专题12：统计概率与变量分布（答案）_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_高考数学冲刺笔记猫老师猫老师2026年高考数学考点一遍过全套(完整版)

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⽬
录
【专题⼗⼆：统计、概率与变量分布】
题型01：简单随机抽样与随机数表
题型02：分层抽样
题型03：总体取值规律的估计
题型04：总体百分位数的估计
题型05：总体集中趋势的估计
题型06：总体离散程度的估计
题型07：样本空间与随机事件
题型08：事件关系与运算
题型09：古典概型
题型10：概率的基本性质
题型11：事件的相互独⽴性
题型12：统计与概率解答题综合
题型13：条件概率
题型14：全概率公式
题型15：条件概率与全概率解答题综合
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题型16：离散型随机变量及其分布列
题型17：离散型随机变量的期望与⽅差
题型18：⼆项分布
题型19：超⼏何分布
题型20：正态分布
题型21：概率分布解答题综合
题型22：变量的相关系数
题型23：样本相关系数
题型24：线性回归⽅程
题型25：独⽴性检验
题型26：统计分析解答题综合
第19⻚（共47⻚）
统计、概率与变量分布篇—题型01～题型06 答案
⼀．选择题（共59 ⼩题）
1．下列抽样⽅法是简单随机抽样的是（
）
A．某医院从200 名医⽣中，挑选出50 名最优秀的医⽣去参加抗疫活动
B．从10 个⼿机中逐个不放回地随机抽取2 个进⾏质量检验
C．从空间直⻆坐标系中抽取10 个点作为样本
D．饮料公司从仓库中的500 箱饮料中⼀次性抽取前10 箱进⾏质量检查
【分析】总体含有有限个个体，通过逐个抽取的⽅法从中抽取⼀个样本，且每次抽取时各个个体被抽到
的概率相等，这样的抽样⽅法叫做简单随机抽样，由此判断即可．
【解答】解：对于A，从200 名医⽣中，挑选出50 名最优秀的医⽣，它不是“逐个”抽取，所以不是简单
随机抽样；
对于B，从10 个⼿机中逐个不放回地随机抽取2 个，是简单随机抽样；
对于C，从空间直⻆坐标系中抽取10 个点作为样本，总体是⽆限的，不是简单随机抽样；
对于D：从仓库中的500 箱饮料中⼀次性抽取前10 箱，不是随机抽取，所以不是简单随机抽样．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单随机抽样的概念与应⽤问题，解题的关键是正确理解简单随机抽样的定义，
是基础题．
2．袋⼦中有红、⻩、⿊、⽩共四个⼩球，有放回地从中任取⼀个⼩球，直到红、⻩两个⼩球都取到才停⽌，
⽤随机模拟的⽅法估计恰好抽取三次停⽌的概率．⽤1，2，3，4 分别代表红、⻩、⿊、⽩四个⼩球，利
⽤电脑随机产⽣1 到4 之间取整数值的随机数，以每三个随机数为⼀组，表示取球三次的结果，经随机
模拟产⽣了以下18 组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停⽌的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】数出满⾜条件的组数，即可求解．
【解答】解：18 组随机数中，满⾜条件的有221，132，112，241，142，这5 组数据满⾜条件，
所以估计恰好抽取三次就停⽌的概率
．
第20⻚（共47⻚）
故选：D．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
3．本次⽉考分答题卡的任务由⾼三16 班完成，现从全班55 位学⽣中利⽤下⾯的随机数表抽取10 位同学
参加，将这55 位学⽣按01、02、⋯、55 进⾏编号，假设从随机数表第1 ⾏第2 个数字开始由左向右依
次选取两个数字，重复的跳过，读到⾏末则从下⼀⾏⾏⾸继续，则选出来的第6 个号码所对应的学⽣编
号为（
）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51
B．25
C．32
D．12
【分析】根据随机数表按照规则读数即可得解．
【解答】解：根据随机数表读取，分别抽到的编号为31，32，43，25，12，51，26，04，01，11，
所以选出来的第6 个号码所对应的学⽣编号为51．
故选：A．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的应⽤，属于基础题．
4．某⾼校对中⽂系新⽣进⾏体测，利⽤随机数表对650 名学⽣进⾏抽样，先将650 名学⽣进⾏编号，001，
002，…，649，650．从中抽取50 个样本，如图提供随机数表的第4 ⾏到第6 ⾏，若从表中第5 ⾏第6 列
开始向右读取数据，则得到的第6 个样本编号是（
）
32 21 18 34 29
78 64 54 07 32
52 42 06 44 38
12 23 43 56 77
35 78 90 56 42
84 42 12 53 31
34 57 86 07 36
25 30 07 32 86
23 45 78 89 07
23 68 96 08 04
32 56 78 08 43
67 89 53 55 77
34 89 94 83 75
22 53 55 78 32
45 77 89 23 45
A．623
B．328
C．072
D．457
【分析】依据随机数表的读取规则求解即可．
【解答】解：从表中第5 ⾏第6 列开始向右读取数据，前6 个数据分别是253，313，457，007，328，623．
故选：A．
【点评】本题主要考查了简单随机抽样的应⽤，属于基础题．
5．为了检验某⼚⽣产的洗⾐机是否合格，从300 台洗⾐机中取20 台进⾏检验，⽤随机数表抽取样本，将
300 台洗⾐机编号为001，002，…，300．现从随机数表第3 ⾏第5 列的数开始向右读，下⾯摘取了随机数
表第3 ⾏⾄第5 ⾏：
84 4217 53 31 57 24 55 06 78 77 04 74 47 67 21 75 33 50 25 83 92 12 06 76
第21⻚（共47⻚）
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
抽出第5 台洗⾐机的编号为（
）
A．025
B．212
C．067
D．175
【分析】根据随机数法的读数规则求解．
【解答】解：由题意，根据简单的随机抽样的⽅法，利⽤随机数表从第3 ⾏第5 列开始向右读取，依次
为175，067，047，025，212，…，
所以第5 台洗⾐机的编号为212．
故选：B．
【点评】本题主要考查了随机数法的应⽤，属于基础题．
6．总体由编号为01，02，…，19，20 的20 个个体组成．利⽤下⾯的随机数表选取6 个个体，选取⽅法是从
随机数表第1 ⾏的第7 个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第6 个个体的编号为（
）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．01
B．02
C．04
D．14
【分析】依次写出符合题意的编号，即可求解．
【解答】解：由题意可知，符合题意的编号依次为：08，02，14，07，01，04，
故选取的第6 个个体的编号为04．
故选：C．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的定义，属于基础题．
7．从⼀个容量为m（m≥3，m∈N）的总体中抽取⼀个容量为3 的样本，当选取简单随机抽样⽅法抽取样本
时，总体中每个个体被抽中的可能性是
，则选取分层随机抽样⽅法抽取样本时，总体中每个个体被抽
中的可能性是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤随机抽样每个个体被抽到的概率相等，由此能求出结果．
【解答】解：从⼀个容量为m（m≥3，m∈N）的总体中抽取⼀个容量为3 的样本，
当选取简单随机抽样⽅法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是
，
∵随机抽样每个个体被抽到的概率相等，
第22⻚（共47⻚）
∴选取分层随机抽样⽅法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是
．
故选：A．
【点评】本题考查随机抽样每个个体被抽到的等可能性等基础知识，是基础题．
8．某单位有职⼯500 ⼈，其中男性职⼯有320 ⼈，为了解所有职⼯的身体健康情况，按性别采⽤分层抽样
的⽅法抽取100 ⼈进⾏调查，则抽取到的男性职⼯的⼈数⽐⼥性职⼯的⼈数多（
）
A．28
B．36
C．52
D．64
【分析】根据抽样⽐分别计算出抽取到的男性职⼯和⼥性职⼯即可．
【解答】解：职⼯500 ⼈，其中男性职⼯有320 ⼈，采⽤分层抽样的⽅法抽取100 ⼈，
则抽取到的男性职⼯⼈数为
，⼥性职⼯⼈数为100﹣64＝36，
则抽取到的男性职⼯的⼈数⽐⼥性职⼯的⼈数多64﹣36＝28 ⼈．
故选：A．
【点评】本题考查分层抽样的应⽤，属于基础题．
9．某中学的⾼中部共有男⽣1200 ⼈，其中⾼⼀年级有男⽣300 ⼈，⾼⼆年级有男⽣400 ⼈．现按分层抽样
抽出36 名男⽣去参加体能测试，则⾼三年级被抽到的男⽣⼈数为（
）
A．9
B．12
C．15
D．18
【分析】先求出⾼三学⽣的⼈数，再结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：某中学的⾼中部共有男⽣1200 ⼈，其中⾼⼀年级有男⽣300 ⼈，⾼⼆年级有男⽣400 ⼈，
则⾼三学⽣有1200﹣300﹣400＝500 ⼈，
按分层抽样抽出36 名男⽣去参加体能测试，
则⾼三年级被抽到的男⽣⼈数为
＝15．
故选：C．
【点评】本题主要考查分层抽样⽅法，属于基础题．
10．经调查，在某商场扫码⽀付的⽼年⼈、中年⼈、⻘年⼈的⽐例为2：3：6，取了⼀个容量为n 的样本进
⾏调查，其中中年⼈的⼈数为12，则n＝（
）
A．36
B．44
C．56
D．64
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：由题意可知，n×
，解得n＝44．
故选：B．
第23⻚（共47⻚）
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
11．为了解学⽣们的视⼒状况，某学校决定采⽤分层抽样的⽅法，从⾼⼀、⾼⼆、⾼三三个年级共抽取100
⼈进⾏调查．已知⾼三年级有200 ⼈，⾼⼆年级有240 ⼈，⾼⼀年级有360 ⼈，则⾼三年级抽取的⼈数
为（
）
A．20
B．25
C．30
D．45
【分析】根据分层抽样的定义求解．
【解答】解：由分层抽样的定义可知，⾼三年级抽取的⼈数为100×
＝25 ⼈．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
12．随着⽼龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养⽼模式，在社区内对2400 名⽼年⼈、2400 名中年⼈、
2100 名⻘年⼈⽤分层抽样⽅法随机发放了调查问卷345 份，则在⽼年⼈中发放的调查问卷份数是（
）
A．110
B．115
C．120
D．125
【分析】利⽤分层抽样的⽅法，即可求解得到答案．
【解答】解：设在⽼年⼈中发放的调查问卷份数为x，
则由分层抽样⽅法可得
，
解得x＝120．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分层抽样，考查了推理与运算能⼒，属于基础题．
13．某⼯⼚⽣产A，B，C 三种不同型号的产品，它们的产量之⽐为2：3：5，⽤分层抽样的⽅法抽取⼀个
容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有30 件，则样本容量n 为（
）
A．150
B．180
C．200
D．250
【分析】直接由分层抽样的定义按⽐例计算即可．
【解答】解：由题意样本容量为
．
故选：A．
【点评】本题主要考查分层抽样，属于基础题，
14．某公司10 ⽉23 ⽇、10 ⽉30 ⽇、11 ⽉6 ⽇、11 ⽉13 ⽇、11 ⽉20 ⽇、11 ⽉27 ⽇这6 天员⼯的出勤率的
折线图如图所示，则下列判断正确的是（
）
第24⻚（共47⻚）
A．这6 天员⼯的出勤率呈递增趋势
B．这6 天员⼯的出勤率呈递减趋势
C．这6 天员⼯的出勤率的极差⼤于0.15
D．这6 天员⼯的出勤率的中位数⼩于0.85
【分析】利⽤折线图的性质、极差、中位数求解．
【解答】解：由折线图得：
这6 天员⼯的出勤率有增有减，故AB 均错误；
这6 天员⼯的出勤率的极差为0.92﹣0.776＝0.144＜0.15，故C 错误；
这6 天员⼯的出勤率从⼩到⼤为：
0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，
∴这6 天员⼯的出勤率的中位数为
＝0.84665＜0.85，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查折线图的性质、极差、中位数等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
15．在“双11”促销活动中，某⽹店在11 ⽉11 ⽇9 时到14 时的销售额进⾏统计，其频率分布直⽅图如图所
示，已知12 时到14 时的销售额为42 万元，则9 时到11 时的销售额为（
）
A．9 万元
B．18 万元
C．24 万元
D．30 万元
【分析】根据频率分布直⽅图，利⽤频率⽐与销售额的⽐相等，即可求出对应的值．
第25⻚（共47⻚）
【解答】解：根据频率分布直⽅图知，12 时到14 时的频率为0.35，9 时到11 时的频率为1﹣0.4﹣0.25﹣
0.10＝0.25，
所以时到11 时的销售额为：
（万元）．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直⽅图，考查学⽣的运算能⼒，属于中档题．
16．某⾼校为宣扬中华⽂化，举办了“论语吟唱”的⽐赛，在⽐赛中，由A，B 两个评委⼩组（各9 ⼈）给参
赛选⼿打分．根据两个评委⼩组对同⼀名选⼿的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是
（
）
A．B 组打分的极差⼩于A 组打分的极差
B．B 组打分的中位数为75
C．A 组的意⻅相对⼀致
D．A 组打分的众数为50
【分析】对于A，根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B，将数据按升序排列，结合中位数分析
判断；对于C，根据⽅差的性质分析判断；对于D，根据题中数据结合众数的定义分析判断．
【解答】解：对于A：观察折线图可知，⼩组B 的极差⼤于⼩组A 的极差，故选项A 错误；
对于B：⼩组B 打分的分值按照从⼩到⼤排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中间数为66，故中位数为66，故选项B 错误；
对于C：⼩组A 的打分成绩⽐较均匀，波动更⼩，故A ⼩组意⻅相对⼀致，故选项C 正确；
对于D：⼩组A 打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以⼩组A 打分的分值的众数为47，故选项D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查折线图、极差、中位数、⽅差、众数等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
17．某市为了解全市12000 名⾼⼀学⽣的体能素质情况，在全市⾼⼀学⽣中随机抽取了1000 名学⽣进⾏体
第26⻚（共47⻚）
能测试，并将这1000 名的体能测试成绩整理成如下频率分布直⽅图．根据此频率分布直⽅图，下列结
论中正确的是（
）
A．图中a 的值为0.020
B．同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值做代表，则这1000 名学⽣的平均成绩约为81.5
C．估计样本数据的75%分位数为88
D．由样本数据可估计全市⾼⼀学⽣体测成绩优异（80 分及以上）的⼈数约为7200 ⼈
【分析】根据频率分布直⽅图中各个⼩矩形的⾯积之和为1 可判断A，根据平均数和百分位数的定义可
判断BC，根据频率分布直⽅图求出成绩在[80，100]的频率可判断D．
【解答】解：对于A，由题中频率分布直⽅图可知，10×（0.005+a+0.02+0.04+0.02）＝1，得a＝0.015，故
A 错误；
对于B，（55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02）×10＝80.5，故B 错误；
对于C，设75%分位数为x，易得x∈[80，90），
则10×0.005+10×0.015+10×0.02+（x﹣80）×0.04＝0.75，
解得x＝88.75，故C 错误；
对于D，体测成绩在[80，100]的频率为10×0.04+10×0.02＝0.6，
估计全市⾼⼀学⽣体测成绩优异（80 分及以上）的⼈数约为12000×0.6＝7200，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了频率分布直⽅图的应⽤，考查了百分位数的定义，属于基础题．
18．某校举办了数学知识竞赛，并将1000 名学⽣的竞赛成绩（满分100 分，成绩取整数）整理成如图所示
的频率分布直⽅图，则以下四个说法正确的个数为（
）
①a 的值为0.005
②估计这组数据的众数为75
第27⻚（共47⻚）
③估计这组数据的下四分位数为60
④估计成绩⾼于80 分的有300 ⼈
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】利⽤频率分布直⽅图的性质判断①；利⽤众数、百分位数的求法判断②③；根据频率分布直⽅
图计算可估计总体判断④．
【解答】解：由频率分布直⽅图可知10×（2a+3a+3a+6a+5a+a）＝1，
解得a＝0.005，故①正确；
根据频率分布直⽅图可知众数落在区间[70，80），⽤区间中点表示众数，即众数为75，故②正确；
前两组频率之和为（0.01+0.015）×10＝0.25，
∴这组数据的下四分位数为60，故③正确；
成绩⾼于80 分的频率为（0.025+0.005）×10＝0.3，
∴估计总体成绩⾼于80 分的有1000×0.3＝300 ⼈，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、众数、百分位数等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
19．某校抽取100 名学⽣做体能测试，其中百⽶测试中，成绩全部介于13 秒到18 秒之间，将测试结果分为
五组：第⼀组[13，14），第⼆组[14，15），……，第五组[17，18）．如图是按上述分组⽅法得到的频率分布
直⽅图，若成绩低于a 即为优秀，如果优秀的⼈数为14 ⼈，则a 的估计值是（
）
A．14
B．14.5
C．15
D．15.5
【分析】由频率分布直⽅图，先求出低于a 的频率，然后求出成绩在[13，14）内的频率，由此列式求解
第28⻚（共47⻚）
即可．
【解答】解：根据题意可得，成绩低于a 的频率为
，
由频率分布直⽅图可知，成绩在[13，14）内的频率为0.06×1＝0.06，
则a 的估计值为14+
．
故选：B．
【点评】本题考查了频率分布直⽅图的应⽤，解题的关键是掌握频率分布直⽅图中频率的求解⽅法，掌
握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能⼒，属于基础题．
20．某公司为了解⽤户对其产品的满意度，从使⽤该产品的⽤户中随机调查了100 个⽤户，根据⽤户对产
品的满意度评分，得到如图所示的⽤户满意度评分的频率分布直⽅图：
根据此频率分布直⽅图，下⾯结论中不正确的是（
）
A．对该公司产品满意度评分低于60 分的⽤户⽐例估计为35%
B．对该公司产品满意度评分不低于70 分的⽤户⽐例估计为40%
C．估计该公司⽤户对产品的满意度评分的平均值不超过60 分
D．估计该公司有⼀半以上的⽤户，对产品的满意度评分介于50 分⾄80 分之间
【分析】利⽤频率分布直⽅图、平均值、百分⽐列⽅程求解．
【解答】解：对于A，对该公司产品满意度评分低于60 分的⽤户⽐例估计为：
（0.015+0.020）×10×100%＝35%，故A 正确；
对于B，对该公司产品满意度评分不低于70 分的⽤户⽐例估计为：
（0.020+0.010+0.010）×10×100%＝40%，故B 正确；
对于C，估计该公司⽤户对产品的满意度评分的平均值为：
＝45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.1+95×0.1＝67＞60，故C 错误；
对于D，对产品的满意度评分介于50 分⾄80 分之间的⽤户⽐例为：
（0.020+0.025+0.020）×10＝65%，
∴估计该公司有⼀半以上的⽤户，对产品的满意度评分介于50 分⾄80 分之间，故D 正确．
第29⻚（共47⻚）
故选：C．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、平均值、百分⽐等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
21．在某校⾼⼆年级“红楼梦”知识竞赛中，随机抽取100 名同学的成绩进⾏统计分析，得到如图所示的频
率分布直⽅图，其中成绩分组的区间是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则下列说法
正确的是（
）
A．x＝0.035
B．估计参赛学⽣成绩的70%分位数为95
C．估计参赛学⽣的平均成绩为73
D．所统计的100 名学⽣中，成绩落在区间[80，100]内的⼈数为70
【分析】利⽤频率分布直⽅图的性质判断A；利⽤百分位数的定义判断B；利⽤平均数的定义判断C；
利⽤频率、频数的定义判断D．
【解答】解：由频率分布直⽅图得：
（0.005+0.010+0.015+x+0.040）×10＝1，
解得x＝0.030．故A 错误；
[50，90）的频率为（0.005+0.010+0.015+0.030）×10＝0.6，
[90，100）的频率为0.040×10＝0.4，
∴估计参赛学⽣成绩的70%分位数为90+
＝92.5，故B 错误；
估计参赛学⽣的平均成绩为：
＝55×0.05+65×0.10+75×0.15+85×0.30+95×0.40＝84，故C 错误；
所统计的100 名学⽣中，成绩落在区间[80，100]内的⼈数为：
（0.030+0.040）×10×100＝70，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、百分位数、平均数、频率、频数的定义等基础知识，考查运算求解
第30⻚（共47⻚）
能⼒，是基础题．
22．某校举办了数学知识竞赛，把1000 名学⽣的竞赛成绩（满分100 分，成绩取整数）按[60，70），[70，80），
[80，90），[90，100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直⽅图，则下列说法正确的为（
）
A．a 的值为0.015
B．估计这组数据的众数为80
C．估计这组数据的第60 百分位数为87
D．估计成绩低于80 分的有350 ⼈
【分析】利⽤频率分布直⽅图的性质可判定A，利⽤众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布
直⽅图计算可估计总体判定D．
【解答】解：易知（a+0.02+0.05+0.025）×10＝1，则a＝0.005，所以A 错误：
由频率分布直⽅图可知众数落在区间[80，90），⽤区间中点表示众数即85，所以B 错误；
由频率分布直⽅图可知0.05+0.2+（x﹣80）×0.05＝0.6，解得x＝87，
所以这组数据的第60 百分位数为87，所以C 正确；
成绩低于80 分的频率为0.05+0.2＝0.25，所以估计总体有1000×0.25＝250，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查频率分布直⽅图，属于中档题．
23．如图是国家统计局7 ⽉发布的2021 年6 ⽉⾄2022 年6 ⽉规模以上⼯业原煤产量增速的⽉度⾛势，其中
2022 年1～2 ⽉看作1 个⽉，现有如下说法：
①2021 年10 ⽉⾄2022 年3 ⽉，规模以上⼯业原煤产量增速呈现上升趋势；
②2021 年6 ⽉⾄2022 年6 ⽉，规模以上⼯业原煤产量增速的中位数为5.9；
③从这12 个增速中随机抽取1 个，增速都超过10 的概率为
．则说法正确的个数为（
）
第31⻚（共47⻚）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】①利⽤直⽅图的数据即可判断；②根据中位数的定义即可判断求解；③根据古典概型的概率计
算公式即可求解判断．
【解答】解：①根据直⽅图可知2021 年10 ⽉⾄2022 年3 ⽉，规模以上⼯业原煤产量增速呈现上升趋势，
故正确，
②2021 年6 ⽉⾄2022 年6 ⽉，规模以上⼯业原煤产量增速排序后为：
﹣5.0，﹣3.3，﹣0.9，0.8，4.0，4.6，7.2，10.3，10.3，10.7，14.8，15.3，
则中位数为
，故正确，
③从这12 个增速中随机抽取1 个共有12 种情况，增速超过10 的抽取1 个共有5 种情况，
故所求概率为
，故正确，
故选：D．
【点评】本题考查了频率直⽅图的应⽤，考查了学⽣的运算能⼒，属于基础题．
24．如图，某校⾼三共有200 ⼈参加体育测试，根据规则，82 分以上的考⽣成绩等级为A，则估计获得A
的考⽣⼈数约为（
）
A．100
B．75
C．50
D．25
【分析】⾸先计算出82 分以上的考⽣的频率，即可得获得A 的考⽣⼈数．
【解答】解：由频率分布直⽅图可得82 分以上的考⽣的频率约为
第32⻚（共47⻚）
，
所以获得A 的考⽣⼈数约为200×0.25＝50 ⼈．
故选：C．
【点评】本题主要考查频率分布直⽅图，属于基础题．
25．近⽇，云南⼈“打跳”的视频频频冲上各⼤平台热搜．唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南⼈的快乐就
是这么简单．某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20﹣60 岁的⼈群进⾏随机抽样调查，其中喜欢
“打跳”视频的有100 ⼈，把这100 ⼈按照年龄分成4 组，然后绘制成如图所示的频率分布直⽅图，现从
第⼆组和第四组的⼈中分层随机抽取10 ⼈做进⼀步的问卷调查，则应从第2 组抽取的⼈数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据题意，利⽤频率分布直⽅图的性质，结合分层抽样的⽅法，即可求解．
【解答】解：由图可知，第⼆组的频率为0.2，频数为20，第四组频率为0.3，频数为30，
按分层随机抽样抽取10 ⼈，则应从第⼆组抽取的⼈数为
⼈．
故选：B．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
26．⼀组数据如下：3，7，9，10，13，15，19，21，该组数据的75%分位数是（
）
A．15
B．17
C．19
D．20
【分析】由题意可得8×75%＝6，然后根据百分位数的求解公式即可求解．
【解答】解：由题意可得8×75%＝6，
则该组数据的75%分位数是
＝17．
故选：B．
【点评】本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
27．已知8 名同学参加体能综合测试的成绩分别为46，52，55，63，72，75，76，80，从这8 名同学中选出
第33⻚（共47⻚）
3 名同学，则这3 名同学中最⾼的体能综合测试成绩恰好是这8 名同学体能综合测试成绩的第70 百分位
数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：8×0.7＝5.6，
则这8 名同学体能测试成绩的第70 百分位数为75，
从8 名同学中选3 名同学，有
种选法，
其中这3 名同学中最⾼的体能综合测试成绩恰好为75 的选法有
种，
故所求概率为：
．
故选：C．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，以及古典概型的概率公式，属于基础题．
28．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2 的25%分位数为（
）
A．24
B．6
C．10
D．8
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：样本数据从⼩到⼤排序：2，6，10，15，18，20，24，42，57，共9 个，
0.25×9＝2.25，
所求的25%分位数为10．
故选：C．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
29．为了加深师⽣对党史的了解，激发⼴⼤师⽣知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育⽂化”
的党史知识竞赛，并将1000 名师⽣的竞赞成绩（满分100 分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布
直⽅图，估计这组数据的第85 百分位数为（
）分．
A．84
B．85
C．86
D．87
第34⻚（共47⻚）
【分析】根据百分位数定义，结合数据求解即可．
【解答】解：由10×（2a+3a+3a+6a+5a+a）＝1，
即10×20a＝1，解得a＝0.005，
所以前4 组频率之和为14×0.005×10＝0.7，
前5 组频率之和为19×0.005×10＝0.95，
设这组数据的第85 百分位数为x，
则0.7+（x﹣80）×0.025＝0.85，x＝86．
故选：C．
【点评】本题考查了百分位数的应⽤，涉及到频率分布直⽅图的应⽤，考查了学⽣的运算求解能⼒，属
于基础题．
30．空⽓质量指数简称AQI，是定量描述空⽓质量状况的⽆量纲指数．AQI 的数值越⼤、级别越⾼，说明
空⽓污染状况越严重．某地区4 ⽉1 ⽇22 时⾄4 ⽉2 ⽇5 时的AQI 整点报告数值为：15，17，20，22，
20，23，19，21，则这组数据的第70 百分位数是（
）
A．19
B．20
C．21
D．22
【分析】把这组数据按从⼩到⼤顺序排列，计算百分位数，即可得出所求数据．
【解答】解：把这组数据按从⼩到⼤顺序排列为15，17，19，20，20，21，22，23，
计算8×70%＝5.6，所以这组数据的第70 百分位数是第6 个数据，为21．
故选：C．
【点评】本题考查了百分位数的定义与应⽤问题，是基础题．
31．某市2024 年5 ⽉份第⼀周的每⽇最⾼⽓温（单位：℃）分别为25，27，31，29，33，28，26，则这周的
⽇最⾼⽓温的第30 百分位数为（
）
A．31.5
B．29
C．28.5
D．27
【分析】将数据从⼩到⼤排序，利⽤分位数的求解⽅法进⾏计算．
【解答】解：将七⽇的⽓温数据从⼩到⼤排序为
25，26，27，28，29，31，33，
因为7×0.3＝2.1，
所以第30 百分位数为第3 个数27．
故选：D．
【点评】本题主要考查百分位数的计算，属于基础题．
32．为深⼊贯彻落实习近平总书记对天津⼯作“三个着⼒”重要要求，天津持续深化改⾰，创建全国⽂明城
第35⻚（共47⻚）
区，城市⽂明程度显著提升，⼈⺠群众的梦想不断实现．在创建⽂明城区的过程中，中央⽂明办对某⼩
区居⺠进⾏了创建⽂明城区相关知识⽹络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50 名居⺠的问卷结果，
统计其得分数据，将所得50 份数据的得分结果分为6 组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，
90），[90，100]，并整理得到如下的频率分布直⽅图，则该⼩区居⺠得分的第70 百分位数为（
）
A．89.09
B．86.52
C．84.55
D．81.32
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：由频率分布直⽅图可知，前四列的频率为1﹣（0.022+0.018）×10＝0.6，
设该⼩区居⺠得分的第70 百分位数为a，
则0.6+
，解得a≈84.55．
故选：C．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
33．某同学在⼀次数学测试中的成绩是班级第三名，成绩处于第90 百分位数，则该班级的⼈数可能为（
）
A．15
B．25
C．30
D．35
【分析】利⽤百分数的定义可以得到关于n 的不等式，再求解n 的范围．
【解答】解：设该班级共有n ⼈，
则由成绩是班级第三名，且成绩处于第90 百分位数，
可得n﹣3＜90%n＜n﹣2，解得20＜n＜30．
故选：B．
【点评】本题考查百分位数的定义，属于基础题．
34．数据2，3，5，6，7，7，8，10 的上四分位数为（
）
A．7.5
B．8
C．7
D．4
【分析】根据已知条件，结合上四分位数的定义，即可求解．
【解答】解：数据2，3，5，6，7，7，8，10，共8 个，
第36⻚（共47⻚）
上四分位数是75%分位数，
⽽8×75%＝6，故75%分位数为
．
故选：A．
【点评】本题主要考查上四分位数的定义，属于基础题．
35．按从⼩到⼤顺序排列的两组数据：甲组：7，11，14，m，22；⼄组：5，10，n，18，20，若这两组数据
的第50 百分位数、第80 百分位数分别对应相等，则m+n＝（
）
A．28
B．29
C．30
D．32
【分析】利⽤百分位数的定义求解．
【解答】解：因为5×50%＝2.5，5×80%＝4，
所以甲组数据的第50 百分位数为14，⼄组数据的第80 百分位数为
＝19，
所以⼄组数据的第50 百分位数为14，甲组数据的第80 百分位数为19，
所以n＝14，
＝19，
解得m＝16，
所以m+n＝30．
故选：C．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
36．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14 的上四分位数为（
）
A．14
B．15
C．16
D．18
【分析】结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：8 个数据从⼩到⼤排列为10，12，14，14，15，16，20，24；
上四分位即75%的分位数，
故8×75%＝6，
故为第6，7 个数的平均数
．
故选：D．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
37．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1 的50 百分位数为（
）
A．8.4
B．8.5
C．8.6
D．8.7
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，计算可得答案．
第37⻚（共47⻚）
【解答】解：根据题意，共8 个数据，有8×50%＝4，
故该组数据的50 百分位数为
（8.4+8.6）＝8.5．
故选：B．
【点评】本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
38．重庆某校⾼三年级20 个班参加艺术节合唱⽐赛，通过简单随机抽样，获得了10 个班的⽐赛得分如下：
91，89，90，92，94，87，95，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（
）
A．93
B．93.5
C．94
D．94.5
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：10 个班的⽐赛得分从⼩到⼤排序为：85，87，89，90，91，91，92，94，95，96，共10 个，
10×0.8＝8，
故这组数据的80%分位数为
．
故选：D．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
39．若4，2，1，4，5 的第p 百分位数是4，则p 的取值范围是（
）
A．（40，80]
B．[40，80）
C．[40，80]
D．（40，80）
【分析】结合百分数的定义，即可求解．
【解答】解：1，2，4，4，5，共5 个数据，
若1，2，4，4，5 第p 百分位数是4，
则n×p%∈（2，4），
所以p∈（40，80）．
故选：D．
【点评】本题主要考查百分数的定义，属于基础题．
40．⼀个容量为10 的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，21，20，3，则该组数据的第60 百分
位数为（
）
A．9
B．10
C．13
D．16
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：样本数据从⼩到⼤排序为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，21，共10 个，
60%×10＝6，
故该组数据的第60 百分位数为
．
第38⻚（共47⻚）
故选：C．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
41．样本数据2，2，3，3，3，4，4，5，5，6 的中位数和众数分别为（
）
A．3 和3
B．3.5 和3
C．4 和3
D．3.5 和2，3，4，5
【分析】根据中位数和众数的定义求解．
【解答】解：样本数据2，2，3，3，3，4，4，5，5，6 的中位数为3.5，众数为3．
故选：B．
【点评】本题考查中位数和众数的求法，属于基础题．
42．已知由⼩到⼤排列的5 个样本数据13，19，21，22，x 的极差是11，则x 的值为（
）
A．23
B．24
C．25
D．26
【分析】由极差的定义即可求解．
【解答】解：由题知最⼩的数据是13，最⼤的数据是x，则极差为x﹣13＝11，
解得x＝24．
故选：B．
【点评】本题主要考查了极差的定义，属于基础题．
43．某校举⾏“云翔杯”学⽣篮球⽐赛，统计部分班级的得分数据如下．
班级
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
28
34
34
30
26
28
28
32
则（
）
A．得分的中位数为28
B．得分的极差为8
C．得分的众数为34
D．得分的平均数为31
【分析】根据平均数、极差、众数和中位数的定义求解．
【解答】解：由题意可知，共有8 个数据，按照由⼩到⼤的顺序排列为26，28，28，28，30，32，34，34，
对于A，中间两个数字的平均数为29，所以中位数为29，故A 错误；
对于B，极差为34﹣26＝8，故B 正确；
对于C，出现次数最多的数为28，所以众数为28，故C 错误；
对于D，平均数为
×（26+28+28+28+30+32+34+34）＝30，故D 错误．
故选：B．
第39⻚（共47⻚）
【点评】本题主要考查了平均数、极差、众数和中位数的定义，属于基础题．
44．某学校运动会男⼦100m 决赛中，⼋名选⼿的成绩（单位：s）分别为：13.09，13.15，12.90，13.16，12.96，
13.11，x，13.24，则下列说法错误的是（
）
A．若该⼋名选⼿成绩的第75%百分位数为13.155，则x＝13.15
B．若该⼋名选⼿成绩的众数仅为13.15，则x＝13.15
C．若该⼋名选⼿成绩的极差为0.34，则12.90≤x≤13.24
D．若该⼋名选⼿成绩的平均数为13.095，则x＝13.15
【分析】举反例判断A；利⽤众数和平均数定义判断BD；分情况讨论x，判断C．
【解答】解：对于A，∵8×75%＝6，当x＝13 时，
⼋名选⼿成绩从⼩到⼤排序为12.90，12.96，13，13.09，13.11，13.15，13.16，13.24，
∴
＝13.155，但x＝13≠13.15，故A 错误；
对于B，∵众数是出现次数最多的数，
∴若该⼋名选⼿成绩的众数仅为13.15，则x＝13.15，故B 正确；
对于C，当x＜12.9 时，极差为13.24﹣x＞0.34，不符合题意，舍，
当12.90≤x≤13.24，极差为13.24﹣12.9＝0.34，符合题意，
当x＞13.24，极差为x﹣12.9＞0.34，不符合题意，舍，
综上，12.90≤x≤13.24，故C 正确；
对于D，平均数为
（12.90+12.96+13.09+13.11+13.15+13.16+13.24+x）＝13.095，
解得x＝13.15，故D 正确．
故选：A．
【点评】本题考查众数、平均数定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
45．某同学测得连续7 天的最低⽓温分别为1，2，2，m，6，2，8（单位℃），若这组数据的平均数是中位
数的2 倍，则m＝（
）
A．2
B．3
C．6
D．7
【分析】求出中位数和平均数，列⽅程能求出结果．
【解答】解：由题意得：
这组数据的平均分为
＝
，
除m 外，将数据按升序排列可得1，2，2，2，6，8，
结合m 的任意性可知中位数为2，
第40⻚（共47⻚）
则
＝2×2，
解得m＝7．
故选：D．
【点评】本题考查平均数、中位数等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
46．“说⽂明话、办⽂明事、做⽂明⼈，树⽴城市新⻛尚！创建⽂明城市，你我共同参与！”为宣传创⽂精神，
华强实验中学⾼⼀（2）班组织了甲⼄两名志愿者，利⽤⼀周的时间在街道对市⺠进⾏宣传，将每天宣
传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法甲、⼄志愿者宣传次数的频数分布折线图，则以下说
法不正确的为（
）
A．甲的众数⼩于⼄的众数
B．⼄的极差⼩于甲的极差
C．甲的⽅差⼤于⼄的⽅差
D．⼄的平均数⼤于甲的平均数
【分析】根据已知条件，结合众数、极差的定义，以及⽅差和平均数公式，即可求解．
【解答】解：由图可知，甲志愿者的宣传次数分别为：4，5，6，3，4，3，3，
⼄志愿者的宣传次数分别为：5，4，4，5，4，3，3，
甲的平均数为
，
⼄的平均数为
，
故D 错误，
甲的众数为3，⼄的众数为4，
故甲的众数⼩于⼄的众数，故A 正确；
第41⻚（共47⻚）
甲的极差为3，⼄的极差为2，
则⼄的极差⼩于甲的极差，故B 正确；
甲的⽅差为
＝，
⼄的⽅差为
[2×（5﹣4）2+3×（4﹣4）2+2×（3﹣4）2]＝，
故甲的⽅差⼤于⼄的⽅差，故C 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查众数、极差的定义，以及⽅差和平均数公式，属于基础题．
47．已知甲、⼄两⽀篮球队各6 名队员某场⽐赛的得分数据（单位：分）从⼩到⼤排列如下；
甲队：7，12，12，20，20+x，31；
⼄队：8，9，10+y，19，25，28．
这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x+y 的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据中位数和平均数的定义，列⽅程求出y 和x，再求和．
【解答】解：甲队的中位数是
×（12+20）＝16，⼄队的中位数是
×（10+y+19）＝16，解得y＝3；
所以⼄队的平均数为
×（8+9+13+19+25+28）＝17，
甲队的平均数为
×（7+12+12+20+20+x+31）＝17，解得x＝0；
所以x+y＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数与中位数的定义与计算问题，是基础题．
48．现有⼀组数据0，1，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数⼤于4 的
概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，求出基本事件总数，分析删除数据后平均数⼤于4 的⽅法数，由古典概型公式计算
可得答案．
【解答】解：根据题意，这种数据共有8 个，在其中随机删去两个数，有
＝28 种选法，
删除之前，所有数据之和的28，若删除数据后，剩下数据的平均数⼤于4，即剩下数据之和⼤于4×6＝
24，
第42⻚（共47⻚）
则删除两个数据的和⼩于3，有0 和1，0 和2，0 和3，1 和2，共4 种情况，
则剩下数据的平均数⼤于4 的概率为
＝．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及数据的平均数，属于基础题．
49．在哈尔滨市2024 年第⼀次市模考试中，三所学校⾼三年级的参考⼈数分别为500、800、700．现按⽐例
分层抽样的⽅法从三个学校⾼三年级中抽取样本，经计算得三所学校⾼三年级数学成绩的样本平均数分
别为92、105、100，则三所学校学⽣数学成绩的总平均数约为（
）
A．101
B．100
C．99
D．98
【分析】利⽤分层随机抽样的均值公式求解．
【解答】解：由题意可知，三所学校⾼三年级的参考总⼈数为500+800+700＝2000，
所以三所学校学⽣数学成绩的总平均数约为
＝100．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的均值公式，属于基础题．
50．从甲队60 ⼈、⼄队40 ⼈中，按照分层抽样的⽅法从两队共抽取10 ⼈，进⾏⼀轮答题．相关统计情况
如下：甲队答对题⽬的平均数为1，⽅差为1；⼄队答对题⽬的平均数为1.5，⽅差为0.4，则这10 ⼈答
对题⽬的⽅差为（
）
A．0.8
B．0.675
C．0.74
D．0.82
【分析】根据分层抽样、均值与⽅差公式计算即可．
【解答】解：从甲队60 ⼈、⼄队40 ⼈中，按照分层抽样的⽅法从两队共抽取10 ⼈，进⾏⼀轮答题，
按照分层抽样的⽅法从甲队中抽取
⼈，
从⼄队中抽取
⼈，
这10 ⼈答对题⽬的平均数为
，
所以这10 ⼈答对题⽬的⽅差为
．
故选：D．
【点评】本题考查分层抽样、均值与⽅差公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
51．某单位有男职⼯60 ⼈，⼥职⼯40 ⼈，其中男职⼯平均年龄为35 岁，⽅差为6，⼥职⼯平均年龄为30
岁，⽅差是1，则该单位全体职⼯的平均年龄和⽅差分别是（
）
A．32.5，3.5
B．33，7
C．33，10
D．32.5，4
第43⻚（共47⻚）
【分析】利⽤分层随机抽样的均值和⽅差公式求解．
【解答】解：该单位全体职⼯的平均年龄为
＝33，
⽅差为
+
[1+（30﹣33）2]＝10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的均值和⽅差公式，属于基础题．
52．已知甲、⼄两组数据分别为：22，21，24，23，25，20 和25，22，a，26，23，24．若⼄组数据的平均数
⽐甲组数据的平均数⼤2，则（
）
A．甲、⼄两组数据的极差不同
B．⼄组数据的中位数为24
C．甲、⼄两组数据的⽅差相同
D．甲组数据的第⼀四分位数为21.5
【分析】由题意，直接求出a＝27，对于A，直接求出极差判断即可；对于B，直接求出中位数即可；对
于C，分别求出两组数据的⽅差⽐较即可；对于D，求出第⼀四分位数即可．
【解答】解：由⼄组数据的平均数⽐甲组数据的平均数⼤2，
设甲、⼄两组数据平均数分别为
，
；⽅差分别为
，
则
，由
，
即
，
解得a＝27，所以两组数据极差均为5，故A 错误；
⼄组数据按从⼩到⼤排列为：22，23，24，25，26，27，
则中位数为：
，故B 错误；
对
于
C
，
，
，
第44⻚（共47⻚）
所以
，所以甲、⼄两组数据的⽅差相同，故C 正确；
对于D，甲组数据按从⼩到⼤排列为：20，21，22，23，24，25；
由
，所以第⼀四分位数为21，所以选项D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查极差、中位数、平均数、⽅差等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
53．在⾼三某次模拟考试中，甲、⼄两个班级的数学成绩统计如表：
班级
⼈数
平均分数
⽅差
甲
40
70
5
⼄
60
80
8
则两个班所有学⽣的数学成绩的⽅差为（
）
A．6.5
B．13
C．30.8
D．31.8
【分析】根据已知条件，结合平均数和⽅差公式，即可求解．
【解答】解：两个班级总的平均数为
，
则两个班所有学⽣的数学成绩的⽅差为
＝30.8．
故选：C．
【点评】本题主要考查平均数和⽅差公式，属于基础题．
54．若⼀组样本数据x1、x2、…、xn 的平均数为10，另⼀组样本数据2x1+4、2x2+4、…、2xn+4 的⽅差为8，则
两组样本数据合并为⼀组样本数据后的平均数和⽅差分别为（
）
A．17，54
B．17，48
C．15，54
D．15，48
【分析】计算出
、
的值，再利⽤平均数和⽅差公式可求得合并后的新数据的平均数和⽅差．
【解答】解：由题意可知，数据x1、x2、⋯、xn 的平均数为10，则
，
所以数据2x1+4、2x2+4、⋯、2xn+4 的平均数为
，
⽅
差
为
第45⻚（共47⻚）
，
所以
，
将两组数据合并后，新数据x1 、x2 、⋯、xn 、2x1+4 、2x2+4 、⋯、2xn+4 的平均数为：
，
⽅差为：
＝
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平均数和⽅差的计算，属于基础题．
55．已知数据x1，x2，x3，…，xn 的平均数为，⽅差为s2，数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3xn﹣1 的平均数
为
，⽅差为
，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【分析】根据平均数和⽅差的性质得到答案．
【解答】解：已知样本数据x1，x2，⋯，xn 的平均数为，⽅差为s2，数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，
3xn﹣1 的平均数为
，⽅差为
，
所以
，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平均数和⽅差的性质，属于基础题．
56．在第29 个世界读书⽇活动到来之际，遵义市某⾼中学校为了了解全校学⽣每年平均阅读了多少本⽂学
经典名著时，甲同学抽取了⼀个容量为10 的样本，样本的平均数为4，⽅差为5；⼄同学抽取⼀个容量
为8 的样本，样本的平均数为7，⽅差为10；将甲、⼄两同学抽取的样本合在⼀起组成⼀个容量为18
的样本，则合在⼀起后的样本⽅差是（结果精确到0.01）（
）
第46⻚（共47⻚）
A．5.34
B．6.78
C．9.44
D．11.46
【分析】利⽤样本平均数和样本⽅差的定义列式计算即可．
【解答】解：由甲同学的样本的平均数，⽅差分别为
，
⼄同学的样本的平均数，⽅差分别为
，
则合在⼀起后的样本平均数
，
则合在⼀起后的样本⽅差
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平均数和⽅差的定义，属于基础题．
57．已知3 个数据的平均数为3，⽅差为4，现再加⼊⼀个数据7，则这4 个数据的⽅差为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【分析】利⽤平均数和⽅差的定义求解．
【解答】解：由⽅差公式
，得
，
因此
，
加⼊数据后，新数据的平均数为
＝4，
所以这4 个数据的⽅差为
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平均数和⽅差的定义，属于基础题．
58．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为6，则数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1 的标准差为（
）
A．10
B．14
C．18
D．22
【分析】根据⽅差的性质求解．
【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为6，
∴样本数据x1，x2，…，x10的⽅差为36，
∴数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1 的⽅差为32×36＝324，
∴数据3x1﹣1，3x2﹣1，…，3x10﹣1 的标准差为
＝18．
故选：C．
第47⻚（共47⻚）
【点评】本题主要考查了⽅差的性质，属于基础题．
59．若甲组样本数据x1，x2，…，xn（数据各不相同）的平均数为4，⽅差为2，⼄组样本数据3x1﹣a，3x2﹣
a，…，3xn﹣a 的平均数为5，则下列说法错误的是（
）
A．a 的值为7
B．⼄组样本数据的⽅差为18
C．两组样本数据的样本中位数⼀定相同
D．两组样本数据的样本极差不同
【分析】根据题意，由数据平均数、⽅差、中位数和极差的定义分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，若甲组样本数据x1，x2，…，xn，设x1＜x2＜…＜xn，
依次分析选项：
对于A，⼄组样本数据的平均数为3×4﹣a＝5，解可得a＝7，A 正确；
对于B，⼄组样本数据的⽅差为32×2＝18，B 正确；
对于C，若n 为奇数，则甲组样本数据的中位数为
，⼄组样本数据的中位数为3
﹣7，
