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第二学期质量检测
高一数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1. 已知向量 ， ，且 与 共线，则实数x的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出 ，然后根据 与 共线建立方程求解即可.
【详解】因为 ， ，所以
因为 与 共线，所以 ，解得
故选：A
【点睛】本题考查的是向量共线在坐标形式下的表示，属于基础题.
2. 一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图 的面积为1，则原梯形的面积为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】【分析】
根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角梯形，从而可求出其面积
【详解】解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示，
设原来梯形的上底为 ，下底为 ，高为 ，
则直观图中等腰梯形的高为 ，
因为直观图的面积为 ，
所以 ，
所以原梯形的面积为 ，
故选：D
【点睛】此题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，掌握斜二测画法的作图规则是解题的关键，属
于基础题
3. 设m，n是不同的直线， ， ， 是不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ， ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ， ， ，则
【答案】D
【解析】【分析】
A. 由 或异面判断；B.由 或相交判断；C.由则 或 判断；D. 由面面垂直的性质判断.
【详解】A. 若 ， ，则 或异面，故错误；
B.若 ， ， ， ，则 或相交，故错误；
C.若 ， ，则 或 ，故错误；
D. 若 ， ， ，则 ，又 ，所以 ，故正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了空间想象和逻
辑推理的能力，属于中档题.
4. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的
概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9
表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组
随机数；
据此估计，其中3次射击至少2次击中目标的概率约为（ ）
A. 0.45 B. 0.5 C. 0.55 D. 0.6
【答案】C
【解析】
【分析】
这是一个古典概型，已知基本事件的总数为20种，然后从中找出3次射击至少2次击的基本事件的种数，
代入公式求解.
【详解】基本事件的总数为20种，
其中3次射击至少2次击的基本事件有162 151 271 932 408 471 333 027 730 163 039共11种，
所以3次射击至少2次击中目标的概率约为
故选：C
【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题.5. 将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，球体最大体积 的直径为棱长，利用球的体积公式即可求解.
【详解】正方体的棱长为3cm，
所以球体最大体积的半径 ，
所以球的体积： .
故选：B
【点睛】本题考查了正方体的内切球、球的体积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
6. 已知正四棱柱 中， ， ，则直线 和 所成的角的余弦值为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
以 点为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即
可.【详解】
如图，以 点为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
因为正四棱柱 中， ， ，
所以
所以
所以 ，所以直线 和 所成的角的余弦值为
故选：A
【点睛】本题考查的是异面直线所成角的求法，考查了学生的基础水平，属于基础题.
7. 在平行四边形 中， ，若 交 于点M.且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知找到相似三角形，用向量 、 线性 表示向量 .
【详解】如图，平行四边形 中， ， ，， .
故选：B
【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.
8. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间 内的一个
数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感
指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的
平均数为8、方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（ ）
A. 1.75 B. 1.85 C. 1.95 D. 2.05
【答案】C
【解析】
【分析】
设乙得到十位市民的幸福感指数分别为 ，根据这10个数据的平均数为8、方差为2.2可得
，再根据方差的公式可求20个数据的方差.
【详解】设甲得到的十位市民的幸福感指数分别为 ，
乙得到十位市民的幸福感指数分别为 ，
故这20位市民的幸福感指数的方差为 ，
因为乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，
，
故 ，
而 ，故 ，而 ，
故所求的方差为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查方差的计算，注意样本数据 的方差为 ，也可以是
，本题属于中档题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 若复数z满足 ，则（ ）
A. B. z的实部为1
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
先利用复数的运算求出复数z，然后逐个分析判断即可
【详解】解：由 ，得 ，
所以z的实部为1， ， ，
故选：BC
【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题
10. 是边长为2的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下列结论正确的
是（ ）
A. 是单位向量 B.C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A. 根据 是边长为2的等边三角形和 判断；B.根据 ， ，利用平面向
量的减法运算得到 判断；C. 根据 ，利用数量积运算判断；D. 根据 ，
，利用数量积运算判断.
【详解】A. 因为 是边长为2的等边三角形，所以 ，又 ，所以 是单位向量，故
正确；
B. 因为 ， ，所以 ，所以 ，故正确；
C. 因 为，所以 ，故错误；
D. 因为 ， ，所以 ，所以
，故正确.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档
题.
11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件 “第一枚骰
子的点数为奇数”，事件 “第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A. M与N互斥 B. M与N不对立
C. M与N相互独立 D.【答案】BCD
【解析】
【分析】
相互独立事件，互斥事件，对立事件，利用定义即可以逐一判断四个选项正误.
