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专题1.1 空间向量及其运算
教学目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及
远算律，
3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法
4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主
要用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量的共线与垂直。
教学重难点
教学重点：会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律:
教学难点：能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
知识点01 空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或
模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0 的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1 的向量称为单位向量
相反向量
与向量
长度相等而方向相反的向量，称为
的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段
来表示，
叫向量的起点，
叫向量的终点；
（2）字母表示法：用
表示．向量
的起点是
，终点是
，则向量
也可以记作
，其模记为
或
.
【即学即练】（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量
，
满足
，则
D．相等向量其方向必相同
知识点02 空间向量加法，减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量
，可以把它们平移到同一平面
内，以任意点
为起点，作向量
，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量
，则向量
叫做向量
的和．记作
，
即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量
叫做
与
差，记作
，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练】已知平行六面体
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 空间向量数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数
与空间向量
的乘积
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量
与向量
的关系
的范围
的方向
的模
与向量
的方向相同
，其方向是任意的
与向量
的方向相反
3、对数乘向量
与向量
的关系的进一步理解：
（1）可以把向量
模扩大（当
时），也可缩小（当
时）；可以不改变向量
的方向（当
时），也可以改变向量
的方向（当
时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当
时，
；当
时，若
，则
．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，
，
没有意义，无法运算．
【即学即练】化简下列算式：
(1)
；
(2)
.
知识点04 向量共线及共线定理
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做
共线向量或平行向量，若
与
是共线向量，则记为
．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如
，那么
不一定成立，因为当
时，虽然
，
但
不一定与
共线（特别注意
，
与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量
，
的充要条件是存在实数
，使
．
2.1 共线向量定理推论：如果为经过点
平行于已知非零向量
的直线,那么对于空间任一点
,点
在
直线
上的充要条件是存在实数
, 使
①，若在
上取
，则①可以化作：
2.2 拓展(高频考点）：对于直线外任意点
，空间中三点
共线的充要条件是
，
其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1 共面向量定理：如果两个向量
不共线，那么向量
与向量
共面的充要条件是存在唯一的有序实
数对
，使
3.2 空间共面向量的表示
如图空间一点
位于平面
内的充要条件是存在有序实数对
，使
．
或者等价于：对空间任意一点
，空间一点
位于平面
内（
四点共面）的充要条件是存
在有序实数对
，使
，该式称为空间平面
的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3 拓展
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
【即学即练】在正方体
中，下列向量与
平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点05 空间向量的夹角
1、定义：如图已知两个非零向量
，在空间任取一点
，作
，
，则么
叫做向量
的夹角，记
.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
2、范围：
．
特别地，（1）如果
，那么向量
互相垂直，记作
．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为
，故
(或
)
(
为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定
与任何向量
都是共线的，即
．两非零向量的夹角
是唯一确定的．
【即学即练】空间四边形
中，
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．0
知识点06 空间两个向量数量积
1 、定义：已知两个非零向量
，
，则
叫做
，
的数量积，记作
；即
．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
2、空间向量数量积的应用
(1)利用公式
可以解决空间中有关距离或长度的问题;
(2)利用公式
可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
3 、空间向量数量积的几何意义：向量
，
的数量积等于
的长度
与
在
方向上的投影
的乘积或等于
的长度
与
在
方向上的投影
的乘积.
【即学即练】在棱长为6 的正四面体
中，点M 在OA 上，且
，则
．
知识点07 向量的投影
1．如图(1)，在空间，向量
向向量
投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面
内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量
共线的向量
，
向量
称为向量
在向量
上的投影向量．类似地，可以将向量
向直线投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量
向平面
投影，就是分别由向量
的起点
和终点
作平面
的垂线，垂足分别为
，
，得到
，向量
称为向量
在平面
上的投影向量．这时，向量
，
的夹角就是向
量
所在直线与平面
所成的角．
【即学即练】已知
，空间向量
为单位向量，
，则空间向量
在向量
方向上投影的模为
．
题型01 空间向量的有关概念
【典例1】给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量
满
足
，则
；③在正方体
中，必有
；④若空间向量
满足
，
，则
．其中正确的个数为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式1】下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量
满足
，则
D．相等向量其方向必相同
【变式2】已知
为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与
共面的单位向量有无数个
B．与
垂直的单位向量有无数个
C．与
平行的单位向量只有一个
D．与
同向的单位向量只有一个
【变式3】（多选）下列说法正确的有（ ）
A．设
是空间向量，若
与
共线，
与共线，则
与共线
B．若两个非零向量
与
满足
，则
C．零向量与任何向量都共线
D．两个单位向量一定是相等向量
【变式4】（多选）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若空间向量
，
，满足
，则
B．若空间向量
，
，满足
，则
C．若空间向量
，满足
，
，则
D．若空间向量
，满足
，
，则
题型02 空间向量加减运算及几何表示
【典例1】如图，三棱锥
中，
，
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】如图，在三棱柱
中，
分别是棱
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，在四面体
中，点E，F 分别为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】如图，在正四棱锥
中，
为棱
的中点，设
，则用
表
示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点
、
、
共线的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】在空间四边形ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点，则
和
的关系是 ．
（填“平行”“相等”或“相反”）
【变式2】在正方体
中，G 为
的重心，证明：
三点共线.
题型04 空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】设
，
是两个不共线的空间向量，若
，
，
，且
，
，
三点共线，则实数
的值为 .
