.6
37.6
，所以
(36.4
)
0.9544
P
X
，设从农场中摘取20 颗果，这20 颗果恰好有一
颗不是“标准果”为事件A，则
1
19
20
1 0.9544
0.9544
20 0.0456 0.412
0.38
P A
C
（2）由1
1
1
1
2
4
8
m
m
m
，解得：
8
7
m
，所以
8 1
(
)
,
1,2,3
7 2
t
P
i
i
，采用A 款包装盒获得利润的
数学期望
2
3
4
1
1
1
1
1
147
80
4
80
4
1
2
3
4
2
2
2
2
2
E
E
a
a
a
，
采用B 款包装盒获得利润的数学期望
2
8
4
2
1
8
516
8
80
4
80
4
1
2
3
7
7
7
7
7
7
7
E
E
a
a
a
，
令147
516
8
2
7
7
a
a
，解得：a= 3
2 ，
由于1
5
a
，令147
516
8
2
7
7
a
a
，解得：
3 ,5
2
a
，
令147
516
8
2
7
7
a
a
，解得：
3
1, 2
a
，
故当
3
2
a
时，采用两种包装利润一样，当
3
1, 2
a
时，采用B 款包装盒，当
3 ,5
2
a
时，采用A 款包
装盒.
8.为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000 名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下
的频数分布表：
周末运动时间t （分钟）
30,40
40,50
50,60
60,70
70,80
80,90
人数
300
600
900
450
450
300
（1）从周末运动时间在
70,80 的学生中抽取3 人，在
80,90 的学生中抽取2 人，现从这5人中随机推荐2
人参加体能测试，记推荐的2 人中来自
70,80 的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）由频数分布表可认为：周末运动时间t 服从正态分布
2
( ,
)
N
，其中为周末运动时间的平均数t ，
近似为样本的标准差s ，并已求得
14.6
s
．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生
中随机抽取10名学生，记周末运动时间在
43.9,87.7 之外的人数为Y ，求
2
P Y
（精确到0.001）；
参考数据1：当
2
( ,
)
t
N
时，
0.6827
P
t
，
2
2
0.9545
P
t
，
3
3
0.9973
P
t
．
参考数据2：
8
0.8186
0.202
，
2
0.1814
0.033
.
【答案】（1）分布列见解析，期望为
6
5
E X
；（2）0.300 ．
【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0 、1、2 ，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，
可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得
E X 的值；
（2）计算得出43.9
，87.7
2
，可求得
P t
或
2
t
，可得出
10,0.1814
Y
B
，
再利用独立重复试验的概率公式可求得
2
P Y
.
【详解】（1）随机变量X 的可能取值为0 、1、2 ，
2
2
2
5
1
0
10
C
P X
C
，
1
1
3
2
2
5
3
1
5
C C
P X
C
，
2
3
2
5
3
2
10
C
P X
C
，
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
1
10
3
5
3
10
所以
1
3
3
6
0
1
2
10
5
10
5
E X
；
（2）
35 300
45 600
55 900
65 450
75 450
85 300
58.5
3000
t
，
又43.9
58.5
14.6
，87.7
58.5
14.6
2
2
，
所以
0.6827
0.9545
43.9
87.7
2
0.8186
2
P
t
P
t
，
所以
P t
或
2
1 0.8186
0.1814
t
，
所以
10,0.1814
Y
B
，所以
2
2
8
10
2
0.1814
0.8186
45 0.033 0.202
0.300
P Y
C
.
【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数
公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
9.某市对新形势下的中考改革工作进行了全面的部署安排. 中考录取科目设置分为固定赋分科目和非固定
赋分科目，固定赋分科目（语文、数学、英语、物理、体育与健康）按卷面分计算；非固定赋分科目（化
学、生物、道德与法治、历史、地理）按学生在该学科中的排名进行等级赋分，即根据改革方案，将每门
等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A，B ，B ，C ，C ，D ，D ，E 共8个等级. 参照正
态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7% ，16% ，24% ，24% ，16% ，7% ，3%. 等级考
试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到
90,100 ，
80,90 ，
70,80 ，
60,70 ，
50,60 ，
40,50 ，
30,40 ，
20,30 八个分数区间，得到考生的
等级成绩. 该市学生的中考化学原始成绩制成频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a 的值；
(2)估计该市学生中考化学原始成绩不少于多少分才能达到B 等级及以上（含B 等级）？
(3)由于中考改革后学生各科原始成绩不再返回学校，只告知各校参考学生的各科平均成绩x 及方差
2s . 已
知某校初三共有1000名学生参加中考，为了估计该校学生的化学原始成绩达到B 等级及以上（含B 等
级）的人数Z ，将该校学生的化学原始成绩X 看作服从正态分布
2
,
0
N
，并用这1000 名学生的化
学平均成绩
59
x
作为的估计值，用这1000名学生化学成绩的方差
2
169
s
作为
2
的估计值，计算人数Z
（结果保留整数）．
附：
0.6827
P
X
，
2
2
0.9545
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
.
