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题型01：椭圆⽅程与性质⼩题综合
1．“1＜m＜6”是“⽅程
表示椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若曲线
表示椭圆，则实数k 的取值范围是（
）
A．（4，6）
B．（4，5）
C．（5，6）
D．（4，5）∪（5，6）
3．如图，F1、F2是椭圆
与双曲线
的公共焦点，A、B 分别是C1、C2在第
⼆、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C1的离⼼率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知椭圆C：
的左焦点为F1，焦距为2c，圆O：x2+y2＝c2与椭圆C 有四个交
点，其中点P，Q 分别在第⼀、四象限，若△F1PQ 为等边三⻆形，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．设F 是椭圆
的左焦点，M，N 是C 上的任意两点，△FMN 周⻓的取值范
围为（m，n]，若n＝3m，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆Γ：
的左、右焦点为F1，F2，上⼀点P 满⾜PF1⊥PF2，A 为线段PF2
的中垂线与Γ的交点，若△APF1的周⻓为
，则Γ的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．椭圆C1：
＝1 的上、下顶点分别为B2，B1，椭圆C2：
＝1 与C1的⼀个交点为M，则△
MB1B2的周⻓为（
）
A．4
B．
C．
D．6
8．已知椭圆C：
，直线l：
，若点P 为C 上的⼀点，则点P 到直线l 的距离的最
⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知F1，F2分别为椭圆C：
的两个焦点，C 的离⼼率为
，若P 为C 上⼀点，则
△PF1F2的周⻓为（
）
A．6
B．9
C．9 或
D．12 或
10．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左右顶点是A1，A2，左右焦点是F1，F2，点M 是C 上⼀点，
且满⾜∠A1MA2＝
，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知点
，Q 为曲线
上任意⼀点，则|PQ|的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在M 上，Q 为PF2的中点，
且F1Q⊥PF2，|F1Q|＝b，则M 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
13．椭圆
上的两点A、B 关于直线2x﹣2y﹣3＝0 对称，则弦AB 的中点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
14．P 为椭圆
+
＝1 上⼀点，F1，F2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH⊥F1F2于H，若PF1
⊥PF2，则|PH|＝（
）
A．
B．
C．8
D．
15．设F1，F2为椭圆
＝1 的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF1的中点在y 轴上，则
的
值为（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知椭圆
的两个焦点是F1、F2，点P 在椭圆上，若|PF1|﹣|PF2|＝2，则△PF1F2 的⾯积是
（
）
A．
B．
C．
D．
17．设点P 为椭圆C：
+
＝1 上⼀点，F1、F2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF1F2的重⼼为点G，
若|PF1|：|PF2|＝3：4，那么△GPF1的⾯积为（
）
A．24
B．12
C．8
D．6
题型02：双曲线⽅程与性质⼩题综合
18．已知F 为双曲线C：
的右焦点，A 为C 的左顶点，点B 在C 上，且BF
垂直于x 轴，若AB 的斜率为1，则C 的实轴⻓与虚轴⻓的⽐值为（
）
A．
B．
C．
D．
19．已知双曲线
的左焦点为F1，O 为坐标原点，若在C 的右⽀上存在关
于x 轴对称的两点P，Q，使得△PF1Q 为正三⻆形，且OQ⊥F1P，则C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
20．已知双曲线
的右焦点为F，过点F 的直线l 与双曲线E 的右⽀交于B，
C 两点，且|CF|＝2|FB|，点B 关于原点O 的对称点为点A，若
，则双曲线E 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
21．设直线y＝kx 与双曲线
相交于A，B 两点，P 为C 上不同于A，B 的
⼀点，直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，若C 的离⼼率为
，则k1•k2＝（
）
A．3
B．1
C．2
D．
22．已知双曲线C：
＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点
分别为M，N，若△OMN 为直⻆三⻆形，则|MN|＝（
）
A．
B．4
C．
D．3
23．双曲线C：
＝1 的右焦点为F，点P 在C 的⼀条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△
PFO 的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
24．过双曲线
的右焦点F（1，0）作x 轴的垂线与双曲线交于A，B 两点，O
为坐标原点，若△AOB 的⾯积为
，则双曲线的渐近线⽅程为（
）
A．y＝±
x
B．y＝±2
x
C．y＝±2
x
D．y＝±2x
25．已知双曲线C：
＝1（a，b＞0）的右顶点A 和右焦点F 到⼀条渐近线的距离之⽐为1：
，
则C 的渐近线⽅程为（
）
A．y＝±x
B．y＝±
x
C．y＝±2x
D．y＝±
x
26．双曲线
）的两条渐近线分别为l1，l2，F 为其⼀个焦点，若F 关于l1的对称
点在l2上，则双曲线的渐近线⽅程为（
）
A．y＝±2x
B．y＝±3x
C．y＝
D．y＝
27．已知F1，F2分别是双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 是双曲线上⼀点，若|PF1|+|PF2|
＝6a，且△PF1F2的最⼩内⻆为
，则双曲线的渐近线⽅程为（
）
A．y＝±2x
B．y＝±
x
C．y＝±
x
D．y＝±
x
28．设F1、F2是双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是C 上⼀点，若|PF1|+|PF2|＝6a，且
△PF1F2最⼩内⻆的⼤⼩为30°，则双曲线C 的渐近线⽅程是（
）
A．
x±y＝0
B．x±
y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
29．已知双曲线Γ：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，与x 轴平⾏的直线交Γ于B，C 两点，记∠
BAC＝θ，若Γ的离⼼率为
，则（
）
A．θ∈（0，
）
B．θ＝
C．θ∈（
，π）D．θ＝
题型03：抛物线⽅程与性质⼩题综合
30．设抛物线C：y2＝3x 的焦点为F，点A 为C 上⼀点，若|FA|＝3，则直线FA 的倾斜⻆为（
）
A．
B．
C．
或
D．
或
31．过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A，B 两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于（
）
A．4
B．
C．5
D．6
32．设F 为抛物线C：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜⻆为30°的直线交C 于A，B 两点，O 为坐标原点，则△
OAB 的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
33．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点且倾斜⻆为锐⻆的直线l 与C 交于A，B 两点，过线段AB 的中点
N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l 的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．1
34．已知F 是抛物线y2＝4x 的焦点，过焦点F 的直线l 交抛物线的准线于点P，点A 在抛物线上且|AP|＝|AF|
＝3，则直线l 的斜率为（
）
A．±1
B．
C．
D．2
35．已知直线l：y＝kx﹣k 与抛物线C：y2＝4x 及其准线分别交于M，N 两点，F 为抛物线的焦点，若
，
则实数k 等于（
）
A．
B．±1
C．
D．±2
36．已知抛物线C：y2＝4x，过抛物线C 焦点F 的直线l 交抛物线C 于A、B 两点（点A 在第⼀象限），且
交抛物线C 的准线于点E．若
＝2
，则直线l 的斜率为（
）
A．3
B．2
C．
D．1
37．已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x 相交于A、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|＝2|FB|，则
k＝（
）
A．
B．
C．
D．
38．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与y 轴交于点D，过点F 作直线交抛物线E 于A、
B 两点，若AB⊥AD，且|BF|＝|AF|+4，则p 的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
39．已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，准线为l，若射线y＝2（x﹣1）（x≤1）与C，l 分别交于P、Q 两点，
则
＝（
）
A．
B．2
C．
D．5
40．抛物线x2＝4y 的焦点为F，过F 作斜率为
的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A，过A 作
抛物线准线的垂线，垂⾜为H，则△AHF 的⾯积是（
）
A．4
B．
C．
D．8
41．已知抛物线C：y2＝8x 的焦点为F，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A，B 两点，且直线l 不与x
轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P（10，0），则△AOB 的⾯积为（
）
A．4
B．4
C．8
D．8
42．已知抛物线y2＝4x，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A、B 两点（A 在第⼀象限内），
＝3
，
过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G，则三⻆形ABG 的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
43．已知抛物线x2＝2y 的焦点为F，其上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）满⾜|AF|﹣|BF|＝2，则y1+x12﹣y2
﹣x22＝（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
44．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满⾜
+
＝﹣
，则
+
+
＝
．
45．已知抛物线x2＝4y 的焦点为F，准线为l，P 为抛物线上⼀点，过P 作PA⊥l 于点A，当∠AFO＝30°（O
为坐标原点）时，|PF|＝
．
46．已知抛物线C：x2＝4y 的焦点为F，直线AB 与抛物线C 相交于A，B 两点，若2
+
﹣3
＝，则
弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为
．
47．已知抛物线Γ：y2＝8x 的焦点为F，准线与x 轴的交点为K，点P 在Γ 上且
，则
△PKF 的⾯积为
．
题型04：焦点三⻆形与余弦定理
1．已知点F1，F2是椭圆
的左、右焦点，点M 为椭圆E 上⼀点，点F 关于∠
F1MF2的⻆平分线的对称点N 也在椭圆E 上，若
，则椭圆E 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C 交于点P，Q，若
|PF1|+|QF2|＝2|PF2|，且
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2 的直线与双曲线E
的右⽀交于A，B 两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E 的离⼼率为
，则cos∠BAF1＝（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知F1，F2 分别为双曲线C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F1AF2
＝60°，若∠F1AF2的⻆平分线经过线段OF2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．设双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与曲线的右⽀交
于A，B 两点，若|F1A|＝|AB|＝2|F1B|，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．4
题型05：焦点三⻆形⾯积与周⻓
6．已知F1，F2 是椭圆
的两个焦点，P 是椭圆上⼀点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2 的⾯积等于
（
）
A．24
B．26
C．
D．
7．已知F1，F2是椭圆
的左、右焦点，点P 在C 上，且线段PF1的中点在以F1F2为直径的
圆上，则三⻆形PF2F1的⾯积为（
）
A．
B．
C．4
D．6
8．已知F1，F2 分别为双曲线C：x2﹣y2＝1 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝60°，则
＝
（
）
A．
B．
C．
D．3
9．已知F1，F2为双曲线
的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的⾯积为
（
）
A．
B．
C．
D．
10．设F1，F2分别是双曲线
的上、下焦点，双曲线上的点P 满⾜3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的⾯
积等于（
）
A．
B．12
C．
D．6
11．已知F1，F2分别是双曲线C：
的左、右两个焦点，点P 在双曲线C 上，且满⾜∠F1PF2＝60
°，则△F1PF2的⾯积是（
）
A．1
B．
C．3
D．
12．已知F1，F2分别是双曲线C：
的左、右焦点，P 为C 上⼀点，PF1⊥PF2，
且△F1PF2的⾯积等于8，则b＝（
）
A．
B．2
C．
D．4
13．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2，点P 在
C 上，且C 的离⼼率为
，△PF1F2的周⻓为10，则四边形B1F1B2F2的⾯积为（
）
A．5
B．
C．
D．
14．已知F1，F2分别为椭圆C：
＝1 的左、右焦点，直线y＝2x 与C 交于两点A，B，则平⾏四边
形AF1BF2的周⻓为（
）
A．
B．8
C．
D．16
15．已知F1，F2分别为椭圆C：
的两个焦点，C 的离⼼率为
，若P 为C 上⼀点，则
△PF1F2的周⻓为（
）
A．6
B．9
C．9 或
D．12 或
16．已知点F1，F2是椭圆
的左、右焦点，若过焦点F1的直线交椭圆C 于A，B 两点，则△
AF2B 的周⻓为（
）
A．6
B．4
C．
D．8
17．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆
的左，右焦点，点P 为直线
与椭圆E 的⼀个公共点，满⾜PF1⊥PF2，且
，则椭圆E 的⽅程为（
）
A．
B．
C．
D．
18．已知椭圆
＝1（0＜m＜8）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 是椭圆上⼀个动点，若△PF1F2的
