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高一数学试题
2020.7
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知复数 是纯虚数，则实数m＝（ ）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
本题先将 化简为 的代数形式，再根据纯虚数的定义建立方程求参数.
【详解】解：∵ 是纯虚数，
∴ ，解得： ，
故选：B.
【点睛】考查复数的代数形式以及纯虚数的定义，是基础题.
2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间 内的一
个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，
6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
把该组数据从小到大排列，计算 ，从而找出对应的第80百分位数；
【详解】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且 ，
故选：C.
【点睛】本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.3. 设 为平面， ， 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故 错误；
若 ， ，则由直线与平面垂直的判定定理知 ，故 正确；
若 ， ，则 或 ，故 错误；
若 ， ，则 ，或 ，或 与 相交，故 错误．
故选： ．
【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
4. 已知在平行四边形 中，点 、 分别是 、 的中点，如果 ， ，那么向
量 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出图形，利用平面向量加法法则可求得结果.
【详解】如下图所示：点 、 分别是 、 的中点，
.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查计算能力，属于基础题.
5. 已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线为 ，根据其表面积为 ，得到 ，再由它的侧面展开图
是一个半圆，得到 ，联立求得半径和高，利用体积公式求解.
【详解】解：设圆锥的底面半径为 ，高为 ，母线为 ，
因为其表面积为 ，
所以 ，
即 ，
又因为它的侧面展开图是一个半圆，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以此圆锥的体积为 .故选：A.
【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题
型.
6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；
田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有
上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可.
【详解】解：设田忌的上等马为 ，中等马为： ，下等马为 ，齐王的上等马为 ，中等马为： ，
下等马为 ，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为： ， ， ， ，
， ， ， ， ，共9种；其中田忌的马获胜的事件为： ， ， ，共3
种，所以田忌的马获胜的概率为： .
故选：C.
【点睛】本题考查古典概型，是基础题.
7. 如图所示，为了测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 作为测量基点，从 点测得 点的仰角
， 点的仰角 ， ，从 点测得 ．已知山高
，则山高 （单位： ）为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出 ，在 中，利用正弦定理求得 ，然后在 中可计算出 .
【详解】在 中， ， 为直角，则 ，
在 中， ， ，则 ，
由正弦定理 ，可得 ，
在 中， ， ， .
故选：A.
【点睛】本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
8. 如图，在平面直角坐标系 中，原点 为正八边形 的中心， 轴，若坐标轴
上的点 （异于点 ）满足 （其中 ，且 、 ），则满足以上条件
的点 的个数为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分点 在 、 轴进行分类讨论，可得出点 、 关于坐标轴对称，由此可得出点 的个数.
【详解】分以下两种情况讨论：
①若点 在 轴上，则 、 关于 轴对称，
由图可知， 与 、 与 、 与 、 与 关于 轴对称，
此时，符合条件的点 有 个；
②若点 在 轴上，则 、 关于 轴对称，
由图可知， 与 、 与 、 与 、 与 关于 轴对称，
此时，符合条件的点 有 个.
综上所述，满足题中条件的点 的个数为 .
故选：D.
【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）A.
B. 复数z的共轭复数为 ＝﹣1﹣i
C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限
D. 复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算求出 ，再根据复数的模长公式求出 ，可知 正确；根据共轭复数的概念
求出 ，可知 正确；根据复数的几何意义可知 正确；将 代入方程成立，可知 正确.
【详解】因为（1﹣i）z＝2i，所以 ，所以 ，故
正确；
所以 ，故 正确；
由 知，复数 对应的点为 ，它在第二象限，故 正确；
因 为 ，所以 正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.
10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在 ，
， ， ， 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A. 样本中女生人数多于男生人数 B. 样本中 层人数最多
C. 样本中 层次男生人数为6人 D. 样本中 层次男生人数多于女生人数【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】样本中女生人数为： ，男生数为 ， 正确；
样本中 层人数为： ；样本中 层人数为： ；
样本中 层人数为： ；样本中 层人数为： ；
样本中 层人数为： ；故 正确；
样本中 层次男生人数为： ， 正确；
样本中 层次男生人数 为： ，女生人数为 ， 错误.
