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专题13 双曲线的标准方程
题型一：双曲线定义的理解
题型二：利用双曲线定义求方程
题型三：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
题型四：利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
题型五：判断方程是否表示双曲线
题型六：求双曲线方程
题型七：双曲线中的轨迹方程问题
题型八：双曲线中的焦点三角形问题
题型一：双曲线定义的理解
1．已知
是双曲线
上的动点，则
到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．双曲线
的两个焦点分别是
与
，焦距为8；M 是双曲线上的一点，且
，则
的值为（ ）.
A．9
B．1
C．1 或9
D．2
3．（多选）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
是一个动点，则（ ）
A．若
，则点
的轨迹为椭圆
B．若
，则点
的轨迹为双曲线
C．若
，则点
的轨迹为直线
D．若
，则点
的轨迹为两条射线
4．已知双曲线C：
的两个焦点为
，
，双曲线C 上有一点P，若
，则
．
5．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
上有一点
到左焦点
的距离为9，则点
到
的距离是 .
6．已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，并且经过
点，则
＝
题型二：利用双曲线定义求方程
7．已知
，
，动点
满足
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．化简方程
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知圆
和圆
，动圆
同时与圆
及圆
相外切，则动圆圆心
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知点
，若动点
满足
，则点
的轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．在平面直角坐标系中，已知
的顶点
，其内切圆圆心在直线
上，则顶点
的
轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知圆
，圆
，动圆
与圆
都外切，则动圆圆心
的轨迹
方程为 .
13．在平面直角坐标系
中，已知点
点
的轨迹为
.则
的方
程为 .
题型三：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
14．双曲线
：
上的点
到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ）
A．9
B．7
C．9 或29
D．7 或19
15．设
是双曲线
上一点，
分别是双曲线的左，右焦点，若
，则
等于（ ）
A．2
B．18
C．2 或18
D．以上均不对
16．双曲线
上的点
到点
的距离为
，则点
到点
的距离为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
17．已知
为曲线
上任意一点，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，点
在双曲线的右半支上，点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．6
D．
19．已知点
是双曲线
的上焦点，
是
下支上的一点，点
是圆
上
一点，则
的最小值是 .
题型四：利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
20．已知
是双曲线
的下焦点，
，
是双曲线上支上的动点，则
的最小值为
（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
21．过双曲线
的右支上一点
，分别向圆
和圆
作切线，切
点分别为
、
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．15
22．设点
为双曲线
右支上的动点，
为该双曲线的右焦点，已知点
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．
是双曲线
的右支上一点，
、
分别是圆
和
上的点，则
的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
24．双曲线
的左焦点为F，点
，若P 为C 右支上的一个动点，则
的最小值
为 ．
25．已知
是双曲线
的右焦点，
是
左支上一点，
是圆
上一点，
则
的最小值为 .
26．已知F 是双曲线
的右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆
上一
动点，则
的最小值为 .
27．已知双曲线E：
的左焦点为F，点M 是E 右支上的动点，点N 是圆
上的动点，
则
的最大值为 .
题型五：判断方程是否表示双曲线
28．对于方程
，表示的曲线
，下列说法正确的是 （ ）
A．曲线
只能表示圆、椭圆或双曲线
B．若
为负角，则曲线
为双曲线
C．若
为正角，则曲线
为椭圆
D．若
为椭圆，则曲线
的焦点在
轴上
29．（多选）在平面直角坐标系
中，若一曲线的方程为
，则（ ）
A．当
时，该曲线为椭圆
B．当
时，该曲线为焦点在
轴上的双曲线
C．当
时，该曲线为焦点在
轴上的双曲线
D．无论
取何值，该曲线不可能为等轴双曲线
30．（多选）已知
，曲线
：
，则（ ）
A．当
时，
是
轴
B．当
时，
是椭圆
C．当
时，
是双曲线，焦点在
轴上
D．当
时，
是双曲线，焦点在
轴上
31．（多选）已知方程
表示的曲线为
，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当
时，曲线
是椭圆
B．当
或
时，曲线
是双曲线
C．若曲线
是焦点在
轴上的椭圆，则
D．若曲线
是焦点在
轴上的双曲线，则
32．（多选）已知方程
表示的曲线为
，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当
时，曲线
是椭圆
B．当
或
时，曲线
是双曲线
C．若曲线
是焦点在
轴上的双曲线，则
D．若曲线
是焦点在
轴上的椭圆，则
33．（多选）已知A､B 两点的坐标分别是
，
，直线AP､BP 相交于点P，且两直线的斜率之积
为m，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，点P 的所在的曲线是焦点在x 轴上的双曲线
B．当
时，点P 的所在的曲线是焦点在y 轴上的双曲线
C．当
时，点P 的所在的曲线是焦点在y 轴上的椭圆
D．当
时，点P 的所在的曲线是圆
题型六：求双曲线方程
34．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过点
，且
；
(2)经过点
、
．
35．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
，焦点在
轴上，且过点
；
(2)经过两点
，
.
36．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在
轴上，
，经过点
；
(2)经过
、
两点．
(3)过点
，且与椭圆
有相同焦点双曲线方程.
37．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在
轴上，经过点
和点
．
(3)经过点
和
．
(4)已知与椭圆
共焦点的双曲线过点
38．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
，
，焦点在x 轴上；
(2)
，经过点
，焦点在y 轴上．
39．写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)两个焦点在坐标轴上，且经过
和
两点的椭圆方程；
(2)过点
，且与椭圆
有相同焦点双曲线方程.
题型七：双曲线中的轨迹方程问题
40．已知
，
，直线
相交于点
，且直线
与直线
的斜率之积为1，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
41．设
两点的坐标分别为
，
，直线
与
相交于点
，且它们的斜率之积为
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
42．已知
，圆
，动圆
经过
点且与圆
相切，则动圆圆心
的轨迹方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
43．已知
的两个顶点A，B 的坐标分别是
、
，且
，
所在直线的斜率之积等于2，
则顶点C 的轨迹方程是（ ）
A．
（
）
B．
C．
D．
（
）
44．在平面直角坐标系中，已知
的顶点
，
，其内切圆圆心在直线
上，则顶点C
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
45．点P 到点
的距离与它到点
的距离的差等于16 的轨迹方程为 ．
46．已知圆
，圆
，动圆
与圆
、圆
都外切．圆心
的轨迹为曲
线
.求
的方程；
47．已知
中的两个顶点是
，
边与
边所在直线的斜率之积是
，求顶点
的
轨迹．
题型八：双曲线中的焦点三角形问题
48．已知
是双曲线
的左，右焦点，点
在双曲线上，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
49．设
满足
，且
，则
的面积为（ ）
A．3
B．
C．9
D．
50．如图，
、
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线与双曲线分别交于点
、
，
若
为等边三角形，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
51．设
，
分别是双曲线
的下、上焦点，
是该双曲线上的一点，且
，则
的面积等于（ ）
A．12
B．24
C．
D．
52．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
52．已知双曲线C：
的左右焦点为
，过
的直线与双曲线
的右支交于
两点，若
，则
的周长为（ ）
A．12
B．14
C．10
D．8
53．若
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在双曲线上，且
，离心率为
，则
的面积为 .
54．双曲线
的左，右焦点分别为
，点
在双曲线右支上，若
，则
.
