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专题11 椭圆的标准方程
题型一：椭圆的定义及辨析
题型二：利用椭圆定义求方程
题型三：椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
题型四：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
题型五：判断方程是否表示椭圆
题型六：求椭圆方程
题型七：根据椭圆方程求参数
题型八：椭圆中的轨迹方程问题
题型九：椭圆中焦点三角形面积问题
题型十：椭圆中焦点三角形其他问题
题型一：椭圆的定义及辨析
1．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上任意一点，则
的中点的轨
迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
2．若椭圆
上一点
到椭圆一个焦点的距离为3，则
到另一个焦点的距离为（ ）
A．5
B．2
C．7
D．6
3．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过左焦点
作直线交
于
两点，则三角形
的周长为（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
4．方程
表示的曲线为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．不表示任何图形
5．已知点
，
，动点
满足
，则动点P 的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．直线
C．线段
D．不存在
题型二：利用椭圆定义求方程
6．平面内，动点
的坐标
满足方程
，则动点
的轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知平面内一动点P 到两定点
，
的距离之和为8，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．椭圆的两个焦点是
和
，椭圆上的点M 到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．方程
的化简结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图：已知圆
内有一点
，Q 是圆C 上的任意一点，线段AQ 的垂直平分线
与CQ 相交点M ，当点Q 在圆C 上运动时，点M 的轨迹方程为
题型三：椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
11．已知点P 是椭圆
上一点，
，
是C 的左、右焦点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选）已知点
，P 为椭圆
上的动点，则
的（ ）
A．最大值为
B．最大值为
C．最小值为
D．最小值为
13．已知
为椭圆
上的一点，若
分别是圆
和
上的点，则
的最大值为 .
14．设P 是椭圆
上的点.若
，
是椭圆的两个焦点，则
等于 .
15．已知P 为椭圆
上一点，
分别为圆
和圆
上的点．则
的最小值为 ，最大值为 ．
题型四：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
16．已知
是椭圆
的左焦点，
为椭圆
上任意一点，点
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
17．设椭圆C：
的左焦点为F，下顶点为B，点P 在C 上，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．b
C．3
D．3b
18．设实数
满足
的最小值为 .
19．已知F1，F2分别是椭圆
的左、右焦点，M 是椭圆上的动点，点A(1，1)，则
的最
大值是 .
20．已知P 是椭圆
上一点，点P 在直线l：
上的射影为Q，F 是椭圆C 的右焦
点，则
的最小值为 .
21．已知
是椭圆
的左焦点，
是椭圆
上的动点，点
，则
的最小值为
.
22．已知椭圆
，
、
分别是其左右焦点，点
是
上的动点，求
的取
值范围．
题型五：判断方程是否表示椭圆
23．以下方程表示椭圆的是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知曲线
，则“
”是“曲线C 是椭圆”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
25．当
时，方程
表示的曲线是（ ）
A．焦点在
轴的椭圆
B．焦点在
轴的椭圆
C．双曲线
D．圆
26．命题“
，曲线
是椭圆”的否定是（ ）
A．
，曲线
是椭圆
B．
，曲线
不是椭圆
C．
，曲线
是椭圆
D．
，曲线
不是椭圆
27．（多选）已知曲线
．下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
是椭圆，其焦点在
轴上
B．若
，则
是椭圆，其焦点在
轴上
C．若
，则
是圆，其半径为
D．若
，
，则
是两条直线
题型六：求椭圆方程
28．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是
，
，椭圆上一点
到两焦点距离的和等于10；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是
，
，并且椭圆经过点
；
(3)椭圆的焦点在
轴上，
，
.
29．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的左、右焦点分别为
，点
在椭圆上，且
；
(2)焦点在坐标轴上，且经过两个点
.
30．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是
，
，并且经过点
，求它的标准方程；
(2)两个焦点分别是
，
，椭圆上的点
到两个焦点的距离之和等于8；
(3)两个焦点分别是
，
，并且椭圆经过点
．
31．求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点
，焦点坐标分别为
，
；
(2)经过
，
两点；
(3)与椭圆
有相同的焦点，且经过点
32．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为
，
，经过点
；
(2)经过点
两点．
(3)过
且与
有相同的焦点；．
33．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过
两点.
(2)经过点
，且与椭圆
有共同的焦点；
题型七：根据椭圆方程求参数
34．已知方程
＝1.
(1)若上述方程表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围；
(2)若上述方程表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围；
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m 的取值范围.
35．已知曲线方程
，
．
(1)若方程表示焦点在
轴上的椭圆，求
的取值范围；
(2)若方程表示焦距为2 的椭圆，求
的值．
36．已知方程
表示焦点在
轴上的椭圆，求的取值范围.
37．已知
，当m 为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x 轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y 轴上的椭圆．
38．设k 为实数，若椭圆的方程为
，求满足下列条件的k 的取值范围：
(1)椭圆的焦点在x 轴上；
(2)椭圆的焦点在y 轴上．
题型八：椭圆中的轨迹方程问题
39．已知
的顶点
，
，且周长为16，求顶点
的轨迹方程 ．
40．在平面直角坐标系中，
满足
，
、
分别为
的重心、内心，若
轴，
则点
的轨迹方程为 .
41．如图，设A，B 的坐标分别为
，直线AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积为
求
点M 的轨迹方程．
42．点A，B 的坐标分别是
，直线AM，BM 相交于点
，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的
乘积是
，求点
的轨迹方程．
43．已知圆
：
和圆
：
(1)过点
作圆
的切线，求此切线的方程；
(2)动圆M 在圆
的内部，并且与圆
内切与圆
外切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程．
44．过椭圆
上一点
作直线交椭圆于
点，求
中点的轨迹方程．
题型九：椭圆中焦点三角形面积问题
45．设
是椭圆
上的一点，
，
为焦点，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．16
46．已知
是椭圆
：
上一点，
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若
，则
的面积为（ ）
A．49
B．48
C．25
D．24
47．若点
在椭圆
上，
分别为椭圆
的左右焦点，且
，则
的面积为
（ ）
A．
B．3
C．4
D．1
48．设点P 为椭圆
1 上一点，
，
分别为C 的左、右焦点，且
，则
的面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
49．已知椭圆的方程为
，若点P 为椭圆上的点，且
，则
的面积为
．
50．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上，且直线
与
轴垂直.
(1)证明：
；
(2)若
的角平分线恰好过点
，求
的面积.
题型十：椭圆中焦点三角形其他问题
51．如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
两点，交
轴
于点
.若
，
是线段
的三等分点，则
的周长为（ ）
A．20
B．10
C．
D．
52．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
．过
且垂直于
的直线与
交于
，
两点，则
的周长为（ ）
A．4
B．
C．8
D．
53．已知
为椭圆的焦点且
是椭圆上两点，且
，
，则
的周长为（ ）
A．26
B．28
C．30
D．32
54．若椭圆
的两个焦点为
，
，点
在椭圆
上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
55．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
为椭圆
上一点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
56．若F 为椭圆C：
的右焦点，A，B 为C 上两动点，则
周长的最大值为 .
57．椭圆
的焦点为
，点
在椭圆上，若
，则
；
的大小为
.
58．已知圆
，椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为坐标原点，
为椭圆
上
一点，直线
与圆
交于点
，
，若
，则
.
