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高一数学阶段检测题
一､单选题
1.下列条件中，能判断平面 与平面 平行的是（ ）
A. 内有无穷多条直线都与 平行 B. 与 同时平行于同一条直线
C. 与 同时垂直于同一条直线 D. 与 同时垂直于同一个平面
【答案】C
【解析】
【分析】
利用空间几何元素的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】A. 内有无穷多条直线都与 平行,则 还可能和 相交，所以该选项错误；
B. 与 同时平行于同一条直线，则 还可能和 相交，所以该选项错误；
C. 与 同时垂直于同一条直线，则 和 平行，所以该选项正确；
D. 与 同时垂直于同一个平面，则 还可能和 相交，所以该选项错误.
故选：C
【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们 的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80
的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（ ）
A. 630 B. 615 C. 600 D. 570
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可.
【详解】高一年级共有学生1200人，
按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，
样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为： .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.
3.已知某种产品的合格率是 ，合格品中的一级品率是 .则这种产品的一级品率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】设事件A为合格品，事件B为一级品，则
所以
故选：A
【点睛】本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
4. 是空气质量的一个重要指标，我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均
值在 以下空气质量为一级，在 之间空气质量为二级，在 以上空
气质量为超标.如图是某地 月 日到 日 日均值（单位： ）的统计数据，则下列叙述不
正确的是（ ）
A. 从 日到 日， 日均值逐渐降低B. 这 天的 日均值的中位数是
C. 这 天中 日均值的平均数是
D. 从这 天的日均 监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
【答案】B
【解析】
【分析】
由折线图数据可判断出 正确；由数据可计算得到中位数和平均数，知 错误， 正确；根据古典概型可
计算得到 正确.
【详解】 选项： 日到 日，由折线图知 日均值每日逐渐降低， 正确；
选项：这 天 日均值的中位数为 ， 错误；
选项： 日均值的平均数为 ， 正确；
选项： 天中，空气质量为一级的有 天，则随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率为 ，
正确.
故选：
【点睛】本题考查根据统计图表判断命题的问题，涉及到平均数、中位数和古典概型的相关知识，属于基
础题.
5.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面
体．如图，五面体 是一个刍甍，其中 是正三角形， ，则以下两个结
论：① ；② ，（ ）
A. ①和②都不成立 B. ①成立，但②不成立C. ①不成立，但②成立 D. ①和②都成立
【答案】B
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质及勾股定理即可判断.
【详解】解：∵ ，CD在平面CDEF内，AB不在平面CDEF内，
∴ 平面CDEF，
又EF在平面CDEF内，
由AB在平面ABFE内，且平面 平面 ，
∴ EF，故①对；
如图，取CD中点G，连接BG，FG，由AB＝CD＝2EF，易知 GF，且DE＝GF，
不妨设EF＝1，则 ，
假设BF⊥ED，则 ，即 ，即FG＝1，但FG 的长度不定，故假设不一定成
立，即②不一定成立.
故选：B.
【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题.
6.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数
出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】
由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，
进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A) ，P(B) ，
又小于5 的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B) ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
7.现对 有如下观测数据
3 4 5 6 7
16 15 13 14 17
记本次测试中， 两组数据的平均成绩分别为 ， 两班学生成绩的方差分别为 ， ，则（
）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平均数以及方差的计算公式即可求解.【详解】 ， ，
，
，故 ，
故选：C
【点睛】本题考查了平均数与方差，需熟记公式，属于基础题.
8.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点， 垂足为E，点
F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒
A. 平面PAC B. C. D. 平面 平面PBC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC选项，由面面垂直的判定可判断D.
【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而 底面圆面，则 ，
又由圆的性质可知 ，且 ，
则 平面PAC.所以A正确；
对于B，由A可知 ，由题意可知 ，且 ，所以 平面 ，而
平面 ，所以 ，所以B正确；
对于C，由B可知 平面 ，因而 与平面 不垂直，所以 不成立，所以C错误.对于D，由A、B可知， 平面PAC， 平面 ，由面面垂直的性质可得平面 平面
PBC.所以D正确；
综上可知，C为错误选项.
故选：C.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.
二 ､多选题
9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.
【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.
故选：AB.
【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属
于基础题.