⾯积的最⼤值为3
，则m＝（
）
A．7
B．3
C．
D．9
19．已知P 为椭圆C：
＝1 上⼀点，F1，F2分别是椭圆C 的左、右焦点．若点P 的横坐标为
，
则△PF1F2的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．4
（多选）20．设椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，P 是C 上的动点，则（
）
A．△PF1F2的周⻓为16
B．|PF1|的最⼩值为
C．△PF1F2的⾯积的最⼤值为12
D．存在点P，使得PF1⊥PF2
21．双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C 在第⼀
象限相交于点P ．若直线PF1 的斜率为
，△PF1F2 的⾯积为8 ，则双曲线C 的⽅程
为
．
22．已知F1，F2 分别是离⼼率为
的椭圆
的左、右焦点，P 是E 上⼀点且
，若△F1PF2的⾯积为
，则a＝
．
23．已知双曲线
（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．通过F2且倾斜⻆为
的直线与双曲
线交于第⼀象限的点A，延⻓AF2 ⾄B 使得AB＝AF1．若△BF1F2 的⾯积为
，则a 的值
为
．
24．双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交双曲线的两⽀于A，
B 两点，△ABF2为等边三⻆形，则双曲线的离⼼率为
．
题型06：焦点三⻆形的内切圆
1．已知点P 为双曲线
右⽀上⼀点，F1，F2 分别为双曲线的左右焦点，且
，Ⅰ为△PF1F2的内⼼，若
λ
，则λ的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作倾斜⻆为
的直线交双曲线C 于A，
B 两点，若△AF1F2，△BF1F2的内切圆半径分别为r1，r2，则r1r2＝（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．已知双曲线C：
＝1 的⼀条渐近线⽅程为x+
y＝0，虚轴⻓为2，C 的两焦点为F1，F2，P 为
C 上⼀点，且∠F1PF2＝60°，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别R，r，则
的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F2的直线与C 的右⽀交于点G，H，若
△GF1F2的内切圆半径为2，则△HF1F2的内切圆半径为
．
5．如图所示，已知F1，F2分别为双曲线
的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右⽀交于A，B
两点，记△AF1F2的内切圆O1的⾯积为S1，△BF1F2的内切圆O2的⾯积为S2，则S1+S2的取值范围是
6．已知F1，F2 是双曲线
的左，右焦点，过左焦点F1的直线l 交双曲线左⽀
于M，N 两点（其中M 在x 轴上⽅，N 在x 轴下⽅），△MF1F2的内切圆半径为R，△NF1F2的内切圆半
径为r．若R＝4r，则直线l 的斜率等于
．
7．设⽆论m（m∈R）取何值，直线mx+y﹣2﹣2m＝0 恒过定点（x0，y0），已知双曲线
＝1（a＞0）
的左右焦点依次为F1，F2，且P 为双曲线右⽀上任意⼀点（x 轴上的点除外），当点P 运动时，焦点三
⻆形F1PF2 内切圆圆⼼始终在直线x ＝x0 上运动，则双曲线
＝1 的渐近线⽅程
为
．
题型07：焦点三⻆形与中位线
1．已知椭圆C：
＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点对称点分别为A，B，线段MN
的中点在C 上，则|AN|+|BN|＝（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
2．椭圆
上⼀点M 到焦点F1的距离为2，N 是MF1的中点，O 是椭圆中⼼，则|ON|的值是（
）
A．2
B．4
C．8
D．
3．从双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F 引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延⻓FT 交双曲线右
⽀于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（
）
A．c﹣a
B．b﹣a
C．a﹣b
D．c﹣b
4．过双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延⻓FE
交抛物线y2＝4cx 于点P，O 为坐标原点，若
＝（
+
），则双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
题型08：直线与圆锥曲线联⽴综合
1．斜率为1 的直线l 与椭圆
相交于A，B 两点，则|AB|的最⼤值为（
）
A．2
B．
C．
D．
2．若直线y＝kx 与曲线（x﹣
）2+（|y|﹣1）2＝1 有交点，则k 的取值范围是（
）
A．[﹣
，
]
B．[﹣1，1]
C．[﹣
，
]
D．[﹣
，
]
3．已知抛物线⽅程y2＝4x，过点P（0，2）的直线与抛物线只有⼀个交点，这样的直线有_____条．（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．直线y＝kx+1（k∈R）与椭圆
恒有公共点，则m 的取值范围是（
）
A．[1，5）∪（5，+∞）
B．（0，5）
C．[1，+∞）
D．（1，5）
5．已知直线l：kx﹣y+6k﹣6＝0 和曲线
，当
时，直线l 与曲线C 的交点个数为
（
）
A．0
B．1
C．2
D．⽆法确定
6．直线3x﹣2y+6＝0 与曲线
的公共点的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．直线
与椭圆
相交于A、B 两点，该椭圆上点P，使得△APB 的⾯积等于3．这样的
点P 共有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8．等轴双曲线x2﹣y2＝a2与直线y＝ax（a＞0）没有公共点，则a 的取值范围（
）
A．a＝1
B．0＜a＜1
C．a＞1
D．a≥1
9．已知直线y＝2x+t 与椭圆
相交于A、B 两点，若线段AB 的中点纵坐标为
，则t＝（
）
A．
B．2
C．
D．
10．经过椭圆
的右焦点作倾斜⻆为
的直线L，交椭圆于M，N 两点，设O 为坐标原点，则向
量
点乘向量
等于（
）
A．
B．
C．
D．
11．直线y＝x+1与椭圆mx2+ny2＝mn（m＞n＞0）相交于A、B两点，弦AB的中点纵坐标为
，则双曲线
＝1 的两条渐近线所夹锐⻆的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆
上存在两点M、N 关于直线y＝﹣x+t 对称，且MN 的中点在抛物线y2＝x 上，则实
数t 的值为（
）
A．0
B．2
C．0 或2
D．0 或6
13．椭圆mx2+ny2＝1 与直线y＝1﹣x 交于M、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线的斜率为
，则
的
值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．直线y＝kx（k＞0）与双曲线
没有交点，则k 的取值范围为（
）
A．[
，+∞）
B．（2，+∞）
C．[
，+∞）
D．（0，
）
15．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px 上，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线与抛物线C 交于M（x1，
y1），N（x2，y2）两点，若x1+x2＝4，则|MN|＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
16．若双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线被圆x2+（y﹣2）2＝4 所截得的弦⻓为2
，则
C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．3
17．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），O 为原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率为
的直线与抛物线交于点
A，B，直线AO，BO 分别交抛物线的准线于点C，D，则
为（
）
A．2
B．
C．
D．
18．已知抛物线y2＝x 的焦点为F，过点A（1，0）的直线交抛物线于M，N 两点，直线MF，NF 分别于抛
物线交于点P，Q．设直线MN，PQ 的斜率分别为k1，k2，则
＝（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
19．已知过点P（﹣2，2）的直线l 与抛物线y2＝4x 交于A，B 两点，且
＝
，点Q 满⾜
＝﹣
，
点C（4，0），则|QC|的最⼩值为（
）
A．
B．2
C．
D．1
20．若抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线
与抛物线交于A，B 两点，且|AF|﹣
，
则|AB|＝（
）
A．4
B．
C．2
D．
21．已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，过点（0，3）的直线与C 交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线
与x 轴的交点为点D，若AF+BF＝6，则△ABD 的⾯积为（
）
A．
B．
C．
D．
22．已知⽅程组
的解集为A＝{（x1，y1），（x2，y2）}，且
，则k＝（
）
A．1 或﹣1
B．
或
C．或
D．2 或﹣2
23．已知直线l：y＝2x+3 被椭圆
截得的弦⻓为7，则下列直线中被椭圆C 截
得的弦⻓⼀定为7 的有（
）
①y＝2x﹣3
②y＝2x+1
③y＝﹣2x﹣3
④y＝﹣2x+3．
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
24．若曲线|y|＝x+3 与曲线
恰有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为
．
25．如果直线l：kx﹣y﹣2k＝0 和曲线Γ：x2﹣4y|y|＝1 恰有⼀个交点，那么实数k 的取值范围
是
．
26．直线y＝kx﹣k+1（k∈R）与焦点在x 轴上的椭圆
总有公共点，则m 的取值范围
是
．
27．已知动点M 到点A（6，0）的距离等于M 到点
的距离的3 倍，
（1）求动点M 的轨迹C 的⽅程；
（2）若直线y＝kx+3 与轨迹C 没有交点，求k 的取值范围．
28．已知抛物线C：y2＝2px 的焦点为F（2，0）．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）斜率为1 的直线过点F，且与抛物线C 交于A，B 两点，求线段AB 的⻓．
29．已知椭圆
的右焦点为F，下顶点为A，离⼼率为
，且
．
（1）求椭圆的标准⽅程；
（2）设直线l：y＝﹣3 与y 轴交于点T，过T 作斜率为k 的直线l 交椭圆于不同的两点B，C，延⻓AB，
AC 交l 于点M，N，若|TM|+|TN|≤15，求k 的取值范围．
30．设椭圆C：
（a＞b＞0）的离⼼率为
，且与直线
相切．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若在y 轴上的截距为2 的直线l 与椭圆C 分别交于A，B 两点，O 为坐标原点，且直线OA，OB 的
斜率之和等于12，求直线AB 的⽅程．
题型09：中点弦与点差法
1．已知斜率存在的直线l 与椭圆
＝1 交于A，B 两点，且l 与圆C：（x﹣1）2+y2＝1 切于点P．若P
为线段AB 的中点，则直线PC 的斜率为（
）
A．2
B．﹣
C．2
或﹣2
D．
或﹣
2．已知椭圆C：
（m＞0 且m≠6），直线x+3y﹣4＝0 与椭圆C 相交于A，B 两点，若（1，1）是
线段AB 的中点，则椭圆的焦距为（
）
A．2
B．4
C．
D．
3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，AF⊥BF，线段AB 的
中点为M，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂⾜为N，则
的最⼩值为（
）
A．1
B．
C．2
D．
4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线为y＝﹣2，点P，Q 在抛物线C 上，且线段PQ 的中点为（﹣2，
4），则直线PQ 的⽅程为（
）
A．x+2y﹣6＝0
B．x+3y﹣10＝0
C．2x+y＝0
D．2x+3y﹣8＝0
5．已知抛物线C：y2＝4x，直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点．若线段AB 的中点为（2，1），则直线l 的
⽅程为（
）
A．y＝2x﹣3
B．y＝3x﹣5
C．y＝x﹣3
D．y＝x﹣1
6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，AF⊥BF，线段AB 的
中点为M，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂⾜为N，则
的最⼩值为（
）
A．1
B．
C．2
D．
7．已知直线l：x﹣y+3＝0 与双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）交于A，B 两点，点P（1，4）是弦AB
的中点，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．
B．2
C．
D．
8．已知双曲线
的左顶点和右焦点分别为A，F，O 为坐标原点，经过点A 的直线l 与双曲线的
两条渐近线交于点M，N，设M，N 的中点为P，满⾜|OP|＝|PF|，则直线l 的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知双曲线C：
，过点P（1，1）的直线l 与双曲线C 交于A，B 两点．若点P 为线段AB 的
中点，则直线l 的⽅程是（
）
A．x﹣3y+2＝0
B．3x﹣y﹣2＝0
C．2x﹣y﹣1＝0
D．x﹣2y+1＝0
10．已知椭圆M：
的⻓轴⻓是短轴⻓的
倍．
（1）求M 的⽅程；
（2）若倾斜⻆为
的直线l 与M 交于A，B 两点，线段AB 的中点坐标为
，求m．
11．已知椭圆
的⻓轴⻓为10，焦距为6．
（1）求C 的⽅程；
（2）若直线l 与C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点坐标为
，求l 的⽅程．
12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点（1，0）的直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，且|AB|的最⼩值
为4．
（1）求p 的值；
（2）若线段AB 的中点为M，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为
，求直线l 的⽅程．
13 ．已知双曲线
与
有相同的渐近线，且经过点
．
（1）求双曲线C 的⽅程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0 与双曲线C 交于不同的两点A，B，且线段A，B 的中点在圆x2+y2＝20 上，求
实数m 的值．
14．已知中⼼在原点，焦点在x 轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，|F1F2|＝6
，C1的⻓半
轴与C2的实半轴之差为4，离⼼率之⽐为3：7．
（1）求这两条曲线的⽅程；
（2）求曲线C2以点M（4，2）为中点的弦所在直线的⽅程；
（3）若P 为两条曲线的交点，求∠F1PF2的余弦值．
15．已知双曲线
的⼀条渐近线与直线x+2y＝0 垂直，且右顶点P 到该条
渐近线的距离为
．
（1）求双曲线C 的⽅程；
（2）若直线l 与双曲线C 交于A、B 两点，线段AB 的中点为M（3，2），求直线l 的⽅程．
题型10：轨迹⽅程综合
1．已知F 是抛物线x2＝4y 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点轨迹⽅程是（
）
A．x2＝y﹣
B．x2＝2y﹣
C．x2＝2y﹣2
D．x2＝2y﹣1
2．已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C 为圆B 上任意⼀点，则AC 的垂直平分线与BC 的交点P
