专题1.3 集合的基本运算
教学目标
1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义．
2．会求给定子集的补集．
3．能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
4．树立数形结合的思想，体会类比的作用．
教学重难点
重点：全集与补集的概念．
难点：理解全集与补集的概念、符号之间的区别与联系．
知识点01 交集
一般地，由既属于集合
又属于集合
的所有元素组成的集合即由集合
和集合
的相同元素组成的集
合，称为集合
与集合
的交集，记作
（读作：
交
）.记作：
.
交集的性质：
,
,
,
,
.
高频性质：若
.
图形语言
对交集概念的理解
(1)
仍是一个集合,
由所有属于集合
且属于集合
的元素组成.
(2)对于“
”,包含以下两层意思:①
中的任一元素都是
与
的公共元
素;②
与
的公共元素都属于
,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如
,
,则
,而不是
或
或
.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合
与集合
没有公共元素时,不能说集合
与集合
没有交
集,而是
.
(4)当
时,
和
同时成立.
【即学即练】已知集合
， 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由交集的概念进行求解．
【详解】根据题意，
,
则
.
故选：A
知识点02 并集
一般地，由所有属于集合
或属于集合
的元素组成的集合称为集合
与集合
的并集，记作
（读作：
并
）.记作：
.
并集的性质：
,
,
,
,
.
高频性质：若
.
图形语言
对并集概念的理解
(1)
仍是一个集合,
由所有属于集合
或属于集合
的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而
并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“
或
”包括下列三种情况:①
,且
;②
,且
;③
,且
.可用下图所示形象地表示.
【即学即练】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合M，再根据并集概念计算.
【详解】解：由
，
所以
故选： D
知识点03 全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用
表示，
全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设
是全集，
是
的一个子集（即
）,则由
中所有不属于集合
的元素组成的集合，
叫做
中子集
的补集，记作
，即
.
补集的性质：
,
,
.
【即学即练】已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由补集定义可知
.
知识点04 德摩根律
(1)
(2)
知识点05 容斥原理
一般地，对任意两个有限集
,
进一步的：
题型01 交集的概念及运算
【典例1】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定集合
，再由交集运算即可；
【详解】
或
，
所以
，
故选：D
【变式1】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，所以
．
故选：C．
【变式2】若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意得，集合
中的元素
满足
，
，，
，，，则
的可能取值为0，1，2，3，
4，8，即
，所以
．
【变式3】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合A，B，根据交集概念求解即可.
【详解】
，即
，解得
，
集合
，又
，
所以
.
故选：A
【变式4】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出集合A，B 的元素，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】由
得
或
，
，
由
，则
，所以
，
故选A．
题型02 根据交集的运算结果求集合或参数
【典例1】已知全集
，集合
，
.
(1)求
，
；
(2)若集合
，且
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
或
，
(2)
【分析】（1）根据交集，补集，并集的定义计算即可；
（2）由题意得集合间的包含关系，然后分
和
两种情况分类讨论即可.
【详解】（1）由已知易得
或
，
，
.
（2）由
得
，
①当
时，
，解得
；
②当
时，
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
【变式1】已知集合
，
，若
，
，则集合
的个数为（ ）
A．2
B．4
C．7
D．8
【答案】B
【分析】由题意知
，再列举出所有符合条件的集合
即可.
【详解】由题意知
，则集合
为
，
，
，
共4 个.
故选：B．
【变式2】（多选）已知集合
，
．若
，则实数
的值可能为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】ACD
【分析】分别讨论
，
，
，
即可求解.
【详解】由题意得集合
．
若
，则
，即
，故
，符合
；
若
，则
，即
，故
，符合
；
若
，则
，即
，故
，符合
；
若
，则
，即
，故
，符合
．
综上，
或3 或4．
故选：ACD
【变式3】已知集合
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
或
.
(2)
【分析】（1）先计算
，再计算
；
（2）由
得
，再分类讨论.
【详解】（1）当
时，
，则
或
，
则
或
.
（2）若
，则
,
当
时，
，即
；
当
时，
，得
，
则实数m 的取值范围为
.
【变式4】已知集合
，
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
或
.