【答案】(1)
0.023
a
(2)85
(3)23
【分析】（1）根据所有矩形面积之和等于1 可得；
（2）先根据矩形面积之和判断达到B 等级的最低分数为x 所在区间，然后根据矩形面积之和等于0.9 可
得；
（3）由题知
2
85
，所以由
(
85)
(
2 )
P X
P X
可得.
【详解】（1）由(0.005
0.008
0.013
0.021
0.015
0.010
0.005) 10
1
a
得
0.023
a
（2）由题意可知，要使等级达到B 等级及以上，则成绩需超过90%的学生.
因为
0.005
0.008
0.013
0.021 0.023
0.015
10
0.85
，
0.005
0.008
0.013
0.021 0.023
0.015
0.010
10
0.95
记达到B 等级的最低分数为x，则
[80 90)
x
,
，
则由
0.85
80
0.010
0.9
x
，解得
85
x
所以该市学生中考化学原始成绩不少于85 分才能达到B 等级及以上.
（3）由题知
2
(59,13 )
X
N
，
59,
13
因为
2
85
所以
1
85
2
1
0.9545
0.02275
2
P X
P X
故该校学生的化学原始成绩达到B 等级及以上的人数大约为1000 0.02275
23
人.
模块三：综合巩固
1.关于正态分布N(μ，
2
)，下列说法正确的是（
）
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件
D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
【答案】D
【分析】根据正态分布的3原则，结合小概率事件的定义，即可求解.
【详解】由正态分布中的3原则，可得
3
3
0 9
(
)
.9 73
P
X
，
所以
(
3
P X
或
3 )
1
(
3
3 )
1
0.9973
0.0027
X
P
X
，
所以随机变量X 落在
3
3
，
之外是一个小概率事件.
故选：D.
2.在某市2024 年3 月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加
本次考试的全市学生有9 455 人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108 分，那么他的数学成绩大约
排在全市第（
）
A．1 500 名
B．1 700 名
C．4 500 名
D．8 000 名
【答案】A
【分析】根据给定条件求出数学成绩大于108 分的概率，再计算分数超过108 分的人数即可作答.
【详解】因为学生的数学成绩X 服从正态分布N(98，100)，
则P(X>108)=
1
2 [1-P(88≤X≤108)]=
1
2 [1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈
1
2 ×(1-0.6827)=0.15865，
而0.15865×9455≈1500，
所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500 名.
故选：A
3.若随机变量
2
,
N
，其分布密度函数为
2
1
8
1
2 2
x
x
e
xR ，则的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】根据正态曲线的密度函数
2
2
2
(
)
,
1
( )
,
2
x
x
e
x
R
对应计算可得；
【详解】解：因为随机变量
2
,
N
，其分布密度函数为
2
1
8
1
2 2
x
x
e
，所以
1
，
2
4
，
所以
2
故选：B
4.若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是
1
10, 2
，则该随机变量的方差等于（
）
A．10
B．100
C．2
D．
2
【答案】C
【分析】利用正态密度曲线上的最高点坐标，列出方程求出，代入该随机变量的方差求解即可．
【详解】由正态密度曲线上的最高点为
1
10, 2
，知
1
1
2
2
，所以D(X)=σ2= 2
.
故选：C
5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布
2
(0,3 )
N
，从中随机取一件，其长度误差落在区间
(3,6) 内的概率为（
）
（附：若随机变量ξ服从正态分布
2
,
N
，则
P
68.27%，
2
2
P
95.45%）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
【答案】B
【分析】正态分布
2
(0,3 )
N
中，
0,
3
，根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】正态分布
2
(0,3 )
N
中，
0,
3
，
所以
( 3
3)
(0
3
0
3)
P
P
68.27%，
( 6
6)
(0
2 3
0
2 3)
P
P
95.45%，
所以
1
(3
6)
( 6
6)
( 3
3)
2
P
P
P
13.59%，
故选：B.
6.随机变量
2
2,
X
N
～
，若
.
(
)
1 5
P X
m
，
2
2.5
1 3
P
X
m
，则
2.5
P X
（
）
A．0.25
B．0.5
C．0.75
D．0.85
【答案】C
【分析】解：根据随机变量
2
2,
X
N
～
，得到
1.5
(
)
2. )
5
(
P X
P X
m
，再由
2
2.5
(
)
2
(
)
2
5
(
)
.
P X
P X
P
X
求得m 即可.
【详解】解：因为随机变量
2
2,
X
N
～
，
所以
1.5
(
)
2. )
5
(
P X
P X
m
，
(
)
(
)
(2
2
2.5
2.5
1
0.5
)
3
P X
P X
P
X
m
m
，
解得
0.25
m
，
所以
2.5
1
2.5
0.75
P X
P X
，
故选：C
7.某次数学联考成绩的数据分析，20000 名考生成绩服从正态分布
2
72,8
N
，则80 分以上的人数大约是（
）
参考数据：若
2
~
,
X
N
，则
0.6827
P
X
A．3173
B．6346
C．6827
D．13654
【答案】A
【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得.