的轨迹⽅程是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知圆的⽅程x2+y2＝4，若抛物线过点A（0，﹣1），B（0，1）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨
迹⽅程是（
）
A．
+
＝1（y≠0）
B．
+
＝1（y≠0）
C．
+
＝1（x≠0）
D．
+
＝1（x≠0）
4．设C 为椭圆
上任意⼀点，A（0，﹣2），B（0，2），延⻓AC ⾄点P，使得|PC|＝|BC|，则点P
的轨迹⽅程为（
）
A．x2+（y﹣2）2＝20
B．x2+（y+2）2＝20
C．x2+（y﹣2）2＝5
D．x2+（y+2）2＝5
5．已知点A（1，0），直线l：x＝﹣1，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆⼼分别为C1、∁p，若动点M 满
⾜
，则M 的轨迹⽅程为（
）
A．y2＝2x﹣1
B．y2＝2x+1
C．y2＝4x+1
D．y2＝4x﹣1
6．已知直线l1：mx+y+m＝0 和l2：x﹣my﹣3＝0 相交于点P，则点P 的轨迹⽅程为（
）
A．（x﹣1）2+y2＝4
B．（x+1）2+y2＝4
C．（x﹣1）2+y2＝4（x≠﹣1）
D．（x+1）2+y2＝4（x≠1）
7．已知点P 是椭圆
+
＝1 上任意⼀点，过点P 作x 轴的垂线，垂⾜为M，则线段PM 的中点N（x，
y）的轨迹⽅程为
．
8．已知点M 在椭圆
+
＝1 上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂⾜为P′，并且M 为线段PP′的中
点，则P 点的轨迹⽅程是
．
9．点P（x，y）满⾜
＝
，则点P 的轨迹为
，离⼼率
为
．
10．动点M 椭圆
上，过M 作x 轴的垂线，垂⾜为N，点P 满⾜
＝
．则点P 的轨迹
⽅程
．
11．已知椭圆C：
，若动点P（x0，y0）为椭圆外⼀点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，
求点P 的轨迹⽅程
．
12．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N 是圆O：x2+y2＝1 上任意⼀点，点F1关于点N 的对称点为M，线
段F1M 的垂直平分线与直线F2M 相交于点P，则点P 的轨迹⽅程是
．
13．已知在平⾯直⻆坐标系xoy 中的⼀个椭圆，它的中⼼在原点，左焦点为F（﹣
），右顶点为D（2，
0），设点A（1，）．
（1）求该椭圆的标准⽅程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹⽅程．
14．已知P 是椭圆
+
＝1 上⼀动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹⽅程．
15．已知椭圆的中⼼在原点，左焦点为F1（﹣
，0），且右顶点为D（2，0）．设点A 的坐标是（1，）
（1）求该椭圆的标准⽅程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹⽅程．
16．已知x 轴上⼀定点A（1，0），Q 为椭圆
+y2＝1 上的动点，求线段AQ 中点M 的轨迹⽅程．
17．设动直线l 垂直x 轴，且与椭圆
交于A、B 两点，P 是l 上满⾜|PA|•|PB|＝1 的点，求P 点的
轨迹．
题型11：离⼼率秒杀公式（⼀）-渐近线
1．已知F 为双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的⼀个焦点，其关于双曲线C 的⼀条渐近线的对称点
在另⼀条渐近线上，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．
2．双曲线
的⼀个焦点为F，过点F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂⾜为
A，且交y 轴于B，若A 为BF 的中点，则双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．
3．已知F 是双曲线
的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的
⼀条渐近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离⼼率为e，则e2＝（
）
A．
B．
C．
D．
4．若双曲线C：
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4 所截得的弦⻓为2，则C 的
离⼼率为（
）
A．2
B．
C．
D．
5．过双曲线
（a＞0，b＞0）的右顶点A 作斜率为﹣1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的
交点分别为B，C，若A，B，C 三点的横坐标成等⽐数列，则双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设F1，F2是双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O 是坐标原点，点P 在双曲线C 的
右⽀上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的⾯积为a2，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．4
D．2
7．设椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动
点P 在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周⻓的最⼩值为4b，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线
的两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F 垂直于l1的直线分
别交l1、l2于A、B 两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且
与
反向，则该双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
+1
9．已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，准线为l，若l 与双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别
交于点A 和点B，且|AB|＝4|OF|（O 为原点），则双曲线的离⼼率为
．
10．已知F 为双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M，N 两点，且
＝0，△MNF 的⾯积为ab．则该双曲线的离⼼率为
．
题型12：离⼼率秒杀公式（⼆）-焦三⻆
1．如图，在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知椭圆C1：
+
＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：
﹣
＝1
（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，C2的渐近线分别交C1于A，C 和B，D 四点，若多边形ABF2CDF1
为正六边形，则C1与C2的离⼼率之和为（
）
A．
﹣1
B．2
C．
+1
D．2
2．在直⻆坐标系xOy 中，设F 为双曲线C：
（a＞0，b＞0）的右焦点，P 为双曲线C 的右⽀上
⼀点，且△OPF 为正三⻆形，则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．1
B．
C．
D．2
3．已知等腰梯形ABCD 中AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B 为焦点，且经过C，D 两
点，则该双曲线的离⼼率等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知F 是椭圆
的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，若
|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
题型13：离⼼率秒杀公式（三）-对称点
5．椭圆
的左焦点为F，若F 关于直线
的对称点A 是椭圆C 上的点，
则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设A1，A2分别为双曲线
的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直
线斜率
，则双曲线C 的离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．（0，3）
7．双曲线
﹣
＝1（a＞0，b＞0），M、N 为双曲线上关于原点对称的两点，P 为双曲线上的点，且直
线PM、PN 斜率分别为k1、k2，若k1•k2＝，则双曲线离⼼率为（
）
A．
B．
C．2
D．
8．已知O 为坐标原点，A，B 为双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）上两点，且
+
＝，若双曲线C
上与A，B 两点横坐标不相同的任意⼀点P，满⾜kPA•kPB＝2（k 表示直线的斜率0），则双曲线C 的离⼼
率为（
）
A．
B．
C．2
D．
9．设A1，A2分别为椭圆
＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得
＞﹣，则该椭圆的离⼼率的取值范围是（
）
A．（0，）
B．（0，
）
C．
D．
题型14：离⼼率秒杀公式（四）-中点弦
10．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0），相交于A、B 两点，若M 是线
段AB 的中点，则椭圆C 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知椭圆
，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平⾏于FP 的直线l 交椭圆于A，
B 两点，且AB 的中点为
，则椭圆的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆
（a＞b＞0）的⼀条弦所在的直线⽅程是x﹣y+5＝0，弦的中点坐标是M（﹣4，1），
则椭圆的离⼼率是（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知双曲线
，过点P（3，6）的直线l 与C 相交于A，B 两点，且AB
的中点为N（12，15），则双曲线C 的离⼼率为（
）
A．2
B．
C．
D．
题型15：离⼼率秒杀公式（五）-焦半径
14．倾斜⻆为
的直线经过椭圆
右焦点F，与椭圆交于A、B 两点，且
，
则该椭圆的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知F 是椭圆
的右焦点，A 是椭圆短轴的⼀个端点，若F 为过AF 的椭圆的
弦的三等分点，则椭圆的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知双曲线
的右焦点为F，直线l 经过点F 且与双曲线的⼀条渐近线垂
直，直线l 与双曲线的右⽀交于不同两点A，B，若
，则该双曲线的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
17．设F1，F2分别是椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A，B 两点，
|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B＝，则椭圆E 的离⼼率为（
）
A．
B．
C．
D．
18．已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A、
B 两点，直线AF2与椭圆的另⼀个交点为C，若△ABF2的⾯积是△BCF2的⾯积的2 倍，则椭圆的离⼼率
为（
）
A．
B．
C．
D．
（多选）19．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C 上存在点P 满⾜|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：
2，则曲线C 的离⼼率可以是（
）
A．
B．
C．
D．2
题型16：离⼼率秒杀公式（六）-共焦点
1．已知中⼼在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第⼀象限的交点为
P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三⻆形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离⼼率分别为e1，e2，则3e1e2
的取值范围是（
）
A．
B．（1，+∞）
C．
D．
2．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中⼼为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第⼀
象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三⻆形，双曲线的离⼼率的取值范围为（1，2），则该
椭圆的离⼼率的取值范围是（
）
A．（0，）
B．（，）
C．（，）
D．（，1）
3．如图，F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B 分别是C1、C2在第⼆、四象限的公共点，若AF1
⊥BF1，且∠AF1O＝
，则C1与C2的离⼼率之和为（
）
A．2
B．4
C．2
D．2
4．已知椭圆、双曲线均是以直⻆三⻆形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离
⼼率分别为e1，e2，则
＝（
）
A．
B．2
C．
D．3
5．如图F1、F2是椭圆C1：
+y2＝1 与双曲线C2的公共焦点，A、B 分别是C1、C2在第⼆、四象限的公共
点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离⼼率是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知椭圆C1：
与双曲线C2：
有相同的焦点F1，F2，
点P 是两曲线的⼀个公共点，且∠F1PF2＝60°，若椭圆C1的离⼼率
，则双曲线C2的离⼼率e2
＝（
）
A．
B．
C．2
D．
7．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的⼀个公共点．且∠F1PF2＝
，则椭圆和双曲线的
离⼼率的倒数之和的最⼤值为（
）
A．
B．
C．3
D．2
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是它们的⼀个交点，且∠F1PF2＝
，记椭圆和双曲线的
离⼼率分别为e1，e2．则
＝（
）
A．4
B．2
C．2
D．3
9．已知椭圆
＝1（a＞b＞0），与双曲线
＝1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，且在第⼀
象限交于点P，椭圆与双曲线的离⼼率分别为e1、e2，若∠F1PF2＝
，则e
的最⼩值是（
）
A．
B．2+
C．
D．
10．已知椭圆C1：
+y2＝1（m＞1）与双曲线C2：
﹣y2＝1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2
的离⼼率，则（
）
A．m＞n 且e1e2＞1
B．m＞n 且e1e2＜1
C．m＜n 且e1e2＞1
D．m＜n 且e1e2＜1
11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是它们的⼀个交点，且∠F1PF2＝
，记椭圆和双曲线的离
⼼率分别为e1，e2，则
的最⼤值是（
）
A．
B．
C．2
D．3
题型17：离⼼率范围最值综合
12．过双曲线
的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若双曲
线的对称中⼼不在以线段AB 为直径的圆内部，则双曲线离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的⼀个端点为P，直线l：4x﹣3y＝0 与椭圆C
相交于A，B 两点．若|AF|+|BF|＝6，点P 到直线l 的距离不⼩于
，则椭圆离⼼率的取值范围是（
）
A．（0，]
B．（0，
]
C．（0，
]
D．（，
