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专题1.1 空间向量及其运算
教学目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及
远算律，
3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法
4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主
要用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量的共线与垂直。
教学重难点
教学重点：会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律:
教学难点：能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
知识点01 空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或
模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0 的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1 的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段
来表示，
叫向量的起点，
叫向量的终点；
（2）字母表示法：用
表示．向量的起点是
，终点是
，则向量也可以记作
，其模记为
或
.
【即学即练】（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量
，
满足
，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】ABC
【分析】根据空间向量的定义直接判断.
【详解】A 选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A 选项错误；
B 选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B 选项错误；
C 选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小；
D 选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D 选项正确；
故选：ABC.
知识点02 空间向量加法，减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量
，可以把它们平移到同一平面
内，以任意点
为起点，作向量
，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量
，则向量
叫做向量
的和．记作
，
即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量
叫做与
差，记作
，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练】已知平行六面体
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得.
【详解】在平行六面体
中，
=
=
.
故选：C
知识点03 空间向量数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数
与空间向量的乘积
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量
与向量的关系
的范围
的方向
的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3、对数乘向量
与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量
模扩大（当
时），也可缩小（当
时）；可以不改变向量的方向（当
时），也可以改变向量的方向（当
时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当
时，
；当
时，若
，则
．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，
，
没有意义，无法运算．
【即学即练】化简下列算式：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；
（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】（1）
.
（2）
.
知识点04 向量共线及共线定理
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做
共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为
．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如
，那么
不一定成立，因为当
时，虽然
，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量
，
的充要条件是存在实数
，使
．
2.1 共线向量定理推论：如果为经过点
平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点
,点
在
直线
上的充要条件是存在实数
, 使
①，若在
上取
，则①可以化作：
2.2 拓展(高频考点）：对于直线外任意点
，空间中三点
共线的充要条件是
，
其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1 共面向量定理：如果两个向量
不共线，那么向量
与向量
共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对
，使
3.2 空间共面向量的表示
如图空间一点
位于平面
内的充要条件是存在有序实数对
，使
．
或者等价于：对空间任意一点
，空间一点
位于平面
内（
四点共面）的充要条件是存
在有序实数对
，使
，该式称为空间平面
的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3 拓展
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
【即学即练】在正方体
中，下列向量与
平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接根据正方体的性质可解.
【详解】如图，在正方体
中，
.
故选：A.
知识点05 空间向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量
，在空间任取一点
，作
，
，则么
叫做向量
的夹角，记
.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围：
．
特别地，（1）如果
，那么向量
互相垂直，记作
．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为
，故
(或
)
(
为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即
．两非零向量的夹角
是唯一确定的．
【即学即练】空间四边形
中，
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【分析】利用
，以及
的数量积的定义化简
的值，
【详解】
，故
所以
.
故选：D．
知识点06 空间两个向量数量积
1 、定义：已知两个非零向量
，
，则
叫做
，
的数量积，记作
；即
．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式
可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式
可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
3 、空间向量数量积的几何意义：向量
，
的数量积等于
的长度
与
在
方向上的投影
的乘积或等于的长度
与在方向上的投影
的乘积.
【即学即练】在棱长为6 的正四面体
中，点M 在OA 上，且
，则
．
【答案】
【分析】利用空间向量的数量积运算求解.
【详解】因为
，
所以
，
．
故答案为：-12
知识点07 向量的投影
1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面
内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，
向量称为向量
在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量向平面
投影，就是分别由向量的起点
和终点
作平面
的垂线，垂足分别为
，
，得到
，向量
称为向量在平面
上的投影向量．这时，向量，
的夹角就是向量
所在直线与平面
所成的角．
【即学即练】已知
，空间向量为单位向量，
，则空间向量在向量方向上投影的模为
．
【答案】2
【分析】利用投影的定义计算然后求模即可．
【详解】空间向量在向量方向上的投影为
，
所以投影的模为．
故答案为：．
题型01 空间向量的有关概念
【典例1】给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量
满足
，则
；③在正方体
中，必有
；④若空间向量
满足
，
，则
．其中正确的个数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们
的起点和终点都不一定相同，①错误；
对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量
与的方向不一定相同，②错误；
对于③，根据正方体的性质，在正方体
中，向量
与向量
的方向相同，模也相等，
则
，③正确；
对于④，由向量相等关系可知
，④正确．
故选：C.
