文档文本内容
专题1.5 直线与平面的夹角
教学目标
理解直线与平面所成的角的概念，会作出斜线与平面所成的角；
了解直线与平面所成的角的性质，能够利用性质处理简单的线面角问题；
培养读图、作图能力，培养空间想象力。
教学重难点
教学重点：斜线与平面所成的角的概念与性质
教学难点：斜线与平面所成的角的概念，最小角定理
知识点01 直线与平面的夹角
1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.
2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.
3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的
夹角）
知识点02 用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，直线与平面所成的角为
，
与
的角为
，则有
①
②
. （注意此公式中最后的形式是：
）
【即学即练】如图，在正方体
中，
为
的中点，则直线
与平面
所成角的正
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 定义法求直线与平面所成角
【典例1】如图，在三棱锥
中，
底面
，
，
是
的中点.
(1)求证：
平面
.
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值.
【变式1】在正方体
中，E 是
的中点，则直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【变式2】如图，在四棱锥
中，底面
是边长为a 的正方形，
平面
．若
，则直线
与平面
所成的角的大小为 ．
【变式3】如图，已知在正三棱柱
中，D 为棱AC 的中点，
，则直线BC 与平面
所成角的正弦值为 .
【变式4】如图，在四面体
中，
，点
为线段
的中
点，且
.
(1)证明：直线
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
题型02 向量法求直线与平面所成角
【典例1】在正方体
中，F 是BC 的中点，点E 在棱
上，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为 ．
【变式1】如图，在四棱台体
中，
平面ABCD，底面ABCD 为正方形，
，P 为线段
的中点，直线
与平面
所成角的大小为 .
【变式2】已知四棱柱
的底面是正方形，
，
，点
在底面
的射影
为
中点H，则直线
与平面
所成角的正弦值为 ．
【变式3】已知长方体
中，
，则CD 与平面
所成角的正弦值等
于 .
【变式4】如图，正四棱柱
中，设
，点
在线段
上，且
，
则直线
与平面
所成角的正弦值是 .
题型03 根据线面角求参数
【典例1】在五棱锥
中，
，
，平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)若
，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【变式1】如图所示，在边长为2 的正方体
中，
分别是棱
上的点（异于端
点），且
．
(1)证明：
与
相交且交点在直线
上．
(2)当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，求
的值．
【变式2】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形
与
均为直角梯形，
平
面
，
．
(1)已知点G 为AF 上一点，且
，求证：BG 与平面DCE 不平行；
(2)已知直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为
，求AF 的长及四棱锥D－ABEF 的体积．
【变式3】如图，在五面体
中，底面
为正方形，侧面
为等腰梯形，二面角
为直二面角，
.
(1)求点
到平面
的距离；
(2)设点
为线段
的中点，点
满足
，若直线
与平面
及平面
所成的角
相等，求
的值.
【变式4】如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，平面
平面
，
，
．且
(1)证明：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求点C 到平面
的距离．
题型04 直线与平面所成角的最值（范围）问题
【典例1】已知正方体
棱长为1，点E 为正方形
内（含边界）一动点．
(1)若
，证明：面
面
；
(2)若面
面
，求直线EB 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值．
【变式1】如图，在正方体
中，O 是AC 中点，点P 在线段
上，若直线OP 与平面
所成的角为θ，则
的取值范围是 ．
【变式2】已知棱长为1 的正四面体
，
的中点为
动点
在线段
上，则直线
与平面
所成角的正切值的取值范围是
【变式3】直三棱柱
中，
，
，点E 在棱
上，
．
若平面
平面
，点Q 是上异于点B 的动点．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
【变式4】如图，在四棱锥
中，
平面PAD，
．
(1)证明：
平面ABCD；
(2)若底面ABCD 是正方形，
，E 为PB 中点，点F 在棱PD 上，且异面直线AF 与PB 所成的角
为60°．
（ⅰ）求
的长度；
（ⅱ）平面AEF 交PC 于点G，点M 在线段PB 上，求EG 与平面
所成角的正弦值的取值范围．
题型05 直线与平面所成角的探索性问题
【典例1】如图，在正三棱台
中，
，侧棱长为2，P 为棱
上的动点.
(1)求证：
平面
；
(2)是否存在点P，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出点P；若不存在，请
说明理由.
【变式1】如图，在几何体
中，四边形
与
均为菱形，
，且
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)设点
满足
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求实数
的值．
【变式2】如图，在矩形
中，
，
，
为EC 中点，将
沿AD 翻折至
，使得
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)线段PB 上是否存在一点
，使得AT 与平面PAD 所成角的正弦值为
，若存在，求出
的值；若不
存在，请说明理由.
【变式3】图1 是边长为的等边三角形
，点
、
分别在
、
上，且
．将
沿
折起到
的位置，连接
、
，如图2，若
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使直线
与平面
所成的角为
？若存在，求
的长；若不存在，
请说明理由．
【变式4】如图，三棱柱
中，平面
平面
，
，点
是棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求出
的值，若不存在说明理由.
1．若直线l 的一个方向向量为
，平面
的一个法向量为
，则l 与
所成的角为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．设
为实数，若直线垂直于平面
，且的方向向量为
，平面
的法向量为
，则
的
值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．已知
，
，
，则平面
的法向量与
的夹角的余弦值为
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
4．已知直平行六面体
中，
，则直线
与
所成角的余
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
5．在三棱锥
中，
，
，
，
，则
与平面
所成角的正
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知在四面体
中，
为等边三角形，且
，则
与平面
所成角正切值的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）在棱长为2 的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中点，则下列选项中
正确的为（ ）
A．直线
与
所成角的余弦值为
B．
平面
C．
D．直线
与平面
所成角的正弦值为
8．（多选）如图，棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为正方形
内一个
动点（包括边界），且
平面
，则下列说法正确的有（ ）
A．动点
轨迹的长度为
B．
与
不可能垂直
C．直线
与平面
所成角正弦值的最小值为
D．当三棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积为
9．如图所示，在棱长为
的正方体
中，
是棱
的中点，
，若异
面直线
和
所成角的余弦值为
，则
的值为 .
10．如图，在棱长为
的正方体
中，
为线段
的中点，
为
上的一动点（含端
点），当直线
与平面
所成角取得最大值时，
的长度为 .
11．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是边长为1 的正方形，
，
，
，
E 为线段PD 的中点.
(1)证明：直线
平面ACE；
(2)求直线PC 与平面ACE 所成角的余弦值.
12．如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段
为圆锥底面
的直径，点
在线段
上，且
，点
是以
为直径的圆上一动点.
(1)当
时，证明:平面
平面
；
(2)当三棱锥
的体积最大时，求
与平面
所成角的正弦值.
13．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为平行四边形，
，二
面角
的大小为
．
(1)求线段
的长．
(2)若
，且
，则在线段
上是否存在点
，使得直线BE 与平面PDC 所成的角的正弦值
为
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由．