若n 为偶数，则甲组样本数据的中位数为
（
+
），⼄组样本数据的中位数为
（
+
）
﹣7，
故两组样本数据的样本中位数不同，C 错误；
对于D，甲组样本数据的极差为xn﹣x1，⼄组样本数据的极差为3xn﹣3x1＝3（xn﹣x1），两者不同，D 正
确．
故选：C．
【点评】本题考查数据的平均数、⽅差、中位数、极差的计算，涉及⽅差的性质，属于基础题．
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第12⻚（共35⻚）
统计、概率与变量分布篇—题型07～题型10 答案
⼀．选择题（共41 ⼩题）
1．在下列各事件中，发⽣的可能性最⼤的为（
）
A．任意买1 张电影票，座位号是奇数
B．掷1 枚骰⼦，点数⼩于等于2
C．有10000 张彩票，其中100 张是中奖彩票，从中随机买1 张是中奖彩票
D．⼀袋中装有8 个红球，2 个⽩球，从中随机摸出1 个球是红球
【分析】根据古典概型的概率公式即可求解．
【解答】解：对A，由对称性可知任意买1 张电影票，座位号是奇数的概率为
；
对B，掷1 枚骰⼦，点数⼩于等于2 的概率为
；
对C，有10000 张彩票，其中100 张是中奖彩票，从中随机买1 张是中奖彩票的概率为
＝
；
对D，⼀袋中装有8 个红球，2 个⽩球，从中随机摸出1 个球是红球的概率为
＝，
∴发⽣的可能性最⼤的为D 对应的事件，
故选：D．
【点评】本题考查古典概型的概率公式的应⽤，属基础题．
2．从放有两个红球、⼀个⽩球的袋⼦中⼀次任意取出两个球，两个红球分别标记为A、B，⽩球标记为C，
则它的⼀个样本空间可以是（
）
A．{AB，BC}
B．{AB，AC，BC}
C．{AB，BA，BC，CB}
D．{AB，BA，AC，CA，CB}
【分析】根据已知条件，结合样本空间的定义，即可求解．
【解答】解：两个红球分别标记为A、B，⽩球标记为C，
则抽取两个球的情况为AB，AC，BC，即它的⼀个样本空间可以是{AB，AC，BC}．
故选：B．
【点评】本题主要考查样本空间的定义，属于基础题．
3．如图，由A，B 两盏正常的⼩灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（
）
第13⻚（共35⻚）
A．A 灯亮，B 灯不亮
B．A 灯不亮，B 灯亮
C．A，B 两盏灯均亮
D．A，B 两盏灯均不亮
【分析】根据电路闭合的原理，即可判断．
【解答】解：根据题意，这是⼀个并联电路，当闭合开关时，电流会经过开关，
然后分别流经A 灯和B 灯，因此，A 灯和B 灯都会亮，
所以，必然事件是AB 两盏灯均亮．
故选：C．
【点评】本题考查必然事件的判断，属于基础题．
4．掷⼀颗质地均匀的骰⼦，观察朝上的点数，若A 表示事件“点数⼤于3”，B 表示事件“点数为偶数”，则
事件“点数为5”可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据事件的和事件以及交事件，结合选项即可求解．
【解答】解：由题可得，
表示“点数为2“，
表示“点数5“，
表示“点数为3 或2 或1 或4 或6“，
表示“点数为1 或3 或4 或5 或6“．
故选：B．
【点评】本题考查随机事件及其运算，属于基础题．
5．某⼩组有2 名男⽣和3 名⼥⽣，从中任选2 名学⽣去参加唱歌⽐赛，在下列各组事件中，是互斥事件的
是（
）
A．恰有1 名⼥⽣和恰有2 名⼥⽣
B．⾄少有1 名男⽣和⾄少有1 名⼥⽣
C．⾄少有1 名⼥⽣和全是⼥⽣
D．⾄少有1 名⼥⽣和⾄多有1 名男⽣
【分析】利⽤互斥事件的定义直接求解．
【解答】解：某⼩组有2 名男⽣和3 名⼥⽣，从中任选2 名学⽣去参加唱歌⽐赛，
第14⻚（共35⻚）
对于A，恰有1 名⼥⽣和恰有2 名⼥⽣不能同时发⽣，是互斥事件，故A 正确；
对于B，⾄少有1 名男⽣和⾄少有1 名⼥⽣能同时发⽣，不是互斥事件，故B 错误；
对于C，⾄少有1 名⼥⽣和全是⼥⽣能同时发⽣，不是互斥事件，故C 错误；
对于D，⾄少有1 名⼥⽣和⾄多有1 名男⽣能同时发⽣，不是互斥事件，故D 错误．
故选：A．
【点评】本题考查互斥事件的定义等基础知识，是基础题．
6．如果事件A 与事件B 互斥，那么（
）条件．
A．P（A∪B）＝1
B．P（A∩B）＝0
C．与⼀定互斥
D．A 与B ⼀定独⽴
【分析】根据题意，结合实例，利⽤互斥事件的定义，独⽴事件的定义，以及概率的意义，逐项判定，
即可求解．
【解答】解：例如：⼝袋中由3 个红球、2 个⽩球和1 个⻩球，从⽽任取⼀个球，
事件A“表示取到的是红球”，事件B“表示取到得是⽩球”，事件C“表示取到的是⻩球”，
此时，事件A，事件B 和事件C 是互斥事件，所以事件A，B，C 不可能同时发⽣，
且
，
对于A 中，由
，所以A 不正确；
对于B 中，由事件A 与事件B 不可能同时发⽣，可得P（A∩B）＝0，所以B 正确；
对于C 中，由事件；“取得⼀个球不是红球”，事件：“取得⼀个球不是⽩球”，
当取得到的⼀个球为⻩球时，此时事件和事件同时发⽣，
所以与事件不⼀定互斥，所以C 不正确；
对于D 中，由P（A∩B）＝0，
，可得P（A∩B）≠P（A）P（B），
此时事件A 和事件B 不独⽴事件，所以D 错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查互斥事件、对⽴事件的定义，属于基础题．
7．甲箱中有3 个⻩球、2 个绿球，⼄箱中有2 个⻩球、3 个绿球（这10 个球除颜⾊外，⼤⼩、形状完全相
同），先从甲箱中随机取出2 个球放⼊⼄箱，记事件ABC 分别表示事件“取出2 个⻩球”，“取出2 个绿球”，
“取出⼀⻩⼀绿两个球”，再从⼄箱中摸出⼀球，记事件D 表示摸出的球为⻩球，则下列说法正确的是
（
）
A．A，B 是对⽴事件
B．事件B，D 相互独⽴
第15⻚（共35⻚）
C．
D．
【分析】利⽤对⽴事件、相互独⽴事件、全概率公式、条件概率直接求解．
【解答】解：事件A 与事件B 不能同时发⽣，但能同时不发⽣，是互斥但不对⽴事件，故A 错误；
事件B 发⽣与否，影响事件D，∴事件B，D 不是相互独⽴事件，故B 错误；
P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）
＝
+
+
＝
，故C 正确；
P（CD）＝P（C）P（D|C）＝
＝
，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查对⽴事件、相互独⽴事件、全概率公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能⼒，
是基础题．
8．现有⼀批产品共9 件，已知其中5 件正品和4 件次品，现从中选4 件产品进⾏检测，则下列事件中互为
对⽴事件的是（
）
A．恰好两件正品与恰好四件正品
B．⾄少三件正品与全部正品
C．⾄少⼀件正品与全部次品
D．⾄少⼀件正品与⾄少⼀件次品
【分析】利⽤互斥事件、对⽴事件的定义求解．
【解答】解：⼀批产品共9 件，已知其中5 件正品和4 件次品，现从中选4 件产品进⾏检测，
选项A，恰好两件正品与恰好四件正品为互斥事件，不是对⽴事件，故A 错误；
选项B，⾄少三件正品与全部正品有可能同时发⽣，不是对⽴事件，故B 错误；
选项C，⾄少⼀件正品与全部次品既不能同时发⽣，也不能同时不发⽣，是对⽴事件，故C 正确；
选项D，⾄少⼀件正品与⾄少⼀件次品可能同时发⽣，不是对⽴事件，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查互斥事件、对⽴事件的定义等基础知识，是基础题．
9．已知事件M 表示“3 粒种⼦全部发芽”，事件N 表示“3 粒种⼦都不发芽”，则M 和N（
）
A．是对⽴事件
B．不是互斥事件
C．互斥但不是对⽴事件
D．是不可能事件
第16⻚（共35⻚）
【分析】利⽤互斥事件和对⽴事件的定义求解即可．
【解答】解：事件M 表示“3 粒种⼦全部发芽”，事件N 表示“3 粒种⼦都不发芽”，
所以事件M 和事件N 不会同时发⽣，是互斥事件，
因为3 粒种⼦可能只发芽1 粒，
所以事件M 和事件N 可以都不发⽣，则M 和N 不是对⽴事件．
故选：C．
【点评】本题主要考查互斥事件和对⽴事件，属于基础题．
10．设A，B 为同⼀试验中的两个随机事件，则“P（A）+P（B）＝1”是“事件A，B 互为对⽴事件”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】P（A）+P（B）＝1，事件A 与事件B 不⼀定是对⽴事件，反之，若事件A 与事件B 是对⽴事
件，则P（A）+P（B）＝1．
【解答】解：从编号号为1 ⾄6 的6 个⼩球中摸出⼀个，
设事件A 表示“摸出质数”，事件B 表示“摸出偶数”，
则P（A）+P（B）＝1，
事件A 与事件B 不是对⽴事件，
反之，若事件A 与事件B 是对⽴事件，则P（A）+P（B）＝1．
∴“P（A）+P（B）＝1”是“事件A，B 互为对⽴事件”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查对⽴事件概率公式、充分条件、必要条件等基础知识，是基础题．
11．若
，
，
，则事件A 与B 的关系是（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与B 对⽴
C．事件A 与B 相互独⽴
D．事件A 与B 既互斥⼜相互独⽴
【分析】结合互斥事件、对⽴事件、相互独⽴事件的知识求得正确答案．
【解答】解：∵
，
第17⻚（共35⻚）
∴
，
∴事件A 与B 相互独⽴、事件A 与B 不互斥，故不对⽴．
故选：C．
【点评】本题主要考查相互独⽴事件的概率公式，属于基础题．
12．掷两颗骰⼦，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，
事件C表示“两个点数之和是偶数”，事件D表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（
）
A．A 与B 是对⽴事件
B．A 与C∩D 是互斥事件
C．B 与D 是相互独⽴事件
D．B 与C∪D 是相互独⽴事件
【分析】根据题意，由对⽴事件的定义分析A，由互斥事件的定义分析B，由相互独⽴事件的定义分析
C、D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由对⽴事件的定义，A 和B 不是对⽴事件，A 错误；
对于B，C∩D 表示“两个点数都是偶数”，则有A＝C∩D，B 错误；
对于C，P（B）＝
＝，P（D）＝
＝，P（BD）＝0，事件B、D 不是相互独⽴事件，
C 错误；
对于D，C∪D 为必然事件，则必有P（B）P（C∪D）＝P（B），B 与C∪D 是相互独⽴事件，D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查随机事件的定义，涉及相互独⽴事件、互斥事件的定义，属于基础题．
13．抛掷三枚硬币，若记出现“三个正⾯”“两个正⾯⼀个反⾯”“两个反⾯⼀个正⾯”分别为事件A，B，C，
则下列说法错误的是（
）
A．事件A，B，C 两两互斥
B．
C．P（B）+P（C）＝4P（A）
D．事件A+B，B+C 相互独⽴
【分析】对于A，利⽤互斥事件判断；对于B，利⽤互斥事件概率加法公式求解；对于C，利⽤互斥事
件概率加法公式求解；对于D，利⽤相互独⽴事件概率乘法公式求解．
【解答】解：抛掷三枚硬币，若记出现“三个正⾯”“两个正⾯⼀个反⾯”“两个反⾯⼀个正⾯”分别为事件
第18⻚（共35⻚）
A，B，C，
对于A，事件A，B，C 中任意两个事件都不能同时发⽣，
∴事件A，B，C 两两互斥，故A 正确；
对于B，P（A）+P（B）+P（C）＝
＝，故B 正确；
对于C，P（B）+P（C）＝
＝，P（A）＝，
∴P（B）+P（C）≠4P（A），故C 错误；
对于D，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝
＝，
P（B+C）＝P（B）+P（C）＝
＝，
P[（A+B）（B+C）]＝P（B）＝＝P（A+B）P（B+C），故D 正确．
故选：C．
【点评】本题考查互斥事件概率加法公式、相互独⽴事件概念等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础
题．
14．设、分别是事件A、B 的对⽴事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列结论不正确的是（
）
A．
B．若A、B 是互斥事件，则P（A∩B）＝P（A）P（B）
C．
D．若A、B 是独⽴事件，则P（A∩B）＝P（A）P（B）
【分析】根据题意，由对⽴事件的性质分析A、C，由互斥事件的性质分析B，由相互独⽴事件的性质分
析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由对⽴事件定义可知
，选项A 正确；
对于B，若A、B 是互斥事件，则P（A∩B）＝0，B 错误；
对于C，由对⽴事件定义可知
，C 正确；
对于D，由相互独⽴事件的性质，A、B 是独⽴事件，则P（A∩B）＝P（A）P（B），D 正确．
故选：B．
【点评】本题考查相互独⽴事件、互斥事件和对⽴事件的性质，涉及概率性质，属于基础题．
15．若
，则（
）
A．事件A 与B 互斥
B．事件A 与B 相互独⽴
第19⻚（共35⻚）
C．
D．
【分析】由概率的相关性质逐⼀判定各选项即可．
【解答】解：对于A，因为
，所以A 与B 不互斥，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，所以
，
故B 正确；
对于C，P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝
，故C 错误；
对于D，由B 知，与B 相互独⽴，所以
＝
，故D 错误．
故选：B．
【点评】本题考查概率的性质，属于基础题．
16．有5 张相同的卡⽚，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1 张卡⽚，A1表
示事件“第⼀次取出的卡⽚上的数字为2”，A2表示事件“第⼀次取出的卡⽚上的数字为奇数”，A3表示事
件“两次取出的卡⽚上的数字之和为6”，A4表示事件“两次取出的卡⽚上的数字之和为7”，则（
）
A．A3与A4为对⽴事件
B．A1与A3为相互独⽴事件
C．A2与A4为相互独⽴事件
D．A2与A4为互斥事件
【分析】结合互斥事件、对⽴事件的定义，以及相互独⽴事件的概率乘法公式，即可求解．
【解答】解：A3与A4互斥但不对⽴，故错误；
，∴A1与A3相互独⽴，故B 正确；
与A4不独⽴，故C 错误；
A2表示事件“第⼀次取出的卡⽚上的数字为奇数”，A4表示事件“两次取出的卡⽚上的数字之和为7”，
A2与A4可同时发⽣，A2与A4不互斥，D 错．
故选：B．
【点评】本题主要考查互斥事件、对⽴事件的定义，以及相互独⽴事件的概率乘法公式，是基础题．
17．连续两次抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦，观察它落地时朝上⾯的点数．事件A1＝“第⼀次得到的数字是2”；
事件A2＝“第⼆次得到的数字是奇数”；事件A3＝“两次得到数字的乘积是奇数”；事件A4＝“两次得到数
字的和是6”．则（
）
第20⻚（共35⻚）
A．事件A1和事件A2对⽴
B．事件A2和事件A4互斥
C．事件A1和事件A4相互独⽴
D．P（A2∪A3）＝P（A2）
【分析】根据互斥事件与对⽴事件、相互独⽴事件的概念，对各项逐⼀判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于A，当第⼀次得到2，第⼆次得到1 时，事件A1、A2 同时发⽣，故事件A1 和事件A2
不对⽴，故A 不正确；
对于B，当第⼀次得到1，第⼆次得到5 时，事件A1、A4同时发⽣，故事件A1 和事件A4 不互斥，故B
不正确；
对于C，因为
，
，且
，
所以P（A1A4）≠P（A1）P（A4），可知事件A1和事件A4不相互独⽴；
对于D，⽤坐标表示两次抛掷所得的点数，可得：
事件A2对应的基本事件有（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），
（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，3），（6，3），（1，5），（2，5），
（3，5），（4，5），（5，5），（6，5）．
事件A3对应的基本事件有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），
（5，1），（5，3），（5，5）．
可⻅A3对应的基本事件都包含在事件A2中，即A2∪A3＝A2，所以P（A2∪A3）＝P（A2），D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查样本与事件空间、互斥事件与对⽴事件、相互独⽴事件的概率乘法公式等知识，
属于基础题．
18．在下列关于概率的命题中，正确的有（
）
A．若事件A，B 满⾜P（A）+P（B）＝1，则A，B 为对⽴事件
B．若三个事件A，B，C 两两独⽴，则P（ABC）＝P（A）•P（B）•P（C）
C．若事件A，B 满⾜
，
，
，则A，B 相互独⽴
D．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与也是互斥事件
【分析】利⽤互斥事件、对⽴事件、相互独⽴事件的定义能求出结果．
【解答】解：对于A，事件A、B 不互斥，恰好满⾜P（A）＝0.5，P（B）＝0.5，满⾜P（A）+P（B）＝
1，
第21⻚（共35⻚）
A，B 不是对⽴事件．故A 错误；
对于B，设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，
∵A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，
∴
，
∴P（AB）＝P（A）•P（B），P（AC）＝P（A）•P（C），P（BC）＝P（B）•P（C），即A，B，C 两两独
⽴，
但P（A）
，∴P（ABC）≠P（A）P（B）P（C），故B 错误；
对于C，∵事件A，B 满⾜
，
，
，∴P（AB）＝P（A）P（B），
∴A，B 相互独⽴，故C 正确；
对于D，由互斥事件的定义知，事件A、B 互斥，但是A 与也是互斥事件不成⽴，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查互斥事件、对⽴事件、相互独⽴事件的定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础
题．
19．如果A，B 是互斥事件，下列选项正确的是（
）
A．事件与不互斥
B．
C．A 与互斥
D．P（A∪B）＝1
【分析】根据题意，根据互斥事件的有关概念依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对A：若A，B 对⽴，则与也对⽴，所以与可以互斥，故A 错误；
对B：因为A，B 互斥，所以A∩B 为不可能事件，故
为必然事件，所以
；
故有
，故B 正确；
对C：根据互斥事件的概念，A，B 互斥，A 与⼀定不互斥，故C 错误；
对D：只有A，B 对⽴时，才有P（A∪B）＝1，故D 错误．
故选：B．
【点评】本题考查互斥事件的性质，注意互斥事件的定义，属于基础题．
20．给出下列四种说法：
①若事件A，B 互斥，则与⼀定互斥；
②若A，B 为两个事件，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）；
③若事件A，B，C 彼此互斥，则P（A）+P（B）+P（C）≤1；
第22⻚（共35⻚）
④若事件A，B 满⾜P（A）+P（B）＝1，则A，B 是对⽴事件．
其中错误的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】利⽤互斥事件、对⽴事件的定义求解．
【解答】解：①若事件A，B 互斥，则与⼀定不是互斥事件，故①错误；
对于②，若A，B 为两个事件，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），故②错误；
对于③，若事件A，B，C 彼此互斥，则P（A）+P（B）+P（C）≤1，故③正确；
对于④，若事件A，B 满⾜P（A）+P（B）＝1，则A，B 不⼀定是对⽴事件，
例如：设投⼀枚硬币3 次，事件A“⾄少出现⼀次正⾯”，事件B“出现在3 次正⾯”，
P（A）＝，P（B）＝，满⾜P（A）+P（B）＝1，但事件A，B 不是对⽴事件，故D 错误．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件、对⽴事件等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
21．连续抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦2 次，记录每次朝上的点数，设事件A 为“第⼀次的点数是6”，事件B
为“第⼆次的点数⼩于4”，事件C 为“两次的点数之和为偶数”，则（
）
A．P（A）＝
B．A 与B 互斥
C．A 与C 互斥
D．A 与C 相互独⽴
【分析】根据题意，由古典概型公式分析A，由互斥事件的定义分析B、C，由相互独⽴事件的定义分析
D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，连续抛掷⼀枚质地均匀的骰⼦2 次，记录每次朝上的点数，
有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36 个不同结果，
依次分析选项：
对于A，事件A 为“第⼀次的点数是6”，包含6 种情况，则P（A）＝
＝，A 错误；
对于B，事件A、B 可以同时发⽣，B 错误；
对于C，事件A、C 可以同时发⽣，C 错误；
第23⻚（共35⻚）
对于D，事件C 为“两次的点数之和为偶数”，包含18 个结果，则P（C）＝，
事件AC，即（6，2）、（6，4）、（6，6），包含3 个结果，则P（AC）＝
，
则有P（AC）＝P（A）P（C），事件A、C 相互独⽴，D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件、相互独⽴事件的定义，涉及古典概型的计算，属于基础题．
22．某校要从⾼⼆某班6 名班⼲部（其中2 名男⽣，4 名⼥⽣）中抽调2 ⼈主持学校举⾏的国旗下讲话活动，
则被抽调的班⼲部中⾄少有⼀位是⼥⽣的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由被抽调的班⼲部中⾄少有⼀位是⼥⽣的概率等于1 减去被抽调的班⼲部都是男⽣的概率再结
合古典概率求解即可．
【解答】解：由题意可得，被抽调的班⼲部中⾄少有⼀位是⼥⽣的概率为：
．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
23．⼩明在某不透明的盒⼦中放⼊4 红4 ⿊⼋个球，随机摇晃后，⼩明从中取出⼀个⼩球丢掉（未看被丢
掉⼩球的颜⾊）．现从剩下7 个⼩球中取出两个⼩球，结果都是红球，则丢掉的⼩球也是红球的概率为
（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先由古典概率公式求出
，再由全概率公式求出
，最后由条件概率求出
即可．
【解答】解：⽤A 表示丢掉⼀个⼩球后任取两个⼩球均为红球，⽤B1表示丢掉的⼩球为红球，B2表示
丢掉的⼩球为⿊球，
则
，
，
由全概率公式可得：
，
第24⻚（共35⻚）
所以
，
故选：B．
【点评】本题考查条件概率、全概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
24．有4 个外包装相同的盒⼦，其中2 个盒⼦分别装有1 个⽩球，另外2 个盒⼦分别装有1 个⿊球，现准
备将每个盒⼦逐个拆开，则恰好拆开2 个盒⼦就能确定2 个⽩球在哪个盒⼦中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先将4 个盒⼦进⾏全排，若恰好拆开2 个盒⼦就能确定2 个⽩球在哪个盒⼦中，则前两个盒⼦
都是⽩球或都是⿊球，分别计算出排列数，即可得到答案．
【解答】解：将4 个盒⼦按顺序拆开有
种⽅法，
若恰好拆开2 个盒⼦就能确定2 个⽩球在哪个盒⼦中，
则前两个盒⼦都是⽩球或都是⿊球，有
种情况，
则恰好拆开2 个盒⼦就能确定2 个⽩球在哪个盒⼦中的概率为
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
25．⼀箱苹果共有12 个苹果，其中有n（2＜n＜7）个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3 个，恰有2 个烂果
的概率为
，则n＝（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】利⽤古典概型的概率公式求解．
【解答】解：从这箱苹果中随机抽取3 个，恰有2 个烂果的概率为
＝
，
解得n＝4 或9，
⼜因为2＜n＜7，
所以n＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
26．投壶是从先秦延续⾄清末的汉⺠族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛⾏．如图为⼀幅唐朝
第25⻚（共35⻚）
的投壶图，假设甲、⼄、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、⼄、丙每次投壶时，投中与不投中是
等可能的．若甲、⼄、丙各投壶1 次，则这3 ⼈中⾄少有2 ⼈投中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由独⽴事件概率乘法公式可得这3 ⼈中⾄少有2 ⼈投中的概率．
【解答】解：甲、⼄、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，
甲、⼄、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的，甲、⼄、丙各投壶1 次，
记甲、⼄、丙投中分别即为事件A1，A2，A3，
由题知
，
则3 ⼈中⾄少有2 ⼈投中的概率为：
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查相互独⽴事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
27．某⼈忘记了电话号码的最后⼀个数字，随意拨号，则拨号不超过4 次⽽接通电话的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】将事件“拨号不超过4 次⽽接通电话”看成四个事件的和事件，利⽤古典概型的概率公式求出四
个事件的概率，再利⽤互斥事件的和事件公式能求出结果．
【解答】解：第⼀次接通电话的概率为
，
第⼆次接通电话的概率为
＝
，
第三次接通电话的概率为
＝
，
第四次接通电话的概率为
＝
，
第26⻚（共35⻚）
∴拨号不超过4 次⽽接通电话的概率为
＝．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
28．袋中装有4 个⿊球和3 个⽩球，现从中不放回地取球，每次取1 个球，直到将袋中的⽩球取完即终⽌．每
个球在每⼀次被取出的机会是等可能的，则终⽌取球时，恰有1 个⿊球没有被取出的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤古典概型、排列组合直接求解．
【解答】解：袋中装有4 个⿊球和3 个⽩球，
现从中不放回地取球，每次取1 个球，直到将袋中的⽩球取完即终⽌，
每个球在每⼀次被取出的机会是等可能的，
基本事件总数n＝A ＝5040，
终⽌取球时，恰有1 个⿊球没有被取出包含的基本事件有以下10 种情况：
⽩⽩⿊⿊⿊⽩，⽩⿊⽩⿊⿊⽩，⽩⿊⿊⽩⿊⽩，⽩⿊⿊⿊⽩⽩，⿊⽩⽩⿊⿊⽩，
⿊⽩⿊⽩⿊⽩，⿊⽩⿊⿊⽩⽩，⿊⿊⽩⽩⿊⽩，⿊⿊⽩⿊⽩⽩，⿊⿊⿊⽩⽩⽩，
这10 种情况包含的基本事件个数为m＝
＝1440，
则终⽌取球时，恰有1 个⿊球没有被取出的概率为P＝＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
29．我国铁路百年沧桑巨变，从尚⽆⼀⼨⾼铁，到仅⽤⼗⼏年⾼铁建设世界领先，⻅证了中华⺠族百年复
兴伟业．某家庭两名⼤⼈三个孩⼦乘坐⾼铁出⾏，预定了⼀排五个位置的票（过道⼀边有三个座位且相
邻，另⼀边两个座位相邻），则三个孩⼦座位正好在过道同⼀侧的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】五个⼈随便坐基本事件总数n＝
＝120，三个孩⼦座位正好在过道同⼀侧包含的基本事件个
数m＝
＝12，由此能求出三个孩⼦座位正好在过道同⼀侧的概率．
【解答】解：某家庭两名⼤⼈三个孩⼦乘坐⾼铁出⾏，预定了⼀排五个位置的票（过道⼀边有三个座位
且相邻，另⼀边两个座位相邻），
五个⼈随便坐基本事件总数n＝
＝120，
第27⻚（共35⻚）
三个孩⼦座位正好在过道同⼀侧包含的基本事件个数m＝
＝12，
则三个孩⼦座位正好在过道同⼀侧的概率为P＝＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
30．已知正⽅体的棱⻓为1，若从该正⽅体的8 个顶点中任取4 个，则这4 个点可以构成体积为
的四⾯体
的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤排列组合与古典概型概率计算．
【解答】解：设正⽅体为ABCD﹣A1B1C1D1，
从该正⽅体的8 个顶点中任取4 个，基本事件总数n＝
，
则满⾜体积为
的四个顶点只有“A，C，B1，D1”和“B，D，A1，C1”两种情况满⾜，
故所求概率
．
故选：A．
【点评】本题考查排列组合与古典概型概率计算等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
31．花戏楼位于安徽省亳州市，始建于清顺治年间，因其精湛的雕刻、绚丽的彩绘⽽驰名中外，被誉为中
原宝藏．花戏楼有“三绝”：铸铁旗杆、⼭⻔砖雕、戏楼⽊雕．⼀对铸铁旗杆⽴于⼭⻔两侧，造型独特，
⾼⼤雄伟，每根旗杆⾃上⽽下共分五节，每节分铸⼀条⼋卦蟠⻰图案．现从这10 条⼋卦蟠⻰中任选取3
条，它们不取⾃同⼀旗杆且⾼度均不同的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出任取3 条的情况数，再求出不取⾃同⼀旗杆且⾼度均不同的情况数，进⽽根据概率公式
可得答案．
【解答】解：“从10 条⼋卦蟠⻰中任选取3 条”共有
种取法，
所求事件是“3 条⼋卦蟠⻰不取⾃同⼀旗杆且⾼度均不同”有
种取法，
∴现从这10 条⼋卦蟠⻰中任选取3 条，它们不取⾃同⼀旗杆且⾼度均不同的概率为P＝
．
故选：D．
第28⻚（共35⻚）
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
32．将编号为1，2，3，4 的4 个⼩球随机放⼊编号为1，2，3，4 的4 个凹槽中，每个凹槽放⼀个⼩球，则
⾄少有2 个凹槽与其放⼊⼩球编号相同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤排列组合，求出将编号为1，2，3，4 的4 个⼩球随机放⼊编号为1，2，3，4 的4 个凹槽中
的放法数，再求⾄少有2 个凹槽与其放⼊⼩球编号相同的放法数，求概率值即可．
【解答】解：将编号为1，2，3，4 的4 个⼩球随机放⼊编号为1，2，3，4 的4 个凹槽中，共有
种
放法，
恰有2 个凹槽与其放⼊⼩球编号相同的有
种放法，4 个凹槽与其放⼊⼩球编号相同的有1 种放法，
所以⾄少有2 个凹槽与其放⼊⼩球编号相同的概率是
．
故选：B．
【点评】本题考查了排列组合与古典概型的概率计算问题，是基础题．
33．已知盘⼦A 中有3 颗糖，盘⼦B 中有4 颗糖，⼩琨每次随机从其中⼀个盘⼦中选择吃⼀颗糖，直到7
颗糖全部吃完为⽌，则盘⼦A 中的糖先吃完的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】记吃第n 颗糖时盘⼦A 中的糖先吃完为事件An，利⽤独⽴事件的概率乘法公式分别求出P（A3），
P（A4），P（A5），P（A6），再结合互斥事件的概率公式求解．
【解答】解：记吃第n 颗糖时盘⼦A 中的糖先吃完为事件An，
由独⽴事件的概率乘法公式可得，
，
，
，
，
故由互斥事件的概率公式可知，盘⼦
A
中的糖先吃完的概率
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了独⽴事件和互斥事件的概率公式，属于基础题．
34．甲、⼄等5 名学⽣参加学校运动会志愿者服务，每个⼈从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选
择⼀个岗位，每个岗位⾄少有⼀名志愿者，则甲、⼄两⼈恰选择同⼀岗位的概率为（
）
第29⻚（共35⻚）
A．
B．
C．
D．
【分析】基本事件总数n＝（
+
）
＝150，甲、⼄两⼈恰选择同⼀岗位包含的基本事
件个数为m＝
+
＝36，由此能求出甲、⼄两⼈恰选择同⼀岗位的概率．
【解答】解：甲、⼄等5 名学⽣参加学校运动会志愿者服务，
每个⼈从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择⼀个岗位，每个岗位⾄少有⼀名志愿者，
基本事件总数n＝（
+
）
＝150，
甲、⼄两⼈恰选择同⼀岗位包含的基本事件个数为：
m＝
+
＝36，
则甲、⼄两⼈恰选择同⼀岗位的概率为P＝＝
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
35．以正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的8 个顶点中的某4 个为顶点可组成⼀个三棱锥，在所有这些三棱锥中任
取⼀个，则该三棱锥各个⾯都不为直⻆三⻆形的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】找出各⾯都不是直⻆三⻆形的三棱锥，并求出全部三棱锥的个数，结合古典概型的概率计算公
式，能求出该三棱锥各个⾯都不为直⻆三⻆形的概率．
【解答】解：如图，三棱锥C1﹣A1BD 各⾯都是等边三⻆形，这样的三棱锥还有三棱锥A﹣CB1D1，共2
个，
从正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的8 个顶点中的某4 个为顶点可组成⼀个三棱锥，
从8 个项点中任取三点不共线，若取4 个点，则这四点共⾯，
第30⻚（共35⻚）
则四点所在的⾯是正⽅体的侧⾯或底⾯，或者是正⽅体的对⻆⾯，如⾯AA1C1C，对⻆⾯有6 个，
∴从正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1的8 个顶点中的某4 个为顶点可组成⼀个三棱锥，
不同的三棱锥的个数为
＝58 个，
∴在所有这些三棱锥中任取⼀个，则该三棱锥各个⾯都不为直⻆三⻆形的概率为P＝
＝
．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型、正⽅体结构特征等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
36．某校⾼⼆年级学⽣中有60%的学⽣喜欢打篮球，40%的学⽣喜欢打排球，80%的学⽣喜欢打篮球或排球．
在该校⾼⼆年级的学⽣中随机调查⼀名学⽣，若该学⽣喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】设该班级有a 名学⽣，则有0.6a 名学⽣喜欢打篮球，0.4a 名学⽣喜欢打排球，0.8a 名学⽣喜欢
打篮球或排球，则既喜欢打排球⼜喜欢打篮球的学⽣有0.6a+0.4a﹣0.8a＝0.2a，在该校⾼⼆年级的学⽣
中随机调查⼀名学⽣，利⽤古典概型能求出该学⽣喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率．
【解答】解：校⾼⼆年级学⽣中有60%的学⽣喜欢打篮球，40%的学⽣喜欢打排球，80%的学⽣喜欢打
篮球或排球，
设该班级有a 名学⽣，则有0.6a 名学⽣喜欢打篮球，0.4a 名学⽣喜欢打排球，0.8a 名学⽣喜欢打篮球或
排球，
则既喜欢打排球⼜喜欢打篮球的学⽣有0.6a+0.4a﹣0.8a＝0.2a，
在该校⾼⼆年级的学⽣中随机调查⼀名学⽣，
若该学⽣喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为P＝
＝．
故选：A．
【点评】本题考查古典概型的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
37．⽻⽑球⽐赛⽔平相当的甲、⼄、丙三⼈举⾏⽻⽑球⽐赛．规则为：每局两⼈⽐赛，另⼀⼈担任裁判．每
局⽐赛结束时，负⽅在下⼀局⽐赛中担任裁判．如果第1 局甲担任裁判，则第3 局甲还担任裁判的概率
为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】分第1 局⼄胜丙败和第2 局丙胜⼄败两种情况，结合独⽴事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：由题意知，第1 局甲担任裁判，则甲不参加⽐赛，⼄和丙⽐赛，
因为甲、⼄、丙三⼈⽻⽑球⽐赛⽔平相当，所以各局⽐赛中，参赛的双⽅获胜概率均为
，
第31⻚（共35⻚）
第1 局甲担任裁判，⼄和丙⽐赛，⽐赛结果分为以下两种情况：
（1）第1 局⼄胜丙败，概率为
，
则第2 局为⼄和甲⽐赛，若第3 局甲担任裁判，则第2 局⼄胜甲败，概率为
，
（2）第2 局丙胜⼄败，概率为
，
则第2 局为丙和甲⽐赛，若第3 局甲担任裁判，则第2 局丙胜甲败，概率为
，
所以第3 局甲还担任裁判的概率为
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，属于中档题．
38．将甲、⼄、丙等7 名志愿者分到A，B，C 三个地区，每个地区⾄少分配2 ⼈，则甲、⼄、丙分到同⼀
个地区的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解．
【解答】解：将7 名志愿者分到A，B，C 三个地区，每个地区⾄少分配2 ⼈，分配⽅法共有
种，
其中甲、⼄、丙分到同⼀个地区的分配⽅法共有
种，
由古典概型的概率公式可知，甲、⼄、丙分到同⼀个地区的概率为
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
39．第19 届亚运会在杭州举⾏，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5 名⼤学⽣将前往3
个场馆A，B，C 开展志愿服务⼯作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅
有2 名志愿者的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第32⻚（共35⻚）
【分析】⾸先得甲去场馆B 或C 的总数为
，进⼀步由组合数排列数即可得所求概率．
【解答】解：不考虑甲是否去场馆A，
所有志愿者分配⽅案总数为
，
甲去场馆A，B，C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为
，
甲不去场馆A，分两种情况讨论，
情形⼀，甲去场馆B，场馆B 有两名志愿者共有
种；
情形⼆，甲去场馆C，场馆B 场馆C 均有两⼈共有
种，
场馆B 场馆A 均有两⼈共有
种，所以甲不去场馆A 时，
场馆B 仅有2 名志愿者的概率为
．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
40．已知事件A，B 互斥，它们都不发⽣的概率为
，且P（A）＝2P（B），则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据互斥、对⽴事件概率的运算性质可得
，进⽽可得
，即可得解．
【解答】解：因为事件A，B 互斥，它们都不发⽣的概率为
，
所以
．
将P（A）＝2P（B）代⼊上式可得
，
所以
，
．
故选：B．
【点评】本题主要考查互斥、对⽴事件概率的运算性质，属于基础题．
41．设A，B 为随机事件，则P（A）＝P（B）的充要条件是（
）
A．P（A∪B）＝P（A）+P（B）
B．P（AB）＝P（A）P（B）
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解．
第33⻚（共35⻚）
【解答】解：P（A）＝P（
）+P（AB），P（B）＝P（
）+P（AB），
故P（A）＝P（B）的充要条件是P（
）＝P（B ）．
故选：D．
【点评】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
⼆．多选题（共6 ⼩题）
（多选）42．抛掷两颗骰⼦各⼀次，记第⼀颗骰⼦掷出的点数与第⼆颗骰⼦掷出的点数的差为X，则“X＞3”
表示的试验的结果有（
）
A．第⼀颗为5 点，第⼆颗为1 点
B．第⼀颗⼤于4 点，第⼆颗也⼤于4 点
C．第⼀颗为6 点，第⼆颗为1 点
D．第⼀颗为6 点，第⼆颗为2 点
【分析】根据减法运算的结果进⾏判断即可．
【解答】解：因为5﹣1＝4＞3，6﹣1＝5＞3，6﹣2＝4＞3，
所以选项ACD 符合题意，
对于选项B：第⼀颗⼤于4 点，可以是5 点，6 点，
第⼆颗也⼤于4 点，可以是5 点，6 点，
因为5﹣5＝0＜3，5﹣6＝﹣1＜3，6﹣5＝1＜3，6﹣6＝0＜3，
所以本选项不符合题意．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了随机事件的定义，属于基础题．
（多选）43．甲、⼄两⼈下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，共下三局．⽤ξ表示甲的得分，
则{ξ＝3}表示的可能结果为（
）
A．甲赢三局
B．甲赢⼀局输两局
C．甲、⼄平局三次
D．甲赢⼀局
【分析】列举出{ξ＝3}的所有可能的情况，由此得解．
【解答】解：甲、⼄两⼈下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，
所以{ξ＝3}有两种情况，即甲赢⼀局输两局或甲、⼄平局三次．
故选：BC．
【点评】本题考查随机事件的定义，属基础题．
（多选）44．下列说法正确的是（
）
第34⻚（共35⻚）
A．⼀名篮球运动员，号称投篮“百发百中”，则他投篮⼀次，命中为必然事件
B．随机事件发⽣的可能性越⼤，它发⽣的概率越接近1
C．投掷两枚均匀的骰⼦，观察出现的点数和，点数和为2 是⼀个样本点
D．试验“连续投掷⼀枚均匀的骰⼦直到出现3 点停⽌，观察投掷的次数”的样本空间为{1，2，3，4，5，
6}
【分析】根据概率、样本点、样本空间、必然事件的定义，即可求解．
【解答】解：篮球运动员，号称投篮“百发百中”，说明投篮命中概率很⾼，也存在投不中的情况，
则他投篮⼀次，命中为随机事件，故A 错误；
随机事件发⽣的可能性越⼤，它发⽣的概率越接近1，故B 正确；
投掷两枚均匀的骰⼦，当抛掷点数为（1，1）时，点数和为2 是⼀个样本点，故C 正确；
连续投掷⼀枚均匀的骰⼦直到出现3 点停⽌，观察投掷的次数，该次数可能超过6 次，故D 错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查概率、样本点、样本空间、必然事件的定义，属于基础题．
（多选）45．下列情境适合⽤古典概型来描述的是（
）
A．向⼀条线段内随机地投射⼀个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个⼈站⼀排，观察甲⼄两⼈相邻的情况
C．从⼀副扑克牌（去掉⼤、⼩王共52 张）中随机选取1 张，这张牌是红⾊牌
D．某同学随机地向靶⼼进⾏射击，这⼀试验的结果只有有限个：命中10 环，命中9 环…命中1 环和脱
靶
【分析】根据题意，由古典概型的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，线段内有⽆数个点，适合⽤⼏何概型来描述，不符合题意；
对于B，符合古典概型的特点，适合⽤古典概型来描述，符合题意；
对于C，符合古典概型的特点，适合⽤古典概型来描述，符合题意；
对于D，试验的结果不是等可能的，不适合⽤古典概型来描述，不符合题意．
故选：BC．
【点评】本题考查古典概型的判断，注意古典概型的定义，属于基础题．
（多选）46．同时抛掷两枚均匀的骰⼦，记第⼀枚骰⼦掷出的点数与第⼆枚骰⼦掷出的点数之差为ξ，则{ξ
＞3}表示的随机事件不可能是（
）
A．第⼀枚掷出5 点，第⼆枚掷出2 点
第35⻚（共35⻚）
B．第⼀枚掷出3 点，第⼆枚掷出3 点
C．第⼀枚掷出1 点，第⼆枚掷出2 点
D．第⼀枚掷出6 点，第⼆枚掷出2 点
【分析】根据随机事件的相关概念逐⼀判断各个选项即可．
【解答】解：因为记第⼀枚骰⼦掷出的点数与第⼆枚骰⼦掷出的点数之差为ξ，
所以第⼀枚掷出5 点，第⼆枚掷出2 点时，ξ＝5﹣2＝3，
第⼀枚掷出3 点，第⼆枚掷出3 点时，ξ＝3﹣3＝0，
第⼀枚掷出1 点，第⼆枚掷出2 点时，ξ＝1﹣2＝﹣1，
第⼀枚掷出6 点，第⼆枚掷出2 点时，ξ＝6﹣2＝4，
所以{ξ＞3}表示的随机事件不可能是A，B，C，可能是D．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了随机事件的定义，属于基础题．
（多选）47．在25 件同类产品中，有2 件次品，从中任取5 件产品，其中是随机事件的是（
）
A．5 件都是正品
B．⾄少有1 件次品
C．有3 件次品
D．⾄少有3 件正品
【分析】根据题意，由随机事件的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，“5 件都是正品”可能发⽣，也可能不发⽣，该事件是随机事件；
对于B，“⾄少有1 件次品”可能发⽣，也可能不发⽣，该事件是随机事件；
对于C，25 件同类产品中，有2 件次品，“有3 件次品”不会发⽣，是不可能事件；
对于D，25 件同类产品中，有2 件次品，从中任取5 件产品，⼀定“⾄少有3 件正品”，故“⾄少有3 件正
品”是必然事件．
故选：AB．
【点评】本题考查随机事件的定义，注意事件的分类，属于基础题．
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第29⻚（共77⻚）
统计、概率与变量分布篇—题型11～题型12 答案
⼀．选择题（共25 ⼩题）
1．某校举办运动会，其中有⼀项为环形投球⽐赛，如图，学⽣在环形投掷区E 内进⾏投球．规定球᯿⼼投
掷到区域A 内得3 分，区域B 内得2 分，区域C 内得1 分，投掷到其他区域不得分．已知甲选⼿投掷⼀
次得3 分的概率为0.1，得2 分的概率为b，不得分的概率为0.05，若甲选⼿连续投掷3 次，得分⼤于7
分的概率为0.002，且每次投掷相互独⽴，则甲选⼿投掷⼀次得1 分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】要使甲选⼿连续投掷3 次得分⼤于7 分，则有两种情况：3 次均得3 分和3 次中有2 次得3 分，
1 次得2 分，利⽤独⽴事件的概率乘法公式可求出b 的值，进⽽求出甲选⼿投掷⼀次得1 分的概率．
【解答】解：要使甲选⼿连续投掷3 次得分⼤于7 分，则有两种情况：
①3 次均得3 分，概率为0.1×0.1×0.1；
②3 次中有2 次得3 分，1 次得2 分，概率为
，
所以
，
解得
，
则该选⼿投掷⼀次得1 分的概率为
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，属于基础题．
2．盒中有4 个⼤⼩相同的⼩球，其中2 个红球、2 个⽩球，第⼀次在盒中随机摸出2 个⼩球，记下颜⾊后
放回，第⼆次在盒中也随机摸出2 个⼩球，记下颜⾊后放回．设事件A＝“两次均未摸出红球”，事件B
＝“两次均未摸出⽩球”，事件C＝“第⼀次摸出的两个球中有红球”，事件D＝“第⼆次摸出的两个球中有
⽩球”，则（
）
第30⻚（共77⻚）
A．A 与B 相互独⽴
B．A 与C 相互独⽴
C．B 与C 相互独⽴
D．C 与D 相互独⽴
【分析】根据相互独⽴事件的定义依次分析即可．
【解答】解：依题意得
，
，
P（AB）＝0≠P（A）P（B），∴事件A 与B 不是相互独⽴事件，故A 项错误；
，P（AC）＝0≠P（A）P（C），∴事件A 与C 不是相互独⽴事件，故B 项错误；
，∴事件B 与C 不是相互独⽴事件，故C 项错误；
，
，
∴事件C 与D 是相互独⽴事件，故D 项正确．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、平均数、众数、百分位数等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础
题．
3．育红学校有A，B 两家餐厅，李明同学第1 天午餐时随机地选择⼀家餐厅⽤餐．如果第1 天去A 餐厅，
那么第2 天去A 餐厅的概率为0.8；如果第1 天去B 餐厅，那么第2 天去A 餐厅的概率为0.6．则李明同
学第2 天去A 餐厅⽤餐的概率为（
）
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
【分析】设“第1 天去A 餐厅⽤餐”为事件M，“第2 天去A 餐厅⽤餐”为事件N，根据题意可得
，P（N|M），
，利⽤全概率公式运算求解．
【解答】解：设“第1 天去A 餐厅⽤餐”为事件M，“第2 天去A 餐厅⽤餐”为事件N，
由题意得
，P（N|M）＝0.8，
，
由全概率公式得
，
所以李明同学第2 天去A 餐厅⽤餐的概率为0.7．
故选：C．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
第31⻚（共77⻚）
4．甲、⼄2 ⼈破译1 个密码，若他们能独⽴译出密码的概率分别为
和
，则他们⾄少有1 ⼈译出密码的
概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤对⽴事件的性质以及相互独⽴事件概率乘法公式求解．
【解答】解：由题意得，密码不能破译的概率为（1﹣）（1﹣）＝，
则他们⾄少有1 ⼈译出密码的概率是1﹣＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独⽴事件概率乘法公式的灵活
运⽤．
5．⾼尔顿（钉）板是在⼀块竖起的⽊板上钉上⼀排排互相平⾏、⽔平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每⼀排
铁钉数⽬都⽐上⼀排多⼀个，⼀排中各个铁钉恰好对准上⾯⼀排两相邻铁钉的正中央．从⼊⼝处放⼊⼀
个直径略⼩于两颗铁钉间隔的⼩球，当⼩球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下⼀排铁钉，它将以相
等的可能性向左或向右落下，接着⼩球再通过两铁钉的间隙，⼜碰到下⼀排铁钉如此继续下去，在最底
层的5 个出⼝处各放置⼀个容器接住⼩球．理论上，⼩球落⼊2 号容器的概率是多少（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意可知，若要⼩球落⼊2 号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，⼀层向右，再利⽤
独⽴事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：设事件A 表示“⼩球落⼊2 号容器”，
若要⼩球落⼊2 号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，⼀层向右，
所以P（A）＝
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，属于基础题．
6．随着城市经济的发展，早⾼峰问题越发严᯿，上班族需要选择合理的出⾏⽅式．某公司员⼯⼩明的上班
第32⻚（共77⻚）
出⾏⽅式有三种，某天早上他选择⾃驾，坐公交⻋，骑共享单⻋的概率分别为
，
，，⽽他⾃驾，
坐公交⻋，骑共享单⻋迟到的概率分别为
，，，结果这⼀天他迟到了，在此条件下，他⾃驾去上
班的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】设事件A 表示“⾃驾”，事件B 表示“坐公交⻋”，事件C 表示“骑共享单⻋”，事件D“表示迟到”，
利⽤全概率公式以及条件概率公式即可得到答案．
【解答】解：设事件A 表示“⾃驾”，事件B 表示“坐公交⻋”，事件C 表示“骑共享单⻋”，事件D“表示
迟到”，
由题意可知：
，
则
，
，
若⼩明迟到了，则他⾃驾去上班的概率是
．
故选：B．
【点评】本题主要考查全概率公式以及条件概率公式，属于基础题．
7．如图所示，已知⼀质点在外⼒的作⽤下，从原点O 出发，每次向左移动的概率为
，向右移动的概率为
，若该质点每次移动⼀个单位⻓度，记经过5 次移动后，该质点位于X 的位置，则P（X＞0）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合⼆项分布的概率公式，即可求解．
【
解
答
】
解
：
．
故选：D．
【点评】本题考查互斥事件的概率、⼆项分布，属于基础题．
8．甲、⼄两⼈独⽴地对同⼀⽬标各射击⼀次，命中率分别为
和
，在⽬标被击中的情况下，甲、⼄同时
第33⻚（共77⻚）
击中⽬标的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，记甲击中⽬标为事件A，⼄击中⽬标事件B，⽬标被击中为事件C，由相互独⽴事
件的概率公式，计算可得⽬标被击中的概率，进⽽计算在⽬标被击中的情况下，甲、⼄同时击中⽬标的