【变式1】已知
是不共面的空间向量，若
与
（
是实数）是平
行向量，则
的值为（ ）
A．16
B．-13
C．3
D．-3
【变式2】设
，
是空间两个不共线的向量，已知
，
，
，且A，
B，D 三点共线，则
．
【变式3】已知
、
、三个空间向量，若
与
共线，则
的值为 ．
【变式4】已知非零向量
不共线，则使
与
共线的k 的值是 ．
题型05 空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】如图，已知平行六面体
，
分别是棱
和
的中点，求
证：
四点共面．
【变式1】若
，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知两非零向量
，
，且
与
不共线，设
（
、
，且
、
），则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
与
，
共面
D．以上三种情况均有可能
【变式3】（多选）关于空间向量
，
，，下列结论正确的是（ ）
A．若存在实数
，
，使得
，则与
，
共面
B．若与
，
共面，则存在实数
，
，使得
C．若
，
，共面，则存在实数
，
，
，使得
D．若存在实数
，
，
，使得
，则
，
，共面
【变式4】如图，M、N 分别是空间四边形ABCD 的边AB、CD 的中点，则向量
与
、
．
（填“共面”或“不共面”）
题型06 空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】在三棱锥
中，M 是平面
内一点，且
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【变式1】已知
是平面
内不共线的四点，点
为平面
外一点，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【变式2】已知空间中有5 个点
、
、
、
、
，若满足
，且
、
、
、
四点共面，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知
是不共面向量，
，
，
，若
，
、三个
向量共面，则实数
．
【变式4】已知点
在平面
内，
为空间内任意一点，若
，则
．
如图空间一点
位于平面
内的充要条件是存在有序实数对
，使
．
或者等价于：对空间任意一点
，空间一点
位于平面
内（
四点共面）的充要条件是存
在有序实数对
，使
，该式称为空间平面
的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是
（其中
）．
题型07 空间向量的数量积（求空间向量的数量积）
【典例1】已知四面体
，所有棱长均为2，点
分别为棱
的中点，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式1】若
是一个单位正交基底，且向量
，
，则
的值为（ ）
A．
B．4
C．7
D．23
【变式2】在正三棱锥
中，
，点
是棱
的中点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】在棱长为1 的正四面体
中，
是
的中点，则
.
【变式4】在三棱锥
中，
，
，
，则
.
题型08 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围）
【典例1】已知正三棱柱
的底面边长为
，高为2，点
是其表面上的动点，该棱柱内切
球的一条直径是
，则
的取值范围是 .
【变式1】记棱长为2 的正方体
的内切球为球
是球O 的一条直径，P 为该正方体表
面上的动点，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体.在古希
腊时期人们就已经发现正多面体仅有5 种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十
面体.如图，
是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点
为正八面体内切球
球面上的任意一点，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知正三棱锥
的底面
的边长为
，
是空间中任意一点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知
是棱长为2 的正方体
内（含正方体表面）任意一点，则
的最大
值为 .
平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于
极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义：
几何解释1 （平行四边形模型）以
，
为一组邻边构造平行四边形
，
，则
，由
，得
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的
”．
几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，
则
由
变
形
为
，
得
，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等
式的几何模型．
题型09 利用数量积求夹角
【典例1】已知空间向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知空间向量
满足
，
，则
与
的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
【变式2】已知平行六面体
中
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知空间向量
，
，满足
，
，
，
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】向量
，
，
，若
，则
与的夹角为 .
题型10 空间向量的投影（投影向量）
【典例1】如图，在三棱锥
中，已知
平面
，
，
，则向量
在向量
上的投影向量为 （用向量
来表示）.
【变式1】在棱长为 的正方体
中，向量
在向量
方向上的投影向量的模
是 ．
【变式2】如图，已知
平面
，
，
，则向量
在
上的
投影向量等于 .
题型11 空间向量中的模（距离，长度）
【典例1】已知平行六面体
的所有棱长均为，
，则对角线
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】在正四棱台
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式2】在平行六面体
中，底面
是边长为
正方形，侧棱
的长为
，且
，则
的长为 .
【变式3】若
为空间中两两夹角都是
的单位向量，则
.
【变式4】如图，已知正四面体
的棱长为1，
是棱
的中点，
是线段
的中点，记
，
，
(1)用
，
，表示向量
(2)求
1．已知正方体
，设向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图在平行六面体
中，
、
相交于
，
为
的中点，设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在任意四边形
中，E，F 分别是
，
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
4．若
构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
5．设正四面体
的棱长为
，
，
分别是
，
的中点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知棱长为
的正四面体
中，
是
的中点，
是
上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在平行六面体
中
，
，
．取棱
的中点M，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知正四棱锥
的所有棱长均为1，O 为底面ABCD 内一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）如图，在直四棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）已知几何体
为长方体，则（ ）
A．
在
方向上的投影向量为
B．
在
方向上的投影向量为
C．
在
方向上的投影向量为
D．
在
方向上的投影向量为
11． 已知
为空间中任意一点，
四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且
，则实数
的值为 ．
12． 已知A，B，C 三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足
，
则点M （填“属于”或“不属于”）平面ABC．
13．如图，在长方体
中，
，点
在棱
的延长线上，且
．
设
．
(1)试用
，
，表示向量
(2)求
．
14．已知正四面体
的棱长为1，如图所示.若E，F 分别是
，
的中点，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
15．如图所示棱长为1 的正四面体
，
、
分别为
、
中点，
为靠近
的三等分点．记
，
．若
，
，求
的最小值；
