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第二学期质量检测
高一数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1. 已知向量 ， ，且 与 共线，则实数x的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图 的面积为1，则原梯形的面积为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3. 设m，n是不同的直线， ， ， 是不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ， ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ， ，则
4. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的
概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9
表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组
随机数；据此估计，其中3次射击至少2次击中目标的概率约为（ ）
A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6
5. 将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知正四棱柱 中， ， ，则直线 和 所成的角的余弦值为（
）
A. B. C. D.
7. 在平行四边形 中， ，若 交 于点M.且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间 内的一个
数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感
指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的
平均数为8、方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（ ）
A. 1.75 B. 1.85 C. 1.95 D. 2.05
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 若复数z满足 ，则（ ）
A. B. z的实部为1
C. D.
10. 是边长为2的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下列结论正确的
是（ ）A. 是单位向量 B.
C. D.
11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件 “第一枚骰
子的点数为奇数”，事件 “第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A. M与N互斥 B. M与N不对立
C. M与N相互独立 D.
12. 已知正方体 的棱长为2，点O为 的中点，若以O为球心， 为半径的球面与
正方体 的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 与平面 所成的角的大小为45°
D. 平面 将正方体 分成两部分的体积的比为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O，若向量 ， 对应的复数分别是 ，
，则向量 对应的复数是______________.
14. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为 .
15. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C 的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现
测得 ， ， ， ， ，则两景点B与C的距离为________km.
16. 在 中， ，E，F是边 的三等分点，若 ，则
_______________
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的周长.
18. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全
部介于50至100之间，将数据按照 ， ， ， ， 的分组作出频率
分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在 ， 的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，
求至少有1人的成绩在 内的概率.
19. 如图，在棱长为2的正方体 中，E，F分别为 ， 的中点.（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 之间 的距离.
20. 如图所示，在 中，点D为 边上一点，且 ， ， .
（1）求 的长；
（2）若 为锐角三角形，求 的面积的取值范围.
21. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，
不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在M点
投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q.且在M，N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M
处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2
分的概率为 ，乙得5分的概率为 .
（1）求p，q的值；
（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
22. 如图1所示，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，边
上一点E满足 .现将 沿 折起到 的位置，使平面 平面 ，如图2所
示.（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角 的余弦值.
