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专题4.2.4 随机变量的数字特征
教学目标
1.理解离散型随机变量均值与方差的定义，能结合分布列熟练掌握其计算方法及方差
变形公式的应用；
2.掌握均值与方差的核心性质（Y=aX+b），理解其推导逻辑并能解决简单的变量变换
问题；
3.熟记两点分布、二项分布、超几何分布的均值与方差公式，能准确辨析分布类型并
代入计算。
教学重难点
重点：均值与方差的定义理解及计算步骤，均值方差性质的灵活运用，三类特殊分布
的公式记忆与直接应用；
难点：方差计算的准确性（含变形公式的运用），分布类型的精准辨析，性质在实际
问题中的灵活迁移。
知识点01 离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：
X
…
…
P
…
…
（1）称
________为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）称
________
为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度，其
算术平方根
为随机变量X 的标准差．
方差的变形：
【即学即练】
1．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则
（ ）
X
a
a＋1
P
x
A．
B．
C．
D．
知识点02 均值与方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，则Y 也是随机变量，
则
________
________
【即学即练】
2．若随机变量X 的期望
，则
（ ）
A．3
B．9
C．11
D．27
3．已知随机变量X 满足
，
，下列说法正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
知识点03 特殊分布的均值与方差
（1）两点分布
若
,则;
（2）二项分布
若
,则;
________
________
（3）超几何分布
若离散型随机变量x 服从超几何分布
，则有若
，则
________
【即学即练】
4．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4 次，
表示“正面朝上”出现的次数，则
，
.
5．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是
，其中
，又
，
，随
机变量X 的方差的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 求离散型随机变量的均值
【例1】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得一分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方多2
分或打满4 局时停止，设甲在每局中获胜的概率为
，乙在每局中获胜的概率为
，且各局胜负互相独立，
则比赛停止时已打局数
的期望
为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【例2】一种游戏的玩法如下：有4 个完全一样的盒子，其中有2 个盒子写的是“成功”，2 个盒子写的是
“失败”.玩家每一次可以随机打开一个盒子.①若打开盒子内容是“成功”，则该盒子消失；②若打开盒
子内容是“失败”，则所有盒子的位置会刷新（即所有盒子会随机重排，但内容不变），当所有写着“成
功”的盒子被打开后，则玩家获胜，并停止游戏.
(1)求玩家打开3 个盒子后获胜的概率；
(2)若玩家最多有5 次打开盒子的机会，设玩家停止游戏时打开盒子的数量为X，求X 的分布列与期望.
【变式1-1】一袋子里有大小形状完全相同的3 个红球，2 个白球，1 个黄球，现从袋子里这6 个球中随机
摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，
表示摸球次数，则
的数学期望
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】某工厂生产甲产品，该产品需要经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相
互独立，每道工序的加工结果均有A，B 两个等级（不是A 等级就是B 等级）．对于每种产品，两道工序
的加工结果都为A 级时，产品为一等品，两道工序的加工结果都为B 级时，产品为三等品，其余情况均为
二等品．已知第一道和第二道工序的加工结果为A 级的概率分别为
，
．
(1)求生产出的甲产品分别为一等品、二等品、三等品的概率；
(2)若对于甲产品，一件一等品、二等品、三等品的利润分别为40 元、30 元、10 元，设一件甲产品的利润
为X 元，求X 的分布列及期望．
【变式1-3】设
，随机变量的分布列如下：
ξ
0
a
2
P
a
当a 增大时，有（ ）
A．
增大，
先减小后增大
B．
减小，
减小
C．
增大，
先增大后减小
D．
减小，
增大
求离散型随机变量
的均值的步骤：（1）理解
的实际意义,并写出
的全部取值；（2）求出
取每个值
的概率；（3）写出
的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式
，计算
即可
题型02 求离散型随机变量的方差
【例3】已知随机变量
满足
，
，
.若
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例4】变量
的分布列如下：
0
1
其中
，若
，则
的值是 ．
【变式2-1】设
，且随机变量
的分布列是
0
1
则
的最小值为 ．
【变式2-2】已知随机变量
的分布列为
0
1
2
3
0.1
0.2
0.3
0.4
求其方差和标准差．
【变式2-3】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲
投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为
，
，在前3 次投篮中，乙投篮的次数为
，求
的分布
列、方差及标准差．
题型03 均值及方差性质的应用
【例5】已知随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
m
0.4
m
下列说法正确的是（ ）（多选）
A．
B．
C．
D．
【例6】离散型随机变量
的取值为0，1，2，若
，
，
，
，
则
.