【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的补集及交集运算即可求解；
（2）结合集合的交集运算即可求解．
【详解】（1）当
时，
，
，则
或
，
故
；
（2）若
，
当
时，
，即
，
当
时，
，解得
，
综上，t 的范围为
或
题型03 并集的概念及运算
【典例1】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】运用并集概念计算即可.
【详解】
，则
.
故选：C.
【变式1】已知集合
，
，
，则
中的元素个数至少为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】由集合
可得
且
，再由
可得
与
均互异，结合特例可得正确的选
项.
【详解】由
中元素的互异性，得
，即
且
，
而
，则当
且
时，
与
均互异，
因此
中至少有
元素，取
，此时
，
有4 个元素，
∴
中的元素个数至少为4 个.
故选：C
【变式2】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据集合并集的定义，即可求解.
【详解】由已知集合
，
，
则
.
故选：B、
【变式3】已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先求出集合
的不等式，然后求这两个集合的并集.
【详解】集合
的不等式为：
，可求解为
.
所以集合
.
从而集合
的并集为：
.
故选：B.
【变式4】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据并集概念计算即可.
【详解】集合
，
，则
.
故选：C.
题型04 根据并集的运算结果求集合或参数
【典例1】集合
，
.
(1)若
只有一个整数，求实数
的取值范围；
(2)若
，且
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知满足
即可，因此
；
（2）利用并集的结果可得
，对
是否为空集进行分类讨论，即可解得实数
的取值范围.
【详解】（1）
只有一个整数，又
包含不止一个整数，
，且
，
，
可得实数
的取值范围是
.
（2）由
，可得
.
①若
，此时
，解得
②若
，此时需满足
，此时不等式无解.
综上可知
.
【变式1】设集合
或
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意有
即
．
【变式2】已知集合
，若
，则m 的可能取值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】由题意可得
，利用子意的意求解即可.
【详解】
，∴
．
∴当
时，
；当
时，
；当
时，
，
∴m 的值为0，1，
，∴m 的值为
．
故答案为：
.
【变式3】设集合
，非空集合
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)1 或
(2)
【分析】（1）求出集合
，由
，得
，由此即可求解.
（2）
，从而
，当
为单元素集时，
，当
为双元素集时，
，由此列式
即可求解.
【详解】（1）
，即
，解得
或
，
所以
，
又
，
，
则
，
即
，解得
或
，
当
时，
，即
，符合
，
当
时，
，
，解得
，
，符合
，
故
或
.
（2）
，则
，
①当
为单元素集时，
，化简得
，
即
，解得
或
，
当
时，由（1）知
，符合题意；
当
时，
，
，解得
，
所以
，不符合题意，舍去.
②当
为双元素集时，
，
所以
，无解，
综上：实数
的取值范围为
.
【变式4】已知集合
，
.
(1)若
，求集合
；
(2)若
且
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集的运算可得；
（2）由
得
，再根据
分类
，
可得.
【详解】（1）
或
，
当
，
，所以
（2）当
时，
，
满足题意；
当
时，
，
由
得
，所以
，得
，故
，
综上
题型05 补集的概念及运算
【典例1】已知全集
或
，集合
，则
．
【答案】
或
或
【分析】利用补集的运算进行求解.
【详解】由全集
或
，集合
，
则
或
或
，
故答案为：
或
或
.
【变式1】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据补集定义计算求解.
【详解】因为集合
，
，故
.
故选：B.
【变式2】已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据补集的定义求解即可．
【详解】因为集
，集合
，
所以
或
．
故选：D.
【变式3】已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用集合的补集运算求解.
【详解】因为全集
，集合
，
所以
，
故选：B
【变式4】已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解不等式后，根据补集运算求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
故选：D
,
．
题型06 根据补集的运算结果求集合或参数
【典例1】已知集合
，
．
(1)当
时，求
；
(2)若存在集合
，使得
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集概念求出答案；
（2）根据补集的概念求出
，结合
，从而得到
，得到答案.
【详解】（1）当
时，
，所以
．
（2）因为集合
，所以
，
又
，所以
，解得
．
【变式1】设全集
，集合
．若
，则
的值分别为（ ）
A．3，2
B．4，3
C．3，2 或5，3
D．5，2 或5，3
【答案】D
【分析】根据集合关系得到
，且
，再得到
，且
，
，
，
，分类
讨论得到
的值.