【详解】由题意可得80
，又
0.6827
P
X
，
故
1
80
2
P
X
P X
，
则80 分以上的人数大约是
1 0.6827
20000
80
20000
3173
2
P X
人.
故选：A.
8.某校高三年级800 名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布
2
89,13
N
，若某学生数学成绩
为102 分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（
）
（附：
0.6827
P
X
，
2
2
0.9545
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
）
A．第18 名
B．第127 名
C．第245 名
D．第546 名
【答案】B
【分析】根据正态分布的特征，求出数学成绩不低于102 分对应的概率，从而可求出对应的人数，确定排
名．
【详解】因为成绩X 近似服从正态分布
(89
N
,
2
13 ) ，则
89,
13
，
且
76
102
89 13
89 13
0.6827
P
X
P
X
，
所以
1
76
102
102
0.15865
2
P
X
P X
，
因此该校数学成绩不低于102 分的人数即年级排名大约是800 0.15865
127
．
故选：B．
9.某物理量的测量结果服从正态分布
2
100,
N
，下列结论中错误的是（
）
A．该物理量在一次测量中大于100 的概率为0.5
B．越小，该物理量在一次测量中落在(99101)
，
的概率越大
C．该物理量在一次测量中小于99.9 与大于100.1 的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在(99102)
，
与落在(100103)
，
的概率相等
【答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量大于100 的概率为0.5，故A 正
确；
对于B，
2
为数据的方差，所以越小，数据在
100
附近越集中，所以测量结果落在(99101)
，
内的概率
越大，故B 正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于100.1 的概率与小于99.9 的概率相
等，故C 正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(99100)
，
的概率与落在(102103)
，
的概率不同，所以一次测量结果
落在(99102)
，
的概率与落在(100103)
，
的概率不同，故D 错误.
故选：D
10.为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取
*
k k N
罐咖啡，并测量其质
量（单位：g ）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1 罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误
差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布
2
,
N
.假设生产状态正常，记X 表
示每天抽取的k 罐咖啡中质量在
3 ,
3
之外的罐数，若X 的数学期望
0.026
E X
，则k 的最小
值为（
）
附：若随机变量X 服从正态分布
2
,
N
，则
(
3
3 )
0.9974
P
X
.
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】B
【分析】根据已知可推得
,0.0026
X
B k
，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为
(
3
3 )
0.9974
P
X
，所以1
0.9974
0.0026
，
故
,0.0026
X
B k
，
所以
0.0026
0.026
E X
k
，解得
10
k
，
因为
*
k N ，故k 的最小值为11.
故选：B.
11.某地区有10000 名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布
2
92,4
N
，则数学成绩位于
96,100 的人数约为（
）
参考数据：
0.6827,
2
2
0.9545
P
X
P
X
，
3
3
0.9973
P
X
A．455
B．1359
C．3346
D．1045
【答案】B
【分析】根据已知和正态分布的对称性得出结果.
【详解】
84
100
88
96
96
100
0.1359
2
P
X
P
X
P
X
，则数学成绩位于
96,100 的人数约
为0.1359 10000
1359
.
故选：B.
12.下列判断错误的是（
）
A．若随机变量服从正态分布
2
1,
N
，
4
0.79
P
，则
2
0.21
P
B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变
C．若随机变量服从二项分布
1
5, 5
B
，则
2
1
1
E
D．若方差
3
D X
，则
2
1
7
D
X
【答案】D
【分析】由正态分布的对称性可判断A，根据数据方差的性质可判断B，由二项分布的期望公式，以及期
望的性质可判断C，由随机变量的方差的性质可判断D.
【详解】A 选项：由题意，
1
4
4
0.21
P
P
，又随机变量服从正态分布
2
1,
N
，
4
2
0.21
P
P
，故A 选项正确；
B 选项：每一组数据均减去一个数字，不影响整体的稳定程度，故方差不变，B 选项正确．
C 选项：因为随机变量服从二项分布
1
5, 5
B
，
1
5
1
5
E
，
2
1
2
1 1
E
E
，故C 选项
正确；
D 选项：因为方差
3
D X
，
2
2
1
2
D
X
12
D X
，故D 选项错误．
故选：D．
13.某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布
2
~
10,
N
，根据检测结果可知
9.98
10.02
0.98
P
，某公司购买该种包装的大米3000 袋．大米质量在10.02kg 以上的袋数大约为（
）
A．10
B．20
C．30
D．40
【答案】C
【分析】根据大米质量
2
10,
N
，利用正态分布的对称性求出
10 2
(
)
.0
P
，再列式计算作答.
【详解】因大米质量
2
10,
N
，且
9.98
10.02
(
)
0.98
P
，则
9.98
1
(
)
(
)
0.
10.02
1
01
2
0.02
P
P
，
所以大米质量在10.02kg 以上的袋数大约为3000 0.01
30
.