]
14．已知F1，F2分别是椭圆C：
+
＝1 的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2
的⾯积为
，则椭圆C 的离⼼率的取值范围是（
）
A．（，
）
B．（，1）
C．（
，1）
D．（
，1）
15．已知椭圆C1：
＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，过P 作圆的切线
PA，PB，切点为A，B 使得
，则椭圆C1的离⼼率的取值范围是（
）
A．[
）
B．[
]
C．[
）
D．[
]
16．已知双曲线
的右焦点为F（c，0），右顶点为M，A，B 两点在双曲线
C 的右⽀上，F 为AB 中点，N 为x 轴上⼀点，且AN⊥BM．若|FN|≤a+c，则双曲线C 的离⼼率的取值范
围是（
）
A．（1，2]
B．[2，+∞）
C．
D．
17．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y＝x+3 上移动，椭圆C 以A，B 为焦
点且经过点P，则椭圆C 的离⼼率的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
18．已知双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P 是双曲线上⼀点，△PF1F2是以
F1P 为底边的等腰三⻆形，且
，则该双曲线的离⼼率的取值范围是（
）
A．（1，2）
B．
C．
D．
19．已知点F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F2且垂直于x 轴的直线与
双曲线交于A，B 两点，若△ABF1是锐⻆三⻆形，则双曲线离⼼率的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
20．正⽅形ABCD 的四个顶点都在椭圆
上，若椭圆的焦点在正⽅形的内部，则椭
圆的离⼼率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
21．已知点F 为双曲线E：
（a＞0，b＞0）的右焦点，若在双曲线E 的右⽀上存在点P，使得
PF 中点到原点的距离等于点P 到点F 的距离，则双曲线E 的离⼼率的取值范围是（
）
A．（1，3）
B．（1，3]
C．（1，
]
D．[
，3]
22．设椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C 上的两点A，B 关于原点对你，且满⾜
＝0，|FB|≤|FA|
|FB|，则椭圆C 的离⼼率的取值范围为（
）
A．[
，1）
B．[
，
]
C．[
﹣1，1）
D．[
，
]
23．已知F1、F2分别为椭圆
的左、右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，若在
线段AB 上（不含端点）存在不同的两点Pi（i＝1，2），使得
，则椭圆C 的离⼼率的
取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
24．设F1，F2 分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆E 上存在点P 满⾜
•
，则椭圆E 离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
25．已知椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆C 上存在
⼀点P，使得
，则椭圆C 的离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
26．已知椭圆
的左右焦点分别为F1，F2，离⼼率为e，若椭圆上存在点P，使得
＝e，则该离⼼率e 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
27．已知椭圆
上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦
点，则该椭圆的离⼼率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
28．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，M 为双曲线右⽀上的⼀点，若
M 在以|F1F2|为直径的圆上，且
，则该双曲线离⼼率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
题型18：圆过定点问题
1．已知
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝2
，点P 在椭圆上，tan∠PF2F1＝2，
且△PF1F2的⾯积为4．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）点M 是椭圆上任意⼀点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA1，MA2与直线x＝
分别
交于E，F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标．
2．在平⾯直⻆坐标系中，已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1、F2，点P 为椭
圆C 上的动点，△F1PF2的⾯积的最⼤值为
，以原点为圆⼼，椭圆短半轴⻓为半径的圆与直线3x﹣
4y+5＝0 相切．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若直线l 过定点（1，0）且与椭圆C 交于不同的两点A，B，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM，
BM 分别与y 轴交于P，Q 两点，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐
标；若不是，说明理由．
3．已知F1，F2是椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点
是C 上⼀点，AF1的中点
在y 轴上，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）已知过椭圆
＝1 上⼀点（x0，y0）的切线⽅程为
＝1．设动直线l：y＝kx+m 与椭
圆C 相切于点P，且与直线x＝4 相交于点Q，试探究：在x 轴上是否存在定点F，使得以PQ 为直径的
圆恒过点F？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，已知椭圆
的离⼼率是
，A1，A2分别是椭圆C 的左、右两个顶点，
点F 是椭圆C 的右焦点．点D 是x 轴上位于A2右侧的⼀点，且满⾜
．
（1）求椭圆C 的⽅程以及点D 的坐标；
（2）过点D 作x 轴的垂线n，再作直线l：y＝kx+m 与椭圆C 有且仅有⼀个公共点P，直线l 交直线n
于点Q．求证：以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．
5．已知点A（0，1），过点D（0，﹣1）作与x 轴平⾏的直线l1，点B 为动点M 在直线l1上的投影，且满⾜
（1）求动点M 的轨迹C 的⽅程；
（2）已知点P 为曲线C 上的⼀点，且曲线C 在点P 处的切线为l2，若l1与直线l2相交于点Q，试探究
在y 轴上是否存在点N，使得以PQ 为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明
理由．
6．如图，在平⾯直⻆坐标系xOy 中，离⼼率为
的椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原
点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P，Q 两点，直线PA，QA 分别与y 轴交于M，N 两点．
（1）若直线PQ 斜率为
时，PQ＝2
，求椭圆C 的标准⽅程；
（2）在（1）条件下，试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率⽆关）？请证明你的结论．
题型19：已知核⼼⽅程（显性）过定点
7．已知椭圆C：
的离⼼率为
，其左、右焦点分别为F1，F2，点P 为坐标平⾯
内的⼀点，且|
|＝，
•
＝﹣，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设M 为椭圆C 的左顶点，A，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA，MB 的倾斜⻆分别为α，β，
且α+β＝
；证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．
8．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），O 为坐标原点，A，B 是抛物线C 上异于O 的两点．
（Ⅰ）求抛物线C 的⽅程；
（Ⅱ）若直线OA，OB 的斜率之积为
，求证：直线AB 过定点．
9．已知双曲线C
的右焦点F，半焦距c＝2，点F 到直线
的距离为
，
过点F 作双曲线C 的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD 的中点分别为M，N．
（1）求双曲线C 的标准⽅程；
（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点的坐标．
10．已知P（0，2）是椭圆
的⼀个顶点，C 的离⼼率
．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）过点P 的两条直线l1，l2分别与C 相交于不同于点P 的A，B 两点，若l1与l2的斜率之和为﹣4，
则直线AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
题型20：已知核⼼⽅程（隐性）过定点
11．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的右焦点F（
，0），⻓半轴与短半轴之⽐等于2．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）设不经过点B（0，1）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M，N．若点B 在以线段MN 为直径的
圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
12．已知椭圆
的左、右顶点分别为A，B，点P 在椭圆O 上运动，若△PAB
⾯积的最⼤值为
，椭圆O 的离⼼率为
．
（1）求椭圆O 的标准⽅程；
（2）过B 点作圆E：x2+（y﹣2）2＝r2，（0＜r＜2）的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C，D（异于点
B），当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
13．椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，其左焦点到点P（2，1）的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m 与椭圆C 相交于A，B 两点（A，B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭
圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
14．如图所示，已知椭圆M：
（a＞b＞0）的四个顶点构成边⻓为5 的菱形，原点O 到直线AB
的距离为
，其A（0，a），B（﹣b，0）．直线l：x＝my+n 与椭圆M 相交于C，D 两点，且以CD 为直
径的圆过椭圆的右顶点P（其中点C，D 与点P 不重合）．
（1）求椭圆M 的⽅程；
（2）试判断直线l 与x 轴是否交于定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
15．如图，已知直线l：y＝kx+1（k＞0）关于直线y＝x+1 对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：
＝
1 分别交于点A、M 和A、N，记直线l1的斜率为k1．
（Ⅰ）求k•k1的值；
（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说
明理由．
题型21：未知核⼼⽅程
18．已知A，B 分别为椭圆E：
+y2＝1（a＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，
•
＝8．P 为直线x
＝6 上的动点，PA 与E 的另⼀交点为C，PB 与E 的另⼀交点为D．
（1）求E 的⽅程；
（2）证明：直线CD 过定点．
19．已知椭圆C1：
的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1
的离⼼率为
，过椭圆C1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线C2所得的弦⻓为
．
（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的⽅程；
（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l 与椭圆C1交于不同的两点M，N，点M 关于x 轴的对称点为E．证明：
当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 经过定点．
20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|＝2．
（Ⅰ）求抛物线C 的⽅程；
（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意⼀点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F：（x
﹣1）2+y2＝1 相切，切点分别为A，B，求证：直线AB 过定点F（1，0）．
21．已知曲线C：y＝
，D 为直线y＝﹣上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB 过定点．
（2）若以E（0，）为圆⼼的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的⽅程．
22．已知C：
＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为
，离⼼率为
，右焦点为F，过点F
的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A、B 两点，直线l：x＝2 与x 轴相交于点H，过点A 作AD⊥
l，垂⾜为D．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）①求四边形OAHB（O 为坐标原点）⾯积的取值范围；
②证明直线BD 过定点E，并求出点E 的坐标．
23．已知动圆M 恒过点（0，1），且与直线y＝﹣1 相切．
（1）求圆⼼M 的轨迹⽅程；
（2）动直线l 过点P（0，﹣2），且与点M 的轨迹交于A、B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：
直线AC 恒过定点．
24．已知P 是圆F1：（x+1）2+y2＝16 上任意⼀点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，
当点P 在圆F1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C 的⽅程；
（Ⅱ）记曲线C 与x 轴交于A，B 两点，M 是直线x＝1 上任意⼀点，直线MA，MB 与曲线C 的另⼀个交
点分别为D，E，求证：直线DE 过定点H（4，0）．
25．如图，设直线l：y＝k（x+
）与抛物线C：y2＝2px（p＞0，p 为常数）交于不同的两点M，N，且当k
＝时，弦MN 的⻓为4
．
（1）求抛物线C 的标准⽅程；
（2）过点M 的直线交抛物线于另⼀点Q，且直线MQ 过点B（1，﹣1），求证：直线NQ 过定点．
题型22：斜率型定值问题
1．已知椭圆C：
的离⼼率为
，且过点A（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）若P，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠PAQ 的⻆平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率