【变式3-1】已知随机变量
的分布列如下表：
0
1
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】已知随机变量
的分布列如下：若
，则
.
1
2
3
0.3
0.3
【变式3-3】已知随机变量
的分布列为
0
1
(1)求
的期望和方差；
(2)设
，求
的期望和方差．
对于
型的随机变量,则有
，
题型04 两点分布的均值与方差
【例7】一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为
，随机抽取1 件，定义
则
随机变量
的方差
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】设
，随机变量
的分布列如下表所示，
X
0
1
P
则当概率
在区间
内增大时，方差
的变化是（ ）
A．增大
B．先增大后减小
C．减小
D．先减小后增大
【变式4-1】若离散型随机变量X 服从
分布，且
，则
．
【变式4-2】设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
P
0.6
0.4
若离散型随机变量
满足
，则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（多选）若随机变量
服从两点分布，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 二项分布的均值与方差
【例9】若
且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】幽门螺杆菌是感染率较高的细菌之一，每年新发现的胃癌患者有近一半与幽门螺杆菌的感染有关，
而日常生活中共用餐具是幽门螺杆菌的一种主要传播途径，所以“使用公筷、文明用餐”对减少疾病传播
有积极作用.为调查某地幽门螺杆菌的感染情况，现从当地一家医院随机抽取了1000 份体检报告，发现共
有600 份报告显示感染了幽门螺杆菌.以该医院体检报告样本数据估计当地的幽门螺杆菌的感染情况.
(1)当地一社区约有居民10250 人，估计该社区感染幽门螺杆菌的人数；
(2)从当地随机抽取3 人，求这3 人中感染幽门螺杆菌的人数
的分布列和数学期望.
【变式5-1】已知随机变量
，
，且
，则
【变式5-2】某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选
择参加其中一项两项或不参加
､
.已知参加过数据分析培训的有
，参加过新媒体运营培训的有
，假
设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响.
(1)任选1 名学生，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3 名学生，记
为3 人中参加过培训的人数，求
的分布列和期望.
【变式5-3】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个
单位.设移动
次后质点位于位置
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
和
的值；
题型06 超几何分布的均值与方差
【例11】（多选）从6 名女生和8 名男生中任选5 人去阳光敬老院参加志愿服务，用
表示所选5 人中女
生的人数，用
表示所选5 人中男生的人数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】甲、乙两个箱子中，各装有6 个球，其中甲箱中有3 个红球和3 个白球，乙箱中有
个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1 或2，则从甲箱中随机摸出2 个球；如果点
数为3、4、5、6，则从乙箱中随机摸出2 个球.已知掷1 次骰子后，摸出的球都是红球的概率是
.
(1)求m 的值；
(2)若不掷骰子，直接从甲箱摸出2 个球，记摸到红球的个数为随机变量X，求X 的分布列和数学期望.
【变式6-1】袋中装有12 个大小相同的球，其中红球2 个，黄球3 个，白球7 个，从中随机取出3 个球
(1)求取出的3 个球中有2 个白球的概率；
(2)设X 表示取到的红球个数，求X 的分布列与数学期望.
【变式6-2】袋中有6 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取3 次，每次取1 个球，每次抽取后都不放回，
设取到黑球的个数为
．
(1)求
的分布列；
(2)求
；
(3)若摸出一个黑球得10 分，摸出一个白球得5 分，总分为
分，求
的值．
【变式6-3】为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从
，
两个科室的志愿者中随
机抽调4 人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知
，
两个科室中的志愿者分布如下：
类别科室
志愿者
医生
护士
A 科室
2
3
B 科室
3
3
(1)求抽到的4 人中，恰好有2 名医生，且这2 名医生恰好来自同一科室的概率；
(2)设
为选出的4 人中医生的人数，求随机变量
的分布列和数学期望.
