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高一（下）期末数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1.复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用虚数单位 的运算性质化简求值.
【详解】 ， .
故选： .
【点睛】本题考查虚数单位 的性质，属于基础题.
2.在平行四边形 中， 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的平行四边形法则求解即可.
【详解】因为 为平行四边形,故 .
故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则.属于基础题.
3.某中学高一年级有 人，高二年级有 人，高三年级有 人，为了解学校高中学生视力情况，现
用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 的样本，则高一年级应抽取的人数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
根据总体的抽样比与高一年级的抽样比相等列等式可求得高一年级所抽取的学生人数.
【详解】该中学高中学生总人数为 ，
设高一年级所抽取的学生人数为 ，由题意可得 ，解得 .
故选：A.
【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是容易题目.
4.若单位向量 ， 的夹角为 ，则 • =（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用向量的数量积求解即可.
【详解】解：单位向量 ， 的夹角为 ，
.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量 的数量积的求法，是基本知识的考查，属于基础题.
5.若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 异面
C. 异面或相交 D. 相交、平行或异面
【答案】C
【解析】
【分析】
借助正方体模型，找出三条直线a，b，c，符合题意，判断b，c的位置关系.
【详解】解：考虑正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，
直线AB看做直线a，直线B'C'看做直线b，
即直线a和直线b是异面直线，
若直线CD看做直线c，可得a，c平行，则b，c异面；若直线A'B'看做直线c，可得a，c平行，则b，c相交.
若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行.
故选：C.
【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，考查数形结合思想和分类讨论思想，以及推理能力，属于基础
题.
6.甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（ ）
A. 150 B. 250 C. 300 D. 400
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据甲组人数及其所占百分比可得总人数，再求出丙、丁两组人数占总人数的百分比，即可得解.
【详解】解：∵甲组人数为120人，占总人数的百分比为30%，
∴总人数为120÷30%＝400人，
∵丙、丁两组人数和占总人数的百分比为1﹣30%﹣7.5%＝62.5%
∴丙、丁两组人数和为400×62.5%＝250人.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了饼形图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题.7.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：∴ ，∴z= ，故选C.
考点：复数运算
8.若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为（ ）
A. 9π B. 12π C. 14π D. 18π
【答案】C
【解析】
【分析】
求出长方体的对角线的长度，得到外接球的直径，然后求解外接球的表面积.
【详解】解：长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，
所以长方体的外接球的直径为长方体的对角线： ，
所以外接球的半径为： .
则这个球面的面积为： .
故选：C.
【点睛】本题考查几何体 的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是基础题.
9.设 为非零向量，则“ ”是“ 与 共线”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若 ，则 与 共线，且方向相同，充分性；
当 与 共线，方向相反时， ，故不必要.
故选： .
【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
10.已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点P在线段AC上运动，则| + |的取值范围是
（ ）
A. [3，4] B. C. [6，8] D.
【答案】D
【解析】
【分析】
以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，分别求得B，C，
A的坐标，可得直线AC的方程，设P（m，n），（0≤n≤4），即有m＝ ，再由向量的运算和模的
公式，可得n的函数，结合二次函数的最值求法，可得所求范围.
【详解】解：以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，
OA所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：
可得B（﹣3，0），C（3，0），由|AC|＝5，可得A（0，4），直线AC的方程为 ，即4x+3y＝12，
可设P（m，n），（0≤n≤4），即有m＝ ，
则
当 ，可得 的最小值为
，
当n＝4时，可得 的最大值8，
则 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】本题考查向量的模的取值范围，运用坐标法是解题的关键，考查转化思想和运算能力，属于中档
题.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.设复数z＝1+i，则z的模|z|＝_____.
【答案】 .
【解析】
【分析】
直接代入模长公式即可.
【详解】解：因为复数z＝1+i，则z 的模|z|= .
故答案为： .
【点睛】本题考查复数求模，是基础题.
12.数据19，20，21，23，25，26，27，则这组数据的方差是_____.【答案】587.
【解析】
【分析】
根据题意，先求出这组数据的平均数，进而由方差计算公式计算可得答案.
【详解】解：根据题意，数据19，20，21，23，25，26，27，
其平均数= ，
则其方差为
故答案为：587.
【点睛】本题考查数据的方差的计算，注意数据方差的计算公式，属于基础题.
13.三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三条侧棱两两垂直的关系可得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果.
【 详 解 】不妨设 ， ， ，且 两两互相垂直，
，
又 ， ， 平面 ， ，
平面 ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，属于基础题.
14.已知 =（1，2）， =（2，y），| + |＝| - |，则y＝_____.
【答案】﹣1.
【解析】
【分析】
求出 (3，y+2)， (-1，2-y)，然后根据| + |＝| - |，即可得出9+（y+2）2＝1+（2﹣y）2，
解出y即可.
【详解】解： (3，y+2)， (-1，2-y)，
∵| + |＝| - |，
∴9+（y+2）2＝1+（2﹣y）2，解得y＝﹣1.
