2021年高考数学精选考点专项突破题集专题9.2离散型随机变量的均值与方差（教师版含解析）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考一轮复习讲义+课件

专题 9.2 离散型随机变量的均值与方差 一、单选题 1、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可知 ，正态分布曲线关于 对称， , 根据对称性可知， , . 故选：C 2、(2020·徐州一中一中高三调研)已知 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，所以选C. 3、(2018年高考全国Ⅲ卷理数)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互 独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 ( ) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B 【解析】∵ ，∴ 或 ， ， ，可知 ，故 ．故选B． 4、(2018年高考浙江卷)设 ，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P 则当p在(0，1)内增大时，( ) A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 【答案】D 1−p 1 p 1 【解析】∵E(ξ)=0× +1× +2× =p+ ， 2 2 2 2 1−p 1 2 1 1 2 p 1 2 1 1 ∴D(ξ)= (0−p− ) + (1−p− ) + (2−p− ) =−p2+p+ ，∵ ∈(0，1)，∴ 2 2 2 2 2 2 4 2 D(ξ)先增大后减小，故选D． 5、(2020·金陵中学高三月考)某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布 (单位： )现抽取500袋样本， 表示抽取的面粉质量在 的袋数，则 的数学期望约为( ) 附：若 ，则 ， A．171 B．239 C．341 D．477 【答案】B 【解析】设每袋面粉的质量为 ，则由题意得 ， ∴ .由题意得 ， ∴ ．故选B． 6、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x，P(ξ=1) =1-x，若 则( ) A．E(ξ)随着x的增大而增大，D (ξ)随着x的增大而增大 B．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大 C．E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而减小 D．E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而减小 【答案】B 【解析】依题意 ，在区间 上是减函数. ，注意到函数 的开口向下，对称轴为 ，所以 在区间 上是增函数，也即 在区间 上是增函数. 故选：B 7、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知随机变量X的分布列如下： 若随机变量Y满足 ，则Y的方差 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意可知， 则 ，则 ， 所以 ． 故选：D 8、(2019年高考浙江卷)设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是 则当a在(0，1)内增大时，( ) A． 增大 B． 减小 C． 先增大后减小 D． 先减小后增大 【答案】D 【解析】方法1：由分布列得 ， 则 ， 则当 在 内增大时， 先减小后增大．故选D． 方法2：则 ， 则当 在 内增大时， 先减小后增大．故选D．  9、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)某射手射击所得环数 的分布列如下：  7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y  E8.9 y 已知 的数学期望 ，则 的值为( )0.2 0.4 0.6 0.8 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 x0.10.3 y 1  由题意可知： 7x0.82.710y 8.9， x0.2  解得 y 0.4. 故选：B. 10、(2020·浙江高三)随机变量ξ的分布列如表： ξ ﹣1 0 1 2 1 P a b c 3 1 E 其中a，b，c成等差数列，若 9，则D(ξ)＝( ) 1 2 8 80 A．81 B．9 C．9 D．81 【答案】D 1  【解析】∵a，b，c成等差数列，E(ξ) 9 ，  2 abc  3   2bac ∴由变量ξ的分布列，知： ，  1 1 1 b2c  3 9 1 2 1    解得a 3，b 9 ，c 9 ， 1 1 1 1 1 2 1 1 80             ∴D(ξ)＝(﹣1 9 )2 3 (0 9 )2 3 (1 9 )2 9 (2 9 )2 9 81．故选：D． 11、(2020·浙江学军中学高三3月月考)已知a，b为实数，随机变量X，Y的分布列如下： X -1 0 1 Y -1 0 1 1 1 1 P P a b c 3 2 6 EY PY 1   XY XY E 若 ，随机变量 满足 ，其中随机变量 相互独立，则 取值范围的是( )  3   1   1  3   ,1  ,0 ,1 ,1         A． 4  B． 18  C．18  D．4  【答案】B 【解析】 EYca ca a c2a abc 1 b1ac 由已知， ，所以 ，即 ，又 ，故 1 a[0, ] 13a[0,1] ，所以 3 ，又随机变量XY 的可能取值为-1，0，1，则 1 1 5 1 1 1 3 1 P(XY 1) c a  a，P(XY 0) b b (ac) a b， 3 6 6 3 6 2 2 2 1 1 2 P(XY 1) a c a， 3 6 3 列出随机变量XY 的分布列如下：  XY -1 0 1 5 1 3 2 P a b a a 6 2 2 3 5 2 1  1  E a a  a  ,0  所以 6 3 6  18 . 故选：B. ξ 12、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)随机变量 的分布列如下：ξ -1 0 1 P a b c a b c Dξ 其中 ， ， 成等差数列，则 的最大值为( ) 2 5 2 3 A．3 B．9 C．9 D．