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专题1.2 空间向量基本定理
教学目标
1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问
题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的
核心素养；
2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向量进行正确的正交分解，解决相
关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力；
教学重难点
重点：理解空间向量基本定理．
难点：选择合适的基底表示向量，解决相关问题．
知识点01 空间向量基本定理
1、定理：如果向量三个向量
不共面，那么对空间任意向量
存在有序实数组
使得
2、基底与基向量
如果向量三个向量
不共面，那么所有空间向量组成
集合就是
这个集
合可看作是由向量
生成的，我们把
叫做空间的一个基底
都叫做基向量．
对基底
正确理解，有以下三个方面：
（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；
（2）因为
可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含
着它们都不是
；
（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向
量，二者是不同的概念．
【即学即练】（多选）已知空间向量
，
，，
，若存在实数组
和
，满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
，
，共面
B．若
，
，共面，则
C．若
，
，不共面，则
，
，
D．若
，
，共面，则
【答案】AC
【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C.
【详解】对于A：因为
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以向量
，
，共面，故A 正确．
对于B、D：若
，
，
，则
，
，共面，
令
，则
，
，
，
可为任意实数，
此时由
，
，
得不到
，也得不到
，故B、D 错误；
对于C：若
，
，不共面，由
，
，
则
，
，
，故C 正确；
故选：AC
题型01 空间向量基底的概念及辨析
【典例1】（多选）若
是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可.
【详解】对于A 项，易知
，则A 项中向量共面，不符合；
对于B 项，易知
，则B 项中向量共面，不符合；
对于C 项，易知
不共面，
能作为空间的一个基底，即C 正确.
对于D 项，设
不能作为空间的一个基底，
则存在实数
，使得
，
由于
是空间的一组基底，则满足
，
故不存在
使得
，
故
能作为空间的一个基底，D 正确，
故选： CD
【变式1】已知
为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】A
【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案.
【详解】对于A，设
，
无解，
所以
，
，
不共面，能构成空间的一组基底，故A 正确；
对于B，设
，解得
，
所以
，
，
共面，不能构成空间的一个基底，故B 错误；
对于C，设
，解得
，
所以
，
，
共面，不能构成空间的一个基底，故C 错误；
对于D，设
，解得
，
所以
，
，
共面，不能构成空间的一个基底，故D 错误.
故选：A.
【变式2】若
是空间的一组基，且向量
，则可以与
构成空间的另一组基的向
量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】逐一判断选项中的向量是否与
共面即可，如果不共面就符合题意.
【详解】由题意知，
不共面，对于选项A，
，故
共面，排
除A；
对于选项B，
，故
共面，排除B；
对于选项D，由选项A 得，
，故
共面，排除D．
对于C，
，向量
，而不与
共面，故C 正确.
故选：C.
【变式3】若
为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过证明ACD 选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B 选项中的三个向量不共
面，判断B 正确.
【详解】对于A，因为
，所以
共面，
所以
不能构成基底，
对于C，因为
，
所以
共面，所以
不能构成基底，C 错误；
对于D，
，
所以
共面，所以
不能构成基底，D 错误，
对于B，若
共面，
则可设
，故
，
故
共面，与条件矛盾，
所以
不共面，即
能构成基底，B 正确；
故选：B.
【变式4】若
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】C
【分析】利用基底的意义，逐项判断即得.
【详解】对于A，
，向量
，
，
共面，A 不是；
对于B，
，向量
，
，
共面，B 不是；
对于C，假定向量
，
，共面，则
，而
不共面，
于是
，无解，因此向量
，
，不共面，C 是.
对于D，
，向量
，
，共面，D 不是.
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为
一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的
三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
题型02 用空间基底表示向量
【典例1】在直三棱柱
中，
，
分别为
，
的中点，设
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出
.
【详解】在直三棱柱
中，
.
故选：A
【变式1】如图所示，在平行六面体
中，
M 是
的中点，点N
是CA₁ 上的点，且
用
表示向量
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将
用空间的基底
表示即可.
【详解】由图可得：
.
故选：C.
【变式2】如图，空间四边形
中，
，
，
，点
在线段
上，且
，点
为
的中点，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解.
