文档内容
第二学期期末质量监测
高一数学试卷
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 平面向量 ， 满足 ．如果 ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量数乘运算可直接计算求得结果.
【详解】由向量数乘运算可知： .
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量数乘运算的坐标表示，属于基础题.
2. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
试题分析： 对应的点为 在第二象限
考点：复数运算
点评：复数运算中分子分母同乘以分母的共轭复数，复数 对应的点为
3. 已知某圆柱底面的半径为1，高为2，则该圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】
根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.
【详解】解:因为圆柱的底面半径为1，高为2，
所以圆柱的表面积 .
故选：C.
【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.
4. 已知 ，且 ，那么 等于（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用同角三角函数关系可求得 ，由两角和差正切公式可求得结果.
【详解】 ， ， ， ，
.
故选：A.
【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数的求解问题，属于
基础题.
5. 已知复数 的实部为 ，其中 为虚数单位，则实数 的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数的乘法运算和实部的定义可构造方程求得结果.【详解】 且实部为 ， ，解得： ，
故选：C.
【点睛】本题考查根据复数实部的定义求解参数值的问题，涉及到复数的乘法运算，属于基础题.
6. 如图，在矩形 中， 为 中点，那么向量 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算，直接可得出结果.
【详解】因为在矩形 中， 为 中点，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题型.
7. 如图，正方体 的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面 与底面
ABCD所成的二面角的余弦值为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
显然 平面 ，所以 就是平面 与底面ABCD所成的二面角的平面角，再解三
角形即可.
【详解】解：在正方体 中， 平面 ，
E、F分别为棱AD、BC的中点，所以 ，所以 平面 ，
所以 ，
所以 就是平面 与底面ABCD所成的二面角的平面角，
，
故选：B.
【点睛】思路点睛：按照二面角的平面角的定义先找到平面角，再求角.找角时注意找与二面角的棱垂直
的平面与两个半平面的交线就是平面角，求角时一般是解三角形，二面角平面角的范围是 ，基础题.
8. 已知两条直线m，n和平面 ，那么下列命题中 的真命题是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间中线线、线面位置关系，逐项判定，即可得出结果.
【详解】A选项，若 ， ，则 与平面 的关系可以是相交，平行或在面内，故A错；
B选项，若 ， ，则 与平面 的关系可以是在面内，或平行，故B错；
C选项，若 ， ，根据线面垂直的性质，可得 ，故C正确；
D选项，若 ， ，则 与 的关系可以是相交，异面或平行，故D错.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面有关命题的判定，属于基础题型，解决此类问题的关键在于熟记
空间中线面、线线位置关系，考查学生的空间想象能力.
9. 已知向量 ， ，那么向量 与 的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 垂直 C. 夹角是锐角 D. 夹角是钝角
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝
角.
【详解】因为 ， ，
，
所以向量 与 的位置关系是夹角为钝角，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据
数量积的符号判断其交集，属于简单题目.
10. 如图，在棱长为 的正方体 中，P为线段 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）
A. 平面 平面 B.
C. 三棱锥 的体积为定值 D. 的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】
证明出 平面 ，利用面面垂直的判定定理可判断A选项的正误；证明出 平面 ，利
用线面垂直的性质可判断B选项的正误；以点 为顶点计算三棱锥 的体积，可判断C选项的
正误；设 ，取 ，利用余弦定理计算出 的符号，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，由于四边形 为正方形，则 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
平面 ，所以，平面 平面 ，A选项正确；
对于B选项，连接 、 ，如下图所示：由于四边形 为正方形，则 ，
在正方体 中， 平面 ，
平面 ， ，
， 平面 ，
平面 ， ，B选项正确；
对于C选项，设 ，则 为 的中点，则 ，
，
平面 ， ，C选项正确；
对于D选项，连接 ，设 ，在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
平面 ， 平面 ， ，
在 中， ， ， ，
，
由余弦定理可得 ，
当 时， ，此时 为钝角，D选项错误.
故选：D.【点睛】在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通
过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面
垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问
题的关键．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知复数 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据共轭复数的概念，先得到 ，再由复数的乘法运算，即可得出结果.
【详解】因 为，所以 ，
因此 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查共轭复数的相关计算，属于基础题型.
12. _____.
【答案】
【解析】
【分析】
由 ，利用两角差的余弦公式可得结果.
【详解】，故答案为 .
【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数，属于基础题.
13. 如图，若正方体 的棱长为1，则异面直线AC与 所成的角的大小是__________；
直线 和底面ABCD所成的角的大小是__________．
【答案】 (1). (2). .
【解析】
【分析】
①通过平行关系，直线 与直线 所成角即直线 与直线 所成角，解三角形即可得解；
②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可.
【详解】作图：连接 交 于 ，连接①在正方体中， ，易得 为等边三角形，
由 与 平行且相等，则四边形 为平行四边形， ，
直线 与直线 所成角即直线 与直线 所成角，
所以所成角为 ；
②正方体中， 平面 ，
所以 就是直线 和平面 所成的角
由于 ， ， 是等腰直角三角形，所以 ，
所以直线 和底面ABCD所成的角的大小 .故答案为：① ；② .
【点睛】此题考查求异面直线所成的角和直线与平面所成角，通过平行线求异面直线夹角，通过垂直关系
根据定义找出线面角即可求解.
14. 已知向量 ， ， ，且 与 方向相同，那么 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中条件，先设 ，再由向量模的坐标表示，根据向量的模列出方程求出参数，即
可得出结果.