故选：C
14.已知随机变量
,
X Y ，
1
~
4, 2
X
B
，
2
~
,
Y
N
，且
D X
E Y
，又
1
3
2
1
P Y
a
P Y
a
，
则实数
a
（
）
A．0
B．1
4
C．1
2
D．3
4
【答案】A
【分析】利用二项分布的方差计算公式得出
E Y ，即的值，根据正态分布的对称性，可得实数a ．
【详解】由题意，
1
1
4
1
1
2
2
D X
E Y
，则
1
，
又
1
3
2
1
P Y
a
P Y
a
，则
1 3
2
2
a
a
，解得
0
a
故选：A
15.（多选）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重
~
3.5,0.25
X
N
，则下列结论正确
的是（
）
A．该正态分布的均值为3.5
B．
1
3.5
2
P X
C．
1
4
4.5
2
P
X
D．
4.5
3
P X
P X
【答案】AB
【分析】根据
~
3.5,0.25
X
N
可得出该正态分布的均值，可判断A 选项；利用正态密度曲线的性质可判
断BCD 选项.
【详解】因为
~
3.5,0.25
X
N
，
对于A 选项，该正态分布的均值为
3.5
，A 对；
对于B 选项，
1
3.5
2
P X
，B 对；
对于C 选项，
1
4
4.5
3.5
2
P
X
P X
，C 错；
对于D 选项，由正态密度曲线的对称性可知，
3
4
4.5
P X
P X
P X
，D 错.
故选：AB.
16.（多选）若随机变量
2
1
1
,
X
N
，
2
2
2
,
Y
N
，X、Y 的分布密度曲线如图所示，则（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．
1
1
2
2
P X
P Y
D．
1
2
2
1
P X
P Y
【答案】AD
【分析】根据给定的图象，结合正态曲线的性质，逐项分析判断即得.
【详解】观察图象知，X 的均值比Y 的均值小，X 的标准差比Y 的标准差大，即
1
2
，
1
2
，即A
正确，B 错误；
1
1
1
1
1
1
(
(
1
)
)
2
2 P
P X
X
，
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)
(
)
2
2 P
P Y
Y
，
而
1
1
1
1
2
2
2
2
)
(
)
(
P
P
X
Y
，则
1
1
2
2
(
(
)
)
P X
P Y
，C 错误；
由
1
2
，
1
2
，得
2
1
2
2
1
2
1
1
,
，
因此
1
2
1
2
1
1
2
2
)
(
(
)
(
)
)
(
P X
P X
P Y
P Y
，D 正确.
故选：AD
17.（多选）为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了1000 米跑测试，测试结果表明所有
男生的成绩X （单位：分）近似服从正态分布
2
75,
N
，
60
0.1
P X
，
70
0.3
P X
，则下列说
法正确的是（
）
A．若从高三男生中随机挑选1 人，则他的成绩在
80,90 内的概率为0.2
B．若从高三男生中随机挑选1 人，则他的成绩在
70,80 内的概率为0.4
C．若从高三男生中随机挑选2 人，则他们的成绩都不低于75 的概率为0.25
D．越大，
75
P X
的值越小
【答案】ABC
【分析】利用正态曲线的对称性判断ABD,由独立事件的概率判断C.
【详解】
80
90
60
70
70
60
0.2
P
X
P
X
P X
P X
，
70
80
1
2
70
0.4
P
X
P X
，故A，B 正确.
无论为何值，
75
0.5
P X
，若从高三男生中随机挑选2 人，
则他们的成绩都不低于75 的概率为0.5 0.5
0.25
，故C 正确，D 错误.
故选：ABC
18.（多选）冯老师教高二4 班和5 班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学
成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数
2
2
2
1
e
2π
x
f x
的图象如图所示，其中是正态分布的期
望，是正态分布的标准差，且
0.6827
P
X
，
2
0.9545
P
X
，
3
0.9973
P
X
.
关于这次数学考试成绩，下列结论错误的是（
）
A．4 班的平均分比5 班的平均分高
B．相对于5 班，4 班学生的数学成绩更分散
C．4 班108 分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．5 班112 分以上的人数与4 班108 分以上的人数大致相等
【答案】ABC
【分析】分别求得4 班的平均分和5 班的平均分判断选项A；观察两个班图象的胖瘦进而判断选项B；求
得4 班108 分以上的人数占比判断选项C；求得5 班112 分以上的人数并与4 班108 分以上的人数进行比
较判断选项D.
【详解】选项A：4 班的平均分98 分，5 班的平均100 分，则4 班的平均分比5 班的平均分低，故A 错误；
选项B：5 班的图象比4 班的图象更“矮胖”，则相对于4 班，5 班学生的数学成绩更分散，故B 错误；
选项C：4 班
2
2
2
1
e
2π
x
f x
的最大值为
1
5 2π ，则
5
，
则
1
1
108
1
98
10
1 0.9545
0.02275
4.55%
2
2
P X
P X
，故C 错误；
选项D：5 班
2
2
2
1
e
2π
x
f x
的最大值为
1
6 2π ，则
6
，
则
1
1
112
1
100
12
1 0.9545
0.02275
2
2
P X
P X
，
又4 班和5 班两个班的人数相等，则5 班112 分以上的人数与4 班108 分以上的人数大致相等，故D 正确.
