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高一年级考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在一个随机试验中，彼此互斥的事件 ， ， ， 发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说
法正确的是（ ）
A. 与 是互斥事件，也是对立事件
B. 与 是互斥事件，也是对立事件
C. 与 是互斥事件，但不是对立事件
D. 与 是互斥事件，也是对立事件
3. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知非零向量 ，且 ， 为垂足，若 ，则 等于( )
A. B. C. D.
5. 某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次.已
知原平均分和原方差分别为 ， ，新平均分和新方差分别为 ， ，若此同学的得分恰好为 ，则（
）
A. ， B. ，C. ， D. ，
6. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 ，且直观图 的面积
为2，则该平面图形的面积为（ ）
A. 2 B.
.
C 4 D.
7. 某实验单次成功的概率为0.8,记事件A为“在实验条件相同的情况下,重复3次实验，各次实验互不影
响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件4的概率:先由计算机给出0～9十个
整数值的随机数，指定0,1表示单次实验失败,2，3，4，5,6,7，8,9表示单次实验成功，以3个随机数为
组,代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如下表:
752 029 714 985 034
437 863 694 141 469
037 623 804 601 366
959 742 761 428 261
根据以上方法及数据，估计事件A的概率为( )
A. 0.384 B. 0.65 C. 0.9 D. 0.904
8. 如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， ， ， ，
则四棱锥 的外接球的体积为（ ）A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图
形方法，为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制
了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5， 则下面叙
述正确的是（ ）
A. 甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观直观想象想象能力指标值
C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D. 甲 的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
11. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为15 00辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ）
A. 应采用分层随机抽样抽取
B. 应采用抽签法抽取
C. 三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆
D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
12. 如图，点 是正方体 中的侧面 上的一个动点，则下列结论正确的是（
）
A. 点 存在无数个位置满足
B. 若正方体的棱长为1，三棱锥 的体积最大值为
C. 在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是30°
D. 点 存在无数个位置满足 平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位： ）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171， ，
174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则 的值为________.
14. 若 （ 为虚数单位），则 ____________.
15. 已知等边 ， 为 中点，若点 是 所在平面上一点，且满足 ，
则 __________.
16. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是 ，则石凳的表面积为________ .
.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 设 ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，且 ， 与 的夹角为 ，求 ， 的值.
18. 甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙
射中的概率为0.95.求：
（1）三人中恰有一人没有射中的概率；
（2）三人中至少有两人没有射中的概率.（精确到0.001）
19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是线段 上的动点.
（1）当 是 的中点时，证明： 平面 ；
.
（2）若 ，证明：平面 平面20. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.① ；②
；③ 的面积为 .已知 的内角 ，
， 的对边分别为 ， ， ，且________.
（1）求 ；
（2）若 为 中点，且 ， ，求 ， .
21. “肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史.明代万历十一年（1583
年）的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对
“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护，某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为
每个15元，销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理.根据该
超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为 个 ，销售利润为
元.
（i）求 关于 的函数关系式；
（ii）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润 不小于650元的概率.
22. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它
是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥 中，
平面 .
（1）从三棱锥 中选择合适的两条棱填空：________ ________，则三棱锥 为“鳖
臑”；
（2）如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ， .
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）设平面 与平面 交线为 ，若 ， ，求二面角 的大小.