10.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列
结论正确的是（ ）
A. 女生身高的极差为12 B. 男生身高的均值较大
C. 女生身高的中位数为165 D. 男生身高的方差较小
【答案】AB【解析】
【分析】
从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可（当做也可计算实际值）．
【详解】女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B
正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差
小，D错．（也可实际计算均值和方差比较）．
故选：AB.
【点睛】本题考查茎叶图，考查学生的数据处理能力．掌握样本数据特征如极差、方差、均值、中位数是
解题基础．
11.下面四个正方体图形中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、 分别为其所在棱的中点，能得出
平面 的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A判断．由线面平行 判定定理对D判断，由线面相交
的定义对B，C判断．
【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）
A如图连接 ，可得 ，从而得 平面 ， 平面 ，于是有平
面 平面 ，∴ 平面 ，B．如图连接 交 于点 ，连接 ，易知在底面正方形中 不是 中点（实际上是四等分点中
靠近 的一个），而 是 中点，因此 与 不平行，在平面 内， 与 必相交，此交
点也是直线 与平面 的公共点，直线 与平面 相交而不平行，
C.如图，连接 ，正方体中有 ，因此 在平面 内，直线 与平面 相交而不平
行，
D.如图，连接 ，可得 ， ，即 ，直线 与平面 平行，
故选：AD
【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础．12.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为正三角形，且平面
平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 在棱 上存在点M，使 平面
B. 异面直线 与 所成的角为90°
C. 二面角 的大小为45°
D. 平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.
【详解】解：如图，对于 ，取 的中点 ，连接 ，∵侧面 为正三角形，
，又底面 是菱形， ， 是等边三角形，
，又 ， ， 平面 ，
平面 ，故 正确.
对于 ， 平面 ， ，即异面直线 与 所成的角为90°，故 正确.
对于 ，∵平面 平面 ， ， 平面 ， ，是二面角 的平面角，设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，故二面角 的大小为45°，故
正确.
对于 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，故 错误.
故选：
【点睛】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.
三､填空题
13.已知三个事件A，B，C两两互斥且 ，则
P(A∪B∪C)=__________.
【答案】0.9
【解析】
【分析】
先计算 ，再计算
【详解】
故答案为0.9
【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.
14.正四棱柱 中, 则 与平面 所成角的正弦值为
____ ．
【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 连 接 , 则 为 与 平 面 所 成 角 ， 在 中 ，考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力与运算求解能力.
点评：求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上
的射影来完成；（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.
15.某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已
知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为
______________，80%分位数是______________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用极差和百分位数的概念求解.
【详解】由题意知：
数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是 ；
所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是 .
故答案为：7，8.5.
【点睛】本题主要考查极差和百分位数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16.在四棱锥 中，底面四边形 为矩形， 平面 ， ， 分别是线段
的中点，点 在线段 上，若 ， ， ，则 ____________.【答案】
【解析】
【分析】
取 的中点 ，连接 ，则 ，可证 平面 ，从而可得 平面 ，即可得
，进而可证 平面 ，可得 ，在直角 中，利用等面积法即可求出 的
长.
【详解】取 的中点 ，连接 ，则
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
又 ， ， 平面 ,
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 .
因为 分别为 的中点，所以 ，所以 ,
在直角 中， ，所以 ，
所以 .故答案为：
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.
四､解答题
17.为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧起坐的成绩(次
数)，测试成绩如下：
30 35 42 33 34 36 34 37 29 40
（1）这10名学生的平均成绩 是多少？标准差s是多少？
（2）次数位于 与 之间有多少名同学？所占的百分比是多少？(参考数据：3.82≈14.6)
【答案】（1）平均成绩： ，标准差： ；（2）次数位于 与 之间的有6位同学， .
【解析】
【分析】
（1）根据平均数公式以及标准差公式分别求解即可；
（2）先求 ， ，再确定位于 与 之间学生人数，最后求百分比.
【详解】（1）10名学生的平均成绩为： .
方差： ，
即标准差 .
（2） ， ，
所以次数位于 与 之间的有6位同学，
所占的百分比是 .
【点睛】本题考查平均数、标准差、百分比，考查基本分析求解能力，属基础题.