概率，由此能求出结果．
【解答】解：根据题意，记甲击中⽬标为事件A，⼄击中⽬标为事件B，⽬标被击中为事件C，
则P（C）＝1﹣P（A）P（B）＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝，
∴在⽬标被击中的情况下，甲、⼄同时击中⽬标的概率为：
P＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查相互独⽴事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
9．甲、⼄两名乒乓球运动员进⾏⼀场⽐赛，采⽤7 局4 胜制（先胜4 局者胜，⽐赛结束），已知每局⽐赛
甲获胜的概率均为
，则甲以4 ⽐2 获胜的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意只需前5 场甲赢3 场，再利⽤⼆项分布知识可解．
【解答】解：根据题意，甲运动员前5 场内需要赢3 场，最后⼀场甲胜，
则甲以4 ⽐2 获胜的概率为
•
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查⼆项分布相关知识，属于基础题．
10．甲、⼄两个⽓象台同时做天⽓预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8 与0.7，且预报准确与否相互
独⽴，那么在⼀次预报中这两个⽓象台的预报都准确的概率（
）
A．0.06
B．0.24
C．0.56
D．0.94
【分析】利⽤相互独⽴事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：甲、⼄两个⽓象台同时做天⽓预报，
它们预报准确的概率分别为0.8 与0.7，且预报准确与否相互独⽴，
那么在⼀次预报中这两个⽓象台的预报都准确的概率为：
第34⻚（共77⻚）
P＝0.8×0.7＝0.56．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独⽴事件概率乘法公式等基础知识，是基础题．
11．某⽓象台天⽓预报的准确率为80%，则3 次预报中恰有1 次预报准确的概率是（
）
A．9.6%
B．10.4%
C．80%
D．99.2%
【分析】利⽤n 次独⽴᯿复试验中事件A 恰好发⽣⼀次的概率计算公式直接求解．
【解答】解：某⽓象台天⽓预报的准确率为80%，
则3 次预报中恰有1 次预报准确的概率是：
P＝
＝0.096＝9.6%．
故选：A．
【点评】本题考查n 次独⽴᯿复试验中事件A 恰好发⽣⼀次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解
能⼒，是基础题．
12．某药⼚⽤甲、⼄、丙三地收购⽽来的药材加⼯⽣产出⼀种中成药，这三个地区的供货ᰁ分别占20%，
30%，50%，且⽤这三地的药材能⽣产出优等品的概率分别为0.8，0.6，0.7，现从该⼚产品中任意取出⼀
件产品，则此产品为优等品的概率为（
）
A．0.18
B．0.21
C．0.38
D．0.69
【分析】利⽤全概率公式求解．
【解答】解：某药⼚⽤甲、⼄、丙三地收购⽽来的药材加⼯⽣产出⼀种中成药，这三个地区的供货ᰁ分
别占20%，30%，50%，
⽤这三地的药材能⽣产出优等品的概率分别为0.8，0.6，0.7，
现从该⼚产品中任意取出⼀件产品，则此产品为优等品的概率为：
P＝20%×0.8+30%×0.6+50%×0.7＝0.69．
故选：D．
【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
13．在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独⽴．发送0 时，收到1 的概率为α（0＜α＜1），收到0 的概
率为1﹣α；发送1 时，收到0 的概率为β（0＜β＜1），收到1 的概率为1﹣β．考虑两种传输⽅案：单次
传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输是指每个信号᯿复发送3 次．收到的信
号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数
多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（
）
第35⻚（共77⻚）
A．采⽤单次传输⽅案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采⽤三次传输⽅案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为β（1﹣β）2
C．采⽤三次传输⽅案，若发送1，则译码为1 的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5 时，若发送0，则采⽤三次传输⽅案译码为0 的概率⼤于采⽤单次传输⽅案译码为0 的
概率
【分析】根据独⽴事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：对于A，由题意可知：信号的传输相互独⽴，输⼊0 收到0 的概率为（1﹣α），输⼊1 收到
1 的概率为（1﹣β），
所以采⽤单次传输⽅案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1 的概率为（1﹣α）（1﹣β）2，故选项
A 正确；
对于B，由题意可知：信号的传输相互独⽴，输⼊1 收到0 的概率为β，输⼊1 收到1 的概率为（1﹣β），
所以采⽤三次传输⽅案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为β（1﹣β）2，故选项B 正确；
对于C，采⽤三次传输⽅案，若发送1，译码为1 的情况分别为“1，1，0”、“1，0，1”、“0，1，1”、“1，1，1”，
因为输⼊1 收到0 的概率为β，输⼊1 收到1 的概率为（1﹣β），
所以采⽤三次传输⽅案，若发送1，则译码为1 的概率为3β（1﹣β）2+（1﹣β）3，故选项C 错误；
对于D，若发送0，采⽤三次传输⽅案译码为0 的情况有“0，0，0”、“0，0，1”、“0，1，0”、“1，0，0”，
所以其概率为（1﹣α）3+3α（1﹣α）2；
若发送0，采⽤单次传输⽅案译码为0 的概率为（1﹣α），
由（1﹣α）3+3α（1﹣α）2﹣（1﹣α）＝α（1﹣α）（1﹣2α），且0＜α＜0.5，
则α（1﹣α）（1﹣2α）＞0，
所以1﹣α）3+3α（1﹣α）2＞（1﹣α），故选项D 正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，属于中档题．
14．建平中学⾼⼆年级进⾏篮球⽐赛，甲、⼄、丙、丁四个班级进⼊半决赛．规定⾸先甲与⼄⽐、丙与丁
⽐，这两场⽐赛的胜利者再争夺冠军．通过⼩组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：
甲
⼄
丙
丁
甲获胜概率
0.3
0.3
0.7
⼄获胜概率
0.7
0.6
0.3
丙获胜概率
0.7
0.4
0.4
第36⻚（共77⻚）
丁获胜概率
0.3
0.7
0.6
则甲夺冠的概率为（
）
A．0.15
B．0.162
C．0.3
D．0.25
【分析】利⽤相互独⽴事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．
【解答】解：由题意得甲夺冠的概率为：
P＝0.3×（0.4×0.3+0.6×0.7）＝0.162．
故选：B．
【点评】本题考查相互独⽴事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，
是基础题．
15．甲、⼄两⼈投篮命中率分别为
和
，并且他们投篮互不影响．现每⼈分别投篮2 次，则甲与⼄进球
数相同的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】结合相互独⽴事件的概率乘法公式，以及互斥事件概率和公式，即可求解．
【解答】解：甲与⼄两个进球数都为0，
则概率为
，
甲与⼄两个进球数都为1，
则概率为
，
甲与⼄两个进球数都为2，
则概率为
，
故甲与⼄进球数相同的概率为
．
故选：C．
【点评】本题主要考查相互独⽴事件的概率乘法公式，以及互斥事件概率和公式，属于基础题．
16．某位同学家中常备三种感冒药，分别为⾦花清感颗粒3 盒、莲花清瘟胶囊2 盒、清开灵颗粒5 盒．若
这三类药物能治愈感冒的概率分别为
，他感冒时，随机从这⼏盒药物⾥选择⼀盒服⽤，则
感冒被治愈的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据全概率公式计算可得．
第37⻚（共77⻚）
【解答】解：记服⽤⾦花清感颗粒为事件A，服⽤莲花清瘟胶囊为事件B，服⽤清开灵颗粒为事件C，
感冒被治愈为事件D，
依
题
意
可
得
，
所以P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝
．
故选：C．
【点评】本题考查了全概率公式的应⽤，属于中档题．
17．在如图所示的电路中，5 个盒⼦表示保险匣，盒⼦中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结
论正确的是（
）
A．A，B 两个盒⼦并联后FG 段畅通的概率为
B．D，E 两个盒⼦串联后GH 段畅通的概率为
C．C，D，E 三个盒⼦混联后GK 段畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率⼤于整个电路不通的概率
【分析】利⽤相互独⽴事件概率乘法公式能求出结果．
【解答】解：在如图所示的电路中，5 个盒⼦表示保险匣，盒⼦中所示数值表示通电时保险丝熔断的概
率，
对于A，A，B 两个盒⼦并联后FG 段畅通的概率为1﹣
＝，故A 错误．
对于B，D，E 两个盒⼦串联后GH 段畅通的概率为
，故B 错误．
对于C，因为D，E 两个盒⼦串联后GH 畅通的概率为
，C 盒⼦熔断的概率为
，
第38⻚（共77⻚）
所以C，D，E 三个盒⼦混联后GK 段畅通的概率为
，故C 错误．
对于D，因为A，B 两个盒⼦并联后畅通的概率为
，
C，D，E 三个盒⼦混联后畅通的概率为
，
所以整个电路畅通的概率为
，不通的概率为
，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查相互独⽴事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
18．2023 年苏迪曼杯世界⽻⽑球混合团体锦标赛半决赛中，中国队与⽇本队鏖战7 ⼩时，双⽅打满五局，
最终中国队逆转战胜了⽇本队进⼊决赛．这项⽐赛是五局三胜制，已知中国队每局获胜的概率为
，则
中国队打满5 局且最终获胜的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤独⽴事件同时发⽣的概率乘法公式即可解决．
【解答】解：中国队打满5 局且最终获胜，则前四局中中国队恰好赢了2 场且第五局中国队获胜．
因为每场⽐赛相互独⽴，所以中国队打满5 局且最终获胜的概率为
．
故选：C．
【点评】本题主要考查相互独⽴事件的概率乘法公式，属于基础题．
19．袋中装有6 个完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取⼀个
球．事件A1＝“第⼀次取出的球的数字为1”，事件A2＝“第⼀次取出的球的数字为2”，事件A3＝“两次取
出的球的数字之和为8”，事件A4＝“两次取出的球的数字之和为7”，则（
）
A．A1与A3相互独⽴
B．A1与A4相互独⽴
C．A2与A3相互独⽴
D．A3与A4相互独⽴
【分析】结合两事件相互独⽴判断⽅法，简单事件概率计算，即可求解．
【解答】解：若第⼀次取出的数字为x，第⼆次取出的数字为y，试验结果记作（x，y），显然试验样本
空间共有6×6＝36 个样本点，事件A1，A2，A3，A4样本点的个数分别为6，6，5，6．
所以
，
因为A1，A3是互斥事件，所以P（A1∩A3）＝0≠P（A1）×P（A3），所以选项A 错误；
因为A1∩A4只有⼀个样本点，所以
，所以选项B 正确；
第39⻚（共77⻚）
因为A2∩A3只有⼀个样本点，所以
，所以选项C 错误；
因为A3，A4是互斥事件，所以P（A3∩A4）＝0≠P（A3）×P（A4），所以选项D 错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查两事件相互独⽴判断⽅法，简单事件概率计算，属于基础题．
20．甲⼄两⼈独⽴的解答同⼀道题，甲⼄解答正确的概率分别是
，
，那么只有⼀⼈解答对的
概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤相互独⽴事件概率乘法公式能求出只有⼀⼈解答对的概率．
【解答】解：甲⼄两⼈独⽴的解答同⼀道题，甲⼄解答正确的概率分别是
，
，
则只有⼀⼈解答对的概率为：
＝
＝．
故选：B．
【点评】本题考查相互独⽴事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
21．甲⼄两⼈参加⾯试答辩，假设甲⼄⾯试互不影响，且他们⾯试通过的概率分别为
，
，则两⼈中⾄
少有⼀⼈通过的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤相互独⽴事件概率乘法公式、对⽴事件概率计算公式求解．
【解答】解：甲⼄两⼈参加⾯试答辩，假设甲⼄⾯试互不影响，且他们⾯试通过的概率分别为
，，
则两⼈中⾄少有⼀⼈通过的概率为：
P＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．
故选：A．
【点评】本题考查相互独⽴事件概率乘法公式、对⽴事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能⼒，
是基础题．
22．⼀名射击爱好者击中⽬标的概率是不能击中⽬标概率的3 倍，设X 表示其击中⽬标的次数，若他射击
⼀次，则P（X＝1）的值是（
）
A．0.33
B．
C．0.75
D．
第40⻚（共77⻚）
【分析】利⽤n 次独⽴᯿复试验中事件A 恰好发⽣1 次概率计算公式求解．
【解答】解：⼀名射击爱好者击中⽬标的概率是不能击中⽬标概率的3 倍，
则他每次击中⽬标概率为P＝，
设X 表示其击中⽬标的次数，他射击⼀次，
则P（X＝1）＝＝0.75．
故选：C．
【点评】本题考查n 次独⽴᯿复试验中事件A 恰好发⽣1 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能
⼒，是基础题．
23．乒乓球是我国的国球，乒乓球运动在我国⼗分普及，深受国⼈喜爱，在⺠间经常开展各种乒乓球⽐赛．现
有甲⼄⼆⼈争夺某次乒乓球⽐赛的冠军，根据以往⽐赛记录统计的数据，可以认为在每局⽐赛中甲胜⼄
的概率为
，若⽐赛为“五局三胜”制，各局⽐赛结果相互独⽴且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，
⽐赛进⾏了四局的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】设甲获得冠军为事件A，⽐赛进⾏了四局为事件B，分别求出P（AB），P（A），可得结果，
【解答】解：设甲获得冠军为事件A，⽐赛进⾏了四局为事件B，则
P（AB）＝3×（）2×
×
＝
，
P（A）＝（）3+3×（）2×
×
+6×（）2×（）2×
＝
，
所以P（B|A）＝
＝
．
故选：D．
【点评】本题主要考查条件概率，属于中档题．
24．已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为
，，，且这3 个队是
否完成该任务相互独⽴，则恰有2 个队完成该任务的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤相互独⽴事件概率乘法公式能求出恰有2 个队完成该任务的概率．
【解答】解：在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为
，，，且这3
个队是否完成该任务相互独⽴，
第41⻚（共77⻚）
则恰有2 个队完成该任务的概率为：
P＝×
×（1﹣）+（1﹣）×
+
×（1﹣）×
＝
．
故选：B．
【点评】本题考查相互独⽴事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
25．某地⼀农业科技实验站，对⼀批新⽔稻种⼦进⾏试验，已知这批⽔稻种⼦的发芽率为0.8，出芽后的幼
苗成活率为0.9，在这批⽔稻种⼦中，随机地抽取⼀粒，则这粒⽔稻种⼦能成⻓为幼苗的概率为（
）
A．0.02
B．0.08
C．0.72
D．0.18
【分析】设事件A 表示“⽔稻发芽”，事件B 表示“出芽后的幼苗成活”，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.9，
在这批⽔稻种⼦中，随机地抽取⼀粒，利⽤相互独⽴事件概率乘法公式能求出这粒⽔稻种⼦能成⻓为幼
苗的概率．
【解答】解：设事件A 表示“⽔稻发芽”，事件B 表示“出芽后的幼苗成活”，
则P（A）＝0.8，P（B）＝0.9，
在这批⽔稻种⼦中，随机地抽取⼀粒，
则这粒⽔稻种⼦能成⻓为幼苗的概率为：
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独⽴事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，考查
函数与⽅程思想，是基础题．
⼆．解答题（共35 ⼩题）
26．某校组织学⽣进⾏跳绳⽐赛，以每分钟跳绳个数作为⽐赛成绩（单位：个）．为了解参赛学⽣的⽐赛成
绩，从参赛学⽣中随机抽取50 名学⽣的⽐赛成绩作为样本，整理数据并按⽐赛成绩，分成[60，80），[80，
100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180]这6 组，得到的频率分布直⽅图如图所示．
（1）估计该校学⽣跳绳⽐赛成绩的中位数；
（2）现采⽤分层抽样的⽅法从跳绳⽐赛成绩在[140，160）和[160，180]内的学⽣中抽取5 ⼈，再从这5
⼈中随机抽取2 ⼈，求这2 ⼈的⽐赛成绩不在同⼀组的概率．
第42⻚（共77⻚）
【分析】（1）利⽤频率分布直⽅图能求出该校学⽣跳绳⽐赛成绩的中位数．
（2）由频率分布直⽅图可知该校学⽣跳绳⽐赛成绩在[140，160）和[160，180]内的频率分别为0.16 和0.04，
则被抽取5 ⼈中，⽐赛成绩在[140，160）内的学⽣有4 ⼈，分别记为a，b，c，d，⽐赛成绩在[160，180]
内有1 ⼈，记为e，从这5 ⼈中随机抽取2 ⼈，利⽤列举法能求出这2 ⼈的⽐赛成绩不在同⼀组的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直⽅图得：
[60，100）的频率为：（0.004+0.012）×20＝0.32＜0.5，
[60，120）的频率为：0.32+0.016×20＝0.64＞0.5，
∴该校学⽣跳绳⽐赛成绩的中位数在[100，120）内，
设该校学⽣跳绳⽐赛成绩的中位数为m，则（m﹣100）×0.016+0.32＝0.5，
解得m＝111.25，即该校学⽣跳绳⽐赛成绩的中位数为111.25．
（2）由频率分布直⽅图可知该校学⽣跳绳⽐赛成绩在[140，160）和[160，180]内的频率分别为0.16 和0.04，
则被抽取5 ⼈中，⽐赛成绩在[140，160）内的学⽣有4 ⼈，分别记为a，b，c，d，
⽐赛成绩在[160，180]内有1 ⼈，记为e，
从这5 ⼈中随机抽取2 ⼈的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10 种，
其中符合条件的情况有ae，be，ce，de，共4 种，
则所求概率为
．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、列举法等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
27．现随机统计了甲12 次投篮训练的投篮次数和⼄8 次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
⼄
71
81
73
73
71
73
85
73
已知甲12 次投篮次数的平均数
＝80，⼄8 次投篮次数的平均数
＝75．
第43⻚（共77⻚）
（1）求这20 投篮次数的中位数m，估计甲每次训练投篮次数超过m 的概率；
（2）求这20 次投篮次数的平均数与⽅差s2．
【分析】（1）利⽤中位数的定义求解m，再结合古典概型的概率公式求解；
（2）利⽤平均数和⽅差的定义求解．
【解答】解：（1）将这20 个数据从⼩到⼤排列：71，71，73，73，73，73，73，73，77，77，77，77，81，
81，81，81，85，85，85，93，
第10 个数和第11 个数都是77，
所以m＝77，
估计甲每次训练投篮次数超过m 的概率为
；
（2）这20 次投篮次数的平均数
，
⽅差s2＝
×[2×（71﹣78）2+6×（73﹣78）2+4×（77﹣78）2+4×（81﹣78）2+3×（85﹣78）2+（93﹣78）2]
＝
＝33．
【点评】本题主要考查了平均数、中位数和⽅差的定义，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
28．甲、⼄两⼈在相同条件下各射击10 次，每次命中的环数如表：
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
⼄
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别计算以上两组数据的⽅差；
（3）根据计算的结果，对甲⼄两⼈的射击成绩作出评价．
【分析】（1）根据平均数的计算公式求出平均数即可；
（2）根据⽅差的计算公式求出⽅差即可；
（3）根据（1），（2）判断即可．
【解答】解：（1）甲的平均分为：
＝
＝7；
⼄的平均分为：
＝
＝7 …（4 分）
（2）甲的⽅差为：
＝
[（8﹣7）2+（6﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝3；
⼄的⽅差为：
＝
[（6﹣7）2+（7﹣7）2+…+（5﹣7）2]＝1.2
…（8 分）
第44⻚（共77⻚）
（3）甲、⼄的平均分相同，说明甲、⼄两⼈射击的平均⽔平相当，⼜
＞
，
说明⼄的射击⽔平要⽐甲的射击⽔平更稳定．…（12 分）
【点评】本题考查了求数据的平均数和⽅差问题，是⼀道基础题．
29．某⼿机⽣产⼚商要⽣产⼀款5G ⼿机，在⽣产之前，该公司对⼿机屏幕的需求尺⼨进⾏社会调查，共调
查了400 ⼈，将这400 ⼈按对⼿机屏幕的需求尺⼨分为6 组，分别是：[5.0，5.5），[5.5，6.0），[6.0，6.5），
[6.5，7.0），[7.0，7.5），[7.5，8.0）（单位：英⼨），得到如下频率分布直⽅图：其中，屏幕需求尺⼨在[5.5，
6.0）的⼀组⼈数为50 ⼈．
（1）求a 和b 的值；
（2）⽤分层抽样的⽅法在屏幕需求尺⼨为[5.0，5.5）和[7.0，7.5）两组⼈中抽取6 ⼈参加座谈，并在6
⼈中选择2 ⼈做代表发⾔，则这2 ⼈来⾃同⼀分组的概率是多少？
【分析】（1）可求得在[5.5，6.0）的⼀组的
，可求b，利⽤概率和为1，可求得a；
（2）由已知可求得屏幕需求尺⼨为[5.0，5.5）的⼈数与屏幕需求尺⼨为[7.0，7.5）的⼈数，可求得在每
组各抽了多少⼈，利⽤古典概型概率公式计算可得2 ⼈来⾃同⼀分组的概率．
【解答】解：（1）因为屏幕需求尺⼨在[5.5，6.0）的⼀组⼈数为50 ⼈，
所以其频率为
．⼜因为组距为0.5，所以
．
⼜因为（0.1+0.25+0.7+a+0.2+0.1）×0.5＝1，所以a＝0.65，
即a＝0.65，b＝0.25．
（2）因为屏幕需求尺⼨为[5.0，5.5）⼈数为：0.1×0.5×400＝20，
屏幕需求尺⼨为[7.0，7.5）⼈数为0.2×0.5×400＝40，
若要⽤分层抽样的⽅法抽取6 ⼈
所以要在[5.0，5.5）组中抽2 ⼈，设为x，y；
要在[7.0，7.5）组中抽4 ⼈，设a，b，c，d，
第45⻚（共77⻚）
因此样本空间Ω＝{（x，y），（x，a），（x，b），（x，c），（x，d），
（y，a），（y，b），（y，c），（y，d），（a，b），（a，c），
（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共15 个基本事件，
⽽这2 ⼈来⾃同⼀分组为事件A，
A＝{（x，y），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共7 个基本事件，
所以这2 ⼈来⾃同⼀分组的概率
．
【点评】本题主要考查分层抽样的应⽤，根据条件建⽴⽐例公式是解决本题的关键，是中档题．
30．⼈⼯智能发展迅猛，在各个⾏业都有应⽤．某地图软件接⼊了⼤语⾔模型后，可以为⽤户提供更个性
化的服务，某⽤户提出：“请统计我早上开⻋从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将
他最近100 次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[55，65），[65，75），
[75，85），[85，95），[95，105]（单位：秒）这5 组，并整理得到频率分布直⽅图，如图所示．
（1）求图中a 的值；
（2）估计该⽤户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
（3）根据以上数据，估计该⽤户在接下来的10 次早上从家到公司的出⾏中，红灯等待时间低于85 秒的
次数．
【分析】（1）根据频率之和为1 以及直⽅图数据即可求解．
（2）先确认频率分布直⽅图中频率为0.5 的位置，再结合中位数定义求解即可．
（3）根据频率分布直⽅图求出红灯等待时间低于85 秒的频率即可求解．
【解答】解：（1）因为各组频率之和为1，组距为10，
所以10×（0.01+0.025+a+0.02+0.01）＝1，
解得a＝0.035．
（2）因为10×（0.01+0.025）＝0.35＜0.5，10×（0.01+0.025+0.035）＝0.7＞0.5
所以中位数位于第三组[75，85）中，
第46⻚（共77⻚）
设中位数为x，则0.1+0.25+0.035（x﹣75）＝0.5，
解得
，所以该⽤户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3．
（3）由题红灯等待时间低于85 秒的频率为0.1+0.25+0.35＝0.7，
故估计该⽤户在接下来的10 次中红灯等待时间低于85 秒的次数为10×0.7＝7 次．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、中位数、频率、频数等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
31．已知某科技公司的某型号芯⽚的各项指标经过全⾯检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯⽚的某项指标
的频率分布直⽅图如图所示：
若只利⽤该指标制定⼀个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标⼤于K 的产品应⽤于A 型⼿机，
⼩于或等于K 的产品应⽤于B 型⼿机．若将Ⅰ级品中该指标⼩于或等于临界值K 的芯⽚错误应⽤于A 型
⼿机会导致芯⽚⽣产商每部⼿机损失800 元；若将Ⅱ级品中该指标⼤于临界值K 的芯⽚错误应⽤于B 型
⼿机会导致芯⽚⽣产商每部⼿机损失400 元；假设数据在组内均匀分布，以事件发⽣的频率作为相应事
件发⽣的概率．
（1）设临界值K＝60 时，将1 个Ⅰ级品芯⽚和1 个Ⅱ级品芯⽚分别应⽤于A 型⼿机和B 型⼿机．求两部
⼿机有损失的概率（计算结果⽤⼩数表示）；
（2）设K＝x，且x∈[50，55]，现有⾜够多的芯⽚Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应⽤于A 型⼿机、B 型⼿机各1
万部的⽣产，试估计芯⽚⽣产商损失费⽤的最⼩值．
【分析】（1）当临界值K＝60 时，求出Ⅰ级品种中该指标⼩于或等于K 的频率为0.07，从⽽将1 个Ⅰ级品
芯⽚直接应⽤于A 型⼿机，没有损失的概率P（A）＝0.93，⼜Ⅱ级品中该指标⼤于60 的频率为0.1，将1
个Ⅱ级品芯⽚直接应⽤于B 型⼿机，没有损失的概率为P（B）＝0.9，记芯⽚⽣产商有损失为事件C，则
P（C）＝1﹣P（A）P（B），由此能求出结果．
（2）当临界值K＝x 且x∈[50，55），Ⅰ级品中该指标⼩于或等于临界值K 的频率为0.002×10+0.005×（x﹣
50）＝0.005x﹣0.23，由此能估计1 万部⼿机中有（0.005x﹣0.23）万部⼿机芯⽚应⽤错误；Ⅱ级品中该指
标⼤于或等于临界值K 的频率为0.01×10+0.03×（60﹣x）＝﹣0.03x+1.9，由此能估计1 万部B 型⼿机中有
第47⻚（共77⻚）
（﹣0.03x+1.9）万部⼿机芯⽚应⽤错误，从⽽可以估计芯⽚⽣产商的损失费⽤f（x）＝800（0.005x﹣0.23）
﹣400（﹣0.03x+1.9）＝576﹣8x，从⽽f（x）＝576﹣8x，x∈[50，55]，由此能求出芯⽚⽣产商损失费⽤的
最⼩值．
【解答】解：（1）当临界值K＝60 时，Ⅰ级品种中该指标⼩于或等于K 的频率为：
（0.002+0.005）×10＝0.07，
∴将1 个Ⅰ级品芯⽚直接应⽤于A 型⼿机，没有损失的概率P（A）＝0.93，
⼜Ⅱ级品中该指标⼤于60 的频率为0.1，
∴将1 个Ⅱ级品芯⽚直接应⽤于B 型⼿机，没有损失的概率为P（B）＝0.9，
记芯⽚⽣产商有损失为事件C，则P（C）＝1﹣P（A）P（B）＝1﹣0.93×0.9＝0.163．
（2）当临界值K＝x 且x∈[50，55），
Ⅰ级品中该指标⼩于或等于临界值K 的频率为0.002×10+0.005×（x﹣50）＝0.005x﹣0.23，
∴可以估计1 万部⼿机中有（0.005x﹣0.23）万部⼿机芯⽚应⽤错误，
Ⅱ级品中该指标⼤于或等于临界值K 的频率为0.01×10+0.03×（60﹣x）＝﹣0.03x+1.9，
∴可以估计1 万部B 型⼿机中有（﹣0.03x+1.9）万部⼿机芯⽚应⽤错误，
∴可以估计芯⽚⽣产商的损失费⽤f（x）＝800（0.005x﹣0.23）﹣400（﹣0.03x+1.9）＝576﹣8x，
∴f（x）＝576﹣8x，x∈[50，55]，
∵x∈[50，55]，∴f（x）的最⼩值为f（55）＝136．
∴芯⽚⽣产商损失费⽤的最⼩值为136 万元．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、对⽴事件概率计算公式、相互独⽴事件概率乘法公式、函数的性质
等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．
32．成都⽯室中学⽣物基地⾥种植了⼀种观赏花卉，这种观赏花卉的⾼度（单位：cm）介于[15，25]之间，
现对⽣物基地⾥部分该种观赏花卉的⾼度进⾏测ᰁ，所得数据统计如图所示．
（1）求a 的值；
（2）若从⾼度在[15，17）和[17，19）中分层抽样抽取5 株，再在这5 株中随机抽取2 株，求抽取的2
株⾼度均在[17，19）内的概率．
第48⻚（共77⻚）
【分析】（1）由频率分布直⽅图各⼩矩形的⾯积和等于1，可求得a 的值；
（2）再由[15，17）和[17，19）的频率⽐
，确定这5 株分别在[15，17）和[17，19）的株数，最
后由古典概型的计算公式求得结果即可．
【解答】解：（1）依题意可得（0.05+0.075+a+0.15+0.1）×2＝1，解得a＝0.125；
（2）由（1）可得⾼度在[15，17）的频率为：2×0.050＝0.1；
⾼度在[17，19）的频率为：2×0.075＝0.15；
且
，所以分层抽取的5 株中，⾼度在[15，17）和[17，19）的株数分别为2 和3，
因此记⾼度在[15，17）植株为m，n，记⾼度在[17，19）植株为A，B，C，
则所有选取的结果为（m，n）、（m，A）、（m，B）、（m，C）、（n，A）、（n，B）、（n，C）、（A，B）、（A，C）、
（B，C）共10 种情况，
令抽取的2 株⾼度均在[15，17）内为事件M，事件M 的所有情况为（A，B）、（A，C）、（B，C）共3 种
情况，
由古典概型的计算公式得：
．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
33．某企业为了了解本企业员⼯每天慢⾛与慢跑的情况，对每天慢⾛时间在25 分钟到55 分钟之间的员⼯，
随机抽取n ⼈进⾏调查，将既参加慢⾛⼜参加慢跑的⼈称为“H 族”，否则称为“⾮H 族”，得如下的统计
表以及每天慢⾛时间在25 分钟到55 分钟之间的员⼯⼈数的频率分布直⽅图（部分）：
组数
分组
⼈数
本组中“H 族”的⽐例
1
[25，30）
200
0.6
2
[30，35）
300
0.65
3
[35，40）
200
0.5
第49⻚（共77⻚）
4
[40，45）
150
0.4
5
[45，50）
a
0.3
6
[50，55）
50
0.3
（1）试补全频率分布直⽅图，并求a 与n 的值：
（2）从每天慢⾛时间在[40，50）（分钟）内的“H 族”中按时间采⽤分层抽样法抽取6 ⼈参加企业举办的
健身沙⻰体验活动，再从这6 ⼈中选2 ⼈作健身技巧与减脂秘籍的发⾔，求这2 ⼈每天慢⾛的时间恰好
1 ⼈在[40，45）分钟内，另⼀个⼈在[45，50）分钟内的概率．
【分析】（1）利⽤所有组的频率之和等于1，算出第⼆组的频率，得到第⼆组矩形的⾼，补全频率分布
直⽅图，由第⼀组的频率和频数计算样本容ᰁ，再计算第五组的频数．
（2）按分层抽样的法则在两个组中抽取对应⼈数，从这6 ⼈中选2 ⼈，列出样本空间，看其中恰好1
⼈在[40，45）分钟内，另⼀个⼈在[45，50）分钟内占多少种基本事件，计算相应概率．
【解答】解：（1）第⼆组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5＝0.3，
所以第⼆组⼩矩形⾼为
．补全后的频率直⽅图如下：
第⼀组的频率为0.04×5＝0.2，所以
．
第五组的频率为0.02×5＝0.1，所以a＝1000×0.1＝100．
（2）因为[40，50）分钟的“H 族”⼈数为150×0.4＝60，
[45，50）分钟的“H 族”⼈数为100×0.3＝30，⼆者⽐例为60：30＝2：1，
所以按时间采⽤分层抽样法抽取6 ⼈，[40，45）分钟内抽取4 ⼈，[45，50）分钟内抽取2 ⼈．
第50⻚（共77⻚）
设这2 ⼈每天慢⾛的时间恰好1 ⼈在[40，45）分钟，另⼀个⼈在[45，50）分钟为事件Q，
在[40，45）分钟内抽取4 ⼈记为A，B，C，D，[45，50）分钟内抽取2 ⼈记为a，b，
则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，
共15 种不同的抽取⽅法，事件Q 有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8 种，
所以
，即选出发⾔的2 ⼈每天慢⾛的时间恰好1 ⼈在[40，45）分钟内，
另⼀个⼈在[45，50）分钟内的概率为
．
【点评】本题考查频率分布直⽅图的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础
题．
34．某电⼦商务公司对10000 名⽹络购物者某年度的消费情况进⾏统计，发现消费⾦额（单位：万元）都在
区间[0.3，0.9]内，其频率分布直⽅图如图所示．求：
（1）直⽅图中的a 的值；
（2）在这些购物者中，消费⾦额在区间[0.5，0.9]内的购物者的⼈数．
（3）为了更好了解消费者和激励消费，⽹络公司决定在这10000 名消费者中⽤分层随机抽样法抽取100
名进⼀步做调查问卷和奖励．再从这100 名中消费在[0.7，0.9]内的个体内抽取⼀等奖两名，求中奖的2
⼈中消费在[0.7，0.8），[0.8，0.9]内各⼀⼈的概率．
【分析】（1）根据给定的频率分布直⽅图，利⽤各⼩矩形⾯积和为1，列式计算作答．
（2）求出消费⾦额在区间[0.5，0.9]内的频率即可求解作答．
（3）求出抽取的100 名消费者中，消费在[0.7，0.9]内的个体数，及消费在[0.7，0.8），[0.8，0.9]内的个体
数，再利⽤组合求概率作答．
【解答】解：（1）由频率分布直⽅图得：（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1＝1，解得a＝3.0，
所以直⽅图中的a 的值为3.0．
（2）由频率分布直⽅图得，消费⾦额在区间[0.5，0.9]内的频率是1﹣（1.5+2.5）×0.1＝0.6，
所以消费⾦额在区间[0.5，0.9]内的购物者的⼈数约为：10000×0.6＝6000．
第51⻚（共77⻚）
（3）⽤分层随机抽样法抽取的100 名消费者中，消费在[0.7，0.9]内的个体数为（0.08+0.02）×100＝10，
其中消费在[0.7，0.8），[0.8，0.9]内的个体数分别为0.08×100＝8，0.02×100＝2，
因此从10 ⼈中任取2 ⼈的试验有
个基本事件，消费在[0.7，0.8），[0.8，0.9]内各⼀⼈的事件A 有
个基本事件，
所以中奖的2 ⼈中消费在[0.7，0.8），[0.8，0.9]内各⼀⼈的概率
．
【点评】本题主要考查频率分布直⽅图，属于中档题．
35．2023 年⾼考查分系统上线后，某中学为了解该校⾼三年级学⽣的数学成绩，从中抽取了100 名该校学
⽣的成绩作为样本进⾏统计（成绩均在[60，140]分），按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，
110），[110，120），[120，130），[130，140]的分组作出频率分布直⽅图如图所示．
（1）求频率分布直⽅图中的x 的值，并估计该中学今年⾼考数学成绩的中位数；
（2）该校⾼三数学组准备⽤分层抽样的⽅法从样本中数学成绩不低于120 分的学⽣中抽取5 名学⽣，
再从这5 名学⽣中随机抽取2 名学⽣在新⾼三开学动员会上发⾔，求这2 名学⽣中恰有1 名成绩不低于
130 分的概率．
【分析】（1）由频率分布直⽅图列⽅程，求出x；数学成绩在[60，100）内的频率为0.46，数学成绩在[60，
110）内的频率为0.76，由此能估计该中学今年⾼考数学成绩的中位数．
（2）⽤分层抽样的⽅法求出[120，130）中抽取3 ⼈，[130，1400 中抽取2 ⼈，从这5 名学⽣中随机抽取
2 名学⽣在新⾼三开学动员会上发⾔，基本事件总数n＝
＝10，这2 名学⽣中恰有1 名成绩不低于130
分包含的基本事件个数m＝
＝6，由此能求出这2 名学⽣中恰有1 名成绩不低于130 分的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直⽅图得：
（0.006+2x+0.02+0.03+0.014+0.006+0.004）×10＝1，
解得x＝0.01．
数学成绩在[60，100）内的频率为（0.006+0.01+0.01+0.02）×10＝0.46，
第52⻚（共77⻚）
数学成绩在[60，110）内的频率为（0.006+0.01+0.01+0.02+0.03）×10＝0.76，
∴估计该中学今年⾼考数学成绩的中位数为：
100+
＝
．
（2）该校⾼三数学组准备⽤分层抽样的⽅法从样本中数学成绩不低于120 分的学⽣中抽取5 名学⽣，
则[120，130）中抽取5×
＝3 ⼈，[130，1400 中抽取5×
＝2 ⼈，
再从这5 名学⽣中随机抽取2 名学⽣在新⾼三开学动员会上发⾔，
基本事件总数n＝
＝10，
这2 名学⽣中恰有1 名成绩不低于130 分包含的基本事件个数m＝
＝6，
∴这2 名学⽣中恰有1 名成绩不低于130 分的概率为P＝＝
＝．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、中位数、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能⼒，是
基础题．
36．科技发展⽇新⽉异，电动汽⻋受到越来越多消费者的⻘睐．据统计，2023 年1 ⽉⾄12 ⽉A，B 两地区
电动汽⻋市场各⽉的销售ᰁ数据如下：
1 ⽉
2 ⽉
3 ⽉
4 ⽉
5 ⽉
6 ⽉
7 ⽉
8 ⽉
9 ⽉
10 ⽉11 ⽉12 ⽉
A 地区（单位：万辆）29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
77.1
89.2
B 地区（单位：万辆）7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10
9.7
9.9
10.4
9.4
8.9
10.1
⽉销ᰁ⽐
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8
⽉销ᰁ⽐是指：该⽉A 地区电动汽⻋市场的销售ᰁ与B 地区的销售ᰁ的⽐值（保留⼀位⼩数）．
（Ⅰ）在2023 年2 ⽉⾄12 ⽉中随机抽取1 个⽉，求A 地区电动汽⻋市场该⽉的销售ᰁ⾼于上⽉的销售ᰁ
的概率；
（Ⅱ）从2023 年1 ⽉⾄12 ⽉中随机抽取3 个⽉，求在这3 个⽉中恰有1 个⽉的⽉销ᰁ⽐超过8 且⾄少有
1 个⽉的⽉销ᰁ⽐低于5 的概率；
（Ⅲ）记2023 年1 ⽉⾄12 ⽉A，B 两地区电动汽⻋市场各⽉的销售ᰁ数据的⽅差分别为
，
，试判
断
与
的⼤⼩．（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）由表中数据找出符合有⽉份个数即可求解；
（Ⅱ）先由表中数据找出⽉销ᰁ⽐超过8 的⽉份个数和低于5 的⽉份个数，再结合组合分配情况即可求
解；
第53⻚（共77⻚）
（Ⅲ）由表中数据和⽅差定义即可判断．
【解答】解：（Ⅰ）设事件C 为“A 地区电动汽⻋市场该⽉的销售ᰁ⾼于上⽉的销售ᰁ”，
在2023 年2 ⽉⾄12 ⽉中，A 地区电动汽⻋市场该⽉的⽉销ᰁ⾼于上⽉的销售ᰁ的⽉份为2 ⽉、3 ⽉、5
⽉、6 ⽉、8 ⽉、9 ⽉、10 ⽉、11 ⽉、12 ⽉，共9 个⽉，
∴A 地区电动汽⻋市场该⽉的销售ᰁ⾼于上⽉的销售ᰁ的概率为P（C）＝
．
（Ⅱ）设事件D 为“在这3 个⽉中恰有1 个⽉的⽉销ᰁ⽐超过8 且⾄少有1 个⽉的⽉销ᰁ⽐低于5”，
在2023 年1 ⽉到12 ⽉中，⽉销售ᰁ⽐超过8 有只有11 ⽉和12 ⽉，⽉销售ᰁ⽐低于5 的只有1 ⽉和2
⽉，
则P（D）＝
＝
．
（Ⅲ）A 地区销售ᰁ最低有29.4 万辆，最⾼有10.4 万辆，数据波动较⼤，
相⽐之下，B 地区销售ᰁ最低有7.8 万辆，最⾼有10.4 万辆，数据波动幅度较⼩，变化较为平稳，
∴
．
【点评】本题考查古典概型、排列组合、⽅差等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
37．果切是⼀种新型⽔果售卖⽅式，商家通过对整果进⾏清洗、去⽪、去核、冷藏等操作后，包装组合销
售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满⾜消费者的即⻝需求．
（1）统计得到10 名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这
10 个数据的平均数与⽅差s2；
（2）统计600 名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5 岁到55 岁之间，按照[5，15），[15，25），[25，
35），[35，45），[45，55]分组，得到如下频率分布直⽅图．
（ⅰ）估计这600 名中国果切消费者中年龄不⼩于35 岁的⼈数；
（ⅱ）估计这600 名中国果切消费者年龄的中位数a（结果保留整数）．
【分析】（1）根据平均数和⽅差的计算⽅法求得正确答案；
（2）（ⅰ）根据频率分布直⽅图求得正确答案；（ⅱ）根据中位数的求法求得正确答案．
第54⻚（共77⻚）
【解答】解：（1）
，
．
（2）（ⅰ）600 名中国果切消费者中年龄不⼩于35 岁的⼈数为：
（0.015+0.005）×10×600＝120．
（ⅱ）由0.020×10＝0.2＜0.5，（0.020+0.035）×10＝0.55＞0.5，可得15＜a＜25，
所以0.20+（a﹣15）×0.035＝0.5，解得
，
所以这600 名中国果切消费者年龄的中位数为24．
【点评】本题主要考查频率分布直⽅图，属于中档题．
38．甲、⼄两位同学组成学习⼩组进⾏项⽬式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、⼄都参
加了若⼲次测试，现从甲的测试成绩⾥随机抽取了7 次成绩，从⼄的测试成绩⾥随机抽取了9 次成绩，
数据如下：
甲：93 95 81 72 80 82 92
⼄：85 82 77 80 94 86 92 84 85
经计算得出甲、⼄两⼈的测试成绩的平均数均为85．
（1）求甲⼄两位同学测试成绩的⽅差；
（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计ᰁ
＝
，其中
n1 个数据的⽅差为
，n2个数据的⽅差为
，且
．若
≥F0，则认为两组数据
有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异．
若F0的临界值采⽤下表中的数据：
n1﹣1
n2﹣1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
161
200
216
225
230
234
237
239
2
18.5
19.0
19.2
19.2
19.3
19.3
19.4
19.4
3
10.1
9.55
9.28
9.12
9.01
8.94
8.89
8.85
4
7.71
6.94
6.59
6.39
6.26
6.16
6.09
6.04
5
6.61
5.79
5.41
6.19
5.05
4.95
4.88
4.82
第55⻚（共77⻚）
6
5.99
5.14
4.76
4.53
4.39
4.28
4.21
4.15
7
5.59
4.74
4.35
4.12
3.97
3.87
3.79
3.73
8
5.32
4.46
4.07
3.84
3.69
3.58
3.5
3.44
例如：F（3，5）对应的临界值F0为5.41．
请根据以上资料判断甲、⼄两位同学进⾏项⽬式互助学习的效果是否有显著性差异．
【分析】（1）利⽤⽅差的定义求解；
（2）由题意可知，
，n1＝7，
，n2＝9，代⼊题⽬公式求出F（6，8），再与F
（6，8）对应的临界值⽐较即可．
【解答】解：（1）依题意：
，
，
所
以
，
；
（2）由于
，则
，n1＝7，
，n2＝9，
则
，查表得F（6，8）对应的临界值为3.58，
则F（6，8）≈2.50＜3.58，
所以甲、⼄两位同学进⾏项⽬式互助学习的效果没有显著性差异．
【点评】本题主要考查了⽅差的定义，考查了学⽣的逻辑推理能⼒，属于中档题．
39．海⽔养殖场进⾏某⽔产品的新、旧⽹箱养殖⽅法的产ᰁ对⽐，收获时各随机抽取了100 个⽹箱，测ᰁ
各箱⽔产品的产ᰁ（单位：kg），其频率分布直⽅图如图所示．两种养殖⽅法的箱产ᰁ相互独⽴．
（Ⅰ）将所抽取的100 个新养殖法⽹箱中产ᰁ低于40kg 和不低于65kg 的⽹箱收集到⼀起，再从中随机抽
取2 箱，恰有⼀箱产ᰁ不低于65kg 的概率．
（Ⅱ）⽤频率估计概率，从运⽤新、旧⽹箱养殖⽅法的⽔产品中各随机抽取⼀个⽹箱，估计两个⽹箱中
⾄少有⼀箱产ᰁ不低于55kg 的概率；
（Ⅲ）求频率分布直⽅图中a 的值．假定新、旧⽹箱养殖⽅法⽹箱数不变，为了提⾼总产ᰁ，根据样本
中两种养殖法的平均箱产ᰁ，该养殖场下⼀年应采⽤哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
第56⻚（共77⻚）
【分析】（Ⅰ）由频率分布直⽅图求出[35，40）的频数为2，[65，70]的频数为4，再从中随机抽取2 箱，
基本事件总数n＝
＝15，恰有⼀箱产ᰁ不低于65kg 包含的基本事件个数m＝
＝8，由此能求出
恰有⼀箱产ᰁ不低于65kg 的概率．
（Ⅱ）设事件A，B 分别表示从运⽤旧，新⽹箱养殖⽅法的⽔产品中随机抽取⼀个⽹箱，其箱产ᰁ不低于
55kg，则P（A）＝0.22，P（B）＝0.32，由此能估计两个⽹箱中⾄少有⼀箱产ᰁ不低于55kg 的概率．
（Ⅲ）分别求出旧养殖法的平均值和新养殖法的平均值，由此得到该养殖场下⼀年应采⽤新养殖法更合
适．
【解答】解：（Ⅰ）[35，40）的频数为0.004×5×100＝2，
[65，70]的频数为0.008×5×100＝4，
再从中随机抽取2 箱，基本事件总数n＝
＝15，
恰有⼀箱产ᰁ不低于65kg 包含的基本事件个数m＝
＝8，
∴恰有⼀箱产ᰁ不低于65kg 的概率为P＝＝
．
（Ⅱ）设事件A，B 分别表示：
从运⽤旧，新⽹箱养殖⽅法的⽔产品中随机抽取⼀个⽹箱，其箱产ᰁ不低于55kg，
⽤频率估计概率，则P（A）＝（0.020+0.012+0.012）×5＝0.22，
P（B）＝（0.046+0.010+0.008）×5＝0.32，
∵A，B 相互独⽴，
∴估计两个⽹箱中⾄少有⼀箱产ᰁ不低于55kg 的概率为：
P（A +
）＝P（A）P（）+P（）P（B）
＝0.22×0.68+0.78×0.32
第57⻚（共77⻚）
＝0.3992．
（Ⅲ）旧养殖法的平均值估计为：
0.012×5×27.5+0.014×5×32.5+0.024×5×37.5+0.034×5×42.5+0.04047.5×5×47.5+0.032×5×52.5+0.020×5×57.5+0.012
×5×62.5+0.012×5×67.5＝47.1，
新养殖法的平均值估计为：
0.004×5×37.5+0.020×5×42.5+0.044×5×47.5+0.068×5×52.5+0.046×5×57.5+0.010×5×62.5+0.008×5×67.5＝52.35，
∵52.35＞47.1，
∴该养殖场下⼀年应采⽤新养殖法更合适．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、相互独⽴事件概率乘法公式、平均数等基础知识，考查运算求解能
⼒，是基础题．
40．某中学400 名学⽣参加全市⾼中数学竞赛，根据男⼥学⽣⼈数⽐例，使⽤分层随机抽样的⽅法从中随
机抽取了100 名学⽣，记录他们的分数，将数据分成7 组：[20，30），[30，40），…，[80.90]，并整理得到
如下频率分布直⽅图：
（1）根据频率分布直⽅图求出分数⼤于70 的频率与频数；
（2）根据频率分布直⽅图求样本中75%分位数；
（3）已知样本中男⽣与⼥⽣的⽐例是3：1，男⽣样本的均值为70，⽅差为10，⼥⽣样本的均值为80，
⽅差为14，请计算样本的均值与⽅差．
【分析】（1）根据频率分布直⽅图能求出分数⼤于70 的频率与频数；
（2）根据频率，确定75%分位数，在区间[70，80]上，设其为x，然后按⽐例计算可得；
（3）先求出总样本的均值，再根据⽅差公式计算．
【解答】解：（1）由频率分布直⽅图得分数⼤于70 的频率为：
（0.04+0.02）×10＝0.6．
分数⼤于70 的频数为100×0.6＝60．
（2）根据频率分布直⽅图知：
[20，70）的频率为1﹣（0.02+0.04）×10＝0.4，
第58⻚（共77⻚）
[20，80）的频率为1﹣0.02×10＝0.8，
75%分位数，在区间[70，80]上，设其为x，
则
，解得x＝78.75，
∴样本中75%分位数是：78.75．
（3）72.5，总样本的均值为
，
设男⽣个体依次为x1，x2，⋯，x75，⼥⽣个体依次为x76，x77，⋯，x100，
则x1+x2+⋯+x75＝75×70，x76+x77+⋯+x100＝25×80，
，
，
总体样本⽅差为
，
其中
＝
＝
＝75×10+75×（72.5﹣70）2，
同理
，
所以总样本的⽅差为
，
故总样本的⽅差为
．
【点评】本题考查频率分布直⽅图、平均数、百分位数、⽅差等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础
题．
41．从某种产品中抽取100 件，测ᰁ这些产品的⼀项质ᰁ指标值，由测ᰁ结果得如下频数分布表：
质ᰁ指标值分组
[75，85）
[85，95）
[95，105）
[105，115）
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
（1）根据上表补全所示的频率分布直⽅图；
（2）估计这种产品质ᰁ指标值的平均数、⽅差（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作代表）及中位
数（保留⼀位⼩数）；
第59⻚（共77⻚）
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业⽣产的这种产品符合“质ᰁ指标值不低于95 的产品⾄少
要占全部产品的80%”的规定？
【分析】（1）根据频数求出频率距，画出每⼀组的⼩矩形即可；
（2）根据平均数、⽅差、中位数的计算⽅法计算即可；
（3）求出[95，105）、[105，115）、[115，125]这三组的总频率，与80%⽐较即可．
【解答】解：（1）
质ᰁ指标值分
组
[75，85）
[85，95）
[95，105）
[105，115）
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
0.006
0.026
0.038
0.022
0.008
补全后的频率分布直⽅图如图所示，
第60⻚（共77⻚）
（2）质ᰁ指标值的样本平均数为：
80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08＝100，
质ᰁ指标值的样本⽅差为：