是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
2．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，右焦点为F，右顶点为E，P 为直线x＝a 上的任
意⼀点，且（
+
）•
＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）过F 垂直于x 轴的直线AB 与椭圆交于A，B 两点（点A 在第⼀象限），动直线l 与椭圆C 交于M，
N 两点，且M，N 位于直线AB 的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN 的斜率为定值．
3．如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线
上．
（Ⅰ）写出该抛物线的⽅程及其准线⽅程；
（Ⅱ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜⻆互补时，求y1+y2的值及直线AB 的斜率．
4．如图，在平⾯直⻆坐标系xoy 中，椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，直线l：y＝
x 与
椭圆E 相交于A，B 两点，AB＝
，C，D 是椭圆E 上异于A，B 两点，且直线AC，BD 相交于点M，
直线AD，BC 相交于点N．
（1）求a，b 的值；
（2）求证：直线MN 的斜率为定值．
5．已知椭圆C 的中⼼在原点，离⼼率等于
，它的⼀个短轴端点恰好是抛物线x2＝8
y 的焦点．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，
①若直线AB 的斜率为
，求四边形APBQ ⾯积的最⼤值；
②当A、B 运动时，满⾜∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
6．已知圆
＝64，N 为圆上⼀动点，
，若线段NF1的垂直平分线交
NF2于点M．
（1）求动点M 的轨迹⽅程E；
（2）如图，点
在曲线E 上，A，B 是曲线E 上位于直线PQ 两侧的动点，
当A，B 运动时，满⾜∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
7．已知直线l 经过椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左焦点和下顶点，坐标原点O 到直线l 的距离为
a．
（Ⅰ）求椭圆C 的离⼼率；
（Ⅱ）若椭圆C 经过点P（2，1），A，B 是椭圆C 上的两个动点，且∠APB 的⻆平分线总是垂直于y 轴，
试问：直线AB 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
题型23：距离型定值问题
8．已知椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）过点（0，1），且离⼼率为
．
（1）求椭圆E 的标准⽅程；
（2）设直线l：y＝
x+m 与椭圆E 交于A，C 两点，以AC 为对⻆线作正⽅形ABCD，记直线l 与x 轴
的交点为N，求证：BN 的⻓度为定值．
9．已知椭圆
在右、上顶点分别为A、B，F 是椭圆Γ的左焦点，P（
）
是椭圆Γ上的点，且|OB|＝|OF|（O 是坐标原点）．
（1）求椭圆Γ的⽅程；
（2）设直线l 与椭圆Γ相切于点M（M 在第⼆象限），过O 作直线l 的平⾏线与直线MF 相交于点N，问：
线段MN 的⻓是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
10．已知椭圆C
的左右顶点分别为A，B，左焦点为F，O 为原点，点P 为椭
圆C 上不同于A，B 的任⼀点，若直线PA 与PB 的斜率之积为
，且椭圆C 经过点
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）若P 点不在坐标轴上，直线PA，PB 交y 轴于M，N 两点；若直线OT 与过点MN 为直径的圆相切，
切点为T，问切线⻓|OT|是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
11．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，且过点A（2，1）．
（1）求C 的⽅程；
（2）点M，N 在C 上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂⾜．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
12．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB 的⾯
积为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 上⼀点，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定
值．
13．已知椭圆
．
（1）直线l 过点D（1，1）与椭圆C 交于P，Q 两点，若
，求直线l 的⽅程；
（2）在圆O：x2+y2＝2 上取⼀点M，过点M 作圆O 的切线l′与椭圆C 交于A，B 两点，求|MA|•|MB|的
值．
14．如图，已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）经过点（1，），且离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若直线l 过椭圆C 的左焦点F1交椭圆于A，B 两点，AB 的中垂线交⻓轴于点D，试探索
是
否为定值？若是，求出该定值，否则说明理由．
15．如图，已知椭圆
的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2
的内切圆为C2．
（1）求圆C2的标准⽅程；
（2）已知圆C2的⼀条不与坐标轴平⾏的切线l 交椭圆C1于P，M 两点．
（ⅰ）求证：OP⊥OM；
（ⅱ）试探究
是否为定值．
16．如图，已知M（x0，y0）是椭圆C：
+
＝1 上的任⼀点，从原点O 向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2
＝2 作两条切线，分别交椭圆于点P、Q．
（1）若直线OP，OQ 的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值．
（2）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
题型24：⾯积型定值问题
17．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，O 是坐标原点，点A，B 分别为椭圆C 的左右
顶点，|AB|＝4
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程．
（2）若P 是椭圆C 上异于A，B 的⼀点，直线l 交椭圆C 于M，N 两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN
的⾯积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
18．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的焦距为2，四个顶点构成的四边形⾯积为2
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于M、N 两点，O 为坐标原点，
＝
+
，若点P 在椭圆上，
请判断△OMN 的⾯积是否为定值．
19．如图，点F 是抛物线τ：x2＝2py（p＞0）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且
＝（2，0），点B，C 是
抛物线上的动点，直线AB，AC 斜率分别为k1，k2．
（I）求抛物线τ的⽅程；
（Ⅱ）若k2﹣k1＝2，点D 是点B，C 处切线的交点，记△BCD 的⾯积为S，证明S 为定值．
20．已知椭圆
的四个顶点围成的菱形的⾯积为
，椭圆的⼀个焦点为圆x2+y2
﹣2x＝0 的圆⼼．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）若M，N 为椭圆上的两个动点，直线OM，ON 的斜率分别为k1，k2，当
时，△MON
的⾯积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．
21．已知点F 是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点M 是抛物线上的定点，且
＝（4，0）．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）直线AB 与抛物线C 交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|x2﹣x1|＝3，直线l 与AB 平⾏，且与
抛物线C 相切，切点为N，试问△ABN 的⾯积是否是定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
22．如图，设点A，B 的坐标分别为（﹣
，0），（
，0），直线AP，BP 相交于点P，且它们的斜率之积
为﹣．
（1）求P 的轨迹⽅程；
（2）设点P 的轨迹为C，点M、N 是轨迹为C 上不同于A，B 的两点，且满⾜AP∥OM，BP∥ON，求
证：△MON 的⾯积为定值．
23．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C 与y 轴的⼀个交点为M，
且|F1F2|＝2
，|MF1|＝2．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）设O 为坐标原点，A，B 为椭圆C 上不同的两点，点A 关于x 轴的对称点为点D．若直线BD 的斜
率为1，求证：△OAB 的⾯积为定值．
24．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率e＝
，其右顶点A 在抛物线y2＝﹣8x 的准线上．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设B 为椭圆的上顶点，P 是椭圆C 在第⼀象限上⼀点，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴
交于点N，问△PMN 与△PAB ⾯积之差是否为定值？说明理由．
25．已知椭圆E：
的离⼼率e 满⾜2e2﹣3
e+2＝0，右顶点为A，上顶点为B，
点C（0，﹣2），过点C 作⼀条与y 轴不重合的直线l，直线l 交椭圆E 于P，Q 两点，直线BP，BQ 分
别交x 轴于点M，N；当直线l 经过点A 时，l 的斜率为
．
（1）求椭圆E 的⽅程；
（2）证明：S△BOM•S△BCN 为定值．
26．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）过点A（2，0），C（，
）两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程及离⼼率；
（Ⅱ）设P 为第三象限内⼀点且在椭圆C 上，椭圆C 与y 轴正半轴交于B 点，直线PA 与y 轴交于点M，
直线PB 与x 轴交于点N，求证：四边形ABNM 的⾯积为定值．
27．已知椭圆
的离⼼率为
，点
在椭圆上，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）已知点P，M，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平⾏四边形，证明四边形OPMN 的⾯积
S 为定值，并求该定值．
题型25：数量积、⻆度及参数型定值问题
28．已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，右焦点为F（1，0），直线l 经过点F，且与椭圆交
于A、B 两点，O 为坐标原点．
（I）求椭圆的标准⽅程；
（II）当直线l 绕点F 转动时，试问：在x 轴上是否存在定点M，使得
为常数？若存在，求出定
点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
29．已知O 为坐标原点，双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，离⼼率等
于
，点P 是双曲线C 在第⼀象限上的点，直线PF1 与y 轴的交点为Q，△PQF2 的周⻓等于6a，
．
（1）求C 的⽅程；
（2）过圆O：x2+y2＝1 上⼀点W（W 不在坐标轴上）作C 的两条切线，对应的切点为A，B．证明：直
线AB 与椭圆
相切于点T，且|WT|•|AB|＝|WA|•|WB|．
30．椭圆
的两顶点为A，B 如图，离⼼率为
，过其焦点F（0，1）的直线l 与
椭圆交于C，D 两点，并与x 轴交于点P，直线AC 与直线BD 交于点Q．
（Ⅰ）当
时，求直线l 的⽅程；
（Ⅱ）当点P 异于A，B 两点时，求证：
为定值．
31．如图，点M 在椭圆
+
＝1（0＜b＜
）上，且位于第⼀象限，F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1，
F2，M 的圆与y 轴交于点P，Q（P 在Q 的上⽅），|OP|•|OQ|＝1．
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）直线PM 与直线x＝2 交于点N，试问，在x 轴上是否存在定点T，使得
•
为定值？若存在，
求出点T 的坐标与该定值；若不存在，请说明理由．
32．已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离⼼率为
，过右焦点且垂直于x 轴的直线l1与椭圆C 交于
A，B 两点，且
，直线l2：y＝k（x﹣m）
与椭圆C 交于M，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）已知点
，若
是⼀个与k ⽆关的常数，求实数m 的值．
33．已知椭圆W：
（a＞b＞0）的上下顶点分别为A，B，且点B（0，﹣1）．F1，F2分别为椭圆
W 的左、右焦点，且∠F1BF2＝120°．
（Ⅰ）求椭圆W 的标准⽅程；
（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A，B 的任意⼀点，过点M 作MN⊥y 轴于N，E 为线段MN 的中点．直线AE
与直线y＝﹣1 交于点C，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求∠OEG 的⼤⼩．
34．已知点M（x0，y0）为椭圆C：
+y2＝1 上任意⼀点，直线l：x0x+2y0y＝2 与圆（x﹣1）2+y2＝6 交于A，
B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C 的离⼼率及左焦点F 的坐标；
（Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；
（Ⅲ）判断∠AFB 是否为定值，并说明理由．
35．已知点F1为椭圆
的左焦点，
在椭圆上，PF1⊥x 轴．
（1）求椭圆的⽅程：
（2）已知直线l 与椭圆交于A，B 两点，且坐标原点O 到直线l 的距离为
的⼤⼩是否为定
值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
36．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，左、右焦点分别为F1、F2，A 为椭圆C 上⼀点，
AF2⊥F1F2，且|AF2|＝．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设椭圆C 的左、右顶点为A1、A2，过A1、A2分别作x 轴的垂线l1、l2，椭圆C 的⼀条切线l：y＝kx+m
与l1、l2交于M、N 两点，求证：∠MF1N 为定值．
37．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径
的圆O 经过这两个焦点，点A，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．
（Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）已知P，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平⾏，直线
AP，BP 分别与y 轴交于点M，N．求证：∠MQN 为定值．
38．过抛物线C：x2＝2py（p＞0）焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A，B 两点，交准线于点M，当|AB|＝
