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专题 1.2 集合的基本关系
教学目标
1．理解集合之间包含与相等的含义．
2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义．
3．能使用唯恩图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义．
5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想．
教学重难点
重点：集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别．
难点：元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系．
知识点01
图（唯恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为
图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用
图，可以使问题简单明了地得到解
决。
对
图的理解
(1)表示集合的
图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用
图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元
素的公共特征不明显.
知识点02 子集
一般地，对于两个集合
，
，如果集合
中任意一个
元素
都是集合
中的元素，我们就说这两个集合
有包含
关系
，称集合
为集合
的子集
（1）记法与读法：记作
( 或
)，读作“
含于
”
( 或“
包含
”
)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即
.
②对于集合
，
，
，若
，且
，则
（3）
图表示：
【即学即练】下列各式中，正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点03 集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“
”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“
”表示元素与集合之间的从属关系.
知识点04 真子集的含义
如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集合
的真子集;
（1）记法与读法：记作
，读作“
真包
含于
”
( 或“
真包含
”
)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合
，
，
，若
，且
，则
（3）
图表示：
【即学即练】若
，则集合M 的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
知识点05 集合相等
一般地,如果集合
的任何一个元素都是集合
的元素,同时集合
的任何一个元素都是集合
的元素,那
么集合
与集合
相等,记作
.也就是说,若
,且
,则
.
（1）
的
图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练】下列各组集合中表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点06 空集的理解
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即
;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)
，则
和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该
元素为：
关系
或者
【即学即练】已知集合
，下列选项中为
的元素的是（ ）
①
②
③
④
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
题型01 判断两个集合的包含关系
【典例1】已知集合
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】设集合
，则下列表示集合A 与B 的关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．A，B 的关系不确定
【变式2】已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】以下关系①
；②
；③
；④
；⑤
中正确的
个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【变式4】已知集合
，
，
，则
M，N，P 的关系（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】已知集合
，则集合
，且
的子集的个数为（ ）
A．7
B．8
C．4
D．6
【变式1】已知集合
，满足条件
的集合
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知集合
，
，
，则集合C 的子集有（ ）
A．64 个
B．63 个
C．16 个
D．15 个
【变式3】非空集合
，并且中的元素满足条件：如果
，则
，适合上述条件
的集合的个数是（ ）
A．4 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【变式4】已知集合
，
，则集合
的真子集个数为 .
若有限集
中有个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真子集有
个．
题型03 求集合中子集（真子集）
【典例1】已知
，
，若
，求实数
所构成的集合
，并写出
的
所有非空真子集．
【变式1】集合
的子集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若集合
，则集合
可用列举法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】设集合
，列出集合A 的子集.
【变式4】已知集合
，且
．
(1)求实数
的值；
(2)写出集合A 的所有子集．
题型04 空集的概念集判断
【典例1】（多选）给出的下列选项，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】下列各式中，正确的是（ ）
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A．②⑤⑦⑧
B．②⑤⑦
C．③⑤⑦⑧
D．①⑤⑥⑦
【变式2】（多选）下列表述正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
表示没有任何元素的集合
【变式3】（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）以下四个选项表述正确的有（ ）
A．
B．
⫋
C．
D．
题型05 空集的性质及应用
【典例1】设集合
，
，若
，则
的值为 ．
【变式1】关于x 的方程
的解集为空集，则k 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式2】设集合
，集合
，若
，则实数
取值集合的真子集的个数为
（ ）.
A．2
B．4
C．7
D．8
【变式3】已知a 是实数，若集合
是任何集合的子集，则a 的取值范围值是 .
【变式4】已知：集合
，
.
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若A 和B 有且只有一个是
，求实数a 的取值范围.
①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)
，则
题型06 判断两个集合是否相等
【典例1】（多选）下列各组中M，N 表示不同集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式1】在下列集合的表示中，集合
与集合
表示同一集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式2】下列各式中，正确的个数是（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】下列选项中两个集合相等的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式4】（多选）下列各组中M，P 表示相同集合的是（ ）
A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z }
B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }
C．M = { x∣
∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N }
D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R }
如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集
（
），此时，集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
.
题型07 根据两个集合相等求参数
【典例1】若集合
，则
．
【变式1】已知实数集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式2】已知集合
，
，若
，则a 的值是（ ）
A．1 或2
B．
或0
C．1
D．
【变式3】已知
，若集合
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【变式4】已知集合
，且
，则
.
题型08 根据集合的包含关系求参数
【典例1】设集合
．
(1)当
时，求集合
的非空真子集的个数；
(2)若
，求整数
的所有可能取值．
【变式1】已知集合
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知集合，
，且
，则实数
的取值范围是
．
【变式3】设集合
，
．
(1)若集合
有且仅有两个子集，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【变式4】已知
．
(1)若
，求实数a 的取值范围；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
1．集合
，则
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
2．下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知集合
，那么集合
与Q 的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知集合
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
⫋
，且若
，则
，则满足条件的集合
的有（ ）
A．4 个
B．7 个
C．8 个
D．15 个
7．已知集合
有且仅有1 个真子集，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）已知集合
，
，下列说法错误的是（ ）
A．不存在实数
，使得
B．存在实数
，使得
C．当
时，
D．当
时，
10．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
.
11．（1）已知集合
，
．若
，求实数
的取值范围．
（2）若（1）中条件“
”改为“
”，其他条件不变，求实数
的取值
范围．
12．已知集合
且
，
且
(1)写出集合
的子集，真子集；
(2)求集合
的子集数，非空真子集数．
13．已知集合
，
．
(1)若
中恰有一个元素，用列举法表示
的值构成的集合；
(2)若
，求
的取值范围．