故选：ABC.
19.（多选）某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差服从正态分布
2
,
N
，把质量差在
,
内的产品称为优等品，在
,
2
内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，
其余的产品作为废品处理．根据大量的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均
数
70
x
作为的近似值，将样本标准差s 作为的估计值，已知质量差
,100
X
N
，则下列说法中正
确的是（
）
参考数据：若随机变量服从正态分布
2
,
N
，则
0.6827
P
，
2
2
0.9545
P
，
3
3
0.9973
P
．
A．样本数据的中位数为71
B．若产品质量差为62 mg，则该产品为优等品
C．该企业生产的产品为正品的概率是0.8186
D．从该企业生产的正品中随机抽取1000件，约有834件优等品
【答案】BCD
【分析】
A：先确定中位数所在区间，然后根据前两组的频率计算中位数；B：根据正态分布确定出,
，然后确定
出优等品对应的质量差区间，由此作出判断；C：先确定出正品质量差区间，然后根据正态分布曲线的对
称性计算出概率；D：计算出优等品的概率然后结合C 选项的结果可求优等品的件数.
【详解】对于A：
46,56 的频率为0.01 10
0.1
，
56,66 的频率为0.02
10
0.2
，
66,76 的频率为0.045 10
0.45
，且0.1
0.2
0.5,0.1
0.2
0.45
0.5
，
设样本数据的中位数为x ，所以
66,76
x
，则
0.3
66
0.045
0.5
x
，解得
634
9
x
，故A 错误；
对于B：由题意知
70
x
，
2
70,10
X
N
，
优等品质量差在
,
即
60,80 内，而
62
60,80
，故B 正确；
对于C：一等品质量差在
,
2
即
80,90 内，则正品质量差在
60,80 和
80,90 内，即在
60,90 内，
所以产品为正品的概率为
60
90
P
X
60
80
80
90
P
X
P
X
1
0.6827
0.9545
0.8186
2
，故C 正确；
对于D：优等品质量差在
60,80 内，所以产品为优等品的概率为0.6827，
从正品中随机抽取1000件，有
0.6827
1000
834
0.8186
件优等品，故D 正确．
故选：BCD.
20.（多选）下列说法中，正确的是（
）
A．一组数据5，8，8，9，12，13，15，16，20，22 的第80 百分位数为18
B．若随机变量
2
3,
N
，且
6
0.84
P
，则
3
6
0.34
P
．
C．袋中装有除颜色外完全相同的4 个红球和2 个白球，从袋中不放回地依次抽取2 个球，记事件A
第一次抽到的是白球，事件B 第二次抽到的是白球，则
1
3
|
P B A
D．设随机事件A，B，已知
0.4
P A
，
|
0.3
P B A
，
0.2
P B A
，则
0.24
P B
．
【答案】ABD
【分析】根据百分位数的定义计算即可判断选项A；根据正态分布的性质计算即可判断选项B；根据条件
概率的计算方法求解即可判断选项C；根据条件概率与对立事件的计算公式计算即可判断选项D.
【详解】对于A，共有10 个数，10 80%
8
，
所以数据的第80 百分位数为16 和20 的平均数，即为18，故A 正确．
对于B，因为
2
3,
N
，且
6
0.84
P
，
所以
3
0.5
P
，
则
4
6
3
6
3
0.3
P
P
P
，故B 正确．
对于C，因为
1
2
1
6
C
1
C
3
P A
，
所以
1
1
1
5
C
1
1
3
C
15
P AB
，则
1
|
5
P AB
P B A
P A
，故C 错误．
对于D，因为
0.4
P A
，
|
0.3
P B A
，
所以
|
0.12
P AB
P A P B A
，
又因为
0.4
P A
，所以
1 0.4
0.6
P A
，
则
|
0.6 0.2
0.12
P BA
P A P B A
，
所以
0.12
0.12
P B
P AB
P AB
0.24，故D 正确．
故选：ABD.
21.已知随机变量
2
12,
X
N
，若
9
0.36
P X
，则
12
15
P
X
.
【答案】0.14/ 7
50
【分析】由正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为
12
，所以
12
15
9
12
0.5
9
0.5
0.36
0.14
P
X
P
X
P X
，
故答案为：0.14.
22.在工业生产中轴承的直径服从
3.0,0.0025
N
，购买者要求直径为3.0
，不在这个范围的将被拒绝，
要使拒绝的概率控制在4.55% 之内，则至少为
；
（若
2
~
,
X
N
，则
2
0.9545
P
X
）
【答案】0.1/ 1
10
【分析】依题意得
2
0.0025
3.0，
，则
0.05
，由
3.0
0.1
0.9545
P
X
，得
3.0
0.1
1
0.9545
0.0455
P
X
，即可求解.