4 【答案】A 1 2 2bac, abc1,b ,c a,  【解析】因为a，b，c成等差数列， 3 3 2 Eξ ac2a 3， 2 2 2  2  2  2 2  Dξ  12a a 2a b 12a  a          3  3  3 3  2 8 2  1 2 2 4a2  a 4 a     3 9  3 3 3. 2 则D的最大值为3 A B 13、(2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知 ， 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、 m 10m B 10m m 0m10 白球若干个，A盒中有 个红球与 个白球， 盒中有 个红球与 个白球( )，若从 A B  D() m ， 盒中各取一个球， 表示所取的2个球中红球的个数，则当 取到最大值时， 的值为( ) A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】 m 10m m(10m) P(0)   可能值为0,1,2， 10 10 100 ，10m 10m m m (10m)2 m2 P(1)     10 10 10 10 100 ， 10m m m(10m) P(2)   10 10 100 ，  分布列为  0 1 2 m(10m) (10m)2 m2 m(10m) P 100 100 100 m(10m) (10m)2 m2 m(10m) E()0 1 2 1 100 100 100 ， m(10m) (10m)2 m2 m(10m) D()(01)2 (11)2 (21)2 100 100 100 m(10m) 1 m10m 1   ( )2  50 50 2 2 ，当且仅当m5时，等号成立. 故选:B. 14、(2020·浙江温州中学高三3月月考)随机变量 的可能值有1，2，3，且 ， ，则 的最大值为( ) A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】随机变量 的可能值有1，2，3，且 ， ， 可得： ，由 ，可得 所以 ． ， 当 时， 的最大值为1． 故选：D． 2 0a 15、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)设 3，随机变量X 的分布列是： X 1 0 1 2 1 P a a 3 3  2 0，  则当a在 3内增大时( ) DX DX DX DX A． 增大 B． 减小 C． 先增大后减小 D． 先减小后增大 【答案】A 2 1 1 EX＝1a0( a)1 ＝ a 【解析】根据随机变量的分布列 3 3 3 ， 2 2 2  1   1  2   1  1 DX＝ 1 a a 0 a  a  1 a  则             3   3  3   3  3 5 2 a2  a ＝ 3 92  5 33  a  ＝    6 36 2 5 DX 0＜a＜ a＝ 由于函数 的图象为关于a的开口方向向下的抛物线，且 3，函数的对称轴为 6 ， DX 故 增大. 故选：A. 16、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)已知随机变量X的分布列如下表： X 1 0 1 P a b c 1 DX a0,1b 其中a，b，c0.若X的方差 3对所有 都成立，则( ) 1 2 1 2 b b b b A． 3 B． 3 C． 3 D． 3 【答案】D EXac 【解析】由X的分布列可得X的期望为 , 又abc 1, DX1ac2 aac2 b1ac2 c 所以X的方差 ac2abc2ac2 ac ac2 ac 2a1b2 1b 2  1b 4 a 1b    2  , 1b a0,1b a  DX 因为 ,所以当且仅当 2 时, 取最大值1b,1 DX a0,1b 又 3对所有 成立, 1 2 1b b 所以 3,解得 3, 故选:D. 二、多选题 17、(2020·枣庄市第三中学高三月考)若随机变量X服从两点分布，其中 ，E(X)、D(X)分别 为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是( ) A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X+2)＝4 C．D(3X+2)＝4 D． 【答案】AB 【解析】随机变量X服从两点分布，其中 ，∴P(X＝1) ， E(X) ， D(X)＝(0 )2 (1 )2 ， 在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确； 在B中，E(3X+2)＝3E(X)+2＝3 4，故B正确； 在C中，D(3X+2)＝9D(X)＝9 2，故C错误； 在D中，D(X) ，故D错误.故选：AB.18、2020·山东省实验中学高三模拟)设离散型随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量 满足 ，则下列结果正确的有( ) A． B． ， C． ， D． ， 【答案】ACD 【解析】因为 ，所以 ，故A正确； 又 ， ，故C正确；因为 ，所以 ， ，故D正确.故选：ACD. 19、(江苏栟茶中学高三模拟)甲、乙两类水果的质量(单位： )分别服从正态分布 ， 其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( ) A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【答案】ABC 【解析】由图像可知,甲类水果的平均质量 ,乙类水果的平均质量 , ,则A,B,C都正确；D不正确.故选：ABC. 20、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)下列判断正确的是( ) A．若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ； B．已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件； C．若随机变量 服从二项分布： ,则 ； D． 是 的充分不必要条件. 【答案】ABCD 【解析】A．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P(ξ＞4)＝1 ﹣0.79＝0.21，P(ξ≤﹣2)＝P(ξ＞4)＝0.21，故A正确； B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立． 若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β． ∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对； C．