s2＝（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08＝104，
∴这种产品质ᰁ指标值的平均数约为100，⽅差约为104，
第⼀组频率为：0.06，第⼆组频率为：0.26，第三组频率为：0.38，
∵0.06+0.26＜0.5，0.06+0.26+0.38＞0.5，
∴中位数落在第三组[95，105）内，设中位数为x，
则0.06×10+0.026×10+0.038×（x﹣95）＝0.5，解得x≈99.7，
因此，中位数为99.7；
（3）质ᰁ指标值不低于95 的产品所占⽐例约为0.38+0.22+0.08＝0.68，
由于该估计值⼩于0.8，故不能认为该企业⽣产的这种产品符合“质ᰁ指标不低于95 的产品⾄少要占全
部产品的80%”的规定．
【点评】本题考查了频率分布直⽅图的应⽤，属于中档题．
42．某保险公司为了给年龄在20～70 岁的⺠众提供某种疾病的医疗保障，设计了⼀款针对该疾病的保险，
现从10000 名参保⼈员中随机抽取100 名进⾏分析，这100 个样本按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），
[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直⽅图如图所示，每⼈每年所交纳的保费与参保年龄如下表
格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险⽀出的各种费⽤为⼀百万元．
年龄
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
第61⻚（共77⻚）
保费
x
2x
3x
4x
5x
（Ⅰ）⽤样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x ⾄少为多少元？（精确到整数）
（Ⅱ）经调查，年龄在[30，50）之间的中年⼈对该疾病的防范意识还⽐较弱，为加强宣传，按分层抽样
的⽅法从年龄在[30，40）和[40，50）的中年⼈中选取6 ⼈进⾏教育宣讲，再从选取的6 ⼈中随机选取2
⼈，被选中的2 ⼈免⼀年的保险费，求被免去的保费超过150 元的概率．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直⽅图中所有⼩矩形⾯积和为1，即可求得a 的值，根据中位数左右两侧⼩
矩形⾯积之和都为0.5，即可求得答案；
（Ⅱ）分别列举6 ⼈中任取2 ⼈的所有基本事件和保费超过150 元的事件，根据概率公式计算即可求得
答案．
【解答】解：（Ⅰ）（0.007+0.016+a+0.025+0.02）×10＝1，解得a＝0.032，
保险公司每年收取的保费为：
10000（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.2×5x）＝10000×3.35x，
所以要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，
解得
，即x＝30 元，
故保费x ⾄少为30 元．
（Ⅱ）选取的6 ⼈中，有2 ⼈来⾃年龄在[30，40），记这2 ⼈分别为a1，a2，
有4 ⼈来⾃年龄在[40，50），记这4 ⼈分别为b1，b2，b3，b4，
从这6 ⼈中任取2 ⼈的所有基本事件有：（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4），
（a1，a2），
（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），共15 种，
其中保费超过150 元的有（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共6 种，
故被免去保费超过150 元的概率为
．
【点评】本题主要考查频率分布直⽅图，属于中档题．
第62⻚（共77⻚）
43．近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的⼈越来越多．A，B 两家旅游公司过去6 个⽉的利润率统计如
下：
利润率
⽉数公司
10%
5%
﹣5%
A 公司
3
2
1
B 公司
2
2
2
利润率＝
，盈利为正，亏损为负，且每个⽉的成本不变．
（1）⽐较A，B 两家旅游公司过去6 个⽉平均每⽉利润率的⼤⼩；
（2）⽤频率估计概率，且假设A，B 两家旅游公司每个⽉的盈利情况是相互独⽴的，求未来的某个⽉A，
B 两家旅游公司⾄少有⼀家盈利的概率．
【分析】（1）由加权平均数的计算公式直接计算结果⽐较即可；
（2）由独⽴乘法公式以及对⽴事件概率的求法即可得解．
【解答】解：（1）A 公司过去6 个⽉平均每⽇的利润率为
，
B 公司过去6 个⽉平均每⽉的利润率为
，
因为
，
所以A 公司过去6 个⽉平均每⽉的利润率⼤于B 公司过去6 个⽉平均每⽉的利润率．
（2）A 公司过去6 个⽉盈利的频率为
，
B 公司过去6 个⽉盈利的频率为
，
⽤频率代替概率，可知A，B 两公司未来某个⽉盈利的概率分别为
．
设A，B 两家旅游公司盈利分别为事件M，N，由题知M 与N 相互独⽴，
所以所求概率为
．
【点评】本题考查加权平均数的计算公式、独⽴乘法公式以及对⽴事件概率等基础知识，考查运算求解
能⼒，是基础题．
44．某学校安排甲、⼄、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术⽣占⽐8%，⼄班艺术⽣
占⽐6%，丙班艺术⽣占⽐5%．学⽣⾃由选择座位，先到者先选．甲、⼄、丙三个班⼈数分别占总⼈数
的
，，
．若主持⼈随机从场下学⽣中选⼀⼈参与互动．
第63⻚（共77⻚）
（1）求选到的学⽣是艺术⽣的概率；
（2）如果选到的学⽣是艺术⽣，判断其来⾃哪个班的可能性最⼤．
【分析】（1）由条件概率公式即可求得；
（2）由⻉叶斯公式即可求得．
【解答】解：（1）设B＝“任选⼀名学⽣恰好是艺术⽣”，A1＝“所选学⽣来⾃甲班”，
A2＝“所选学⽣来⾃⼄班”，A3＝“所选学⽣来⾃丙班”，
由题可知：
，
，
，
，
，
，
则选到的学⽣是艺术⽣的概率为：
P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
＝
；
（2）由⻉叶斯公式可得：若选到的学⽣是艺术⽣，
其来⾃丙班的可能性为
；
其来⾃⼄班的可能性为
；
其来⾃甲班的可能性为
；
所以其来⾃丙班的可能性最⾼．
【点评】本题考查全概率公式及⻉叶斯公式，属中档题．
45．《中华⼈⺠共和国未成年⼈保护法》是为保护未成年⼈身⼼健康，保障未成年⼈合法权益．我校拟选拔
⼀名学⽣作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年⼈保护法．现已从全校选拔出甲⼄两⼈进⾏⽐赛，
⽐赛规则是：准备了5 个问题让选⼿回答，选⼿答对问题，则⾃⼰得1 分，该选⼿继续作答，若答错，
则对⽅得1 分，换另外选⼿作答，⽐赛结束时分数多的⼀⽅获胜，甲⼄能确定胜负时⽐赛就结束，或5
个问题回答完⽐赛也结束，已知甲、⼄答对每个问题的概率都是
．竞赛前抽签，甲获得第⼀问题的答
题权．
第64⻚（共77⻚）
（1）求“前三个问题回答结束后⼄获胜”的概率；
（2）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率．
【分析】（1）根据已知条件，结合相互独⽴事件的概率乘法公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合相互独⽴事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率和公式，即可求解．
【解答】解：（1）解：设“甲回答问题且得分”为事件A，“甲回答问题但对⽅得分”为事件，“⼄回答问题
且得分”为事件B，“⼄回答问题但对⽅得分”为事件，
设“前三个问题回答结束后⼄获胜”为事件C，这三个问题回答的情况有8 种：AAA；
；
；
；
；
；
；
，事件C 只包含了⼀种情况，即
，
∴
，
∴“前三个问题回答结束后⼄获胜”的概率为
；
（2）记甲同学连续回答了三次问题且获胜为D，
则
，
∴甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为
．
【点评】本题主要考查相互独⽴事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率和公式，属于基础题．
46．某运动队为评估短跑运动员在接⼒赛中的作⽤，对运动员进⾏数据分析．运动员甲在接⼒赛中跑第⼀
棒、第⼆棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场⽐赛，其出场率与出场时⽐赛获胜率如下表所示．
⽐赛位置
第⼀棒
第⼆棒
第三棒
第四棒
出场率
0.3
0.2
0.2
0.3
⽐赛胜率
0.6
0.8
0.7
0.7
（1）当甲出场⽐赛时，求该运动队获胜的概率．
（2）当甲出场⽐赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第⼀棒的概率．
（3）如果某场⽐赛该运动队获胜，求在该场⽐赛中甲最可能是第⼏棒．
【分析】（1）根据全概率公式即得出答案．
（2）根据条件概率的计算公式即可求解．
（3）由⻉叶斯公式，即可做出判断．
【解答】解：（1）记“甲跑第⼀棒”为事件A1，“甲跑第⼆棒”为事件A2，“甲跑第三棒”为事件A3，“甲跑第四
棒”为事件A4，“运动队获胜”为事件B，
则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）P（B|A4）＝0.3×0.6+0.2×0.8+0.2
第65⻚（共77⻚）
×0.7+0.3×0.7＝0.69，
所以当甲出场⽐赛时，该运动队获胜的概率为0.69．
（2）
，
所以当甲出场⽐赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第⼀棒的概率为
．
（3）
，
，
，
所以P（A4|B）＞P（A1|B）＞P（A2|B）＞P（A3|B）．
所以甲最可能是第四棒．
【点评】本题主要考查条件概率公式，考查转化能⼒，是中档题．
47．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、⼄、丙三⼈同时回答⼀道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的
概率是
，⼄答题错误的概率是
，⼄、丙两⼈都答题正确的概率是
，假设每⼈答题正确与否是相互
独⽴的．
（Ⅰ）求丙答题正确的概率；
（Ⅱ）求甲、丙都答题错误，且⼄答题正确的概率．
【分析】（Ⅰ）设丙答题正确的概率为x，利⽤对⽴事件和相互独⽴事件概率公式列⽅程，能求出丙答题
正确的概率；
（Ⅱ）由相互独⽴事件概率乘法公式能求出甲、丙都答题错误，且⼄答题正确的概率．
【解答】解：（Ⅰ）记甲、⼄、丙3 ⼈独⾃答对这道题分别为事件A，B，C，
设丙答对题的概率为x，⼄答对题的概率为P（B）＝1﹣＝，
∵每⼈回答问题正确与否相互独⽴，∴事件A，B，C 是相互独⽴事件，
根据相互独⽴事件概率乘法公式得P（BC）＝P（B）P（C）＝
，
解得x＝，
∴丙答题正确的概率为
；
（Ⅱ）甲、丙都答题错误，且⼄答题正确的概率为甲、⼄、丙三⼈都回答错误的概率为：
P（
）＝P（）P（B）P（）＝（1﹣）×
（1﹣）＝
．
第66⻚（共77⻚）
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独⽴事件概率乘法公式、对⽴事件概率计算公式等基础知识，
考查运算求解能⼒，是基础题．
48．某档知识竞赛节⽬的规则如下：甲、⼄两⼈以抢答的⽅式答题，抢到并回答正确得1 分，答错则对⽅
得1 分，先得3 分者获胜．已知甲、⼄两⼈每次抢到题的概率都为
，甲、⼄两⼈每道题答对的概率分
别为
，并且每道题两⼈答对与否相互独⽴．
（1）求第⼀题结束时甲获得1 分的概率；
（2）求甲获得胜利的概率．
【分析】（1）利⽤独⽴事件的概率乘法公式求解；
（2）利⽤独⽴事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：（1）第⼀题结束时甲获得1 分，分甲抢到题并且答对和⼄抢到题并且答错，
所以第⼀题结束时甲获得1 分的概率为
；
（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、⼄得1 分的概率分别为
，
两⼈共抢答了3 道题⽐赛结束且甲获胜的概率
，
两⼈共抢答了4 道题⽐赛结束且甲获胜的概率
，
两⼈共抢答了5 道题⽐赛结束且甲获胜的概率
，
故甲获得胜利的概率
．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，属于基础题．
49．某芯⽚制造企业采⽤流⽔线的⽅式⽣产芯⽚．原有⽣产线⽣产某型号的芯⽚需要经过三道⼯序，这三
道⼯序互不影响．已知三道⼯序产⽣不合格产品的概率分别为
，
，
，三道⼯序均合格的产品
成为正品，否则成为次品．
（1）求该企业原有⽣产线的次品率；
（2）为了提⾼产ᰁ，该企业⼜引进⼀条新⽣产线加⼯同⼀型号的芯⽚，两条⽣产线⽣产出的芯⽚随机
混放在⼀起．已知新⽣产线的次品率为
，且新⽣产线的产ᰁ是原⽣产线产ᰁ的两倍．从混放的芯⽚
中任取⼀个，计算它是次品的概率．
【分析】（1）根据相互独⽴事件的概率乘法公式可解．
（2）利⽤古典概型相关知识可解．
第67⻚（共77⻚）
【解答】解：（1）因为三道⼯序产⽣不合格产品的概率分别为
，
，
，
则三道⼯序产⽣合格产品的概率分别为
，
，
，
则该企业原有⽣产线的次品率1﹣
＝
；
（2）根据题意，新⽣产线的次品率为
，且新⽣产线的产ᰁ是原⽣产线产ᰁ的两倍，
则可设原⽣产线产ᰁ为a，则新⽣产线的产ᰁ为2a，
则原⽣产线的次品为
，新⽣产线的次品产ᰁ为
，
则从混放的芯⽚中任取⼀个，是次品的概率为
＝
．
【点评】本题考查古典概型以及相互独⽴事件的概率乘法公式相关知识，属于中档题．
50．2023 年10 ⽉5 ⽇晚，杭州亚运会⼥篮决赛的巅峰对决中，中国⼥篮以74：72 战胜⽇本⼥篮，成功卫冕
亚运会冠军，⼤快⼈⼼，表现神勇，为国家和⼈⺠争了光．某校随即开展了“学习⼥篮精神，塑造健康
体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进⾏了⼀场A、B、C3 名⼥篮队员的传接球的训练，
球从A ⼿中开始，等可能地随机传向另外2 ⼈中的1 ⼈，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2 ⼈
中的1 ⼈，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第n 次传球之前球在A ⼿中的概率为an，
易知a1＝1，a2＝0．
（1）①求第5 次传球前，球恰好在A ⼿中的概率P1；
②第n 次传球前球在B ⼿中的概率为bn，试⽐较a100与b100的⼤⼩．
（2）训练结束，体育⽼师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了⼀场“摸球抽奖”活动，先在
⼀个⼝袋中装有n 个红球（n≥5 且n∈N）和5 个⽩球，⼀次摸奖从中摸两个球，两个球颜⾊不同则为中
奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有⼀次中奖的概率P，当n 取何值时，P 最⼤？
【分析】（1）①记三个⼈分别为A、B、C，则4 次传球的所有可能可⽤树状图列出，根据古典概型的概
率公式求解．
②第n 次传球前在⼄丙⼿中的概率均为
，从⽽
，
所以
；
，推导出
为等⽐数列，⾸项
为
，公⽐为
，由此能推导出b100＞a100．
（2）⼀次摸奖中奖的概率
，三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有⼀次中奖的
第68⻚（共77⻚）
概率
，（0＜pn＜1），利⽤导数性质推导出在
上P 为
增函数，在
上P 为减函数，当
时，P 取得最⼤值，由此能求出结果．
【解答】解：（1）①在该活动的某次篮球训练课上，进⾏了⼀场A、B、C3 名⼥篮队员的传接球的训练，
球从A ⼿中开始，等可能地随机传向另外2 ⼈中的1 ⼈，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2 ⼈
中的1 ⼈，
如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住，
记第n 次传球之前球在A ⼿中的概率为an，a1＝1，a2＝0，
记三个⼈分别为A、B、C，则4 次传球的所有可能可⽤树状图列出，如图．
每⼀个分⽀为⼀种传球⽅案，则基本事件的总数为16，⽽⼜回到A ⼿中的事件个数为6，
根据古典概型的概率公式得
．
②第n 次传球前在⼄丙⼿中的概率均为
，
故
，
所以
；
，
∴
为等⽐数列，⾸项为
，公⽐为
，
∴
．
∴
，
∴
，
第69⻚（共77⻚）
∴b100＞a100．
（2）⼀次摸奖从n+5 个球中任选两个，有
种，它们等可能，其中两球不同⾊有
种，
⼀次摸奖中奖的概率
，
三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有⼀次中奖的概率
，（0＜pn
＜1）
则
知在
上P 为增函数，在
上P 为减函数，当
时，P 取得最⼤值，
⼜
，得n＝20 时，P 最⼤．
【点评】本题考查古典概率的计算公式、等⽐数列、导数性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档
题．
51．某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、
⺠族⼯艺三类问题海ᰁ题库，其中家政类占
，园艺类占
，⺠族⼯艺类占
．根据以往答题经验，选
⼿甲答对家政类、园艺类、⺠族⼯艺类题⽬的概率分别为
，选⼿⼄答对这三类题⽬的概率
均为
．
（1）求随机任选1 题，甲答对的概率；
（2）现进⾏甲、⼄双⼈对抗赛，规则如下：两位选⼿进⾏三轮答题⽐赛，每轮只出1 道题⽬，⽐赛时两
位选⼿同时回答这道题，若⼀⼈答对且另⼀⼈答错，则答对者得1 分，答错者得﹣1 分，若两⼈都答对
或都答错，则两⼈均得0 分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选⼿答对与否互不影响，每次答题的
结果也互不影响，求甲获得奖品的概率．
【分析】（1）利⽤全概率公式，即可求得答案；
（2）求出⼄答对的概率，设每⼀轮⽐赛中甲得分为X，求出X 的每个值对应的概率，即可求得三轮⽐
赛后，甲总得分为Y 的每个值相应的概率，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，记随机任选1 题为家政、园艺、⺠族⼯艺试题分别为事件Ai（i＝1，2，3），
记随机任选1 题，甲答对为事件B，
则
，
则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
第70⻚（共77⻚）
＝
；
（2）设⼄答对记为事件C，则P（C）＝P（A1）P（C|A1）+P（A2）P（C|A2）+P（A3）P（C|A3）
＝
，
设每⼀轮⽐赛中甲得分为X，
则
，
，
，
三轮⽐赛后，设甲总得分为Y，
则
，
，
，
所以甲最终获得奖品的概率为
．
【点评】本题考查概率的应⽤，涉及条件概率的计算，属于中档题．
52．多样性指数是⽣物群落中种类与个体数的⽐值．在某个物种数⽬为S 的群落中，⾟普森多样性指数
，其中ni 为第i 种⽣物的个体数，N 为总个体数．当D 越⼤时，表明该群落的多样性
越⾼．已知A，B 两个实验⽔塘的构成如下：
绿藻
⾐藻
⽔绵
蓝藻
硅藻
A
6
6
6
6
6
B
12
4
3
6
5
（1）若从A，B 中分别抽取⼀个⽣物个体，求两个⽣物个体为同⼀物种的概率；
（2）（i）⽐较A，B 的多样性⼤⼩；
（ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素．
【分析】（1）利⽤古典概型的求法可得答案；
（2）根据给出
求出，然后⽐较即可．
【解答】解：（1）记事件C 为“两个⽣物个体为同⼀物种”，
第71⻚（共77⻚）
则C 发⽣的概率为
．
（2）（i）由表可知
所以
，
；
即DA＞DB，故A 的多样性⼤于B；
（ii）在（i）中两群落物种数⽬相同，各物种数ᰁ不同，⽽A 中各物种数ᰁ均相同，
即物种均匀度更⼤，分析可得物种均匀度也会影响群落多样性．
【点评】本题考查古典概型、求和公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
53．现有12 个球，其中6 个球由甲⼯⼚⽣产，4 个球由⼄⼯⼚⽣产，2 个球由丙⼯⼚⽣产．这三个⼯⼚⽣产
该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12 个球中任取1 个球，设事件B 为“取得的球是次品”，
事件A1，A2，A3分别表示“取得的球是甲、⼄、丙三个⼯⼚⽣产的”，
（1）求P（Ai），i＝1，2，3，
（2）若取出的球是次品，求该球是甲⼯⼚⽣产的概率．（⽤分数作答）
【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，直接求解即可；
（2）根据全概率公式，求得P（B），再根据⻉叶斯公式，求得P（A1|B）即可．
【解答】解：（1）根据题意，
．
（2）根据题意可得
，
故
；
则
，
故若取出的球是次品，求该球是甲⼯⼚⽣产的概率为
．
【点评】本题考查古典概型的概率计算公式、全概率公式、⻉叶斯公式等基础知识，考查运算求解能⼒，
是中档题．
54．盒中共有3 个⼩球，其中1 个⿊球，2 个红球．每次随机抽取1 球后放回，并放⼊k（k∈N）个同⾊球．
（Ⅰ）若k＝0，记抽取n 次中恰有1 次抽中⿊球的概率为Pn，求Pn 的最⼤值；
第72⻚（共77⻚）
（Ⅱ）若k＝1，记事件B1表示抽取第i 次时抽中⿊球．
（i）分别求P（B1
），P（
B2
），P（
B3）；
（ii）结合上述分析，请直接写出抽取n 次中恰有2 次抽中⿊球的概率．
【分析】（Ⅰ）利⽤独⽴事件的概率乘法公式求解；
（Ⅱ）（i）利⽤条件概率公式求解；
（ii）由（i）可进⾏猜测，抽取n 次中恰有2 次抽中的⿊球的概率与抽球次序⽆关，再结合独⽴事件的
概率乘法公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）若k＝0，设抽取n 次中抽中⿊球的次数为X，则X～
，
故
，
由
，P1＜P2＝P3＞P4＞P5＞⋯，
故Pn 最⼤值为P2或P3，即Pn 的最⼤值
；
（Ⅱ）（i）
，
，
；
（ii）由（i）可进⾏猜测，抽取n 次中恰有2 次抽中的⿊球的概率与抽球次序⽆关，
则P＝
P（
…
）＝
×
×…×
＝
．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于中档题．
55．袋⼦中混有除颜⾊外均相同的2 个⽩球和2 个红球，每次从中不放回的随机取出1 个球，当袋中的红
球全部取出时停⽌取球．甲表示事件“第⼆次取出的球是红球”，⼄表示事件“停⽌取球时袋中剩余1 个
⽩球”．
（1）求甲发⽣的概率；
（2）证明：甲与⼄相互独⽴．
【分析】（1）记事件丙为“第⼀次取出的球是红球”，则
，由古典概型，全概率
公式求解；
（2）根据相互独⽴事件的定义证明P（甲⼄）＝P（甲）P（⼄）．
【解答】解（1）记事件丙为“第⼀次取出的球是红球”，
第73⻚（共77⻚）
则
，
，
，
，
所以
，
则
；
（2）证明：由题意知，⼄等价于“停⽌取球时共取出了1 个⽩球和2 个红球”，且第三次取出的球⼀定为
红球，
∴此时取出顺序只有“红、⽩、红”与“⽩、红、红”两种可能，
则
，
其中，甲⼄同时发⽣等价于“⽩、红、红”的情况，
∴
，
∴P（甲⼄）＝P（甲）P（⼄），
∴甲与⼄相互独⽴．
【点评】本题考查古典概型，全概率公式、相互独⽴事件的定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基
础题．
56．某班组建了⼀⽀8 ⼈的篮球队，其中甲、⼄、丙、丁四位同学⼊选，该班体育⽼师担任教练．
（1）从甲、⼄、丙、丁中任选两⼈担任队⻓和副队⻓，甲不担任队⻓，共有多少种选法？
（2）某次传球基本功训练，体育⽼师与甲、⼄、丙、丁进⾏传球训练，⽼师传给每位学⽣的概率都相等，
每位学⽣传球给同学的概率也相等，学⽣传给⽼师的概率为
．传球从⽼师开始，记为第⼀次传球，前
三次传球中，甲同学恰好有⼀次接到球且第三次传球后球回到⽼师⼿中的概率是多少？
【分析】（1）法⼀：先选出队⻓，由于甲不担任队⻓，⽅法数为
，再选出副队⻓，⽅法数也是
，
利⽤乘法原理能求出结果．
法⼆：先不考虑队⻓⼈选对甲的限制，共有⽅法数为
种，若甲任队⻓，⽅法数为
，由
此能求出甲不担任队⻓的选法种数．
（2）①若第⼀次传球，⽼师传给了甲，其概率为
，第⼆次传球甲只能传给⼄、丙、丁中的任⼀位同学，
第74⻚（共77⻚）
其概率为
，第三次传球，⼄、丙、丁中的⼀位传球给⽼师，其概率为
，由此求出这种传球⽅式，三
次传球后球回到⽼师⼿中的概率；②若第⼀次传球，⽼师传给⼄、丙、丁中的任⼀位，其概率为
，第
⼆次传球，⼄、丙、丁中的⼀位传球给甲，其概率为
，第三次传球，甲将球传给⽼师，其概率为
，
由此求出这种传球⽅式，三次传球后球回到⽼师⼿中的概率．进⽽能求出前三次传球中，甲同学恰好有
⼀次接到球且第三次传球后球回到⽼师⼿中的概率．
【解答】解：（1）某班组建了⼀⽀8 ⼈的篮球队，其中甲、⼄、丙、丁四位同学⼊选，该班体育⽼师担
任教练，
从甲、⼄、丙、丁中任选两⼈担任队⻓和副队⻓，甲不担任队⻓，
法⼀：先选出队⻓，由于甲不担任队⻓，⽅法数为
，
再选出副队⻓，⽅法数也是
，
故共有⽅法数为
（种）．
法⼆：先不考虑队⻓⼈选对甲的限制，共有⽅法数为
（种），
若甲任队⻓，⽅法数为
，故甲不担任队⻓的选法种数为12﹣3＝9（种），
故从甲、⼄、丙、丁中任选两⼈分别担任队⻓和副队⻓，甲不担任队⻓的选法共有9 种．
（2）①若第⼀次传球，⽼师传给了甲，其概率为
，
第⼆次传球甲只能传给⼄、丙、丁中的任⼀位同学，其概率为
，
第三次传球，⼄、丙、丁中的⼀位传球给⽼师，其概率为
，
故这种传球⽅式，三次传球后球回到⽼师⼿中的概率为：
，
②若第⼀次传球，⽼师传给⼄、丙、丁中的任⼀位，其概率为
，
第⼆次传球，⼄、丙、丁中的⼀位传球给甲，其概率为
，
第三次传球，甲将球传给⽼师，其概率为
，
这种传球⽅式，三次传球后球回到⽼师⼿中的概率为
，
所以，前三次传球中满⾜题意的概率为：
，
前三次传球中，甲同学恰好有⼀次接到球且第三次传球后球回到⽼师⼿中的概率是
．
第75⻚（共77⻚）
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
57．课外阅读对于培养学⽣的阅读兴趣、拓宽知识视ᰀ、提⾼阅读能⼒具有᯿要作⽤．某市为了解中学⽣
的课外阅读情况，从该市全体中学⽣中随机抽取了500 名学⽣，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均
时⻓t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学⽣中寒假期间每天课外阅读平均时
⻓均不超过100 分钟．
时⻓t
[0，20）
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100]
学⽣⼈数
50
100
200
125
25
（Ⅰ）估计这500 名学⽣寒假期间每天课外阅读平均时⻓的平均数（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值
为代表）；
（Ⅱ）若按照分层抽样的⽅法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时⻓在[0，20）和[20，40）的两组
中共抽取6 ⼈进⾏问卷调查，并从6 ⼈中随机选取2 ⼈进⾏座谈，求这2 ⼈中⾄少有⼀⼈寒假期间每天
课外阅读平均时⻓在[0，20）的概率．
【分析】（Ⅰ）利⽤平均数的定义求解；
（Ⅱ）利⽤古典概型的概率公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）估计平均数为
（10×50+30×100+50×200+70×125+90×25）＝49；
（Ⅱ）寒假期间每天课外阅读平均时⻓在[0，20）和[20，40）的⼈数之⽐为1：2，
所以抽取的6 ⼈中，寒假期间每天课外阅读平均时⻓在[0，20）内的有2 ⼈，记为A，B，
寒假期间每天课外阅读平均时⻓在[20，40）内的有4 ⼈，记为a，b，c，d，
从6 ⼈中随机选取2 ⼈，所有可能有：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，
cd，共15 种情况，
其中⾄少有⼀⼈寒假期间每天课外阅读平均时⻓在[0，20）的有：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，
Bd，共9 种情况，
所以所求概率为
＝．
【点评】本题主要考查了平均数的定义，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
58．2024 年3 ⽉31 ⽇在连南举⾏半程⻢拉松赛，为确保⻢拉松赛事顺利举⾏，组委会在沿途⼀共设置了7
个饮⽔点，每两个饮⽔点中间再设置⼀个服务站，⼀共6 个服务站．由含甲、⼄在内的13 ⽀志愿者服
务队负责这13 个站点的服务⼯作，每⼀个站点有且仅有⼀⽀服务队负责服务．
（1）求甲队只去⾸尾的饮⽔点，且⼄队只去与甲队不相邻的服务站的概率；
（2）为了解志愿者服务队的⼯作效果，将四名⼯作⼈员随机分派到A，B，C 三个站点进⾏抽查，每⼈
第76⻚（共77⻚）
被分派到哪个站点互不影响，求三个站点中恰有⼀个站点未分配到任何⼯作⼈员的概率．
【分析】（1）利⽤古典概型的概率公式求解；
（2）利⽤古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解．
【解答】解：（1）由题意可知，甲队和⼄队共有
种不同的安排⽅法，
甲队只去⾸尾的饮⽔点，且⼄队只去与甲队不相邻的服务站，共有
种，
所以所求概率为
＝
；
（2）将四名⼯作⼈员随机分派到A，B，C 三个站点进⾏抽查，共有34种不同的安排⽅法，
三个站点中恰有⼀个站点未分配到任何⼯作⼈员，共有
（
）种不同的安排⽅法，
所以所求概率为
＝
．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了分组分配问题，属于基础题．
59．受环境和⽓候影响，近阶段在相邻的甲、⼄、丙三个市爆发了⽀原体肺炎，经初步统计，这三个市分
别有8%，6%，4%的⼈感染了⽀原体肺炎病毒，已知这三个市的⼈⼝数之⽐为4：6：10，现从这三个市
中任意选取⼀个⼈．
（1）求这个⼈感染⽀原体肺炎病毒的概率；
（2）若此⼈感染⽀原体肺炎病毒，求他来⾃甲市的概率．
【分析】（1）记事件D：选取的这个⼈感染了⽀原体肺炎病毒，记事件E：此⼈来⾃甲市，记事件F：
此⼈来⾃⼄市，记事件G：此⼈来⾃丙市，求出P（E），P（F），P（G），P（D|E），P（D|F），P（D|G），
根据全概率公式可得答案；
（2）由条件概率公式可得答案．
【解答】解：（1）记事件D：选取的这个⼈感染了⽀原体肺炎病毒，
记事件E：此⼈来⾃甲市，记事件F：此⼈来⾃⼄市，记事件G：此⼈来⾃丙市，
则Ω＝E∪F∪G，且E，F，G 彼此互斥，
由题意可得
，
，
，
P（D|E）＝0.08，P（D|F）＝0.06，P（D|G）＝0.04，
由全概率公式可得P（D）＝P（E）•P（D|E）+P（F）•P（D|F）+P（G）•P（D|G）
＝0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04＝0.054，
第77⻚（共77⻚）
所以从三市中任取⼀⼈，这个⼈感染⽀原体肺炎病毒的概率为0.054；
（2）由条件概率公式可得
，
所以当此⼈感染⽀原体肺炎病毒时，他来⾃甲市的概率为
．
【点评】本题考查条件概率公式及全概率公式，属中档题．
60．⼀个盒⼦中装有4 张卡⽚，卡⽚上分别写有数字1、2、3、4．现从盒⼦中随机抽取．
（1）若⼀次抽取3 张卡⽚，求3 张卡⽚上数字之和⼤于7 的概率；
（2）若第⼀次抽取1 张卡⽚，放回后再抽取1 张卡⽚，求两次抽取的卡⽚上数字之和⼤于7 的概率．
【分析】（1）由古典概型的概率公式计算即可；
（2）由古典概型的概率公式计算即可．
【解答】解：（1）设A 表示事件“3 张卡⽚上数字之和⼤于7”，
⼀次抽取3 张卡⽚，共有4 种可能结果，
⽽事件A 包含抽取1、3、4 和2、3、4，这2 种可能结果，
所以
；
（2）设B 表示事件“两次抽取的卡⽚上数字之和⼤于7”，
两次抽取卡⽚共有16 种可能结果，
⽽事件B 只包含两次抽取的卡⽚均为4，这1 种可能结果，
所以
．
【点评】本题考查古典概型的概率求法，属于基础题．
声明：试题解析著作权属菁优⽹所有，未经书⾯同意，不得复制发布⽇期：2024/5/2710:15:21；⽤户：13659236337；邮箱：13659236337；学号：33232166
第21⻚（共53⻚）
统计、概率与概率分布—题型13～题型15 答案
⼀．选择题（共40 ⼩题）
1．某学习⼩组共有9 名学⽣，其中有5 名⼥⽣，现随机从这9 名学⽣中抽取2 名任⼩组组⻓，A 表示“抽到
的2 名学⽣都是⼥⽣”，B 表示“抽到的2 名学⽣性别相同”，则P（A|B）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤古典概型的概率公式求出P（A），P（AB），再利⽤条件概率公式求解．
【解答】解：由题意可知，P（B）＝
＝，P（AB）＝
＝
，
所以P（A|B）＝
＝
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
2．贵州有很多旅游景点，值得推荐的景区是“⻩⼩⻄吃晚饭”．“⻩⼩⻄”分别指⻩果树、荔波⼩七孔和⻄江
千户苗寨，“吃晚饭”分别代表其谐⾳对应的三个景区：⾚⽔国家级⻛景名胜区、万峰林和梵净⼭．现有
甲、⼄两位游客慕名来到贵州，都准备从上⾯6 个著名旅游景点中随机选择⼀个游玩．设事件A 为“甲
和⼄⾄少⼀⼈选择⻩果树”，事件B 为“甲和⼄选择的景点不同”，则P（B|A）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件概率公式结合古典概型运算公式求解即可得结论．
【解答】解：由题意，两位游客从6 个著名旅游景点中随机选择⼀个游玩，共有6×6＝36 种，
其中事件A 的情况有6×6﹣5×5＝11 种，事件A 和事件B 共同发⽣的情况有2×5＝10 种，
所以
，
，
所以
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了条件概率公式的应⽤，属于基础题．
3．设A，B 是⼀个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则
＝（
）
第22⻚（共53⻚）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，由概率的性质可得P（AB）＝
，由此可得P（AB）＝P（A）P（B），则事件A、
B 相互独⽴，进⽽求出P（B）的值，由条件概率公式计算可答案．
【解答】解：根据题意，
，
，
，则P（AB）＝P（A）+P（B）﹣P（A
∪B）＝+
﹣＝
，
则有P（AB）＝P（A）P（B），则事件A、B 相互独⽴，
则有P（B）＝P（）P（B）＝×
＝，
则P（B| ）＝
＝
＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的应⽤，涉及条件概率的计算，属于基础题．
4．袋⼦中有8 个⼤⼩相同的⼩球，其中5 个红球，3 个蓝球，每次从袋⼦中随机摸出1 个球，摸出的球不
再放回，则在第1 次摸到红球的条件下，第2 次摸到蓝球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代⼊计算，即可得到结果．
【解答】解：设事件A 表示第1 次摸到红球，事件B 表示第2 次摸到蓝球，
则
，
，
所以
．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率，属于基础题．
5．已知事件A 发⽣的概率为0.4，事件B 发⽣的概率为0.5，若在事件B 发⽣的条件下，事件A 发⽣的概
率为0.6，则在事件A 发⽣的条件下，事件B 发⽣的概率为（
）
A．0.85
B．0.8
C．0.75
D．0.7
【分析】利⽤条件概率公式求出P（AB）的值，再利⽤条件概率公式可求出P（B|A）的值．
【解答】解：由已知可得P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，P（A|B）＝0.6，
第23⻚（共53⻚）
由P（A|B）＝
，可得P（AB）＝P（B）P（A|B）＝0.5×0.6＝0.3，
∴在事件A 发⽣的条件下，事件B 发⽣的概率为：
P（B|A）＝
＝
．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
6．已知
，则
＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤条件概率公式求解．
【解答】解：∵
，
∴P（A）＝P（A）﹣P（AB）＝
＝，
∴P（|A）＝
＝
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了条件概率公式的应⽤，属于基础题．
7．某单位选派⼀⽀代表队参加市⾥的辩论⽐赛，现有“初⼼”“使命”两⽀预备队．选哪⽀队是随机的，其中
选“初⼼”队获胜的概率为0.8，选“使命”队荻胜的概率为0.7，单位在⽐赛中获胜的条件下，选“使命”队
参加⽐赛的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件概率相关知识可解．
【解答】解：依题意，选“初⼼”队获胜的概率为0.8，选“使命”队荻胜的概率为0.7，
记选“使命”队为事件B，选“初⼼”队为事件A，
该单位获胜为事件M，则P（A）＝P（B）＝0.5，P（M|A）＝0.8，P（M|B）＝0.7．
所以
．
故选：D．
【点评】本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10 个数字中不放回地依次取2 个数，记“第⼀次取到的是偶数”为事
第24⻚（共53⻚）
件A，“第⼆次取到的是奇数”为事件B，则P（B|A）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据实际情况缩⼩样本空间，利⽤古典概型求概率公式得到条件概率．
【解答】解：在事件A 发⽣后，只有9 个数字，其中有5 个奇数，所以
．
故选：C．
【点评】本题主要考查条件概率，属于基础题．
9．元宵节是中国的传统节⽇之⼀，“元宵”作为⻝品，在我国也由来已久．宋代，⺠间即流⾏⼀种元宵节吃
的新奇⻝品．这种⻝品，最早叫“浮元⼦”后称“元宵”．元宵即“汤圆”以⽩糖、玫瑰、芝麻、⾖沙、⻩桂、
核桃仁、果仁、枣泥等为馅，⽤糯⽶粉包成圆形，可荤可素，⻛味各异，可汤煮、油炸、蒸⻝，有团圆
美满之意．某商店有6 种馅的汤圆，其中4 种素的和2 种荤的，美华随机取出两袋购买，事件A“取到的
两袋同为荤或素”，事件B“取到的两袋都是素的”，则P（B|A）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意结合组合数求P（A），P（AB），再根据条件概率公式运算求解．
【解答】解：由题意可知：
，
所以
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
10．在5 道题中有3 道数学题和2 道物理题，如果不放回地依次抽取2 道题，则在第⼀次抽到数学题条件
下，第⼆次抽到数学题的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】设出事件，利⽤条件概率公式进⾏求解．
【解答】解：设第⼆次抽到数学题为事件A，第⼀次抽到数学题为事件B，
则
，
，
第25⻚（共53⻚）
则
．
故选：B．
【点评】本题考查条件概率的相关知识，属于中档题．
11．甲⼄⼆⼈争夺⼀场围棋⽐赛的冠军，若⽐赛为“三局两胜”制，甲在每局⽐赛中获胜的概率均为
，各
局⽐赛结果相互独⽴且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，⽐赛进⾏了三局的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件概率公式求解即可．
【解答】解：设甲获胜为事件A，⽐赛进⾏3 局为事件B，
则P（A）＝
+
＝
，
P（AB）＝
＝
，
P（B|A）＝
＝
＝．
故选：A．
【点评】本题考查条件概率公式的应⽤，是基础题．
12．从1，2，3，4，5 中不放回地抽取2 个数，则在第1 次抽到奇数的条件下，第2 次⼜抽到奇数的概率是
（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据条件概型的知识求得正确答案．
【解答】解：在第1 次抽到奇数的条件下，余下2 个奇数和2 个偶数，
再次抽取时，抽到奇数的概率为
．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率、古典概型等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
13．抛掷三枚质地均匀的硬币⼀次，在有⼀枚正⾯朝上的条件下，另外两枚也正⾯朝上的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤条件概率公式求解．
第26⻚（共53⻚）
【解答】解：根据题意可知抛掷三枚硬币，则其样本空间包含8 个等可能的样本点，其中有⼀枚正⾯朝
上包含7 个样本点，
记事件A 表示“有⼀枚正⾯朝上”，事件B 表示“另外两枚也正⾯朝上”，
则AB 为“三枚都正⾯朝上”，
所以
，P（AB）＝，
所以
．
即在有⼀枚正⾯朝上的条件下，另外两枚也正⾯朝上的概率是
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
14．我国古代典籍《周易》⽤“卦”描述万物的变化，每⼀“重卦”由从下到上排列的6 个⽘组成，⽘分为阳⽘
“
”和阴⽘“
”，如图就是⼀重卦．在所有重卦中随机取⼀重卦，记事件A＝“取
出的重卦中⾄少有1 个阴⽘”，事件B＝“取出的重卦中⾄少有3 个阳⽘”．则P（B|A）（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】记事件A＝“取出的重卦中⾄少有1 个阴⽘”，事件B＝“取出的重卦中恰有3 个阳⽘”．推导出P
（A）＝
，P（AB）＝
，则
，由此能求出结果．
【解答】解：每⼀“重卦”由从下到上排列的6 个⽘组成，⽘分为阳⽘“⼀”和阴⽘“——”，
在所有重卦中随机取⼀重卦，记事件A＝“取出的重卦中⾄少有1 个阴⽘”，事件B＝“取出的重卦中恰有
3 个阳⽘”，
事件AB＝“取出的重卦中有3 阳3 阴或4 阳2 阴或5 阳1 阴”，
P（A）＝
，
P（AB）＝
，
第27⻚（共53⻚）
则P（B|A）＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率的求法，考查条件概率的计算，属于基础题．
15．A、B 是⼀个随机试验中的两个事件，且
，则下列错误的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由P（A|B）＝
可得P（AB）＝P（B），由P（A+ ）＝1﹣P（B）可得P（B）＝
，
再结合P（B）＝P（B）﹣P（AB）可求出P（B），P（AB），再利⽤条件概率公式求解即可．
【解答】解：∵P（A|B）＝
＝，∴P（AB）＝P（B），
⼜∵P（A+ ）＝1﹣P（B）＝
，
∴P（B）＝
，故C 错误；
∵P（B）＝P（B）﹣P（AB）＝
，
∴P（B）﹣P（B）＝
，
∴P（B）＝，故A 正确；
∵P（AB）＝P（B）＝，
∴P（A ）＝P（A）﹣P（AB）＝﹣＝，故B 正确；
∴P（B|A）＝
＝
＝，故D 正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查⼒条件概率的计算，考查了随机事件的概率关系，属于中档题．
16．某校春季体育运动会上，甲，⼄两⼈进⾏⽻⽑球项⽬决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠
军．已知甲、⼄两⼈⽔平相当，记事件A 表示“甲获得冠军”，事件B 表示“⽐赛进⾏了五局”，则P（A| ）
＝（
）
A．
B．
C．
D．
第28⻚（共53⻚）
【分析】由题意可知，每局⽐赛甲，⼄获胜的概率都是
，利⽤独⽴事件的概率乘法公式求出P（A），
P（B），P（AB），再结合条件概率公式求解．
【解答】解：因为甲、⼄两⼈⽔平相当，所以每局⽐赛甲，⼄获胜的概率都是
，
甲获得冠军，可能进⾏了3 局或4 局或5 局⽐赛，
则P（A）＝
+
+
＝，
⽐赛进⾏了五局，分甲获胜和⼄获胜两种情况，
P（B）＝2
＝，
则P（AB）＝
＝
，
所以P（A ）＝P（A）﹣P（AB）＝
＝
，
所以P（A| ）＝
＝
＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于中档题．
17．正值春夏交接时节，学⽣极易发⽣感冒．某学校⾼⼀、⾼⼆、⾼三三个年级的⼈数之⽐为3：2：1，且
这三个年级分别有x%、y%、（x+y）%的⼈患有感冒．现在从这三个年级中任选⼀⼈进⾏调查，在此⼈
患了感冒的条件下，此⼈来⾃⾼⼆年级的概率最⼤．则下列取值可能的是（
）
A．x＝3、y＝2
B．x＝3、y＝3
C．x＝3、y＝4
D．x＝3、y＝5
【分析】设事件A，B，C 分别表示此⼈为⾼⼀、⾼⼆、⾼三学⽣，事件D 表示此⼈为感冒，则P（A）
＝
，P（B）＝
，P（C）＝
，P（D|A）＝x%，P（D|B）＝y%，P（D|C）＝（x+y）%，由题意得
，结合条件概率公式可得y＞x，进⽽可判断各个选项的正误．
【解答】解：设事件A，B，C 分别表示此⼈为⾼⼀、⾼⼆、⾼三学⽣，事件D 表示此⼈为感冒，
则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（D|A）＝x%，P（D|B）＝y%，P（D|C）＝（x+y）%，
由题意得
，即
，
第29⻚（共53⻚）
所以
，
所以
，
解得y＞x，
观察四个选项可知，x＝3，y＝5 符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了条件概率公式的应⽤，属于中档题．
18．经统计，我市每年四⽉份降⾬的概率为
，出现四级以上⼤⻛天⽓的概率为
，在出现四级以上⼤
⻛天⽓条件下，降⾬的概率为
，则在已知降⾬的条件下，出现四级以上⼤⻛天⽓的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤条件概率公式求解．
【解答】解：设事件A 表示“四⽉份降⾬”，事件B 表示“出现四级以上⼤⻛天⽓”，
则P（A）＝
，P（B）＝
，P（A|B）＝
，
所以P（AB）＝P（A|B）P（B）＝
＝
，
所以P（B|A）＝
＝
＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
19．⽂明是⼀座城市最靓丽的底⾊，也是⼀座城市最暖的名⽚．⾃内江市开展“让⽂明出⾏成为甜城靓丽⻛
景”⽂明实践⽇活动以来，全市⼴⼤学⼦以实际⾏动提升城市⽂明形象，助⼒全国⽂明城市创建⼯作．在
活动中，甲、⼄两名同学利⽤周末时间到交通路⼝开展⽂明劝导志愿服务⼯作，他们可以从A、B、C、
D 四个路⼝中随机选择⼀个路⼝，设事件M 为“甲和⼄⾄少有⼀⼈选择了A 路⼝”，事件N 为“甲和⼄选
择的路⼝不相同”，则P（N|M）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，由古典概型公式求出P（M）和P（MN），进⽽由条件概率公式计算可得答案．
第30⻚（共53⻚）
【解答】解：根据题意，甲和⼄从A、B、C、D 四个路⼝中随机选择⼀个路⼝，则有4×4＝16 种选法，
其中事件M 发⽣的情况共有16﹣32＝7 种，事件M 和事件N 同时发⽣的情况共有6 种，
则P（M）＝
，P（MN）＝
，
故P（N|M）＝
＝
＝．
故选：B．
【点评】本题考查条件概率的计算，涉及古典概型和分步计数原理的应⽤，属于基础题．
20．已知随机事件A，B 发⽣的概率分别为P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，则下列说法正确的是（
）
A．若P（AB）＝0.9，则A，B 相互独⽴
B．若A，B 相互独⽴，则P（A|B）＝0.6
C．若P（A|B）＝0.5，则P（AB）＝0.25
D．若B⊆A，则P（B|A）＝0.8
【分析】根据相互独⽴事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D．
【解答】解：对于A：因为P（AB）≠P（A）P（B），所以A 与B 不独⽴，故A 错误；
对于B：若A，B 相互独⽴，则
，故B 错误；
对于C：因为
，所以P（AB）＝P（B）P（A|B）＝0.4×0.5＝0.2，故C 错误；
对于D：若B⊆A，则P（AB）＝P（B）＝0.4，所以
，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的定义，考查了条件概率公式，属于基础题．
21．已知P（A）＝0.6，P（AB）＝0.3，
，下列选项正确的是（
）
A．P（B）＝0.4
B．P（A|B）＝0.6
C．
D．P（AB）≠P（A）P（B）
【分析】根据条件概率公式即可判断ABC，根据事件的独⽴性公式，即可判断D．
【解答】解：因为P（A）＝0.6，所以P（）＝0.4，
P（AB）＝0.3，P（AB）+P（B）＝P（B），
＝
＝
＝
＝0.5，
故P（B）＝0.5，故A 错误；P（AB）＝P（A）P（B），故D 错误；
第31⻚（共53⻚）
P（A|B）＝
＝
＝0.6，故B 正确；
P（|B）＝
＝
＝0.4，故C 错误．
故选：B．
【点评】本题考查概率的应⽤，属于基础题．
22．数学家⾼斯在各个领域中都取得了重⼤的成就．在研究⼀类⼆次型数论问题时，他在他的著作《算术
研究》中⾸次引⼊了⼆次剩余的概念．⼆次剩余理论在嗓⾳⼯程学、密码学以及⼤数分解等各个领域都
有⼴泛的应⽤．已知对于正整数a，n（n≥2），若存在⼀个整数x，使得n 整除x2﹣a，则称a 是n 的⼀个
⼆次剩余，否则为⼆次⾮剩余．从1 到20 这20 个整数中随机抽取⼀个整数a，记事件A＝“a 与12 互质”，
B＝“a 是12 的⼆次⾮剩余”，则P（B|A）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，先由古典概型计算P（A）和P（AB），即可求出P（B|A）．
【解答】解：根据题意，在1﹣20 内与12 互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以P（A）＝
；
事件B＝“a 是12 的⼆次⾮剩余”，即
为不是整数，
则符合条件的a 值有3，5，6，7，8，10，11，14，15，17，18，19，20；
则P（AB）＝P（a＝5，7，11，17，19）＝
，
故P（B|A）＝
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
23．已知0＜P（B）＜1，
，
，若
，则P（B）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤全概率公式求解．
【解答】解：∵
，∴P（A）＝1﹣P（）＝，
由全概率公式可得，P（A）＝P（B）•P（A|B）+P（）P（A| ）＝P（B）+
[1﹣P（B）]＝，
解得P（B）＝．
第32⻚（共53⻚）
故选：B．
【点评】本题主要考查了全概率公式的应⽤，属于基础题．
24．袋⼦中装有5 个形状和⼤⼩相同的球，其中3 个标有字⺟a，2 个标有字⺟b．甲先从袋中随机摸⼀个
球，摸出的球不再放回，然后⼄从袋中随机摸⼀个球，若甲、⼄两⼈摸到标有字⺟a 的球的概率分别为
p1，p2，则（
）
A．p1＝p2
B．2p1＝3p2
C．p1＝3p2
D．2p1＝p2
【分析】利⽤古典概型的概率及全概率公式求出p1，p2后可得正确的选项．
【解答】解：设A 为“甲摸到标有字⺟a 的球”，B 为“⼄摸到标有字⺟a 的球”，
则
，
⽽
，
故p1＝p2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了全概率公式，属于基础题．
25．现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2 袋，第⼀袋有6 名男⽣和4 名⼥⽣的报名表，
第⼆袋有8 名男⽣和2 名⼥⽣的报名表．随机选择⼀袋，然后从中随机抽取2 份，则恰好抽到男⽣和⼥
⽣的报名表各⼀份的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤全概率公式求解．
【解答】解：设A1＝“抽到第⼀袋”，A2＝“抽到第⼆袋”，B＝“随机抽取2 份，恰好抽到男⽣和⼥⽣的报
名表各1 份”，
则
，
，P（B|A2）＝
＝
，
由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝
＝，
故随机选择⼀袋，然后从中随机抽取2 份，恰好抽到男⽣和⼥⽣的报名表各1 份的概率是
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
26．已知某公路上经过的货⻋与客⻋的数量之⽐为2：1，货⻋和客⻋中途停⻋修理的概率分别为0.02，0.01，
第33⻚（共53⻚）
则⼀辆汽⻋中途停⻋修理的概率为（
）
A．
B．.