【详解】因为
，所以
；因为点
为
的中点，所以
，
易知
，
，
所以
，
又
，
，
，
所以
．
故选：A
【变式3】如图所示，在平行六面体
中，
，
.设
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算得
，则得到其和值.
【详解】因为
，
，
则
，
所以
，故
.
故选：D.
【变式4】如图所示，空间四边形
中，
，
，
，点
在
上，点
在
上，
且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可得
，
，
，又
，从而可求解.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
.
故选：D．
题型03 空间向量基本定理及其应用
【典例1】在正四面体
中，点
是
的中心，若
（
），则
.
【答案】
/
【分析】连接
并延长交
于点
，连接
，可得
，
，结合图形将
用
表示即得.
【详解】
如图，在正四面体
中，连接
并延长交
于点
，连接
，
则
，
，
于是
，
即得
，故
.
故答案为：
.
【变式1】正方体
，点E 是上底面
的中心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用
表示
求出参数，即
可得答案.
【详解】由
，
所以
，故
.
故选：D
【变式2】在四面体
中，点
为线段
靠近A 的四等分点，
为
的中点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解.
【详解】由题
又由题
，故
.
故选：C.
【变式3】如图，在正方体
中，若点
是侧面
的中心，且
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解.
【详解】在正方体
中，
，
而
，
因此
，
，
，
所以
.
故选：A.
【变式4】在四面体
中，点
为线段
靠近A 的四等分点，
为
的中点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据空间向量基本定理用向量
，
，
表示向量
，进而求得
，
，
的值，即可
求得
的值.
【详解】由空间向量基本定理可得
又由题干
，则
，故
.
故选：C.
题型04 空间向量的坐标表示
【典例1】设
为空间一组基底，若向量
，则向量
在基底
下的坐标为
．若
在基底
下的坐标为
，则向量
在基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算法则，把
表示为
的线性和
，然后
由向量相等求得
即得．
【详解】设
=
，
为空间一组基底，所以
，解得
，所以
的新坐标为
．
故选：C．
【变式1】设
为空间的一个基底，若向量
，则向量
在基底
下的坐标为
.若向量
以
为基底时的坐标为
，则
可以
为基底时的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据空间向量基本定理代入计算即可.
【详解】由题意得
，
则
可以
为基底时的坐标为
.
故选：C.
【变式2】已知向量
在基底
下的坐标为
，则
在基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，结合向量坐标的意义即可求解.
【分析】因为向量
在基底
下的坐标为
，
可得
，
所以向量
在基底
下的坐标为
.
故选：B.
【变式3】已知向量
在基底
下的坐标为
，则
在基底
下的坐标为 .
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案.
【详解】由题意可得
，设
，
则
，解得
，所以坐标为
.
故答案为：
.
【变式4】已知
是空间向量的单位正交基底，
是空间向量的另一个基底，若向量
在基底
下的坐标是
，则向量
在基底
下的坐标是 .
【答案】
【分析】依题意可得
，即可得解.
【详解】
向量
在基底
下的坐标是
，
，
所以向量
在基底
下的坐标是
.
故答案为：
题型05 空间四点共面
【典例1】O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且
，若P，A，B，C 四点
共面，则实数
.
【答案】
【分析】应用空间向量共面定理计算求解.
【详解】因为P，A，B，C 四点共面，所以
，解得
.
故答案为：
.
【变式1】在四面体
中，空间的一个点
满足
，若
四点共面，则
.
【答案】
/
【分析】根据空间向量共面定理的推论，即可求得答案.
【详解】因为
四点共面，
，
所以
，解得
.
故答案为：
【变式2】已知三棱锥
，如图所示，
为
重心，点
，
为
，
中点，点
，
分
别在
，
上，
，
，若
四点共面，则
．
【答案】4
【分析】先得到
，进一步有
，结合四点共面的
充要条件即可求解.
【详解】如图所示：
设
中点为
，连接
，因为点G 为
重心，
所以点
在线段
上面，
因为
，
所以
，
所以
，
若M，D，E，F 四点共面，则
，解得
，
故答案为：4.