【详解】因为
，所以
，且
．
由题意得，
，且
，
，
，
．
若
，则
，不满足
，不符合题意；
若
，则
，此时
，符合题意；
若
，则
，此时
，
，符合题意．
故选：D．
【变式2】设全集
，且
，若
，则
.
【答案】4
【分析】根据补集概念得到
，故1，4 是方程
的两根，由韦达定理求出答案.
【详解】
，故
，
即1，4 是方程
的两根，由根与系数的关系可得
.
故答案为：4
【变式3】已知全集
.
(1)若
中有四个元素，求
和q 的值；
(2)若
，求实数q 的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解；
（2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可.
【详解】（1）因为
中有四个元素，所以A 为单元素集合，
则方程
有两个相等的实数解.
又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4，
所以只有
，从而
，所以
.
所以
.
（2）由
知
，即方程
无解，
所以
，解得
，
故实数q 的取值范围是
.
【变式4】已知集合
，
，且
.
(1)若
，求实数
组成的集合；
(2)若
，求
，
的值.
【答案】(1)
(2)
；
【分析】（1）求得集合
，由
分类讨论可得
值；
（2）由
得
，
，求得
，再求得
，从而得集合
，最后可得
值．
【详解】（1）若
，可得
，因为
，所以
．
当
，则
；当
，则
；当
，
．
综上，可得实数a 组成的集合为
．
（2）因为
，
，
且
，
，所以
，
，所以
，
解得
，解
，得
或
，所以
，
所以
，所以
，解得
．
,
．
题型07 交集、并集、补集的混合运算
【典例1】设全集
，
或
，
，如图，阴影部分所表示的集合为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】由题意可知：阴影部分可表示为
，结合集合的并集和补集运算求解.
【详解】由题意得，阴影部分可表示为
，
因为
或
，
，
则
或
，
且
，所以
.
故选：B.
【变式1】已知全集
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求全集
，进而求
，最后根据集合的交集运算即可求解.
【详解】依题意得，
，
，所以
．
故选：C.
【变式2】已知全集
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先化简
，然后结合交集、补集合的概念即可求解.
【详解】因为
，
所以
.
故选：C.
【变式3】若全集
，集合
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断.
【详解】A：若
，则
，所以
，
与
矛盾，故A 错误；
B：若
，则
，所以
，
与
矛盾，故B 错误；
C：若
，则
，
由
，得
，所以
，
与
矛盾，故C 错误；
D：若
，则
，
由
，得
，
所以
，故D 正确.
故选：D
【变式4】设全集
，
，
，则集合
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用韦恩图可求集合
.
【详解】由题设可得如下韦恩图：
而
，故
，
故
，
故选：B.
题型08 根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数
【典例1】设集合
，
.
（1）若
，且
，求实数
的值；
（2）若
，求实数
的取值范围.
【答案】（1）；（2）
.
【解析】（1）求出集合
、
，利用
可求得实数
的值；
（2）分
、
、
三种情况讨论，求出集合
，由
可得出关于实数
的不等
式，进而可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）
，
，
，且
，
所以，
，解得
；
（2）①当
时，
，则
或
，
又
，所以
，解得
，所以
；
②当
时，
，则
，满足
，所以
；
③当
时，
，则
或
，
又∵
，所以
，解得
，所以
.
因此，实数
的取值范围是
.
【点睛】本题考查利用并集的结果求参数，同时也考查了利用补集和并集的混合运算求参数，考查分类讨
论思想的应用，属于中等题.
【变式1】已知集合
，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
或
．又
，所以
，故
．
【变式2】已知
或
，
，若
，则m 的取值范围是
.
【答案】
【分析】求出
，由
建立不等式即可得解.
【详解】由
或
，可得
，
因为
，
，
所以
且
，
解得
，
故答案为：
【变式3】已知
，
.
(1)若
，求
；
(2)从①
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进
行解答.
问题：若 ，求实数
的所有取值构成的集合
.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，
【分析】（1）当
时，求出集合
、
，利用补集和交集的定义可求得集合
；
（2）选①，分
、
两种情况讨论，在
时，直接验证即可；在
时，求得
，根据
可得出关于
的等式，综合可得出集合
；
选②，分析可知
，分
、
两种情况讨论，在
时，直接验证即可；在
时，求得
，根据
可得出关于
的等式，综合可得出集合
；
选③，分
、
两种情况讨论，在
时，直接验证即可；在
时，求得
，根据
，可得出关于
的等式，综合可得出集合
.
