文档内容
第二学期期末学业水平检测
高一数学
本试卷4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将
准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；
2.作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑
色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；
3.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 的共轭复数为 ，且 （其中 是虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
2. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有 名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数
如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（ ）
A. B. C. D.
3. 若圆锥 的底面半径与高均为 ，则圆锥 的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
4. 随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件 ，记“向上的点数之差为奇数”为事件 ，则（
）A. B.
C. 互斥但不对立 D. 对立
5. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 在三棱柱 中，上下底面均为等腰直角三角形，且 平面 ，
若该三棱柱存在内切球，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为 ，则密码被破译的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ，则
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 如图，在四棱锥 中， ， ，点 分别为 的中点，若
， ，则下述正确的是（ ）A. B. 直线 与 异面
C. D. 三点共线
10. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为 的 名学生进行
了调查.调查中使用了两个问题，问题 ：您的编号是否为奇数？问题 ：您是否吸烟？被调查者随机从设
计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球 个，红球 个）中摸出一个小球：若摸出白球则回
答问题 ，若摸出红球则回答问题 ，共有 人回答“是”，则下述正确的是（ ）
A. 估计被调查者中约有 人吸烟 B. 估计约有 人对问题 的回答为“是”
C. 估计该地区约有 的中学生吸烟 D. 估计该地区约有 的中学生吸烟
11. 如图，在平行四边形 中， 分别为线段 的中点， ，则（ ）A. B.
C. D.
12. 如图，线段 为圆 的直径，点 ， 在圆 上， ，矩形 所在平面和圆 所在
平面垂直，且 ， ，则下述正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 点 到平面 的距离为
D. 三棱锥 外接球的体积为
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分 .
13. 已知向量 与 的夹角为120°，且 ， ，则 __________．
14. 在三棱锥 中，若平面 平面 ， 且 .则直线 与平面
所成角的大小为_____________.
15. 设角 是 的三个内角，已知向量 ，
，且 .则角 的大小为_____________.16. 某人有 把钥匙，其中 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，
那么第二次才能打开门的概率为_____________；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为
_____________.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知 是虚数单位，复数 .
（1）求 ；
（2）随机从复数 中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等于 的概率.
18. 如图，在几何体 中，四边形 为平行四边形， 为 的中点，平面 平面
， 为线段 上的一点， ， 是等边三角形.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： ；
（3）证明：平面 平面 .
19. 在① ；② 这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作
答.
在 中，内角 的对边分别为 ， ， ， .（1）求角 的大小；
（2）求 的周长和面积.
20. 如图，在半圆柱 中， 为上底面直径， 为下底面直径， 为母线， ，点
在 上，点 在 上， ， 为 的中点.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求直线 与直线 所成角的余弦值；
（3）求二面角 的正切值.
21. 有一种鱼 的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的 （即百万分之一）时，人食
用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出 条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单
位： ），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的 分位数；
（2）有 ， 两个水池，两水池之间有 个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通
过 条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的 条鱼分别放入 水池和 水池中，若这 条鱼的游动相互独立，均有 的
概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的 条鱼都先放入 水池中，若这 条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一
个小孔由 水池进入 水池且不再游回 水池，求这两条鱼由不同小孔进入 水池的概率.
22. 某学校高一 名学生参加数学竞赛，成绩均在 分到 分之间.学生成绩 的频率分布直方图如图：（1）估计这 名学生分数的中位数与平均数；（精确到 ）
（2）某老师抽取了 名学生的分数： ，已知这 个分数的平均数 ，标准差 ，
若剔除其中的 和 两个分数，求剩余 个分数的平均数与标准差.（参考公式： ）
（3）该学校有 座构造相同教学楼，各教学楼高均为 米，东西长均为 米，南北宽均为 米.其中
号教学楼在 号教学楼的正南且楼距为 米， 号教学楼在 号教学楼的正东且楼距为 米.现有 种型
号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为 米，每个售价相应依次为 元.若
屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为 元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖
的最小花费.（参考数据： ）
