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专题1.2 集合的基本关系
题型一：判断集合子集（真子集）个数
题型二：求集合子集（真子集）
题型三：判断两个集合的包含关系
题型四：根据集合的包含关系求参数
题型五：判断两个集合是否相等
题型六：根据两个集合相等求参数
题型一：判断集合子集（真子集）个数
1．设集合
，若非空集合
同时满足：①
；②
(其中
表示
中
元素的个数，
表示集合
中最小的元素)，称集合
为
的一个“好子集”，则
的所有“好子
集”的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】结合“好子集”的定义，分
三种情况即可.
【详解】当
，即集合
中元素的个数为1 时，
的可能情况为
,
,
,
；
当
，即集合
中元素的个数为2 时，
的可能情况为
,
,
；
当
，即集合
中元素的个数为3 时，
的可能情况为
，
综上所述，
的所有“好子集”的个数为8.
故选：B
2．已知集合
，则
的子集个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据题意，联立方程组，求得集合
中的元素个数，进而的集合
的子集的个数，得
到答案.
【详解】根据题意，联立方程组
，可得
，
所以
，解得
，即集合
，
所以集合
的子集个数为2 个．
故选：C．
3．满足
的集合
的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】A
【分析】用列举法写出满足条件的集合
，即可得答案.
【详解】解：由题意可得
，共3 个.
故选：A
4．对于非空集合
（
，
），其所有元素的几何平均数记为
，即
．若非空数集
满足下列两个条件：①
⫋
；②
，则称
为
的一
个“保均值真子集”，则集合
的“保均值真子集”的个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】先求出
，再结合“保均值真子集”的概念列举集合
的“保均值真子集”即可得到答案.
【详解】因为集合
，则
，
所以集合
的“保均值真子集”有：
,
,
,
,
,
，共6 个．
故选：C
5．已知集合
，
，则集合
的所有真子集的个数（ ）
A．7
B．4
C．8
D．15
【答案】A
【分析】先求出集合
，再根据子集的定义即可求解.
【详解】依题意
，所以集合B 的真子集的个数为
.
故选：A.
题型二：求集合子集（真子集）
1．满足
的集合X 有（ ）
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
【答案】D
【分析】根据子集和真子集的概念可知，集合X 中必含有元素1，且最多含有3 个元素，对集合X 中元素
个数分类，即可列举出满足题意的集合X，从而求出个数.
【详解】由题意可以确定集合X 中必含有元素1，且最多含有3 个元素，
因此集合X 可以是
，
，
，
，
，
，
，共7 个.
故选：D.
2．设
是整数集的一个非空子集，对于
，如果
，且
，那么称
是
的一个孤立元”
给定
，由的3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】B
【分析】用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案．
【详解】若
，
不是孤立元，
.
设另一元素为
，假设
，此时
，不合题意，故
.
据此分析满足条件的集合为
，共有6 个.
故选：B
3．满足集合
为
的子集且
的集合
的个数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．15
【答案】C
【分析】根据子集的概念得到答案.
【详解】因为集合
，
则集合
可以为
,
，
，
，
，
，
，
共8 个，
故选：C
4．已知集合
，集合
可以为 （写出符合要求的所有
）
【答案】
【分析】写出集合的子集即可得解.
【详解】因为集合
，
所以集合
可以为
.
故答案为：
5．写出满足
的集合M： ．
【答案】
【分析】根据子集的定义，列举所有符合条件的集合即可求解．
【详解】根据
，可得
可以为
．
故答案为：
题型三：判断两个集合的包含关系
1．给出下列关系：①
；②
；③
；④
，其中正确的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可.
【详解】显然
，
，①③正确；
，②正确
在
中，当
时，
即有
因此
，④正确
正确命题的个数是
故选：D
2．已知集合
，则集合A 与B 之间的关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先确定集合
，再进行选项判断.
【详解】集合A 中所有的元素都是集合B 的子集，
即集合A 是由集合B 的子集组成的集合，
所以
，
故B 是集合A 中的一个元素，D 正确．
故选：D
3．下列六个关系式：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
，其中正确的个数为（ ）
A．个
B．
个
C．个
D．
个
【答案】C
【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合
中有一个元素0 判
断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断.
【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确；
集合中的元素具有无序性，②正确；
集合
中有一个元素0，不是空集
，③正确；
0 是集合
中的元素，所以
，④正确；
空集
和集合
两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误；
由于空集是任意集合的子集，则
，⑥正确；
故选：C
4．集合
，
，
的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可.
