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专题2.5 点到直线的距离
教学目标
1.理解点到直线距离的概念;
2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中:
3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。
教学重难点
教学重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用
教学难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式
知识点01 两点间的距离公式
平面上任意两点
，
间的距离公式为
特别地，原点
与任一点
的距离
【即学即练】过点
，
的直线的斜率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 点到直线的距离公式
平面上任意一点
到直线：
的距离
【即学即练】点
到直线
的距离为
知识点03 两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线
：
（
）和
：
（
）间的距离
【即学即练】直线
与直线
间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．１
知识点04 对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点
关于点
的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点
关于直线：
的对称点
①设
中点为
利用中点坐标公式得
，将
代入直线：
中；
②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求
关于点
的对称直线
，则
）
方法一：在直线
上找一点
，求点
关于点
对称的点
，根据
，再由点斜式求解；
方法二：由
，设出
的直线方程，由点
到两直线的距离相等
求参数.
方法三：在直线
任意一点
，求该点关于点
对称的点
，则该点
在
直线
上.
4、直线关于直线对称问题
4.1 直线
：
（
）和：
（
）相交,求
关于
直线的对称直线
①求出
与的交点
②在
上任意取一点
(非
点），求出
关于直线的对称点
③根据
，
两点求出直线
4.2 直线
：
（
）和：
（
）平行,求
关于
直线的对称直线
①
②在直线
上任取一点
，求点
关于直线的对称点
，利用点斜式求直线
.
【即学即练】点
关于直线
的对称点坐标是 .
题型01 求直线交点坐标
【典例1】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)
；
(2)
．
【变式1】直线
与直线
互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】直线
与直线
的交点坐标为
【变式3】（1）求直线
与
的交点的坐标；
（2）求两条直线
与
间的距离.
【变式4】回答下面两题
(1)求直线：
，
：
的交点坐标；
(2)求点
到直线：
的距离；
题型02 由方程组解的个数判断直线的位置关系
【典例1】判断下列各对直线是否平行：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【变式1】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标.
(1)
，
；
(2)
，
.
【变式2】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
直线
：
（
）和
：
（
）的公共点的坐标
与方程组
的解一一对应.
与
相交
方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与
平行
方程组无解；
与
重合
方程组有无数个解.
题型03 由直线交点的个数求参数
【典例1】已知直线
与直线
．
(1)当
为何值时，与
相交；
(2)当
为何值时，与
平行，并求与
的距离；.
【变式1】已知直线
与直线
．
(1)当m 为何值时，与
相交；
(2)当m 为何值时，与
平行，并求与
的距离；
(3)当m 为何值时，与
垂直．
题型04 由直线的交点坐标求参数
【典例1】若直线
经过两直线
和
的交点，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式1】两条直线
和
的交点在第二象限，则m 的取值范围是（ ）
A．(
,
)
B．(
,0)
C．(0,
)
D．(
)
【变式2】直线
与
的交点坐标为
，则
，
．
【变式3】已知直线
和
的交点在第四象限，则
的取值范围为 .
【变式4】已知直线
经过两直线
和
的交点，则
的值等于 .
题型05 三线围成三角形问题
【典例1】已知三条直线
，
，
不能构成三角形，则实数m 的取值
集合为 ．
【变式1】已知三条直线
，
，
不能围成三角形，则实数
的取值
集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知直线
和
与x 轴围成的三角形是等腰三角形，则k 的取值不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若三条直线
与
能围成一个直角三角形，则
．
【变式4】已知三条直线
、
、
不能围成一个三角形，则实数
的值
为 ．
题型06 直线交点系方程及其应用
【典例1】已知直线l 经过直线2x＋y－5＝0 与x－2y＝0 的交点P，且斜率为2.
(1)求直线l 的方程；
(2)求点
到直线l 的距离.
【变式1】已知直线
恒过定点P，则点P 关于直线
的对称点的坐标是
．
【变式2】已知直线
，直线
过与
的交点且过点
，求
的方
程．
【变式3】求经过直线
和直线
的交点C，并且满足下列条件的直线方程.
(1)与直线
平行；
(2)到原点的距离等于1.
题型07 求两点间的距离公式
【典例1】求下列两点间的距离：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
.
【变式1】已知
与
两点间的距离为4，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【变式2】过点
的直线的斜率为
，则
（ ）
A．10
B．
C．
D．180
题型08 距离公式的应用
【典例1】函数
的最大值为 .
【变式1】已知点
在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式2】已知点
为直线
上的动点
，则
的最小
值为（ ）
A．5
B．6
C．
D．
【变式3】函数
的最小值为 ．
【变式4】已知
，则
的最小值 .
题型09 求点到直线的距离
【典例1】点
到直线
的最大距离为（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【变式1】已知点
，直线
，则点
到直线的距离为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
【变式2】平面直角坐标系中，点
到直线
的距离为 .
