文档内容
第二学期期末学业水平检测
高一数学
本试卷4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将
准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；
2.作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑
色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；
3.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 的共轭复数为 ，且 （其中 是虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数的除法求 ，根据共轭复数的概念即可求得
【详解】
∴
故选：B
【点睛】本题考查了复数，应用复数的除法求复数，并由共轭复数的概念求所得复数的共轭复数，属于简
单题
2. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有 名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加人数
如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由表中数据，用频率估计概率求解.
【详解】由表中数据得：
估计这个人体重减轻的概率约为
故选：D
【点睛】本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.
3. 若圆锥 的底面半径与高均为 ，则圆锥 的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆锥 的底面半径与高均为 ，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后由圆锥的表面积公式求解.
【详解】因为圆锥 的底面半径与高均为 ，
所以圆锥的母线长为 ，
所以圆锥 的表面积等于 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查圆锥的几何特征和表面积的求法，属于基础题.
4. 随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件 ，记“向上的点数之差为奇数”为事件 ，则（
）
A. B.C. 互斥但不对立 D. 对立
【答案】D
【解析】
【分析】
把事件 、 的情况一一列出，即可判断.
【详解】解： 包括：两枚骰子都出现偶数点，其和是偶数；两枚骰子都出现奇数点，其和是偶数；
包括：一枚骰子出现偶数点，另一枚骰子出现奇数点，其差 是奇数；故事件 、 对立.
故选：D.
【点睛】考查两个事件之间关系的判断，基础题.
5. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，过点 作 交 于点 ，在 中，根据三角函数关系求出 ，再在
中，由 ，即可求出 的值.
【详解】解：由题可知，在 中， ， ， ，
如图，过点 作 交 于点 ，
在 中， ，
则 ，
在 中， ，则 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用三角函数关系解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，属于基础
题.
6. 在三棱柱 中，上下底面均为等腰直角三角形，且 平面 ，
若该三棱柱存在内切球，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
易知， ， ，由三角形内切圆的半径公式，可得 内切圆的半径 ，而内切球
的半径 ，棱柱的高 ，再由 平面 ，可推出该三棱柱为直三棱柱，故 ．
【详解】由题可知， 为等腰直角三角形，
， ， ，
内切圆的半径 ，
此三棱柱存在内切球，内切球的半径 ，且棱柱的高 ，
平面 ， 该三棱柱为直三棱柱，
．
故选： ．
【点睛】本题考查棱柱中的简单计算，牢记三角形内切圆的半径公式是解题的关键，考查学生的空间立体
感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为 ，则密码被破译的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
密码被破译分三种情况：甲破译出密码乙未破译，乙破译出密码甲未破译，甲乙都破译出密码，根据相互
独立事件的概率和公式可求解出答案.
【详解】设 “甲独立地破译一份密码” 为事件A， “乙独立地破译一份密码” 为事件B，
则 ， ， ， ，
设 “密码被破译” 为事件C ，
则 ，
故选：B.
【点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问
题的能力，属于中档题.
8. 设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则
.