【变式1】下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量
满足
，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A 错误；
单位向量指的是模为1 的向量，方向未定，故B 错误；
向量不能比较大小，故C 错误；
相等向量其方向必相同，故D 正确；
故选：D.
【变式2】已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
【答案】C
【分析】利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性．
【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A 正确；
与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B 正确；
与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C 错误；
与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D 正确．
故选：C．
【变式3】（多选）下列说法正确的有（ ）
A．设
是空间向量，若与共线，与共线，则与共线
B．若两个非零向量
与
满足
，则
C．零向量与任何向量都共线
D．两个单位向量一定是相等向量
【答案】BC
【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解.
【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A 错误，
对于B，由
可得
，故
∥
，B 正确，
对于C，零向量与任意向量共线，故C 正确，
对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D 错误，
故选：BC
【变式4】（多选）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若空间向量，，满足
，则
B．若空间向量，，满足
，则
C．若空间向量
，满足
，
，则
D．若空间向量
，满足
，
，则
【答案】BD
【分析】根据空间向量模的性质、相等向量、共线向量的定义逐一判断即可.
【详解】A：若
，显然满足
，但是不满足
，因此本选项不正确；
B：两个空间向量相等，它们的模显然相等，因此本选项正确；
C：若
，
且三向量不共面时，
不一定成立，因此本选项不正确；
D：由相等向量的定义可知，如果
，
，一定有
，因此本选项正确，
故选：BD
题型02 空间向量加减运算及几何表示
【典例1】如图，三棱锥
中，
，
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的运算法则求解即可.
【详解】如图所示：
.
故选：C.
【变式1】如图，在三棱柱
中，
分别是棱
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案.
【详解】
.
故选：C.
【变式2】如图，在四面体
中，点E，F 分别为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案.
【详解】由题意可得
,
故选：A.
【变式3】如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先用
表示
，然后由向量加减法运算可得结果.
【详解】因为
是平行四边形，所以
，
所以
，
所以
.
故选：B.
【变式4】如图，在正四棱锥
中，为棱
的中点，设
，则用
表
示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由图及空间向量加减法可得答案.
【详解】由图可得：
.
故选：C
题型03 空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可
判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D.
【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有
，不能说明三点共线，说法A 错误；
对于B，若
，则
，而
，据此可知
，即，两点重合，
选项B 错误；
对于C，
，则、、三点共线，选项C 正确；
对于D，
，则线段
的长度与线段
的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D 错误；
故选：C.
【变式1】在空间四边形ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点，则
和
的关系是 ．
（填“平行”“相等”或“相反”）
【答案】平行
【分析】利用向量共线定理求解.
【详解】解：如图所示：
设G 是AC 的中点，连接EG，FG，
则
，
所以
，
从而
∥
．
故答案为：平行
【变式2】在正方体
中，G 为
的重心，证明：
三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】选择
为基向量，用基向量表示
和
，通过证明
与
平行可证
三
点共线.
【详解】设
的中点为，连接GB，GD，
，
，
，
因为G 为
的重心，所以
，
所以
，
所以
，即
三点共线.
题型04 空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】设，
是两个不共线的空间向量，若
，
，
，且，，
三点共线，则实数的值为 .
【答案】/
【分析】由
列方程，化简求得的值.
【详解】∵
，
，
，
∴
，
又∵A，C，D 三点共线，∴
，
∵，
不共线，∴
，
∴
，∴
.
故答案为：
【变式1】已知
是不共面的空间向量，若
与
（
是实数）是
平行向量，则
的值为（ ）
A．16
B．-13
C．3
D．-3
【答案】C
【分析】根据
，结合
，列出方程组，求解即可.
【详解】因为
是不共面的空间向量且
，
故
，则
，
解得
，所以
.
故选：C.