故选： .
【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11. 已知事件 ， ，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果 ，那么 ，
B. 如果 与 互斥，那么 ，
C. 如果 与 相互独立，那么 ，
D. 如果 与 相互独立，那么 ，
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项在 前提下，计算出 ， ，即可判断；B选项在 与 互斥前提
下，计算出 ， ，即可判断；C、D选项在 与 相互独立前提下，计算出， ， ， ，即可
判断.
【详解】解：A选项：如果 ，那么 ， ，故A选项错误；
B选项：如果 与 互斥，那么 ， ，故B选项正确；
C选项：如果 与 相互独立，那么 ， ，故C选项错误；
D选项：如果 与 相互独立，那么 ， ，故D
选项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.
12. 如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A. 若点 ， 分别是线段 ， 的中点，则
B. 点 到平面 的距离为
C. 直线 与平面 所成的角等于
D. 三棱柱 的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A选项：通过平行的传递性得到结论；B选项：根据点 到平面 的距离为 ，进一步得到答案;
C选项：根据直线 与平面 所成的角为∠ ，进一步得出结论；
D选项：根据三棱柱 的外接球的半径为正方体 体对角线的一半，进
一步得到答案.
【详解】A选项：若点 ， 分别是线段 ， 的中点，则 又∵
所以 ，故A正确；
B选项：连接 交 于点 ，由题易知点 到平面 的距离为 ，∵正方体
的棱长为1，∴ ，故B错误；
C选项：易知直线 与平面 所成的角为∠ ，
∴∠ ，故C正确；
D选项：易知三棱柱 的外接球的半径为正方体 体对角线的一半，
∴
∴表面积为 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查命题真假的判断，通过线线平行、点到面的距离、线面角，以及外接球的知识点来考查，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 ，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得 的值进而求得 ．
【详解】 ，
，
，
，
由于 为三角形内角，可得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．
14. 已知数据 ， ， ，…， 的平均数为10，方差为2，则数据 ， ， ，…，
的平均数为________，方差为________.
【答案】 (1). 19 (2). 8
【解析】
【分析】
由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.
【详解】由已知条件可得 ，，
所以数据 、 、 、 、 的平均数为
，
方差为
.
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.
15. 已知 ， ， ，则 与 的夹角为________.
【答案】
【解析】
【分析】
本 题 先 求 ， ， ， 再 根 据 化 简 整 理 得
，最后求 与 的夹角为 .
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ， ，
∵ ，
∴
整理得： ，
∴ 与 的夹角为： .
故答案为：
【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.
16. 如图，在三棱锥 中， ， ， ，且 ， ，则二面
角 的余弦值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
取 的中点 ，连接 、 ，证明出 ， ，可得出面角 的平面角为
，计算出 、 ，利用余弦定理求得 ，由此可得出二面角 的余弦值.
【详解】取 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：， 为 的中点，则 ，且 ， ， ，
同理可得 ，且 ，所以，二面角 的平面角为 ，
由余弦定理得 ，
因此，二面角 的余弦值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量 .
（1）若向量 ，且 ，求 的坐标；
（2）若向量 与 互相垂直，求实数 的值.
【答案】（1） 或 （2）
【解析】
【分析】
（1） 因为 ，所以可以设 求出 坐标，根据模长，可以得到参数 的方程.（2） 由于已知条件 可以计算出 与 坐标（含有参数 ）而
两向量垂直，可以得到关于 的方程，完成本题.
【详解】（1）法一:设 ，
则 ，
所以
解得
所以 或
法二:设 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以
解得 或 ，
所以 或
（2）因为向量 与 互相垂直
所以 ，即
而 ， ，所以 ，
因此 ，
解得
【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数
值，从而完成本题.18. 已知 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边，且 ， ， ．
（1）求 及 的面积 ；
（2）若 为 边上一点，且，______，求 的正弦值．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．
【答案】（1） ， ；（2）选①， ；选②， .
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可得出关于 的二次方程，可解出 的值，进而可求得 的面积 ；
（2）选①，在 中，利用正弦定理可求得 的值，再由 可得出 ，进而
可求得 的正弦值；
选②，利用正弦定理求得 的值，由同角三角函数的基本关系可求得 ，再利用两角和的正弦
公式可求得 的值.