【详解】（1）解：当
时，
，
又因为
，故
.
（2）解：若选①，当
时，
，则
，满足
，
当
时，
，若
，则
或，解得
或
.
综上所述，
；
若选②，
，则
.
当
时，
，满足
；
当
时，
，因为
，则
或，解得
或
.
综上所述，
；
若选③，当
时，
，满足
；
当
时，则
，因为
，则
或，解得
或
.
综上所述，
.
【变式4】设集合A={x∣
−3x+2=0}，B={x∣
+2(a+1)x+
−5=0}
（1）若A∩B={2}，求实数a 的值；
（2）若U=R，A∩(
B)=A.求实数a 的取值范围.
【答案】（1）
或
；（2）
且
且
【解析】（1）由条件可知集合
中包含元素2，所以代入求
，并验证是否满足条件；（2）由条件得
，分
和
三种情况讨论，得到
的取值范围.
【详解】（1）
，
由
可知，
，
即
，解得：
或
，
当
时，
，此时
，满足
，
当
时，
，此时
，满足
.
所以实数
的值是
或
；
（2）
U=R，A∩(
B)=A，
，则
①当
，即
时，此时
，满足条件；
②当
时，
，即
，
，不满足条件；
③当
时，即
时，此时只需
，
，
将2 代入方程得
或
，将1 代入方程得
，得
，
综上可知，
的取值范围是
且
且
【点睛】易错点睛：1.当集合的元素是方程的实数根时，根据集合的运算结果求参数时，注意回代检验，
否则会造成增根情况，当集合是区间形式表示时，注意端点值的开闭；
2.当集合的运算结果转化为集合的包含关系时，注意讨论空集情况，容易忽略这一点.
题型09 容斥原理
【典例1】为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活
动作业，并在开学后随机抽查了100 名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52 人观看
了红色电影，43 人参观了烈士陵园，49 人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24
人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20 人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17 人，则
三项活动都参加的人数为 ．
【答案】17
【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果.
【详解】设集合
，集合
，
集合
，
设三项活动都参加的人数为
，
则
，
则由题意可得
，
即
，
解得
．
故答案为：17
【变式1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有
人，参加唱
歌课外活动的有
人，参加体育课外活动的有
人，参加三种课外活动都参加的有
人，选择两种课外
活动参加的有
人，不参加其中任何一种课外活动的有
人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．
人
B．
人
C．
人
D．
人
【答案】A
【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
、
、
表示，不妨设总
人数为
，选择舞蹈和唱歌的人数为
，选择舞蹈和体育的人数为
，选择唱歌和体育的人数为
，利用
容斥原理可求得
的值，即为所求.
【详解】如图所示，用Venn 图表示题设中的集合关系，
不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合
、
、
表示，
则
，
，
，
．
不妨设总人数为
，选择舞蹈和唱歌的人数为
，选择舞蹈和体育的人数为
，选择唱歌和体育的人数为
，
则
，
，
，
．
由三个集合的容斥关系公式得
，
解得
，故接受调查的小学生共有
人．
故选：A.
【变式2】高三1 班有12 名同学读过《牡丹亭》，有8 名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4
名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16 人
B．18 人
C．20 人
D．24 人
【答案】A
【分析】根据集合的容斥原理即可求解.
【详解】设集合
“高三1 班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为
；
集合
“高三1 班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为
；
则
，
则
.
故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16 人.
故选：A.
【变式3】为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025 年4 月举行“语文情境默
写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出
､
20 人的代表队，据了解其中擅长语文的有10 名同学，擅
长英语的有12 名同学，两项都擅长的有5 名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【分析】利用venn 图，结合集合的运算求解.
【详解】设擅长语文的同学构成集合
，擅长英语的同学构成集合
，20 人代表队构成全集
，
则
，
，
，
，
，
，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为
人.
故选：C.