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B(4， )，则Eξ＝4×0.25＝1，故C对； D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D对； 故选：ABCD． 21、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)某市有 ， ， ， 四个景点，一位游客来该市游览，已知 该游客游览 的概率为 ，游览 ， 和 的概率都是 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随 机变量 表示该游客游览的景点的个数，下列正确的( ) A．游客至多游览一个景点的概率 B． C． D．【答案】ABD 【解析】记该游客游览 个景点为事件 ， ， 则 ， ， 所以游客至多游览一个景点的概率为 ，故A正确； 随机变量 的可能取值为 ， ， ，故B正确； ， ，故C错误； 数学期望为： ，故D正确， 故选：ABD. 22、(2020年高考山东)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，且，定义X的信息熵 . A．若n=1，则H(X)=0 B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大 C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大 D．若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为 ，且 ，则 H(X)≤H(Y) 【答案】AC 【解析】对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确. 对于B选项，若 ，则 ， ， 所以 ， 当 时， ， 当 时， ， 两者相等，所以B选项错误. 对于C选项，若 ，则 ， 则 随着 的增大而增大，所以C选项正确. 对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 (). . 由于 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以D选项错误. 故选：AC 三、填空题 23、(2020届山东省烟台市高三上期末)已知随机变量 ， ，则 __________． 【答案】0.1 【解析】因为随机变量 服从正态分布 , 所以曲线关于 对称,因为 , 所以 故答案为：0.1 24、(2019年高考全国Ⅰ卷理数)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队 获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的 概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是 ______________． 【答案】 【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是 前四 场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是 综上所述，甲队 以 获胜的概率是 25、(2020·山东省莱州一中高二月考)已知随机变量 ，且 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】 ，由二项分布的期望和方差公式得 ，解得 . 故答案为： . 26、(2020届山东省德州市高三上期末)随机变量 的取值为 、 、 ， ， ， 则 ______. 【答案】 【解析】设 ，其中 ，可得出 ， ， ，解得 ，因此， . 故答案为： . 27、(2020·上饶中学高三月考)设随机变量 ，则 ________. 【答案】 【解析】因为随机变量 , 所以 .故答案为: . 28、(2020徐州一中开学考试)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获 胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概 率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【答案】0.18 【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是 综上所述，甲队以 获胜的概率是 29、(2020·天津市第一中学开学考试)若 是离散型随机变量， ， ，且 .又已知 ， ，则 的值为 _____________. 【答案】3 【解析】因为 所以  30、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)已知随机变量 的分布列如下：  1 2 3 1 a P a2 2 2 a D()= 则 ___，方差 ___． 1 11 【答案】 2 16 【解析】 1 a a2  1  2 2   0a2 1 由题意可得 ，解得 ，  a 1  0 1 a  2 2 1 1 1 P1 P2 P3 2， 4， 4， 1 1 1 7 E1 2 3  2 4 4 4 ， 2 2 2 1  7 1  7 1  7 11 D  1   2   3        ， 2  4 4  4 4  4 16 1 11 a D 综上， 2， 16. 1 11 故答案为： 2 ；16. 31、(2020年高考浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ，则 _______， _______． 【答案】 ， 【解析】因为 对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以 ， 随机变量 ， ， ， 所以 . 故答案为： . 2 E(ξ) 32、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)已知随机变量的分布列如下表，若 3 ，则 D() a=________， ______.  0 1 2 1 P a b 6 1 5 【答案】2 9 1 ab 1   6  【解析】依题意  Eb 1  2 ，故 a  1 ,b 1 .所以  3 3 2 3 2 2 2  2 1  2 1  2 1 5 D  0     1     2     3 2  3 3  3 6 9 . 