12 时，AB 的中点到x 轴的距离是5．
（Ⅰ）求抛物线C 的⽅程；
（Ⅱ）已知
＝λ1
，
＝λ2
，求λ1+λ2的值．
39．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离⼼率等于
，且过点（1，
）．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A，B 两点，交y 轴于M 点，若
＝λ1
，
＝λ2
，
求证：λ1+λ2为定值．
40．已知抛物线C：y2＝2px 经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A，B，
且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，
＝λ
，
＝µ
，求证：
+
为定值．
题型26：三⻆形⾯积最值问题
41．在平⾯直⻆坐标系中，圆O 交x 轴于点F1，F2，交y 轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为
左、右焦点的椭圆E，恰好经过点
．
（1）求椭圆E 的标准⽅程；
（2）设经过点（﹣2，0）的直线l 与椭圆E 交于M，N 两点，求△F2MN ⾯积的最⼤值．
42．已知O 为坐标原点，M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆
+
＝1 上的点，且x1x2+2y1y2＝0，设动点P
满⾜
＝
+2
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的⽅程；
（Ⅱ）若直线l：y＝x+m（m≠0）与曲线C 交于A，B 两点，求三⻆形OAB ⾯积的最⼤值．
43．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F 与双曲线
的右顶点重合，过点P（0，﹣4）的直线l
与抛物线交于A，B 两点．
（1）求抛物线⽅程；
（2）若
，且A 在x 轴的下⽅，B 在x 轴的上⽅，求△OAB 的⾯积．
44．已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F1，F2，离⼼率
，短轴⻓为2．
（Ⅰ）求椭圆的⽅程；
（Ⅱ）如图，点A 为椭圆上⼀动点（⾮⻓轴端点），AF2的延⻓线与椭圆交于B 点，AO 的延⻓线与椭圆
交于C 点，求△ABC ⾯积的最⼤值．
45．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知椭圆C：
过点P（2，1），且离⼼率e＝
．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）直线的l 的斜率为
，直线l 与椭圆C 交于A、B 两点．求△PAB ⾯积的最⼤值．
46．已知抛物线C1：y2＝4x 和C2：x2＝2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（﹣1，﹣1），且F1F2⊥OP（O
为坐标原点）．
（I）求抛物线C2的⽅程；
（II）过点O 的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN ⾯积的最⼩值．
47．已知椭圆M：
，其短轴的⼀个端点到右焦点的距离为2，且点A（
，1）
在椭圆M 上．直线l 的斜率为
，且与椭圆M 交于B、C 两点．
（Ⅰ）求椭圆M 的⽅程；
（Ⅱ）求△ABC ⾯积的最⼤值．
48．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率e＝
，且点P（2，1）在椭圆
C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）若点A、B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP（不包括端点）上．求△AOB ⾯积的最⼤值．
题型27：三⻆形⾯积最值逆向应⽤
1．定圆M：
＝16，动圆N 过点F
且与圆M 相切，记圆⼼N 的轨迹为E．
（I）求轨迹E 的⽅程；
（Ⅱ）设点A，B，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC|＝|CB|，当△ABC 的⾯积最⼩时，求直线
AB 的⽅程．
2．已知椭圆
的左右焦点分别为F1，F2，P 在椭圆上（异于椭圆C 的左右顶点），
过右焦点F2作∠F1PF2的外⻆平分线L 的垂线F2Q，交L 于点Q，且|OQ|＝2（O 为坐标原点），椭圆的
四个顶点围成的平⾏四边形的⾯积为4．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）若直线l：x＝my+4（m∈R）与椭圆交于A，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A1，直线A1B 交x
轴于点D，求证：点D 的横坐标为定值；并求当三⻆形ABD 的⾯积最⼤时，直线l 的⽅程．
3．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）和定点M（0，1），设过点M 的动直线交抛物线C 于A，B 两点，抛物
线C 在A，B 处的切线交点为N．
（1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；
（2）若三⻆形ABN 的⾯积最⼩值为4，求抛物线C 的⽅程．
4．如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A，B 两点，点C
在抛物线上，使得△ABC 的重⼼G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q，且Q 在点F 的右侧．记△AFG，
△CQG 的⾯积分别为S1，S2．
（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线⽅程；
（Ⅱ）求
的最⼩值及此时点G 的坐标．
5．已知点A（0，﹣2），椭圆E：
的离⼼率为
，F 是椭圆E 的右焦点，且直线
AF 的斜率为
，O 为坐标原点．
（1）求E 的⽅程；
（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P，Q 两点，当△OPQ 的⾯积最⼤时，求直线l 的⽅程．
6．若椭圆
（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx 的焦点F 内分成
了3：1 的两段．
（1）求椭圆的离⼼率；
（2）过点C（﹣1，0）的直线l 交椭圆于不同两点A、B，且
，当△AOB 的⾯积最⼤时，求直线
l 和椭圆的⽅程．
7．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，且过点（1，
）．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，求△OAB ⾯积的最⼤值，及取得最⼤值
时直线l 的⽅程．
题型28：斜率型取值范围问题
8．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，设椭圆
＝1（a
）的右焦点为F，右顶点为A，已知|OA|﹣|OF|
＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离⼼率．
（Ⅰ）求椭圆的标准⽅程及离⼼率e；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B（B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M，与y 轴交于点
H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l 的斜率的取值范围．
9．设F1、F2分别是椭圆E：
+
＝1（b＞0）的左、右焦点，若P 是该椭圆上的⼀个动点，且
•
的最⼤值为1．
（1）求椭圆E 的⽅程；
（2）设直线l：x＝ky﹣1 与椭圆E 交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐⻆（O 为坐标原点），求k 的取
值范围．
10．已知点C 为圆（x+1）2+y2＝8 的圆⼼，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A（1，0）和
AP 上的点M，满⾜
•
＝0，
＝2
．
（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其⽅程；
（Ⅱ）若斜率为k 的直线l 与圆x2+y2＝1 相切，与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F，H，且
≤
•
≤
（其中O 是坐标原点）求k 的取值范围．
11．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，且椭圆C 上的点到⼀个焦点的距离的最⼩值为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）已知过点T（0，2）的直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，若在x 轴上存在⼀点E，使∠AEB＝90°，
求直线l 的斜率k 的取值范围．
题型29：参数及点坐标取值范围问题
12．在圆x2+y2＝9 上任取⼀点P，过点P 作x 轴的垂线段PD，D 为垂⾜，点M 在线段DP 上，满⾜
＝，当点P 在圆上运动时，设点M 的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C 的⽅程；
（Ⅱ）若直线y＝m（x+5）上存在点Q，使过点Q 作曲线C 的两条切线互相垂直，求实数m 的取值范围．
13．已知F1，F2是椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．
（1）若△POF2为等边三⻆形，求C 的离⼼率；
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的⾯积等于16，求b 的值和a 的取值范围．
14．已知m＞1，直线l：x﹣my﹣
＝0，椭圆C：
+y2＝1，F1、F2分别为椭圆C 的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l 过右焦点F2时，求直线l 的⽅程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，△AF1F2，△BF1F2 的重⼼分别为G、H．若原点O 在以线段
GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．
15．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A，B 的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），且AC，BC
所在直线的斜率之积等于﹣2，记顶点C 的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E 的⽅程；
（Ⅱ）设直线y＝kx+2（0＜k＜2）与y 轴相交于点P，与曲线E 相交于不同的两点Q，R（点R 在点P 和
点Q 之间），且
＝λ
，求实数λ的取值范围．
16．设椭圆
的两个焦点是F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），且椭圆C 上的点到焦
点F2的最短距离为
．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）若直线l：y＝kx+m（k≠0）与椭圆C 交于不同的两点M、N，线段MN 垂直平分线恒过点A（0，﹣
1），求实数m 的取值范围．
17．已知椭圆
的离⼼率为
，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线
l 交椭圆C 于E，G 两点，且△EGF2的周⻓为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C 相交于不同两点A，B，且A，B 两点都在y 轴的右侧，设P 为
椭圆上⼀点，且满⾜
为坐标原点），求实数t 的取值范围．
18．如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|﹣1，
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）若直线AF 交抛物线于另⼀点B，过B 与x 轴平⾏的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N，AN
与x 轴交于点M，求M 的横坐标的取值范围．
19．已知椭圆
的左、右焦点分别是F1、F2，其离⼼率
，过F1且垂直于
x 轴的直线被椭圆C 截得的线段⻓为1．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）点P 是椭圆C 上除⻓轴端点外的任⼀点，过点P 作斜率为k 的直线l，使得l 与椭圆C 有且只有⼀
个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，证明：
为定值，并求出这个定值；
（3）点P 是椭圆C 上除⻓轴端点外的任⼀点，设∠F1PF2的⻆平分线PM 交椭圆C 的⻓轴于点M（m，
0），求m 的取值范围．
20．已知直线x＝﹣2 上有⼀动点Q，过点Q 作直线l，垂直于y 轴，动点P 在l1上，且满⾜
（O
为坐标原点），记点P 的轨迹为C．
（1）求曲线C 的⽅程；
（2）已知定点M（
，0），N（，0），点A 为曲线C 上⼀点，直线AM 交曲线C 于另⼀点B，且点
A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另⼀点D，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．
21．已知A，B，C 是椭圆m：
+
＝1（a＞b＞0）上的三点，其中点A 的坐标为（2
，0），BC 过椭
圆m 的中⼼，且
，且|
|＝2|
|．
（1）求椭圆m 的⽅程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m 交于两点P，Q，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的
交点，且|
|＝|
|．求实数t 的取值范围．
22．已知椭圆
的两焦点与短轴的⼀个端点的连线构成等腰直⻆三⻆形，直线
x+y+1＝0 与以椭圆C 的上焦点为圆⼼，以椭圆的⻓半轴⻓为半径的圆相切．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设P 为椭圆C 上⼀点，若过点M（0，2）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T，满⾜
（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．
题型30：⻓度和距离型取值范围问题
23．已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离⼼率为
，过点M（1，0）的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，
|MA|＝λ|MB|，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB|＝
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若λ∈[
，2]，求弦⻓|AB|的取值范围．
24．设点F 为椭圆
的左焦点，直线y＝x 被椭圆C 截得弦⻓为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）圆
与椭圆C 交于A，B 两点，M 为线段AB 上任意
⼀点，直线FM 交椭圆C 于R，Q 两点，若AB 为圆P 的直径，且直线FM 的斜率⼤于1，求|RF|•|QF|
的取值范围．
25．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，椭圆C：
的离⼼率是
，且直线l1：
被
椭圆C 截得的弦⻓为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）若直线l1与圆D：x2+y2﹣6x﹣4y+m＝0 相切：
（i）求圆D 的标准⽅程；
（ii）若直线l2 过定点（3，0），与椭圆C 交于不同的两点E、F，与圆D 交于不同的两点M、N，求
|EF|•|MN|的取值范围．
26．已知椭圆
的离⼼率为
，且椭圆C 过点
