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专题1.6 二面角
教学目标
1.掌握二面角的概念.
2.理解二面角的平面角的含义.
3.会用向量法解决二面角的计算问题.
教学重难点
教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题
教学难点：二面角的概念.
知识点01 二面角的概念
1.半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角
的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β 的二面角的面，记作
α
l β
，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B ，二面角的范围为[0
，
π]
．
3.二面角的平面角：在二面角αlβ 的棱上任取一点
O ，以O 为垂足，分别在两半平面内
分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠
AOB
叫做二面角αlβ 的平面角．
知识点02 用向量运算求平面与平面所成角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
【即学即练】如图，在正四棱柱
中，
，
，则异面直线
与
所成
角的余弦值为 ；二面角
的正弦值为 ．
题型01 定义法求二面角
【典例1】中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑
堵
中，已知
，则二面角
的大小为 .
【变式1】如图，在长方体
中，
，
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
【变式2】如图，在长方体
中，
，
为
的中点，求二面角
的正切值.
【变式3】如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值.
题型02 利用向量法求二面角
【典例1】如图，在正四棱锥
中，底边
，侧棱
，
为侧棱
上一点，若
平面
，则二面角
的余弦值是 .
【变式1】单位正方体
中，
、
、
分别是
、
和
的中点，则过
、
、
三点的截面与底面
所成二面角的余弦值为 ．
【变式2】如图所示，在几何体
中，
平面
，
平面
，
，
，又
，
，则平面
与平面
夹角的余弦值为 ．
【变式3】在二面角
中，平面α 的一个法向量
，平面β 的一个法向量
，则二面角
的大小为 ．
【变式4】已知矩形
，
，沿对角线AC 将
折起，若
，则二面角
的余弦值为 ．
题型03 根据二面角求参数
【典例1】如图，在三棱柱中
中，
两两互相垂直，
是线段
上的点，平面
与平面
所成锐二面角为
，当
最小时，
.
【变式1】四面体
中，
，
，
，
，
，平面
与平面
的夹
角为
，则
的值可能为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【变式2】已知O 为正方形ABCD 的中心，E，F 分别为BC，AD 的中点，若将正方形ABCD 沿对角线BD
翻折，使得二面角
的大小为
，则此时
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】如图，在直四棱柱
中，
，
，
，E，F 分别是侧棱
，
上的动点，且平面AEF 与平面ABC 所成角的大小为
，则线段BE 的长的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，
，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角
的平面角大小为
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 二面角中的最值（范围）问题
【典例1】已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
．
(1)证明：
平面
(2)证明：
(3)当
为何值时，面
与面DFE 所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．
【变式1】如图，在直三棱柱
中，侧面
是正方形，
，
分
别是棱
的中点，且
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)当平面
与平面
夹角的余弦值最大时，求
的值．
【变式2】等腰梯形
中，
，
，
，沿对角线
将
翻折形成
三棱锥
（点
翻折到点
的位置），点
、
分别为棱
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)当直线
与直线
成
角时，求四棱锥
的体积；
(3)在翻折过程中求平面
与平面
夹角余弦值的取值范围.
【变式3】．如图，在四棱台
中，
底面
，底面
是边长为2 的正方形，
，点
为线段
上的动点，棱台的体积为
.
(1)求
的长；
(2)若
平面
，请确定点
的位置；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值.
题型05 二面角中的探索性问题
【典例1】如图，在直三棱柱
中，
，平面
平面
，点
分
别是棱
的中点，点
是线段
上的一点
(1)求证：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【变式1】如图，在四棱锥
中，
，
，
，
为等边三
角形，直线PA 与平面ABCD 所成角的大小为
，点E 是棱PB 上的一点（不包含端点）.
(1)求证：平面
平面PBD；
(2)若二面角
的余弦值为
，求线段PE 的长.
【变式2】如图，在底面为正方形的四棱台
中，已知
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)点
在棱
上，当二面角
的正弦值为
时，求
.
【变式3】如图，在斜三棱柱
中，
，
，点
在底面
上的投影为
的
中点
，点
满足
.
(1)当
时，证明：平面
平面
；
(2)已知
，若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
【变式4】三棱台中
中，
平面
，
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，则当二面角
的余弦值为
时，求
的值.
1．已知正三棱柱
，E，F 分别是棱BC，
上的点．记EF 与平面ABC 所成的角为
，二面
角
的平面角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
2．在空间直角坐标系中，已知平面
的一个法向量分别为
，
，则
与
的夹角的余
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在棱长为的正方体
中，满足
，
，则二面角
的余弦值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索
与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知两平面的法向量分别为
，则两平面所成的二面角为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
6．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为
，在其分子结构
中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看
作正八面体，记为
，各棱长均相等，则平面
与平面
夹角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在正方体
中，则二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选）如图，已知正方体
的棱长为2，O 为正方体
的中心，点
满
足
，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
在
上的投影向量为
D．二面角
的余弦值为
9．如图所示，在圆锥
中，
是底面圆直径，且
，则二面角
的余弦值
为 ．
10．正方体
的棱长为1，点
在棱
上，
，则平面
与平面
夹角的余
弦值为 ．
11．如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若点
满足
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
12．如图，在四棱柱
中， 侧面
和底面
均为菱形， 且
为
的中点，
与平面
交于点
，
(1) 求证:
为
的中点；
(2) 若平面
平面
，求二面角
的余弦值.
13．如图，在四棱锥
中，四边形
是直角梯形，
，且
，
，
，E 为
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
；
(3)在线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
?若存在，求出点
的位
置；若不存在，请说明理由.
14．已知三棱柱
中，
，
，
，
(1)求证：平面
平面
(2)若
，且
是
的中点，求平面
和平面
的夹角的正弦值．