【详解】若
2
~
,
X
N
，则
2
0.9545
P
X
）
因为工业生产中轴承的直径服从
(3.0 0.0025)
N
，
，
所以
2
0.0025
3.0，
，则
0.05
，
由
3.0
0.1
0.9545
P
X
，
得
3.0
0.1
1
0.9545
0.0455
P
X
，
则要使拒绝的概率控制在4.55% 之内，则至少为0.1.
故答案为：0.1## 1
10
23.某工厂生产一批零件，其直径
10,4
X
N
，现在抽取10000 件进行检查，则直径在
12,14 之间的零件
大约有
件.
（注：
(
)
0.6826, (
2
2 )
0.9544, (
3
3 )
0.9974
P
X
P
X
P
X
）
【答案】1359
【分析】
根据正态分布的对称性来求得正确答案.
【详解】
X
满足正态分布
10,4 ,
10,
2,
(8
12)
0.6826
X
N
P
X
，
0.9544
0.6826
(6
14)
0.9544,
(12
14)
0.1359
2
P
X
P
X
，
直径在
12,14 之间的零件大约有1359件.
故答案为：1359
24.设随机变量服从正态分布
1,4
N
，若
P
a
b
P
a
b
，且
2
2
1
P
a
b
P
b
a
，
则b
．
【答案】3
【分析】根据态分布的性质分析求解.
【详解】因为
P
a
b
P
a
b
，所以
1
2
a
b
a
b
a
．
又因为
2
2
1
P
a
b
P
b
a
，则2
2
a
b
b
a
，所以
3
3
b
a
.
故答案为：3.
25.已知某批产品的质量指标X 服从正态分布
25,0.16
N
，其中
24.6,26.2
X
的产品为“可用产品”，则在
这批产品中任取1 件，抽到“可用产品”的概率约为
.
参考数据：若
2
,
X
N
，则
0.6827,
2
2
0.9545,
3
3
0.9973
P
X
P
X
P
X
.
【答案】0.84/ 21
25
【分析】根据题意确定
25,
0.4
，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案.
【详解】由题意知，该产品服从
25,0.16
X
N
，则
25,
0.4
，
所以
24.6
26.2
25
0.4
25
3 0.4
3
P
X
P
X
P
X
0.6827
0.9973
0.84
2
2
，
即抽到“可用产品”的概率为0.84，
故答案为：0.84
26.某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250 名顾客，采取100 分制对产品功能满意
程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布
80,25
N
，对产品
外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90 分以上（不含90 分）视为非常满意.
(1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数）
(2)若这250 人中对两项都非常满意的有2 人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机
抽取3 人，设3 人中两项都非常满意的有X 人，求X 的分布列和数学期望.
（附：若
2
~
,
Y
N
，则
0.6826
P
Y
，
2
2
0.9544
P
Y
）
【答案】(1)6 人，6 人
(2)分布列见解析，3
5
【分析】（1）根据频率直方分布图和正态分布计算；
（2）根据题意，只对产品功能非常满意的有4 人，只对产品外观非常满意的有4 人，利用超几何分布得
出X 的分布列．
【详解】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布
80,25
N
，
其中
80,
5
，
设对产品功能满意程度的评分为Y ，
所以
1
90
1
80 10
80
10
0.0228
2
P Y
P
Y
，
所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有250 0.0228
6
（人）.
根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为0.0024 10
0.024
，
则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有250 0.024
6
（人）.
（2）根据题意，这250 人中对两项都非常满意的有2 人，则只对产品功能非常满意的有4 人，只对产品外
观非常满意的有4 人，X 的可能取值为0,1,2
3
8
3
10
C
7
0
C
15
P X
，
2
1
8
2
3
10
C C
7
1
C
15
P X
，
1
2
8
2
3
10
C C
1
2
C
15
P X
，
则X 的分布列为
X
0
1
2
P
7
15
7
15
1
15
数学期望
7
7
1
3
0
1
2
15
15
15
5
E X
.
27.某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200 元/人，赔付金额为5 万元/人.假设该保险产品的客
户为10000 名，每人被赔付的概率均为0.25% ，记10000 名客户中获得赔偿的人数为X .
(1)求
E X ，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次
数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二
项分布的相关概率计算问题，我们知道若
,
X
B n p
，则
1
D X
np
p
，当n 较大且p 较小时，我们
为了简化计算，常用
E X 的值估算
D X 的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100 万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若
2
,
X
N
，则
0.683,
3
3
0.997
P
X
P
X
.
【答案】(1)
25
E X
，75 万元
(2)①0.683；②0.0015
【分析】
（1）确定
10000,0.25%
X
B
以及
200 5
Y
X
，根据二项分布的均值公式，即可求得答案；
（2）由题意确定
2
25,
25
E X
D X
，求出产品利润为50~100 万元时X 的范围以及产品亏损
时的X 的范围，结合正态分布的特殊区间的概率，即可求得答案.
【详解】（1）由题可知
10000,0.25%
X
B
，
则
10000 0.0025
25
E X
，
记该公司今年这一款保险产品利润为变量Y ，则
200 5
Y
X
，
所以
200
5
200
5
75
E Y
E
X
E X
万元.