【变式2】设，
是空间两个不共线的向量，已知
，
，
，且A，
B，D 三点共线，则
．
【答案】
【分析】根据A，B，D 三点共线可得
，即可得到关于
的方程组，即可解出．
【详解】因为
，
，
则
，
又
，而A，B，D 三点共线，
所以存在
，使得
，
即
，所以
，解得
．
故答案为：
．
【变式3】已知、、三个空间向量，若
与
共线，则
的值为 ．
【答案】0
【分析】由
于共线，则
，可得
，即可求得
的值.
【详解】由
于共线，则
，即
，
所以
，则
.
故答案为：.
【变式4】已知非零向量
不共线，则使
与
共线的k 的值是 ．
【答案】
【分析】应用向量平行结合平面向量基本定理计算求参.
【详解】若
与
共线，则
．
因为非零向量
不共线，所以
即
，所以
．
故答案为：
题型05 空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】如图，已知平行六面体
，
分别是棱
和
的中点，求
证：
四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】取
，
，
，由向量的线性运算得
与
、
共面可得答案.
【详解】取
，
，
，
则
所以
与
共面，又
，
，
所以
与
、
共面，
所以
四点共面．
【变式1】若
，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】得用向量共面的充要条件计算可判断结论成立.
【详解】对于A，若
共面，则存在
，使
，
则
，无解，故
不共面，故A 错误；
对于B，若
共面，则存在
，使
，
则
，无解，故
不共面，故B 错误；
对于C，若
共面，则存在
，使
，
则
，无解，故
不共面，故C 错误；
对于D，若
共面，则存在
，使
，
则
，解得
，故
共面，故D 正确.
故选：D.
【变式2】已知两非零向量，，且与不共线，设
（、
，且、
），则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与，共面
D．以上三种情况均有可能
【答案】C
【分析】先假设与共线即
，从而得
，进而推出矛盾，与同理，从而可判断选项
ABD，再由向量共面的充要条件结合已知条件、
和
即可判断C.
【详解】假设与共线，则
，
所以
即
，又、
，
所以与共线，这和与不共线相矛盾，故假设不成立，
则A 不正确，同理B 不正确，则D 不正确；
因为、
，
，所以与，共面，故C 正确.
故选：C.
【变式3】（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（ ）
A．若存在实数，，使得
，则与，共面
B．若与，共面，则存在实数，，使得
C．若，，共面，则存在实数，，，使得
D．若存在实数，，，使得
，则，，共面
【答案】AC
【分析】对于AC：根据平面向量基本定理分析判断；对于BD：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：若向量
共线，易知与
共线，显然共面；
若向量
不共线，根据平面向量基本定理可知与
共面；
综上所述：与，共面，故A 正确；
对于选项B：若向量与
共面，如果
共线，与它们不共线，则不存在实数
使得
，故
B 错误；
对于选项C：若向量
共线，则取
，可得
；
若向量
不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得
，
即
，可得
；
综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得
，故C 正确；
对于选项D：例如
，对于任意空间向量，，均有
成立，
此时无法判断，，是否共面，故D 错误.
故选：AC.
【变式4】如图，M、N 分别是空间四边形ABCD 的边AB、CD 的中点，则向量
与
、
．
（填“共面”或“不共面”）
【答案】共面
【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算，再利用共面向量定理判断即得.
【详解】依题意，
，
所以向量
与
、
共面.
故答案为：共面
题型06 空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】在三棱锥
中，M 是平面
内一点，且
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算法则得到
，再由空间共面定理的推论得到方程，
解得即可.
【详解】因为
，
所以
，即
，
又点M 是平面
内一点，
所以
，解得
.
故选：B
【变式1】已知
是平面内不共线的四点，点为平面外一点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】C
【分析】根据四点共面的性质求解即可.
【详解】因为
四点共面，且
，
所以
，解得
.
故选：C.
【变式2】已知空间中有5 个点、、、、
，若满足
，且、、、
四点共面，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值.
【详解】由
得
，
即
，
由空间向量共面定理的推论可知，
，解得
.
故选：B.