C．.
D．.
【分析】利⽤全概率公式求解．
【解答】解：由全概率公式可知，⼀辆汽⻋中途停⻋修理的概率为
＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
27．有甲、⼄两台⻋床加⼯同⼀种零件，且甲、⼄两台⻋床的产量分别占总产量的70%，30%，甲、⼄两台
⻋床的正品率分别为94%，92%．现从⼀批零件中任取⼀件，则取到正品的概率为（
）
A．0.93
B．0.934
C．0.94
D．0.945
【分析】结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：甲、⼄两台⻋床的产量分别占总产量的70%，30%，甲、⼄两台⻋床的正品率分别为94%，
92%，
则取到正品的概率为：0.7×0.94+0.3×0.92＝0.934．
故选：B．
【点评】本题主要考查全概率公式的应⽤，属于基础题．
28．若甲盒中有2 个⽩球、2 个红球、1 个⿊球，⼄盒中有x 个⽩球（x∈N*）、3 个红球、2 个⿊球，现从甲
盒中随机取出⼀个球放⼊⼄盒，再从⼄盒中随机取出⼀个球，若从甲盒中取出的球和从⼄盒中取出的球
颜⾊相同的概率⼤于等于
，则x 的最⼤值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】设第⼀次从甲盒中取出⽩球，红球，⿊球的事件分别为A1，A2，A3，从甲盒中取出的球和从⼄
盒中取出的球颜⾊相同的事件为B，由全概率公式能求出结果．
【解答】解：设第⼀次从甲盒中取出⽩球，红球，⿊球的事件分别为A1，A2，A3，
从甲盒中取出的球和从⼄盒中取出的球颜⾊相同的事件为B，
则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
＝
+
+
＝
，
解得x≤6，
∴x 的最⼤值为6．
故选：C．
第34⻚（共53⻚）
【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
29．⼴⻄壮族⾃治区桂林市荔浦市，被称为“中国⾐架之都”，是全国最⼤的⽊⾐架⽣产和出⼝基地，已知
荔浦市某⼚甲、⼄两⻋间⽣产同⼀批⾐架，且甲、⼄两⻋间的产量分别占全⼚产量的60%，40%，甲、
⼄⻋间的优品率分别为95%，90%．现从该⼚这批产品中任取⼀件，则取到优品的概率为（
）
A．93%
B．93.5%
C．94%
D．94.5%
【分析】根据给定条件，利⽤全概率公式列式计算即得．
【解答】解：记事件A＝“任取⼀件，取得优品”，事件B1＝“取到甲⻋间的产品”，事件B2＝“取到⼄⻋间
的产品”，
则P（B1）＝60%，P（B2）＝40%，P（A|B1）＝95%，P（A|B2）＝90%，
所以取到优品的概率P（A）＝P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）＝95%×60%+90%×40%＝93%．
故选：A．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
30．为丰富学⽣的课余活动，学校举办“书⾹临夏、悦享阅读”的读书朗诵⽐赛．已知参加⽐赛的男同学与
⼥同学⼈数⽐是3：2，其中有20%的男同学和30%的⼥同学擅⻓中华诗词朗诵，现随机选⼀位同学，这
位同学恰好擅⻓中华诗词朗诵的概率是（
）
A．0.28
B．0.24
C．0.26
D．0.30
【分析】设参加⽐赛的男同学有3a ⼈，参加⽐赛的⼥同学有2a ⼈，从⽽擅⻓中华诗词朗诵的男⽣有3a
×20%＝0.6a ⼈，擅⻓中华诗词朗诵的⼥⽣有2a×30%＝0.6a ⼈，利⽤古典概型能求出结果．
【解答】解：设参加⽐赛的男同学有3a ⼈，参加⽐赛的⼥同学有2a ⼈，
∴擅⻓中华诗词朗诵的男⽣有3a×20%＝0.6a ⼈，
擅⻓中华诗词朗诵的⼥⽣有2a×30%＝0.6a ⼈，
∴随机选⼀位同学，这位同学恰好擅⻓中华诗词朗诵的概率是：
P＝
＝0.24．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
31．⼀道考题有4 个答案，要求学⽣将其中的⼀个正确答案选择出来．某考⽣知道正确答案的概率为
，
⽽乱猜时，4 个答案都有机会被他选择，则他答对正确答案的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】依题意分两种情况对答对正确答案进⾏讨论，再利⽤全概率公式计算可得结论．
第35⻚（共53⻚）
【解答】解：根据题意可设“知道正确答案”为事件A，“他答对正确答案”为事件B，
易知
，
⽽
，
因此他答对正确答案的概率是
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全概率公式的应⽤，属于基础题．
32．某成品仓库⾥混放着来⾃第⼀、第⼆两个⻋间的同型号的电器成品，第⼀、⼆⻋间⽣产的成品⽐例为
2：3，已知第⼀⻋间的⼀等品率为0.85，第⼆⻋间的⼀等品率为0.88．今有⼀客户从成品仓库中随机提
⼀台产品，该产品是⼀等品的概率为（
）
A．0.1325
B．0.112
C．0.868
D．0.8884
【分析】直接结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，该产品是⼀等品的概率为：
．
故选：C．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
33．托⻢斯•⻉叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了⼀个公式：
，这
个公式被称为⻉叶斯公式（⻉叶斯定理），其中
称为B 的全概率．春夏换季是流
⾏性感冒爆发期，已知A，B，C 三个地区分别有3%，6%，5%的⼈患了流感，且这三个地区的⼈⼝数
之⽐是9：8：5，现从这三个地区中任意选取1 ⼈，若选取的这⼈患了流感，则这⼈来⾃B 地区的概率
是（
）
A．0.25
B．0.27
C．0.48
D．0.52
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：记事件M 表示“这⼈患了流感”，事件N1，N2，N3分别表示“这⼈来⾃A，B，C 地区”，
A，B，C 三个地区分别有3%，6%，5%的⼈患了流感，且这三个地区的⼈⼝数之⽐是9：8：5，
则
，
P（M|N2）＝0.06，P（M|N3）＝0.05，P（M）＝P（N1）P（M|N1）+P（N2）P（M|N2）+P（N3）P（M|N3）
第36⻚（共53⻚）
＝
＝
，
故
．
故选：C．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题
34．某⼈外出，委托邻居给家⾥盆栽浇⼀次⽔，若不浇⽔，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇⽔，盆栽枯萎的概
率为0.2．若邻居浇⽔的概率为P，该⼈回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P 的值为（
）
A．0.9
B．0.85
C．0.8
D．0.75
【分析】利⽤全概率公式求解．
【解答】解：由题意可知，0.74＝P×（1﹣0.2）+（1﹣P）×（1﹣0.8），
解得P＝0.9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全概率公式的应⽤，属于基础题．
35．赣南脐橙是江⻄省赣州市特产，是中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江⻄省
赣州市已经成为脐橙种植⾯积世界第⼀，年产量世界第三的城市．已知某地销售的赣南脐橙来⾃甲、⼄
两个果园，甲、⼄两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占⽐分别为60%，40%，且甲、⼄两个
果园提供的赣南脐橙的优品率分别为90%，80%，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1 箱，则这1 箱赣
南脐橙为优品的概率为（
）
A．85%
B．86%
C．87%
D．88%
【分析】利⽤全概率公式求解．
【解答】解：⽤A1表示买到来⾃甲果园的1 箱赣南脐橙，⽤A2表示买到来⾃⼄果园的1 箱赣南脐橙，
⽤B 表示买到优品，
由题意得P（A1）＝60%，P（A2）＝40%，P（B|A1）＝90%，P（B|A2）＝80%，
所以由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝86%．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
36．⼀份新⾼考数学试卷中有8 道单选题，⼩胡对其中5 道题有思路，3 道题完全没有思路．有思路的题做
对的概率是0.9，没有思路的题只能猜⼀个答案，猜对答案的概率为0.25，则⼩胡从这8 道题⽬中随机抽
取1 道做对的概率为（
）
第37⻚（共53⻚）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤全概率公式求解即可．
【解答】解：设事件A 表示“考⽣答对”，设事件B 表示“考⽣选到有思路的题”．
则⼩胡从这8 道题⽬中随机抽取1 道做对的概率为：
P（A）＝P（B）P（A|B）+
P（A| ）＝
＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
37．⼀玩具制造⼚的某⼀配件由A，B，C 三家配件制造⼚提供，根据三家配件制造⼚以往的制造记录分析
得到数据：制造⼚A，B，C 的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为15%，80%，5%，
设三家制造⼚的配件在玩具制造⼚仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取⼀件配件，则抽到的是次
品的概率为（
）
A．0.0125
B．0.0115
C．0.0135
D．0.0145
【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】解：制造⼚A，B，C 的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为15%，80%，5%，
则抽到的是次品的概率为：0.02×15%+0.01×80%+0.03×5%＝0.0125．
故选：A．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
38．⼀玩具制造⼚的某⼀配件由A，B，C 三家配件制造⼚提供，根据三家配件制造⼚以往的制造记录分析
得到数据：制造⼚A，B，C 的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为15%，80%，5%，
设三家制造⼚的配件在玩具制造⼚仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取⼀件配件，若抽到的是次
品，则该次品来⾃制造⼚C 概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据全概率公式先求出抽到的是次品的概率，再结合次品来⾃制造⼚C 概率，根据条件概率公
式即可求得答案．
【解答】解：设事件D：抽到的是次品，事件E1：抽到的配件来⾃于A 制造⼚，
事件E2：抽到的配件来⾃于B 制造⼚，事件E3：抽到的配件来⾃于C 制造⼚，
则P（E1）＝15%，P（E2）＝80%，P（E3）＝5%，
P（D|E1）＝0.02，P（D|E2）＝0.01，P（D|E3）＝0.03，
故P（D）＝P（E1）•P（D|E1）+P（E2）•P（D|E2）+P（E3）•P（D|E3）
第38⻚（共53⻚）
＝0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03＝0.0125，
则抽到的是次品，则该次品来⾃制造⼚C 概率为P（E3|D）＝
＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了全概率公式计算公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．
39．某中学开展⾼⼆年级“拔尖创新⼈才”学科素养评估活动，其中物化⽣、政史地、物化政三种组合⼈数
之⽐为6：3：1，这三个组合中分别有10%，6%，2%的学⽣参与此次活动，现从这三个组合中任选⼀名
学⽣，这名学⽣参与此次活动的概率为（
）
A．0.044
B．0.18
C．0.034
D．0.08
【分析】设事件A 表示“这名学⽣参与此次活动”，事件B1表示“这名学⽣选择物化⽣组合”，事件B2表
示“这名学⽣选择政史地组合”，事件B3表示“这名学⽣选择物化政组合”，由全概率公式能求出从这三个
组合中任选⼀名学⽣，这名学⽣参与此次活动的概率．
【解答】解：设事件A 表示“这名学⽣参与此次活动”，
事件B1表示“这名学⽣选择物化⽣组合”，事件B2表示“这名学⽣选择政史地组合”，
事件B3表示“这名学⽣选择物化政组合”，
则P（B1）＝
＝0.6，P（B2）＝
＝0.3，P（B3）＝
＝0.1，
P（A|B1）＝0.1，P（A|B2）＝0.06，P（A|B3）＝0.01，
由全概率公式得从这三个组合中任选⼀名学⽣，这名学⽣参与此次活动的概率为：
P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）
＝0.6×0.1+0.3×0.06+0.1×0.02＝0.08．
故选：D．
【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．
40．⻓时间玩⼿机可能影响视⼒．据调查，某校学⽣⼤约20%的⼈近视，⽽该校⼤约有10%的学⽣每天玩
⼿机超过1 ⼩时，这些⼈的近视率约为60%，现从每天玩⼿机不超过1 ⼩时的学⽣中任意调查⼀名学⽣，
则他近视的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答．
【解答】解：令A1＝“玩⼿机时间超过1h 的学⽣”，
A2＝“玩⼿机时间不超过1h 的学⽣”，B＝“任意调查⼀⼈，此⼈近视”，
则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P（A1）＝0.1，P（A2）＝0.9，
第39⻚（共53⻚）
P（B|A1）＝0.6，P（B）＝0.2，
依题意，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝0.1×0.6+0.9×P（B|A2）＝0.2，
解得
，
所以所求近视的概率为
．
故选：C．
【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
⼆．解答题（共20 ⼩题）
41．现有编号为1，2，3 的三个⼝袋，其中1 号⼝袋内装有两个1 号球，⼀个2 号球和⼀个3 号球；2 号⼝
袋内装有两个1 号球，⼀个3 号球；3 号⼝袋内装有三个1 号球，两个2 号球；第⼀次先从1 号⼝袋内
随机抽取1 个球，将取出的球放⼊与球同编号的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，
（1）在第⼀次抽到3 号球的条件下，求第⼆次抽到1 号球的概率；
（2）求第⼆次取到2 号球的概率．
【分析】（1）利⽤条件概率公式求解；
（2）利⽤全概率公式求解．
【解答】解：（1）记事件Ai，Bi 分别表示第⼀次、第⼆次取到i 号球，i＝1，2，3，
则第⼀次抽到3 号球的条件下，第⼆次抽到1 号球的概率
；
（2）依题意A1，A2，A3 两两互斥，其和为Ω，并且P（A1）＝
＝
，P（A2）＝
，
＝，
由全概率公式可得，P（B2）＝P（B2|A1）P（A1）+P（B2|A2）P（A2）+P（B2|A3）P（A3）＝
+
+
＝
．
【点评】本题主要考查了条件概率公式和全概率公式，属于中档题．
42．编号为1，2，3 的三个除编号外完全相同的盒⼦⾥，分别装有3 个红球，2 个⽩球；3 个⻩球，3 个⽩
球；4 个⿊球，5 个⽩球．（所有球除颜⾊外完全相同）
（1）现随机从某个盒⼦⾥摸2 个球，则在选到2 号盒⼦的条件下，摸出的两个球都是⽩球的概率是多
少？
（2）现随机从某个盒⼦⾥摸1 个球，若摸出的球是⽩⾊，则这个球来⾃2 号盒⼦的概率是多少？
【分析】（1）利⽤条件概率公式直接求解即可；
第40⻚（共53⻚）
（2）先利⽤全概率公式求解事件“摸出⽩球”的概率，然后再利⽤条件概率公式求解即可．
【解答】解：（1）设A＝“选到2 号盒⼦”，B＝“摸到的两个球都是⽩球”，
则
．
（2）设∁i＝“先选到第i 号盒⼦”（i＝1，2，3），D＝“摸出⽩球”，
则
．
，
，
．
∴P（D）＝P（C1D）+P（C2D）+P（C3D）＝P（C1）P（D|C1）+P（C2）P（D|C2）+P（C3）P（D|C3）
＝
，
∴
，即这个球来⾃2 号盒⼦的概率为
．
【点评】本题考查条件概率、全概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
43．玻璃杯成箱出售，共3 箱，每箱20 只．假设各箱含有0，1，2 只残次品的概率对应为0.8，0.1 和0.1．⼀
顾客欲购买⼀箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取⼀箱，⽽顾客随机查看4 只玻璃杯，若⽆残次品，则
买下该箱玻璃杯；否则不买．求：
（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买下的⼀箱中，没有残次品的概率．
【分析】（1）先求出⼀箱中有i 件残次品的概率，再求查看的有i 件残次品的概率，进⽽由条件概率求
出顾客买下该箱玻璃杯的概率；
（2）由（1）可得顾客买下该箱玻璃杯的条件下没有残次品的概率．
【解答】解：（1）设A 表示“顾客买下所查看的⼀箱玻璃杯”事件，Bi 表示“箱中恰好有i 件残次品”事件，
i＝0，1，2，由题设可知，P（B0）＝0.8，P（B1）＝0.1，P（B2）＝0.1，且P（A|B0）＝1，
P（A|B1）＝
＝，P（A|B2）＝
＝
，
所以P（A）＝P（B0）P（A|B0）+P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）＝0.8×1+0.1×
+0.1×
＝
，
即顾客买下该箱玻璃杯的概率为
，
（2）因为P（B0|A）＝
＝
＝
，
第41⻚（共53⻚）
所以在顾客买下的⼀箱中，没有残次品的概率是
．
【点评】本题考查条件概率与独⽴事件的概率，属于基础题．
44．第三次⼈⼯智能浪潮滚滚⽽来，以ChatGPT 发布为⾥程碑，开辟了⼈机⾃然交流的新纪元．ChatGPT
所⽤到的数学知识并⾮都是遥不可及的⾼深理论，概率就被⼴泛应⽤于ChatGPT 中．某学习⼩组设计
了如下问题进⾏探究：甲和⼄两个箱⼦中各装有5 个⼤⼩相同的⼩球，其中甲箱中有3 个红球、2 个⽩
球，⼄箱中有4 个红球、1 个⽩球．
（1）从甲箱中随机抽出2 个球，在已知抽到红球的条件下，求2 个球都是红球的概率；
（2）抛⼀枚质地均匀的骰⼦，如果点数⼩于等于4，从甲箱⼦随机抽出1 个球；如果点数⼤于等于5，
从⼄箱⼦中随机抽出1 个球．求抽到的球是红球的概率；
（3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来⾃⼄箱的概率．
【分析】（1）利⽤条件概率公式求解；
（2）利⽤全概率公式求解；
（3）利⽤条件概率公式求解．
【解答】解：（1）记事件A 表示“抽出的2 个球中有红球”，事件B 表示“两个球都是红球”，
则
，
故
；
（2）设事件C 表示“从⼄箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D 表示“抽到红球”，
则
，
，
所以
＝
＝
；
（3）在（2）的条件下
．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，考查了全概率公式，属于中档题．
45．甲箱的产品中有5 个正品和3 个次品，⼄箱的产品有4 个正品和3 个次品．
（1）从甲箱中任取2 个产品，求这2 个产品都是次品的概率；
（2）如果依次不放回地从⼄箱中抽取2 个产品，每次取1 个，已知第⼆个是次品的条件下，求第⼀个是
第42⻚（共53⻚）
正品的概率；
（3）若先从甲箱中任取2 个产品放⼊⼄箱中，再从⼄箱中任取⼀个产品，求取出这个产品是正品的概
率．
【分析】（1）利⽤古典概型的概率公式计算即可求出这2 个产品都是次品的概率；
（2）令事件Ai＝“第i 次从⼄箱中取到次品“，（i＝1，2），利⽤全概率公式及条件概率公式能求出已知第
⼆个是次品的条件下，第⼀个是正品的概率；
（3）记事件A＝“从⼄箱取⼀个正品”，从甲箱中取出两个正品、⼀个正品、⼀个次品、两个次品的事件
分别为B1，B2，B3，利⽤全概率公式能求出先从甲箱中任取2 个产品放⼊⼄箱中，再从⼄箱中任取⼀个
产品，取出这个产品是正品的概率．
【解答】解：（1）记“这2 个产品都是次品”为事件M，
则这2 个产品都是次品的概率为：
P（M）＝
＝
．
（2）令事件Ai＝“第i 次从⼄箱中取到次品“，（i＝1，2），
则P（A1）＝，P（
）＝1﹣＝，P（A2|A1）＝
，P（A2|
）＝
，
∴P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（A2|
）＝
＝，
∴已知第⼆个是次品的条件下，第⼀个是正品的概率为：
P（
|A2）＝
＝
＝
＝．
（3）记事件A＝“从⼄箱取⼀个正品”，从甲箱中取出两个正品、⼀个正品、⼀个次品、两个次品的事件
分别为B1，B2，B3，
B1，B2，B3互斥，且B1∪B2∪B3＝Ω，
P（B1）＝
＝
，P（B2）＝
＝
，P（B3）＝
＝
，
P（A|B1）＝，P（A|B2）＝，P（A|B3）＝，
∴取出这个产品是正品的概率为：
P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）
＝
＝
．
第43⻚（共53⻚）
【点评】本题考查古典概型全概率公式及条件概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
46．在⼀个盒⼦中有⼤⼩与质地相同的10 个球，其中5 个红球，5 个⽩球，两⼈依次不放回地各摸个1 球，
求：
（1）在第⼀个⼈摸出个红球的条件下，第⼆个⼈摸出个⽩球的概率；
（2）第⼀个⼈摸出个红球，且第⼆个⼈摸出个⽩球的概率．
【分析】（1）根据条件概率的定义求解；
（2）利⽤古典概型的概率公式求解．
【解答】解：（1）设事件A 表示：第⼀个⼈摸出红球，B 表示：第⼆个⼈摸出⽩球，
第⼀个⼈摸出1 个红球后，盒⼦中还有9 个球，其中4 个红球，5 个⽩球，
故在第⼀个⼈摸出1 个红球的条件下，第⼆个⼈摸出1 个⽩球的概率
；
（2）设事件A 表示：第⼀个⼈摸出红球，B 表示：第⼆个⼈摸出⽩球，
事件：第⼀个⼈摸出1 个红球，且第⼆个⼈摸出1 个⽩球即事件AB，
所以P（AB）＝
＝
．
【点评】本题主要考查了条件概率的定义，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
47．有完全相同的甲、⼄两个袋⼦，袋⼦有⼤⼩、形状完全相同的⼩球，其中甲袋中有9 个红球和1 个⽩
球；⼄袋中有2 个红球和8 个⽩球．从这两个袋⼦中选择⼀个袋⼦，再从该袋⼦中等可能摸出⼀个球．假
设试验选到甲袋或⼄袋的概率都是
．
（1）求从袋⼦中摸出红球的概率；
（2）求在摸出⽩球的条件下，该球来⾃甲袋的概率．
【分析】（1）根据全概率公式求解；
（2）利⽤条件概率公式计算可得结果．
【解答】解：（1）设试验⼀次，“取到甲袋”为事件A1，“取到⼄袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，
“试验结果为⽩球“为事件B2，
∵
，
∴
，
即从袋⼦中摸出红球的概率为
；
第44⻚（共53⻚）
（2）∵B1，B2是对⽴事件，
，
⼜∵
，
∴
，
即在摸出⽩球的条件下，该球来⾃甲袋的概率为
．
【点评】本题主要考查了全概率公式和条件概率公式的应⽤，属于基础题．
48．甲袋中有3 个⽩球和2 个红球，⼄袋中有2 个⽩球和3 个红球．先随机取⼀只袋，再从该袋中先后随
机取2 个球．
（1）求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为⽩球的概率；
（2）求第⼀次取出的是⽩球的概率；
（3）求第⼀次取出的是⽩球的前提下，第⼆次取出的依然是⽩球的概率．
【分析】（1）利⽤条件概率公式求解；
（2）利⽤全概率公式求解；
（3）利⽤条件概率公式求解．
【解答】解：记“随机取到甲袋”为事件A1，“随机取到⼄袋”为事件A2，“第⼀次取出的是⽩球”为事件B，“第
⼆次取出的是⽩球”为事件C，
（1）由题意可知，
，
即取到甲袋且从中取出的两球均为⽩球的概率为
；
（2）由题意可知，
，
即第⼀次取到⽩球的概率为
；
（3）由题意可知，
，
所以
，
即第⼀次取出的是⽩球的前提下，第⼆次取出的依然是⽩球的概率为
．
第45⻚（共53⻚）
【点评】本题主要考查了全概率公式和条件概率公式，属于基础题．
49．某⼯⼚有三个⻋间⽣产同⼀种通讯器材，第1 个⻋间⽣产该通讯器材的优等品率为6%，第2 和第3 个
⻋间⽣产该通讯器材的优等品率均为5%，⽣产出来的产品混放在同⼀个仓库⾥．已知第1，2，3 ⻋间
⽣产的通讯器材数量分别占总数的25%，30%，45%．
（1）现从仓库中任取⼀个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？
（2）如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第i（i＝1，2，3）个⻋间⽣产的概率．
【分析】（1）设事件A 表示“抽取的通讯器材来⾃第1 个⻋间”，事件B 表示“抽取的通讯器材来⾃第2
个⻋间”，事件C 表示“抽取的通讯器材来⾃第3 个⻋间”，事件D 表示“抽取的通讯设备是优等品”，从
仓库中任取⼀个该通讯器材，利⽤全概率公式能求出它是优等品的概率．
（2）如果取到的通讯器材是优等品，利⽤⻉叶斯公式能求出它是第i（i＝1，2，3）个⻋间⽣产的概率．
【解答】解：（1）设事件A 表示“抽取的通讯器材来⾃第1 个⻋间”，
事件B 表示“抽取的通讯器材来⾃第2 个⻋间”，
事件C 表示“抽取的通讯器材来⾃第3 个⻋间”，
事件D 表示“抽取的通讯设备是优等品”，
则P（A）＝0.25，P（B）＝0.3，P（C）＝0.45，
P（D|A）＝0.06，P（D|B）＝0.05，P（D|C）＝0.05，
∴从仓库中任取⼀个该通讯器材，它是优等品的概率是：
P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）
＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525．
（2）取到的通讯器材是优等品，则它是第1 个⻋间⽣产的概率为：
P（A|D）＝
＝
＝；
取到的通讯器材是优等品，则它是第2 个⻋间⽣产的概率为：
P（B|D）＝
＝
＝；
取到的通讯器材是优等品，则它是第3 个⻋间⽣产的概率为：
P（C|D）＝
＝
＝．
【点评】本题考查全概率公式、⻉叶斯公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．
50．第⼗四届“中华⼈⺠共和国全国⼈⺠代表⼤会”和“中国⼈⺠政治协商会议”分别于2023 年3 ⽉5 ⽇和3
⽉4 ⽇胜利召开，为实现新时代新征程的⽬标任务汇聚智慧和⼒量．某市计划开展“学两会，争当新代
先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3 名党员和5 名⺠主党派⼈⼠，并从中随机选取4 ⼈组成表队
第46⻚（共53⻚）
参赛．
（1）在代表队中既有党员⼜有⺠主党派⼈⼠的条件下，求党员甲被选中的概率．
（2）现从代表队中随机选取1 名队员，求该队员是党员的概率．
【分析】（1）设事件A 表示“党员甲被选中”，事件B 表示“代表队中既有党员⼜有⺠主党派⼈⼠”，根据
已知求出P（B），P（AB）的值，然后根据条件概率的公式，计算即可得出答案．
（2）设选取4 ⼈中党员个数为i（i＝0，1，2，3）的事件为∁i，从代表队中随机选取1 名队员，该队员
是党员为事件D，利⽤全概率公式求解．
【解答】解：（1）设事件A 表示“党员甲被选中”，事件B 表示“代表队中既有党员⼜有⺠主党派⼈⼠”，
则
，
，
所以，
．
（2）设选取4 ⼈中党员个数为i（i＝0，1，2，3）的事件为∁i，
从代表队中随机选取1 名队员，该队员是党员为事件D，
则P（C0）＝
＝
，P（C1）＝
＝，
P（C2）＝
＝，P（C3）＝
＝
，
P（D|C0）＝0，P（D|C1）＝，P（D|C2）＝，P（D|C3）＝，
∴P（D）＝P（C0）P（D|C0）+P（C1）P（D|C1）+P（C2）P（D|C2）+P（C3）P（D|C3）
＝0+
＝．
【点评】本题考查条件概率公式、排列组合、全概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
51．佛⼭顺德双⽪奶是⼀种粤式甜品，上层奶⽪⽢⾹，下层奶⽪⾹滑润⼝，吃起来，⾹⽓浓郁，⼊⼝嫩滑，
让⼈唇⻮留⾹．双⽪奶起源于清朝末期，是⽤⽔⽜奶做原料，辅以鸡蛋和⽩糖制成．⽔⽜奶中含有丰富
的蛋⽩质，包括酪蛋⽩和少量的乳清蛋⽩，及⼤量⼈体⽣⻓发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的
⽔⽜奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的⽔⽜奶⼜不⽤过多存货，于是统计了50 天销
第47⻚（共53⻚）
售⽔⽜奶的情况，获得如下数据：
⽇销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10
假设⽔⽜奶⽇销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）求接下来三天中⾄少有2 天能卖出3 件⽔⽜奶的概率；
（2）已知超市存货管理⽔平的⾼低会直接影响超市的经营情况．该超市对⽔⽜奶实⾏如下存货管理制
度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2 件，则通知配送中⼼⽴即补货⾄3 件，否则不补货．假设
某天开始营业时货架上有3 件⽔⽜奶，求第⼆天营业结束后货架上有1 件存货的概率．
【分析】（1）利⽤相互独⽴事件的概率乘法公式求解即可．
（2）先讨论第⼀天营业结束后是否补货，再利⽤全概率公式求出不补货，补货情况下第⼆天营业结束
后货架上有1 件存货的概率，求解即可．
【解答】解：（1）能卖出3 件⽔⽜奶的概率为
＝，能卖出3 件以下的概率为
，
∴三天中⾄少有2 天能卖出3 件⽔⽜奶的概率为
×
+
＝
．
（2）①若第⼀天营业结束后不补货，情况为A＝{销售0 件}，B＝{销售1 件}，
则P（A）＝
，P（B）＝，
令C＝{第⼆天货架上有1 件存货}，则P（C|A）＝，P（C|B）＝，
∴P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）＝
，
②若第⼀天营业结束后补货，情况为D＝{销售3 件}，E＝{销售2 件}，
则P（D）＝，P（E）＝，
令F＝{第⼆天货架上有1 件存货}，则P（F|D）＝，P（F|E）＝，
∴P（F）＝P（D）P（F|D）+P（E）P（F|E）＝
，
∴第⼆天营业结束后货架上有1 件存货的概率
+
＝
．
【点评】本题主要考查相互独⽴事件的概率乘法公式，全概率公式的应⽤，属于中档题．
52．某企业⽣产⼿机加密芯⽚，有3 台机器⽣产同⼀型号的芯⽚，质量合格的为正品，不合格的为次品，
第1 台⽣产的次品率为6%，第2，3 台⽣产的次品率均为5%，将⽣产出来的芯⽚混放在⼀起，已知第1，
2，3 台机器⽣产的芯⽚数分别占总数的25%，30%，45%．
第48⻚（共53⻚）
（Ⅰ）任取⼀个芯⽚，求它是正品的概率；
（Ⅱ）任取⼀个芯⽚，如果它是次品，求它分别是第1，2，3 台机器⽣产的概率．
【分析】（Ⅰ）结合全概率公式，以及对⽴事件概率和为1，即可求解；
（Ⅱ）结合⻉叶斯公式，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）任取⼀个芯⽚是次品的概率为：0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45＝0.0525，
则它是正品的概率为：1﹣0.0525＝0.9475；
（Ⅱ）次品是第⼀台机器⽣产的概率为：
；
次品是第⼆台机器⽣产的概率为：
，
次品是第三台机器⽣产的概率为：
．
【点评】本题主要考查全概率公式，⻉叶斯公式，属于基础题．
53．某运动队共有12 名运动员，其中⼀级运动员6 名，⼆级运动员4 名，三级运动员2 名．现举办奥运选
拔赛，⼀、⼆、三级运动员晋级的概率分别为0.75，0.5，0.25．
（Ⅰ）从这12 名运动员中选4 ⼈参加奥运选拔赛，已知所选4 ⼈中⼀、⼆、三级运动员都有⼊选，求⼀
级运动员⼈数最多的概率；
（Ⅱ）从这12 名运动员中任选1 ⼈参加奥运选拔赛，求其能够晋级的概率．
【分析】（Ⅰ）利⽤条件概率公式求解；
（Ⅱ）利⽤全概率公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A 表示“所选4 ⼈中⼀、⼆、三级运动员都有⼊选”，事件B 表示“⼀级运动员⼈
数最多”，
则P（A）＝
＝
，P（AB）＝
＝
，
所以P（B|A）＝
＝
＝，
即已知所选4 ⼈中⼀、⼆、三级运动员都有⼊选，⼀级运动员⼈数最多的概率为
；
（Ⅱ）设事件C 表示“这12 名运动员中任选1 ⼈参加奥运选拔赛能够晋级”，
则P（C）＝
＝
．
【点评】本题主要考查了条件概率公式，考查了全概率公式，属于中档题．
第49⻚（共53⻚）
54．某运动队为评估短跑运动员在接⼒赛中的作⽤，对运动员进⾏数据分析．运动员甲在接⼒赛中跑第⼀
棒、第⼆棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场⽐赛，其出场率与出场时⽐赛获胜率如表所示．
⽐赛位置
第⼀棒
第⼆棒
第三棒
第四棒
出场率
0.3
0.2
0.2
0.3
⽐赛胜率
0.6
0.8
0.7
0.7
（1）当甲出场⽐赛时，求该运动队获胜的概率．
（2）当甲出场⽐赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第⼀棒的概率．
【分析】（1）根据全概率公式即可得出答案；
（2）根据条件概率的计算公式即可求解．
【解答】解：（1）记“甲跑第⼀棒”为事件A1，“甲跑第⼆棒”为事件A2，“甲跑第三棒”为事件A3，“甲跑第四
棒”为事件A4，“运动队获胜”为事件B，
则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）+P（A4）P（B|A4）＝0.3×0.6+0.2×0.8+0.2
×0.7+0.3×0.7＝0.69，
所以当甲出场⽐赛时，求该运动队获胜的概率为0.69；
（2）
，
所以当甲出场⽐赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第⼀棒的概率为
．
【点评】本题主要考查了全概率公式和条件概率公式，属于中档题．
55．⼯⼚有甲，⼄，丙三个⻋间⽣产同⼀产品，已知各⻋间的产量分别占全⼚产量的25%，35%，40%，并
且各⻋间的次品率依次为5%，4%，2%．现从该⼚这批产品中任取⼀件．
（1）求取到次品的概率；
（2）若取到的是次品，则此次品由甲⻋间⽣产的概率是多少？
【分析】（1）根据已知条件，结合全概率公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合⻉叶斯公式，即可求解．
【解答】解：（1）各⻋间的产量分别占全⼚产量的25%，35%，40%，并且各⻋间的次品率依次为5%，
4%，2%，
则取到次品的概率为25%×5%+35%×4%+40%×2%＝0.0345；
（2）取到的是次品，
则此次品由甲⻋间⽣产的概率是
．
第50⻚（共53⻚）
【点评】本题主要考查全概率、⻉叶斯公式，属于基础题．
56．甲箱装有2 个⿊球和4 个⽩球，⼄箱装有2 个⿊球和3 个⽩球，这些球除颜⾊外完全相同．某⼈先从
两个箱⼦中任选⼀个箱⼦，再从中随机摸出⼀球．
（1）求摸出的球是⿊球的概率；
（2）若已知摸出的球是⿊球，⽤概率公式判断该球取⾃哪个箱⼦的可能性更⼤．
【分析】（1）利⽤全概率公式求解；
（2）利⽤条件概率求出P（A|B）和P（|B），再⽐较两者⼤⼩即可．
【解答】解：（1）记事件A 表示“球取⾃甲箱”，事件表示“球取⾃⼄箱”，事件B 表示“取得⿊球”，
由题意可知，
，
，
，
所以
＝
；
（2）该球取⾃⼄箱的可能性更⼤，理由如下：
该球取⾃甲箱的概率
，
该球取⾃⼄箱的概率
，
因为
，
所以该球取⾃⼄箱的可能性更⼤．
【点评】本题主要考查了全概率公式，考查了条件概率的概率公式，属于中档题．
57．现有两台⻋床加⼯同⼀型号的零件，第1 台⻋床加⼯的零件次品率为6%，第2 台⻋床加⼯的零件次品
率为5%，加⼯出来的零件混放在⼀起．已知第1 台⻋床加⼯的零件数与第2 台⻋床加⼯的零件数之⽐
为2：3，从这些零件中任取⼀个．
（1）求这个零件是次品的概率；
（2）已知这个零件是次品，求它是第⼀台⻋床加⼯的概率．
【分析】（1）根据题意，记事件A 为“⻋床加⼯的零件为次品”，事件Bi 为“该零件由第i 台⻋床加⼯的零
件”，i＝1，2，由全概率公式P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2），计算可得答案；
（2）根据题意，由⻉叶斯公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，记事件A 为“⻋床加⼯的零件为次品”，事件Bi 为“该零件由第i 台⻋床加⼯
的零件”，i＝1，2，
第51⻚（共53⻚）
则P（A|B1）＝6%，P（A|B2）＝5%，
已知第1 台⻋床加⼯的零件数与第2 台⻋床加⼯的零件数之⽐为2：3，则P（B1）＝40%，P（B2）＝60%，
故P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）＝40%×6%+60%×5%＝0.054；
（2）根据题意，由⻉叶斯公式P（B1|A）＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查概率的应⽤，涉及条件概率、全概率公式，属于基础题．
58．某城市有甲、⼄两个⽹约⻋公司，相关部⻔为了更好地监管和服务，通过问卷调查的⽅式，统计当地
⽹约⻋⽤户（后⾯简称⽤户，并假设每位⽤户只选择其中⼀家公司的⽹约⻋出⾏）对甲，⼄两个公司的
乘⻋费⽤，等待时间，乘⻋舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①⽤户选择甲公司的频率为0.32，选择⼄公司的频率为0.68；
②选择甲公司的⽤户对等待时间满意的频率为0.62，选择⼄公司的⽤户对等待时间满意的频率为0.78；
③选择甲公司的⽤户对乘⻋舒适度满意的频率为0.68，选择⼄公司的⽤户对乘⻋舒适度满意的频率为
0.61；
④选择甲公司的⽤户对乘⻋费⽤满意的频率为0.21，选择⼄公司的⽤户对乘⻋费⽤满意的频率为0.32．
将上述随机事件发⽣的频率视为其发⽣的概率．
（1）分别求出⽹约⻋⽤户对等待时间满意、乘⻋舒适度满意、乘⻋费⽤满意的概率，并⽐较⽤户对哪
个因素满意的概率最⼤，对哪个因素满意的概率最⼩．
（2）若已知某位⽤户对乘⻋舒适度满意，则该⽤户更可能选择哪个公司的⽹约⻋出⾏？并说明理由．
【分析】（1）利⽤全概率公式可计算出⽤户⽹约⻋⽤户对等待时间满意、乘⻋舒适度满意、乘⻋费⽤满
意的概率，即可得出结论；
（2）利⽤条件概率公式计算出该⽤户对甲、⼄两个公司⽹约⻋舒适度满意率，⽐较⼤⼩后可得出结论．
【解答】（1）解：设事件M：⽤户选择甲公司的⽹约⻋出⾏，事件A：⽤户对等待时间满意，
事件B：⽤户对乘⻋舒适度满意，事件C：⽤户对乘⻋费⽤满意．
则
，
，
所以，⽤户对等待时间满意的概率最⼤，对乘⻋费⽤满意的概率最⼩．
（2）解：由题知，
＝
，
＝
，
所以，
，故该⽤户选择⼄公司出⾏的概率更⼤．
第52⻚（共53⻚）
【点评】本题考查全概率公式、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
59．甲、⼄、丙为完全相同的三个不透明盒⼦，盒内均装有除颜⾊外完全相同的球．甲盒装有4 个⽩球，8
个⿊球，⼄盒装有1 个⽩球，5 个⿊球，丙盒装有3 个⽩球，3 个⿊球．
（1）随机抽取⼀个盒⼦，再从该盒⼦中随机摸出1 个球，求摸出的球是⿊球的概率；
（2）已知（1）中摸出的球是⿊球，求此球属于⼄箱⼦的概率．
【分析】（1）设出事件，利⽤全概率公式能求出结果．
（2）利⽤条件概率求解．
【解答】解：（1）记取到甲盒⼦为事件A1，取到⼄盒⼦为事件为A2，取到丙盒⼦为事件A3，取到⿊球为
事件B，
由全概率公式得摸出⿊球的概率为：
P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
＝
+
＝．
（2）摸出的球是⿊球，则由条件概率得此球属于⼄箱⼦的概率为：
P（A2|B）＝
＝
＝
．
【点评】本题考查全概率公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
60．已知1 号箱中有5 个⽩球和3 个红球，2 号箱中有2 个⽩球和4 个红球．
（1）每次从1 号箱中随机取出1 个球，取出的球不再放回，经过2 次取球．
（ⅰ）求取出的这2 个球中有红球的概率；
（ⅱ）求在取出的这2 个球中有红球的条件下，第2 次取出的是红球的概率；
（2）若先随机从1 号箱中取出⼀球放⼊2 号箱中，再从2 号箱中随机取出⼀球，求从2 号箱中取出的球
是红球的概率．
【分析】（1）利⽤古典概型的概率公式求解．
（2）利⽤条件概率公式，以及全概率公式求解．
【解答】解：（1）设A＝“取出的2 球中有红球”，B＝“第2 次取出的是红球”，
（i）由题意知，随机试验为从1 号箱中不放回的进⾏2 次取球，则n（Ω）＝
＝56，
⼜n（A）＝
＝36，
所以由古典概型的概率公式得，P（A）＝
＝
＝
，
第53⻚（共53⻚）
故所求的概率为
．
（ii）因为n（AB）＝
＝21，
所以由条件概率公式得，P（B|A）＝
＝
＝
，
故所求的概率为
．
（2）设C＝“最后从2 号箱中取出的球是红球”，D＝“从1 号箱中取出的球是红球”
则P（D）＝
＝，P（）＝
＝，P（C|D）＝
＝，P（C| ）＝
＝，
由全概率公式得P（C）＝P（CD）+P（C ）＝P（D）P（C|D）+P（）P（C| ）＝
＝
，
所以，先随机从1 号箱中取出⼀球放⼊2 号箱中，再从2 号箱中随机取出⼀球，最后从2 号箱中取出的
球是红球的概率为
．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，以及全概率公式，属于中档题．
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第15⻚（共41⻚）
统计、概率与变量分布—题型16～题型20 答案
⼀．选择题（共60 ⼩题）
1．设随机变量X 的分布列如表，且EX＝1.6，则a﹣b＝（
）
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A．0.2
B．0.1
C．﹣0.2
D．﹣0.4
【分析】根据已知条件，结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解．
【解答】解：由分布列的性质可得，0.1+a+b+0.1＝1，即a+b＝0.8①，
∵E（X）＝1.6，
∴0×0.1+1×a+2×b+3×0.1＝1.6，即a+2b＝1.3②，
联⽴①②解得a＝0.3，b＝0.5，
故a﹣b＝﹣0.2．
故选：C．
【点评】本题主要考查分布列的性质，以及期望公式，属于基础题．
2．如表是离散型随机变量X 的分布列，则常数m 的值是（
）
X
21
22
23
24
P
m
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，由分布列的性质可得
，解可得答案．
【解答】解：根据题意，由X 的分布列，有
，解得
．
故选：B．
【点评】本题考查分布列的计算，涉及概率的性质，属于基础题．
3．已知离散型随机变量X 的分布列为
（n＝1，2，3），则a＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，由分布列的性质，离散型随机变量X 的分布列的概率之和为1，代⼊计算即可．
第16⻚（共41⻚）
【解答】解：根据题意，离散型随机变量X 的分布列为
（n＝1，2，3），
因为P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝1，
所以
＝
，
所以
．
故选：B．
【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．
4．已知随机变量ξ的分布列如表：
ξ
﹣1
0
1
P
a
b
c
其中2b＝a+c，则P（|ξ|＝1）的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由a，b，c 成等差数列得到a，b，c 的关系，再根据随机变量分布列的性质得到a，b，c 的和
为1，进⽽求出a+c，最后根据题意得到答案．
【解答】解：因为a，b，c 成等差数列，所以
，
根据随机变量分布列的性质：a+b+c＝1，所以
，
所以P（|ξ|＝1）＝P（ξ＝1）+P（ξ＝﹣1）＝，
故选：A．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，考查学⽣的运算能⼒，属于中档题．
5．若离散型随机变量X 的概率分布列如下表所示，则p 的值为（
）
X
0
1
P
A．
B．﹣2
C．或﹣2
D．
或2
【分析】利⽤离散型随机变量X 的概率分布列的性质求解．
【解答】解：由离散型随机变量X 的概率分布列，得：
第17⻚（共41⻚）
，
解得p＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量X 的概率分布列的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
6．已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，且P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1）＝a，则a＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合两点分布的性质，即可求解．
【解答】解：∵离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，
∴P（X＝0）+P（X＝1）＝1，
∴P（X＝1）＝1﹣a，
∵P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1）＝a，
∴3﹣4（1﹣a）＝a，解得
．
故选：C．
【点评】本题主要考查两点分布的性质，属于基础题．
7．已知随机变量X 的分布列为
X
5
10
15
P
则p＝（
）
A．
B．
C．
D．或
【分析】利⽤随机变量X 的分布列的性质求解．
【解答】解：随机变量X 的分布列为：
X
5
10
15
P
则由离散型随机变量X 的分布列的性质，得：
第18⻚（共41⻚）
，
即（2p﹣1）（3p+1）＝0，
解得
或
，
当p＝
时，
，不符合分布列的性质，
所以
．
故选：C．
【点评】本题考查随机变量X 的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．
8．离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，y∈N）代替，分布列如下：
X＝i
1
2
3
4
5
6
P（X＝i）
0.21
0.20
0．x5
0.10
0.1y
0.10
则
＝（
）
A．0.35
B．0.45
C．0.55
D．0.65
【分析】由题意可得0.21+0.20+0．x5+0.10+0.1y+0.10＝1，求出x，y 的值，再结合
＝P
（X＝2）+P（X＝3）求解即可．
【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质可知，0.21+0.20+0．x5+0.10+0.1y+0.10＝1，
所以0．x5+0.1y＝0.39，
所以y＝4，x＝2，
所以
＝P（X＝2）+P（X＝3）＝0.20+0.25＝0.45．
故选：B．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，属于基础题．
9．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
a
若η＝2ξ﹣1，则D（η）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据随机变量ξ的对应概率之和为1 计算a，再结合期望和⽅差公式，计算E（ξ），D（ξ），最
第19⻚（共41⻚）
后根据⽅差的性质公式计算D（η）即可．
【解答】解：根据随机变量ξ的对应概率之和为1 可知，a+2a﹣+
＝1，则a＝，
则E（ξ）＝2×
+1×
+0×
＝，
所以D（ξ）＝（2﹣）2×
+（1﹣）2×
+（0﹣）2×
＝
，
所以D（η）＝D（2ξ﹣1）＝22D（ξ）＝
．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的应⽤，属于基础题．
10．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P
a
5a
若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解．
【解答】解：由分布列的性质可知：
，
解得
，
由Y＝2X+1，Y≥5，可得X≥2，
由表可知
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．
11．已知随机变量X 和Y，其中Y＝12X+7，且E（Y）＝34，若X 的概率分布如下表，则m 的值为（
）
X
1
2
3
4
P
m
n
A．
B．
C．
D．
【分析】由Y＝12X+7 可得：EY＝12EX+7，从⽽可求EX，利⽤随机变量的期望公式及所有概率和为1，
联⽴⽅程，即可求得m 的值
第20⻚（共41⻚）
【解答】解：由Y＝12X+7 可得：EY＝12EX+7
∵EY＝34
∴34＝12EX+7
∴EX＝
∴
＝1×
+2×m+3×n+4×
，即2m+3n＝①
⼜
+m+n+
＝1，即m+n＝②
联⽴①②，求解可得m＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查随机变量期望的求解，考查概率的性质，属于基础题．
12．随机变量X 的分布列如表，则E（5X+4）等于（
）
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
A．16
B．11
C．2.2
D．2.3
【分析】随机变量的期望的求解⽅法E（PX+Q）＝PE（X）+Q，可以直接求出．
【解答】解：由表格可得E（X）＝0×0.3+2×0.2+4×0.5＝2.4，
故E（5X+4）＝5E（X）+4＝5×2.4+4＝16，
故选：A．
【点评】本题考查了统计与概率中的数学期望，利⽤数学期望公式直接计算即可，强化学⽣对公式的记
忆和使⽤，属于基础题．
13．已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
m
n
若E（ξ）＝1，则D（3ξ+1）＝（
）
A．2
B．3
C．6
D．7
【分析】根据分布列的性质以及数学期望求出m，n 的值，即可求得D（ξ），根据⽅差的性质，即可求
得答案．
【解答】解：由题意知
，
第21⻚（共41⻚）
由E（ξ）＝1 得
，解得
，
故
，
故D（3ξ+1）＝9D（ξ）＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望与⽅差的公式，属于基础题．
14．在调查对某⼤型活动满意度⽐例为0.9 的⼈员中抽取10 ⼈，设当中持有满意态度的⼈数为X，随机变
量Y＝2X+3，则Y 的⽅差D（Y）的值为（
）
A．21
B．6.6
C．3.6
D．4.8
【分析】由⼆项分布的⽅程公式求出D（X），再根据D（Y）＝D（2X+3）＝4D（X）求出结果即可．
【解答】解：由题意可知，随便变量X 服从⼆项分布，即X∼B（10，0.9），
则D（X）＝10×0.9×0.1＝0.9，⼜Y＝2X+3，