18.某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学
年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中 分数段的人数比 分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；(中位数保留两位
小数)
（2）现用分层抽样的方法从分数在 ， 的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同
学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
【答案】（1） ， ，中位数： ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图的面积和为1、这100人中 分数段的人数比 分数段的人数多6
人列式求解a，b的值，再根据中位数左右两边的面积均为 计算即可.
（2）在分数为 的同学中抽取4人，分别用 ， ， ， 表示，
在分数为 的同学中抽取2人，分别用 ， 表示，再利用枚举法求解即可.
【详解】（1）依题意 ， ，
解得 ， ，
中位数 为 .（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A
由题意知，在分数为 的同学中抽取4人，分别用 ， ， ， 表示，
在分数为 的同学中抽取2人，分别用 ， 表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有： ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共15种，
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有： ， ， ， ， ，
， ， 共8种，
所以 ，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为 .
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础
题.
19.国家射击队的某队员射击一次，命中710环的概率如表所示：
~
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该射击队员射击一次 求:
（1）射中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．
【答案】(1)0.6;(2)0.78;(3)0.22.
【解析】
分析：（1）根据互斥事件概率加法得结果，（2）根据互斥事件概率加法得结果，（3）根据对立事件概
率关系求结果.
详解：
记事件“射击一次，命中k环”为A（k∈N，k≤10），则事件A 彼此互斥．
k k
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A，A 之一发生时，事件A发生，由互斥事件
9 10的加法公式得
P（A）=P（A）+P（A ）=0.32+0.28=0.60
9 10
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A，A，A 之一发生时，事件B发生.由互斥事
8 9 10
件概率的加法公式得
P（B）=P（A）+P（A）+P（A ）=0.18+0.28+0.32=0.78
8 9 10
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环” 的对立事件：即 表
示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得
P（ ）=1-P（B）=1-0.78=0.22
点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互
独立，则P(AB)=P(A)P(B).
20.如图，四棱锥 的侧面 是正三角形， ，且 ， ， 是
中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，且 ，求多面体 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取 的中点 ，连接 ，通过证明四边形 是平行四边形，证得 ，由此证得
平面 .
（2）取 中点 ，连接 ，通过割补法，由 计算出多面体的体积.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 是 中点，
所以 ，且 ，
又因为 ， ，
所以 ， ，
即四边形 是平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，
因为 是正三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，且交线为 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以 ，
故 ， ，
因为 是 中点，所以点 到平面 的距离等于 ，
所以多面体 的体积为：.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查锥体体积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属
于中档题.
21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍
数”，事件C：“两个数均为偶数”．
（I）写出该试验的基本事件 ，并求事件A发生的概率；
（II）求事件B发生的概率；
（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．
【答案】（I）| |=36，P（A）= （II） （III）
【解析】
【分析】
（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件 发生的概率.（II）根据
（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件 发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事
件，利用古典概型概率计算公式求得事件 与事件 至少有一个发生的概率.
【详解】（I）所有可能的基本事件为：共 种.
其中“两数之和为 ”的有 共 种，故 .
（II）由（I）得“两数之和是 的倍数”的有
共 种，故概率为 .
（III）由（I） “两个数均为偶数”的有 种，“两数之和为 ”的有
共 种，重复的有 三种，故事件 与事件 至少有一个发生的有 种，概
率为 .
【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.
22.如图1，等腰梯形 中， ， 是 的中点.将 沿
折起后如图2，使二面角 成直二面角，设 是 的中点， 是棱 的中
点.（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）判断 能否垂直于平面 ，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3） 与平面 不垂直，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明 ，只需证明 平面 ，利用 与 E是等边三角形，即可证明；
（2）证明平面 平面 ，只需证明 平面 ，只需证明 平面 即可；
（3） 与平面 不垂直.假设 平面 ，则 ，从而可证明 平面 ，可得
，这与 矛盾.
【详解】（1）证明：设 中点为 ，连接 ，
∵在等腰梯形 中， ， ， ， 是 的中点，∴ 与
都是等边三角形.
∴ ， .
∵ ， ､ 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ .
（2）证明：连接 交 于点 ，∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴
是线段 的中点.
∵ 是 的中点，∴ .
∵ 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 .（3）解： 与平面 不垂直.
证明：假设 平面 ，则 ，∵ 平面 ，∴ .
∵ ， ､ 平面 ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ ，这与 矛盾.
∴ 与平面 不垂直.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定
理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化.