【变式4】1 学校举办运动会时，高一（1）班共有28 名同学参加比赛，有15 人参加趣味益智类比赛．有
8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3 人，同时参加趣味
益智类比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为
；同时参加田径和球类比赛的人数为
【答案】 9 3
【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加
趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类
一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为
，列出方程计算即可．
【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15，
且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3 人；
同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3 人．
又因为没有人同时参加三项比赛，
所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：
人．
设同时参加田径和球类比赛的人数为
，由题意得：
，
解得：
，
故同时参加田径和球类比赛的人数为，
故答案为：9；3．
一般地，对任意两个有限集
,
进一步的：
1．已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求并集，再求补集即可.
【详解】
，
，则
，
又
，则
.
故选：B.
2．集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为
，所以
，
故选：D.
3．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由
，则
，
集合
，
故
故选：D.
4．定义集合
的“对称差集”:
且
.已知集合
， 下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】A
【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果.
【详解】对于A，由
，则
，
所以
，故A 正确；
对于B，由
，所以
，故B 错误；
对于C,由
，则
，
由
，
，则
，
所以
，
，则
，
所以
，故C 错误；
对于D，当
时，结合选项B 知，
，故D 错误.
故选：A.
5．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，再结合补集和交集的定义求解即可.
【详解】因为
或
，
所以
，故
.
故选：D.
6．对于集合
，
，定义
且
，
，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题设定义求出
和
，再求出
即可．
【详解】对于集合
，
，定义
且
，
，
设
，
，
则
，
，
所以
.
故选：C．
7．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类
项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25 名同学选择球类项目A，20 名同学选择径赛项目B，18 名同
学选择其他健身项目C；其中有6 名同学同时选择A 和
名同学同时选择A 和C，3 名同学同时选择B 和
.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ）
A．51
B．50
C．49
D．48
【答案】B
【分析】根据题意，结合venn 图，列式运算得解.
【详解】
由题意，
，
，
，
，
，
，
因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，
所以这个班同学人数是
.
故选：B.
8．已知集合
若
，则a 的取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过
和
两类情况讨论即可.
【详解】由题得
，因为
，所以
.
当
时，
，满足
；
当
时，
，因为
，所以
或
，解得
1 或
，
综上
的取值构成的集合为
.
故选：D.
9．（多选）设
，
，若
，则实数a 的值可以是（ ）
A．0
B．
C．
D．3
【答案】ABC
【分析】解方程，写出集合A 的所有元素，根据集合A 和集合B 的关系，分析集合B 中的元素的可能情况，
解出相应的
.
【详解】∵
，
又∵
，∴
所以当
时，此时
；当
时，此时
；
当
时，此时
；
时，此时
不存在；
综上可得：实数a 的值可以是
，
故选：ABC.
10．已知集合
和
，满足
，
，则
实数
．
【答案】
【详解】由题知
，但
；
，但
．将
和
分别代入集合
，
中，得
即
解得
11．设集合
，
，全集
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
．
【详解】解：（1）解法1 易知
，所以
．又
，且
，所以
，解得
，故实数
的取值范围是
．
解法2 由
，知
，又
，
，所以
，解得
，
故实数
的取值范围是
．
（2）因为
，
，
，所以
，解得
，故实数
的
取值范围是
．
（3）因为
，
或
，
，所以
，解得
，故实数
的取值范围是
．
12．已知集合
，非空集合
，设全集为实数集
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
或
；
(2)
【分析】（1）根据并集，补集和交集的概念进行求解；
（2）求出
，根据并集结果得到不等式，求出答案.
【详解】（1）
时，
，
故
，
或
，
或
，
故
或
；
（2）
，则
，解得
，
或
，
，
要想
，需满足
，解得
，
综上，
的取值范围是
.
13．已知
为实数，集合
，全集
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）先根据
，分别得出集合
，进而应用交集，并集，补集定义计算求解；
（2）分
和
求出集合
，再由
得
，列方程求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
，
，
所以
.
（2）当
时，
，满足
，所以
成立；
当
时，
，可得
且
且
，
得
，且
，且
，
因为满足
，所以
，
所以
或
，得
或
或
（舍去），
所以
或
；
综上，
或
或
；
14．集合
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)已知
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，得
，从而解出
的值，分别代入集合
检验是否满足
，从而确定
的值；
（2）由
得
，从而求得
的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，解得
或
．
当
时，
，
，不合题意；
当
时，
，
满足题设．
所以，实数
的值为1．
（2）集合
，
集合
，
因为
，所以
，从而
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