【变式3】点
到直线
的距离为 ．
【变式4】点
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
题型10 已知点到直线的距离求参数
【典例1】垂直于直线
且与点
的距离是
的直线l 的方程是 ．
【变式1】若点
，
到直线
的距离相等，则
（ ）
A．4
B．
C．4 或
D．
或
【变式2】若点
到直线l：
的距离为
，则
（ ）
A．5
B．
C．5 或
D．
或15
【变式3】已知点
在直线
上，若
的最小值为4，则
．
【变式4】已知点
到直线
的距离比为
，则
.
题型11 求点关于直线的对称点
【典例1】点
关于直线
的对称点坐标为 ．
【变式1】点
关于直线
的对称点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】点
关于直线
的对称点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】点
关于直线
的对称点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】点
关于直线
对称的点的坐标为 ．
求点
关于直线：
的对称点
①设
中点为
利用中点坐标公式得
，将
代入直线：
中；
②
整理得：
题型12 求到两点距离相等的直线方程
【典例1】已知点
，直线过点
，
(1)若A 到直线距离为2，求直线的方程；
(2)若A、B 到直线距离相等，求直线的方程.
【变式1】若点
，
到直线
的距离相等，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或2
【变式2】点
，
到直线
的距离相等，则
.
【变式3】已知直线经过点
，且点
到直线的距离相等，则直线的方程为
.
【变式4】过点
且和
的距离相等的直线方程是 ．
题型13 直线关于直线对称
【典例1】求直线
关于直线
对称的直线方程．
【变式1】已知直线l：
与直线
关于直线
对称，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】与直线
关于
轴对称的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】直线
关于直线
对称的直线方程 .（用一般式方程表
示）.
【变式4】若直线
与直线
关于
轴对称，则
.
直线关于直线对称问题
1 直线
：
（
）和：
（
）相交,求
关于直
线的对称直线
①求出
与的交点
②在
上任意取一点
(非
点），求出
关于直线的对称点
③根据
，
两点求出直线
2 直线
：
（
）和：
（
）平行,求
关于直
线的对称直线
①
②在直线
上任取一点
，求点
关于直线的对称点
，利用点斜式求直线
.
题型14 平行线间的距离问题
【典例1】若直线
与直线
平行，则这两条直线间的距离为
．
【变式1】已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式2】直线
与直线
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若直线
与直线
之间的距离为
，则实数
的值为 ；
【变式4】已知平行直线
，则与
的距离是 .
题型15 直线关于点对称的直线
【典例1】与直线
关于点
对称的直线方程是 .
【变式1】已知直线
与直线
关于点
对称，则
恒过的定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知直线
与直线
关于点
对称，则实数
的值为（ ）
A．2
B．6
C．
D．
【变式3】与直线
关于点
对称的直线的方程为 .
【变式4】已知直线的方程为
，点
的坐标为
.
(1)若直线
与关于点
对称，求
的方程;
(2)若点
与
关于直线对称，求
的坐标.
方法一：在直线
上找一点
，求点
关于点
对称的点
，根据
，再由点斜式求解；
方法二：由
，设出
的直线方程，由点
到两直线的距离相等
求参数.
方法三：在直线
任意一点
，求该点关于点
对称的点
，则该点
在
直线
上.
题型16 将军饮马问题
【典例1】唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐
含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮
马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将
军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为
.
【变式1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐
含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮
马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将
军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线的方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为
几何问题加以解决.例如，与
相关的代数问题，可以转化为点
与点
之间的
距离的几何问题.结合上述观点，函数
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．
【变式3】唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐
含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮
马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将
军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河
边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是
．军营所
在位置为
，河岸线所在直线的方程为
，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将
军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
1．直线
与直线
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．已知点
关于直线对称的点为
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．平行直线
与
之间的距离是（ ）
A．1
B．4
C．3
D．
4．与直线
关于x 轴对称的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．点
到直线
的最大距离是（ ）
A．
B．2
C．
D．不存在
6．已知
，
，
，
均为实数，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
7．已知直线
与直线
关于直线
对称，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．点
到直线
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）已知
为坐标原点，若直线上存在点P，使得
，则称该直线为“1 距直线”，下列直
线是“1 距直线”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）若点
和点
关于直线
对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知
在直线
上，则
的最小值为 ．
12．已知点
和直线
，则点P 到直线l 的距离最大值为 ．
13．已知直线：
.
(1)若直线垂直于直线：
，求
的值；
(2)求证：直线经过定点；
(3)当
时，求点
关于直线的对称点
的坐标.
14．（1）已知三角形的三个顶点是
，
，
，边
上的高所在直线为，求直线关于
点
对称的直线
的方程.
（2）已知两条直线
，若
，求
的值.