（2）因为
,
X
B n p
，当n 较大且p 较小时，
25
E X
，则
25
D X
.
由于n 较大，
2
,
X
N
，其中
2
25,
25
E X
D X
，
若该公司今年这一款保险产品利润
200
5
50,100
Y
X
，则
20,30
X
，
200
5
50,100
(20
30)
(
)
0.683
P Y
X
P
X
P
X
；
若该公司今年这一款保险产品利润
200
5
0
Y
X
，则
40
X
，
1
0.997
(
200
5
0)
(
40)
(
3 )
0.0015
2
P Y
X
P X
P X
.
答：（1）
25
E X
，该公司今年这一款保险产品利润的期望为75 万元；
（2）①该公司今年这一款保险产品利润为50
100
万元的概率为0.683；
②亏损的概率为0.0015.
28.某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500 天内每天可配送的货物量，按照可配送货
物量T（单位：箱）分成了以下几组：[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135]，并绘
制了如图所示的频率分布直方图．
(1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从
2
~
,
T
N
的正态
分布，经计算近似为
2
100,近似为150．
①利用该正态分布，求
(87.8
124.4)
P
T
；
②试利用该正态分布，估计该物流公司2000 天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留
整数）．
(2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励
员工，按每日的可配送货物量划分为三级：
95
T
时，奖励50 元；95
115
T
时，奖励80 元；
115
T
时，
奖励120 元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量
不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的
概率如下表：
奖金
50
100
概率
4
5
1
5
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他
更有利？
附：150
12.2
，若
2
~
,
Z
N
，则
(
)
0.6827, (
2
2 )
0.9545
P
Z
P
Z
．
【答案】(1)①0.8186；②1637（天）
(2)小张选择方案二更有利
【分析】（1）①由正态分布概率公式计算可得答案．②根据①计算出的概率乘以2000 可得答案；
（2）设小张每日可获得的奖金为X 元，求出X 的可能取值及对应的概率可得
(
)
E X ，设小张每日可获得的
奖金为Y 元，求出Y 的所有可能取值及对应的概率可得
( )
E Y ，比较大小可得答案.
【详解】（1）①由题意
~
(100,150)
T
N
，其中
100,
150
12.2
，
(87.8
124.4)
(100 12.2
100
2 12.2)
P
T
P
T
0.6827
0.9545
0.8186
2
．
②故该物流公司2000 天内日货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数为：
2000
0.8186
1637.2
1637
（天）；
（2）易知
1
(
)
(
)
2
P T
P T
，
对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X 元，则X 的可能取值为50，80，120，
其对应的概率分别为0.33，0.57，0.10，
故
(
)
50 0.33 80 0.57 120 0.10
74.1
E X
，
对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y 元，则Y 的所有可能取值为50，100，150，200，
故
1
4
2
1
1
1
4
4
21
(
50)
,
(
100)
2
5
5
2
5
2
5
5
50
P Y
P Y
，
1
1
4
4
1
1
1
1
(
150)
2
,
(
200)
2
5
5
25
2
5
5
50
P Y
P Y
，
所以
2
21
4
1
( )
50
100
150
200
90
5
50
25
50
E Y
，
因为
( )
(
)
E Y
E X
，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利．
29.某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市
民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把
得到的数据列成如表所示的频数分布表：
旅游消费支出
0,20
20,40
40,60
60,80
80,100
频数
12
388
452
138
10
(1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布
2
40,15
N
，若该市总人口为700 万人，试估
计有多少市民每年旅游费用支出在7000 元以上；
(2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3 人，
一年内继续来该签约景区游玩记2 分，不来该景点游玩记1 分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客
之间的选择意愿相互独立，求3 人总得分为4 分的概率.
（参考数据：
(
)
0.6827,
(
2
2 )
0.9545,
(
3
3 )
0.9973)
P
X
P
X
P
X
）
【答案】(1)15.925 万
(2) 36
125
【分析】（1）
40,
15,
2
70
，旅游费用支出在7000 元以上的概率为
1
(
2
2 )
2
2
P
x
P x
，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7000 元以上；
（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为3
5 ，再由独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】（1）
40,
15,
2
70
，
所以旅游费用支出在7000 元以上的概率为
1
(
2
2 )
1
0.9545
2
0.02275
2
2
P
x
P x
，
0.02275 700
15.925
，估计有15.925 万市民旅游费用支出在7000 元以上;
（2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为
12
388
3
1
1000
5
，
设3 人总得分为4 分为事件A ，则
2
1
3
3
2
36
C
5
5
125
P A
即3 人总得分为4 分的概率36
125 .
30.红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了
研究生长了4 年的红松树的生长状况，从中随机选取了12 棵生长了4 年的红松树，并测量了它们的树干
直径
ix （单位：厘米），如下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ix
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
计算得：
12
12
2
1
1
360,
10992
i
i
i
i
x
x
.
(1)求这12 棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差
2s .
