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高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设 为虚数单位，则复数 （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知某扇形的半径为 ，圆心角为 ，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 在 中，点 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 二十四节气（The 24 Solar Terms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道
（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动 所到达的一个位
置，根据上述描述，从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度为（ ）A. B. C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知一个圆柱 的侧面积等于其表面积的 ，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9. 若 ， ， 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ）A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ，则
10. 下列叙述正确的是（ ）
A. 已知 ， 是空间中的两条直线，若 ，则直线 与 平行或异面
B. 已知 是空间中的一条直线， 是空间中的一个平面，若 ，则 或 与 只有一个公共
点
C. 已知 ， 是空间两个不同的平面，若 ，则 ， 必相交于一条直线
D. 已知直线 与平面 相交，且 垂直于平面 内的无数条直线，则
11. 在 中， ， ， 分别是内角 ， ， 所对的边， ，且 ， ，
则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则 是等边三角形
D. 若 的面积是 ，则该三角形外接圆半径为4
12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，
如图是一个半径为 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过 秒后，水斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足
，则下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 当 时，函数 单调递增
C. 当 时，点 到 轴的距离的最大值为
D. 当 时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数 ， 的共轭复数为 ，则 ________.
14. 已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，且高为2，则该正四棱锥的斜高为________.
15. 若函数 的最小正周期为 ，将 的图像向左平移 个单位后，所
得图像关于 轴对称，则 的最小正值为________.
16. 已知两个非零向量 ， ， ，若 ，则 ________；若存
在两个不同 的，使得 成立，则正数 的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边落在 轴的正半轴上，终边经过点 ，其中 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
18. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石
块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是 .
（1）求正方体石块的棱长；
（2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积.
19. 已知向量 ， ， .
（1）若 与向量 垂直，求实数 的值；
（2）若向量 ，且 与向量 平行，求实数 的值.
20. 从① ，② 这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知 中，
， ， 分别是内角 ， ， 所对的边，且 .
（1）求角 ；
（2）已知 ，且________，求 的值及 的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第
一个解答计分）
21. 某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深入.近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域
（如图所示），其中三角形区域 为健身休闲区，四边形区域 为文娱活动区， ，
， ， ， ， 为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知 ， ，
， .
（1）求道路 的长度；
（2）求道路 ， 长度之和 的最大值.
22. 已知函数 的图象如图所示.
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到曲线 ，把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作 .
（i）求函数 的最大值；（ii）若函数 在 内恰有2015个零点，求 、 的值.
