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专题 1.2 集合的基本关系
教学目标
1．理解集合之间包含与相等的含义．
2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义．
3．能使用唯恩图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义．
5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想．
教学重难点
重点：集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别．
难点：元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系．
知识点01
图（唯恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为
图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用
图，可以使问题简单明了地得到解
决。
对
图的理解
(1)表示集合的
图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用
图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元
素的公共特征不明显.
知识点02 子集
一般地，对于两个集合
，
，如果集合
中任意一个
元素
都是集合
中的元素，我们就说这两个集合
有包含
关系
，称集合
为集合
的子集
（1）记法与读法：记作
( 或
)，读作“
含于
”
( 或“
包含
”
)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即
.
②对于集合
，
，
，若
，且
，则
（3）
图表示：
【即学即练】下列各式中，正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.
【详解】对于①，两个数集不能用
符号，应为
，①错误；
对于②，任何集合都是本身的子集，②正确；
对于③，空集是任何集合的子集，③正确；
对于④，集合
是数集，有2 个元素，集合
是点集，只有1 个元素，④错误；
所以正确的个数有2 个.
故选：B.
知识点03 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“
”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“
”表示元素与集合之间的从属关系.
知识点04 真子集的含义
如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集合
的真子集;
（1）记法与读法：记作
，读作“
真包
含于
”
( 或“
真包含
”
)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合
，
，
，若
，且
，则
（3）
图表示：
【即学即练】若
，则集合M 的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】因为
为M 的真子集，所以
，
且M 中至少还有一个元素．又
，所以
或
或
，故满足条件的集合M 有3 个．
知识点05 集合相等
一般地,如果集合
的任何一个元素都是集合
的元素,同时集合
的任何一个元素都是集合
的元素,那
么集合
与集合
相等,记作
.也就是说,若
,且
,则
.
（1）
的
图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练】下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解.
【详解】对于A 中，集合
与集合
中的元素完全相同，所以
，所以A 正确；
对于B 中，集合
表示由点
作为元素，构成的单元素集合，
集合
表示由点
作为元素，构成的单元素集合，
所以集合
与集合
不相等，所以B 不符合题意；
对于C 中，集合
表示由两个元素构成的数集；
集合
表示由点
作为元素，构成的单元素数集，
所以集合
与集合
不相等，所以B 不符合题意；
对于D 中，集合
表示直线
的点作为元素构成的无限点集，
集合
表示直线
的点的纵坐标作为元素构成的无限数集，
所以集合
与集合
不相等，所以B 不符合题意；
故选：A.
知识点06 空集的理解
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即
;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)
，则
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该
元素为：
关系
或者
【即学即练】已知集合
，下列选项中为
的元素的是（ ）
①
②
③
④
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【答案】B
【分析】由集合
即可直接判断；
【详解】集合
有两个元素：
和
.
故选：B
题型01 判断两个集合的包含关系
【典例1】已知集合
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐项分析判断.
【详解】因为集合
，
，
可知
，但
，所以集合A 不是
的子集，故AB 错误；
显然
，故C 错误，
且
，故D 正确；
故选：D.
【变式1】设集合
，则下列表示集合A 与B 的关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．A，B 的关系不确定
【答案】B
【分析】根据集合
中元素的特征分析做出判断．
【详解】集合A 中的元素为
的整数倍．
因为集合B 中的元素为
，所以集合B 中的元素为
的奇数倍，
所以
，且
，
故选：B．
【变式2】已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得
，结合选项逐项分析即可.
【详解】由题意可得：
，
所以
，
，
，
，即
不是集合M 的子集，
故B 正确，ACD 错误.
故选：B.
【变式3】以下关系①
；②
；③
；④
；⑤
中正确的
个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于①：因为0 是集合
的元素，所以
，故①正确；
对于②：因为
是集合
的元素，所以
，故②正确；
对于③：因为集合
的元素为0，1，集合的元素为
，两个集合的元素全不相同，所以
与
之间不存在包含关系，故③错误；
对于④：因为集合
的元素为
，集合
的元素为
，两个集合的元素不一定相同，所以
不一定相等，故④错误；
对于⑤，空集是任何集合的子集，则
，故⑤对；
综上所述：正确的个数为3.
故选：C.
【变式4】已知集合
，
，
，则
M，N，P 的关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.
【详解】由
，
又
，
，
而
为偶数，
和
为整数，所以
.
故选：B.