【变式3】已知
是不共面向量，
，
，
，若，、三
个向量共面，则实数
．
【答案】
【分析】由题意可得存在实数
，满足
，然后建立方程即可求解．
【详解】若，，三个向量共面，则存在实数
，满足
，
即
，
所以
，解得
，
故答案为：
．
【变式4】已知点
在平面
内，为空间内任意一点，若
，则
．
【答案】/0.25
【分析】根据向量的运算法则得到
，根据共面得到
，得到答案.
【详解】由
，得
，
即
．
因为点
在平面
内，所以
，得
．
故答案为：.
如图空间一点
位于平面
内的充要条件是存在有序实数对
，使
．
或者等价于：对空间任意一点
，空间一点
位于平面
内（
四点共面）的充要条件是存
在有序实数对
，使
，该式称为空间平面
的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
题型07 空间向量的数量积（求空间向量的数量积）
【典例1】已知四面体
，所有棱长均为2，点
分别为棱
的中点，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】由平面向量基本定理可得
，再由空间向量数量积的运算
律代入计算，即可得到结果.
【详解】因为点
分别为棱
的中点，且四面体
所有棱长均为2，
则
，
所以
.
故选：D
【变式1】若
是一个单位正交基底，且向量
，
，则
的值为（ ）
A．
B．4
C．7
D．23
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得.
【详解】由
是一个单位正交基底，得
，
所以
.
故选：A
【变式2】在正三棱锥
中，
，点
是棱
的中点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算，用
表示
，再用空间向量数量积运算即可.
【详解】根据题意可作图，
因为点
是棱
的中点，所以
,
因为
，所以
,
则
,
由题意，
都是等边三角形，
所以
，
故
故选：A.
【变式3】在棱长为1 的正四面体
中，是
的中点，则
.
【答案】/
【分析】将
转化成
，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可.
【详解】由题意可得
.
故答案为：.
【变式4】在三棱锥
中，
，
，
，则
.
【答案】/
【分析】结合图形，将向量
分解转化，利用题设条件和向量数量积的定义即可求得.
【详解】
如图，因
，
，
，
则
故答案为：.
题型08 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围）
【典例1】已知正三棱柱
的底面边长为
，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切
球的一条直径是
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据条件得出棱柱的内切球的半径为
，利用数量积的运算得
，再求出
范围，即可求出结果.
【详解】正三棱柱的高为，所以棱柱的内切球的半径为
，
设棱柱内切球与上下底面的两个切点为
，且切点为上下底面的中心，
设棱柱内切球的球心为，又
是该棱柱内切球的一条直径，则
，
则
，
又点是正三棱柱表面上的动点，
当为内切球与正三棱柱的各面的切点时，
的值最小，此时
，
由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，
的值最大，
连接
，并延长交
于
，
因为正三棱柱的底边长为
， 则
，
此时
，
得到
，则
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式1】记棱长为2 的正方体
的内切球为球
是球O 的一条直径，P 为该正方体表
面上的动点，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解.
【详解】由题意可得，球O 的半径为1．
．当P 为正方体顶点时等号成立，
故选：B
【变式2】正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体.在古希
腊时期人们就已经发现正多面体仅有5 种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十
面体.如图，
是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点为正八面体内切球
球面上的任意一点，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用体积分割法求出正八面体的内切球的半径，取
的中点
，利用数量积的运算律得
，利用圆的知识求出
的最大值为
，即可得解.
【详解】正八面体的表面是8 个全等的正三角形组成，其中正
边长为2，
则正八面体的表面积
，
而正八面体可视为两个共底面的，
侧棱长与底面边长相等的正四棱锥
与
拼接而成，
正四棱锥
的高
，
则正八面体的体积
，
设内切球半径为，则
，解得
，
取
的中点
.
设为正方形
的中心也是内切球的球心，则
，
因此
的最大值为
，
所以
的最大值是
.
故选：A.
【变式3】已知正三棱锥
的底面
的边长为，是空间中任意一点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
中点为
，连接
，设
中点为
，连接
，
，
，利用转化法求向量数量积
的最值即可.