故答案为：﹣1.
【点睛】本题考查了向量坐标的加法和减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，
属于基础题.
15.在 中， ， .
①若 ，则角 的大小为_____；
②若角 有两个解，则 的取值范围是_____.
【答案】 (1). (2).【解析】
【分析】
①利用正弦定理求得 的值， 结合角 的取值范围可求得结果；
②作出图形，结合图形可得出角 有两个解时， 满足 的不等式，进而可求得 的取值范围.
【详解】①由正弦定理 可得 ，
， ；
②在 中， ， ，如下图所示：
若使得角 有两个解，则 ，即 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也考查了利用三角形多解求边长的取值范围，考查计算能
力，属于中等题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.已知复数 在复平面内对应点 .
（1）若 ，求 ；
（2）若点 在直线 上，求 的值.
【答案】（1） ；（2） 或 ..
【解析】
【分析】
（1）先写出 ，在根据 计算即可；
（2）由题意，可得 的实部与虚部相等，由此可得关于 的方程求解.
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，∴ ；
（2）若点 在直线 上，则 ，
即 ，解得 或 .
【点睛】本题考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
17.已知三个点 ， ， .
（1）求证： ；
（2）若四边形 为矩形，求点 的坐标及矩形 两对角线所成锐角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解；（2） ，矩形 两对角线所成锐角的余弦值为 .
【解析】
【分析】
（1）利用向量垂直证明即可；
（2）设 坐标，根据向量相等求 点坐标，根据向量夹角求对角线所成锐角余弦值.
【详解】解：（1）由题知， ， ，所以 ，所以，所以 ；
（2）设点 的坐标为 ，则根据四边形 为矩形得 ，即： ，
所以 ，解得 ，所以 ；
所以 ， ，
所以 ，
矩形 两对角线所成锐角的余弦值为 .
【点睛】本题考查利用向量解决平面几何问题，是中档题.
18.为了解某小区 月用电量情况，通过抽样，获得了 户居民 月用电量（单位：度），将数据按照
、 、 、 分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）已知该小区有 户居民，估计该小区 月用电量不低于 度的户数，并说明理由；
（3）估计该小区 的居民 月用电量的值，并说明理由.
【答案】（1） ；（2） 户，理由见解析；（3）约为 度，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中各矩形的面积和为 ，列出方程求出 的值；
（2）由频率分布直方图计算出用电量不低于 度的频率，乘以 可得出结果；
（3）设该小区 的居民 月用电量的值为 ，根据用电量为 的左边的矩形面积之和为 列等式可
解得 的值.
【详解】（1）由频率分布直方图可得： ，
解得： ；
（2）由频率分布直方图可得， 户居民 月用电量不低于 度的频率为
，
由此可以估计该小区有 户居民 月用电量不低于 度的户数为 ；
（3）由频率分布直方图可得， 月用电量低于 度的频率为
，
月用电量低于 度的频率为 ，
所以 分位数 一定位于区间 内，
由题意可得 ，解得 .
由此估计该小区 的居民 月用电量约为 度.
【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求频率、频数的应用问题，是基础题目.
19.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC.
（1）求BD的长；
（2）求sin∠BDC的值.【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出 ，在 中，再利用余弦定理即可求解.
（2）在 中，利用正弦定理即可求解.
【详解】（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
则 ，所以 ，
由AD＝4DC，则 ， ，
在 中， ，
所以 .
（2）由 ， ，BC＝3，
在 中， ，
即 ，解得
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理内容，属于基础题.
20.如图所示，在正方体 中， .（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）用一张正方形的纸把正方体 完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积.（结果
不要求证明）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）连结 ，利用线线垂直关系可证得 平面 ，由线面垂直性质证得结论；（2）由线线垂直关系可证得 平面 ，由面面垂直 的判定可证得结论；
（3）根据展开图可确定结果.
【详解】（1）证明：连接 ，
底面 是正方形， ，
平面 ， 平面 ， ，
平面 ， ， 平面 ，
又 平面 ， .
（2） 侧面 是正方形， ，平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
（3）把 个边长为 的正方形组成十字形，并在四端加上四个斜边为 的等腰直角三角形，就可以包住此
正方体，如下图所示：这个形状可以用边长为 的正方形来覆盖，则所需纸的最小面积为 .
【点睛】本题考查线线垂直、面面垂直的证明、考查最小面积的求法；解题关键是熟练应用立体几何中线
面垂直、面面垂直的判定与性质定理的应用，属于中档题.
21.如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ， 是 的中点.
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若 是线段 上一动点，则线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在；理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行性质定理即可证明；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定
理即可证明；
（3）取 中点 ，连接 ， ，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明.
【详解】证明：（1）在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ，
平面 ∩平面 ，∴ ；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ， ，
又由（1）可得 ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（3）取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又由（2）可得 平面 ， ，
∴ 平面 平面 ，
∵ 是 上的动点， 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ 线段 上存在点 ，使 平面 .【点睛】本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查推理能力，是中档题.