【详解】根据集合的概念可知集合
表示所有被
除余的数以及
所构成的集合，
集合
表示所有被
除余的数所构成的集合，
所以
，
集合表示所有被
除余的数所构成的集合，
任取
，则
，
，所以
，
，
又
，
，所以
，
综上
，
故选：A
5．下列表述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系和子集的定义即可判断.
【详解】对于A，
是集合
的元素，因此
，故A 错误；
对于B，
，因此
，故B 错误；
对于C，由
是任何集合的子集，因此
，故C 正确；
对于D，
中没有任何元素，因此
，故D 错误；
故选：C.
6．（多选）下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，根据元素与集合的关系，可得
，所以A 正确；
对于B 中，根据集合与集合间的关系，可得
，所以B 正确；
对于C 中，根据集合相等的定义，可得
，所以C 正确；
对于D 中，集合
为数集，集合
为点集，所以D 错误.
故选：ABC.
题型四：根据集合的包含关系求参数
1．已知集合
，若
，则所有
的取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题根据子集的含义可得集合A 为空集或非空集合，进而对参数a 分类讨论即可求解.
【详解】
，
，
故当
时，易求
；
当
时，由
得，
或
,
所以所有
的取值构成的集合为
，
故选：C.
2．已知集合
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出集合
，分析可知集合
中必含元素
、，可得出关于实数
的方程，结合集合
中的元
素满足互异性可得出实数
的值.
【详解】因为
且
，
所以
，
所以
或
，得
或
，
根据集合中元素的互异性可得
，解得
且
且
，故
.
故选：A.
3．已知集合
．若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分
和
，根据集合的包含关系分别研究参数范围.
【详解】若
，则
，即当
时，满足
；
若
，则
，即当
时，由
得
，所以
．
综上，
．
故选：D.
4．（多选）已知集合
，且
⫋
，则
的值可以是（ ）
A．4
B．3
C．
D．0
【答案】BCD
【分析】根据题意，分
或
或
，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求
解.
【详解】因为
⫋
，则
或
或
，
当
时，可得
且
，解得
，则
；
当
时，可得
且
，解得
，则
；
当
时，可得
，解得
，则
，
综上可得，
的值可以是或
或
.
故选：BCD.
5．已知集合
，
，且满足
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合
，分
，
两种情况讨论求解即可.
【详解】当
时，
，即
，满足
；
当
时，有
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
6．已知关于
的一元二次方程
有实根对应
的取值构成集合
，集合
.
(1)求集合
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据判别式
求解出结果；
（2）分类讨论
和
，列出不等式组求解出
的取值范围.
【详解】（1）因为
有实根，
所以
，解得
，
所以
.
（2）因为
，
当
时，
满足，此时
，解得
；
当
时，因为
，所以
，解得
，
综上所述，
的取值范围是
或
.
7．设集合
．
(1)当
时，求A 的非空真子集的个数；
(2)若
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2){
或
}
【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可；
（2）根据集合间的基本关系，分类讨论B 是否为空集计算即可.
【详解】（1）由
知
，且
可得
，
所以A 的非空真子集的个数为
；
（2）因为
，若
，则
，可得
；
若
，则
，解之得
；
综上所述：实数m 的取值范围为{
或
}.
9．已知
.
(1)若
中只有一个元素，求实数
的值，并用列举法表示集合
；
(2)若
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，分类讨论
与
两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解；
（2）先解二次方程化简集合
，再由
分类讨论集合
的各种情况，结合二次方程的解法即可得解.
【详解】（1）因为
只有一个元素，，
当
时，
；
当
时，对于
，有
，解得
，
把
代入集合
，得
；
综上，
或
，对应的集合
或
.
（2）因为
，
，
当
时，对于
，有
，解得
；
当
时，将
代入
，得
，则
，
此时
（舍去）；
当
，将
代入
，得
，则
，
此时
（舍去）；
当
，则有
，方程无解析，此时不存在
满足条件；
综上，
的取值范围为
.
10．已知集合
.
(1)若
，求实数
的取值集合.
(2)若
的子集有两个，求实数
的取值集合.
(3)若
且
，求实数
的取值集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据
，可得
，再分
和
两种情况讨论即可；
（2）由题意可得集合
中只有一个元素，再分
和
两种情况讨论即可；
（3）先根据
求出
，进而求出集合
，再分
和
两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，则
，与题意矛盾，
当
时，则
，解得
，
综上所述，实数
的取值集合为
；
（2）因为
的子集有两个，所以集合
中只有一个元素，
当
时，则
，符合题意，
当
时，则
，解得
，
综上所述，实数
的取值集合为
；
（3）因为
，
所以
，解得
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
因为
，所以
或
，解得
或
，
综上所述，实数
的取值集合为
.
