文档文本内容
专题1.7 空间中的距离
教学目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离
问题；
2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用；
3.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的
解决；
4.归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养.
教学重难点
重点：点到直线的距离的向量表示与点到平面的距离的向量表示.
难点：点到在线的距离、点到平面的距离、两条平行直线之间的距离、直线到平面的
距离之间的相互转化.
知识点01 两点间的距离
1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=❑√( x1−x2）
2+（y1−y2）
2+（z1−z2）
2
2 用向量表示 两点间距离⃗BA=(x1−x2,y1−y2,z1−z2),|AB|=
❑√( x1−x2）
2+（y1−y2）
2+（z1−z2）
2
知识点02 点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，
是直线上的定点，
是直线外一点.设
，则向量
在直线
上的投影向量
，在
中，由勾股定理得：
【即学即练】已知棱长为1 的正方体
，若点
在正方体内部且满足
，则点
到
的距离为 ．
知识点03 点到平面的距离
如图，已知平面
的法向量为
，
是平面
内的定点，
是平面
外一点.过点
作平面
的垂线
，交平面
于点
，则
是直线的方向向量，且点
到平面
的距离就是
在直线上的投影向量
的长度.
【即学即练】已知平面
的一个法向量为
，点
在
外，点
在
内，且
，则
点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 线面间的距离
1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之
间的距离，
2.公式：如果直线l 与平面α 平行，n 是平面α 的一个法向量，A、B 分别是l 上和α 内
的点，则直线l 与平面α 之间的距离为d ＝
．
知识点05 面面间的距离
1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行
平面之间的距离．
2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平
面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
3.公式：如果平面α 与平面β 平行，n 是平面β 的一个法向量，A 和B 分别是平面α 和
平面β 内的点，则平面α 和平面β 之间的距离为
d ＝
．
【即学即练】设正方体
的棱长为2，求平面
与平面
之间的距离．
题型01 点到平面距离的向量求法
【典例1】如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，M 为棱
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，在棱
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离是
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由．
【变式1】若平面
的一个法向量为
且该平面过点
，则点
到平面
的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，侧棱
⊥底面
，且PC=3.
(1)证明：平面PCD⊥平面PAD；
(2)求点B 到平面PAD 的距离.
【变式3】如图，正四棱柱
中，
，
，点M，N 分别是棱
，
的中
点．
(1)求证：直线
平面
；
(2)求点B 到平面
的距离．
【变式4】如图，在正三棱柱
中，
，
分别为
的中点．
线段
上是否存在点
，使得
？若存在，求出点
到平面
的距离；若不存在，说明理
由．
题型02 平行平面距离的向量求法
【典例1】已知正方体
的棱长为4，设M、N、E、F 分别是
，的中
点，求平面AMN 与平面EFBD 的距离．
【变式1】正方体
的棱长为1，则平面
与平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在边长为1 的正方体
中．平面
与平面
之间的距离为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式3】如图所示，在直三棱柱
中，
，点E 在线段
上，且
，D、F、G 分别为
的中点．
(1)求证：
平面ABD；
(2)求证：平面EGF
平面ABD；
(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离．
【变式4】如图，正方体
的顶点坐标为
，
，
，
，求平
面
与平面
之间的距离．
平行平面间的距离转化为其中一个 平面内任意一点到另一平面的距离，转化为点
到平面距离问题
题型03 点到直线距离的向量求法
【典例1】已知直三棱柱
中，
，
，则点
到直线
的距
离为 .
【变式1】在长方体
中，
，点E 在棱BC 上，且
，点G 为
的重心，则点G 到直线AE 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】四面体
满足
，
，
，
，设
、
、
的
中点分别为
、
、
，则点
到直线
的距离为 .
【变式3】已知
，
，
，则点C 到直线
的距离为 .
【变式4】已知直三棱柱
中，
，
，侧棱
，若点
，
分别
是线段
，
的中点，则点
到直线
的距离是 ．
题型04 异面直线间距离的向量求法
【典例1】在四棱锥
中，
平面
，
，则
与
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】正四棱锥
中，
为顶点在底面
内的正投影，
为侧棱
的中点，且
，则异面直线
与
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在
长方体
中，
，
，
，则异面直线
与
之间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】在直四棱柱
中，底面
为菱形，
，
，
为棱
的中
点，
，
分别为直线
，
上的动点，则线段
的长度的最小值为 .
【变式4】已知正四棱柱
的体积为4，侧面积为8，动点
分别在线段
上，则
线段
长度的最小值是 ．
题型05 空间线段点的存在性问题
【典例1】如图，等边三角形ABC 的边长为，
，
分别为所在边的中点，
为线段
的中点，现将
三角形
沿直线
折起，使得二面角
为直二面角．
(1)求线段
的长度；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)棱
上是否存在异于端点的点
，使得点
到平面
的距离为
．若存在，请指出点
的位
置；若不存在，请说明理由．
【变式1】已知四棱锥
的底面
是直角梯形，
，
，
，
，E 为
的中点，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，
与平面
所成的角为
，
（I）求三棱锥
的体积；
（II）试问在侧面
内是否存在一点
，使得
平面
?若存在，求出点
到直线
的距离；若
不存在，请说明理由.
【变式2】如图，在长方体
中，
，
，
，
，
分别是棱
，
，
的中点．
(1)请判断直线
与平面
是否垂直，并证明你的结论；
(2)求直线
与半面
所成角的正弦值；
(3)在线段
上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离是
，若存在，求出
的值；若不存
在，说明理由．
【变式3】如图，在四棱锥
中，平面
平面
为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，
（i）求二面角
的余弦值；
（ii）在棱
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离是
？若存在，求出
的长；若不存在，
说明理由.
【变式4】如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
为棱
的中点．
(1)求平面
与平面
的夹角余弦值；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存在，
说明理由．
1．若平面
过点
且该平面的一个法向量为
，则点
到平面
的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点
在平面α 内，点
在平面α 外，且平面α 的一个法向量为
，则点
到平
面α 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知空间中向量
=（0，1，0），向量
的单位向量为（
），则点B 到直线AC 的距
离为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在空间直角坐标系中，已知
，
，
，则点
到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在四棱锥
中，
，
，
，则该四棱锥的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在棱长为1 的正方体
中，点P，Q 分别为平面
，平面
的中心，则点B
到平面APQ 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）在空间直角坐标系
中，
，则（ ）
A．
B．
C．异面直线
与
所成角的余弦值为
D．点
到直线
的距离是
8．（多选）如图，已知正方体
的边长为2，
分别为
的中点，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
平面AEF
C．异面直线
与EF 所成角的余弦值为
D．点
到平面AEF 的距离为2
9．已知四边形
为矩形，
为四边形
外一点且
平面ABCD，
，
，
，
则异面直线
与
之间的距离为 ．
10．如图，在长方体
中，
，
，
为底面
的中心，则点
到直
线
的距离为 .
11．如图，已知正四棱柱
的底面边长为2，侧棱
，
、
分别是
、
延长线
上的点，且
，
．
(1)求平面
与平面
的夹角的正弦值；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
12．如图，已知四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
平面
是正三角
形，
分别为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)线段
上是否存在点
，使得三棱锥
的体积为
，若存在，求
的值；若不存在，说明
理由.
