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第二学期期末考试
高一数学
一、选择题
1.下列命题正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公理 对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.
对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.
对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个
平面，所以C选项正确.
对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以
D选项错误.
故选：C
【点睛】本小题主要考查公理 的理解和运用，属于基础题.
2.复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
求得 对应的坐标，由此得出正确选项.
【详解】复数 对应的坐标为 ，在第四象限.
故选：D
【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.
3.用斜二测画法画边长为2的正方形 的直观图时，以射线 ， 分别为 轴、 轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图 ，则该直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的面积.
【详解】设原图的面积为 ，直观图的面积为 ，则 .
正方形 的面积为 ，所以其直观图的面积为 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题.
4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球
各有1个的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.
【详解】依题意，这 个球中红球和白球各有 个 的概率为 .
故选:B
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.
5.已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
利用向量夹角公式求得向量 与 的夹角的余弦值，由此求得向量 与 的夹角.
【详解】设向量 与 的夹角为 ，则 ，由于 ，所以 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，属于基础题.
6.在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得 的值.
【详解】依题意
.
故选：D
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.
7.已知向量 ，则与 平行的单位向量的坐标为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由单位向量的定义，计算 ，即得．【 详 解 】 由 已 知 ， 所 以 与 平 行 的 单 位 向 量 为 或
．
故选：D．
【点睛】本题考查单位向量的概念，解题时要注意与与 平行的单位向量有两个，一个与 同向，一个与
反向．
8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出
一定没有出现点数6的是（ ）
（注：一组数据 的平均数为 ，它的方差为 ）
A. 平均数为2，方差为2.4 B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为3，方差为2.8
【答案】A
【解析】
【分析】
假设出现6点，根据均值估计方差的大小，错误的可举反例说明．
【详解】若平均数 是2，若出现6点，则方差 ，不可能是2.4，因此A中一定不会出
现6点，
其它选项可各举一反例：
如 ，中位数是3，众数是2；
如 ，平均数为3，中位数为2；
如 ，中位数为3，方差为2.8．
故选：A．
【点睛】本题考查样本数据特征，掌握均值，方差，中位数，众数等概念是解题基础．属于基础题．9.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）
（注：球的体积 ，其中 为球的半径）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正方体的体对角线计算出球的直径，由此得到半径，进而求得球的体积.
【详解】正方体的体对角线长为 ，设球的半径为 ，则 ，
所以球的体积为 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.
10.已知 的三个内角 的对边分别为 .向量 ， ，
若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得 的值，进而求得 的大
小.
【详解】由于 ，所以 ，即 ，由正弦定理得
，，
，
由于 ，所以 ，
所以 ，
，
由于 ，
所以 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式、辅助角公式，
属于中档题.
二、填空题
11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、
乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】根据相互独立事件概率计算公式可知，两人都中靶的概率为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
12.已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面积．
【详解】由题意四面体的表面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查正四面体的表面积，掌握表面积的概念是解题基础．本题属于基础题．
13.已知 ， 是两个不共线的向量， ， .若 与 是共线向量，则实数 的值为
______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量共线定理求解．
【详解】∵ 与 是共线向量，∴存在实数 ，使得 ，即 ，
∴ ，解得 ．
故答案为：－4．
【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题．
14.在正方体 中，对角线 与底面 所成角的正弦值为____________.
【答案】
【解析】
分析：根据直线和平面所成角的定义即可得到结论．
详解：连结AC，
则AC是A1C在平面ABCD上 的射影，
则∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角 的正弦值，
设正方体的棱长为1，
则 ，
则 ，点晴：本题需要先找出线面角所成角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可
15.已知 中， 为边 上的点，且 ，若 ，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】
以 为基底表示出 ，由此求得 ，进而求得 .
【详解】依题意 ，
所以 .
故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.
三、解答题
16.已知 是虚数单位， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若复数 的虚部为2，且 的虚部为0，求 .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用复数的四则运算求出 后可求其模.
（Ⅱ）设 ，利用复数的乘法计算出 后再根据虚部为0求出 ，从而可得 .
【详解】解：（Ⅰ） ，
所以 ，
（Ⅱ）设 ，
则 ，
因为 的虚部为0，所以，
，即 .
所以 .
【点睛】本题考查复数的乘法和除法，前者运算时注意分子分母同乘以分母的共轭复数，另外，对于含参
数的复数问题，我们常通过将复数设成 的形式将问题转化为实数问题.
17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）： ， ，...， 后，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求图中实数 的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的
人数.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）210.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出 ．
（Ⅱ）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数．
【详解】解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以 ，
解得 .
（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为
.
由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于
80分的人数为 .
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，属于基础题．
18.在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ， ， .
（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）求角 的正弦值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）用余弦定理计算出 后可得 ；
（Ⅱ）用正弦定理计算 ．
【详解】解：（Ⅰ）由三角形的余弦定理 ，
得 .
所以， .
因为 .
所以 .
（Ⅱ）由三角形的正弦定理 ，
得 .
所以内角 的正弦值为 .
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键，本题属于基础题．
19.己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽
样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行
动.
（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为 ， ， ， ， ， ，现从中随机抽取2名教师志愿者承
担测试体温工作.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件 发生的概率.
【答案】（Ⅰ）3人，2人，1人；（Ⅱ）（i） ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ；（ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）按照分层抽样规则计算可得；
（Ⅱ）（i）将所有可能结果一一列举，做到不重复不遗漏；
（ii）根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1
由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，
2人，1人.
（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的 名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，共15种.
（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是 ， ， ，来自乙学校的是 ， ，来
自丙学校的是 ，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为 ，
， ， ，共4种.
所以，事件 发生的概率 .
【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算，属于基础题.20.如图，在三棱锥 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点，且 ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： .
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（I）通过证明 ，证得 平面 .
（II）通过证明 ，结合 证得 平面 ，由此证得 .
【详解】（Ⅰ）证明：因为在 中，点 ， 分别是 ， ，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（Ⅱ）因为点 是 的中点，且 ，
所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
，
故 平面 ，
因为 平面 ，
所以 .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.