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】已知集合
，则集合
，且
的子集的个数为（ ）
A．7
B．8
C．4
D．6
【答案】B
【分析】根据题设有
则
，结合集合的描述得
，即可确定子集个数.
【详解】由
，则
，又
，且
所以
，故子集个数为
.
故选：B
【变式1】已知集合
，满足条件
的集合
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案.
【详解】由题可知集合
是集合
的非空真子集，故有
个.
故选：B.
【变式2】已知集合
，
，
，则集合C 的子集有（ ）
A．64 个
B．63 个
C．16 个
D．15 个
【答案】C
【分析】根据题意，求得集合
，结合集合子集个数的计算方法，即可求解.
【详解】由集合
，
，且
，
因为
，
，可得集合
，所以集合
的子集有
个.
故选：C.
【变式3】非空集合
，并且中的元素满足条件：如果
，则
，适合上述条件
的集合的个数是（ ）
A．4 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】C
【分析】依题意可得集合中的元素需从三个实数对
中选取若干个即可，通过列举可得
的个数.
【详解】由
，则
可知集合中的元素需从三个实数对
中选取若干个即可；
因此若中含有一组实数对，则
或
或
；
若中含有两组实数对，则
或
或
；
若中含有三组实数对，则
；
综上可知，适合上述条件的集合的个数是7 个.
故选：C
【变式4】已知集合
，
，则集合
的真子集个数为 .
【答案】7
【分析】由
，即
为奇数，求得集合
，即可得真子集的个数.
【详解】∵
，∴
为奇数，∴
，∴集合
中有3 个元素，∴集合
的真子集个数为：
.
故答案为：7.
若有限集
中有个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真子集有
个．
题型03 求集合中子集（真子集）
【典例1】已知
，
，若
，求实数
所构成的集合
，并写出
的
所有非空真子集．
【答案】答案见解析．
【分析】求出集合
，根据包含关系确定集合
，再由非空真子集定义写出结论．
【详解】由已知
，
时，
，
时，
时，
，
时，
，
，
综上
，
的所有非空真子集有
，
，
，
，
，
．
【变式1】集合
的子集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据集合子集的定义，即可求解.
【详解】由集合
，
根据集合子集的定义，可得
，
故选：D.
【变式2】若集合
，则集合
可用列举法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据子集关系分析求解即可.
【详解】因为
，则
，
所以
.
故选：D.
【变式3】设集合
，列出集合A 的子集.
【答案】A 的子集为
【分析】先由条件确定集合
的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.
【详解】由
化简可得
，
所以A 的子集为
【变式4】已知集合
，且
．
(1)求实数
的值；
(2)写出集合A 的所有子集．
【答案】(1)1
(2)
，
，
，
，
，
，
，
【分析】（1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集
合A，写出所有子集.
【详解】（1）∵
，
当
时，
，此时
，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当
时，
或
，当
时，
符合要求；当
时，
，此时集合A 中有两个
0，故舍去，综上：
（2）由（1）知，
，故A 的所有子集为：
，
，
，
，
，
，
，
题型04 空集的概念集判断
【典例1】（多选）给出的下列选项，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据集合与空集的性质逐个选项判断即可.
【详解】对于A，
不是
的元素，故不正确；
对于B，
是任何集合的子集，所以
是
的子集，故正确；
对于C，
是
的元素，故正确；
对于D，
是
的元素，故不正确；.
故选：BC
【变式1】下列各式中，正确的是（ ）
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A．②⑤⑦⑧
B．②⑤⑦
C．③⑤⑦⑧
D．①⑤⑥⑦
【答案】A
【分析】利用集合中元素的性质，元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可.
【详解】对于①②③，
是空集，空集是任意集合的子集，故
正确，余者不正确，故①③错误，
②正确；
对于④⑤，元素与集合之间的关系用“
”或“
”表示，故
不正确，
成立，故④错误，⑤
正确；
对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故
不正确，
正确，故⑥错
误，⑦正确；
对于⑧，由集合中元素的无序性，可知
，故
正确，故⑧正确；
综上：正确的命题有②⑤⑦⑧.
故选：A.
【变式2】（多选）下列表述正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
表示没有任何元素的集合
【答案】BD
【分析】根据元素和集合的关系判断AB 选项，根据空集的定义判断CD 选项.
【详解】A 选项，
是元素，
是集合，之间不能用
符号连接，A 选项错误；
B 选项，
集合中确实含有元素
，即
，B 选项正确；
C，D 选项，根据空集的定义，
表示没有任何元素的集合，D 选项正确，
而
是包含一个
元素的单元素集合，
，C 选项错误.
