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第6讲第2课时 二面角
题型 几何法求二面角
典例1(1)如图，在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，将△ABC沿AD
折成二面角BA′DC，若此时BC＝a，则二面角BA′DC的大小为________．
定义法求二面角的平面角．
(2)斜三棱柱ABCABC 的体积为4，侧面ABBA⊥侧面BCC B，▱BCC B 的面积为4.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
①求点A到平面BCC B 的距离；
1 1
②如图， D 为 BB 的中点， AD ＝， BB ＝ 2 ， BC ⊥ BB ，集中叙述两个侧面的位置关系、
1 1 1
数量关系，而这些关系又集中于△ABB 和△CBB 中，审题要集中精力．
1 1
求二面角ABCB的大小．
1
(1)解析：如题图所示，由 二面角定义知， ∠ BDC 为所求二面角 B A ′ D C 的平面角 ，又
BC＝BD＝ DC＝a，∴△BDC为等边
棱是A′D，在两个半平面内，⇒∠BDC为二面角的平面角．
三角形，∴∠BDC＝，∴二面角BA′DC的大小为.故答案为.
(2)解：①设点A到平面BCC B 的距离为h.
1 1
因为 V 三棱锥 A BCB ＝ V 三棱锥 B ABC ＝ V 三棱柱 ABC A BC ＝ ×4 ＝，这里巧妙地利用
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锥、柱体积的关系，转化为三棱锥 B ABC 的体积，另 V 柱 ABCAB C ＝·S 侧面
1 1 1 1
BCC B ·h，这个计算方法我们在前面提到过．
1 1
所以S△BCB·h＝×2h＝，解得h＝，即点A到平面BCC B 的距离为.
1 1 1
② 因为 AD ＝，由 ① ，可得 AD ⊥ 平面 BCC B，
1 1
由于平面ABB A⊥平面BCC B ，并且A到平面BCC B 的距离为，转化为A到两平
1 1 1 1 1 1
面的交线BB 的距离为，从而AD⊥平面BCC B .
1 1 1所以AD⊥BC.过点A作AE⊥BC于点E，连接DE.
1 1
又AE∩AD＝A，AE，AD 平面ADE，所以BC⊥平面ADE，所以DE⊥BC，因此
1 1
∠ AED 即为二面角 A B C B 的平面角．
1 ⊂
由于⇒∠AED是二面角AB CB的平面角，这种作法常称为“垂连法”，要领是“两
1
垂一连”．
在△ABB 中，因为D为BB 的中点，AD＝，BB＝2，AD＝BB，
1 1 1 1
所以∠BAB＝90°，即AB⊥AB.
1 1
因为侧面ABBA⊥侧面BCC B ，侧面ABBA∩侧面BCC B ＝BB ，BC⊥BB ，BC 侧
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面BCC B，所以BC⊥侧面ABBA，
1 1 1 1 ⊂
所以BC⊥BA，BC⊥BA.
1
又BA⊥AB，AB∩BC＝B，
1
所以BA⊥平面ABC，所以BA⊥AC.
1 1
在等腰直角三角形ABB 中，AB＝AB＝＝＝2.
1 1
在矩形BCC B 中，S矩形BCC B＝BB·BC＝2BC＝4，所以BC＝2.
1 1 1 1 1
在Rt△BBC中，BC＝＝＝2.
1 1
在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2.
在Rt△ABC中，S△ABC＝AB·AC＝BC·AE，所以AE＝＝＝.
1 1 1 1
在Rt△ADE中，sin∠AED＝＝＝.
所以∠AED＝60°，所以二面角ABCB的大小为60°.
1
几何法作二面角的平面角
(1)找点(定义法)：在二面角的棱上任找一点．在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图1，∠AOB为二面角αlβ的平面角．
(2) 找线 ( 三垂线定理法 ) ：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱
的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图
我们称之为“垂连法”，要领是“两垂一连”：①第一垂，作线⊥面. ②第二垂，作
棱的垂线. ③最后“一连”，连接点和棱上的垂足，形成二面角的平面角．
2，∠ABO为二面角αlβ的平面角．
(3)找面(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交
线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图3，∠AOB为二面角αlβ的平面角．第一垂：作AO⊥平面β；第二垂：作OB⊥棱l；一连：连接AB，则∠ABO为二面角
的平面角.