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A、B 两点，且与圆：x2+y2＝2 交于E、F 点，求|AB|•|EF|2
的取值范围．
27．已知椭圆Γ：
，过点P（1，1）作倾斜⻆互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆Γ交于A、B
两点，l2与椭圆Γ交于C，D 两点．
（1）若P（1，1）为线段AB 的中点，求直线AB 的⽅程；
（2）记λ＝
，求λ的取值范围．
28．已知点F 为椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的左焦点，且两焦点与短轴的⼀个顶点构成⼀个等边三⻆
形，直线
+
＝1 与椭圆E 有且仅有⼀个交点M．
（1）求椭圆E 的⽅程；
（2）设直线
+
＝1 与y 轴交于P，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|•|PB|，
求实数λ的取值范围．
29．已知椭圆
的离⼼率为
，短轴⻓为2．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）设直线l：y＝kx+m 与椭圆C 交于M，N 两点，O 为坐标原点，若
，求原点O 到直线
l 的距离的取值范围．
30．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）经过点P（1，
），且离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设F1，F2分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过F1的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A，B，如
果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求焦点F2到直线l 的距离d 的取值范围．
题型31：⾯积取值范围问题
1．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）与双曲线
﹣y2＝1 的离⼼率互为倒数，且直线x﹣y﹣2＝0 经过
椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M、N 两点，且直线OM、MN、ON 的斜率依次成等⽐数列，
求△OMN ⾯积的取值范围．
2．如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）⼀点，抛物线C：y2＝4x 上存在不同的两点A，B 满⾜PA，PB
的中点均在C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x2+
＝1（x＜0）上的动点，求△PAB ⾯积的取值范围．
3．已知A，B 是x 轴正半轴上两点（A 在B 的左侧），且|AB|＝a（a＞0），过A，B 作x 轴的垂线，与抛物线
y2＝2px（p＞0）在第⼀象限分别交于D，C 两点．
（Ⅰ）若a＝p，点A 与抛物线y2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；
（Ⅱ）若O 为坐标原点，记△OCD 的⾯积为S1，梯形ABCD 的⾯积为S2，求
的取值范围．
4．已知椭圆
左、右焦点分别为F1、F2．
（Ⅰ）过右焦点的直线被C 所截线段是弦PQ，当PQ 垂直于x 轴时弦为通径ST，求证：|PQ|最⼩值是通
径|ST|．
（Ⅱ）如图所示，若C 的右顶点为A（2，0），过点A 且斜率为
的直线与y 轴交于点P，与椭圆交于另
⼀个点B，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F1．
（ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（ⅱ）过点P 且斜率⼤于
的直线与椭圆交于M，N 两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN＝λ，求实数λ
的取值范围．
5．设圆x2+y2+2x﹣15＝0 的圆⼼为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过B
作AC 的平⾏线交AD 于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹⽅程；
（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两
点，求四边形MPNQ ⾯积的取值范围．
题型32：数量积取值范围
6．已知椭圆C1：
+
＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）有⼀公共焦点，抛物线C2的准线l
与椭圆C1有⼀交点坐标是（
，﹣2）．
（1）求椭圆C1与抛物线C2的⽅程；
（2）若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB 与椭圆C1分
别交于点E，F，求
•
的取值范围．
7．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且⻓轴⻓为8，T 为椭圆上⼀点，直线
TA、TB 的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）设O 为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C 交于P、Q 两点，求
•
+
•
的取值范围．
8．已知点M（
，
）在椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和
为2
．
（1）求C 的⽅程；
（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求
・
的取值范围．
9．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，短轴⻓为2．直线l：y＝kx+m 与椭圆C 交于M、
N 两点，⼜l 与直线y＝
x 分别交于A、B 两点，其中点A 在第⼀象限，点B 在第⼆象限，
且△OAB 的⾯积为2（O 为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）求
的取值范围．
10．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率为
，且以原点为圆⼼，椭圆的焦距为直径的圆与直
线x•sinθ+y•cosθ﹣1＝0 相切（θ为常数）．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）如图，若椭圆C 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l 与椭圆分别交于两点M、N，求
•
的取值范围．
题型33：蒙⽇圆问题
1．在学习数学的过程中，我们通常运⽤类⽐猜想的⽅法研究问题．
（1）已知动点P 为圆O：x2+y2＝r2外⼀点，过P 引圆O 的两条切线PA、PB，A、B 为切点，若
＝0，求动点P 的轨迹⽅程；
（2）若动点Q 为椭圆M：
＝1 外⼀点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC、QD，C、D 为切点，若
＝0，求出动点Q 的轨迹⽅程；
（3）在（2）问中若椭圆⽅程为
＝1（a＞b＞0），其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹⽅程是什
么（直接写出答案即可，⽆需过程）．
2．在学习过程中，我们通常遇到相似的问题．
（1）已知动点P 为圆O：x2+y2＝r2外⼀点，过P 引圆O 的两条切线PA、PB．A、B 为切点，若
＝0，求动点P 的轨迹⽅程；
（2）若动点Q 为椭圆M：
外⼀点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC、QD．C、D 为切点，若
＝0，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹⽅程．
3．在椭圆C：
＝1（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的顶点在⼀个定圆F：x2+y2＝a2+b2上，称此圆
为椭圆的蒙⽇圆．椭圆C 过P（1，
），Q（﹣
，）．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）过椭圆C 的蒙⽇圆上⼀点M，作椭圆的⼀条切线，与蒙⽇圆交于另⼀点N，若kOM，kON 存在，证
明：kOM•kON 为定值．
4．法国数学家加斯帕尔•蒙⽇被誉为画法⼏何之⽗．他在研究椭圆切线问题时发现了⼀个有趣的重要结论：
⼀椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是⼀个圆，尊称为蒙⽇圆，且蒙⽇圆的圆⼼是该椭圆的中⼼，
半径为该椭圆的⻓半轴与短半轴平⽅和的算术平⽅根．
已知在椭圆
中，离⼼率
，左、右焦点分别是F1、F2，上顶点为Q，且
|QF2|＝2，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的⽅程，并请直接写出椭圆C 的蒙⽇圆的⽅程；
（2）设P 是椭圆C 外⼀动点（不在坐标轴上），过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂⾜H，
若两切线斜率都存在且斜率之积为
，求△POH ⾯积的最⼤值．
5．定义椭圆
的“蒙⽇圆”的⽅程为x2+y2＝a2+b2，已知椭圆C 的⻓轴⻓为4，
离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程和它的“蒙⽇圆”E 的⽅程；
（2）过“蒙⽇圆”E 上的任意⼀点M 作椭圆C 的⼀条切线MA，A 为切点，延⻓MA 与“蒙⽇圆”E 交于点
D，O 为坐标原点，若直线OM，OD 的斜率存在，且分别设为k1，k2，证明：k1•k2为定值．
6．已知椭圆
的⼀个焦点为
，离⼼率为
．
（1）求C 的标准⽅程；
（2）若动点M 为C 外⼀点，且M 到C 的两条切线相互垂直，求M 的轨迹D 的⽅程；
（3）设C 的另⼀个焦点为F2，过C 上⼀点P 的切线与（2）所求轨迹D 交于点A，B，求证：|PA|•|PB|
＝|PF1|•|PF2|
7．已知椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的⼀个焦点为（
，0），离⼼率为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）若动点P（x0，y0）为椭圆外⼀点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹⽅程．
8．给定椭圆C：
＝1（a＞b＞0），称圆⼼在原点O，半径为
的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭
圆C 的⼀个焦点为F（
，0），其短轴上的⼀个端点到F 的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程和其“准圆”⽅程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．
（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的⽅程并证明l1⊥l2；
（ⅱ）求证：线段MN 的⻓为定值．
题型34：外接圆问题
1．已知抛物线C：x2＝2y，P 是C 的准线l 上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为A，B．
（1）当P 点在y 轴上时，求切线PA，PB 的⽅程；
（2）设圆M 是△PAB 的外接圆，当圆M 的⾯积最⼩时，求圆M 的⽅程．
2．已知定点F（0，1），定直线l：y＝﹣1，动圆M 过点F，且与直线l 相切．
（Ⅰ）求动圆M 的圆⼼轨迹C 的⽅程；
（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A，B 两点，分别过点A，B 作曲线C 的切线l1，l2，两条切线相交
于点P，求△PAB 外接圆⾯积的最⼩值．
3．已知椭圆
＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），A、C 是椭圆短
轴的两端点，过点E（3c，0）的直线AE 与椭圆相交于另⼀点B，且F1A∥F2B
（I ）求椭圆的离⼼率；
（II）设直线F2B 上有⼀点H（m，n）（m≠0）在△AF1C 的外接圆上，求
的值．
4．已知椭圆
（a＞b＞0）经过点
，且其离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）若F 为椭圆C 的右焦点，椭圆C 与y 轴的正半轴相交于点B，经过点B 的直线与椭圆C 相交于另
⼀点A，且满⾜
，求△ABF 外接圆的⽅程．
5．如图，在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知F1（﹣4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y＝t（0＜t＜8）与线
段AF1、AF2分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t＝3 时，求以F1，F2为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准⽅程；
（Ⅱ）过点Q 作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C．
①求证：圆⼼C 在定直线7x+4y+8＝0 上；
②圆C 是否恒过异于点F1的⼀个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
6．已知点P 是抛物线C：y＝
﹣3 的顶点，A，B 是C 上的两个动点，且
•
＝﹣4．
（1）判断点D（0，﹣1）是否在直线AB 上？说明理由；
（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆⼼，求点M 的轨迹⽅程．
题型35：四点共圆问题
7．已知直线l：y＝x+m 交抛物线C：y2＝4x 于A，B 两点．
（1）设直线l 与x 轴的交点为T．若
＝2
，求实数m 的值；
（2）若点M，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A，B，M，N 四点共圆．
8．已知椭圆
上三点A、M、B 与原点O 构成⼀个平⾏四边形AMBO．
（1）若点B 是椭圆C 的左顶点，求点M 的坐标；
（2）若A、M、B、O 四点共圆，求直线AB 的斜率．
9．已知抛物线P：y2＝2px（p＞0）上的点（，a）到其焦点的距离为1．
（Ⅰ）求p 和a 的值；
（Ⅱ）若直线l：y＝x+m 交抛物线P 于两点A、B，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于两点C、D，求
证：A、B、C、D 四点共圆．
10．已知直线l1：3x﹣y﹣6＝0 与x 轴，y 轴分别交于A，B，线段AB 的中垂线l2与抛物线E：y2＝2px（p＞
0）有两个不同的交点C，D．
（1）求p 的取值范围；
（2）是否存在p，使得A，B，C，D 四点共圆，若存在，请求出p 的值，若不存在，请说明理由．
11．已知斜率为k 的直线交椭圆3x2+y2＝λ（λ＞0）于A，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C，D 两点，
点N（1，y0）是线段AB 的中点．
（1）若y0＝3，求直线AB 的⽅程以及λ的取值范围；
（2）不管λ怎么变化，都有A，B，C，D 四点共圆，求y0的取值范围．
12．已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx 与椭圆交于A，
B 两点．
（Ⅰ）若△AF1F2的周⻓为16，求椭圆的标准⽅程；
（Ⅱ）若
，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离⼼率e 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P（x0，y0）为椭圆上⼀点，且直线PA 的斜率k1∈（﹣2，﹣1），试求直线
PB 的斜率k2的取值范围．
题型36：⻬次化处理
1．已知椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的⼀个顶点为A（0，1），焦距为2
．
（Ⅰ）求椭圆E 的⽅程；
（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与x 轴交
于点M，N．当|MN|＝2 时，求k 的值．
