文档内容
第二学期高一年级阶段数学检测
必修第四册学分认定考核试卷
说明：本试卷选择题（1-10题）为客观性试题（闭卷30分钟，共40分），填空题与四道大
题（11-19题）为主观性试题（开卷60分钟，共60分（其中含卷面书写分5分）），全卷共
100分；请将答案写在答题纸的相应位置上.
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）
1. 下面四个说法中，正确说法的个数为（ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若 ， ， ，则 ；
（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一
个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理 判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相
交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.
【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；
利用平面的基本性质中的公理 判断（3）正确；
空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的
3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.
2. 设 是一条直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ）A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
对于选项A：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项 B：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于
选项C：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D：根据线面的位置关系判断即可.
【详解】对于选项A：若 ， ，则 或 ，故A不正确；
对于选项B：若 ， ，则 或 或 ，故B不正确；
对于选项C：若 ， ，根据面面平行的性质定理可得 ，故C正确；
对于选项D：若 ， ，则 或 ，故D不正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.
3. 在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A. B. 3 C. D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据余弦定理即可得出结果.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，
即 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了通过余弦定理解三角形，属于基础题.
4. 在 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
.
A ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
【答案】D
【解析】
【分析】
在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解．根据正弦定理判断．
【详解】A：已知两角和一边，三角形确定，只有一解；
B：已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；
C：已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解；
D： ，有两解．
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角形解的个数问题，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．三角形解的个数中只
有在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解，注意判断方法．属于较易题.
5. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出圆柱的高 ，找到侧面积 和 之间的关系，即可求得体积.
【详解】根据题意，不妨设圆柱的高为 ，又因为轴截面为正方形，
故可得底面半径为 .则 ，解得 ，
故可得圆柱体积 .
故选：D.
【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积的求解，属基础题.
6. 把边长为4的正方形 ，沿对角线 折成空间四边形 ，使得平面 平面 ，则
空间四边形 的对角线 的长为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用正方形对角线垂直知对折后 平面 即 ，在 求 即可.
【详解】如图所示，正方形 ，对角线交于O点，则 ，沿对角线 折成空间四边形
后，有 ， ，
而平面 平面 ，交线是BD，故 平面 ，即 ，所以 是等腰直角三角形，故 .
故选：A.
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，属于基础题.
7. 在 中， ， ， ，则 的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件先求出 ，在 中，利用正弦定理求出 ，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】由 ， ，
得 ，
在 中，
由正弦定理得：
，
则 的面积是：
，
所以 的面积是 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理以及三角形面积公式,考查了两角和的正弦公式.属于较易题.
8. 已知过球面上 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 ，则球面积
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ D是正△ABC的中心，∴ AD是△ABC的外接圆半径.
∵ AD＝ ，
又OD＝ ＝ OA，OA ＝OD ＋AD ，∴ R ＝ ，
∴ R ＝ ，∴ 球的表面积S＝4πR ＝ .
故选C
9. 如图，在正方体 中，点 在面对角线 上运动，给出下列四个命题：① 平
面 ；② ；③平面 平面 ；④三棱锥 的体积不变.则其中所有正确
命题的序号是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】
由面面平行的判定与性质判断①正确；由特殊点可以说明②错误；由线面垂直的判定及面面垂直的判定判
断③正确；利用等积法说明④正确．
【详解】对于①，连接 ， ，可得 ， ，
∴平面 平面 ，从而有 平面 ，故①正确；对于②，连接 ，可知 是等边三角形，三角形内角为 ，
所以 所成角为 ，
所以当点 与 重合时，不满足 ，故②错误；
对于③，连接 ，由 且 ，可得 平面 ，
又 平面 ，由面面垂直的判定知平面 平面 ，故③正确；
对于④，容易证明 ，从而 平面 ，
故 上任意一点到平面 的距离均相等，
∴以 为顶点，平面 为底面，则三棱锥 的体积不变，故④正确．
∴正确命题的序号是①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查空间几何元素位置关系的证明，考查三棱锥的体积的计算，意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10. 三棱锥 中，侧面 底面 ， ， ， .则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件得到 ，设 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ，利用面面垂直性质定理得到 面 ，进而得到 ；再利用线面垂直的判定定理得到
面 ，进而得到 ；最后利用线面垂直的判定定理得到 面 ，以 为坐标原点，
为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间坐标系，设 ，写出点坐标，
利用两个向量的数量积是否为 判断两条线的垂直关系即可.
【详解】
由 ， ，
得 ，故选项A错误；
设 的中点为 ， 的中点为 ，
连接 ，
由题意得： ，
又面 面 ，
且面 面 ，
面 ，
所以 面 ，
又 面
所以 ；,
所以 ，
又 ， ,
面 ，
则 面 ，
所以 ；
又 ,
面 ，
所以 面 ，
则 ，
所以以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间坐标系，
设 ，
则 ，
所以 ，
，
所以 ，
故 ，选项BD错误，选项C正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理，考查了利用空间向量求解两条直
线的垂直问题.属于中档题.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸中相应位置上.
11. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ，则角 的大小为
________.
【答案】
【解析】【分析】
利用余弦定理结合已知条件求 的余弦值即得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又 中， ，故 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了利用余弦定理求角，属于基础题 .