则D（Y）＝D（2X+3）＝4D（X）＝4×0.9＝3.6．
故选：C．
【点评】本题考查了⼆项分布的⽅差及⽅差的性质，属于基础题．
15．已知随机变量X～B（n，p），若
，则P（X＝1）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由⼆项分布的期望和⽅差公式，解出n，p，由⼆项分布的概率公式求P（X＝1）．
【解答】解：随机变量X～B（n，p），则有
，
由
，解得
，
所以
．
故选：B．
【点评】本题考查⼆项分布的期望和⽅差公式，考查⽅程思想和运算能⼒，属于基础题．
16．随机变量F 的概率分布列为P（ξ＝k）＝
，k＝1，2，3，其中c 是常数，则D（9ξ﹣3）的值为
（
）
A．10
B．117
C．38
D．35
【分析】根据已知条件，结合分布列的性质，求出c＝，分布求出ξ的分布列和ξ2的分布列，再结合期
望与⽅差公式，即可求解．
第22⻚（共41⻚）
【解答】解：∵P（ξ＝k）＝
，k＝1，2，3，
∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝
，
∴
，解得c＝，
故ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
故ξ2的分布列为：
ξ2
1
4
9
P
故E（ξ）＝
，
E（ξ2）＝
，
∵D（ξ）＝E（ξ2）﹣[E（ξ）]2＝
，
∴D（9ξ﹣3）＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望与⽅差的公式，考查转化能⼒，属于中档题．
17．已知随机变量X 的分布列为：
X
﹣1
0
1
P
a
则X 的数学期望E（X）的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由分布列的性质可得a 的值，然后由期望的公式即可求解．
【解答】解：由随机变量X 的分布列得：
，
解得：
，
∴
．
第23⻚（共41⻚）
故选：A．
【点评】本题考查了分布列的性质及随机变量的期望，属于基础题．
18．已知随机变量X，Y 满⾜Y＝2X+1，且随机变量X 的分布列如下：
X
0
1
2
P
a
则随机变量Y 的⽅差D（Y）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分布列中概率和为1 可得a，再由期望、⽅差公式计算出D（X），最后利⽤D（aX+b）＝
a2D（X）计算可得答案．
【解答】解：由分布列性质可得
，所以
，
则
，
，
所以D（Y）＝D（2X+1）＝4D（X）＝
．
故选：B．
【点评】本题考查了分布列的性质及期望和⽅差的计算，属于基础题．
19．设x1、x2、x3为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如表，若记DX，DY 分别为X，Y 的⽅差，
则下列说法正确的是（
）
X
x1
x2
x3
Y
P
A．D（X）＜D（Y）
B．D（X）＝D（Y）
C．D（X）＞D（Y）
D．D（X）与D（Y）的⼤⼩关系与x1，x2，x3的取值有关
【分析】根据离散型随机变量的期望和⽅差的公式结合题中所给随机变量X 和Y 的分布列即可求解．
【解答】解：由题
，
第24⻚（共41⻚）
，
故
，
，
⼜
＝
＝
，
即
，也即D（X）＞D（Y）．
故选：C．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和⽅差的有关计算，属于中档题．
20．已知随机变量X 的概率分布如表：
X
1
2
4
P
0.4
a
0.3
则E（5X+4）＝（
）
A．1
B．2.2
C．11
D．15
【分析】根据分布列的性质求解a 的值，进⽽利⽤期望公式求出E（X）的值，再结合期望的性质求解．
【解答】解：由分布列的性质可得，0.4+a+0.3＝1，
所以a＝0.3，
所以E（X）＝1×0.4+2×0.3+4×0.3＝2.2，
所以E（5X+4）＝5E（X）+4＝5×2.2+4＝15．
故选：D．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了期望的性质，属于中档题．
21．不透明⼝袋中有n 个相同的⿊⾊⼩球和红⾊、⽩⾊、蓝⾊的⼩球各1 个，从中任取4 个⼩球，ξ表示当
n＝2 时取出⿊球的数⽬，η表示当n＝3 时取出⿊球的数⽬，则下列结论中成⽴的是（
）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）
第25⻚（共41⻚）
B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）
D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【分析】当n＝2 时，ξ的所有可能取值为1，2，利⽤古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望
公式和⽅差公式求出E（ξ），D（ξ），当n＝3 时，η的所有可能取值为1，2，3，利⽤古典概型的概率公
式求出相应的概率，再结合期望公式和⽅差公式求出E（η），D（η），再⽐较⼤⼩即可．
【解答】解：当n＝2 时，ξ的所有可能取值为1，2，
则P（ξ＝1）＝
＝，P（ξ＝2）＝
＝，
所以E（ξ）＝1×
＝，D（ξ）＝
＝
，
当n＝3 时，η的所有可能取值为1，2，3，
则P（η＝1）＝
＝，P（η＝2）＝
＝，P（η＝3）＝
＝，
所以E（η）＝1×
＝2，D（η）＝
＝，
所以E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望和⽅差，属于中档题．
22．已知6 件产品中有2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取3 件进⾏检测，记取到的正品数为X，则
下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．E（X）＝1
D．
【分析】根据题意可知，X 可能取1，2，3，且服从超⼏何分布，求出对应的概率，根据数学期望，⽅差
的公式及性质计算即可．
【解答】解：根据题意可知，X 可能取1，2，3，且服从超⼏何分布，
故
，
，
∴
，
第26⻚（共41⻚）
，
E（2X﹣1）＝2E（X）﹣1＝2×2﹣1＝3，
．
故选：D．
【点评】本题考查了超⼏何分布的概率计算、期望与⽅差及性质，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中
档题．
23．已知X 的分布列为
X
﹣1
0
1
P
a
则下列说法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤分布列的性质可求出a 的值，可判断AD 选项；利⽤期望公式可判断B 选项；利⽤⽅差公
式可判断C 选项．
【解答】解：对于A 选项，由分布列的性质可得
，可得
，则
，A 对；
对于B 选项，
，B 对；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对．
故选：C．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列的性质、期望与⽅差的计算，属于基础题．
24．随机变量X 的分布列如下（k 为常数）：
X
0
1
2
P
k
6k
0.3
则
＝（
）
A．0.6
B．0.7
C．0.9
D．1.2
第27⻚（共41⻚）
【分析】根据题意，由分布列的性质求出k 的值，⼜由
＝P（X＝1）+P（X＝2），计算可
得答案．
【解答】解：根据题意，由分布列可得k+6k+0.3＝1，解可得k＝0.1，
＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.6+0.3＝0.9．
故选：C．
【点评】本题考查分布列的计算，涉及概率的计算，属于基础题．
25．设随机变量X 服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则D（X）＝（
）
A．0.21
B．0.3
C．0.4
D．0.7
【分析】利⽤两点分布P（X＝1）+P（X＝0）＝1，结合已知条件求出P（X＝1），P（X＝0），再根据⽅
差公式求解即可．
【解答】解：因为随机变量X 服从两点分布，所以P（X＝1）+P（X＝0）＝1，
⼜P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，所以解得P（X＝1）＝0.7，P（X＝0）＝0.3，
所以E（X）＝1×0.7+0×0.3＝0.7，D（X）＝（0﹣0.7）2×0.3+（1﹣0.7）2×0.7＝0.21．
故选：A．
【点评】本题主要考查期望、⽅差的求解，属于基础题．
26．已知随机变量X～B（n，p），若
，
，则
＝（
）
A．15
B．
C．
D．
【分析】由随机变量X～B（n，p）的期望和⽅差公式解⽅程组计算即可．
【解答】解：因为
，
，
所以
，
即
，所以n＝3，
所以
．
故选：A．
【点评】本题主要考查⼆项分布的期望与⽅差公式，属于基础题．
27．已知离散型随机变量X 服从⼆项分布X～B（n，p）且E（X）＝2，D（X）＝q，则
的最⼩值为（
）
A．2
B．
C．
D．
第28⻚（共41⻚）
【分析】根据已知条件，结合⼆项分布的期望与⽅差公式，推得p+
，再结合基本不等式的公式，
即可求解．
【解答】解：离散型随机变量X 服从⼆项分布X～B（n，p）且E（X）＝2，D（X）＝q，
则
，即p+
，
＝（
）（p+
）＝1+
+
≥
，当且仅当
时，等号成
⽴，
故
的最⼩值为
．
故选：B．
【点评】本题主要考查基本不等式及其应⽤，属于基础题．
28．已知随机变量
，则P（ξ＝4）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利⽤⼆项分布的概率公式求解．
【解答】解：∵
，
∴P（ξ＝4）＝
＝
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了⼆项分布的概率公式，属于基础题．
29．已知随机变量X 服从两点分布，若P（X＝1）＝0.6，则P（X＝0）＝（
）
A．0.6
B．0.3
C．0.2
D．0.4
【分析】利⽤两点分布的概率公式求解．
【解答】解：因为随机变量X 服从两点分布，且P（X＝1）＝0.6，
所以P（X＝0）＝1﹣P（X＝1）＝0.4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了两点分布的概率公式，属于基础题．
30．已知随机变量X～B（4，），则P（X＝2）＝（
）
A．
B．
C．
D．
第29⻚（共41⻚）
【分析】结合⼆项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：随机变量X～B（4，），
则P（X＝2）＝
．
故选：B．
【点评】本题主要考查⼆项分布的概率公式，属于基础题．
31．设随机变量
，则D（3X+1）＝（
）
A．2
B．3
C．6
D．7
【分析】根据⼆项分布的⽅差公式及性质进⾏计算即可．
【解答】解：由题意得
，
故
．
故选：C．
【点评】本题主要考查⼆项分布的期望公式，属于基础题．
32．已知随机变量X1，X2分别满⾜⼆项分布X1～B（n1，
），X2～B（n2，
），则“n1＞n2”是“D（X1）＞D
（X2）”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据⼆项分布⽅差的计算的公式求出D（X1）和D（X2），进⽽由充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：根据题意，因为随机变量X1，X2分别满⾜⼆项分布X1～B（n1，），X2～B（n2，），
由⼆项分布的性质，D（X1）＝
，同理D（X2）＝
，
若n1＞n2，则有
，即D（X1）＞D（X2），
反之，若D（X1）＞D（X2），即
，必有n1＞n2，
故“n1＞n2”是“D（X1）＞D（X2）”充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查⼆项分布的性质，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
第30⻚（共41⻚）
33．设随机变量X～B（12，p），若EX≤4，则DX 的最⼤值为（
）
A．4
B．3
C．
D．
【分析】根据题意，先求出p 的范围，⼜由DX＝12p（1﹣p）＝12（﹣p2+p），结合⼆次函数的性质分析
可得答案．
【解答】解：根据题意，随机变量X～B（12，p），
则EX＝12p，若EX≤4，即12p≤4，则有p≤
，
则有DX＝12p（1﹣p）＝12（﹣p2+p），
由于函数f（p）＝﹣p2+p 在区间
上单调递增，则
，
所以
．
故选：C．
【点评】本题考查⼆项分布的性质以及应⽤，涉及⼆次函数的性质，属于基础题．
34．已知X～B（4，），则E（3X﹣2）＝（
）
A．12
B．9
C．4
D．2
【分析】根据⼆项分布的期望公式求解
，由期望的性质即可求解．
【解答】解：因为
，
，
所以
．
故选：C．
【点评】本题主要考查⼆项分布的期望公式，属于基础题．
35．已知X～B（n，p），且3E（X）＝10D（X），则p＝（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.7
D．0.8
【分析】根据⼆项分布期望、⽅差公式及已知列⽅程求p 即可．
【解答】解：由题设，E（X）＝np，D（X）＝np（1﹣p），则3np＝10np（1﹣p），
所以
．
故选：C．
【点评】本题主要考查⼆项分布的期望与⽅差公式，属于基础题．
36．⼀箱中装有6 个同样⼤⼩的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4 个同样⼤⼩的⻩球，编号为7，8，
9，10．现从箱中任取4 个球，下列变量服从超⼏何分布的是（
）
第31⻚（共41⻚）
A．X 表示取出的最⼩号码
B．若有放回的取球时，X 表示取出的最⼤号码
C．取出⼀个红球记2 分，取出⼀个⻩球记1 分，X 表示取出的4 个球的总得分
D．若有放回的取球时，X 表示取出的⻩球个数
【分析】利⽤超⼏何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此判断四个选项，即可得到答案．
【解答】解：选项A，B，D 不符合超⼏何分布的定义，因为超⼏何分布取球必须是⽆放回地取球且⼀
次取完，
所以选项A，B，D ⽆法⽤超⼏何分布的数学模型计算概率，故选项A，B，D 错误；
选项C 符合超⼏何分布的定义，将红球视作次品，⻩球视作正品，
则可以⽤超⼏何分布的数学模型计算概率，故选项C 正确．
故选：C．
【点评】本题考查可超⼏何分布的理解与应⽤，解题的关键是掌握超⼏何分布的定义，考查了逻辑推理
能⼒，属于基础题．
37．某地7 个贫困村中有3 个村是深度贫困，现从中任意选3 个村，下列事件中概率等于
的是（
）
A．⾄少有1 个深度贫困村
B．有1 个或2 个深度贫困村
C．有2 个或3 个深度贫困村
D．恰有2 个深度贫困村
【分析】⽤X 表示这3 个村庄中深度贫困村数，则X 服从超⼏何分布，计算对应的概率值即可得出结论．
【解答】解：⽤X 表示这3 个村庄中深度贫困村数，则X 服从超⼏何分布，
所以
，
计算
，
，
，
第32⻚（共41⻚）
，
所以
，
即有1 个或2 个深度贫困村的概率为
．
故选：B．
【点评】本题考查了超⼏何分布的概率计算问题，是基础题．
38．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（
）
A．n
B．
C．
D．
【分析】先由超⼏何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超⼏何分布，再由超⼏何分布的性质：若
随机变量X～H（n，M，N），则其数学期望为
，计算抽到的次品数的数学期望值即可
【解答】解：设抽到的次品数为X，
则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超⼏何分布
即X～H（n，M，N），
∴抽到的次品数的数学期望值EX＝
故选：C．
【点评】本题考查了离散型随机变量的特殊分布列及其性质，超⼏何分布的意义及其数学期望的求法
39．某⼯⼚⽣产的10 件产品中，有n 件次品，现从中任取2 件产品，若取出的2 件产品中⾄少有1 件次品
的概率为
，则n＝
（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
【分析】先求没有次品的概率p，令p＝1﹣构造⽅程求解即可．
【解答】解：设没有次品的概率p，则p＝
，令
＝1﹣，解得n＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查超⼏何分布，属于基础题．
40．设袋中有8 个红球，2 个⽩球，若从袋中任取4 个球，则其中恰有3 个红球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
第33⻚（共41⻚）
【分析】根据已知条件，结合超⼏何分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：从袋中任取4 个球，
则其中恰有3 个红球的概率为
＝
．
故选：D．
【点评】本题主要考查超⼏何分布，属于基础题．
41．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是（
）
A．n
B．
C．
D．
【分析】根据超⼏何分布的均值求解即可．
【解答】解：根据题意，设抽到的次品数为X，
则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超⼏何分布；
故抽到的次品数的均值
．
故选：C．
【点评】本题考查超⼏何分布的应⽤，注意超⼏何分布的定义，属于基础题．
42．下列问题中，相应随机变量服从超⼏何分布的是（
）
A．抛掷三枚骰⼦，所得向上的点数是6 的骰⼦的个数X
B．有⼀批种⼦的发芽率为70%，任取10 颗种⼦做发芽试验，试验中发芽的种⼦数X
C．盒⼦中有红球3 个，⻩球4 个，蓝球5 个，任取3 个球，其中不是红球的个数X
D．有100 个蓝⽛⽿机未经检测，抽取10 个送检，检验结果为不合格的蓝⽛⽿机的个数X
【分析】根据超⼏何分布的特征，即可求解．
【解答】解：AB，样本没有分类，不是超⼏何分布，属于独⽴重复试验，是⼆项分布，
D，样本没有分类，不是超⼏何分布，
C，将样本进⾏分类，随机变量X 表示抽取某类样本的个数，符合超⼏何分布的特征．
故选：C．
【点评】本题主要考查超⼏何分布的特征，属于基础题．
43．有⼀批产品，其中有6 件正品和4 件次品，从中任取3 件，⾄少有2 件次品的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合超⼏何分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：从中任取3 件，
第34⻚（共41⻚）
⾄少有2 件次品的概率为
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查超⼏何分布，属于基础题．
44．某箱⼦内有9 罐咖啡及3 罐红茶．若从该箱⼦中随机取出4 罐，求取出⾄少2 罐红茶的概率（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合超⼏何分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：从该箱⼦中随机取出4 罐，
取出⾄少2 罐红茶的概率P＝
＝
．
故选：A．
【点评】本题主要考查超⼏何分布的概率公式，属于基础题．
45．在某项测验中，假设测验数据服从正态分布N（78，16）．如果按照16%，34%，34%，16%的⽐例将测
验数据从⼤到⼩分为A，B，C，D 四个等级，则等级为A 的测验数据的最⼩值可能是（附：若X～N（µ，
σ2），则P（|X﹣µ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣µ|≤2σ）≈0.9545）（
）
A．94
B．86
C．82
D．78
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：因为测验数据服从正态分布N（78，16），
则µ＝78，σ＝
＝4，
所以P（X＞µ+σ）＝
≈0.16，
所以A 等级的分数线应该是µ+σ＝78+4＝82．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
46．已知随机变量X～N（3，σ2），且P（2＜x＜4）＝m，P（1＜x＜5）＝n，则P（2＜x＜5）的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由正态分布曲线的性质即可得解．
【解答】解：因为随机变量X～N（3，σ2），且P（2＜x＜4）＝m，P（1＜x＜5）＝n，
所以
．
第35⻚（共41⻚）
故选：A．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
47．若随机变量ξ∼N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，则P（2＜ξ＜3）＝（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【分析】利⽤正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：因为随机变量ξ∼N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，
所以P（3＜ξ＜4）＝0.5﹣P（ξ＞4）＝0.3，
所以P（2＜ξ＜3）＝P（3＜ξ＜4）＝0.3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
48．在某市的⼀次质量检测考试中，学⽣的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可⽤函数
的图象拟合，且P（78≤X≤120）＝0.42，若参加本次考试的学⽣共有10000
⼈，则数学成绩超过120 分的⼈数约为（
）
A．600
B．800
C．1200
D．1400
【分析】由随机变量X 的密度函数可求µ，由条件，利⽤正态分布的性质可求P（X＞120），由此可求结
论．
【解答】解：依题意可知，µ＝78，⼜因为P（78≤X≤120）＝0.42，
所以P（X＞120）＝0.5﹣0.42＝0.08，
所以数学成绩超过120 分的⼈数约为0.08×10000＝800．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
49．统计学中通常认为服从于正态分布N（µ，σ2）的随机变量X 只取[µ﹣3σ，µ+3σ]中的值，简称为3σ原
则．假设某⼚有⼀条包装⻝盐的⽣产线，正常情况下⻝盐质量服从正态分布N（500，σ2）（单位：g），
某天⽣产线上的质检员随机抽取了⼀包⻝盐，称得其质量⼩于488g，他⽴即判断⽣产线出现了异常，要
求停产检修．由此可以得到σ的最⼤值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】根据3σ原则可得500﹣3σ≥488，进⽽求出σ的最⼤值．
【解答】解：由3σ原则可知，500﹣3σ≥488，
解得σ≤4，
第36⻚（共41⻚）
即σ的最⼤值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了3σ原则的应⽤，属于基础题．
50．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤1）＝0.3，则P（X＜3）＝（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：随机变量X～N（2，σ2），P（X≤1）＝0.3，
则P（X≥3）＝P（X≤1）＝0.3，
故P（X＜3）＝1﹣P（X≥3）＝0.7．
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
51．中⼼极限定理是概率论中的⼀个重要结论．根据该定理，若随机变量ξ～B（n，p），则当np＞5 且n（1
﹣p）＞5 时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与⽅差分别与η的均值与⽅差近似
相等．现投掷⼀枚质地均匀分布的骰⼦2500 次，利⽤正态分布估算骰⼦向上的点数为偶数的次数少于
1300 的概率为（
）
附：若η～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜η＜µ+σ）≈0.6827，P（µ﹣2σ＜η＜µ+2σ）≈0.9545，P（µ﹣3σ＜η＜µ+3
σ）≈0.9973
A．0.0027
B．0.5
C．0.8414
D．0.9773
【分析】先求出⼆项分布的期望与⽅差，再结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：抛掷⼀枚质地均匀分布的骰⼦2500 次，
则ξ～B（2500，），
故E（ξ）＝
，D（ξ）＝2500×
，
由中⼼极限定理可知，η～N（1250，252），
P（η＜1300）＝P（η≤1250）+P（1250＜η＜1300）＝
0.9773．
故选：D．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
52．王先⽣每天8 点上班，他通常开私家⻋加步⾏或乘坐地铁加步⾏．私家⻋路程近⼀些，但路上经常拥
堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（38，72），从停⻋场步⾏到单位要6 分钟；王先⽣从家到
地铁站需要步⾏5 分钟，乘坐地铁畅通，但路线较⻓，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（44，
第37⻚（共41⻚）
22），下地铁后从地铁站步⾏到单位要5 分钟，从统计⻆度出发，关于两种上班⽅式，下列说法正确的个
数是（
）个．
①若7：00 出⻔，则王先⽣开私家⻋上班不会迟到
②若7：02 出⻔，则王先⽣开私家⻋上班不迟到的可能性更⼤
③若7：06 出⻔，则王先⽣乘坐地铁上班不迟到的可能性更⼤
④若7：12 出⻔，则王先⽣乘坐地铁⼏乎不可能上班不迟到
参考数据：若Z～N（µ，σ2），则P（|Z﹣µ|＜σ）≈0.6826，P（|Z﹣µ|＜2σ）≈0.9544，P（|Z﹣µ|＜3σ）≈0.9974
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】对于①，由P（Z≥59）＝0.0013 即可判断；对于②和③，分别计算开私家⻋及乘坐地铁不迟到的
概率即可判断；对于④，计算P（Z≤38）＝0.0013 即可判断，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次判断4 个说法：
对于①，由题意得，当满⾜
时，江先⽣仍旧有
可能迟到，只不过发⽣的概率较⼩，①错误；
对于②，若7：02 出⻔，分2 种情况讨论：
若江先⽣开私家⻋，当满⾜
时，江先⽣
开私家⻋不会迟到；
若江先⽣乘坐地铁，当满⾜
时，此时江
先⽣乘坐地铁不会迟到，
此时两种⽅式，江先⽣不迟到的概率相当，所以②错误；
对于③，若7：06 出⻔，分2 种情况讨论：
若
江
先
⽣
开
私
家
⻋
，
当
满
⾜
，此时江先⽣开私家⻋
不会迟到；
若江先⽣乘坐地铁，由题意得，当满⾜
时，此时江先⽣乘坐地铁不会迟到，
此时两种⽅式，显然江先⽣开私家⻋不迟到的可能性更⼤，所以③正确；
对于④，若7：12 出⻔，江先⽣乘坐地铁上班，
当满⾜
时，江先⽣乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能
性极⼩，
第38⻚（共41⻚）
故江先⽣乘坐地铁⼏乎不可能上班不迟到，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布，考查考⽣的数据处理能⼒，分析问题解决问题的能⼒以及运算求解能⼒，
属于中档题．
53．某科研院校培育⼤枣新品种，新培育的⼤枣单果质量ξ（单位：g）近似服从正态分布N（90，4），现有
该新品种⼤束10000 个，估计单果质量在（88，94）范围内的⼤枣个数约为（
）
附：若X～N（µ，σ2），P（µ﹣σ＜X＜µ+σ）＝0.6826，P（µ﹣2σ＜X＜µ+2σ）＝0.9544，P（µ﹣3σ＜X＜µ+3
σ）＝0.9974．
A．8400
B．8185
C．9974
D．9987
【分析】根据正态分布的对称性，结合题中所给的公式进⾏求解即可．
【解答】解：由N（90，4），可知数学期望µ＝90，⽅差σ＝2，
由公式可知：
，
，
则P（88＜X＜94）＝P（88＜X＜90）+P（90＜X＜94）＝0.3413+0.4772＝0.8185，
∴单果质量在（88，94）范围内的⼤枣个数约为P（88＜X＜90.8185×10000＝8185．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的⼏何意义，考查运算求解能⼒，是基础题．
54．已知某市⾼三共有20000 名学⽣参加⼆模考试，统计发现他们的数学分数X 近似服从正态分布N（105，
100），据此估计，该市⼆模考试数学分数X 介于75 到115 之间的⼈数为（
）
参考数据：若X～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜X＜µ+σ）≈0.6827，P（µ﹣2σ＜X＜µ+2σ）≈0.9545，P（µ﹣3
σ＜X＜µ+3σ）≈0.9973．
A．13272
B．16372
C．16800
D．19518
【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解．
【解答】解：依题意
，
故所求⼈数为20000×0.84＝16800．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
55．已知随机变量ξ～N（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则
的最⼩值为（
）
第39⻚（共41⻚）
A．9
B．
C．4
D．6
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性求得a，代⼊
，再由导数求最值．
【解答】解：ξ～N（1，σ2），可得正态分布曲线的对称轴为x＝1，
⼜P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），∴
，即a＝2．
令f（x）＝
（0＜x＜2），则f′（x）＝
＝
，
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（，2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
则f（x）的最⼩值为f（）＝
．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利⽤导数求最值，考查运算求解能
⼒，是中档题．
56．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）＝0.032，则P（﹣2≤ξ≤2）等于（
）
A．0.484
B．0.628
C．0.936
D．0.968
【分析】根据正态分布的概率计算公式，求解即可．
【解答】解：因为ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（ξ＞2）＝0.032，
所以P（﹣2≤ξ≤2）＝1﹣2P（ξ＞2）＝1﹣2×0.032＝0.936．
故选：C．
【点评】本题考查了正态分布的概率计算问题，是基础题．
57．已知随机变量X 服从正态分布N（0，σ2），若
，则P（|X|≤a）＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，利⽤正态分布曲线的对称性，结合P（|X|≤a）＝1﹣2P（X＞a），即可求解．
【解答】解：由随机变量X 服从正态分布N（0，σ2），
因为
，可得
，
所以
．
故选：A．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量µ和σ的应⽤，考查
第40⻚（共41⻚）
曲线的对称性，属于基础题．
58．若随机变量ξ∼N（x，y），且
，则（
）
A．y＜4
B．y＝4
C．x＜4
D．x＝4
【分析】根据题意，由正态分布的性质，即可得到结果．
【解答】解：因为随机变量ξ∼N（x，y），即x＝µ，y＝σ2，
且
，
则
，故D 正确，C 错误；
⽽y 的⼤⼩⽆法判断，故AB 错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
59．设随机变量X 服从正态分布N（3，4），若P（X＞a﹣2）＝P（X＜6﹣3a），则a＝（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．
D．1
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案．
【解答】解：由题意随机变量X 服从正态分布N（3，4），即正态分布曲线关于x＝3 对称，
因为P（X＞a﹣2）＝P（X＜6﹣3a），
故
，
解得a＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
60．已知随机变量X 服从N（0.5，σ2），若P（X≤0.3）＝0.3，则P（0.3≤X≤0.7）＝（
）
A．0.2
B．0.3
C．0.4
D．0.5
【分析】根据题意，分析可得P（0.3≤X≤0.5）的值，⼜由P（0.3≤X≤0.7）＝2P（0.3≤X≤0.5），计算可得答
案．
【解答】解：由题意，X～N（0.5，σ2），且P（X≤0.3）＝0.3，
P（0.3≤X≤0.5）＝0.5﹣0.3＝0.2，
所以P（0.3≤X≤0.7）＝2P（0.3≤X≤0.5）＝0.4．
故选：C．
【点评】本题考查正态分布的性质，注意正态分布的对称性，属于基础题．
第41⻚（共41⻚）
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第16⻚（共43⻚）
统计、概率与变量分布—题型21 答案
⼀．解答题（共25 ⼩题）
1．⽻⽑球是⼀项隔着球⽹，使⽤⻓柄⽹状球拍击打平⼝端扎有⼀圈⽻⽑的半球状软⽊的室内运动，某学校
为了解学⽣对⽻⽑球的喜爱情况，随机调查了200 名学⽣，统计得到如下2×2 列联表：
喜欢
不喜欢
总计
男⽣
40
60
100
⼥⽣
80
20
100
总计
120
80
200
（1）依据⼩概率值α＝0.001 的独⽴性检验，能否认为“是否喜欢⽻⽑球”与性别有关联？
（2）为了增强学⽣学习⽻⽑球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学⽣中按性别⽤分层抽样的⽅法抽取6
⼈参加⽻⽑球集训，再从这6 ⼈中随机抽取3 ⼈参加⽻⽑球⽐赛，记随机变量X 为这3 ⼈中⼥⽣的⼈数，
求X 的分布列和数学期望．
附：
，其中n＝a+b+c+d．
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）计算χ2的值，再与临界值⽐较即可；
（2）由分层抽样可知抽取的6 ⼈中，男⽣⼈数为2 ⼈，⼥⽣⼈数为4 ⼈，所以X 的所有可能取值为1，
2，3，再利⽤古典概型的概率公式求出相应的概率，得到X 的分布列，再结合期望公式求解．
【解答】解：（1）零假设为H0：“是否喜欢⽻⽑球”与性别⽆关联，
则
，
依据⼩概率值α＝0.001 的独⽴性检验，我们推断H0不成⽴，即认为“是否喜欢⽻⽑球”与性别有关联；
（2）因为调查结果为“喜欢”的学⽣中，男⽣⼈数与⼥⽣⼈数之⽐为1：2，
所以抽取的6 ⼈中，男⽣⼈数为2 ⼈，⼥⽣⼈数为4 ⼈，
所以X 的所有可能取值为1，2，3，
则
，
，
，
所以X 的分布列为：
第17⻚（共43⻚）
X
1
2
3
P
所以
．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
2．春节临近，为了吸引顾客，我市某⼤型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C 三个抽奖项⽬，
它们之间相互不影响，每个项⽬每位顾客⾄多参加⼀次，项⽬A 中奖的概率是
，项⽬B 和C 中奖的
概率都是
．
（1）若规定每位顾客等可能地参加三个项⽬中的⼀个项⽬．求该顾客中奖的概率．
（2）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C 三个项⽬，如果A、B、C 三个项⽬全部中奖，
顾客将获得100 元奖券；如果仅有两个项⽬中奖，他将获得50 元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获
得奖券⾦额的期望；
【分析】（1）利⽤全概率公式求解即可；
（2）先确定奖券⾦额的所有取值，并求出对应的概率，即可列出分布列，求出数学期望．
【解答】解：（1）设“该顾客中奖”为事件M，参加项⽬A，B，C 分别记为事件N1，N2，N3，
故所求概率为：
，
即某顾客中奖的概率是
；
（2）设⼀位顾客获得X 元奖券，则X 的可能取值为100，50，0，
则
，
，
，
所以x 分布列如下：
X
100
50
0
P
所以每位顾客获得奖⾦券的期望是：
（元）．
【点评】本题考查了全概率公式的应⽤及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
3．《中国诗词⼤会》是中央⼴播电视总台联合中华⼈⺠共和国教育部、国家语⾔⽂字⼯作委员会共同推出
第18⻚（共43⻚）
的语⾔⽂化类节⽬，节⽬以诗词描绘中国精神，⽤诗意书写时代篇章，尽展中华⺠族历史之美、⼭河之
美、⽂化之美．随着《中国诗词⼤会》的播出，赣州市某学校掀起了学习唐诗和宋词的热潮，该校团委
组织了校内诗词⼤会，赛前准备了两组题，第⼀组题中含有2 道唐诗和3 道宋词，第⼆组题中含有6 道
唐诗和4 道宋词．
（1）先等可能地抽取⼀组题，再从这组题中抽出2 道题，若抽出的两道题恰是1 道唐诗和1 道宋词，求
这两道题出⾃第⼀组题的概率；
（2）某同学从两组题中按照分层抽样共抽取3 道题，记X 为抽到的是宋词的题数，求X 的分布列及数
学期望．
【分析】（1）利⽤全概率公式和⻉叶斯公式，求条件概率；
（2）由X 的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式计算数学期望．
【解答】解：（1）记“抽出的两道题恰是1 道唐诗和1 道宋词”为事件A，“抽到第⼀组题”为事件B1，“抽到
第⼆组题”为事件B2，
则
，
，
，
，
由⻉叶斯公式知，
，
即若抽出的两道题恰是1 道唐诗和1 道宋词，这两道题出⾃第⼀组题的概率为
；
（2）由分层抽样得，抽取的3 道题中有1 道来⾃第⼀题组，2 道来⾃第⼆题组，
X 的可能值为0，1，2，3，
则
，
，
，
，
第19⻚（共43⻚）
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以
．
【点评】本题主要考查了全概率公式和⻉叶斯公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档
题．
4．为进⼀步培养⾼中⽣数学学科核⼼素养，提⾼创造性思维和解决实际问题的能⼒，某省举办⾼中⽣数学
建模竞赛现某市从M，N 两个学校选拔学⽣组队参赛，M，N 两个学校学⽣总数分别为1989 ⼈、3012 ⼈．两
校分别初选出4 ⼈、6 ⼈⽤于组队参赛，其中两校选拔的⼈中各有两⼈有⽐赛经验，按照分层抽样从M，
N 两个学校初选⼈中共选择5 名学⽣组队参赛，设该队5 ⼈中有参赛经验的⼈数为X．
（1）求随机变量X 的分布列及数学期望E（X）；
（2）各市确定5 ⼈组队参赛，此次⽐赛规则是：⼩组内⾃⾏指定⼀名同学起稿建⽴模型，之后每轮进
⾏两⼈单独交流．假设某队决定由A 起稿建⽴模型，A 从其他四名成员中选择⼀⼈B 进⾏交流，结束后
把成果交由B，然后B 再从其他包括A 在内的四个成员中选择⼀⼈进⾏交流⋯⋯每⼀个环节只能是两名
成员单独交流，每个⼩组有20 次交流机会，最后再进⼊评委打分环节，现该市选定甲、⼄、丙、丁、戊
五⼈参赛，其中甲、⼄两⼈有参赛经验．在每次交流中，甲、⼄被同伴选为交流对象的概率均为
，丙、
丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，⽐赛由甲同学起稿建⽴模型．
①求该组第三次交流中甲被选择的概率；
②求第n 次交流中甲被选择的概率（n≤20，n∈N+）．
【分析】（1）列出随机变量X 的可能取值，并根据超⼏何分布计算每个可能取值的概率，并计算分布列
和数学期望；
（2）①根据第三次交流中甲被选择，第⼆次交流中甲未参与，计算概率即可；
②根据第n 次被选择的概率，第n﹣1 次未被选择的概率，得出数列递推公式
，再
通过数列计算通项即可．
【解答】解：（1）由题随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．
则
，
第20⻚（共43⻚）
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
所以
；
（2）①甲、⼄两同学被同伴选择的概率均为
，其他三名同学被选择的概率相等，
⽐赛由甲同学起稿建⽴模型，第三次交流中甲被选择，所以第⼆次交流中甲未参与，
设A＝“第三次交流中甲被选择”，
则
；
②第n 次（n≥2，n∈N*）交流中甲被选择，则第n﹣1 次交流中甲未被选择，
设第n 次交流中甲被选择的概率为Pn，
则
，
所以
，且P1＝0，
所以数列
是以﹣为⾸项，
为公⽐的等⽐数列，
所以
，即
．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望及数列在概率中的应⽤，属于中档题．
5．增强⻘少年体质，促进⻘少年健康成⻓，是关系国家和⺠族未来的⼤事．某⾼中为了解本校⾼⼀年级学
⽣体育锻炼情况，随机抽取体育锻炼时间在[20，80]（单位：分钟）的50 名学⽣，统计他们每天体育锻
炼的时间作为样本并绘制成如图的频率分布直⽅图，已知样本中体育锻炼时间在[60，70）的有5 名学⽣．
（1）求a，b 的值；
第21⻚（共43⻚）
（2）若从样本中体育锻炼时间在[60，80]的学⽣中随机抽取4 ⼈，设X 表示在[70，80]的⼈数，求X 的
分布列和均值．
【分析】（1）体育锻炼时间在[60，70）的频率为
，可求b，利⽤⾯积和等于1，可求a；
（2）样本中体育锻炼时间在[60，70）的有5 名学⽣，在[70，80]的有3 名学⽣，可得X＝0，1，2，3，利
⽤超⼏何分布可求分布列与数学期望．
【解答】解：（1）因为体育锻炼时间在[60，70）的频率为
，
所以
，
⼜因为（0.006+0.01+0.018+0.022+0.024+a）×10＝1，
所以a＝0.02；
（2）样本中体育锻炼时间在[60，70）的有5 名学⽣，在[70，80]的有3 名学⽣，
则X＝0，1，2，3，
所以
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以
．
【点评】本题考查了频率分布直⽅图的应⽤及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
6．某市共有教师1000 名，为了解⽼师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个⼈，现随机抽取了10 名教
师利⽤“学习APP”学习的时⻓数据（单位：⼩时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35．学习时⻓
第22⻚（共43⻚）
不低于80 ⼩时的教师评为“研修先进个⼈”．
（1）现从该样本中随机抽取3 名教师的学习时⻓，求这3 名教师中恰有1 名教师是研修先进个⼈的概
率．
（2）若该市所有教师的学习时⻓X 近似地服从正态分布N（µ，σ2），其中σ＝10，µ为抽取的10 名教师
学习时⻓的样本平均数，利⽤所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时⻓不低于50 ⼩时的教师的⼈数（结果四舍五⼊到整数）；
②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ名教师的学习时⻓在[50，70]内，则当ξ的均值不⼩于32 时，n
的最⼩值为多少？
附：若随机变量X 服从正态分布N（µ，σ2），则P（µ﹣σ≤X≤µ+σ）≈0.6827，P（µ﹣2σ≤X≤µ+2σ）≈0.9545，
P（µ﹣3σ≤X≤µ+3σ）≈0.9973．
【分析】（1）直接使⽤古典概型和排列组合⼯具求解；
（2）①直接使⽤正态分布数据计算出X≥50 的概率，然后⽤概率估计实际的⽐例；②⽤正态分布数据求
出ξ的均值0.6827n，再解出n 的最⼩值．
【解答】解：（1）由于这10 名教师中恰有3 名是研修先进个⼈，
故随机抽取的3 名教师中恰有1 名教师是研修先进个⼈的概率
．
（2）①直接计算可得
．
所以
．
故可以估计学习时⻓不低于50 ⼩时的教师的⼈数为1000×0.84135≈841．
②由于P（50≤X≤70）＝P（µ﹣σ≤X≤µ+σ）≈0.6827，故E（ξ）＝0.6827n．
当E（ξ）≥32 时，有0.6827n≥32，得n≥46.8727．
所以n 的最⼩值是47．
【点评】本题主要考查古典概型概率公式，正态分布曲线的性质，期望的求法，考查运算求解能⼒，属
于中档题．
7．市场供应的某种商品中，甲⼚产品占60%，⼄⼚产品占40%，甲⼚产品达到优秀等级的概率为90%，⼄
⼚产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部⻔对该商品进⾏质量检测．
（1）若质检部⻔在该市场中随机抽取1 件该商品进⾏检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；
（2）若质检部⻔在该市场中随机抽取4 件该商品进⾏检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，
求X 的分布列和数学期望．
第23⻚（共43⻚）
【分析】（1）记该事件为事件A，利⽤P（A）＝60%×90%+40×65%，求解即可；
（2）由（1）可知
，根据⼆项分布的概率公式可求分布列与数学期望．
【解答】解：（1）记质检部⻔在该市场中随机抽取1 件该商品进⾏检测，求抽到的产品达到优秀等级为
事件A，
则
，
（2）由（1）可知每件产品达到优秀等级的概率均为
，故
，
所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则
，
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
则
．
【点评】本题考查了概率的计算及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
8．某商场为调查⼿机卖场各品牌⼿机在晚上19：30 到21：00 时段的销售情况，随机抽取了某⼀周该时段
的销售数据，并要求每个品牌只抽取⼀个款式的⼿机，且不考虑价格波动．
⼿机品牌
步步⾼
三星
华为
苹果
vivo
销售总额（万元）
1.92
1.8
4.8
4.8
2.52
销售量
4
3
10
6
7
销售利润率
0.1
0.07
0.06
0.05
0.08
销售利润率是指，⼀部⼿机销售价格减去出⼚价格得到的利润与该⼿机销售价格的⽐值．
（1）从该公司本周该时段卖出的⼿机中随机选⼀部，求这部⼿机利润率⾼于0.07 的概率；
（2）从该公司本周该时段卖出的销售单价为4800 元的⼿机中随机选取2 部，求这两部⼿机的利润率不
同的概率；
（3）销售⼀部步步⾼⼿机获利x1元，销售⼀部三星⼿机获利x2元，…，销售⼀部vivo ⼿机获利x5元，
第24⻚（共43⻚）
依据上表统计数据，随机销售⼀部⼿机获利的期望为E（x），设
，试判断E（x）
与的⼤⼩．
【分析】（1）由古典概型结合题意即可求解；
（2）由古典概型结合题意即可求解；
（3）由题X 可能取的值为288，400，420，480，然后结合题意求出对应的概率即可得E（X），⼜由题意
可知利润x1＝480，x2＝420，x3＝288，x4＝400，x5＝288，然后求出与E（X）⽐较即可得解．
【解答】解：（1）由题意知，本周该时段共卖出30 部⼿机，
利润率⾼于0.07 的是步步⾼4 部和vivo7 部，共有11 部，
设事件A“这部⼿机利润率⾼于0.07，
则
；
（2）⽤销售总额除以销售量得到⼿机的销售单价，
可知步步⾼⼿机和华为⼿机销售单价为4800 元，
有步步⾼⼿机4 部，华为⼿机10 部，共有14 部，
随机选取2 部有
种不同⽅法，由于两部⼿机的利润率不同，
则每类各取⼀部有
种不同⽅法，
设事件B 为“两部⼿机的利润率不同“，
则
；
（3）由题意可知利润等于价格乘以利润率，
于是x1＝480，x2＝420，x3＝288，x4＝400，x5＝288，
所以X 可能取的值为288，400，420，480，
，
，
，
，
因此
，
⼜
，
所以
．
【点评】本题考查了古典概型的求解及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
第25⻚（共43⻚）
9．某学校为了激发学⽣的体育运动兴趣，助⼒全⾯健康的⽣活和学习，组织全体学⽣开展以体育锻炼为主
题的实践活动，现将该学校1500 名学⽣⼀周的体育运动锻炼时间（单位：⼩时）统计如下表所示，其中
每周的锻炼时间在6 ⼩时以上（包含6 ⼩时）的有975 ⼈．
每周锻炼时间（单位：⼩时）
[2，4）
[4，6）
[6，8）
[8，10）
[10，12]
频率
0.2
m
0.3
n
0.1
（1）为了了解学⽣参与活动的情况，从每周锻炼时间在[4，6），[6，8），[8，10）三组内的学⽣中，采取
分层抽样的⽅法抽取了14 ⼈，现从这14 ⼈中随机抽取3 ⼈，记每周锻炼时间在[6，8）内的学⽣⼈数为
X，求X 的分布列和数学期望；
（2）以样本的频率估计概率，从每周锻炼时间在[4，10）内的学⽣中随机抽取20 ⼈，这20 ⼈中每周锻
炼时间在[8，10）内的学⽣最可能有多少⼈？
【分析】（1）根据题意结合表格确定出每个组所抽取的⼈数，然后根据超⼏何分布的相关知识求出X 所
有取值对应的概率即可得解；
（2）由题每周锻炼时间在[8，10）内的概率
，设每周锻炼时间在[8，10）内的
⼈
数
为
k
，则
，令
，即可求得k 的范围，然后结合题
意分析即可得解．
【解答】解：（1 ）由每周锻炼时间在6 ⼩时以上（含6 ⼩时）的有975 ⼈可得：
，
由题中统计表可知，
每周锻炼时间在[4，6），[6，8），[8，10）三组的频率之⽐为0.15：0.3：0.25＝3：6：5，
所以14 ⼈中每周锻炼时间在6 ⼩时以上（含6 ⼩时）在[4，6）内的学⽣⼈数为
，
在[6，8）内的学⽣⼈数为
，在[8，10）内的学⽣⼈数为
，
则X 的取值可能为0，1，2，3，
所以
，
第26⻚（共43⻚）
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以
；
（2）⽤样本频率估计概率，该校学⽣每周锻炼时间在[4，10）内随机抽取20 ⼈，
每周锻炼时间在[8，10）内的概率
，
设每周锻炼时间在[8，10）内的⼈数为k，
则
，
令
，
解得
，⼜k∈Z，
所以当k≤6 时，P（7）≥P（6）≥⋯≥P（1），
当k≥7 时，P（20）≤⋯≤P（8）≤P（7），所以当k＝7 时，P（k）最⼤，
即这20 ⼈中每周锻炼时间在[8，10）内的学⽣最可能有7 ⼈．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望及概率分布的应⽤，属于中档题．
10．某⼿机App 为了答谢新⽼⽤户，设置了开⼼⼤转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制：
每次抽奖中奖的概率为p，n 次抽奖仍未中奖则下⼀次抽奖时⼀定中奖．每次中奖时有
的概率中积分
奖，有
的概率中现⾦奖．若某⼀次中奖为积分奖，则下⼀次抽奖必定中现⾦奖，抽到现⾦奖后抽奖结
束．
（1）若n＝2，
，试求直到第3 次才抽到现⾦奖的概率；
（2）若n＝19，p＝0.01，X 表示抽到现⾦奖时的抽取次数．
（ⅰ）求X 的分布列（⽤p 表示即可）；
（ⅱ）求X 的数学期望E（X）．（0.9918≈0.8345，结果四舍五⼊精确到个位数）
第27⻚（共43⻚）
【分析】（1）利⽤独⽴事件的概率乘法公式求解；