D 若 ， ， ，则
【答案】D
【解析】
选项A中，由于 ，故 ，又 ，故 ，A正确；
选项B中，由 得 或 ，又 ，故只有 ，故B正确．
选项C中，由面面垂直的判定定理可得C正确．
选项D中，由题意得 的关系可能平行、相交、垂直．故D不正确．
综上可知选项D不正确．选D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 如图，在四棱锥 中， ， ，点 分别为 的中点，若
， ，则下述正确的是（ ）
A. B. 直线 与 异面
C. D. 三点共线
【答案】BCD【解析】
【分析】
对于 ， ；对于 ，由条件可知直线 与 是异面直线；对于 ，由 ，
，得 ；对于 ， ， ， 是平面 和平面 的公共点，从而 ， ，
三点共线．
【详解】解：在四棱锥 中， ， ，
点 ， 分别为 ， 的中点， ， ，
对于 ， ，故 错误；
对于 ， 平面 ， 平面 于 ， ，
由异面直线判定定理得直线 与 是异面直线，故 正确；
对于 ， 点 ， 分别为 ， 的中点， ，
， ，故 正确；
对于 ， ， ，平面 平面 ，
， ， 是平面 和平面 的公共点，
， ， 三点共线，故 正确．
故选： ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，空间向量加法定理、异面直线判定定理、平行公式、平面的基本性质
等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
10. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为 的 名学生进行
了调查.调查中使用了两个问题，问题 ：您的编号是否为奇数？问题 ：您是否吸烟？被调查者随机从设
计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球 个，红球 个）中摸出一个小球：若摸出白球则回
答问题 ，若摸出红球则回答问题 ，共有 人回答“是”，则下述正确的是（ ）
A. 估计被调查者中约有 人吸烟 B. 估计约有 人对问题 的回答为“是”
C. 估计该地区约有 的中学生吸烟 D. 估计该地区约有 的中学生吸烟【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意知被调查者回答第一个问题的概率为 ，其编号是奇数的概率也是 ，计算可得随机抽出的
名学生中回答第一个问题且为“是”的学生数， 由此求出回答第二个问题且为是的人数，由此估计
此地区中学生吸烟人数的百分比，进而估计出被调查者中吸烟的人数，判断选项可得结论．
【详解】随机抽出的 名学生中，回答第一个问题的概率是 ， 其编号是奇数的概率也是 ，
所以回答问题 且回答是的人数为 ；
所以回答第二个问题，且为是的人数 ；
由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为 ；
估计被调查者中约有 人吸烟；
故表述正确的是BC．
故选：BC．
【点睛】本题考查了简单随机抽样方法的应用问题，是中档题．
11. 如图，在平行四边形 中， 分别为线段 的中点， ，则（ ）A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得 、 、 、
，即可判断选项的正误
【详解】 ，即A正确
，即B正确
连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示由其性质有
∴ ，即C错误
同理
，即
∴ ，即D错误
故选：AB
【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为
1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
12. 如图，线段 为圆 的直径，点 ， 在圆 上， ，矩形 所在平面和圆 所在
平面垂直，且 ， ，则下述正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 点 到平面 的距离为
D. 三棱锥 外接球的体积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由 ， ，易证 平面 ，A正确；
B， 由所矩形 所在平面和圆 所在平面垂直， 易证 平面 ，所以 ，由线段
为圆 的直径，所以 ，易证故B正确.
C，由 可求点 到平面 的距离为 ，C正确.
D，确定线段 的中点 是三棱锥 外接球心，进一步可求其体积，可判断D错误.
【详解】解： ， ，四边形 为平行四边形，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确.
线段 为圆 的直径，所以 ，
矩形 所在平面和圆 所在平面垂直，平面 平面 ， 平面
，所以 平面 ， 平面 ，所以
平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，故B正确.
， 是正三角形，所以 ，
，所以 平面 ， ，
， ，
，
， 是等腰三角形， 的边 上的高 ，
，
， 平面 ， 平面 ，平面 ，点 到平面 的距离为 ，
， ，
设点 到平面 的距离为 ，
， ，
所以 ，故C正确.
取 的中点 ，则 ， ，所以 平面 ，所以
所以 是三棱锥 外接球的球心，其半径 ，
三棱锥 外接球的体积为 ，故D错误，
故选：ABC.
【点睛】综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量 与 的夹角为120°，且 ， ，则 __________．【答案】7
【解析】
由题意得，
则 7
14. 在三棱锥 中，若平面 平面 ， 且 .则直线 与平面
所成角的大小为_____________.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
过 作 ，交 于 ，推导出 是 中点，且 平面 ，从而直线 与平面
所成角为 ，由此能求出直线 与平面 所成角的大小．
【详解】过 作 ，交 于 ，
∵在三棱锥 中，平面 平面 ， 且 ，
∴ 为等腰直角三角形， 是 中点，且 平面 ，
∴直线 与平面 所成角为 ，
∵在等腰直角三角形 中 ，∴直线 与平面 所成角的大小为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解
能力，是基础题．
15. 设角 是 的三个内角，已知向量 ，
，且 .则角 的大小为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用 得到三角正弦之间的关系，再根据正、余弦定理求出 ，即得角 .