2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），O 为坐标原点，A、B 是抛物线C 上异于O 的两点．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）若OA⊥OB，求证直线AB 过定点．
3．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）过点（
，），且离⼼率为
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）已知点A 的坐标是（2，1），M，N 是椭圆C 上的两点，满⾜AM⊥AN，证明：直线MN 过定点．
4．已知椭圆C：
＝1（a＞0，b＞0），离⼼率为
，且椭圆C 经过点P（0，1）．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A，B 两点．若直线PA 与直线PB 的斜率的和为﹣1，试问：
直线l 是否经过定点，若经过求出该定点的坐标，若不经过请说明理由．
题型37：切点弦问题
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，离⼼率为
，M 是椭圆上的动
点，△MF1F2的最⼤⾯积为1．
（1）求椭圆Γ的⽅程；
（2）求证：过椭圆
上的⼀点T（x0，y0）的切线⽅程为
；
（3）设点P 是直线l：x＝2 上的⼀个动点，过P 作椭圆Γ的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 是
否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由．
6．已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x＝﹣1．
（1）若曲线C 上存在⼀点Q，它到l 的距离与到坐标原点的距离相等，求Q 的坐标；
（2）过直线l 上任⼀点P 作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB 过定点．
7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的⼀点
到它的焦点的距离为
．
（1）求p 的值．
（2）过点N（﹣2，t）（t∈R）作曲线C 的切线，切点分别为P，Q．求证：直线PQ 过定点．
8．已知动圆M 过定点F（0，﹣1），且与直线y＝1 相切，圆⼼M 的轨迹为曲线C，设P 为直线l：x﹣y+2
＝0 上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA，PB，其中A，B 为切点．
（Ⅰ）求曲线C 的⽅程；
（Ⅱ）当点P（x0，y0）为直线l 上的定点时，求直线AB 的⽅程；
（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求|AF|•|BF|的最⼩值．
9．已知点A（0，﹣1），B（0，1），动点P 满⾜|
||
|＝
•
．记点P 的轨迹为曲线C．
（1）求C 的⽅程；
（2）设D 为直线y＝﹣2 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF 过定点．
10．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F 与双曲线
的⼀个焦点重合，D 为直线y＝﹣2 上的
动点，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）证明直线AB 过定点．
题型38：⾮对称伟达问题
11．已知椭圆E：
+
＝1（a＞b＞0）的离⼼率是
，A1、A2分别为椭圆E 的左、右顶点，B 为上顶
点，△A1BA2的⾯积为2．直线l 过点D（1，0）且与椭圆E 交于P，Q 两点．
（1）求椭圆E 的标准⽅程；
（2）求△OPQ ⾯积的最⼤值；
（3）设直线A1P 与直线QA2交于点N，证明：点N 在定直线上，并写出该直线⽅程．
12．已知A，B 分别为椭圆
的左、右顶点，E 为椭圆C 的上顶点，F 为椭圆C
的右焦点，E 与F 关于直线y＝x 对称，△AEF 的⾯积为
，过
的直线交椭圆C 于两点
M，N（异于A，B 两点）．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）证明：直线AM 与BN 的交点P 在⼀条定直线上．
13．已知椭圆C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，左右顶点分别是A1、A2，离⼼率是
，过F2的直线与椭圆交于两点P、Q（不是左、右顶点），且△F1PQ 的周⻓是4
，直线A1P ⻢A2Q
交于点M．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）①求证直线A1P 与A2Q 的交点M 在⼀条定直线l 上；②N 是定直线l 上的⼀点，且PN 平⾏于x 轴，
证明：
是定值．
14．已知A1、A2分别是离⼼率
的椭圆
的左右顶点，P 是椭圆E 的上顶
点，且
．
（1）求椭圆E 的⽅程；
（2）若动直线l 过点（0，﹣4），且与椭圆E 交于A、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线
AM 恒过定点．
15．已知椭圆W：
的⻓轴⻓为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆
W 相交于不同的两点C，D（不与点A，B 重合）．
（Ⅰ）求椭圆W 的⽅程及离⼼率；
（Ⅱ）求四边形ACBD ⾯积的最⼤值；
（Ⅲ）若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于⼀条定直线上？若是，写出该直线的⽅程．
（结
论不要求证明）
题型39：共线向量问题
1．曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2＝8（m∈R）．
（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；
（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；
（3）设m＝4，曲线C 与y 轴交点为A，B（A 在B 上⽅），y＝kx+4 与曲线C 交于不同两点M，N，y＝1
与BM 交于G，求证：A，G，N 三点共线．
2．椭圆C 的中⼼为坐标原点O，焦点在y 轴上，离⼼率
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1﹣
，
直线l 与y 轴交于点P（0，m），与椭圆C 交于相异两点A、B，且
＝3
．
（1）求椭圆的⽅程；
（2）求m 的取值范围．
3．已知圆O 的⽅程为x2+y2＝4，圆O 与y 轴的交点为A，B（点A 在点B 的上⽅），直线l：y＝kx+1 与圆O
相交于M，N 两点．
（1）当k＝1 时，求弦⻓|MN|；
（2）若直线y＝4 与直线BM 交于点D，求证：D、A、N 三点共线．
4．已知抛物线C：y2＝2px 经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A，B，
且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，
＝λ
，
＝µ
，求证：
+
为定值．
5．已知椭圆C 的中⼼在原点，焦点在x 轴上，且短轴⻓为2，离⼼率等于
．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A，B 两点，交y 轴于M 点，若
，
求证：λ1+λ2为定值．
题型40：阿基⽶德三⻆问题
6．如图，已知抛物线y2＝4x 的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
直线AF，BF 分别与抛物线交于点M，N．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）记直线MN 的斜率为k1，直线AB 的斜率为k2．证明：
为定值．
7．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l 交C 于A，B 两点，且A，B 两点与原点不重合，点M（1，2）
为线段AB 的中点．
（1）若直线l 的斜率为1，求抛物线C 的⽅程；
（2）分别过A，B 两点作抛物线C 的切线，若两条切线交于点S，证明点S 在⼀条定直线上．
8．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F 为抛物线C 的焦点．以F 为圆⼼，p 为半径作圆，与抛物线C 在第
⼀象限交点的横坐标为2．
（1）求抛物线C 的⽅程；
（2）直线y＝kx+1 与抛物线C 交于A，B 两点，过A，B 分别作抛物线C 的切线l1，l2，设切线l1，l2的
交点为P，求证：△PAB 为直⻆三⻆形．
9．已知动点Q 在x 轴上⽅，且到定点F（0，1）的距离⽐到x 轴的距离⼤1，
（Ⅰ）求动点Q 的轨迹C 的⽅程；
（Ⅱ）过点P（1，1）的直线l 与曲线C 交于A，B 两点，点A，B 分别异于原点O，在曲线C 的A，B
两点处的切线分别为l1，l2且l1，l2交于点M，求证：M 在定直线上．
10．已知抛物线x2＝4y 的焦点为F，A，B 是抛物线上的两个动点，且
＝λ
（λ＞0），过两点分别作抛
物线的切线，设其交点为P．
（1）若直线PA 与x，y 轴分别交于点M，N，且△MON 的⾯积为
，求|AF|的值；
（2）记△ABP 的⾯积为S，求S 的最⼩值，并指出S 最⼩时对应的点P 的坐标．
11．已知以动点P 为圆⼼的⊙P 与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．
（Ⅰ）求动圆圆⼼P 的轨迹⽅程C；
（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M、N（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂⾜记为M1、N1，
直线l 交x 轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的⾯积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直
线MN 过定点．
题型41：极点极线问题
12．已知椭圆M：
（a＞b＞0）过A（﹣2，0），B（0，1）两点．
（Ⅰ）求椭圆M 的离⼼率；
（Ⅱ）设椭圆M 的右顶点为C，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交
于点Q，直线BP 交x 轴于点S，求证：直线SQ 过定点．
13．若双曲线x2﹣y2＝9 与椭圆
共顶点，且它们的离⼼率之积为
．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为A1，A2，直线l 与椭圆C 交于P、Q 两点，设直线A1P 与A2Q 的斜
率分别为k1，k2，且
．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明
理由．
14．如图，椭圆E：
的离⼼率是
，过点P（0，1）的动直线l 与椭圆相交于A、
B 两点，当直线l 平⾏于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段⻓为2
．
（Ⅰ）求椭圆E 的⽅程；
（Ⅱ）在平⾯直⻆坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得
恒成⽴？若存在，
求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
15．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆
的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F．设
过点T（t，m）的直线TA，TB 与此椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．
（Ⅰ）设动点P 满⾜：|PF|2﹣|PB|2＝4，求点P 的轨迹；
（Ⅱ）设
，求点T 的坐标；
（Ⅲ）设t＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的⼀定点（其坐标与m ⽆关），并求出该定点的坐标．
16．已知椭圆C：
（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣
），且过点P（
）．
（1）求椭圆C 的标准⽅程；
（2）已知A1，A2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x＝1 上任意⼀点，直线A1Q，A2Q 分别交椭圆
C 于不同的两点M，N．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．
17．设椭圆
＝1（a＞b＞0）过点
，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A，B 时，在线段AB 上取点Q，满⾜
•
＝
•
，证明：点Q 总在某定直线上．
题型42：探索性问题
18．已知F1、F2分别为椭圆C：
+
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离⼼率为
，点A（﹣
，
）
在椭圆C 上．
（1）求椭圆C 的⽅程；
（2）是否存在斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M、N，使直线F2M 与F2N 的倾斜⻆互补，
且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．
19．椭圆上顶点为M，O 为椭圆中⼼，F 为椭圆的右焦点，且焦距为2，离⼼率为
．
（1）求椭圆的标准⽅程；
（2）直线l 交椭圆于P，Q 两点，判断是否存在直线l，使点F 恰为△PQM 的垂⼼？若存在，求出直线
l 的⽅程；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆C 的中⼼在原点O，焦点在x 轴上，离⼼率为
，右焦点到右顶点的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准⽅程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于A，B 两点的直线l：y＝kx+m（k∈R），使得
•
＝0 成⽴？若存在，求
出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）为椭圆C 的左、右焦点，且点P（1，
）在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的⽅程；
（Ⅱ）过点F1的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，问△F2AB 的内切圆的⾯积是否存在最⼤值？若存在求其
最⼤值及此时的直线⽅程；若不存在，请说明理由．
22．在平⾯直⻆坐标系xOy 中，已知圆x2+y2﹣12x+32＝0 的圆⼼为Q，过点P（0，2）且斜率为k 的直线l
与圆Q 相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求圆Q 的⾯积；
（Ⅱ）求k 的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量
与
共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．
23．已知椭圆C 的中⼼在坐标原点，焦点在x 轴上，⻓轴⻓为
，离⼼率为
，经过其左焦点F1的直
线l 交椭圆C 于P、Q 两点．
（I）求椭圆C 的⽅程；
（II）在x 轴上是否存在⼀点M，使得
恒为常数？若存在，求出M 点的坐标和这个常数；若不存
在，说明理由．
24．已知如图，圆N：（x+2）2+y2＝8 和抛物线C：y2＝2x，圆的切线l 与抛物线C 交于不同的点A，B．
（1）当直线l 的斜率为1 时，求线段AB 的⻓；
（2）设点M 和点N 关于直线y＝x 对称，问是否存在圆的切线l：x＝my+a 使得
？若存在，求
出直线l 的⽅程；若不存在，请说明理由．
25．已知曲线C1：x2+（y﹣
）2＝1（y≥
），C2：x2＝8y﹣1（|x|≥1），动直线l 与C2相交于A，B 两点，曲
线C2在A，B 处的切线相交于点M．
（1）当MA⊥MB 时，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线l 与C1相切于点P，试问：在y 轴上是否存在两个定点T1，T2，当直线MT1，MT2斜率存在
时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满⾜条件的点T1，T2的坐标，若不存在，请说明理由．