(2)假设生长了4 年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件A ：在森林公园内再从中随机选取12 棵生长了4 年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求
P A ；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4 年的红松树的树干直径近似服从正态分布
2
30,8
N
.
在这个条件下，求
P A ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若
2
,
Y
N
，
则
0.6827,
2
0.9545,
3
0.9973
P Y
P Y
P Y
.
参考数据：
12
12
12
0.6827
0.01,0.9545
0.57,0.9973
0.97
.
【答案】(1)
30
，
2
16
s
.
(2)①
0.57
P A
；②
0.01
P A
，护林员给出的结论是错误的，理由见解析.
【分析】
（1）利用均值（平均数）的计算公式
12
1
1
12
i
i
x
和方差公式
12
2
2
1
1
12
i
i
s
x
，计算即可；
（2）①12 棵生长了4 年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38]，是一个独立重复实验，其中在区间
[22,38]内等价于
2
0.9545
P Y
发生；②根据随机变量服从正态分布
2
30,8
N
，其中在区间
[22,38]内等价于
0.6827
P Y
发生，计算得出
12
0.6827
0.01
P A
，再比较即可.
【详解】（1）样本均值
12
1
1
30
12
i
i
x
，
样本方差
12
2
2
1
1
12
i
i
s
x
12
12
2
2
1
1
1
2
12
12
i
i
i
i
x
x
2
1
10992
2 30 360
12 30
12
16
.
（2）①由题意可得，树干直径Y （单位：cm) 近似服从正态分布
2
30,4
N
.
在森林公园内再随机选一棵生长了4 年的红松树，其树干直径位于区间
22,38 的概率是0.9545，所以
12
0.9545
0.57
P A
.
②若树干直径Y 近似服从正态分布
2
30,8
N
，
在森林公园内再随机选一棵生长了4 年的红松树，其树干直径位于区间
22,38 的概率是0.6827 ，则
12
0.6827
0.01
P A
.
此时事件A 发生的概率远小于①中根据测量结果得出的概率估计值.
事件A 是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12 棵生长了4 年的红松树，事件A 发生了，所以认为
护林员给出的结论是错误的.
31. 2020 年9月22 日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快
形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力
的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030 年前达到峰值，努力争取2060 年前实现碳中和．某企业为了响
应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗
进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表．
树苗高度（cm ）
120,140
140,160
160,180
树苗售价（元/株）
4
6
8
（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之和高于16 元的概率；
（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布
2
,
N
，并用该企业采购的120株树苗作样本，来估
计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且
2
185
s
．
①若该育苗基地共有5000株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，得到数列
na
，求
114
a
的估
计值．
②若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，记树苗高度超过150cm的株数为，求随机变量的分布列和期
望．
参考数据：若
2
~
,
X
N
，
0.6826
P
X
，
2
2
0.9544
P
X
，
185
13.6
．
【答案】（1）19
28 ；（2）①177.2cm ；②分布列见解析，期望为5
2 .
【分析】（1）确定8 株中，2 株4 元，4 株6元，2 株8元，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可
求得所求时间的概率；
（2）①计算出、的值，计算得出
114
2
5000
P X
，由此可得出
114
2
a
，即为所求；
②分析可知
1
5, 2
B
，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得
E
的值.
【详解】（1）高度在
120,140 内的占比为
0.005
0.02
10
0.25
，
高度在
140,160 内的占比为
0.03
0.02
10
0.5
，
高度在
160,180 内的占比为
0.015
0.01
10
0.25
，
从这120株树苗中，按售价分层抽取8 株，其中2 株4 元，4 株6元，2 株8元，
再从中任选三株，售价之和高于16 元，可以为
4,6,8 、
6,6,6 、
6,6,8 、
4,8,8 、
6,8,8 ，
故所求概率为
1
1
1
3
2
1
1
2
1
2
2
4
2
4
4
2
2
2
4
2
3
8
19
28
C C C
C
C C
C C
C C
P
C
；
（2）①由频率分布直方图可得
125 0.05 135 0.2 145 0.3 155 0.2 165 0.15 175 0.1
15 0 cm
，
185
13.6
s
，
114
1
0.0228
1
2
2
2
5000
2
P
X
P X
，
所以，
114
2
177.2
a
cm
；
②若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，高度超过150cm的概率为1
2 ，
由题意可知
1
5, 2
B
，则
5
1
1
0
2
32
P
,
5
1
5
1
5
1
2
32
P
C
，
5
2
5
1
5
2
2
16
P
C
，
5
3
5
1
5
3
2
16
P
C
，
5
4
5
1
5
4
2
32
P
C
，
5
1
1
5
2
32
P
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0
1
2
3
4
5
P
1
32
5
32
5
16
5
16
5
32
1
32
随机变量的数学期望为
1
5
5
2
2
E
.
【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量X 的期望、方差，求
,
aX
b a b
R
的期望与方差，利用期望和方差的性质
（
E aX
b
aE X
b
，
2
D aX
b
a D X
）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列
的期望和方差公式进行计算.
定位