【详解】因为 ， ，且
所以
即
根据正弦定理得
故根据余弦定理知 ，又因为
得
故答案为： .
【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用，是常考的综合题，属于中档题.
16. 某人有 把钥匙，其中 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，
那么第二次才能打开门的概率为_____________；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为_____________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
不能打开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门，即为第一次取了开不了门的钥匙，余下两把则一定可以开门，
即可求出概率；试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门，即为两次取钥匙互为独立事件，即可求出概率
【详解】有 把钥匙，其中 把能打开门，随机地取一把钥匙试着开门
1、把不能打开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门，即第一次打不开的概率为 ，第二次一定能打开，所
以它的概率是
2、试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门，即第一次打不开的概率为 ，第二次能打开的概率 ，所
以它的概率是
故答案为： ；
【点睛】本题考查了有放回与不放回试验的概率，不放回：前后事件是相关事件，即后发生事件的概率随
前一事件的发生而改变；而有放回：前后事件相互独立，概率始终保持不变
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知 是虚数单位，复数 .
（1）求 ；
（2）随机从复数 中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等于 的概率.【答案】（1） ； ； ； ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）化简 ，再根据复数的模的公式计算即可得答案；
（2）根据古典概型的方法列举基本事件及两个复数的模之积等于 包含的事件，再根据公式计算即可.
【详解】解：（1）由题意知：
，
，
（2）设随机从复数 中有放回的任取两个复数的样本点为 ，
则该随机试验的样本空间为
所以
设事件 “所取两个复数的模之积等于 ”，
则事件 ，所以
所以 .
【点睛】本题考查复数的运算与古典概型问题，考查运算能力，是基础题.
18. 如图，在几何体 中，四边形 为平行四边形， 为 的中点，平面 平面
， 为线段 上的一点， ， 是等边三角形.（1）证明： 平面 ；
（2）证明： ；
（3）证明：平面 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于 点，连接 ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）根据线面平行的性质定理，即可判定线线平行；
（3）根据线面垂直的判定定理，证明 平面 ，再由面面垂直的判定定理，即可证明面面垂直.
【详解】（1）在平行四边形 中，连接 交 于 点，
则 为 的中点，连接 ，
因为点 为 中点，
所以 为 的中位线，
所以 ；所以 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面
所以 ；
（3）因为 为正三角形，点 为 中点，所以 ；
又因为 ， ，
所以 平面 ；
又因为 平面 ；
所以，平面 平面 .
【点睛】本题主要考查证明线面平行，证明线线平行，证明面面垂直，熟记判定定理以及性质定理即可，
属于常考题型.
19. 在① ；② 这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作
答.
在 中，内角 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）求 的周长和面积.
【答案】选择见解析；（1） ； ；（2）周长为 ；面积 .
【解析】
【分析】
（1）若选择①，首先得出 ，然后算出 和 即可，若选择②，求出即可；
（2）由正弦定理算出 即可.
【详解】（1）若选择①：
因为 ， ，所以
所以
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
若选择②：
设 为方程， 的两根
解得 ，且
所以
所以
（2）由正弦定理知：
因为 ， ，
所以所以 的周长为
所以 的面积
【点睛】本题考查的是三角恒等变换、正弦定理和三角形的面积公式，考查了学生对基础知识的掌握情况
和计算能力.
20. 如图，在半圆柱 中， 为上底面直径， 为下底面直径， 为母线， ，点
在 上，点 在 上， ， 为 的中点.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求直线 与直线 所成角的余弦值；
（3）求二面角 的正切值.
【答案】（1） ；（2） ；（3）2.