【详解】对于选项A：事件 与 是可能同时发生的，故 与 不互斥，选项A不正确；
对于选项 ：事件 与 不互斥，不是对立事件，选项 正确；
对于选项 ：事件 发生与否对事件 发生的概率没有影响， 与 相互独立.
对于选项 ：事件 发生概率为 ，事件 发生的概率 ，
，选项 正确.
故选：
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，对立事件，以及随机事件的概率，属于基础题.
12. 已知正方体 的棱长为2，点O为 的中点，若以O为球心， 为半径的球面与
正方体 的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 与平面 所成的角的大小为45°
D. 平面 将正方体 分成两部分的体积的比为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
如图，计算可得 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断 A、B
的正确与否，计算出直线 与平面 所成的角为 后可得C正确，而几何体 为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D正确与否.
【 详 解 】如图，连接 ，则 ，故棱 与球面没有交点.
同理，棱 与球面没有交点.
因为棱 与棱 之间的距离为 ，故棱 与球面没有交点.
因为正方体的棱长为2，而 ，
球面与正方体 的棱有四个交点E，F，G，H，
所以棱 与球面各有一个交点， 如图各记为 .
因为 为直角三角形，故 ，故 为棱 的中点.
同理 分别为棱 的中点.
由正方形 、 为所在棱的中点可得 ，
同理 ，故 ，故 共面.
由正方体 可得 ，故
因为 平面 ， 平面 ，故 平面 ，故A正确.
因为在直角三角 中， ， ， ，
与 不垂直，故 与 不垂直，故 平面 不成立，故B错误.
由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
所以 ，所以
在正方形 中，因为 分别为 的中点，故 ，
因为 ，故 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，而 ，
故直线 与平面 所成的角为 ，因为 ，故 与平面 所成的角的大小为45°.故C正确.
因为 分别为所在棱的中点，故几何体 为三棱柱，
其体积为 ，而正方体的体积为8，
故平面 将正方体 分成两部分的体积的比为 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与
球面有交点，本题属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在平行四边形 中，对角线 与 相交于点O，若向量 ， 对应的复数分别是 ，
，则向量 对应的复数是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的几何意义，由 求解.
【详解】因为向量 ， 对应的复数分别是 ， ，
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.
14. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【解析】
【详解】由面积为 的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为 .所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为 .所以该圆锥的体积为 .
15. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现
测得 ， ， ， ， ，则两景点B与C的距离
为________km.
【答案】
【解析】
【分析】
在 中，根据 ， ， ，由余弦定理解得 ，然后在
中，利用正弦定理 求解.
【详解】在 中，因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
在 中，因为 ， ，
所以 ，由正弦定理得： ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16. 在 中， ，E，F是边 的三等分点，若 ，则
_______________
【答案】
【解析】
【分析】
以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，根据 ，得到 ， 再根据
，得到平行四边形ABCD是菱形，则 ，设 ，利用勾股定理分别求得 ，
的长度，在 中利用余弦定理求解.
【详解】如图所示：以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，则 ，
因为 ，
所以 ，设 ，则 ，
因为 ，所以平行四边形ABCD是菱形，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算
求解的能力，属于中档题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的周长.
【答案】（1） ；（2）9.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式，再结合 ，即可得 的值.
（2）利用向量数量积 的定义知 ，可得 ，
再利用余弦定理，可求 ，即可得周长.
【详解】（1）由正弦定理，得 .
∴ ，即
又 ，∴ .
（2）∵
∴
由余弦定理，得
即
解得 .
∴ 的周长为 .
【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，两角和的正弦公式，向量数量积的定义，属于中档题.
18. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全
部介于50至100之间，将数据按照 ， ， ， ， 的分组作出频率
分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在 ， 的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，
求至少有1人的成绩在 内的概率.
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据小矩形的面积代表概率，所以所有小矩形面积之和等于 ，即可得a的值，
成绩在以下的频率为 ，成绩在 分以下的频率为 ，第80百分位数 ，
.
（2）先利用频率之比求出 ， 的两组中应抽的人数，然后列出从这6人中随机抽取2人包
括的基本事件，至少有1人的成绩在 内包括的基本事件，利用概率公式即可求概率.
【详解】（1）由题意可知，
解得 .
∵ ， ， ， ，∴成绩在 分以下的频率为 ，
成绩在 分以下 的频率为 ，
∴第80百分位数 ，.
.
（2）∵ ， 的频率之比为
∴从 中随机抽取 人.
从 中随机抽取 人.
从 中随机抽取的4人记为1，2，3，4，从 中随凯抽取的2人记为a，b，
从这6人中随机抽取2人的样木空间为
，共有15个样本点，.