1 5 故填：(1)2 ；(2)9. a,a,b,b,c,c 32 33、(2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟)将字母 放入 的方表格，每个格子各放 k 一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有 行字母相同，  则得k分，则所得分数 的数学期望为______；(注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字 1 母相同，第1，3行字母不同，该情况下 ) a b c c a b 2 3 【答案】15 5(填0.6也对) 【解析】第一种：当每一列都不一样时有： a,b,c A3 a,b,c A3 第一列 三个全排有 3，第二列剩下的 三个全排也有 3， C1C2C1C1 第二种：在一列中有其中两个是一样的则有： 3 3 2 3， N  A3A3 C1C2C1C1 90 所以总的基本事件个数有： 3 3 3 3 2 3 ， 当每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的基本事件个数有：N  A3C1 12 1 3 2 ， 记事件“每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同”为A， N 12 2 pA 1   则 N 90 15；  因为所得分数 可能取值为：0，1，3， 48 36 6 p0 ,p1 , p3 则有： 90 90 90， 48 36 6 54 3 E0 1 3   所以有 90 90 90 90 5 2 3 故答案为：15；5 四、解答题 34、(2020·徐州高级中学高三开学考试)甲、乙两人射击，甲射击一次中靶的概率是 ，乙射击一次中靶的 概率是 ，且 是方程 的两个实根，已知甲射击5次，中靶次数的方差是 . (1)求 ， 的值； (2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标概率是多少? 【解析】(1)由题意甲射击中靶的次数 服从 ，所以由 可得 .又因为 是方程 的两个实根，由根与系数关系可知： ，所以 ；(2)设甲、乙两人两次射击中分别中靶次数为事件 (其中 表示中靶的次数)， “两人各射击2 次，至少中靶3次”的概率为P， 因为 是相互独立事件， 所以 35、(2020·辽宁省辽宁实验中学高三调研)某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、 礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 (1)若将频率视为概率，从这 个水果中有放回地随机抽取 个，求恰好有 个水果是礼品果的概率.(结 果用分数表示) (2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考. 方案 ：不分类卖出，单价为 元 . 方案 ：分类卖出，分类后的水果售价如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg) 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ (3)用分层抽样的方法从这 个水果中抽取 个，再从抽取的 个水果中随机抽取 个， 表示抽取的 是精品果的数量，求 的分布列及数学期望 . 【解析】(1)设从 个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为 ，则 现有放回地随机抽取 个，设抽到礼品果的个数为 ，则恰好抽到 个礼品果的概率为： (2)设方案 的单价为 ，则单价的期望值为： 从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案 (3)用分层抽样的方法从 个水果中抽取 个，则其中精品果 个，非精品果 个 现从中抽取 个，则精品果的数量 服从超几何分布，所有可能的取值为： 则 ； ； ； 的分布列如下： 36、(2020届山东省烟台市高三上期末)某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障. 各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 . (1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率； (2)为提高生产效益，该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月 只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出故障的情况下， 每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 与 之 中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润-维修工人工资) 【解析】(1)设3条生产线中出现故障的条数为 ,则 , 因此 (2)①当 时,设该企业每月的实际获利为 万元, 若 ,则 ； 若 ,则 ； 若 ,则 ； 若 ,则 ； 又 , , , 此时,实际获利 的均值 ②当 时,设该企业每月的实际获利为 万元, 若 ,则 ； 若 ,则 ； 若 ,则 ； 若 ,则 ；因为 , 于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在 与 之中选其一,应选用 37、(2020届山东省九校高三上学期联考)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现 为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失 等，记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试 的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满 分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表： 教师评分(满分12分) 11 10 9 1 1 1 各分数所占比例 4 2 4 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当 两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大 于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题 得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该 题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比 例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响). (1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X 的分布列及数 E(X) 学期望 ； (2)本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”，记该同学6 5 a 6 个题中得分为x x  x  x  x  x  的题目个数为a ，a  Ni 1,2,3,4,5 ， i ，计算事件 i 1 2 3 4 5 i i i1 a a a 4 “ 1 4 5 ”的概率. 