对点练1 (1)如图， 设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，
若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角PACB的正切值是________．
(2)如图，在正三棱柱ABCABC 中，点D为AC的中点．
1 1 1
①证明：平面AAC C⊥平面DBC ；
1 1 1
②若AB＝2，且二面角DBC C的正切值为，求三棱柱ABCABC 的体积．
1 1 1 1
(1)解析： 如图，取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，易知 OD⊥AC，PD⊥AC，
∴∠PDO是二面角PACB的平面角．
∵PA＝AB＝2，∴AC＝BC＝，PO＝，∴OD＝，
∴二面角PACB的正切值是＝.
答案：
(2)①证明：因为△ABC为等边三角形，点D为AC的中点，故BD⊥AC，
因为平面 AAC C⊥平面 ABC，其交线为 AC，故 BD⊥平面 AAC C，又 BD 平面
1 1 1 1
DBC ，
1 ⊂故平面AAC C⊥平面DBC .
1 1 1
②解：取BC的中点N，连接AN.
因为△ABC为正三角形，所以AN⊥BC.
过 D 作 DM⊥BC 于 M，故 M 是 BC 的靠近 C 的四等分点，因为平面 ABC⊥平面
BCC B，且交线为BC，所以DM⊥平面BCC B.
1 1 1 1
过M作MO⊥BC 交BC 于O，连接OD，所以∠DOM即为二面角DBC C的平面角，
1 1 1
tan∠DOM＝＝，DM＝AN＝⇒OM＝，
在△BOM中，sin∠CBC ＝＝＝⇒tan∠CBC ＝2，
1 1
在△BCC 中，tan∠CBC ＝＝＝2 CC ＝4，
1 1 1
故三棱柱ABCABC 的体积为S ·CC ＝×22×4＝4.
1 1 1 △A⇒BC 1
题型 向量法求二面角
典例2(2023·新高考全国Ⅱ卷)如图，三棱锥 ABCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，
∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1)证明： BC ⊥ DA ；转化为BC⊥平面ADE.
(2)点F满足EF＝DA，求二面角DABF的正弦值．
(1)证明：如图，连接DE，AE，
因为 DC ＝ DB ，且 E 为 BC 的中点，所以 DE ⊥ BC .等腰三角形的性质．
因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，
所以 △ ADB ≌△ ADC (SAS ) ．可得 AC ＝ AB ，
利用全等，再得到等腰三角形．
故AE⊥BC.
因为DE∩AE＝E，DE，AE 平面ADE，所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE，所以BC⊥DA.
⊂
⊂
(2)解：由①知，DE⊥BC，AE⊥BC.不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，
所以AB＝AC＝2.
由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝.
因为AE⊥BC，所以 AE ＝＝ .
在 △ ADE 中， AE 2 ＋ ED 2 ＝ AD 2 ，所以 AE ⊥ ED .
要通过数量关系，得到AE⊥ED，这样实现EA，EB，ED三条线两两垂直，为建系作
准备．因此，建系之前数量关系和垂直关系的准备是向量法的关键，决不能忽略．
以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴，建
立空间直角坐标系，如图，则D(，0,0)，B(0，，0)，A(0,0，)，DA＝(－，0，)，BA＝(0，
－，)．
设F(x ，y ，z )， 因为 EF ＝ DA ，所以 ( x ， y ， z ) ＝ ( －， 0 ， ) ，可得 F ( －， 0 ， ) ．
F F F F F F
应用向量相等，求不在坐标轴上的点F的坐标．
所以FA＝(，0,0)．【一题多解】因为EF＝DA，所以四边形EDAF为平行四边形，则
FA＝ED，据此可得FA的坐标表示．
设平面DAB的法向量为m＝(x，y，z)，
1 1 1
则即取x＝1，则y＝z＝1，m＝(1,1,1)．
1 1 1
设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2 2
则即得x＝0，取y＝1，则z＝1，n＝(0,1,1)．
2 2 2
所以 cos 〈 m ， n 〉＝＝＝ .
【满分宝典】会做的题一定要拿全分，审题一定要认真，本题的求解目标是正弦值，
因此求到此处还未结束，注意转化．
记二面角DABF的大小为θ，则 sin θ ＝＝＝，
本例避免求二面角的余弦值，此二面角其实是一个钝角．
故二面角DABF的正弦值为.