故选：BD
【变式3】（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】ABD 由空集定义可判断选项正误；C 由集合间关系可判断选项正误.
【详解】对于A，空集中不含元素，则
，故A 错
对于B，空集是任意集合的子集，则
，故B 对；
对于C，集合间有包含关系，不能用属于符号连接，故C 错；
对于D，对于方程
，
，
故方程
无解，即
，故D 对.
故选：BD
【变式4】（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A．
B．
⫋
C．
D．
【答案】BC
【分析】由元素与集合的关系判断AD；由空集的规定与真子集概念判断B；由子集的概念判断C.
【详解】对选项A，由
不是
的元素，故A 错误；
对选项B，由规定：空集是任何集合的子集，则
且存在
，故
⫋
，B 正确；
对选项C，由子集概念，
中的任意一个元素都是
的元素，则
，C 正确；
对选项D，由
不是
的元素，D 错误.
故选：BC
题型05 空集的性质及应用
【典例1】设集合
，
，若
，则
的值为 ．
【答案】0 或1 或
【分析】由
，按集合
的可能情况分类讨论求解可得．
【详解】由
，
方程
至多1 个解，故
.
，
或
或
，
①若
，则
；
②若
，则
；
③若
，则
，解得
；
综上可得，
或1 或
.
故答案为：0 或1 或
.
【变式1】关于x 的方程
的解集为空集，则k 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.．
【详解】方程
整理得
，
则有
，解得
且
，
由方程
的解集为空集，所以
，即
.
故选：D.
【变式2】设集合
，集合
，若
，则实数
取值集合的真子集的个数为
（ ）.
A．2
B．4
C．7
D．8
【答案】C
【分析】分
和
两种情况由
可求出
的值，从而可求出实数
取值集合，进而可求出其真子
集的个数.
【详解】当
时，
，满足
，
当
时，
，因为
，所以
或
，得
或
，
综上，实数
取值的集合为
，
所以实数
取值集合的真子集的个数为
，
故选：C
【变式3】已知a 是实数，若集合
是任何集合的子集，则a 的取值范围值是 .
【答案】
【分析】根据题意分析可知方程
无解，结合
判别式分析求解.
【详解】由题意可知：集合
是空集，即方程
无解，
则
，解得
，
所以a 的取值范围值是
.
故答案为：
.
【变式4】已知：集合
，
.
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若A 和B 有且只有一个是
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
或
.
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得.
【详解】（1）由
，得
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
（2）由A 和B 有且只有一个是
，得
且
或
且
，
则有
或
，解得
或
，
所以实数a 的取值范围是
或
.
①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)
，则
题型06 判断两个集合是否相等
【典例1】（多选）下列各组中M，N 表示不同集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】ABD
【分析】根据相同集合的概念和集合中元素的意义可直接得出结果.
【详解】对A：集合
中有两个元素，是数；集合
中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项
A 符合题意；
对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B 符合题意；
对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C 不合题意；
对D：集合
表示函数的值域，元素是数；集合
表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项
D 符合题意.
故选：ABD
【变式1】在下列集合的表示中，集合
与集合
表示同一集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】由集合相同概念逐个判断即可.
【详解】选项A 中的两个集合不是同一个集合，集合
中有两个元素，集合
中只有一个元素，故A 错
误；
选项B 中集合
是点集，集合
是数集，不是同一个集合，故B 错误；
选项C 中的两个集合都是数集，描述的都是大于1 的数，故C 正确；
选项D 中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点
与点
是不同的，故D 错误．
故选：C
【变式2】下列各式中，正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题.
【详解】因为
，故①错；
因为
，故②对；
因为
，故③对；
因为
且
，故④错；
因为
，故⑤错；
因为
，又
且
，故⑥错；
所以正确的个数为
个，故B 正确.
故选：B.
【变式3】下列选项中两个集合相等的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据集合的含义、集合相等的定义逐一判断可得选项.
【详解】解：对于A 选项，
，
，
，故A 不正确；
对于B 选项，
，
，故B 正确；
对于C 选项，
，
，
，故C 不正确；
对于D 选项，
与
中的元素不同，
，故D 不正确.
故选：B.
【变式4】（多选）下列各组中M，P 表示相同集合的是（ ）
A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z }
B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }
C．M = { x∣
∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N }
D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R }
【答案】ABC
【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P 都表示所以偶数组成的集合，A 正确，
对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }
，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }
，即B 正确，
对于C，M
，P
因此C 正确，
对于D，集合M 的元素是实数，集合P 的元素是有序实数对，因此D 不正确.