【解析】
【分析】
（1）求出底面面积与高，然后求解 ．
（2）过 点作圆柱的母线 交 于 ，说明 为直线 与 所成的角，通过求解三角形
推出结果．
（3）说明 为二面角 的平面角，通过求解三角形推出二面角 的正切值．【详解】解：（1）由题意知， 为正三角形，
所以
因为 为圆柱的母线，
所以 平面
所以
（2）过 点作圆柱的母线 交 于
因为 与 均为圆柱的母线，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，所以 为正三角形
又因为 为正三角形，所以 ，
所以 ，所以 为直线 与 所成的角
在 中，
所以由余弦定理知：
所以直线 与直线 所成角的余弦值为（3）因为 平面 ， 平面 ，所以
又因为 ，
所以 平面
所以 ，因此 为二面角 的平面角
在中， ， ，
所以二面角 的正切值为
【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想
象能力以及计算能力，属于中档题．
21. 有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的 （即百万分之一）时，人食
用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出 条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单
位： ），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的 分位数；
（2）有 ， 两个水池，两水池之间有 个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通
过 条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的 条鱼分别放入 水池和 水池中，若这 条鱼的游动相互独立，均有 的
概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的 条鱼都先放入 水池中，若这 条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一
个小孔由 水池进入 水池且不再游回 水池，求这两条鱼由不同小孔进入 水池的概率.
【答案】（1）中位数为 ；众数为 ；极差为 ；估计这批鱼该项数据的 百分位数约为 ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ） .
【解析】
【分析】
(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与
最小数的差； 百分比位数—数据集中有n个数：当np为整数时 ，当np不为整数时 ；
即可求出对应值；(2) （ⅰ）记 ：“两鱼最终均在 水池”； ：“两鱼最终均在 水池”求出概率，
由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记 ：“两鱼同时从第n个小孔通过”且
鱼的游动独立，知 ，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与
“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率
【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为
数据的众数为
数据的极差为
估计这批鱼该项数据的 百分位数约为
（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在 水池”为事件 ，则
记“两鱼最终均在 水池”为事件 ，则
∵事件 与事件 互斥，
∴两条鱼最终在同一水池的概率为
（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件 ，“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件 ， 依次类推；而两鱼的游动独立
∴
记“两条鱼由不同小孔进入 水池”为事件 ，则 与 对立，又由事件 ，事件 ，
互斥
∴
即
【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；
注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不
发生，即不能同时发生
22. 某学校高一 名学生参加数学竞赛，成绩均在 分到 分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这 名学生分数的中位数与平均数；（精确到 ）
（2）某老师抽取了 名学生的分数： ，已知这 个分数的平均数 ，标准差 ，
若剔除其中的 和 两个分数，求剩余 个分数的平均数与标准差.（参考公式： ）（3）该学校有 座构造相同教学楼，各教学楼高均为 米，东西长均为 米，南北宽均为 米.其中
号教学楼在 号教学楼的正南且楼距为 米， 号教学楼在 号教学楼的正东且楼距为 米.现有 种型
号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为 米，每个售价相应依次为 元.若
屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为 元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖
的最小花费.（参考数据： ）
【答案】（1）中位数为 ；平均数为 ；（2）平均数为 ；标准差为 ；（3） 元.
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图能求出中位数、平均分；
（2）由题意，求出剩余8个分数的平均值，由10个分数的标准差，能求出剩余8个分数的标准差；
（3）求出将3座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小直径和将1号教学楼
与2号教学楼完全包裹的球的最小直径，由此能求出让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费．
【详解】（1）因为
所以中位数为 满足
由 ，解得
设平均分为 ，
则
（2）由题意，剩余 个分数的平均值为
因为 个分数的标准差
所以所以剩余 个分数的标准差为
（3）将 座教学楼完全包裹的球的最小直径为：
因此若用一个覆盖半径为 米的屏蔽仪则总费用为 元；
将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为
因此若用 个覆盖半径为 米的屏蔽仪则总费用为 元；
将 号教学楼与 号教学楼完全包裹的球的最小直径为：
又因为
因此若用 个覆盖半径为 米和 个覆盖半径为 米的屏蔽仪则总费用为 元；
所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为 元.
【点睛】本题考查中位数、平均数、标准差、最小费用的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
