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专题1.4 空间中的点、直线、平面与空间向量
教学目标
1．理解点的位置向量、方向向量的概念.
2．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法．
3．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．
4.掌握利用空间向量求法向量的方法
教学重难点
教学重点：利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系；求空间两
直线所成的角．
教学难点：利用直线的方向向量研究两直线的位置关系；法向量的求解
知识点01 用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点
作为基点,那么空间中任意一点
就可以用向量
表示.我们把向量
称为
点
的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,
是直线的方向向量,在直线上取
,设
是直线上的任意一点,则点
在直线上的充
要条件是存在实数,使得
，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点
,可以得到点
在直线上的充要条件是存在实数,使
①
或
②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确
定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对
，使得
，如图；取定空间任意一点
，空间
一点
位于平面
内的充要条件是存在实数
，
，使
.
【即学即练】若平面
，
的法向量分别为
，
，则
与
的位置关系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定
知识点02 平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线
，取直线 的方向向量
，我们称
为平面
的法向量；过点
且以
为法向量
的平面完全确定，可以表示为集合
．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面
的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由
列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取
)
得结论：得到平面的一个法向量.
【即学即练】平面
内三点坐标分别为
，则平面
的一个法向量为
．
知识点03 空间中直线、平面的平行
设直线
,
的方向向量分别为
，
，平面
，
的法向量分别为
，
，则
线线平行
⇔
⇔
(
)
线面平行
⇔
⇔
面面平行
⇔
⇔
【即学即练】在空间直角坐标系中，
为直线l 的一个方向向量，
为平面
的一个法向
量，且
，则t＝（ ）
A．3
B．－3
C．1
D．－1
知识点04 空间中直线、平面的垂直
设直线
的方向向量为
，直线
的方向向量为
，平面
的法向量
，平面
的法向量为
，则
线线垂直
⇔
⇔
线面垂直
⇔
⇔
⇔
面面垂直
⇔
⇔
⇔
【即学即练】在空间直角坐标系中，
是直线的一个方向向量，
是平面
的一个法
向量.若
，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．-2
题型01 平面的法向量及其求法
【典例1】已知
，则平面ABC 的一个法向量可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知空间中，点
，则平面
的一个法向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在空间直角坐标系
中，已知点
，则下列向量坐标可以作为平
面
的一个法向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知直线
，
的方向向量分别为
，
，且直线
，
均平行于平面
，
平面
的单位法向量为 ．
【变式4】已知
，若平面
的一个法向量为
，则
．
题型02 异面直线所成角
【典例1】已知正方体
的棱长为2，
分别为
的中点，求异面直线
与
所
成角的余弦值.
【变式1】已知直三棱柱
的棱长均为2，则异面直线
与
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】在正四棱柱
中，
分别是
的中点，则直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】如图，在长方体
中，
，则异面直
线
和
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】在正方体
中，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的大小为 .
用向量运算求两条直线所成角
已知a，b 为两异面直线，A，C 与B，D 分别是a，b 上的任意两点，a，b 所成的角为
，则
①
②
.
题型03 利用向量方法证明线面平行
【典例1】如图所示，在四面体
中，
平面
，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，点
在线段
上，且
．求证：
平面
．
【变式1】如图，在三棱柱
中，
分别是
的中点，
平面
，且
，
，
.求证：
平面
.
【变式2】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
为
上一点，且
．（请用空间向量法予以证明）
(1)求证：
平面PBC；
(2)求证：
平面BDE．
【变式3】如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，
，
，
，
，M 为CE 的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
【变式4】如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的中点．试用向量的
方法证明：
(1)
；
(2)
平面
．
题型04 利用向量方法证明面面平行
【典例1】在正方体
中，若
为
中点，
为
中点.
求证：
(1)
；
(2)
平面
；
(3)平面
平面
．
【变式1】如图，正方体
中，
，
分别为
，
的中点．
(1)用向量法证明：平面
平面
；
(2)用向量法证明：
平面
．
【变式2】如图，在直三棱柱
中，
，
，
，点E 在线段
上，且
，
分别为
、
、
的中点.求证：
(1)平面
平面
；
(2)平面
平面
.
【变式3】如图，在长方体
中，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
.
(2)线段
上是否存在点P，使得
平面
？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.
【变式4】如图，已知在正方体
中，
，
，
分别是
，
，
的中点．证明：
(1)
平面
；
(2)平面
平面
．
题型05 用向量方法证明线线垂直
【典例1】棱长为2 的正方体中，
分别是
的中点，
在棱
上，且
是
的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：
；
(2)求
；
(3)求
的长.
【变式1】如图，在三棱锥
中，
、
、
两两垂直，且
，
为
的中
点.
(1)证明：
；（用向量方法证明）
(2)求直线
与
所成角的余弦值.