题型07 均值方差在决策中的应用
【例13】某蔬菜批发商分别在甲乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每
､
售出1 吨获利500 元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100 元．现分别统计该蔬菜在甲乙两个市场以往
､
100 个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：
以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进
吨该蔬菜，在甲乙两个市场同时
､
销售，以
（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，
（单位：元）表示下个销售周期两个
市场的销售总利润．
(1)求变量
概率分布列；
(2)当
时，求
与
的函数解析式，并估计销售利润不少于8900 元的概率；
(3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断
与
应选用哪一个．
【例14】为迎接2025 春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过
元含
元，均可抽奖
一次，抽奖箱里有
个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2 个，白球有4 个，抽奖方案设置
两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出
个球，若摸出
个红球，则打
折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次
摸取个球，连摸
次，每摸到次红球，立减
元.
(1)若甲、乙消费均达到了
元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受
折优惠
的概率；
(2)若丙消费恰好满
元，试比较说明丙选择哪种方案更划算.
【变式7-1】我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：
两家公司从6 个招标问题中随机抽取3 个问题，已知这6 个招标问题中，甲公司能正确回答其中4 道题目，
而乙公司能正确回答每道题目的概率均为
，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响．
(1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差；
(2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【变式7-2】在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈
杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为
；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为
．
某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为
，处于嘈杂环境的概率为
．
(1)求每次测试结果为语音识别成功的概率；
(2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案：
方案一：测试4 次结束测试；
方案二：先测试3 次，如果这3 次中成功次数小于等于2 次，则再测试2 次后结束测试，否则不再测试．
为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由．
【变式7-3】为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025 年7 月28 日印发了《育儿补
贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方
案的执行策略如表：
单个家庭生育婴儿
数
1
2
3
补贴方案一
每月补助300 元，共
补贴3 年
每月补助1100 元，
共补贴3 年
每月补助2600 元，
共补贴3 年
补贴方案二
每月补助1000 元，共补贴3 年
通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率：
单个家庭生育婴儿数
0
1
2
3
概率
由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴
儿总数在0～3 的情况．
(1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100 元/月，求其共生育2 个婴儿的概率；
(2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高．
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻
画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
题型08 均值方差中的最值问题
【例15】设随机变量
的分布列如下（其中
），
表示
的方差，则
（ ）
0
1
2
A．有最大值也有最小值
B．有最大值但无最小值
C．无最大值但有最小值
D．无最大值也无最小值
【例16】某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品．已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品
的概率分别为
、
、
，且
．从该工厂生产的产品中随机抽取
件，设其中一等品的数量
为
，二等品的数量为
．
(1)若
，已知
的数列期望
，
的方差
求
的值.
(2)若
，且
服从二项分布
．已
，求
的值.
(3)已知
，
，在抽取的
件商品中，一等品和二等品的数量之和为
．求当
为何值时，
的数学期望取得最大值？
【变式8-1】某工厂的某种产品成箱包装，每箱20 件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出
件进行检验，若检验出不合格品，则将该不合格品更换为合格品，假设每箱产品中均恰有2
件不合格品．
(1)若
，求检验一箱产品时恰好抽到1 件不合格品的概率；
(2)若检验一箱产品时至少抽到1 件不合格品的概率大于0.5，求m 的最小值；
(3)已知每件产品的检验费用为2m 元；若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付150 元
的赔偿费用，要使一箱产品的检验费用与赔偿费用之和的期望值最小，m 应取何值？
【变式8-2】小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1 经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都
是
；路线2 经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是
，第二个路口遇到红灯的概率是
．
假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
(1)若小李下班后选择路线1 驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：
min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
【变式8-3】有一项高辐射的危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规
定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有A、B、C 三个人
可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为
，且
互不相等，他们三个人能否完
成任务的事件相互独立．
(1)
，如果按照A、B、C 的顺序先后进入；
①求任务能被完成的概率；
②求所需派出人员数目 X 的分布列和数学期望；
(2)假定
，试分析以怎样的先后顺序派出A、B、C 三个人，可使所需派出的人员数目X 的数
学期望达到最小.