向量法求二面角
(1)二面角的平面角实质上就是两个向量的夹角．这两个向量的起点都在棱上，且分别
在两个半平面内垂直于棱．
(2)若AB，CD分别是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或
其补角)的大小就是向量AB与CD的夹角，如图1和图2.
图1 图2
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n ，平面β的法向量为n ，若〈n ，n 〉
1 2 1 2
＝θ，则二面角αlβ为θ或π－θ.设二面角的大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图3和图4.图4中，我们可以控制法向量n＝(x，y，z)和n＝(x，y，z)中某一个坐标的符号，
1 1 1 1 2 2 2 2
使得法向量n ，n 的方向指向二面角所含的空间，如图4的形式，这样n ，n和二面角
1 2 1 2
φ，就有了明确的关系：φ＝π－n，n.
1 2
对点练2(2023·新高考全国Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCDABC D 中，AB＝2，AA ＝4.
1 1 1 1 1
点A，B，C ，D 分别在棱AA，BB，CC ，DD 上，AA＝1，BB＝DD ＝2，CC ＝3.
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
(1)证明：BC ∥AD；
2 2 2 2
(2)点P在棱BB 上，当二面角PAC D 为150°时，求BP.
1 2 2 2 2
(1)证明：以C为坐标原点，CD，CB，CC 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间
1
直角坐标系，如图，
则C(0,0,0)，C (0,0,3)，B(0,2,2)，D(2,0,2)，A(2,2,1)，
2 2 2 2
∴B2C2＝(0，－2,1)，A2D2＝(0，－2,1)，
∴B2C2∥A2D2，
又BC ，AD 不在同一条直线上，
2 2 2 2
∴BC ∥AD.
2 2 2 2
(2)解：设P(0,2，λ)(0≤λ≤4)，则A2C2＝(－2，－2,2)，PC2＝(0，－2，3－λ)，D2C2＝(－2，0,1)，
设平面PAC 的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2
则
令 z＝2，得y＝3－λ，x＝λ－1，
∴n＝(λ－1,3－λ，2)，
设平面AC D 的法向量为m＝(a，b，c)，
2 2 2
则
令 a＝1，得b＝1，c＝2，
∴m＝(1,1,2)，
∴|cos〈n，m〉|＝
＝
＝|cos 150°|＝，
化简可得，λ2－4λ＋3＝0，
解得λ＝1或λ＝3，
∴P(0,2,1)或P(0,2,3)，∴BP＝1.
2
题型 空间角的综合问题
典例3(2024·河北武邑中学模拟)如图，四边形ABCD为圆柱OO′的轴截面，EF是圆柱
上异于AD，BC的母线．
(1)证明：BE⊥平面DEF；
(2)若AB＝BC＝2， 当三棱锥 B DEF 的体积最大时 ，求二面角BDFE的余弦值．
最值问题需要引入变量．
(1)证明：如图，连接AE，由题意知AB为⊙O的直径，所以AE⊥BE.
因为AD，EF是圆柱的母线，所以AD∥EF且AD＝EF.所以四边形AEFD是平行四边
形．
所以AE∥DF.所以BE⊥DF.
因为EF是圆柱的母线，所以EF⊥平面ABE.
又因为BE 平面ABE，所以EF⊥BE.
又因为DF∩EF＝F，DF，EF 平面DEF，
⊂
⊂所以 BE ⊥ 平面 DEF .
利用⇒BE⊥平面DEF.
(2)解：由(1)知BE是三棱锥BDEF底面DEF上的高，由(1)知EF⊥AE，AE∥DF，所
以EF⊥DF，即底面三角形DEF是直角三角形．
设 DF ＝ AE ＝ x ， BE ＝ y ，则 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 .
所以V ＝ S · BE ＝ ×× y ＝ xy ≤· ＝，
BDEF △DEF
写出体积的表达式，利用基本不等式求最值．
当且仅当x＝y＝时等号成立，即点E，F 分别是，的中点时，三棱锥 B DEF 的体积最
大．前面这段叙述，是把函数、不等式的代数方法，延伸到空间几何的运算中，很新颖！
下面求二面角BDFE的余弦值．
方法一：由 (1) 得 BE ⊥ DF .
