文档内容
第二学期期末练习
高一数学
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔
填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题
对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色
字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、
草稿纸上答题无效．
4．本试卷共100分，作答时长90分钟．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. i为虚数单位， （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据虚数单位 的运算性质，直接计算得到结果.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：A.
【点睛】本题考查有关虚数单位 的计算，难度容易.注意结合 去计算.
2. 如图所示，下列四个几何体：其中不是棱柱的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据棱柱的定义直接判断出结果.
【详解】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平
行.
由此可知②中没有互相平行的平面，所以不是棱柱，
故选：B.
【点睛】本题考查棱柱的定义，主要考查学生对棱柱概念的理解，难度容易.
3. ， 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
A．分析方向；B．分析夹角；C．根据数量积计算结果进行判断；D．根据模长运算进行判断.
【详解】A． 可能方向不同，故错误；
B． ，两向量夹角未知，故错误；
C． ，所以 ，故错误；D．由C知 ，故正确，
故选：D.
【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度
较易.
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公理 对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.
对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.
对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个
平面，所以C选项正确.
对于D选项，圆 的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所
以D选项错误.
故选：C
【点睛】本小题主要考查公理 的理解和运用，属于基础题.
5. 某同学记录了自己两周的微信记步数信息，并绘制了折线图如图所示．记该同学第一周和第二周步数的
方差分别为 ， ，则（ ）A. B.
C. D. 无法判断 与 的大小关系
【答案】A
【解析】
【分析】
利用方差表示数据的特征，方差越小越稳定直接得出结果．
【详解】解：由于第一周的数据比较稳定，所以 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了方差表示数据的特征，属于基础题．
6. 设a，b是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果 ， ，那么 ；
②如果 ， ， ，那么 ；③如果 ， ，那么 ；
④如果 ， ，那么 ．
其中正确命题的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断.
【详解】①如果 ， ，则 可以相交、平行或异面，故错误；
②如果 ， ， ，则 没有公共点，所以 可以平行或异面，故错误；
③如果 ， ，则 ，故正确；
④如果 ，不妨设 ，又 ，则当 时， ，则当 不垂直于 时， 与 不垂
直，故错误，
故选：C.
【点睛】本题考查空间中直线、平面有关命题真假的判断，主要考查对空间中位置关系的理解，难度一般.
7. 在 中，D是BC的中点，如果 ，那么（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的三角形法则可知 ，再将 用 的形式表示出来，则 的值可求.
【详解】如图所示：因为 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】本题考查平面图形中向量的线性运算，涉及向量三角形法则的运用，难度较易.
8. 如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
根据球与正方体位置关系，分析出球 的半径，由此球的体积可求.
【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的 ，
所以球的半径为 ，所以球的体积为 ，
故选：D.
【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正
方体棱长的 ；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的 .
9. 如图所示，在复平面内，复数 ， 所对应的点分别为A，B，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 并结合复数的几何意义得到 的表示.
【详解】因为 ， 与 对应， 与 对应，
所以 ，
故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数 和复平面内的点 一一对应，
同时复数 和平面向量 也一一对应.
10. 点M，N，P在 所在平面内，满足 ， ，且
，则M、N、P依次是 的（ ）
A. 重心，外心，内心 B. 重心，外心，垂心
C. 外心，重心，内心 D. 外心，重心，垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】解： ， ，
设 的中点 ，则 ，
， ， 三点共线，即 为 的中线 上的点，且 ．
为 的重心．
，
，
为 的外心；
，
，
即 ， ，
同理可得： ， ，
为 的垂心；
故选： ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 复数 __________．
【答案】 ;
【解析】
【详解】 ，故答案为
12. 某中学共有教师300名，其中男教师有180名．现要用分层抽样的方法从教师中抽取一个容量为50的
样本，应抽取的男教师人数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结
果 .
【详解】因为分层抽样的抽样比为 ，
所以应抽取 的男教师人数为： 人，
故答案为： .
【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，涉及到抽样比的计算，难度较易.分层抽样的抽样比等于样本容量
除以总体容量，也等于各层样本数量除以各层个体数量.
13. 已知 ， 是两个不共线的向量，若向量 与 共线，则实数 __________．【答案】
【解析】
【分析】
根据向量 的共线定理表示出 与 的关系，然后列出关于 的方程组求解出 的值即可.