一、单选题
1．已知随机变量
服从二项分布
，则
（ ）
A．5
B．8
C．10
D．13
2．一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为
，
，
，
，
，
，
，
，若这组数据的
分位数为
，且随机变量
，则
（ ）
A．7.6
B．7.4
C．7.2
D．7
3．设
为随机变量，从边长为1 的正方体12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，
；当两条棱异面时，
；当两条棱平行时，
的值为两条棱之间的距离，则数学期望
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．一包装箱内有12 件产品，其中有10 件合格品.现从中随机取出4 件，设取出的4 件产品中有
件合格
品，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若随机变量
服从两点分布，则
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
6．第七届数字中国建设峰会数字福建建设成果摄影展向社会进行作品征集，该摄影展从全新的视角呈现
了数字福建近年来的建设成果，展现了数字福建蓬勃发展的朝气．某企业计划从信息基础设施领域的
幅
作品和文化领域的7 幅作品中随机选取若干幅作品参赛，若选取2 幅作品，全是文化领域的概率为
．若
选取3 幅作品，假设选取的文化领域的作品个数为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
二、多选题
7．甲参加游戏获得的积分
的分布列为
4
5
6
7
8
0.1
0.3
0.3
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．一个袋子中有100 个大小相同的球，其中有黄球40 个，白球60 个，从中随机地摸出20 个球作为样本.
用X 表示样本中黄球的个数，则（ ）
参考数据：
k
5
6
7
8
9
10
0.07465
0.12441
0.16588
0.17971
0.15974
0.11714
0.06530
0.12422
0.17972
0.20078
0.17483
0.11924
A．如果采取有放回摸球，其方差为24
B．如果采取不放回摸球，其期望为8
C．如果采取不放回摸球，以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，误差不超过0.1 的概率约为
0.7988
D．以样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，在误差都不超过0.1 的限制条件下，采用不放回摸球
估计的结果更可靠
三、填空题
9．从集合
中随机取出3 个能作为一个三角形三边长的不重复的数，设以这3 个数为边长组成的
三角形面积为
，则
的期望
.
10．一质点从
的顶点
出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点
次运动过程中
仅次经过顶点
的条件下，第
次回到顶点
的概率
，记质点
次运动过程中经过顶点
的次数是
，则
．
四、解答题
11．12 月20 日是澳门回归纪念日，为弘扬家国情怀，某校抽取100 名学生参加宪法知识竞赛，这100 名学
生的竞赛成绩均在
内，将成绩分为
，
，
，
，
，
，共
6 组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求
的值，并估计这100 名学生竞赛成绩的上四分位数；
(2)从成绩在
和
的学生中，用分层抽样抽取5 名学生，再从5 名学生中随机抽取3 人，记
为抽取的3 人中来自成绩在
的学生的人数，求
的分布列和数学期望.
12．在数字通信中，信号是由数字0 和1 组成的序列，发送时按顺序每次只发送一个数字.由于随机因素的
干扰，发送的信号0 或1 有可能被错误地接收为1 或0.已知发送信号0 时，接收为0 和1 的概率分别为
和
发送信号1 时，接收为1 和0 的概率分别为
且每次数字的传输相互独立.
(1)若发送的序列为“01”，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；
(2)若发送的序列为“011”，用X 表示接收到的数字串中0 的个数，求X 的分布列与数学期望.
13．某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500 元（含500 元）可抽奖一次，抽奖方案有两
种（顾客只能选择其中的一种）．
方案1：从装有3 个红球，2 个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3 个球．每摸
出1 次红球，立减100 元，若3 次都摸到红球，则额外再减100 元（即总共减400 元）；
方案2：从装有3 个红球，2 个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3 个球．中奖
规则为：若摸出3 个红球，享受免单优惠；若摸出2 个红球，则打5 折；其余情况无优惠．
(1)顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)顾客小红恰好消费了500 元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理．
14．某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300 名
消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）.
车型
低收入群体（
20
万/年）
中收入群体（20 万/年—50
万/年）
高收入群体（
50
万/年）
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
EV
70
30
70
50
40
40
PHEV
20
80
60
60
60
20
假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率.
(1)从该市全体消费者中随机抽取1 人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率
；
(2)假设该市
社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为
，从
社区的全体消费者中随
机抽取1 人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为
，试比较
与
的大小；
(3)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2 人，记
为这4 人中愿意购买插电混动版
（PHEV）的人数，求
的分布列和数学期望
.