（2）（i）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，…，19，20，21，求出相应的概率，进⽽得到X 的
分布列；
（i）利⽤期望公式，结合错位相减法求解．
【解答】解：（1）设抽到现⾦奖时共抽取了3 次为事件A，
则事件A 包括第⼀次未中奖第⼆次未中奖第三次中了现⾦奖或第⼀次未中奖第⼆次中了积分奖第三次
中现⾦奖，
则
；
（2）（ⅰ）由题意可知，X 的所有可能取值为1，2，3，…，19，20，21，
，
，i＝2，3，…，19，
，
，
所以X 的分布列为：
X
1
2
…
i
…
20
21
P
…
…
其中i＝2，3，…，19；
（ⅱ）由X 的分布列可知，
+ ⋯+19 ×
＝
+⋯+
，
令S＝2+3（1﹣p）+4（1﹣p）2+⋯+19（1﹣p）17，
则（1﹣p）S＝2（1﹣p）+3（1﹣p）2+4（1﹣p）3+⋯+19（1﹣p）18，
作差得pS＝2+（1﹣p）+（1﹣p）2+…+（1﹣p）17﹣19（1﹣p）18＝2+
﹣19（1﹣p）
18，
第28⻚（共43⻚）
所以
＝
pS （2﹣p ）＝
[2+
﹣19（1﹣p ）18] （2﹣p ）＝
，
所以
＝
，
即X 的数学期望E（X）约为19．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档
题．
11．镇海中学篮球训练营有⼀项三⼈间的传球训练．训练规则是确定⼀⼈第⼀次将球传出，每次传球时，
传球者都等可能地将球传给另外两个⼈中的任何⼀⼈，每次必须将球传出．若刚好抽到甲⼄丙三个⼈相
互做传球训练，且第1 次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲⼿中的概率为pn，n＝1，2，3，…
（1）写出p1，p2，p3的值；
（2）求pn+1与pn 的关系式（n∈N*），并求pn；
（3）第1 次仍由甲将球传出，若⾸次出现连续两次球没在甲⼿中，则传球结束，记此时的传球次数为X，
求X 的期望．
【分析】（1）根据题意，由概率乘法公式求解即可；
（2）根据全概率公式可得
，再通过构造等⽐数列求得pn；
（3）由已知可得
，解⽅程即可得解．
【解答】解：（1）甲⼄丙三个⼈相互做传球训练，且第1 次由甲将球传出，n 次传球后球在甲⼿中的概
率为pn，n＝1，2，3，…，
则有p1＝0，
，
．
（2）记An 表示事件“经过n 次传球后，球在甲⼿中”，
，
所以
＝
，
即
，n＝1，2，3，…，
第29⻚（共43⻚）
所以
，且
，
所以数列
表示以
为⾸项，
为公⽐的等⽐数列，
所以
，所以
，
即n 次性球后球在甲⼿中的概率＝
．
（3）
，EX＝4．
【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的期望，数列与概率的综合，考查运算求解能⼒，
属于中档题．
12．某植株培育基地培育了⼀种新的植株并在种植园⾥⼤量种植，为了了解植株⽣⻓⾼度的情况，随机抽
取了40 株植株作为样本，测量出它们的⾼度（单位：cm），由此得到如图所示的频率分布直⽅图（分组
区间为[15，25]，（25，35]，（35，45]，（45，55]，（55，65]）．
（1）根据频率分布直⽅图，求m 的值及⾼度超过45cm 的样本植株数量；
（2）在上述抽取的40 株植株中任取2 株，设X 为⾼度不超过45cm 的植株数量，求X 的分布列及期望．
【分析】（1）由频率分布直⽅图的性质，求得m＝0.025，得到⾼度超过45cm 所占的频率，进⽽求得⾼
度超过45cm 的样本植株数量；
（2）由题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利⽤期望的公式，求
得数学期望．
【解答】解：（1）由频率分布直⽅图的性质，可得（0.010+0.020+0.030+m+0.015）×10＝1，
解得m＝0.025，
其中⾼度超过45cm 所占的频率为（0.025+0.015）×10＝0.40，
所以⾼度超过45cm 的样本植株数量为40×0.40＝16 珠；
（2）由题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，
第30⻚（共43⻚）
其中⾼度不超过45cm 的植株数量为40﹣16＝24 珠，
可得
，
所以随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
P
所以期望为
．
【点评】本题主要考查了频率分布直⽅图的应⽤，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
13．某公司⽣产某种⼤型机器配件，根据以往⽣产情况统计，产品为⼀等品的概率为0.6，每件利润4 千元，
产品为⼆等品的概率为0.3，每件利润2 千元，其余为不合格品，⽣产出⼀件不合格品亏损1 千元．已知
公司的现有⽣产能⼒每天只能⽣产两件机器配件．
（1）求该公司每天⽣产的两件配件中含有不合格品的概率；
（2）求该公司每⽉（按30 天算）所获利润ξ（千元）的数学期望；
（3）若该公司要增加每天的⽣产量，则需增加投资，若每天产量增加x 件，其成本也将相应提⾼（3.4x
﹣lnx）千元，请从公司决策者的⻆度判断是否应该增加公司每天的产量，并说明理由．（参考数据：ln2
≈0.69）
【分析】（1）记事件A 为⽣产的⼀件配件是不合格品，则P（A）＝0.1，再根据相互独⽴事件的概率公
式计算可得；
（2）设每天⽣产的两件产品的利润为X（千元），则X 的可能取值为8，6，4，3，1，﹣2，求出所对应
的概率，即可求出E（X），再由ξ＝30X，根据⽅差的性质计算可得；
（3）由（2）可知平均每件产品的利润为2.9（千元），从⽽得到增加的x 件产品的利润为lnx﹣0.5x，x∈N*，
令f（x）＝lnx﹣0.5x，利⽤导数求出函数的最⼤值，即可得解．
【解答】解：（1）记事件A 为⽣产的⼀件配件是不合格品，
则P（A）＝1﹣0.6﹣0.3＝0.1，
所以该公司每天⽣产的两件配件中含有不合格品的概率
．
（2）设每天⽣产的两件产品的利润为X（千元），
则X 的可能取值为8，6，4，3，1，﹣2，
所以P（X＝8）＝0.62＝0.36，
，
第31⻚（共43⻚）
P（X＝4）＝0.32＝0.09，
，
，P（X＝﹣2）＝0.12＝0.01，
所以E（X）＝8×0.36+6×0.36+4×0.09+3×0.12+1×0.06+（﹣2）×0.01＝5.8，
⼜ξ＝30X，
所以E（ξ）＝E（30X）＝30E（X）＝30×5.8＝174，
所以该公司每⽉（按30 天算）所获利润的数学期望为174 千元．
（3）由（2）可知平均每件产品的利润为5.8÷2＝2.9（千元），
则增加x 件产品，利润增加2.9x 千元，成本也相应提⾼（3.4x﹣lnx）（千元），
所以增加的x 件产品的利润为2.9x﹣3.4x+lnx＝lnx﹣0.5x，x∈N*，
设f（x）＝lnx﹣0.5x，
则
，
所以当0＜x＜2 时f′（x）＞0，
则f（x）在（0，2）上单调递增，
当x＞2 时f′（x）＜0，
则f（x）在（2，+∞）上单调递减，
所以当x＝2 时f（x）取得极⼤值，即最⼤值，
所以f（x）max＝f（2）＝ln2﹣0.5×2≈0.69﹣1＝﹣0.31＜0，
即在f（x）取得最⼤值时也是亏本，所以不应增加产量．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与⽅差，属中档题．
14．现有编号为1，2，3 的三个⼝袋，其中1 号⼝袋内装有两个1 号球，⼀个2 号球和⼀个3 号球；2 号⼝
袋内装有两个1 号球，⼀个3 号球；3 号⼝袋内装有三个1 号球，两个2 号球；第⼀次先从1 号⼝袋内
随机抽取1 个球，将取出的球放⼊与球同编号的⼝袋中，第⼆次从该⼝袋中任取⼀个球，
（1）在第⼀次抽到3 号球的条件下，求第⼆次抽到1 号球的概率；
（2）求第⼆次取到2 号球的概率．
【分析】（1）利⽤条件概率公式求解；
（2）利⽤全概率公式求解．
【解答】解：（1）记事件Ai，Bi 分别表示第⼀次、第⼆次取到i 号球，i＝1，2，3，
则第⼀次抽到3 号球的条件下，第⼆次抽到1 号球的概率
；
第32⻚（共43⻚）
（2）依题意A1，A2，A3 两两互斥，其和为Ω，并且P（A1）＝
＝
，P（A2）＝
，
＝，
由全概率公式可得，P（B2）＝P（B2|A1）P（A1）+P（B2|A2）P（A2）+P（B2|A3）P（A3）＝
+
+
＝
．
【点评】本题主要考查了条件概率公式和全概率公式，属于中档题．
15．单位⾯积穗数、穗粒数、千粒重是影响⼩⻨产量的主要因素，某⼩⻨品种培育基地在⼀块试验⽥种植
了⼀个⼩⻨新品种，收获时随机选取了100 个⼩⻨穗，对每个⼩⻨穗上的⼩⻨粒数进⾏统计得到如表统
计表：
穗粒数
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
穗数
4
10
56
22
8
其中同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作代表．从收获的⼩⻨粒中随机选取5 组，每组1000 粒，分别
称重，得到这5 组的质量（单位：g）分别为：38，46，42，40，44．
（1）根据抽测，这块试验⽥的⼩⻨亩穗数为40 万，试估计这块试验⽥的⼩⻨亩产量（结果四舍五⼊到
1kg）；
公式：亩产量＝亩穗数×样本平均穗粒数×
．
（2）已知该试验⽥穗粒数X 近似服从正态分布N（µ，σ2），其中µ近似为样本平均数，σ2近似为样本⽅
差．若⼩⻨穗粒数不低于28 粒的穗数超过总体的80%，则称该⼩⻨品种为优质⼩⻨品种，试判断该试
验⽥中的⼩⻨品种是否为优质⼩⻨品种．
参考数据：若X 近似服从正态分布N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜X≤µ+σ）≈0.6827．
【分析】（1）⽤每组区间的中点值乘以穗数求和除以100 得到样本平均穗粒数，再由题所给数据得到样
本平均千粒重，代⼊所给公式即可；
（2）先根据数据求得µ，σ2，再由P（X≥28）＞P（X＞µ﹣σ），根据正态分布的3σ原则，求得概率即可
判断．
【
解
答
】
解
：（
1
）
该
试
验
⽥
样
本
平
均
穗
粒
数
为
，
样本平均千粒重为
，
所以这块试验⽥的⼩⻨亩产量的估计值为
；
第33⻚（共43⻚）
（2）由（1）得µ＝37，
，
所以
，
由
P
（
X
≥
28
）
＞
P
（
X
＞
µ
﹣
σ
）
得
：
，
故：P（X≥28）＞80%，
所以该试验⽥中的⼩⻨为优质⼩⻨品种．
【点评】本题主要考查了平均数的定义，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
16．为了推动“体育助⼒乡村振兴”，丰富⼈⺠群众的⽂化⽣活，某地决定举办“村超”⾜球友谊赛．⽐赛邀
请本地两⽀村⾜球队（实⼒相当）和外地两⽀村⾜球队（实⼒相当）参加．赛事规定：（1）⽐赛分为两
个阶段，第⼀阶段：四⽀球队分成两组，每组进⾏⼀场⽐赛；第⼆阶段：第⼀阶段的胜者之间、负者之
间各进⾏⼀场⽐赛，前者决出第⼀、⼆名，后者决出第三、四名．（2）第⼀阶段分组⽅案：采取抽签法，
每组本地⼀⽀球队、外地⼀⽀球队．已知各场⽐赛的胜率和上座率均互相独⽴，单场⽐赛的胜率和上座
率如下：
胜率
本地队
外地队
本地队
0.5
0.6
外地队
0.4
0.5
上座率
本地队
外地队
本地队
0.8
1
外地队
1
0.8
（1）第⼆阶段两场⽐赛上座率之和记为X，求X 的分布列和数学期望E（X）；
（2）求本地⾜球队获得第⼀名的概率．
【分析】（1）由题意可知，X 的所有可能取值为1.6，2，根据独⽴事件的概率乘法公式求出相应的概率，
进⽽得到X 的分布列，再结合期望公式求解；
（2）利⽤独⽴事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：（1）第⼆阶段，本地队对战本地队决出第⼀、⼆名的概率为0.6×0.6＝0.36，
第34⻚（共43⻚）
第⼆阶段，外地队对战外地队决出第⼀、⼆名的概率为0.4×0.4＝0.16，
第⼆阶段，本地队对战外地队决出第⼀、⼆名的概率为
＝0.48，
所以第⼆阶段，本地队对战本地队决出第三、四名的概率为0.4×0.4＝0.16，
第⼆阶段，外地队对战外地队决出第三、四名的概率为0.6×0.6＝0.36，
第⼆阶段，本地队对战外地队决出第三、四名的概率为
＝0.48，
由题意可知，X 的所有可能取值为1.6，2，
则P（X＝0.16）＝0.36+0.16＝0.52，P（X＝2）＝0.48，
所以X 的分布列为：
X
1.6
2
P
0.52
0.48
所以E（X）＝1.6×0.52+2×0.48＝1.792；
（2）本地⾜球队获得第⼀名分两种情况：
①本地队对战本地队决出第⼀、⼆名，
②本地队对战外地队决出第⼀、⼆名时，本地对获胜，
所以本地⾜球队获得第⼀名的概率P＝0.36+0.48×0.6＝0.648．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档
题．
17．甲、⼄两⼈进⾏知识答题⽐赛，每答对⼀题加20 分，答错⼀题减20 分，且赛前两⼈初始积分均为60
分，两⼈答题相互独⽴．已知甲答对每题的概率均为p，⼄答对每题的概率均为q（0＜p＜q＜1），且某
道题两⼈都答对的概率为
，都答错的概率为
．
（1）求p，q 的值；
（2）⼄回答3 题后，记⼄的积分为X，求X 的分布列和期望E（X）．
【分析】（1）借助相互独⽴事件的乘法公式可得⽅程组，解出该⽅程组即可得；
（2）得出X 的所有可能取值后计算相应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得其期望．
【解答】解：（1）由题意可得
，解得
；
（2）由题意可知，X 的可能取值为0，40，80，120，
第35⻚（共43⻚）
则
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
40
80
120
P
所以
．
【点评】本题主要考查了独⽴事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档
题．
18．已知篮球⽐赛中，得分规则如下：3 分线外侧投⼊可得3 分，踩线及3 分线内侧投⼊可得2 分，不进得
0 分；经过多次试验，某⽣投篮100 次，有25 个是3 分线外侧投⼊，25 个是踩线及3 分线内侧投⼊，其
余不能⼊篮，且每次投篮为相互独⽴事件．
（1）求该⽣在4 次投篮中恰有三次是3 分线外侧投⼊的概率；
（2）求该⽣两次投篮后得分ξ的分布列及数学期望．
【分析】（1）先确定不同得分的概率，然后再在其基础上计算所求的概率；
（2）类似地，在不同得分的概率的基础上求出ξ取不同值的概率，得到分布列，然后利⽤数学期望的定
义求出数学期望．
【解答】解：（1）设A，B，C 分别表示“得3 分”，“得2 分”，“得0 分”，
由题可得：
，
，
，
故所求概率p＝
•
；
（2）由题ξ的所有可能取值为0，2，3，4，5，6，
由（1）有
，
，
，
，
，
，
故ξ的分布列为：
ξ
0
2
3
4
5
6
P
第36⻚（共43⻚）
则
．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19．在⼀场乒乓球赛中，甲、⼄、丙、丁四⼈⻆逐冠军．⽐赛采⽤“双败淘汰制”，具体赛制为：⾸先，四⼈
通过抽签两两对阵，胜者进⼊“胜区”，败者进⼊“败区”；接下来，“胜区”的两⼈对阵，胜者进⼊最后决赛；
“败区”的两⼈对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋
级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两⼈进⾏最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第
⼆名．甲对阵⼄、丙、丁获胜的概率均为p（0＜p＜1），且不同对阵的结果相互独⽴．
（1）若p＝0.6，经抽签，第⼀轮由甲对阵⼄，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的⽐赛场数的数学期望；
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采⽤“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直⾄决
出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
【分析】（1）①记“甲获得第四名”为事件A，由题意计算即可；
②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的⽐赛场次为随机变量X，则X 的所有可能取值为2，3，4，求出各
⾃对应的概率即可求解；
（2）分别求得“双败淘汰制”和“单败淘汰制”下甲获胜的概率，即可求解．
【解答】解：（1）若p＝0.6，经抽签，第⼀轮由甲对阵⼄，丙对阵丁；
①记“甲获得第四名”为事件A，则P（A）＝（1﹣0.6）2＝0.16；
②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的⽐赛场次为随机变量X，
则X 的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：P（X＝2）＝（1﹣0.6）2＝0.16，
X＝3 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
P（X＝3）＝0.62+（1﹣0.6）×0.6×（1﹣0.6）+0.6×（1﹣0.6）×（1﹣0.6）＝0.552，
P（X＝4）＝（1﹣0.6）×0.6×0.6+0.6×（1﹣0.6）×0.6＝0.288，
故X 的分布列如下：
X
2
3
4
P
0.16
0.552
0.288
故数学期望E（X）＝2×0.16+3×0.552+4×0.288＝3.128，
则甲在“双败淘汰制”下参与对阵的⽐赛场数的数学期望为3.128；
第37⻚（共43⻚）
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采⽤“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直⾄决
出最后的冠军，
“双败淘汰制”下，甲获胜的概率P＝p3+p（1﹣p）p2+（1﹣p）p3＝（3﹣2p）p3，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2，
由（3﹣2p）p3﹣p2＝p2（3p﹣2p2﹣1）＝p2（2p﹣1）（1﹣p），且0＜p＜1，
所以
时，（3﹣2p）p3＞p2，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，（3﹣2p）p3＜p2，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率⼀样．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．
20．为发展体育运动增强学⽣体质，甲⼄两班各选3 名同学进⾏乒乓球单打⽐赛，3 场⽐赛每⼈参加⼀场⽐
赛，各场⽐赛互不影响，每场⽐赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0．据统计可知甲班3 名参
赛学⽣的情况如下表：
学⽣
A
B
C
获胜概率
0.4
0.6
0.8
获胜积分
6
5
4
（1）求甲班⾄少获胜2 场的概率；
（2）记甲班获得积分为X，求X 的分布列与数学期望．
【分析】（1）由相互独⽴事件的概率乘法公式求解；
（2）由已知X 取值为0，4，5，6，9，10，11，15，求出对应的概率，即可求出数学期望．
【解答】解：（1）记A，B，C 参赛获胜事件分别记为A，B，C 表示，
参赛失败分别记为
，
所以P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，P（C）＝0.8，
，
则甲班⾄少获胜2 场事件记为M，则
，
＝0.4×0.6×0.8+0.4×0.6×0.2+0.4×0.4×0.8+0.6×0.6×0.8＝0.656，
所以甲班⾄少获胜2 场的概率为0.656；
（2）由已知X 取值为0，4，5，6，9，10，11，15，
第38⻚（共43⻚）
，
，
，
P（X＝11）＝P（AB ）＝0.4×0.6×0.2＝0.048，P（X＝15）＝P（ABC）＝0.4×0.6×0.8＝0.192，
所以E （X ）＝0 × 0.048+4 × 0.192+5 × 0.072+6 × 0.032+9 × 0.288+10 × 0.128+11 × 0.048+15 × 0.192 ＝
0.768+0.360+0.192+2.592+1.280+0.528+2.880＝8.600．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．
21．教练统计了甲12 次投篮训练的投篮次数和⼄8 次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
⼄
71
81
73
73
71
73
85
73
已知甲12 次投篮次数的⽅差
，⼄8 次投篮次数的⽅差
．
（1）求这20 次投篮次数的平均数与⽅差s2．
（2）甲、⼄两⼈投篮，每次由其中⼀⼈投篮，规则如下：若命中则此⼈继续投篮，若未命中则换为对⽅
投篮，⽆论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为
，⼄每次投篮的命中率均为
．已知第⼀次
投篮的⼈是甲，且甲、⼄总共投篮了3 次，X 表示甲投篮次数，求X 的分布列与期望．
【分析】（1）利⽤平均数的计算公式及分层抽样的⽅差公式计算即可；
（2）利⽤离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可．
【解答】解：（1）甲12 次投篮次数的平均数
，⼄8 次投篮次数的平均数
，
故所求平均数
，
＝
；
（2）由题X 的可能取值为1，2，3，
则
，
，
，
所以X 的分布列为：
第39⻚（共43⻚）
X
1
2
3
P
则
．
【点评】本题考查了概率统计的综合应⽤，属于中档题．
22．将⼀枚质地均匀的骰⼦先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为a，b，设[x]表示不超过实数x 的最
⼤整数，
的值为随机变量X．
（1）求在X＞0 的条件下，
的概率；
（2）求X 的分布列及其数学期望．
【分析】（1）列举X＞0 与
的样本点，利⽤条件概率公式计算即可；
（2）根据离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可．
【解答】解：（1）记抛掷骰⼦的样本点为（a，b），则样本空间为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6，a、b∈N}，
样本空间容量为36，设事件A 为：X＞0，事件B 为：
，
则A＝{（a，b）|1≤b≤a≤6，a∈Z，b∈Z}，且其包含的样本点数为21，
AB＝{（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（2，2），（4，2），（6，2），（3，3），（6，3），（4，
4），（5，5），（6，6）}，其包含的样本点数为14，
根据条件概率得
；
（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
，
，
，
，
，
，
，
所以其分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
所以数学期望
．
【点评】本题考查了古典概型的应⽤及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
23．甲、⼄两⼈进⾏射击⽐赛，每场⽐赛中，甲、⼄各射击⼀次，甲、⼄每次⾄少打出8 环．根据统计资料
第40⻚（共43⻚）
可知，甲打出8 环、9 环、10 环的概率分别为0.6，0.3，0.1，⼄打出8 环、9 环、10 环的概率分别为0.7，
0.2，0.1，且甲、⼄两⼈射击的结果相互独⽴．
（1）在⼀场⽐赛中，求⼄打出的环数少于甲打出的环数的概率；
（2）若进⾏三场⽐赛，其中X 场⽐赛中甲打出的环数多于⼄打出的环数，求X 的分布列与数学期望．
【分析】（1）根据题意，得到事件包括：甲打出9 环⼄打出8 环，甲打出10 环⼄打出8 环或9 环，结合
相互独⽴事件的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得到变量X 的可能取值为0，1，2，3，得到X～B（3，0.3），求得相应的概率，列出分
布列，求得数学期望．
【解答】解：（1）设⼄击中的环数少于甲击中的环数为事件A，
则事件A 包括：甲打出9 环⼄打出8 环，甲打出10 环⼄打出8 环或9 环，
则P（A）＝0.3×0.7+0.1×（0.7+0.2）＝0.3；
（2）由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，
由（1）知在⼀场⽐赛中，甲打出的环数多于⼄打出的环数的概率为0.3，
则X～B（3，0.3），
所以P（X＝0）＝（1﹣0.3）3＝0.343，
，
，P（X＝3）＝0.33＝0.027，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
则E（X）＝3×0.3＝0.9．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
24．某⾼校“植物营养学专业”学⽣将鸡冠花的株⾼增量作为研究对象，观察⻓效肥和缓释肥对农作物的影
响情况．其中⻓效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3 组．观察⼀段时间后，
分别从第1，2，3 组各随机抽取20 株鸡冠花作为样本，得到相应的株⾼增量数据整理如下表：
株⾼增量（单位：厘⽶）
（4，7]
（7，10]
（10，13]
（13，16]
第1 组鸡冠花样本株数
4
10
4
2
第2 组鸡冠花样本株数
3
8
8
1
第3 组鸡冠花样本株数
7
5
7
1
第41⻚（共43⻚）
假设⽤频率估计概率，且所有鸡冠花⽣⻓情况相互独⽴．
（1）从第1 组抽取的20 株鸡冠花样本中随机抽取2 株，求⾄少有1 株鸡冠花的株⾼增量在（7，10]内
的概率；
（2）分别从第1 组，第2 组，第3 组的鸡冠花中各随机抽取1 株，记这3 株鸡冠花中恰有X 株的株⾼增
量在（7，10]内，求X 的分布列和数学期望E（X）；
（3）⽤“ξk＝1”表示第k 组鸡冠花的株⾼增量在（4，10]内，“ξk＝0”表示第k 组鸡冠花的株⾼增量在（10，
16]内，k＝1，2，3．⽐较⽅差D（ξ1），D（ξ2），D（ξ3）的⼤⼩，并说明理由．
【分析】（1）根据题意利⽤古典概型分析即可求解；
（2）设相应事件，由题意可知：
，且X 的可能取值有0，1，2，
3，进⽽求分布列和期望；
（3）由题意可知：ξ1，ξ2，ξ3均服从两点分布，结合两点分布求⽅差，对⽐分析即可．
【解答】解：（1）记“第1 组抽取的20 株鸡冠花样本中随机抽取2 株，
⾄少有1 株鸡冠花的株⾼增量在（7，10]内”为事件A，
所以
；
（2）记“从第i（i＝1，2，3）组的鸡冠花中各随机抽取1 株，
记这3 株鸡冠花中恰有X 株的株⾼增量在（7，10]内”为事件Bi，
由题意可知：
，
且X 的可能取值有0，1，2，3，
则
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
X 的期望
；
第42⻚（共43⻚）
（3）由题意可知：ξ1，ξ2，ξ3均服从两点分布，
则ξ1的分布列为：
ξ1
0
1
P
可得ξ1的⽅差
；
ξ2的分布列为：
ξ2
0
1
P
可得ξ2的⽅差
；
ξ3的分布列为：
ξ3
0
1
P
可得ξ3的⽅差
；
因为
，
所以D（ξ2）＞D（ξ3）＞D（ξ1）．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列及期望和⽅差的应⽤，属于中档题．
25．已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布N（220，202）．其电压通常有3 种状态：①不超
过200V；②在200V～240V 之间；③超过240V．在上述三种状态下，该机器⽣产的零件为不合格品的概
率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器⽣产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器⽣产的零件中随机抽取n（n≥2）件，记其中恰有2 件不合格品的概率为pn，求p 取得最
⼤值时n 的值．
附：若Z～N（µ，σ2）取P（µ﹣σ＜Z＜µ+σ）＝0.68，P（µ﹣2σ＜Z＜µ+2σ）＝0.95．
【分析】（1）根据正态分布的性质，全概率公式即可得；（2）由⽐值
是否⼤于1 进⾏讨论即可得．
【解答】解：（1）记电压“不超过200V”、“在200V～240V 之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，
第43⻚（共43⻚）
“该机器⽣产的零件为不合格品”为事件D．
因为U～N（220，202），所以
，
P（B）＝P（200＜U＜240）＝P（µ﹣σ＜Z＜µ+σ）＝0.68，
，
所以P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.16×0.15+0.68×0.05+0.16×0.2＝0.09，
该机器⽣产的零件为不合格品的概率为0.09；
（2）从该机器⽣产的零件中随机抽取n 件，设不合格品件数为X，则X～B（n，0.09），
所以
，
由
，
解得
，所以当n≤21 时，pn＜pn+1；
当n≥22 时，pn＞pn+1，所以p22最⼤，因此当n＝22 时，pn 最⼤．
【点评】本题考查正态分布，考查全概率，属于中档题．
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第35⻚（共82⻚）
统计、概率与变量分布—题型22～26 答案
⼀．选择题（共43 ⼩题）
1．鸢是鹰科的⼀种⻦，《诗经•⼤雅•旱麓》⽈“鸢⻜戾天，⻥跃于渊”．鸢尾花因花瓣形如鸢尾⽽得名（图1），
寓意鹏程万⾥、前途⽆量．通过随机抽样，收集了若⼲朵某品种鸢尾花的花萼⻓度和花瓣⻓度（单位：
cm），绘制对应散点图（图2）如下：
计算得样本相关系数为0.8642，利⽤最⼩⼆乘法求得相应的经验回归⽅程为＝0.7501x+0.6105．根据以
上信息，如下判断正确的为（
）
A．花萼⻓度和花瓣⻓度不存在相关关系
B．花萼⻓度和花瓣⻓度负相关
C．花萼⻓度为7cm 的该品种鸢尾花的花瓣⻓度的平均值约为5.8612cm
D．若选取其他品种鸢尾花进⾏抽样，所得花萼⻓度与花瓣⻓度的样本相关系数⼀定为0.8642
【分析】根据散点图及线性相关的知识，即可求解．
【解答】解：∵相关系数r＝0.8642＞0.75，且散点图呈左下⻆到右上⻆的带状分布，
∴花瓣⻓度和花萼⻓度呈正相关，且相关性较强，∴A，B 选项错误；
当x＝7 时，代⼊经验回归⽅程为＝0.7501x+0.6105，可得y＝5.8612，
∴花萼⻓度为7cm 的该品种鸢尾花的花瓣⻓度的平均值约为5.8612cm，∴C 选项正确；
若选取其他品种鸢尾花进⾏抽样，所得花萼⻓度与花瓣⻓度的样本相关系数不⼀定是0.8642，∴D 选项
错误．
故选：C．
第36⻚（共82⻚）
【点评】本题考查线性相关问题，属基础题．
2．下列关于成对数据的统计说法错误的有（
）
A．当⼀个变量的值增加时，另⼀变量的相应值呈减少趋势，则称这两个变量负相关
B．样本相关系数r 的绝对值⼤⼩可以反映成对样本数据之间线性相关的程度
C．通过分析残差可判断模型刻画数据的效果，及判断原始数据中是否存在可疑数据
D．决定系数R2越⼤，模型的拟合效果越差
【分析】利⽤相关性、相关系数、残差以及决定系数定义可依次判断．
【解答】解：对于A，当⼀个变量的值增加时，另⼀变量的相应值呈减少趋势，则称这两个变量负相关，
故A 正确；
对于B，样本相关系数r 的绝对值越接近于1，相关性越强，故其⼤⼩可以反映成对样本数据之间线性
相关的程度，故B 正确；
对于C，通过分析残差可判断模型刻画数据的效果，及判断原始数据中是否存在可疑数据，故C 正确；
对于D，决定系数R2越⼤，模型的拟合效果越好，故D 错误．
故选：D．
【点评】本题考查相关性、相关系数、残差以及决定系数定义，属于基础题．
3．已知r1表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，r2 表示变量U 与V 之间的线性相关系数，且r1＝0.837，
r2＝﹣0.957，则（
）
A．变量X 与Y 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性
B．变量X 与Y 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性强于U 与V 之间的相关性
C．变量U 与V 之间呈负相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性
D．变量U 与V 之间呈正相关关系，且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性
【分析】根据线性相关系数|r|越接近1，表示两个变量之间的相关性越强，线性相关系数r 的正负表示
两个变量之间呈正相关关系或负相关关系．
【解答】解：因为线性相关系数r1＝0.837，r2＝﹣0.957，
所以变量X 与Y 之间呈正相关关系，变量U 与V 之间呈负相关关系，
且X 与Y 之间的相关性弱于U 与V 之间的相关性．
故选：C．
【点评】本题考查了线性相关系数表示线性相关性的应⽤问题，是基础题．
4．对变量x，y 由观测数据得散点图1；对变量y，z 由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（
）
第37⻚（共82⻚）
A．变量x 与y 正相关，x 与z 正相关
B．变量x 与y 正相关，x 与z 负相关
C．变量x 与y 负相关，x 与z 正相关
D．变量x 与y 负相关，x 与z 负相关
【分析】直接由散点图可得变量x 与y 负相关，y 与z 正相关，得x 与z 负相关．
【解答】解：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，y 与z 正相关，则x 与z 负相关．
故选：D．
【点评】本题考查由散点图判断两个变量的相关关系，是基础题．
5．对变量x，y 有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）
（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（
）
A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
【分析】通过观察散点图得出：y 随x 的增⼤⽽减⼩，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关，
u 随v 的增⼤⽽增⼤，各点整体呈上升趋势，u 与v 正相关．
【解答】解：由题图1 可知，y 随x 的增⼤⽽减⼩，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关，
由题图2 可知，u 随v 的增⼤⽽增⼤，各点整体呈上升趋势，u 与v 正相关．
第38⻚（共82⻚）
故选：C．
【点评】本题考查了散点图的应⽤问题，通过读图来解决问题，是基础题．
6．对四组数据进⾏统计，获得以下散点图，关于其相关系数的⽐较，正确的是（
）
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1
B．r4＜r2＜0＜r1＜r3
C．r4＜r2＜0＜r3＜r1
D．r2＜r4＜0＜r1＜r3
【分析】根据题⽬给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的
⼤⼩．
【解答】解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1 和图3 是正相关，相关系数⼤于0，
图2 和图4 是负相关，相关系数⼩于0，
图1 和图2 的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于﹣1，
由此可得r2＜r4＜r3＜r1．
故选：A．
【点评】本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下⻆⾄右上⻆，说明两个变
量正相关；分布在左上⻆⾄右下⻆，说明两个变量负相关，散点越集中在⼀条直线附近，相关系数越接
近于1（或﹣1），此题是基础题．
7．对两个变量x，y 进⾏线性相关性检验，得线性相关系数r1＝﹣0.9872，对两个变量u，v 进⾏线性相关性
检验，得线性相关系数r2＝0.9384，则下列判断正确的是（
）
A．变量x 与变量y 正相关，变量u 与变量v 负相关，变量x 与变量y 的线性相关性更强
B．变量x 与变量y 负相关，变量u 与变量v 正相关，变量x 与变量y 的线性相关性更强
第39⻚（共82⻚）
C．变量x 与变量y 正相关，变量u 与变量v 负相关，变量u 与变量v 的线性相关性更强
D．变量x 与变量y 负相关，变量u 与变量v 正相关，变量u 与变量v 的线性相关性更强
【分析】由线性相关系数的正负判断两变量的正负相关性，由线性相关系数的绝对值⼤⼩判断两变量相
关性强弱．
【解答】解：由线性相关系数r1＝﹣0.9872＜0 知x 与y 负相关，
由线性相关系数r2＝0.9384＞0 知u 与v 正相关，
|r1|＞|r2|，故变量x 与y 的线性相关性⽐u 与v 的线性相关性强．
故选：B．
【点评】本题考查相关系数的应⽤，属于基础题．
8．在⼀元线性回归模型中，设变量X 和变量Y 的样本相关系数为r1，决定系数为
，变量U 和变量V 的
样本相关系数为r2，决定系数为
，且r1＝0.778，r2＝﹣0.962，则（
）
A．X 和Y 之间呈正线性相关关系，且
B．X 和Y 之间呈负线性相关关系，且
C．U 和V 之间呈负线性相关关系，且
D．U 和V 之间呈正线性相关关系，且
【分析】根据相关系数的正负判断正负相关关系，根据相关系数绝对值的⼤⼩判断决定系数的⼤⼩．
【解答】解：因为r1＞0，r2＜0，故X 和Y 之间呈正线性相关关系，U 和V 之间呈负线性相关关系，
故BD 错误，
⽽|r1|＜|r2|，故
，故A 正确，C 错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
9．在⼀组样本数据（x1，y2），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等）的散点图中，若所有
样本点（xi，y1）（i＝1，2，…，n）都在直线
上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A．﹣1
B．0
C．
D．1
【分析】所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线
上，故这组样本数据完全负相关，故
其相关系数为﹣1．
第40⻚（共82⻚）
【解答】解：因为所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y
上，
说明这组数据的样本完全负相关，则相关系数达到最⼩值﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了⼀组数据的完全相关性，是基础的概念
题．
10．对变量x，y 有观测数据（xi，yi）（i∈N*），得散点图1；对变量u，v 有观测数据（ui，vi）（i∈N*），得
散点图2．r1表示变量x，y 之间的线性相关系数，r2表示变量u，v 之间的线性相关系数，则下列说法正
确的是（
）
A．变量x 与y 呈现正相关，且|r1|＜|r2|
B．变量x 与y 呈现负相关，且|r1|＞|r2|
C．变量x 与y 呈现正相关，且|r1|＞|r2|
D．变量x 与y 呈现负相关，且|r1|＜|r2|
【分析】根据回归⽅程的特点判断即可．
【解答】解：根据题设，变量x，y 的散点图中，
y 随着x 的增⼤⽽增⼤，所以y 与x 呈现出正相关；
再分别观察两个散点图，变量x 和y 的散点图相对于变量u 和v 的散点图⽽⾔，
点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数|r1|＞|r2|．
故选：C．
【点评】本题考查回归⽅程的特点，属于基础题．
11．对变量x，y 有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10），得散点图1；对变量u，v 有观测数据（ui，vi）（i
＝1，2，⋯，10），得散点图2．r1表示变量x，y 之间的样本相关系数，r2表示变量u，v 之间的样本相关
系数，则（
）
第41⻚（共82⻚）
A．﹣1＜r1＜r2＜0
B．﹣1＜r2＜r1＜0
C．0＜r1＜r2＜1
D．0＜r2＜r1＜1
【分析】利⽤散点图，结合相关系数知识容易得出答案．
【解答】解：从图像中看出y 随x 增⼤⽽减少（图像下降），u 随v 增⼤⽽减少（图像下降），则y 与x
呈负相关关系，u 与v 呈负相关关系，即r1＜0，r2＜0，故C，D 不正确；
另外对⽐两图，容易看出y 与x 相关性更强，故r1越接近﹣1，所以得﹣1＜r1＜r2＜0，A 正确，B 错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查相关系数，属于中档题．
12．在⼀组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等）的散点图中，若所有
样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线
上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A．﹣1
B．1
C．
D．
【分析】根据样本数据的所有样本点都在⼀条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率
得出是正相关还是负相关即可．
【解答】解：∵这组样本数据的所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线
上，
∴这组样本数据完全相关，
即说明这组数据的样本完全负相关，其相关系数是﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了相关系数以及正相关和负相关的应⽤问题，是基础题．
13．在⼀组样本数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）（n⩾2，x1，x2，⋯，xn 不全相等）的散点图中，若所
有的样本点（xi，yi）（i＝1，2，⋯，n）都在直线y＝﹣2x+1 上，则这组样本数据的相关系数为（
）
A．2
B．﹣2
C．﹣1
D．1
【分析】根据已知条件，结合相关系数的定义，分析可得答案．
【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线y＝﹣2x+1 上，
第42⻚（共82⻚）
∴这组样本数据完全负相关，故其相关系数为﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查相关系数的定义，注意“所有的样本点都在直线上”的含义，属于基础题．
14．下列命题中，真命题的是（
）
A．若回归⽅程
，则变量y 与x 正相关
B．线性回归分析中相关指数R2⽤来刻画回归的效果，若R2值越⼩，则模型的拟合效果越好
C．若样本数据x1，x2，⋯，x10的⽅差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x10﹣1 的标准差为4
D．⼀个⼈连续射击三次，若事件“⾄少击中两次”的概率为0.7，则事件“⾄多击中⼀次”的概率为0.3
【分析】利⽤正负相关的意义判断A；利⽤相关指数的意义判断B；求出标准差判断C；利⽤对⽴事件
求出概率判断D．
【解答】解：对于A，回归⽅程
，由﹣0.45＜0，得变量y 与x 负相关，A 错误；
对于B，R2值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B 错误；
对于C，数据2x1﹣1，2x2﹣1，⋯，2x10﹣1 的⽅差为22×2＝8，标准差为
，C 错误；
对于D，“⾄多击中⼀次”的事件是“⾄少击中两次”的事件的对⽴事件，则事件“⾄多击中⼀次”的概率为
0.3，D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应⽤，属于基础题．
15．关于（x，y）的⼀组样本数据（1，﹣1），（2，﹣3），（3.5，﹣6），（5，﹣9），（6，﹣11），（7.5，﹣1.4），（9，
﹣17），…，（29，﹣57），（30.5，﹣60）的散点图中，所有样本点均在直线y＝﹣2x+1 上，则这组样本数据
的样本相关系数r 为（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣2
【分析】根据回归直线⽅程定义和相关系数的性质即可判断．
【解答】解：因为所有样本点都在直线y＝﹣2x+1 上，所以回归直线⽅程是y＝﹣2x+1，
可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，
且所有样本点都在直线上，则有|r|＝1，∴相关系数r＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了回归直线⽅程的定义和相关系数的性质应⽤问题，是基础题．
16．下列有关样本相关系数的说法不正确的是（
）
A．相关系数⽤来衡量x 与y 之间的线性相关程度
第43⻚（共82⻚）
B．|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越⼩
C．|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越⼤
D．|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越⼤
【分析】相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，线性相关系数是⼀个绝对值⼩于1 的量，
并且它的绝对值越⼤就说明相关程度越⼤，得到结论．
【解答】解：相关系数是来衡量两个变量之间的线性相关程度的，
线性相关系数是⼀个绝对值⼩于1 的量，
并且它的绝对值越⼤就说明相关程度越⼤，
故选：D．
【点评】本题考查相关系数，是⼀个基础题，解题的关键是认识这个量的作⽤是什么，它的⼤⼩与两个
变量之间的关系有什么作⽤和关系．
17．⾊差和⾊度是衡量⽑绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检⼀批产品测得如下数据：
⾊差x
21
23
25
27
⾊度y
15
18
19
20
已知该产品的⾊度y 和⾊差x 之间满⾜线性相关关系，且
，现有⼀对测量数据为（30，23.6），
则该数据的残差为（
）
A．0.96
B．﹣0.8
C．0.8
D．﹣0.96
【分析】由已知求得样本点的中⼼，代⼊线性回归⽅程求，可得线性回归⽅程，取x＝30 求，再由残
差的定义求解．
【解答】解：
，
，
则
，
则线性回归⽅程为
，
取x＝30，得
．
∴数据为（30，23.6）的残差为23.6﹣22.8＝0.8．
故选：C．
【点评】本题考查线性回归⽅程的应⽤，考查残差的求法，是基础题．
18．根据x 与y 之间的⼀组数据求得两个变量之间的经验回归⽅程为＝1.5x+0.8，已知数据x 的平均值为
第44⻚（共82⻚）
1.2，则数据y 的平均值为（
）
A．2.6
B．2.3
C．1.8
D．1.5
【分析】根据回归直线过样本中⼼点可求．
【解答】解：将
代⼊回归直线⽅程＝1.5x+0.8，
可得
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了线性回归⽅程的性质，属于基础题．
19．⾊差和⾊度是衡量⽑绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检⼀批产品测得数据如如表：已知该产品的⾊
度y 和⾊差x 之间满⾜线性相关关系，且＝0.8x+ ，现有⼀组测量数据为（31，22.4），则该数据的残
差为（
）
⾊差x
22
24
26
28
⾊度y
16
19
20
21
A．1.4
B．1.2
C．﹣1.2
D．﹣1.4
【分析】根据题意，由回归直线⽅程过样本中⼼点，即可得到，然后将x＝31 代⼊计算，再根据残差
公式可得到结果．
【解答】解：由题意可知，
，
，
将（25，19）代⼊⽅程＝0.8x+ ，得＝19﹣0.8×25＝﹣1，
所以＝0.8x﹣1，当x＝31，＝0.8×31﹣1＝23.8，
所以该数据的残差为22.4﹣23.8＝﹣1.4．
故选：D．
【点评】本题考查线性回归⽅程，以及残差，属于中档题．
20．根据5 对数据A（1，10），B（2，12），C（3，m），D（4，18），E（5，20）绘制散点图，其样本点呈直
线趋势，且经验回归⽅程为
，则m＝（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
【分析】利⽤线性回归⽅程过样本中⼼即可求解．
【解答】解：由题意可得＝
＝3，＝
＝
，
第45⻚（共82⻚）
⼜
经过点（，），所以
7.2，解得m＝15．
故选：C．
【点评】本题考查线性回归⽅程，属于基础题．
21．具有线性相关关系的变量x，y 有⼀组观测数据（xi，yi）（xi＝2i﹣1，i＝1，2，…，5），其经验回归⽅程
为
，则
＝（
）
A．40
B．32
C．8
D．12.8
【分析】由题意求出，将中⼼
代⼊回归直线⽅程即可求解．
【解答】解：由题意得，
，
因为点
在回归直线上得
，
所以
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了线性回归⽅程的性质，属于基础题．
22．⽤模型y＝aekx 拟合⼀组数（xi，yi）（i＝1，2，…，2024），若x1+x2+…+x2024＝2024，y1y2…y2024＝e20240，设
z＝lny，得变换后的线性回归⽅程为
，则ak＝（
）
A．20240
B．6e4
C．4e6
D．2024
【分析】先计算
，代⼊线性回归⽅程
求得b，再计算即可．
【解答】解：由条件可知＝1，
＝10，
代⼊
，得10＝b+6，即b＝4，
则z＝lny＝lna+kx＝4x+6，可得k＝4，a＝e6，故ak＝4e6．
故选：C．
【点评】本题考查线性回归⽅程及其应⽤，是基础题．
23．根据3 对数据A（1，7），B（3，m），C（5，16）绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归⽅
程为Y＝2.25X+4.25，则m＝（
）
A．11
B．10
C．9
D．8
【分析】根据线性回归⽅程的定义可解．
第46⻚（共82⻚）
【解答】解：由题意3 对数据A（1，7），B（3，m），C（5，16）绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，
得
＝3，
，⼜Y＝2.25X+4.25 经过点
，
所以
，
解得m＝10．
故选：B．
【点评】本题考查线性回归⽅程的定义，属于中档题．
24．在⼀段时间内，分5 次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的⼀组数据，绘制散点图如
图所示，利⽤最⼩⼆乘法求得相应的经验回归⽅程为
根据上述信息，如下判断正确的是
（
）
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
m
3
A．商品的价格和需求量存在正相关关系
B．y 与x 不具有线性相关关系
C．m＝6
D．价格定为1.9 万元，预测需求量⼤约为6.25t
【分析】由图判定A；由经验回归⽅程判断B；求出样本点的中⼼的坐标代⼊线性回归⽅程求解m 值判
断C；在线性回归⽅程中，取x＝1.9 求得y 值判断D．
【解答】解：由图表可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A 错误；
由经验回归⽅程为
，可知y 与x 具有线性相关关系，故B 错误；
，
，
则
，解得m＝﹣5，故C 错误；
取x＝1.9，得y＝28.1﹣11.5×1.9＝6.25，故D 正确．