【解析】(1)随机变量X 的可能取值为9、9.5、10、10.5、11， 设一评、二评、仲裁所打分数分别为x， y ，z，PX 9 Px9,y 9Px9,y 11,z 9 Px11,y 9,z 9 1 1 1 1 1 3      2 4 4 4 4 4 32， 1 1 1 PX 9.5 Px9,y 10Px10,y 9   2 4 2 4， 1 1 1 PX 10 Px10,y 10   2 2 4， PX 10.5 Px10,y 11Px11,y 10 Px9,y 11,z 10Px11,y 9,z 10 1 1 1 1 1 5   2   2 2 4 4 4 2 16 ， PX 11 Px11,y 11 Px11,y 9,z 11Px9,y 11,z 11 1 1 1 1 1 3      2 4 4 4 4 4 32. 所以X 分布列如下表： X 可能取值 9 9.5 10 10.5 11 3 1 1 5 3 概率 32 4 4 16 32 3 1 1 5 3 321 EX9 9.5 10 10.5 11  数学期望 32 4 4 16 32 32 (分). 5 a 6 (2)∵ i ，∴P"a a a 4" P"a a 2" ， i1 1 4 5 2 3 P"a a 2" P"a 0,a 2" P"a 2,a 0"P"a 1,a 1" ∵ 2 3 2 3 2 3 2 3 ， 2 4 1 1 P"a 0,a 2"C2 2 3 6  4    2   ，2 4 1 1 P"a 2,a 0"C2 2 3 6  4    2   ， 4 1 1 1 P"a 1,a 1"C1 C1  2 3 6 4 5 4  2   ， 2 4 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 C2 C2 C1 C1  P"a a 2" 6  4    2   6  4    2   6 4 5 4  2   2 3 15 15 30 15     256 256 256 64 ， 15 P"a a a 4" ∴ 1 4 5 64. 38、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城 市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在 2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中. 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资 建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到 p (0 p1) 2020年底每个天坑院盈利的概率为 ，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0. 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到 该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别 1 p 为p和 . X EX  (1)若投资项目一，记 1为盈利的天坑院的个数，求 1 (用p表示)； X EX  (2)若投资项目二，记投资项目二的盈利为 2百万元，求 2 (用p表示)； (3)在(1)(2)两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. X ~ B(20, p) 【解析】(1)解：由题意 1 EX 20p 则盈利的天坑院数的均值 1 .X (2)若投资项目二，则 2的分布列为 X 2 -1.2 2 P P 1 p EX 2p1.2(1 p)3.2p1.2 盈利的均值 2 . 0.240%0.08 (3)若盈利，则每个天坑院盈利 (百万元)， 所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为 E0.08X  0.08EX  0.0820p 1.6p 1 1 (百万元). D0.08X 0.082DX  0.08220p(1 p) 0.128p(1 p) 1 1 DX (23.2p1.2)2 p(1.23.2p1.2)2(1 p) 10.24p(1 p) 2 E0.08X  EX  1.6p 3.2p1.2 ①当 1 2 时， ， 3 p  解得 4. D0.08X  DX  1 2 .故选择项目一. E0.08X  EX  1.6p 3.2p1.2 ②当 1 2 时， ， 3 0 p 解得 4 . 此时选择项一. 3 ③当 E0.08X 1  EX 2  时，1.6p3.2p1.2，解得 p 4. 此时选择项二. x2  y2 1 A(1,0) 39、(2020届山东省潍坊市高三上期中)如图，直角坐标系中，圆的方程为 ， ， 1 3  1 3 B ,  C ,   ，  为圆上三个定点，某同学从 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定： 2 2 2 2     A ①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定， 若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向 P A P B P C 移动．设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A ，B， C 处的概率分别为 n ， n ， n ．例如：掷骰 1 1 子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为 P 1 AO ， P 1 B 2 ， P 1 C 2． A B C (1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 ， ， 处的概率； N X OA OB OC (2)掷骰子 次时，若以 轴非负半轴为始边，以射线 ， ， 为终边的角的余弦值记为随机变 X X 量 n，求 4的分布列和数学期望；  1 (3)记P Aa ，P Bb ，P Cc ，其中a b c 1．