【详解】设
中点为
，连接
，设
中点为
，连接
，
，
，
则
，
，
当与
重合时，
取最小值0，
此时
有最小值
.
故选：
.
【变式4】已知是棱长为2 的正方体
内（含正方体表面）任意一点，则
的最大
值为 .
【答案】4
【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得
，由正方体的性质可得当
时
取得最大值为4.
【详解】取
的中点为，连接
，如下图所示：
因此可得
，且
可得
；
因此当
的长度最大时，
取得最大值，
显然当点与
重合时，
，因此
取得最大值为4.
故答案为：4
平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于
极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义：
几何解释1 （平行四边形模型）以
，
为一组邻边构造平行四边形
，
，则
，由
，得
．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的
”．
几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，
则
由
变
形
为
，
得
，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等
式的几何模型．
题型09 利用数量积求夹角
【典例1】已知空间向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据模长公式即可代入求解.
【详解】由
可得
，
故
，故
，
故选：B
【变式1】已知空间向量
满足
，
，则与的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
【答案】D
【分析】由题意
，再两边平方求解即可.
【详解】由题意
，设与的夹角为，则
，
即
，解得
.
故选：D
【变式2】已知平行六面体
中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】要求
，需有
，利用空间向量的线性运算将
转化为
即可.
【详解】
如图：
，
，
.
故选：B.
【变式3】已知空间向量，，满足
，
，
，
，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
得
，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角.
【详解】设与的夹角为，由
，得
，
两边同时平方得
，
所以1
，解得
，
又
，所以
.
故选：D
【变式4】向量
，
，
，若
，则与的夹角为 .
【答案】
【分析】求出
后利用向量的夹角公式可求夹角的余弦值，从而可求夹角.
【详解】由题设可得
，故
即
，
故
，而
，故
，
故答案为：
题型10 空间向量的投影（投影向量）
【典例1】如图，在三棱锥
中，已知
平面
，
，
，则向
量
在向量
上的投影向量为 （用向量
来表示）.
【答案】
【分析】写出
表达式，求出
，即可得出向量
在向量
上的投影向量.
【详解】由题意，
在三棱锥
中，已知
平面
，
,
∵
面
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
,
，
∴向量
在向量
上的投影向量为：
，
故答案为：
.
【变式1】在棱长为 的正方体
中，向量
在向量
方向上的投影向量的模
是 ．
【答案】
【分析】由正方体的性质可得向量
与向量
夹角为
，先求出
的值，进而可得答案.
【详解】棱长为的正方体
中向量
与向量
夹角为
，
所以
向量
在向量
方向上的投影向量是
向量
在向量
方向上的投影向量的模是
，
故答案为：
【变式2】如图，已知
平面
，
，
，则向量
在
上的投
影向量等于 .
【答案】
【分析】先求出
，再根据投影向量的公式计算即可.
【详解】
平面
，
则
，
向量
在
上的投影向量为
故答案为：
.
题型11 空间向量中的模（距离，长度）
【典例1】已知平行六面体
的所有棱长均为，
，则对角线
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算，可得
的表达式，两边平方即可求得.
【详解】由已知：平行六面体
所有棱长均为，
，则
，
又因为：
，
同理可得：
，
则
，则
.
故选：
.
【变式1】在正四棱台
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据空间向量法求
.
【详解】在正四棱台
中，过点
向
作垂线，垂足为点，
则
，所以
，
.
故选：A
【变式2】在平行六面体
中，底面
是边长为正方形，侧棱
的长为，且
，则
的长为 .
【答案】
【分析】根据空间向量的运算来求得正确答案.
【详解】
，
所以
.
故答案为：
【变式3】若
为空间中两两夹角都是
的单位向量，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解即得.
【详解】由
为空间中两两夹角都是
的单位向量，得
，
所以
.
故答案为：
【变式4】如图，已知正四面体
的棱长为1，
是棱
的中点，
是线段
的中点，记
，
，
(1)用，，表示向量
(2)求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可；
（2）根据
，再平方求解可得答案.
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
；
（2）依题意，得
，
，
所以
，
，
所以
.