故选：D．
第47⻚（共82⻚）
【点评】本题考查线性回归⽅程及其应⽤，是基础题．
25．2024 海峡两岸各⺠族欢度“三⽉三”暨福籽同⼼爱中华•福建省第⼗⼀届“三⽉三”畲族⽂化节活动在宁德
隆重开幕．海峡两岸各⺠族同胞⻬聚于此，与当地群众共同欢庆“三⽉三”，畅叙两岸情．在活动现场，
为了解不同时段的⼊⼝游客⼈流量，从上午10 点开始第⼀次向指挥中⼼反馈⼊⼝⼈流量，以后每过⼀
个⼩时反馈⼀次．指挥中⼼统计了前5 次的数据（i，yi），其中i＝1，2，3，4，5，yi 为第i 次⼊⼝⼈流
量数据（单位：百⼈），由此得到y 关于i 的回归⽅程
，已知
，根据回归⽅程
（参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3），可预测下午4 点时⼊⼝游客的⼈流量为（
）
A．9.6
B．11.0
C．11.4
D．12.0
【分析】令z＝log2（i+1），求出，再求出，可得y 关于i 的回归⽅程，取x＝7 求解y 值即可．
【解答】解：令z＝log2（i+1），则
＝
，
⼜
，∴
≈
＝
．
∴
，取x＝7，可得
≈11.0．
故选：B．
【点评】本题考查回归⽅程的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
26．具有线性相关关系的变量x，y 的样本数据如下：
x
﹣2
﹣4
﹣6
﹣8
y
17.4
13
8.2
5
其回归直线⽅程为
，则回归直线经过（
）
A．第⼀、⼆、三象限
B．第⼆、三、四象限
C．第⼀、⼆、四象限
D．第⼀、三、四象限
【分析】结合表中数据判断
，再求出样本中⼼点，即可判断答案．
【解答】解：由表中的数据知x，y 正相关．所以
，
⼜
，
，
即点（﹣5，10.9）在回归直线上，且在第⼆象限，
所以回归直线经过第⼀、⼆、三象限．
故选：A．
第48⻚（共82⻚）
【点评】本题主要考查线性回归⽅程，属于基础题．
27．⾊差和⾊度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的⾊度y 和⾊差x 之间满⾜线性相关关系，
且
，现有⼀对测量数据为（30，22.8），则该数据的残差为（
）
A．0.6
B．0.4
C．﹣0.4
D．﹣0.6
【分析】将x＝30 代⼊回归⽅程，求出预测值，从⽽求出残差．
【解答】解：当x＝30 时，
，
所以该数据的残差为22.8﹣22.2＝0.6．
故选：A．
【点评】本题主要考查了残差的定义，属于基础题．
28．下列说法中，正确的是（
）
A．已知⼀系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3…）⼀个经验回归⽅程
，若样本点（m，3）与（2，
n）的残差相等，则3m+n＝11
B．已知随机变量ζ～N（0，σ2），若P（ζ＞2）＝0.2，则P（﹣2≤ζ≤2）＝0.4
C．将5 名同学分到三个组开展活动，每个组⾄少1 名，则不同分配⽅法数是240
D．若随机事件A，B 满⾜：
，
，
，则事件A 与B 相互独⽴
【分析】对于A，利⽤残差的定义即可判断；
对于B，根据正态分布的对称性即可判断；
对于C，先分组再分配即可；
对于D，利⽤独⽴事件的定义即可判断．
【解答】解：对于A：由题意可得（m，3）的残差
＝3﹣（3m+a），（2，n）的残差
＝n﹣（2×3+a），
由
＝
得，3﹣（3m+a）＝n﹣（6+a），∴3m+n＝9，故A 错误；
对于B：根据正态分布的对称性可知P（ξ＜﹣2）＝P（ξ＞2）＝0.2，∴P（﹣2≤ξ≤2）＝1﹣0.2×2＝0.6，
故B 错误；
对于C：5 名同学分到三个组开展活动，每个组⾄少1 名，则每组可以分3，1，1，或者2，2，1，因此
不同的分配⽅法数共有（C +
）A ＝（10+15）×6＝150 种，故C 错误；
对于D：P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），即
+
﹣P（AB）＝，解得P（AB）＝，
第49⻚（共82⻚）
∴P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A 与事件B 独⽴，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查残差，正态分布，排列组合以及独⽴事件，属于中档题．
29．某学习⼩组对⼀组数据（xi，yi）
（i＝1，2，3，…，7）进⾏回归分析，甲同学⾸先求出回归直线⽅程
，
样本点的中⼼为（2，m）．⼄同学对甲的计算过程进⾏检查，发现甲将数据（4，6）误输成（6，4），将
这两个数据修正后得到回归直线⽅程
，则实数k＝（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，甲输⼊的（x1，y1）为（6，4），即可求得x2+x3+⋯+x7＝8 以及y2+y3+⋯+y7＝52，然后
将正确数据代⼊，即可求得样本中⼼点，代⼊回归直线即可得到结果．
【解答】解：由题意可得m＝3×2+2＝8，假设甲输⼊的（x1，y1）为（6，4），
则6+x2+x3+⋯+x7＝2×7＝14，则x2+x3+⋯+x7＝8，
且4+y2+y3+⋯+y7＝7×8＝56，则y2+y3+⋯+y7＝52，
则改为正确数据时，4+x2+x3+⋯+x7＝12，
即
，
因为6+y2+y3+⋯+y7＝58，即
，
所以样本中⼼点为
，
将点
代⼊回归直线⽅程
，
解得
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线性回归⽅程的性质，属于中档题．
30．如下表给出5 组数据（x，y），为选出4 组数据使其线性相关程度最⼤，且保留第1 组数据（5，3），则
应去掉（
）
i
1
2
3
4
5
xi
5
4
3
2
﹣4
yi
3
2
7
1
﹣6
A．（4，2）
B．（3，7）
C．（2，1）
D．（﹣4，﹣6）
【分析】画出散点图，根据线性相关性与偏离程度判断即可．
第50⻚（共82⻚）
【解答】解：根据表格数据，得到散点图如下所示：
由散点图可知数据（3，7）偏离程度最⾼，故应该去掉数据（3，7）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了散点图的应⽤，考查了变量间的线性相关关系，属于基础题．
31．已知某⼀家旗舰店近五年“五⼀”⻩⾦周期间的成交额如下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代号t
1
2
3
4
5
成交额y（万元）
50
60
70
80
100
若y 关于t 的线性回归⽅程为
，则根据回归⽅程预测该店2023 年“五⼀”⻩⾦周的成交额是
（
）
A．84 万元
B．96 万元
C．108 万元
D．120 万元
【分析】求出回归直线的样本中⼼点（，），进⽽求出纵截距，取t＝6 即可得解．
【解答】解：由表格中数据得，＝
（1+2+3+4+5）＝3，＝
（50+60+70+80+100）＝72，
于是得回归直线
经过样本中⼼点（3.72），即有72＝12×3+ ，解得＝36，
从⽽得回归直线⽅程为：＝12t+36，当t＝6 时，＝12×6+36＝108，
所以预测该店2021 年双⼗⼀的成交额是108 万元．
第51⻚（共82⻚）
故选：C．
【点评】本题考查了线性回归⽅程的求法及应⽤，属于中档题．
32．下列说法中正确的个数为（
）个．
①对⽴事件⼀定是互斥事件
②在经验回归直线⽅程
中，当解释变量x 每增加⼀个单位时，预报变量减少0.1 个单位
③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
④在回归分析模型中，若相关指数R2越⼩，则残差平⽅和越⼤，模型的拟合效果越好
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由互斥事件与对⽴事件的定义判断①；根据回归直线⽅程的意义可以判断命题②；由两个随机
变量的线性相关性越强与相关系数的关系判断③；由相关指数R2的⼤⼩与模型的拟合效果关系判断④．
【解答】解：由互斥事件与对⽴事件的定义可知，对⽴事件⼀定是互斥事件，故①正确；
在经验回归直线⽅程
中，当解释变量x 每增加⼀个单位时，预报变量增加0.1 个单位，故
②错误；
两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故③正确；
在回归分析模型中，若相关指数R2越⼤，则残差平⽅和越⼩，模型的拟合效果越好，故④错误．
∴说法中正确的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查统计及有关概念，是基础题．
33．某市物价部⻔对某商品在5 家商场的售价x（元）及其⼀天的销售量y（件）进⾏调查，得到五对数据
（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5），经过分析、计算，得
，
，x，y 之间的经验回归⽅程是：
，
则相应于点（9.5，10）的残差为（
）
A．0.4
B．1.5
C．8
D．9.6
【分析】先根据经验回归直线过样本点的中⼼求出，然后求出x＝9.5 时的预测值，进⽽求得残差．
【解答】解：因为
，
，所以样本点的中⼼为（10，8），
⼜因为经验回归直线
过样本点的中⼼，所以
，所以
，所以经验回归
⽅程是：
，
当x＝9.5 时，
，
第52⻚（共82⻚）
所以残差为10﹣9.6＝0.4．
故选：A．
【点评】本题主要考查线性回归⽅程的应⽤，属于基础题．
34．某⾼校为研究学⽣每周平均体育运动时间进⾏了⼀次抽样调查，已知被抽取的男、⼥⽣⼈数相同．调
查显示：抽取的男⽣中每周平均体育运动时间超过4 ⼩时的⼈数占⽐为
，抽取的⼥⽣中每周平均体育
运动时间超过4 ⼩时的⼈数占⽐为
，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学⽣每周
平均体育运动时间与性别有关．则被抽取的男⽣⼈数⾄少为（
）
附：
P（x2≥k）
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
A．60
B．65
C．70
D．75
【分析】设被抽取的男⽣⼈数⾄少为a ⼈，由题意填写列联表，计算X2，列出不等式求解即可．
【解答】解：设被抽取的男⽣⼈数⾄少为a ⼈，由题意知，⼥⽣⼈数为a ⼈，男⽣中每周平均体育运动
时间超过4 ⼩时的⼈数为
a，⼥⽣中每周平均体育运动时间超过4 ⼩时的⼈数为
a，填写列联表如下：
锻炼超过4 ⼩时
锻炼不超过4 ⼩时
合计
男⽣
a
a
a
⼥⽣
a
a
a
合计
a
a
2a
零假设H0 ：该校学⽣每周平均体育运动时间与性别⽆关，由表中数据，计算X2 ＝
＝
a，
由题意知，
a＞6.635＝Xα＝0.01，解得a＞69.6675，
所以被抽取的男⽣⼈数⾄少为70 ⼈．
故选：C．
第53⻚（共82⻚）
【点评】本题考查了列联表与独⽴性检验的应⽤问题，是基础题．
35．为了考查⼀种新疫苗预防某X 疾病的效果，研究⼈员对⼀地区某种动物进⾏试验，从该试验群中随机
进⾏了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2 倍，接种且发病占接种的
，没接种且
发病的占没接种的
，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为接种该疫苗与预防某
X 疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物⾄少有（
）只．
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
A．35
B．36
C．37
D．38
【分析】设没接种只数为k，依题意，得2×2 列联表，计算χ2的值，令χ2＞3.841 求出k 的取值范围即可．
【解答】解：设没接种只数为k，依题意，得2×2 列联表如下：
发病
没发病
合计
接种
2k
没接种
k
合计
3k
则χ2的观测值χ2＝
＝
，
因为本次测查得出“在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为喜爱⾜球与性别有关”的结论，
于是χ2＞3.841，即χ2＝
＞3.841，
即3k＞3.841×28，
解得k＞35.85，
所以kmin＝36．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，属于基础题．
36．某学校在⼀次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（
）
第54⻚（共82⻚）
男⽣
⼥⽣
篮球迷
30
15
⾮篮球迷
45
10
附：
，
P（χ2≥k）
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
A．没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【分析】根据列联表运⽤公式χ2＝
求出χ2 值，同临界值表进⾏⽐较，得
到假设不合理的程度．
【解答】解：根据题⽬中的列联表数据，
男⽣
⼥⽣
合计
篮球迷
30
15
45
⾮篮球迷
45
10
55
合计
75
25
100
得到χ2＝
＝
＝3.030＜3.841．
所以，没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关．
故选：A．
【点评】本题是⼀个独⽴性检验，我们可以利⽤临界值的⼤⼩来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较
⼤就拒绝假设，即拒绝两个事件⽆关，是中档题．
37．某医疗研究机构为了解打鼾与患⼼脏病的关系，运⽤2×2 列联表进⾏独⽴性检验，经计算χ2≈6.803，则
所得到的统计学结论是认为打鼾与患⼼脏病有关系的把握约为（
）
P（χ2≥x0）
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．99.5%
B．99%
C．0.1%
D．0.5%
第55⻚（共82⻚）
【分析】根据χ2的值与临界值⽐较即可得出结论．
【解答】解：因为χ2≈6.803＞6.635，
所以有99%的把握认为打鼾与患⼼脏病有关系．
故选：B．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，属于基础题．
38．某课外兴趣⼩组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的
分类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独⽴性检验的⼩概率值和相应的临界值，知x0.01＝6.635，
则下列判断正确的是（
）
A．若某⼈数学成绩优秀，那么他为男⽣的概率是0.010
B．每100 个数学成绩优秀的⼈中就会有1 名是⼥⽣
C．数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不⼤于0.01
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为数学成绩优秀与性别⽆关
【分析】根据独⽴性检验的定义判断即可．
【解答】解：因为χ2≈6.816＞6.635＝x0.01，
所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不⼤于0.01．
故选：C．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，属于基础题．
39．某疾病预防中⼼随机调查了339 名50 岁以上的公⺠，研究吸烟习惯与慢性⽓管炎患病的关系，调查数
据如下表：
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性⽓管炎者
121
162
283
患慢性⽓管炎者
13
43
56
总计
134
205
339
假设H0：患慢性⽓管炎与吸烟没有关系，即它们相互独⽴．
通过计算统计量χ2，得χ2≈7.468，根据χ2分布概率表：
P（χ2≥6.635）≈0.01，P（χ2≥5.024）≈0.025，
P（χ2≥3.841）≈0.05，P（χ2≥2.706）≈0.1．
给出下列3 个命题，其中正确的个数是（
）
①“患慢性⽓管炎与吸烟没有关系”成⽴的可能性⼩于5%
第56⻚（共82⻚）
②有99%的把握认为患慢性⽓管炎与吸烟有关
③χ2分布概率表中的0.05、0.01 等⼩概率值在统计上称为显著性⽔平，⼩概率事件⼀般认为不太可能发
⽣
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【分析】根据χ2≈7.468 与临界值⽐较即可得出结论．
【解答】解：因为χ2≈7.468＞6.635，
所以有99%的把握认为患慢性⽓管炎与吸烟有关，即“患慢性⽓管炎与吸烟没有关系”成⽴的可能性⼩于
1%，
故①②正确，
χ2分布概率表中的0.05、0.01 等⼩概率值在统计上称为显著性⽔平，⼩概率事件⼀般认为不太可能发⽣，
故③正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，属于基础题．
40．设研究某两个属性变量时，作出零假设H0并得到2×2 列联表，计算得χ2＞χ0.052，则下列说法正确的是
（
）
A．有99.5%的把握认为H0不成⽴
B．有5%的把握认为H0的反⾯正确
C．有95%的把握判断H0正确
D．有95%的把握能反驳H0
【分析】根据独⽴性检验的思想求解．
【解答】解：由独⽴性检验的基本思想可知，有95%的把握能反驳H0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，属于基础题．
41．利⽤独⽴性检验的⽅法调查⾼中⽣的写作⽔平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120 名⾼中⽣是否
喜好阅读，利⽤2×2 列联表，由计算可得χ2＝4.236．
P（χ2＞k）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
参照附表，可得正确的结论是（
）
A．有95%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读有关”
第57⻚（共82⻚）
B．有99%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读有关”
C．有95%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读⽆关”
D．有99%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读⽆关”
【分析】根据观测值对照卡⽅表判定即可．
【解答】解：由题意及表格知，观测值χ2＝4.236＞3.841，
所以有95%的把握认为“写作⽔平与喜好阅读有关”．
故选：A．
【点评】本题考查了列联表与独⽴性检验的应⽤问题，是基础题．
42．针对2025 年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学⽣性别的关系”进⾏了⼀次
调查，其中被调查的男、⼥⽣⼈数相同，男⽣中喜欢冰雪运动的⼈数占男⽣⼈数的
，⼥⽣中喜欢冰雪
运动的⼈数占⼥⽣⼈数的
，若依据α＝0.05 的独⽴性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学⽣性别有关，
则被调查的学⽣中男⽣的⼈数不可（
）
附：
．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．48
B．54
C．60
D．66
【分析】设抽取的男⽣⼈数为x，由题意填写2×2 列联表，计算观测值，结合题意列出不等式求解即可．
【解答】解：设抽取的男⽣⼈数为x，由题意可得2×2 列联表如下：
男⽣
⼥⽣
合计
喜欢滑雪运动
x
x
x
不喜欢滑雪运动
x
x
x
合计
x
x
2x
计算X2＝
＝
x，
因为本次调查得出“依据⼩概率值α＝0.05 的独⽴性检验，认为是否喜欢滑雪运动与性别有关”的结论，
所以X≥3.841，
第58⻚（共82⻚）
即
x≥3.841，解得x≥51.8535，
因为上述2×2 列联表中的所有数字均为正整数，所以x 是6 的正整数倍，故x 的值不能48．
故选：A．
【点评】本题考查了列联表与独⽴性检验的应⽤问题，是基础题．
43．⼈⽣因阅读⽽⽓象万千，⼈⽣因阅读⽽精彩纷呈．腹有诗书⽓⾃华，读书有益于开拓眼界、提升格局；
最是书⾹能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校⾼中学⽣的读书情况进⾏了
调查，结果如下：
喜欢读书
不喜欢读书
合计
男⽣
260
60
320
⼥⽣
200
m
m+200
合计
460
m+60
m+520
附：
，其中n＝a+b+c+d．
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根据⼩概率值α＝0.001 的独⽴性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则m 的值可以为（
）
A．10
B．20
C．30
D．40
【分析】代⼊公式计算相关指数χ2 的观测值，可得χ2＞10.828，再代⼊选项⼀⼀判断即可．
【解答】解：根据⼩概率值α＝0.001 的独⽴性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，可得χ2＞10.828，
根据列联表中各数据之间的关系得：χ 2 ＝
＝
＞10.828，
即
＞10.828，
将m＝10，20，30，40，分别代⼊验证，可得只有m＝10 成⽴，
故m 的可能性为10．
故选：A．
【点评】本题考查了独⽴性检验的思想⽅法，是中档题．
⼆．解答题（共17 ⼩题）
44．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在⽤户⽣活中覆盖⾯越来越⼴泛，
第59⻚（共82⻚）
针对短视频的碎⽚化缺陷，将短视频剪接成⻓视频势必成为⼀种新的技能．某机构在⽹上随机对1000
⼈进⾏了⼀次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成⻓视频的APP，得到如下数据：
⻘年⼈
中年⼈
⽼年⼈
对短视频剪接成⻓视频的APP 有需求
2a+4b
200
a
对短视频剪接成⻓视频的APP ⽆需求
a+b
150
4b
其中的数据为统计的⼈数，已知被调研的⻘年⼈数为400．
（1）求a，b 的值；
（2）判断是否有99.9%的把握认为对短视频剪接成⻓视频的APP 需求，⻘年⼈与中⽼年⼈是否有差异？
参考公式：
，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据题意列出关于a，b 的⽅程组，求出a、b 的值即可．
（2）零假设，填写列联表，计算卡⽅，对照附表得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，
，
解得a＝b＝50；
（2）零假设为H0：对短视频剪接成⻓视频APP 的需求，⻘年⼈与中⽼年⼈没有差异，
由题意得2×2 列联表，如下：
⻘年⼈
中⽼年⼈
合计
对短视频剪接成⻓视频的APP 有需求
300
250
550
对短视频剪接成⻓视频的APP ⽆需求
100
350
450
合计
400
600
1000
计算得：
＝
≈107.744＞10.828，
所以我们推断H0不成⽴，即有99.9%的把握认为对短视频剪接成⻓视频的APP 需求，⻘年⼈与中⽼年
⼈有差异．
【点评】本题主要考查了列联表与独⽴性检验的应⽤问题，也考查了数据分析与运算核⼼素养，属于中
档题．
45．某学校有A，B 两家餐厅，A 餐厅有2 种套餐选择，B 餐厅有4 种套餐选择，且这6 种套餐各不相同．A
第60⻚（共82⻚）
餐厅距离教学楼相⽐于B 餐厅要近很多，经调查发现，100 名不同性别的学⽣选择餐厅⽤餐的情况如下：
男
⼥
在A 餐厅⽤餐
40
20
在B 餐厅⽤餐
15
25
（1）求某天甲、⼄两名同学选择同⼀套餐⽤餐的概率；
（2）依据α＝0.005 的独⽴性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联？
附：
．
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）分别求解
，
，
，
，利⽤全
概率公式可求得所求事件的概率；
（2）完善⼆联表，即可计算卡⽅，与临界值⽐较作答．
【解答】解：（1）由表中数据可得，选择A 餐厅的概率为
，选择B 餐厅的概率为
，
设事件A1：甲⼄去A 餐厅⽤餐，事件B1：甲⼄去B 餐厅⽤餐，事件A2：甲⼄选择同⼀种套餐，事件A：
甲、⼄两名同学选择同⼀套餐⽤餐，
则
，
，
，
，
则
，
故甲⼄两⼈选择同⼀家餐厅的概率为
；
（2）根据数据可得⽅案⼀的列联表：
男
⼥
合计
在A 餐厅⽤餐
40
20
60
在B 餐厅⽤餐
15
25
40
合计
55
45
100
零假设为H0：认为性别与选择餐厅之间⽆关，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
依据⼩概率值α＝0.005 的独⽴性检验，可以推断H0不成⽴，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错
第61⻚（共82⻚）
误的概率不⼤于0.005．
【点评】本题主要考查了全概率公式，考查了独⽴性检验的应⽤，属于中档题．
46．⻰泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之⼀，并
在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10 天销售优惠券情况．
⽇期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量y（千张）1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
经计算可得：
yi＝2.2，
，
．
（1）因为优惠券购买⽕爆，App 平台在第10 天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量⼤幅减
少，已知销售量y 和⽇期t 呈线性关系，现剔除第10 天数据，求y 关于t 的经验回归⽅程（结果中的数
值⽤分数表示）；
（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为
，选择B 套餐的概率为
，并且A 套餐可以⽤⼀张优
惠券，B 套餐可以⽤两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为Pn，求Pn；
（3）记（2）中所得概率Pn 的值构成数列
．
①求Pn 的最值；
②数列收敛的定义：已知数列{an}，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N0，使得当n＞N0时，|an
﹣a|＜ε，（a 是⼀个确定的实数），则称数列{an}收敛于a．根据数列收敛的定义证明数列{Pn}收敛．
参考公式：＝
＝
，
．
【分析】（1）求出剔除第10 天数据的
，（）新，
，（
）新，代⼊公式计算b̂'
â'ᵛƣ y 关于t 的经验回归⽅程；
（2）由题意可知
，再构造等⽐数列求解即可；
（3）①利⽤数列的函数特征求解；
②利⽤数列收敛的定义求解．
第62⻚（共82⻚）
【解答】解：（1）剔除第10 天数据的
＝
＝
＝2.4，（
）新＝
＝5，
＝118.73﹣10×0.4＝114.73，（
）新＝385﹣102＝285，
所以b̂.
＝
＝
，
故â.2.4/
×5＝
，
所以ŷ.
t
；
（2）由题意可知
，其中
，
，
所以
，⼜
，
所以
是⾸项为1 的常数列，故
，
所以
，⼜
，
所以
是以⾸项为
，公⽐为
的等⽐数列，
故
，即
；
（3）①当n 为偶数时，
单调递减，最⼤值为
，
当n 为奇数时，
单调递增，最⼩值为
，
综上：Pn 的最⼤值为
，最⼩值为
；
②证明：对任意ɛ＞0 总存在正整数
（其中[x]表示取整函数），
当
时，
，
所以数列{Pn}收敛．
【点评】本题主要考查了线性回归⽅程的求解，考查了数列的递推式，以及等⽐数列的性质，属于难题．
第63⻚（共82⻚）
47．近年来，我国新能源汽⻋发展进⼊新阶段．某品牌2018 年到2022 年新能源汽⻋年销量w（万）如下表：
其中年对应的年份代码t 为1﹣5．
年份代码t
1
2
3
4
5
销量w（万）
4
9
14
18
25
（1）判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数（精确到0.01）；
（2）（i）假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），两个变量满⾜⼀元
线性回归模型
（随机误差ei＝yi﹣bxi），请写出参数b 的最⼩⼆乘估计；
（ii）令变量
，则变量x 与变量Y 满⾜⼀元线性回归模型
，
利⽤（i）中结论求y 关于x 的经验回归⽅程，并预测2025 年该品牌新能源汽⻋的销售量．
附：样本相关系数
，
，
，
，
．
【分析】（1）⾸先画出散点图，根据参考数据，计算r；
（2）（ⅰ）⾸先写出残差平⽅和公式，表示为关于b 的⼆次函数，列式求解；
（ⅱ）根据参考公式求回归直线⽅程，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，
通过做散点图发现，样本点⼤致分布在⼀条直线附近，
因此是线性相关；
＝
，
所以两变量有较强的正相关；
（2）（i）
＝
，
第64⻚（共82⻚）
要使残差平⽅和最⼩，当且仅当
；
（ii）∵
，
由（i）知
，
∴y 关于x 的经验回归⽅程为y＝4.7x，
∴
，
∴
，
当t＝8，w＝4.7×8﹣0.1＝37.5（万），
因此，预计2025 年该品牌新能源汽⻋的销售量将达到37.5 万辆．
【点评】本题考查线性回归⽅程，属于中档题．
48．近年来，我国众多新能源汽⻋制造企业迅速崛起．某企业着⼒推进技术⾰新，利润稳步提⾼．统计该
企业2019 年⾄2023 年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019 年⾄2023 年对应的年
份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，y＝a+bx 和y＝c+dx2哪⼀个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x
的回归⽅程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建⽴y 关于x 的回归⽅程；
（3）根据（2）的结果，估计2024 年的企业利润．
参考公式及数据；
第65⻚（共82⻚）
，＝﹣
，
，
，
，
，
【分析】（1）由散点图直接得结论；
（2）利⽤最⼩⼆乘法求出与的值，可得y 关于x 的回归⽅程；
（3）在（2）中求得回归⽅程中，取x＝6 求解y 值即可．
【解答】解：（1）由散点图可知，y＝c+dx2适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x 的回归⽅
程类型；
（2）由题意得：
，
，
，
，
∴y 关于x 的回归⽅程为
；
（3）在（2）中求得回归⽅程
中，
令x＝6，得
，估计2024 年的企业利润为99.25 亿元．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查运算求解能⼒，是基础题．
49．某地2019 年⾄2023 年五年新能源汽⻋保有量如表．
年份
2019
2020
2021
2023
第66⻚（共82⻚）
2022
年份编号x
1
2
3
4
5
保有量y（万
辆）
18
20
23
25
29
（1）请⽤相关系数说明y 与x 的线性相关程度；
（2）求y 关于x 的回归直线⽅程y＝x+ ，并预测2025 年该地新能源汽⻋保有量．
附：相关系数
．
在回归直线⽅程
中，
．取
．
【分析】（1）根据题⼲数据求出，，
，
，
，即可
求出相关系数，即可判断；
（2）根据所给数据求出
，
，即可求出，，从⽽得到回归直线⽅程，再令x＝7 求出，
即可得解．
【解答】解：（1）因为
，
，
所以
+（4﹣3）×（25﹣23）+（5﹣3）×（29﹣23）＝27，
，
，
第67⻚（共82⻚）
所以
，
因为|r|的值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，
所以y 与x 的线性相关程度较强；
（2）因为
，
，
，
，
所以
，
，
所以回归直线⽅程为y＝2.7x+14.9．
当x＝7 时，
，
所以预测2025 年该地新能源汽⻋保有量为33.8 万辆．
【点评】本题考查相关系数以及线性回归⽅程，属于中档题．
50．随着新⾼考改⾰，⾼中阶段学⽣选修分为物理⽅向和历史⽅向，为了判断学⽣选修物理⽅向和历史⽅
向是否与性别有关，现随机抽取50 名学⽣，得到如下列联表：
物理⽅向
历史⽅向
总计
男⽣
13
a
23
⼥⽣
7
20
27
总计
b
c
50
（1）计算a，b，c 的值；
（2）问是否有95%的把握认为选修物理⽅向和历史⽅向与性别有关？
附：
，n＝a+b+c+d．
P（χ2≥k0）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）借助列联表数据计算即可得；
第68⻚（共82⻚）
（2）计算卡⽅，与3.841 ⽐较⼤⼩即可得．
【解答】解：（1）由13+a＝23，得a＝10，
由a+24＝c，得c＝10+20＝30，
由b+c＝50，得b＝50﹣30＝20；
（2）
，
故有95%的把握认为选修物理⽅向和历史⽅向是否与性别有关．
【点评】本题考查独⽴性检验，属于中档题．
51．为了了解⾼中学⽣课后⾃主学习数学时间x（分钟/每天）和他们的数学成绩y（分）的关系，某实验⼩
组做了调查，得到⼀些数据（表⼀）．
表⼀
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
（1）经分析，可⽤线性回归模型拟合y 与x 的关系，请求出线性回归⽅程，并由此预测每天课后⾃主学
习数学时间为100 分钟时的数学成绩．（参考数据：
的⽅差为200）
（2）基于上述调查，某校提倡学⽣周末⾃主学习．经过⼀学期的实施后，抽样调查了220 位学⽣．按照
是否参与周末⾃主学习以及成绩是否有进步进⾏统计，得到2×2 列联表（表⼆）．依据表中数据，判断
是否有99.9%的把握认为“周末⾃主学习与成绩进步”有关．
表⼆
没有进步
有进步
合计
参与周末⾃主学习
35
130
165
末参与周末⾃主学习
25
30
55
合计
60
160
220
附：
P（K2≥k）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
第69⻚（共82⻚）
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）先求出平均数，利⽤最⼩⼆乘法求出回归⽅程，代⼊数据即可预测；
（2）根据题意计算出χ2，进⽽由α＝0.001 的独⽴性检验得出答案．
【解答】解：（1）
，
，⼜xi（i＝1，2，3，…，5）的⽅差为
，
∴
，
，
故
，
当x＝100 时，y＝140.5，
故预测每天课后⾃主学习数学时间达到100 分钟时的数学成绩为140；
（2）零假设为H0：学⽣周末在校⾃主学习与成绩进步⽆关，
根据数据，计算得到：
，
∵12.22＞10.828，
∴依据α＝0.001 的独⽴性检验，可以认为“周末⾃主学习与成绩进步”有关．
【点评】本题考查线性回归⽅程与独⽴性检验，考查运算求解能⼒，是中档题．
52．为了给学⽣提供更为丰富的校园⽂化⽣活，学校增设了两⻔全新的课程A，B，学⽣根据⾃⼰的兴趣爱
好在这两⻔课程中任选⼀⻔进⾏学习．学校统计了学⽣的选课情况，得到如下表格．
选择课程A
选择课程B
男⽣
40
60
⼥⽣
20
80
（1）根据上表，依据⼩概率值α＝0.005 的χ2独⽴性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
（2）现从男⽣的样本中，按分层抽样的⽅法选出5 ⼈组成⼀个⼩组，再从这5 名男⽣中抽取3 ⼈做问卷
调查，求这3 ⼈中选择课程B 的⼈数⽐选择课程A 的⼈数多的概率．
第70⻚（共82⻚）
附：
．
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据独⽴性检验公式即可判断；
（2）利⽤分层抽样，确定抽取A，B 课程的⼈数，再求其概率．
【解答】解：（1）零假设H0：选择课程与性别⽆关，
，
根据⼩概率值α＝0.005 的χ2独⽴性检验，推断H0不成⽴，
即认为选择课程与性别有关；
（2）由表可知，男⽣中选A 课程的⼈数占
，选B 课程的⼈数占
，
故5 名男⽣中，选择课程A 的⼈数为5×
＝2，选择课程B 的⼈数为5×
＝3，
则所求的概率为
．
【点评】本题考查独⽴性检验，属于中档题．
53．将氢储存在甲基环⼄烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要⽅向．2023 年12 ⽉俄罗斯科学院⻄
伯利亚分院科研⼈员⽤镍和锡取代铂，研发出⼀种新型⾼效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储
氢载体没有破坏作⽤，可重复使⽤．近年来，我国氢能源汽⻋产业迅速发展，下表是某市氢能源乘⽤⻋
的年销售量与年份的统计表：
年份x
2018
2019
2020
2021
2022
销量y（万台）
2
3.5
2.5
8
9
（1）求氢能源乘⽤⻋的销量y 关于年份x 的线性回归⽅程，并预测2024 年氢能源乘⽤⻋的销量；
（2）为了研究不同性别的学⽣对氢能源的了解情况，某校组织了⼀次有关氢能源的知识竞赛活动，随
机抽取了男⽣和⼥⽣各60 名，得到如表所示的数据：
了解
不了解
合计
男⽣
25
⼥⽣
20
合计
第71⻚（共82⻚）
（ⅰ）根据已知条件，填写上述2×2 列联表；
（ⅱ）依据α＝0.01 的独⽴性检验，能否认为该校学⽣对氢能源的了解情况与性别有关？
参考公式：
①回归⽅程
中斜率和截距的最⼩⼆乘法估计公式分别为
；
②
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）利⽤已知数据和公式求线性回归⽅程，由⽅程进⾏数据预测；
（2）（ⅰ）根据男⽣和⼥⽣各60 名补全2×2 列联表；
（ⅱ）计算χ2，与临界值⽐较下结论．
【解答】解：（1）年份x 的平均数
，销量y 的平均数
，
∴
，
＝（2018﹣2020）×（2﹣5）+（2019﹣2020）×（3.5﹣5）
+（2020﹣2020）×（2.5﹣5）+（2021﹣2020）×（8﹣5）+（2022﹣2020）×（9﹣5）＝18.5，
∴
，
，
∴氢能源乘⽤⻋的销量y 关于年份x 的线性回归⽅程为
，
令x＝2024，得
．
故预测2024 年氢能源乘⽤⻋的销量约为12.4 万台；
（2）（ⅰ）根据男⽣和⼥⽣各60 名，补全2×2 列联表为：
了解
不了解
合计
第72⻚（共82⻚）
男⽣
35
25
60
⼥⽣
20
40
60
合计
55
65
120
（ⅱ）零假设H0：该校学⽣对氢能源的了解情况与性别⽆关，
根据2×2 列联表中的数据可得，
，
依据α＝0.01 的独⽴性检验，可以推断H0不成⽴，
即该校学⽣对氢能源的了解情况与性别有关．
【点评】本题考查独⽴性检验与线性回归⽅程的求法，考查运算求解能⼒，是基础题．
54．2023 年全国竞⾛⼤奖赛（第1 站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3 ⽉4 ⽇在安徽⻩⼭开赛．重庆队的贺相
红以2 ⼩时22 分55 秒的成绩打破男⼦35 公⾥竞⾛亚洲纪录．某⽥径协会组织开展竞⾛的步⻓和步频之
间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
步频x（单位：
s）
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步⻓y（单位：
cm）
90
95
99
103
117
（1）根据表中数据，得到步频和步⻓近似为线性相关关系，求出y 关于x 的回归直线⽅程，并利⽤回归
⽅程预测，当步⻓为80cm 时，步频约是多少？
（2）记
，其中yi 为观测值，
为对应（xi，yi）的残差，求（1）中步⻓的残
差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成⽴？若成⽴，请证明；若不成⽴，
请说明理由．
参考数据：
，
．
参考公式：
，
．
【分析】（1）根据已知条件求得回归⽅程的系数，即可得回归⽅程，将y＝80 代⼊回归⽅程，即可得到
答案；
第73⻚（共82⻚）
（2）结合题中数据进⾏计算，可求得步⻓的残差和，从⽽可得结论，结合回归⽅程系数的计算公式即
可证明．
【解答】解：（1）
，
，
所以
，
，
所以回归直线⽅程为
，
将y＝80 代⼊得80＝620x﹣85.2，解得x≈0.27，
所以当步⻓为80cm 时，步频约是0.27 秒；
（2）根据（1）得到
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
，即步⻓残差和为0，
对任意具有线性相关关系的两个变量都成⽴，证明如下：
．
【点评】本题主要考查了线性回归⽅程的求解，考查了残差的定义，属于中档题．
55．某兴趣⼩组调查并统计了某班级学⽣期末统考中的数学成绩和建⽴个性化错题本的情况，⽤来研究这
两者是否有关．若从该班级中随机抽取1 名学⽣，设A＝“抽取的学⽣期末统考中的数学成绩不及格”，
B＝“抽取的学⽣建⽴了个性化错题本”，且
．
（1）求P（A）和P（A|B）；
（2）若该班级共有36 名学⽣，请完成列联表，并依据⼩概率值α＝0.005 的独⽴性检验，分析学⽣期末
统考中的数学成绩与建⽴个性化错题本是否有关．
第74⻚（共82⻚）
个性化错题本
学⽣期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建⽴
未建⽴
合计
参考公式及数据：
．
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）直接利⽤全概率公式求解即可；
（2）先求出2×2 列联表，再求出χ2 的值，与临界值⽐较即可判断．
【解答】解：（1）∵A＝“抽取的学⽣期末统考中的数学成绩不及格”，B＝“抽取的学⽣建⽴了个性化错题
本”，
⼜因为
，
所以由对⽴事件概率关系可得
．
代⼊
，
解得
，
所以
．
由全概率公式可得
，
解得
．
（2）
个性化错题本
学⽣期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建⽴
20
4
24
未建⽴
4
8
12
合计
24
12
36
零假设为H0：学⽣期末统考中的数学成绩与建⽴个性化错题本⽆关，
第75⻚（共82⻚）
根据列联表中的数据，经计算得到
．
根据⼩概率值α＝0.005 的独⽴性检验，我们推断H0不成⽴，
即认为学⽣期末统考中的数学成绩与建⽴个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不⼤于0.005．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，考查了全概率公式，属于中档题．
56．某⻘少年跳⽔队共有100 ⼈，在强化训练前、后，教练组对他们进⾏了成绩测试，分别得到如图1 所
示的强化训练前的频率分布直⽅图，如图2 所示的强化训练后的频率分布直⽅图．
（1）根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作代表）与成
绩的中位数（中位数精确到0.01）．
（2）我们规定得分80 分以上的为“优秀”，低于80 分的为“⾮优秀”．
优秀⼈数
⾮优秀⼈数
合计
强化训练前
强化训练后
合计
将上⾯的表格补充完整，依据⼩概率值α＝0.005 的独⽴性检验，能否据此推断跳⽔运动员是否优秀与强
化训练有关？
附：
．
α
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据已知条件，结合平均数和中位数的公式，即可求解；
（2）结合独⽴性检验公式即可求解．
【解答】解：（1）强化训练后的平均成绩约为55×0.04+65×0.16+75×0.2+85×0.32+95×0.28＝81.4；
第76⻚（共82⻚）
由于前三列概率之和为0.04+0.16+0.2＝0.4，
设中位数为80+x，则0.032x＝0.1，
解得x＝3.125，所以中位数约为83.13；
（2）零假设为H0：跳⽔运动员是否优秀与强化训练⽆关．
补充完整的表格为：
优秀⼈数
⾮优秀⼈数
合计
强化训练前
40
60
100
强化训练后
60
40
100
合计
100
100
200
则
，
根据⼩概率值α＝0.005 的独⽴性检验，我们推断H0不成⽴，
即认为跳⽔运动员是否优秀与强化训练有关．
【点评】本题考查频率分布直⽅图的数字特征、独⽴性检验，考查学⽣对数据的分析与处理能⼒，属于
中档题．
57．某校研究性学习⼩组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20 名同学期末考试中的数
学成绩和物理成绩，如表1：
表1：
序号
数学
物理
1
144
95
2
130
90
3
124
79
4
120
85
5
110
69
6
107
82
7
103
80
8
102
62
9
100
67
第77⻚（共82⻚）
10
98
75
11
98
68
12
95
77
13
94
59
14
92
65
15
90
57
16
88
58
17
85
70
18
85
55
19
80
52
20
75
54
（1）数学120 分及以上记为优秀，物理80 分及以上记为优秀．
（i）完成如下列联表；
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
不优秀
合计
（ii）依据α＝0.01 的独⽴性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
（2）从这20 名同学中抽取5 名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
数学成绩
130
110
100
85
75
物理成绩
90
69
67
70
54
如图所示：以横轴表示数学成绩、纵轴表示物理成绩建⽴直⻆坐标系，将表2 中的成对样本数据表示为
散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在⼀条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关．
第78⻚（共82⻚）
（i）求样本相关系数r；
（ii）建⽴物理成绩y 关于数学成绩x 的⼀元线性回归模型，求经验回归⽅程，并预测数学成绩120 的同
学物理成绩⼤约为多少？（四舍五⼊取整数）
参考公式：（1）样本相关系数
．
（2）经验回归⽅程
.
．
（3）
，其中n＝a+b+c+d．
临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）（i）由表1 可直接填写列联表；
（ii）根据列联表，计算χ2的值，结合临界值表可得出结论；
（2）（i）根据参考公式计算样本相关系数；
（ii）根据参考公式计算经验回归⽅程，并将x＝120 代⼊，预测该同学的物理成绩．
【解答】解：（1）（i）补全列联表如下：
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
3
1
4
不优秀
2
14
16
合计
5
15
20
第79⻚（共82⻚）
（ii）零假设H0：数学成绩与物理成绩相互独⽴，即数学成绩与物理成绩⽆关联，
则
＝
，
依据α＝0.01 的独⽴性检验，推断H0不成⽴，即认为数学成绩与物理成绩有关联；
（2）（i）由题意
，
所
以
＝
；
（ii）由题意
＝
，
所以
，
所以经验回归⽅程为
，
当x＝120 时，
，
所以物理成绩约为81 分．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，考查了线性回归⽅程的求解和应⽤，属于中档题．
58．为预防季节性流感，某市防疫部⻔⿎励居⺠接种流感疫苗．为了进⼀步研究此疫苗的预防效果，该防
疫部⻔从市⺠中随机抽取了1000 ⼈进⾏检测，其中接种疫苗的700 ⼈中有570 ⼈未感染流感，未接种疫
苗的300 ⼈中有70 ⼈感染流感．医学统计研究表明，流感的检测结果存在错检现象，即未感染者其检测
结果为阳性或感染者其检测结果为阴性．已知未感染者其检测结果为阳性的概率为0.01，感染者其检测
结果为阳性的概率为0.95．将上述频率近似看成概率．
（1）根据所给数据，完成以下列联表，并依据α＝0.10 的独⽴性检验，能否认为接种流感疫苗与预防流
感有关？
疫苗
流感
合计
感染
未感染
接种
未接种
合计
（2）已知某⼈流感检测结果为阳性，求此⼈感染流感的概率（精确到0.01）．
第80⻚（共82⻚）
附：
；
α
0.10
0.05
0.01
x
2.706
3.841
6.635
【分析】（1）先求出2×2 列联表，再求出χ2 的值，与临界值⽐较即可；
（2）根据全概率公式求解．
【解答】解：（1）根据题意，得到2×2 列联表如下：
疫苗情况
流感情况
合计
患有流感
不患有流感
打疫苗
130
570
700
不打疫苗
70
230
300
合计
200
800
1000
χ2＝
＝
≈2.976，因为2.976＞2.706，
所以依据α＝0.10 的独⽴性检验，认为接种流感疫苗与预防流感有关；
（2）设事件A 为“⼀次检测结果呈阳性”，事件B 为“被检测者确实患有流感”，
由题意得P（B）＝0.2，P（）＝0.8，P（A|B）＝0.95．P（A| ）＝0.01，
由全概率公式得P（A）＝P（B）•P（A|B）+P（）•P（A| ）＝0.2×0.95+0.8×0.01＝0.198，
所以P（B|A）＝
＝
＝
≈0.96，
即此⼈真的患有流感的概率是0.96．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，考查了全概率公式，属于中档题．
59．为研究⼉童性别是否与患某种疾病有关，某⼉童医院采⽤简单随机抽样的⽅法抽取了66 名⼉童．其中：
男童36 ⼈中有18 ⼈患病，⼥童30 ⼈中有6 ⼈患病．
附：
，n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（1）填写下⾯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为⼉童性别与患病有关？
性别
是否患病
合计
是
否
第81⻚（共82⻚）
男
⼥
合计
（2）给患病的⼥童服⽤某种药物，治愈的概率为p（0＜p＜1），则恰有3 名被治愈的概率为f（p），求f
（p）的最⼤值和最⼤值点p0的值．
【分析】（1）完善列联表，计算出卡⽅，即可判断；
（2）依题意可得f（p）＝20p3（1﹣p）3，利⽤⼆次函数的性质计算可得．
【解答】解：（1）根据所给数据进⾏整理，得到如下2×2 列联表，
性别
是否患病
合计
是
否
男
18
18
36
⼥
6
24
30
合计
24
42
66
根据列联表中的数据，经计算得到
，
所以没有99%得把握认为⼉童性别与患病有关；
（
2
）
因
为
＝
，
当且仅当
时，f（P）有最⼤值
，
即f（p）在
处取得最⼤值，最⼤值为
．
【点评】本题主要考查了独⽴性检验的应⽤，考查了独⽴事件的概率乘法公式，属于基础题．
60．某⺠营学校为增强实⼒与影响⼒，⼤⼒招揽名师、建设校园硬件设施，近5 年该校招⽣⼈数的数据如
下表：
年份序号x
1
2
3
4
5
招⽣⼈数y/千
⼈
0.8
1
1.3
1.7
2.2
（Ⅰ）由表中数据可看出，可⽤线性回归模型拟合y 与x 的关系，请⽤相关系数加以证明；
第82⻚（共82⻚）
（Ⅱ）求y 关于x 的回归直线⽅程，并预测当年份序号为7 时该校的招⽣⼈数．
参考数据：
，
，
．
参考公式：相关系数
，回归⽅程
中斜率和截距的最⼩⼆乘估
计公式分别为
，
．
【分析】（Ⅰ）求出
，代⼊求出相关系数即可；
（Ⅱ）根据公式求出，再求出，则得到回归直线⽅程，再代⼊数据预测即可．
【解答】解：（I ）由题意知
，
，
，
所以
，
因为r 与1 ⾮常接近，故可⽤线性回归模型拟合y 与x 的关系．
（II）
，
，
所以y 关于x 的回归直线⽅程为
．
当x＝7 时，
，
由此预测当年份序号为7 时该校的招⽣⼈数为2.8 千⼈．
【点评】本题主要考查线性回归⽅程，属于中档题．
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