故选：ABC
如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集
（
），此时，集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
.
题型07 根据两个集合相等求参数
【典例1】若集合
，则
．
【答案】
或
【分析】由题意，方程
有唯一根，分
两种情况讨论，列出等量关系求解即可.
【详解】集合
，即方程
有唯一根
，
所以
或
，
解得
或
，
所以
或
.
故答案为：
或
.
【变式1】已知实数集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据
得到
，
或
，
，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到
，
，最后计算即可．
【详解】当
，
时，
，
或
任意，
（不符集合元素的互异性，舍）；
当
，
时，
，
，不符集合元素的互异性，
所以
，
，
．
故选：A．
【变式2】已知集合
，
，若
，则a 的值是（ ）
A．1 或2
B．
或0
C．1
D．
【答案】C
【分析】根据集合相等有
求参数，结合集合元素的互异性确定参数值.
【详解】由题设
，可得
或
，
当
时，
，满足题设；
当
时，
，不符合集合元素的互异性；
所以
.
故选：C
【变式3】已知
，若集合
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果.
【详解】∵
，
∴
，解得
，
故选：B
【变式4】已知集合
，且
，则
.
【答案】0 或
【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b 的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a 的值.
【详解】因为集合
，且
，分以下两种情况讨论：
当
时，解得
或
，
若
，集合A、B 中的元素均不满足互异性；
若
，则
，符合题意；
当
时，解得
或
，
若
，集合A、B 中的元素均不满足互异性；
若
，则
，符合题意；
综上所述，
或
，
故答案为：0 或
题型08 根据集合的包含关系求参数
【典例1】设集合
．
(1)当
时，求集合
的非空真子集的个数；
(2)若
，求整数
的所有可能取值．
【答案】(1)14
(2)1 和2．
【分析】（1）根据
得到
中得元素，然后计算真子集个数即可；
（2）解不等式得到
，然后根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）当
时，
，
故
，其中含有4 个元素，
故其非空真子集的个数为
．
（2）由题意可得
，
由
，
可得
解得
，
故整数
的所有可能取值为1 和2．
【变式1】已知集合
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分情况讨论集合
是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况
得出
的取值范围.
【详解】当
为空集时，
时.解不等式
，可得
.
因为空集是任何集合的子集，所以当
时，
.
当
不为空集时，
时，解不等式
，可得
.
此时
，要使
，那么集合
中的元素都要满足集合
的范围.
已知
，
，所以需满足
.
解不等式
，可得
.
综合可得
，又因为前提是
，所以取交集得
.
综合两种情况，将
和
两种情况综合起来，取并集可得
.
能使
成立的所有
组成的集合为
，
故选： C.
【变式2】已知集合，
，且
，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据题意，求得
，分
，
，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求
解.
【详解】由方程
，解得
或
，可得集合
，
若
，则满足
，解得
，此时满足
；
若
，当
，即
时，
，满足
，符合题意；
当
，即
时，
中有两个元素
，
，则满足
无解，
综上可得，实数
的取值范围是
．
故答案为：
.
【变式3】设集合
，
．
(1)若集合
有且仅有两个子集，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
．
(2)
或
．
【分析】（1）由集合
有且仅有两个子集，所以集合
只有一个元素，结合
，求得
的值，即可得
到答案；
（2）先求得
，根据
，所以集合
可能是
，
，
，
，分情况讨论，结合二
次函数的性质，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）解：由集合
，
因为集合
有且仅有两个子集，所以集合
只有一个元素，
故
，所以
，
所以实数
的取值范围是
．
（2）解：由
，解得
或
，所以
，
因为
，所以集合
可能是
，
，
，
；
当
时，即方程
无实数根，
则
，解得
；
当
时，即方程
有且只有一个根0，
，解得
；
当
时，即方程
有且只有一个根
，
则
，方程组无解；
当
时，方程
有两根
和
，
则
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
或
．
【变式4】已知
．
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a 的取值范围为
；
（2）分
和
两种情况，得到不等式，求出a 的取值范围.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，解得
，
故实数a 的取值范围为
；
（2）
，
，
当
时，
，解得
，满足题意；
当
时，
，解集为
，
综上，实数a 的取值范围为
.
1．集合
，则
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【分析】根据
中元素的性质可得
，从而可求其子集个数.
【详解】因为
，
故子集个数为
，
故选：C.
2．下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由集合元素的特征和属性进行判断.