【详解】因为 与 共线，设 ，
又因为 不共线，所以 ，所以 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值，难度较易.向量 与非零向量 共线时，有且仅有一个实数
使得 .
14. 在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的大小
为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出图示，根据 ，先判断出异面直线所成角是哪个角，然后根据线段长度求解出异面直线所成角
的大小.
【详解】如图所示：因为 ，所以异面直线 与 所成角即为 （ 为锐角），
又因为 ，所以 且 ，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查求解异面直线所成角，难度较易.求解异面直线所成角，关键是能通过直线的平行关系，
将直线平移至同一平面内，最后再进行求解.
15. 在一次数学测验中，某学习小组10位同学的得分情况如下表，则该小组成绩的众数是__________；平
均数是__________．
分数 95 90 85 80 75
人数 1 2 4 2 1
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据众数的概念结合表中数据直接得到众数，利用平均数的计算公式结合表中数据计算出平均数.
【详解】因为分数为 的人数最多，所以众数为 ，
又 ，所以平均数为 ，
故答案为： ； .
【点睛】本题考查根据数据求解众数和平均数，主要考查学生对众数的理解以及平均数计算公式的简单运
用，难度容易.
16. 在正方体 中，P为线段 上的任意一点，有下面三个命题：① 平面；② ；③ ．上
述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错.
【详解】①如下图所示：因为平面 平面 ， 平面
，所以 平面 ，故①正确；②连接 ，如下图所示：
因为 平面 ，所以 ，
又因为 且 ，所以 平面 ，
又因 为平面 ，所以 ，故②正确；
③连接 ，如下图所示：因为 平面 ，所以 ，又因为 ，且 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
由②的证明可知 ，且 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，故③正确，
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运
用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.
三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 在 中，已知 ， ， ，求c和 的值．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
由已知结合余弦定理可求 ，然后结合正弦定理可求 ．
【详解】解：因为 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
，
由正弦定理可得， ，
．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
18. 已知 ， ．
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）当 为何值时，向量 与 互相垂直？【答案】（Ⅰ） ， ＝2；（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算；
（Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解．
【详解】（Ⅰ）由题意 ；
．
（Ⅱ） ，
因为向量 与 互相垂直，
所以 ，解得 ．
【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．
19. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用
电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（I）求a的值；
（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；
（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%
的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．【答案】（I） ；（Ⅱ） ；（III） kW·h.
【解析】
【分析】
（1）根据频率和为 计算出 的值；
（2）根据频率分布直方图计算出“用电量大于250kW·h”的频率，再将该频率乘以对应的总户数即可得
到结果；
（3）根据频率分布直方图计算出频率刚好为 时对应的月用电量，由此可得到第一档用电标准.
【详解】（1）因为 ，所以 ；
（2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为 ，
所以用电量大于250kW·h的户数为： ，
故用电量大于250kW·h有 户；
（3）因为前三组的频率和为： ，
前四组的频率之和为 ，
所以频率为 时对应的数据在第四组，
所以第一档用电标准为： kW·h.
故第一档用电标准为 kW·h.
【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，主要考查利用频率分布直方图进行相关计算，对学生读取
图表信息和计算能力有一定要求，难度一般.
20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面 底面ABCD，E为侧棱PD上一点．（Ⅰ）求证： 平面ABE；
（II）求证： ；
（III）若E为PD中点，平面ABE与侧棱PC交于点F，且 ，求四棱锥P-ABFE的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析；（III） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明；
（II）由面面垂直的性质定理证明 平面 ，然后可得线线垂直；
（III）证明 就是四棱锥 的高，然后求得底面积，得体积．
【详解】（Ⅰ）证明：因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（II）证明：因为侧面 底面ABCD， ，平面 平面ABCD ， 平面
，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（III）因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以 ，
，则 ．所以 是直角梯形，又 是 中点，所以 ， ，
所以 ，
由（II） 平面 ， 平面 ，所以 ，从而 ，
正三角形 中， 是 中点， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， ，
所以 ．【点睛】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理，考查求棱锥的体积．旨在考查
学生的空间梘能力，逻辑推理能力．属于中档题．
