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专题1.2 空间向量基本定理
教学目标
1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问
题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的
核心素养；
2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向量进行正确的正交分解，解决相
关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力；
教学重难点
重点：理解空间向量基本定理．
难点：选择合适的基底表示向量，解决相关问题．
知识点01 空间向量基本定理
1、定理：如果向量三个向量
不共面，那么对空间任意向量
存在有序实数组
使得
2、基底与基向量
如果向量三个向量
不共面，那么所有空间向量组成
集合就是
这个集
合可看作是由向量
生成的，我们把
叫做空间的一个基底
都叫做基向量．
对基底
正确理解，有以下三个方面：
（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；
（2）因为
可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含
着它们都不是
；
（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向
量，二者是不同的概念．
【即学即练】（多选）已知空间向量
，
，，
，若存在实数组
和
，满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
，
，共面
B．若
，
，共面，则
C．若
，
，不共面，则
，
，
D．若
，
，共面，则
题型01 空间向量基底的概念及辨析
【典例1】（多选）若
是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【变式2】若
是空间的一组基，且向量
，则可以与
构成空间的另一组基的向
量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若
为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】若
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为
一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的
三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
题型02 用空间基底表示向量
【典例1】在直三棱柱
中，
，
分别为
，
的中点，设
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】如图所示，在平行六面体
中，
M 是
的中点，点N
是CA₁ 上的点，且
用
表示向量
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，空间四边形
中，
，
，
，点
在线段
上，且
，点
为
的中点，则
A．
B．
C．
D．
【变式3】如图所示，在平行六面体
中，
，
.设
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】如图所示，空间四边形
中，
，
，
，点
在
上，点
在
上，
且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 空间向量基本定理及其应用
【典例1】在正四面体
中，点
是
的中心，若
（
），则
.
【变式1】正方体
，点E 是上底面
的中心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式2】在四面体
中，点
为线段
靠近A 的四等分点，
为
的中点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式3】如图，在正方体
中，若点
是侧面
的中心，且
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式4】在四面体
中，点
为线段
靠近A 的四等分点，
为
的中点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
题型04 空间向量的坐标表示
【典例1】设
为空间一组基底，若向量
，则向量
在基底
下的坐标为
．若
在基底
下的坐标为
，则向量
在基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】设
为空间的一个基底，若向量
，则向量
在基底
下的坐标为
.若向量
以
为基底时的坐标为
，则
可以
为基底时的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知向量
在基底
下的坐标为
，则
在基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知向量
在基底
下的坐标为
，则
在基底
下的坐标为 .
【变式4】已知
是空间向量的单位正交基底，
是空间向量的另一个基底，若向量
在基底
下的坐标是
，则向量
在基底
下的坐标是 .
题型05 空间四点共面
【典例1】O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且
，若P，A，B，C 四点
共面，则实数
.
【变式1】在四面体
中，空间的一个点
满足
，若
四点共面，则
.
【变式2】已知三棱锥
，如图所示，
为
重心，点
，
为
，
中点，点
，
分
别在
，
上，
，
，若
四点共面，则
．
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
1．若
构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
2．已知在三棱锥
中，
是棱OA 上靠近点
的三等分点，
为棱BC 的中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在三棱锥
中，M 在PA 上，N 在BC 上，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是空间一个基底，
，一定可以与向量
构成空间另一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
是空间中一组基底，若向量
，则称向量
在基底
下坐标为
.
若向量
在基底
下坐标为
，则向量
在基底
下的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在平行六面体
中，
，
，
，
为
的中点，
为
上靠近
的三等分点，则线段
的长度为（ ）
A．
B．5
C．
D．
7．（多选）已知
是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．
两两共面
B．若
，则
C．对空间任一向量
，总存在有序实数组
，使
D．
不一定能构成空间的一个基底
8．
不与
共面，并且
四点在一个平面上，
（
），则
的最小值为 ．
9．在正四棱锥
中，
，
，设平面
与直线
交于点
，
，则
．
10．如图所示，在平行六面体
中，设
分别是
的中点，试用
表示以下各向量：
(1)
；
(2)
；
(3)
11．在平行六面体
中，
，
，
.记向量
，向量
，向量
.
(1)取
的中点
，用向量
，
，来表示向量
；
(2)求
.
12．如图所示，已知空间四面体
的每条棱长都等于1，点
，
，
分别是
，
，
的中
点，求
的长．