【详解】因为向量 ，且 与 方向相同，
所以可设 ，
又 ，所以 ，解得 （负值舍去），
所以
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查由向量的模求向量，解题的关键在于设出向量的坐标，结合题中条件
确定等量关系求出参数，本题中根据向量同向，先设 ，再由向量模列出等量关系，考
查学生的运算求解能力，属于基础题型.
15. 在 中， ， ， ，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运
动，且点C位于第一象限，则点C到原点O的距离的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量数量积的运算可得 ，由点的轨迹可得点 在以 为直径的圆周上运动，再求解即可.
【详解】由 ，则 ，即 ,
又点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上运动，即 ，
则点 在以 为直径的圆周上运动，且该圆过点 ，
又
则 ，当且仅当 为直径时取等号，
即点 到原点 的距离的最大值是 ，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查动点到定点距离的最值问题，考查向量数量积的运算，解题的关键在于确
定动点的轨迹，本题中根据向量模相等，以及点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，得到点 都
在以 为直径的圆上，考查了转化与化归的思想，属于常考题型.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)由平方关系先求 的值，再根据两角和的正弦公式代入即可；
(2)先求 的值，根据平方关系和二倍角公式把 化成关于 的表达式，然后代入即可.【详解】解： ， ， ，
（1） ；
（2） ，
【点睛】关键点点睛：本题考查已知三角函数值求函数值，方法是利用三角函数的恒等变形，中档题.
17. 设 的内角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据同角三角函数关系求得 ，利用正弦定理求得结果；
（2）利用余弦定理构造方程求得 ，由三角形面积公式求得结果.
【详解】（1） 且 ， ， ，
由正弦定理得： .
（2）由余弦定理得： ，解得： 或 （舍），.
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形的问题，考查学生对于正弦定理、余弦定理和三角形面积公式掌握
的熟练程度，属于基础题.
18. 如图，在四棱锥 中，已知底面 为平行四边形，点 为棱 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）设平面 平面 ，点 在 上，求证： 为 的中点．
【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解.
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，直接证明，即可得出结果.
（2）先由线面平行的性质定理，得到 ，进而可得结论成立.
【详解】（1）因为底面 为平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）知， 平面 ，又因为平面 平面 ，
根据线面平行的性质定理，可得， ，
因为 ，所以 ，又点 为棱 的中点，点 在 上，
所以 为 的一条中位线，因此 为 的中点.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查证明线面平行，考查由线面平行判断线线平行，解题的关键在于熟记
线面平行的判定定理及性质定理，将第二问要证明的结论，转化为证明 即可，属于基础题.
19. 己知平面向量 ， ， ， ，且 与 的夹角为 ．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）若 与 垂直，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由数量积定义可直接求得结果；
（2）结合数量积的运算律可求得 ，进而得到结果；
（3）根据垂直关系得到 ，由数量积 的运算律构造方程求得结果.
【详解】（1） ；
（2） ， ；
（3） ， ，
即 ，解得： .
【点睛】本题考查平面向量数量积、向量模长的求解、根据向量垂直关系求解参数值的问题，解题关键是
熟练应用平面向量数量积的运算律，属于基础题.
20. 如图，三棱柱 的侧面 是平行四边形， ，平面 平面，且P，E，F分别是AB，BC， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）利用 ，由面面垂直得出线面垂直，进而可得 平面
（2）利用面面平行定义，得到平面 平面 ，然后，根据 平面 ，即可证明平
面 平面
【详解】（1）由已知得，平面 平面 ，而平面 平面 ，
又由 ，又因为 平面 ，可得 平面
（2）由P，E，F分别是AB，BC， 的中点，根据中位线的定义， 和 ，又因为
， 不属于平面 ，所以， 平面
， 不属于平面 ，所以， 平面
，又因为 与 相交，且 平面 ， 平面 ，所以，平面 平面 ，
又因为根据（1）， 平面 成立， 平面 ，所以，平面 平面 ，
所以，平面 平面
【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的运用，属于基础题
21. 如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB的中点．将三角形ADE沿线段DE折
起到PDE的位置，如图2所示．
（1）求证： ；
（2）试问平面PFC与平面PBC所成的二面角是否为 ，如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面 平面PEN？若存在，请指出点M，N的
位置，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）平面 与平面 所成的二面角为 ，证明见解析；（3）存在
满足条件的 ， 分别为 中点，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据线面垂直的判定可证得 平面 ，由线面垂直性质可证得结论；
（2）根据平行关系可证得 平面 ，由面面垂直的判定可证得两平面垂直，由此得到所成角为
；（3）利用平行四边形和三角形中位线性质可证得线线平行关系，由此证得线面平行和面面平行，从而确
定存在满足条件的 .
【详解】（1） 四边形 为菱形， ，即 ， ，
又 平面 ， ， 平面 ，
平面 ， .
（2）平面 与平面 所成的二面角为 ，证明如下：
为 中点且四边形 为菱形， ，
四边形 为平行四边形， ，
由（1）知： 平面 ， 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，即平面 与平面 所成的二面角为 .
（3）存在满足条件的 ， 分别为 中点，证明如下：由（2）知：四边形 为平行四边形，
又 分别为 中点， ， 四边形 为平行四边形，
，又 平面 ， 平
面 ， 平面 ；
分别为 中点， 为 中位线，
，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 平面 .
【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系、面面垂直与平行关系的证明问题，涉及到线面垂直的判定与
性质、面面垂直的判定、线面平行与面面平行的判定等定理的应用，属于常考题型.