12. 在 中，若 ， ， ，则 等于________.
【答案】 或 .
【解析】
【分析】
由正弦定理，求得 ，得到 或 ，分类讨论，即可求得 的值.
【详解】由正弦定理，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
当 时， ，可得 ；
当 时， ，此时 ，
综上可得 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得 的值，得出 的大小是解
答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力.
13. 在平地上有 、 两点， 在山的正东， 在山的东南，且 在 的南偏西 距离 点300米的地
方，在 测得山顶的仰角是 ，则山高为________米.【答案】
【解析】
【分析】
先设山高 ，依题意可得 ，由正弦定理可求得 ，在直角 中， 计
算得出结果即可.
【 详 解 】设山高 ， ，
，由正弦定理得 .
在直角 中，
（米）.
故山高为 米.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于较易题.
14. 已知正四棱锥的高为4，侧面积为 ，则该棱锥的侧棱长为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为 ，由侧面积列式求得 值，进一步求得侧棱长即可.
【详解】如图，
设正四棱锥 的底面边长为a，底面中心为O，取BC的中点M，
连接OM，PM，则 ，斜高 ，
∴该棱锥的侧面积 ，解得 ，又 ，
∴该棱锥的侧棱长为 ，
故答案 为： .
【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查正四棱锥侧面积的求法，属于基础题.
15. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 的中点为 ，点 在
棱 上， 平面 ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先取 中点 得到过 的一个平面平行平面 ，即知 .
【详解】取 中点 ，连接 ，故 ， ，又 在平面 外， 平面
所以 平面 ， 平面 ，又 相交在平面 内，故平面 平面
，即 平面 ，故 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，属于基础题.
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 如图，四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， 、 分别是棱 、
的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）由 、 分别是棱 、 的中点，可得： ，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用已知条件得到 ， ，利用线面垂直的判定定理证明 面 ，所以
，又由（1）得 ，即可得证.
【详解】证明：（1）由 、 分别是棱 、 的中点，
可得： ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）∵底面 为正方形，
，
又 平面 ，
所以 ，
又 ，
面 ，
所以 面 ，
所以 ，
又由（1）得 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查了线面垂直、线面平行的判定定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于较易题.
17. 在 中， ， ， 的面积为 .
（1）求 ；（2）求 的值.
【答案】（1） 或 ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的面积公式求得 的值，从而可以确定出角 的大小；
（2）由余弦定理求出 ，结合正弦定理可求出 的值.
【详解】（1）因为 ， ， 的面积为 ，
所以有 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ；
（2）由余弦定理可得：
当 时， ，
所以 ，
由正弦定理， ，得 ，
当 时， ，
所以 ，
由正弦定理， ，得 ，所以 的值为 或 .
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，余弦定理解三角形，
正弦定理解三角形，属于简单题目.
18. 在 中，设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ， 边上的中线 长为 ，求边 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题中条件，根据正弦定理，先得到 ，代入 ，即可得出结果；
（2）根据 为 边上的中线，得到 ，根据余弦定理，得出
，再由 得出 ，两式联立，即可得出结果.
【详解】（1）因为 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，解得 （负值舍去）；
（2）因为 为 边上的中线，所以 与 互补，
则 ，
因为 ， ， ，由余弦定理可得 ，
，
则 ，所以 ，
又在 中， ，
则 ，
因此 ，整理得 ，解得 或 （舍）.
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.
19. 如图所示，在正方体 中，点 在棱 上，且 ，点 、 、 分
别是棱 、 、 的中点， 为线段 上一点， .
（1）若平面 交平面 于直线 ，求证： ；
（2）若直线 平面 ，
①求三棱锥 的表面积；②试作出平面 与正方体 各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面
与棱 交于点 ，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）答案见详解；（2）① ；②作图步骤见解析，三棱锥 的体积为 ．
【解析】
【分析】
（1）根据面面平行的性质即可得到 ，再结合线线平行的传递性即可证明结论；
（2）①先根据直线 平面 得到 ，进而得到 是 的中点，然后依次求出三棱锥的
四个面的面积再相加即可得到三棱锥 的表面积；②根据公理“一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内”作出平面 与正方体 各个面的交线即可；根据 四
点共面，且三角形 与三角形 面积相等，那么三棱锥 的体积等于三棱锥 的体
积，直接利用三棱锥的体积公式求解即可．
【详解】（1）在正方体 中，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为点 、 分别是棱 、 的中点，
所以 ，
所以 ．
（2）①因为直线 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 △ ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
，
，
所以三棱锥 的表面积为 ．
②作图步骤如下：
连接 ，过点 作 于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 并延长交
于点 交 的延长线于点 ，
再连接 交 于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 并延长交 于点 ，再
连接 ， ， ，
则图中 ， ， ， ， ， 即为平面 与正方体各个面的交线．
设 ，由题知
，所以 ，所以 ，
解得 ，
因为 ，
， ，
所以 ，
如上图，设 为线段 的中点，可证点 在平面 内，且三角形 与三角形 面积相等，
所以，三棱锥 的体积 三棱锥 的体积 三棱锥 的体积 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
【点睛】本题考查面面平行的性质定理和线面平行的性质定理的应用，直线与平面垂直以及几何体的表面
积和体积的求法，考查空间想象能力记忆计算能力，属于难题．