【详解】（1）由余弦定理得 ，整理得 ，
，解得 ， ；
（2）选①，如下图所示：在 中，由正弦定理得 ，可得 ，
在 中， ，则 ，所以， ；
选②，在 中，由正弦定理得 ，可得 ，
由于 为锐角，则 ，
，
因此， .
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角形内角正弦值的计算，
考查计算能力，属于中等题.
19. 在四面体 中，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，且 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成的角.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】【分析】
（1）由点 ， 分别是 ， 的中点，得到 ，结合线面平行的判定定理，即可求解；
（2）由（1）知 和 ，得到 即为异面直线 与 所成的角，在 中，
即可求解.
【详解】（1）由题意，点 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知 ，
因为点 ， 分别是 ， 的中点，可得 ，
所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）.
在 中， ，所以 为等边三角形，
所以 ，
即异面直线 与 所成的角为 .
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记线面平行
的判定定理和异面直线所成角的概念，转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
20. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组
织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 ，乙队每人回答问题正确的概
率分别为 ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）记“甲队总得分为3分”为事件 ，记“甲队总得分为1分”为事件 ，甲队得3分，即三人都回答
正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式
能求出甲队总得分为3分与1分的概率．
（2）记“甲队得分为2分”为事件 ，记“乙队得分为1分”为事件 ，事件 即甲队三人中有2人答
对，其余1人答错，事件 即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件 与事件 相互独
立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
【详解】解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件 ，记“甲队总得分为1分”为事件 ，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为 ，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为 ．
甲队总得分为3分与1分的概率分别为 ， ．
（2）记“甲队得分为2分”为事件 ，记“乙队得分为1分”为事件 ，
事件 即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则 ，事件 即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则 ，
由题意得事件 与事件 相互独立，
甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
．
【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中
档题．
21. 如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ，点 为线段
的中点，点 为线段 上一点.
（1）求证：平面 平面 .
（2）当 平面 时，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先证明 ，再证明 ，从而证明 平面 ，最后证明平面 平面
；
（2）先判断点 为 的中点，再判断三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，最后求体
积即可.【详解】（1）证明：因 为底面 ，且 底面 ，
所以 .
因为 ，且点 为线段 的中点，
所以 .
又 ，
所以 平面 .
又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）解：因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
因为点 为 的中点，所以点 为 的中点.
法一：
由题意知点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
所以
.
所以三棱锥 的体积为 .
法二：
因为 平面 ，
由题意知点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等.所以 ，
又 ， ， ， ，
由（1）知， ，又 ，且 ，所以 平面 ，
所以
.
所以三棱锥 的体积为 .
法三：
又 ， ， ， ，
由（1）知： 平面 ，
且 .
所以
.
所以三棱锥 的体积为 .
【点睛】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积，是中档题.
22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、
外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱
好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满
分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某
学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，
画出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和
[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问
卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．
【答案】（1） ；（2）（i） （ii） （3） .
【解析】
【分析】
（1）根据7组频率和为1列方程可解得结果；
（2）（i）根据前三组频率和为 ，前四组频率和为 可知中位数在第四组，设中位数为 ，
根据 即可解得结果；
（ii）利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；
（3）根据分层抽样可得从成绩在[220，240）的组中应抽取 人，从成绩在[260，280）的组中应抽取 人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.
【详解】（1）由 ，得 ；
（2）（i）因为 ，
，
所以中位数在 ，设中位数为 ，所以 ，解得 ，
所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为 ；
（ii）这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为
（3）物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中的人数分别为：
人， 人，根据分层随机抽样可知，从成绩在[220，240）的组
中应抽取 人，记为 ，从成绩在[260，280）的组中应抽取 人，记为 ，
从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：
，
，共有 种，其中这2名学生来自不同组的共有 种，
根据古典概型的概率公式可得所求概率为 .
【点睛】本题考查了利用直方图求中位数、平均数，考查了利用直方图求参数，考查了分层抽样，考查了
古典概型的概率公式，属于中档题.
