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专题1.1 集合及其表示方法
教学目标
1.掌握用列举法和描述法表示集合；
2.能够用区间表示集合．
3.在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表
示，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的直观想象素养；对描述法的理
解，提升学生的数学抽象素养．对给出的集合进行化简运算后用区间表示，提升学生
的数学运算素养．
教学重难点
教学重点：集合的表示、区间．
教学难点：对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合．
知识点01 集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母
,
,
,…表示.
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母
,
,
,…表示集合.
知识拓展集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“ 全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，
那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【即学即练】（25-26 高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）
（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；
（3）北京市中考分数580 以上的同学； （4）中国古代四大发明；
（5）我国的大河流； （6）大于3 的偶数．
A．2
B．3
C．4
D．6
知识点02 元素与集合的关系
(1)属于(belong to)：如果
是集合
的元素，就说
属于
，记作
.
(2)不属于(not belong to)：如果
不是集合
的元素，就说
不属于
，记作
.
特别说明：
表示一个元素，
表示一个集合.它们间的关系为：
.
【即学即练】（24-25 高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点03 集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不
在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是
说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性
质称为集合元素的无序性.
【即学即练】（24-25 高一上·陕西渭南·阶段练习）若
，
的值为 .
知识点04 集合的表示方法与分类
1 常用数集及其符号
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
数学符合
或
2 集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“
”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设
表示一个集合，把集合
中所有具有共同特征
的元素
所组成的集
合表示为
，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在
竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）
（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为
图。
3
集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程
的实数解组成的集合，其中元素的个数为
有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在
图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式
的解组成的集合，其中元素的个数为无
限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练】（24-25 高一上·福建泉州·期中）方程组
的解集为 .
知识点05 区间的概念
1 区间的概念
设
，
是实数，且
，满足
的实数
的全体，叫做闭区间，
记作
，即，
。如图：
，
叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若
区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．
集合
区间
2 含有无穷大的表示
全体实数也可用区间表示为
，符号“
”读作“正无穷大”，“
”读作“负无穷大”，即
。
集合
区间
【即学即练】（25-26 高一上·全国·课后作业）将数集
用区间表示为 ．
题型01 判断元素是否构成集合
【典例1】（24-25 高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法：
①所有接近于
的数构成一个集合；
②
年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于的自然数构成一个集合；
⑤，
，
，
组成的集合含有
个元素．
其中正确的是（ ）
A．①②④
B．②③⑤
C．③④⑤
D．②④
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（ ）
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8 的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
【变式2】（24-25 高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（ ）
A．著名物理家
B．很大的数
C．聪明的人
D．小于3 的实数
【变式3】（24-25 高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．学校篮球水平较高的学生
B．校园中长的高大的树木
C．2007 年所有的欧盟国家
D．中国经济较发达的地区
【变式4】（24-25 高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（ ）.
A．最大的正实数
B．最小的整数
C．平方等于1 的实数
D．最接近1 的实数
题型02 判断是否为同一集合
【典例1】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（ ）
A．
与
表示同一个集合；
B．方程
的所有解的集合可表示为
；
C．由3，4，5 组成的集合可表示为
或
；
D．很小的实数可以构成集合．
【变式1】（2024 高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式2】（2024 高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．1 与
表示同一个集合
B．由1，2，3 组成的集合可表示为
或
C．方程
的所有解的集合可表示为
D．集合
可以用列举法表示
【变式3】（多选）（24-25 高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ）
A．10 以内的质数组成的集合是
；
B．由2，3 组成的集合可表示为
或
；
C．方程
的所有解组成的集合是
；
D．
与
表示同一个集合.
【变式4】（多选）（21-22 高一上·福建福州·阶段练习）下列各组中M、P 表示不同集合的是（ ）
A．
，
B．
C．
，
D．
，
题型03 判断元素与集合的关系
【典例1】（24-25 高一下·湖南娄底·阶段练习）集合
，则下列表示正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26 高一上·全国·课后作业）已知集合
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（25-26 高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·辽宁·三模）已知集合
，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：①若
，则
；
②若
，则
.下列说法中正确的有（ ）.
A．
.
B．
.
C．若
，则
.
D．若
，则
.