【变式2】已知四棱锥
底面是直角梯形，
，
，侧
面
底面
.证明：
(1)
；
(2)平面
平面
.
【变式3】直三棱柱
的底面
中，
，
，棱
，
、
分别
是
，
的中点，如图，建立空间直角坐标系.
(1)求
的坐标及
的长；
(2)求证：
.
【变式4】如图所示，在棱长为4 的正方体
中，
分别是棱
上的动点，且
，其中
，以
为原点建立空间直角坐标系
.
(1)求证：
；
(2)若
，求
的值.
题型06 利用向量方法证明线面垂直
【典例1】如图，在棱长为1 的正方体
中，
是正方形
的中心.
(1)求
绕棱
所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；
(2)求证：
平面
.
【变式1】如图，等边三角形
与直角梯形
所在的平面垂直，
．
(1)若F 为
的中点，求证：
平面
；
【变式2】如图，四棱锥
的底面为正方形，
平面
，
是
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
【变式3】如图，在棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为棱
上一点．请用
向量方法解决以下问题：
(1)证明：直线
平面
；
【变式4】如图，在直四棱柱
中，底面
为直角梯形，
分别为
的中点，
，用向量法证明：直线
平面
．
题型07 利用向量方法证明面面垂直
【典例1】如图所示，在直二面角
中，四边形
是边长为2 的正方形，
，F 为
上
的点，且
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
．
【变式1】如图所示，
是一个正三角形，
平面
，
，且
．
(1)求平面
的法向量
(2)求证：平面
平面
．
【变式2】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
为棱
的中点.证明：
(1)
；
(2)
平面
；
(3)平面
平面
.
【变式3】如图，正四棱柱
的底面边长为2，E 为棱
的中点，
，且四棱锥
的体积为
．
(1)求棱
的长；
(2)证明：平面
平面
．
【变式4】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点E 为棱PC 的中点．证明：
(1)
平面
；
(2)平面
平面
．
题型08 空间向量中的平行，垂直动点问题
【典例1】在四棱锥
中，面
面
，
，
，
，
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【变式1】如图，在直三棱柱
中，
，
，P 为
上的动点，Q
为棱
的中点．
(1)设平面
平面
，若P 为
的中点，求证：
；
(2)设
，问线段
上是否存在点P，使得
平面
？若存在，求出实数
的值；若不存
在，请说明理由．
【变式2】在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补
充在下面的问题中.
问题：如图，在正方体
中，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
.已知点
的坐
标为
为棱
上的动点，
为棱
上的动点，__________，试问是否存在点
满足
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【变式3】已知矩形ABCD，
，
，
为CD 中点，沿AE 折成直二面角，
为BC 为中点.
(1)求证：
；
(2)在棱DE 上是否存在点N，使得
平面ADM?若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【变式4】在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
1．在正方体
中，
是
的中点，
是
的中点，则异面直线
与
所成角的余
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量
都是直线l 的方向向量，则x 的值是（ ）
A．
或1
B．
C．
D．1
3．已知直线与平面
垂直，直线的一个方向向量为
，向量
与平面
平行，则实
数
等于（ ）
A．
B．
C．3
D．
4．已知向量
分别是平面
与平面
的一个法向量，若
，则实数
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱
，
，则直线
与直线
夹角
的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知平面
的法向量为
，则直线
和平面
的位置关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
与
相交但不垂直
7．已知直线的方向向量是
，平面
的一个法向量是
，则与
的位置关系是
（ ）
A．
B．
C．l 与α 相交但不垂直
D．
或
8．在空间直角坐标系中，
为坐标原点，
为其内一点，
，平面
平面
，则
平面
的一个法向量可以为：（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．（多选）在空间直角坐标系
中，点
，
，
，则下列结论正确的有
（ ）
A．点
关于
轴的对称点的坐标为
B．
C．
D．
10．（多选）已知平面
过点
，其法向量为
，则下列各点在平面
内的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设直线的方向向量
，平面
的法向量
，若
，则
12．已知直线l 的方向向量为
，平面α 的法向量为
.若
，则实数λ 的值为
.
13．如图所示，直三棱柱
中，
分别是
的
中点.
(1)求
的长；
(2)求证：
平面
14．如图，在正方体
中，
，
，
，点
分别是
的中点．
(1)试用
表示
；
(2)若正方体的棱长为
，求
的面积；
(3)保持（2）的条件不变，求平面
的一个法向量．
15．如图，在正三棱柱
中，
分别是
的中点．
(1)求证：平面
平面
．
(2)在线段
上是否存在一点Q，使
平面
？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理
由．
16．如图，在直三棱柱
中，
，
，D 是
的中点，F 是
上一点，
且
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，判定直线
与平面
的位置关系，并证明．
