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高一数学试题
2020.7
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知复数 是纯虚数，则实数m＝（ ）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态 的满意程度的指标，常用区间 内的一
个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，
6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9
3. 设 为平面， ， 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
.
A 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
4. 已知在平行四边形 中，点 、 分别是 、 的中点，如果 ， ，那么向
量 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马 的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；
田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有
上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（
）A. B. C. D.
7. 如图所示，为了测量山高 ，选择 和另一座山的山顶 作为测量基点，从 点测得 点的仰角
， 点的仰角 ， ，从 点测得 ．已知山高
，则山高 （单位： ）为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系 中，原点 为正八边形 的中心， 轴，若坐标轴
上的点 （异于点 ）满足 （其中 ，且 、 ），则满足以上条件
的点 的个数为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）
A.
B. 复数z的共轭复数为 ＝﹣1﹣i
C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限
D. 复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根
10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在 ，
， ， ， 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A. 样本中女生人数多于男生人数 B. 样本中 层人数最多
C. 样本中 层次男生人数为6人 D. 样本中 层次男生人数多于女生人数
11. 已知事件 ， ，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果 ，那么 ，
B. 如果 与 互斥，那么 ，
C. 如果 与 相互独立，那么 ，
D. 如果 与 相互独立，那么 ，
12. 如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A. 若点 ， 分别是线段 ， 的中点，则
B. 点 到平面 的距离为
C. 直线 与平面 所成的角等于
D. 三棱柱 的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 ，则
________.
14. 已知数据 ， ， ，…， 的平均数为10，方差为2，则数据 ， ， ，…，
的平均数为________，方差为________.
15. 已知 ， ， ，则 与 的夹角为________.
16. 如图，在三棱锥 中， ， ， ，且 ， ，则二面
角 的余弦值是_____．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量 .
（1）若向量 ，且 ，求 的坐标；
（2）若向量 与 互相垂直，求实数 的值.
18. 已知 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边，且 ， ， ．
（1）求 及 的面积 ；
（2）若 为 边上一点，且，______，求 的正弦值．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．
19. 在四面体 中，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，且 ， .
（1）求证： 平面 ；（2）求异面直线 与 所成 的角.
20. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组
织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，
甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 ，乙队每人回答问题正确的概
率分别为 ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
21. 如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ，点 为线段
的中点，点 为线段 上一点.
（1）求证：平面 平面 .
（2）当 平面 时，求三棱锥 的体积.
22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、
外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱
好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满
分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某
学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成
7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，
画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；
（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）；
（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和
[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问
卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．