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
1．若
构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案.
【详解】因为
，所以
，
，
共面；
因为
，所以
，
，
共面；
因为
，所以
，
，
共面；
因为不存在x，y，使得
，所以
，
，
不共面，所以可以作为基底．
故选：D.
2．已知在三棱锥
中，
是棱OA 上靠近点
的三等分点，
为棱BC 的中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果.
【详解】
根据题意，
故选：C.
3．在三棱锥
中，M 在PA 上，N 在BC 上，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
【详解】M 在PA 上，N 在BC 上，且
，
，
.
故选：B.
4．已知
是空间一个基底，
，一定可以与向量
构成空间另一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据空间向量基底的定义，任意两个不共线且不为零向量，三个向量不共面，即可判断.
【详解】向量
，得
与
是共面向量, 不能构成空间的一个基底，A 错误；
同理
，得
与
是共面向量，不能构成空间的一个基底，B 错误；
又与
和
不共面，所以与
可以构成空间的一个基底，C 正确；
与
是共面向量，不能构成空间的一个基底，D 错误.
故选：C.
5．已知
是空间中一组基底，若向量
，则称向量
在基底
下坐标为
.
若向量
在基底
下坐标为
，则向量
在基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件得到
，然后利用待定系数法求解即可.
【详解】因为向量
在基底
下坐标为
，
所以
，
设
，
则
，解得
，
所以向量
在基底
下的坐标为
，
故选：C
6．在平行六面体
中，
，
，
，
为
的中点，
为
上靠近
的三等分点，则线段
的长度为（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间向量加减运算法则，则
，两边同时平方根据向量数量积可得对角线的
长度.
【详解】设
，
，
，则
，
，
所以线段
的长为5，
故选：B．
7．（多选）已知
是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．
两两共面
B．若
，则
C．对空间任一向量
，总存在有序实数组
，使
D．
不一定能构成空间的一个基底
【答案】AC
【分析】AC 选项，根据基底的定义以及空间向量基本定理可得；B 选项，
，不一定垂直；D 选项，判
断出
，
，
一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底.
【详解】A 选项，由基底的定义可知，
不能共面，
两两共面，A 正确；
B 选项，
，但
，不一定垂直，B 错误；
C 选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量
，总存在有序实数组
，
使
，C 正确；
D 选项，设
，故
，无解，
故
，
，
一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D 错误.
故选：AC
8．
不与
共面，并且
四点在一个平面上，
（
），则
的最小值为 ．
【答案】16
【分析】由向量共面定理有
，再应用基本不等式“1”的代换求最小值.
【详解】由题设
，
不与
共面，且
四点共面，
所以
，可得
，且
，
所以
，
当且仅当
时取等号，则最小值为16.
故答案为：16
9．在正四棱锥
中，
，
，设平面
与直线
交于点
，
，则
．
【答案】
/
【分析】由向量基本定理表达出
，根据四点共面，得到方程，求出答案.
【详解】
，
因为
，
，所以
，
又
，故
，
即
，故
，
因为平面
与直线
交于点
，所以
四点共面，
所以
，解得
.
故答案为：
10．如图所示，在平行六面体
中，设
分别是
的中点，试用
表示以下各向量：
(1)
；
(2)
；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由
是
的中点，得
，再根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可.
（2）由
为
的中点，得
，再根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可.
（3）由
为
的中点，得
，再根据空间向量的线性运算结合基底向量分别出
和
求
解即可.
【详解】（1）因为
是
的中点，
，
所以
.
（2）因为
为
的中点，
，
所以
.
（3）因为
为
的中点，
，
所以
，
，
所以
.
11．在平行六面体
中，
，
，
.记向量
，向量
，向量
.
(1)取
的中点
，用向量
，
，来表示向量
；
(2)求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可；
（2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可.
【详解】（1）
；
（2）因为
，
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
.
12．如图所示，已知空间四面体
的每条棱长都等于1，点
，
，
分别是
，
，
的中
点，求
的长．
【答案】
【分析】结合图形，设
，表示出
，再求出模长即可；
【详解】设
，
，
，
则
，即
的长为
．