证明：数列   b n  3  是等比数列， n n n n n n n n n a 并求 2020. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(A)     P(B)   P(C)   【解析】(1) 2 2 2 2 2 2 ， 2 2 2 4， 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 P(A)       P(B)      P(C)      3 2 2 2 2 2 2 4 ， 3 2 4 2 8， 3 2 4 2 8综上， 棋子位置 A B C 掷骰子次数 1 1 1 2 2 4 4 1 3 3 3 4 8 8 1  X (2)随机变量 4 的可能数值为1， 2 . 综合(1)得 1 3 3 1 3 PX 1P(B)P(C)       4 3 3 2 8 8 2 8 ，  1 1 1 5 P  X   P(A)P(C) P(A)P(B)   4 2 3 3 2 3 3 2 8， X 故随机变量 4的分布列为 1 X 1  4 2 3 5 P 8 8 3 1 5 1 EX 1    4 8 2 8 16. b c b c (n2) (3)易知 n n，因此， n1 n1 1 1 b  a c  a b  而当n2时， n 2 n1 n1 2 n1 n1 ， a b c 1 又 n1 n1 n1 ， 2b b 1 即 n n1 .1 1 1 b  12b b   b  (n2) 因此 n 2 n1 n1 2 n1 2 ， 1 1 1 1 1 1 1 1 b   b    b    b   (n2) 故 n 3 2 n1 2 3 2 n1 6 2 n1 3  1 1 1 1 b   b    即数列 n 3是以 1 3 6 为首项，公比为 2 的等比数列. n1 1 1 1 b    所以 n 3 6   2   ， 1 1 1 n1 1 1 1 n1 1  1 n1 又 a n 12b n 12  3  6    2      3  3    2    3   1    2     1 1 2019 故 a 2020  3   1  2     . 40、(2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测)某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最 A B 多投3次，每次投篮的结果相互独立.在 处每投进一球得3分，在 处每投进一球得2分，否则得0分.将 学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续 A B B 投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在 处投一球，以后都在 处投；方案2:都在 处 1 4 投篮.已知甲同学在A处投篮的命中率为4 ，在B处投篮的命中率为5 . X E(X) (1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分 的分布列和数学期望 ； (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. B(i 1,2) 【解析】(1)设甲同学在 A 处投中为事件 A ，在 B 处第 i 次投中为事件 i ， 1 4 P(A) PB  由已知 4， i 5 .X 的取值为0，2，3，4.       3 1 1 3 P(X 0) P AB B  P(A)P B P B     则 1 2 1 2 4 5 5 100，     3 4 1 3 1 4 6 1 P(X 2) P ABB P AB B        P(X 3) P(A) 1 2 1 2 4 5 5 4 5 5 25， 4， 3 4 4 12   P(X 4) P ABB     1 2 4 5 5 25， X 的分布列为: X 0 2 3 4 3 6 1 12 P 100 25 4 25 3 6 1 12 315 E(X)0 2 3 4  3.15 X 的数学期望为: 100 25 4 25 100 . P P (2)甲同学选择方案1通过测试的概率为 1，选择方案2通过测试的概率为 2， 1 12 73 P  P(X 3)P(X 4)   0.73 则 1 4 25 100 ， 4 4 1 4 4 4 1 4 P  PBB P  BB B  P  BB B          2 1 2 1 2 3 1 2 3 5 5 5 5 5 5 5 5 112  0.896 125 , P  P ∵ 2 1， ∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大. 41、(2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保 公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受 公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量 满足正态分布 在公交车准点率正常、交通拥堵情 况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图. (1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计 的值； (2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小 概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间， 发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由. (参考数据： ， ， ， ， ) 【答案】(1) ， (2)准点率正常，详见解析 【解析】 (1) ， (2) ，设3名乘客候车时间超过15分钟的事件为 ， ， ， 准点率正常 A B 42、(2020届山东省高考模拟)某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一 次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足 食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并 A B 整理了 、 两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据： 销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记X 表示这两家超市每日共销售食品件数， n 表 示销售公司每日共需购进食品的件数. (1)求X 的分布列； n19 n20 (2)以销售食品利润的期望为决策依据，在 与 之中选其一，应选哪个？ 