【详解】A 选项：
，故A 错误；
B 选项：
中的元素为点
中的元素为实数
，故B 错误；
C 选项：
,
，故C 选项正确；
D 选项：
中的元素为点
，而
中的元素为点
，故D 错误．
故选：C.
3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解.
【详解】集合中的元素具有无序性，选项A 中两个集合是同一个集合，故A 不符题意；
选项B 中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B 不符题意；
选项C 中两个集合都是数集，描述的都是大于1 的数，故是同一个集合，故C 不符题意；
选项D 中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点
与点
是不同的，
故两集合不是同一个集合，故D 正确．
故选：D
4．已知集合
，那么集合
与Q 的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先得出集合
，再根据集合的基本关系得出.
【详解】由题意可得
，故集合
是集合
的真子集．
故选：B
5．已知集合
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
，由此列出满足题意的不等式组，求解出m 的取值范围.
【详解】因为
，所以
，解得
．所以
的取值范围是
．
故选：A.
6．已知
⫋
，且若
，则
，则满足条件的集合
的有（ ）
A．4 个
B．7 个
C．8 个
D．15 个
【答案】B
【分析】根据题意求出集合A 即可.
【详解】因为
⫋
，
都满足题意，共7 个.
故选：B.
7．已知集合
有且仅有1 个真子集，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由集合的真子集个数,判断出集合
中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解
即可.
【详解】由集合
有且仅有1 个真子集，可得集合
中有且只有一个元素，
所以方程
有2 个相等的实数解，
即
，解得
，
所以实数
的取值集合为
，
故选：B.
8．已知
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为
，所以当
，即
时，
，满足
，即
；
当
，即
时，
，满足
，即
；
当
，即
时，由
，得
，
，即
；
综上，
．
故选：C．
9．（多选）已知集合
，
，下列说法错误的是（ ）
A．不存在实数
，使得
B．存在实数
，使得
C．当
时，
D．当
时，
【答案】BCD
【分析】根据各选项集合的包含关系得到不等式组，判断不等式组的解的情况，即可得解.
【详解】对于A：若
，则
，此方程组无解，故不存在实数a 使得集合
，故A 正确；
对于B：由
，则
，即
，此不等式组无解，不存在实数
，使得
故B 错误；
对于C：当
时
，不满足
，故C 错误；
对于D：当
，即
时，
，符合
，
当
时，要使
，则
，解得
，不满足
，
综上，当且仅当
时，
所以当
时
不正确，故D 错误．
故选：BCD
10．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【分析】分
和
，得到不等式，求出
的取值范围.
【详解】
，若
，则
，解得
，
若
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围是
.
故答案为：
11．（1）已知集合
，
．若
，求实数
的取值范围．
（2）若（1）中条件“
”改为“
”，其他条件不变，求实数
的取值
范围．
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】（1）根据题意，当
时，求得
，符合题意；当
时，结合
，列出不等式组，
即可求得
的取值范围；
（2）当
时，求得
，满足题意；当
时，结合
，列出不等式组，即可求得
的取值范
围.
【详解】解：（1）由集合
，
当
时，
，解得
，此时满足
；
当
时，要使得
，
则满足
且等号不能同时取，解得
．
综上可得，实数
的取值范围是
．
解：（2）当
时，由
，得
，满足
；
当
时，要使得
，
则满足
，解得
，
综上可得，实数m 的取值范围是
．
12．已知集合
且
，
且
(1)写出集合
的子集，真子集；
(2)求集合
的子集数，非空真子集数．
【答案】(1)答案见解析
(2)16，14
【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解；
（2）利用集合
的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数．
【详解】（1）
，
的子集有：
，
，
，
，
，
，
，
；
的真子集有：
，
，
，
，
，
，
．
（2）
，
有4 个元素，
的子集数为
个，
的非空真子集数为
个．
13．已知集合
，
．
(1)若
中恰有一个元素，用列举法表示
的值构成的集合；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分
与
两种情况讨论，当
时
，即可求出参数的值；
（2）首先解方程求出集合
，再分
、
、
三种情况讨论，分别求出参数
的范围（值），
即可得解.
【详解】（1）若
，即
，则
，符合题意．
若
，即
，则由
中恰有一个元素，得
，
解得
或
．
综上所述，
的值构成的集合为
．
（2）由
，解得
或
，则
．
若
，符合
，则
解得
或
．
若
，则
，解得
，则
，符合
．
若
，则
，解得
，则
，不符合
．
综上所述，
的取值范围为
．