题型04 根据元素与集合的关系求参数
【典例1】（多选）（24-25 高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合
，且
，则
的可能取值有（ ）
A．1
B．－1
C．3
D．2
【变式1】（25-26 高一上·全国·课后作业）已知集合
，若
且
，则实数m 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）设集合
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·陕西·阶段练习）若
，则a 的值为（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
【变式4】（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，且
，求x 的值.
注意回代检验答案是否满足集合元素的互异性。
题型05 根据集合元素的个数求参数
【典例1】（25-26 高一上·全国·课后作业）已知集合
．
(1)若集合
中只有一个元素，求实数
的值；
(2)若集合
中至多有一个元素，求实数
的取值范围；
(3)若集合
中有两个元素，求实数
的取值范围．
【变式1】（25-26 高一上·全国·课后作业）已知集合
中只有一个元素，则
实数a 的所有可能值的乘积为（ ）
A．
B．-1
C．1
D．
【变式2】（24-25 高一下·云南红河·开学考试）若集合
中只有一个元素，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（24-25 高一上·江西赣州·阶段练习）若集合
有且只
有一个元素，则实数
的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三下·辽宁·阶段练习）已知集合
恰有一个元素，则k 的取值集
合为
当最高项系数含参数时，容易忽略考虑最高项系数为0 时的情
况。
题型06 根据集合元素的互异性求参数
【典例1】（多选）（24-25 高一上·江西上饶·阶段练习）若集合
，则实数
的取值可
以是（ ）
A．2
B．3
C．
D．5
【变式1】已知
，则实数
的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）若
，则
的可能取值有（ ）
A．0
B．0，1
C．0，3
D．0，1，3
【变式3】（24-25 高一上·江苏扬州·期中）集合
中的
不能取的值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式4】（多选）（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）若集合
，则实数
的取值可
以是（ ）
A．2
B．3
C．
D．5
题型07 列举法与描述法
【典例1】（24-25 高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合：
（1）
；
（2）
；
（3）所有被5 除余1 的正整数所构成的集合 ；
（4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ．
【变式1】集合
的另一种表示法是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（ ）
A．奇数集可以表示为
B．“小于10 的整数”构成的集合可以表示为
C．
表示大于2 的全体实数
D．不等式
的解集表示为
【变式3】（24-25 高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐标系中的x 轴上的点组成的集合；
(2)抛物线
上的点组成的集合；
(3)使函数
有意义的实数x 组成的集合．
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是
无限集．
(1)大于1 且小于70 的正整数构成的集合A；
(2)小于8 的质数组成的集合C；
(3)方程
的实数根组成的集合D；
(4)函数
图象上的所有点组成的集合E；
(5)不等式
的解组成的集合F．
题型08 区间与集合的转化
【典例1】（23-24 高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）区间
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一上·全国·课堂例题）用区间表示下列集合：
①
；
②
；
③
.
【变式3】（23-24 高一上·河北石家庄·期中）
用区间表示为 ；
用
区间表示为 ．
【变式4】（23-24 高一上·全国·课后作业）用区间表示下列集合：
（1）
： ；
（2）
： ；
（3）
： ；
（4）
： ．
一、单选题
1．（2025·四川成都·模拟预测）现有、、
、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个
不同的数（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·湖南·期中）已知集合
，则
的元素个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0
3．（24-25 高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·宁夏银川·一模）已知集合
，则集合
中元素的个数是
（ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
5．（24-25 高三上·河南周口·期中）已知集合
，则集合
中元素的个数
是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
6．（24-25 高一上·福建泉州·期末）给出下列6 个关系：①
，②
，③
，④
，⑤
，⑥
．其中正确命题的个数为（ ）
A．4
B．2
C．3
D．5
二、多选题
7．（25-26 高一上·全国·课后作业）若
，则
，就称A 是伙伴关系集合．集合
的所有非空子集中具有伙伴关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高一上·全国·课后作业）[多选题]已知集合
，则下列四个元素中属
于M 的元素的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．（24-25 高一上·上海徐汇·期末）设
是实数，集合
，若
，则
.
10．（24-25 高一上·北京房山·期中）已知
，集合
，且
，则
.
四、解答题
11．（23-24 高一上·福建福州·阶段练习）已知集合
．
(1)若
，求集合A（用列举法表示）；
(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．
12．（23-24 高一上·上海嘉定·阶段练习）由实数组成的集合A 具有如下性质：若
，
且
，那
么
.
（1）若集合A 恰有两个元素，且有一个元素为
，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0 的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