1．已知正方体
，设向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据方程组
，即可求解
.
【详解】由于
，
所以
，
，
.
故选：B
2．如图在平行六面体
中，
、
相交于，
为
的中点，设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算法则，
，进而可得答案.
【详解】由已知得，
，
.
故
故选：A
3．在任意四边形
中，E，F 分别是
，
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】根据向量加法法则，将
分别用
表示，再结合题意即可得解.
【详解】如图，
，
，
，
.
故选：C.
4．若
构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】C
【分析】利用向量共面的判定方法可得答案.
【详解】因为
构成空间的一组基底，所以
不共面；
由于
，所以
，
，共面，A 不正确；
由于
，所以
，
，
共面，B 不正确；
由于
，所以
，
，
共面，D 不正确；
对于C，不存在实数
，使得
成立，所以
，
，
不共面.
故选：C
5．设正四面体
的棱长为，，
分别是
，
的中点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到
，
，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得
的值，得到答案.
【详解】如图所示，因为
分别为
的中点，可得
，
，
又因为四面体
为正四面体，且棱长为，
可得
.
故选：D.
6．已知棱长为的正四面体
中，是
的中点，
是
上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】依题意，有
，
，设
，
则
．
故选:B．
7．在平行六面体
中
，
，
．取棱
的中点M，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取
的中点
，连接
，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可
得.
【详解】取
的中点
，连接
，
由图形可得
，
所以
，
所以
.
故选：B
8．已知正四棱锥
的所有棱长均为1，O 为底面ABCD 内一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由
，则
，
由
共面，则
，解得
，
所以
.
故选：B.
9．（多选）如图，在直四棱柱
中，
，
，，
分别为
，
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据直四棱柱的几何性质，结合空间向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案.
【详解】对于A，由为
的中点，则
，
在直四棱柱
中，易知
，
所以
，故A 正确；
对于B，由
为
的中点，则
，
在直四棱柱
中，易知
，
，故B 错误；
对于C，由题意可得
与
的夹角为
，且
，
则
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确．
故选：ACD．
10．（多选）已知几何体
为长方体，则（ ）
A．
在
方向上的投影向量为
B．
在
方向上的投影向量为
C．
在
方向上的投影向量为
D．
在
方向上的投影向量为
【答案】AC
【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可.
【详解】如图：
在长方体
中，因为
平面
，所以
，所以
在
方向上的投影向
量为
，即A 正确；
因为在
中，
，所以
与
不垂直，所以
在
方向上的投影向量不是
，
即B 错误；
因为
，
，所以
在
方向上的投影向量为
，即C 正确；
虽然
，但
与
不垂直，所以
在
方向上的投影向量不是
，即D 错误.
故选：AC
11． 已知为空间中任意一点，
四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且
，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】整理可得
，结合四点共面的结论列式求解即可.
【详解】因为
．
由题意得
，所以
．
故答案为：
.
12． 已知A，B，C 三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足
，则
点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC．
【答案】属于
【分析】将已知式子变成
，由此即可判断.
【详解】
，
四点共面．即点
平面ABC．
故答案为：属于
13．如图，在长方体
中，
，点在棱
的延长线上，且
．
设
．
(1)试用，，表示向量
(2)求
．
【答案】(1)
；
(2)4
【分析】（1）由向量的加法运算法则，即可表示出
（2）将
用，，表示，再根据向量的数量积运算法则，即可求得
.
【详解】（1）点在棱
的延长线上，且
，
，
．
（2）由题意得
，
又
，
．
14．已知正四面体
的棱长为1，如图所示.若E，F 分别是
，
的中点，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据空间向量的数量积的定义求解各小题即可.
【详解】（1）由题意，E，F 分别是
，
的中点，
则
.
（2）
.
（3）
.
15．如图所示棱长为1 的正四面体
，、
分别为
、
中点，
为靠近
的三等分点．记
，
．若
，
，求
的最小值；
【答案】
【分析】根据向量的模及数量积的运算，结合二次函数的性质可得结果；
【详解】已知
（
），
所以
，
故
的最小值为
.