设事件 “至少有1人的成绩在 内”，则 ，共有9个样本
点.
∴ .
∴至少有1人的成绩在 内的概率 .
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，以及古典概率的计算，属于中档题.
19. 如图，在棱长为2的正方体 中，E，F分别为 ， 的中点.（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 之间的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 平面 ，AE∥平面 ，且 ，即可证得平面 平面 ；
（2）先将平面 与平面 之间的距离转化为点B到面 的距离，然后把 当作顶点求出总体
积，再把 当作顶点利用等体积法建立方程，即可求出点 到平面 的距离
【详解】（1）证明：∵正方体 中E，F分别为 ， 的中点，
∴ ∥ ， =
∴四边形 是平行四边形.
∴ .
又 平面 ， 平 ，
∴ 平面 .
∵ ∥ ， =
∴四边形 是平行四边形.
∴ .
又 平向 ， 平面 ，
∴AE∥平面 .
又∵ ，∴平面 平面 .
（2）平面 与平面 之间的距离也就是点B到面 的距离，设为h，
∵正方体 的棱长为2，
∴ ， ，
∴ 的面积
∴三棱锥 的体积 ，.
又三棱锥 的体积 .
由 可得，
解得 .
∴平面 与平面 之间的距离为 .
【点睛】此题考查空间位置关系、面面距离的计算、面面平行的判定、等体积求距离，考查推理能力和计
算能力，属于中档题
20. 如图所示，在 中，点D为 边上一点，且 ， ， .
（1）求 的长；（2）若 为锐角三角形，求 的面积的取值范围.
【答案】（1）1；（2） .
【解析】
【分析】
（1）在 中，首先利用两角差的正弦公式求出 ，再利用正弦定理即可求解.
（2） 的面积 ，设 ，
，由 为锐角角形，即 ，即求.
【详解】解：（1）在 中，
∴ .
∴ .
在 中，由正弦定理，得 ，
即 .
（2）由题设知 的面积 .
在 中，由正弦定理，得设 ，
则 .
∴ 为锐角角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ .
∴ .
∴ ，从而 .
∴ 的面积的取值范围是 .
【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，考查了基本运算求解能力，属于中档题.
21. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，
不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在M点
投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q.且在M，N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M
处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2
分的概率为 ，乙得5分的概率为 .
（1）求p，q的值；
（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设 ， ， ， 分别表示在一次比赛中甲得分的事件， ， ， ， 分别表示在一次比赛中乙得分的事件，由题意结合在一次比赛中甲得 2 分的概率为 ，乙得 5 分的概率为 ，由
求解.
（2）由题意知： ， ， ， ，设 “星
队”在一次比赛屮的总得分为5分”，则 ，然后利用独立事件和互斥事件
的概率公式求解.
【详解】（1）设 ， ， ， 分别表示在一次比赛中甲得分的事件， ， ， ， 分别表示在
一次比赛中乙得分的事件.
因为在一次比赛中甲得2分的概率为 ，乙得5分的概率为 ，
所以 .
解得 ， .
（2）由已知得 ，
，
，，
设 ““星队”在一次比赛屮的总得分为5分”，
则 ，
则 ，
，
，
，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是 .
【点睛】本题主要考查独立事件和互斥事件的概率，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
22. 如图1所示，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，边
上一点E满足 .现将 沿 折起到 的位置，使平面 平面 ，如图2所
示.
（1）求证： ；（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）连接 ，连接 交 于点O，证明 平面 即可；
（2）延长 ， ，设 ，连接 ，可得 是平面 与平面 的交线，作
，垂足为H，连接 ，然后证明 为平面 与平面 所成锐二面角的平面角，
然后求出即可.
【详解】（1）证明：在图1中，连接 ，易求 .
∴四边形 为菱形.
连接 交 于点O，则 .
∴在图2中， ， .
又 ，
∴ 平面 .
又 平面 ，
∴ .（2）解：在图2中延长 ， ，设 ，连接 .
∵ 平面 ， 平面 .
又 平面 ， 平面 .
∴ 是平面 与平面 的交线.
∵平面 平面 ， ，平面 平面 ，
∴ 平面 .
又 平面 ，∴ .
作 ，垂足为H，连接 .
又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴ .
∴ 即为平面 与平面 所成锐二面角的平面角.
由（1）知， ， 为等边三角形，
∴ .∵ ，∴ ，
解得
在 中， .
∴
∴平面 与平面 所成锐二面角 的余弦值 .
【点睛】本题考查的是线面垂直的证明和面面垂直的性质、二面角的求法，考查了学生的空间想象能力和
计算能力，属于较难题.