1 2 1 1 ，，， 【解析】(1)由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为5 5 5 5 . X 取值为16,17,18,19,20,21. 1 1 1 1 2 4 PX 16   PX 17  2 5 5 25， 5 5 25； 2 2 1 1 6 1 2 1 1 6 PX 18    2 PX 19  2  2 5 5 5 5 25； 5 5 5 5 25； 1 1 2 1 5 1 1 2 PX 20    2 PX 21  2 5 5 5 5 25； 5 5 251 1 1 PX 22   5 5 25 所以X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 1 4 6 6 5 2 1 P 25 25 25 25 25 25 25 Y Y (2) 当 n19 时，记 1为 A，B 销售该食品利润，则 1的分布列为 Y 1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050 1 1 4 6 6 5 2 1 P 25 25 25 25 25 25 25 1 4 6 6 5 2 1 EY 1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050 1 25 25 25 25 25 25 25 1822 Y Y n20 A,B 当 时，记 2为 销售该食品利润，则 2的分布列为 Y 1400 1550 1700 1850 2000 2050 2100 2 1 4 6 6 5 2 1 P 25 25 25 25 25 25 25 1 4 6 6 5 2 1 EY 1400 1550 1700 1850 2000 2050 2100 2 25 25 25 25 25 25 25 1804 EY  EY  因为 1 2 ，故应选 n19 . 43、(2020届山东省济宁市高三3月月考)公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会 出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国 科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫 苗后出现Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天 接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状 1 的概率均为4 ，假设每次接种后当天是否出现Z 症状与上次接种无关. (1)若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；(2)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一 只小白鼠参加的接种周期为X ，求X 的分布列及数学期望. 1 【解析】(1)已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均为4 ，且每次试验间相互独立，所以，一只小 1 p  白鼠第一天接种后当天出现Z 症状的概率为 1 4 3 1 3 p    在第二天接种后当天出现Z 症状的概率为： 2 4 4 16 3 3 1 9 p     能参加第三天试验但不能参加下一个接种同期的概率为： 3 4 4 4 64 ， ∴一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为： 1 3 9 37 P  p  p  p     1 2 3 4 16 64 64； C Z (2)设事件 为“在一个接种周期内出现2次或3次 症状”，则  3 1 3 1 5 PCC2  C3      3 4 4 3 4 32； 随机变量X 可能的取值为1，2，3，则 5 PX 1 PC 32  5  5 135 PX 2 1PC PC 1        32 32 1024 729 PX 31PC 1PC1    1024； 所以X 的分布列为 X 1 2 35 135 729 P 32 1024 1024 随机变量X 的数学期望为： 5 135 729 2617 EX1 2 3  32 1024 1024 1024 44、(2020届山东省潍坊市高三模拟一)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策 要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收 入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位 农民的年收入并制成如下频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 元(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点 值表示)； (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布 ，其中 近似为年平均 收入 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，求： (i)在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收 入标准，则最低年收入大约为多少千元？ (ii)为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的 年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 附参考数据： ，若随机变量X服从正态分布 ，则 ， ，. 【解析】 千元 故估计50位农民的年平均收入 为17.40千元； (2)由题意知 (i) ， 所以 时，满足题意， 即最低年收入大约为14.77千元. (ii)由 ， 每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773， 记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为 ， 则 ，其中 ， 于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为 ， 从而由 得 ，而 ， 所以，当 时， ， 当 时， ， 由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.