题型五：判断两个集合是否相等
1．已知集合
，
，
，则集合
，
，
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
，
【答案】A
【分析】先化简
，
，
再由子集的概念与相等集的概念即可求解．
【详解】
,
,
，
,
，
，
，
，
，
，
故选：A
2．已知集合
，则与集合
相等的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出每个选项的集合，即可比较得出.
【详解】对A，
，故A 错误；
对B，
中
，解得
，故
，故B
错误；
对C，
，故C 错误；
对D，
，故D 正确.
故选：D.
3．已知集合
和
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用不等式的性质化简集合
，再利用集合与集合间的关系可知，
，从而得解.
【详解】由
，得到
，
所以
，
又
，所以
，
故选：C.
4．（多选）下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系逐项分析判断.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，集合
表示数集，集合
表示点集，两者不相等，故B 错误；
对于C，因为点
与点
不一定重合，所以两个集合不一定相等，故C 错误；
对于D，空集是任意集合的子集，故D 正确．
故选：AD．
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合
共有4 个子集
C．集合
D．集合
【答案】BC
【分析】A 选项，举出反例；B 选项，根据元素个数求出子集个数；C 选项，两个集合中的元素均为被3 除
余1 的所有整数，C 正确；D 选项，举出
，但
，D 错误.
【详解】对于A，空集不是它自身的真子集，故A 错误；
对于B，因为集合
中有2 个元素，所以有
个子集，故B 正确；
对于C，因为两个集合中的元素均为被3 除余1 的所有整数，所以两个集合相等，故C 正确；
对于D，因为
，当
时，
，
所以
，但
，
故两个集合不相等，故D 错误.
故选：BC
6．（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】CD
【分析】利用集合相等的定义即可判断各选项.
【详解】对于A，
是点集，
是数集，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，
，故C 正确；
对于D，
，
，故D 正确.
故选：CD.
7．（多选）下列选项中的两个集合相等的有（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断.
【详解】解：对于A：集合
表示偶数集，集合
也表示偶数
集，所以
，故A 正确；
对于B：
，
，所以
，故B 错误；
对于C：
，又
，
所以
，即
，所以
，故C 正确；
对于D：集合
为数集，集合
为点集，所以
，故D 错误；
故选：AC
题型六：根据两个集合相等求参数
1．设
，集合
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】A
【分析】由
，可得
，即可得答案.
【详解】因
，
，由集合互异性可得
.
则
.
故选：A
2．已知集合
，
，且
，则集合
.
【答案】
【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可.
【详解】因为
，
当
时，解得
，此时不满足集合元素的互异性；
当
时，解得
或
（舍去），即
满足结合元素的互异性，
所以
，
故答案为：
.
3．设集合
中的三个元素分别为
，集合
中的三个元素分别为
.已知
，求
的
值.
【答案】a，b，c 的值分别为1，
，2
【分析】根据
，求出
、
和
，求出
的值.
【详解】因为
，所以
，
解得
，所以
的值分别为
.
4．已知集合
，
，
，
为实数且
．
(1)当
，
时，判断集合
，
间的关系；
(2)若
，求实数
和
的值．
【答案】(1)B A
(2)
或
．
【分析】（1）解出集合
，再判断结果即可；
（2）分
和
两种情况分别在
时求出对应的
即可；
【详解】（1）当
时，集合
，故B A．
（2）①当
时，集合
，由
得
，解得
；
②当
时，集合
，此时
，解得
．
综上所述，
或
．
5．已知
，
，集合
，
，
.
（1）求使集合
的x 的值；
（2）求使
，
的a，x 的值；
（3）求使集合
的a，x 的值.
【答案】（1）
或
（2）
或
（3）
或
【解析】(1)令
，解方程即可得出答案；
(2)由题意得出
，联立求解即可得出答案；
(3)由相等集合的概念得出
，联立求解即可得出答案.
【详解】(1)由题意得
，解得
或
.
(2)∵
，
，∴
联立解得
时，
，
时，
.
所以可得满足题意的
，
为
或
.
(3)∵
，∴有
，联立解得
或
【点睛】本题考查了由集合之间的关系求参数的问题，考查了相等集合概念的应用，考查了计算能力，属
于一般难度的题.