方法一：属于几何法中的垂面法，作二面角的平面角：棱 DF⊥平面BEF，从而有
⇒∠BFE为二面角BDFE的平面角．
又因为EF⊥DF，EF∩BE＝E，
所以DF⊥平面BEF.
因为BF 平面BEF，所以BF⊥DF.
所以∠BFE是二面角BDFE的平面角．
⊂
由(1)知△BEF为直角三角形，则BF＝＝.
故cos∠BFE＝＝＝.
所以二面角BDFE的余弦值为.
方法二：由(1)知EA，EB，EF两两垂直，如图，以点E为原点， EA ， EB ， EF 所在直
线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 ，向量法则是把重点放在如何建立空间直角
坐标系，和如何准确计算所涉及的点的坐标．
则B(0，，0)，D(，0,2)，E(0,0,0)，F(0，0,2)．
易知平面DEF的法向量为EB＝(0，，0)．
设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，由DF＝(－，0,0)，BF＝(0，－，2)，
得即即
取z＝1，得n＝(0，，1)．
设二面角BDFE的平面角为θ，
则|cos θ|＝|cos〈n，EB〉|＝＝＝.
由图可知θ为锐角，所以二面角BDFE的余弦值为.
求二面角的常用方法(1)定形计算法：一作(找)二证三计算，常用定义法或三垂线法作平面角．
(2)坐标法：设二面角αlβ的大小为θ，m，n分别为α，β的法向量，则有|cos θ|＝|cos
〈m，n〉|＝.
(3)基向量法(基底法)．
(4)射影面积法：在大小为锐角θ的二面角αlβ中，若α内面积为S的多边形在β内的射
影的面积为S′，则 cos θ ＝ .
如图：
S′＝BC·A′H，
S＝BC·AH,
cos θ＝＝.
对点练3如图，四棱柱ABCDABC D 的底面为矩形，侧面ABBA 与侧面BCC B 均为
1 1 1 1 1 1 1 1
菱形，∠BBA＝∠BBC＝60°.
1 1
(1)证明：平面ABC D⊥平面ABC.
1 1 1 1 1
(2)求二面角AACB 的大小．
1 1
(1)证明：因为侧面ABBA 与侧面BCC B 均为菱形，∠BBA＝∠BBC＝60°，
1 1 1 1 1 1
所以BB＝AB＝BC＝AB＝BC.
1 1 1
因为四边形ABCD为矩形，
所以四边形ABCD为正方形．
连接BD，则AC⊥BD.
设AC∩BD＝O，AB＝a，
则OB＝a＝OA＝OC.
在等腰三角形ABC中，OB＝＝a.
1 1
又BB＝a，所以BB＝OB2＋OB，则OB⊥OB.
1 1
又AC∩OB＝O，所以BD⊥平面ABC.
1 1
连接BD，由四棱柱的性质可知，四边形BDD B 为平行四边形，
1 1 1 1
则BD∥BD，所以BD⊥平面ABC.
1 1 1 1 1
因为BD 平面ABC D，
1 1 1 1 1 1
所以平面ABC D⊥平面ABC.
⊂1 1 1 1 1
(2)解：方法一：如图1，连接OB.
1
由(1)可知，OB⊥AC，OB⊥OB.
1 1
因为AC∩OB＝O，所以OB⊥平面ABCD，
1则OC，OD，OB 两两垂直．
1
以O为原点，OC，OD，OB 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1所示的空
1
间直角坐标系．
图1
设AB＝a，则A，B，B，C，
1
则OB＝，AC＝(a,0,0)，AA1＝BB1＝.
由(1)可知，BD⊥平面ABC，所以OB是平面ABC的一个法向量，记为m＝OB.
1 1
设平面ACA 的法向量为n＝(x，y，z)，
1
则即所以x＝0.
不妨取y＝1，则z＝－1，所以n＝(0,1，－1)．
所以cos〈m，n〉＝＝－.
易知二面角AACB 为锐角，
1 1
所以二面角AACB 的大小为45°.
1 1
方法二：如图2，连接AC ，交BD 于点O.
1 1 1 1 1
图2
连接OO ，OB.则平面AAC即为平面AC CA.
1 1 1 1 1
由(1)知AC⊥BD，AC⊥OB.
1
又OB∩BD＝O，所以AC⊥平面BBDD.
1 1 1
所以AC⊥OO ，
1
所以∠OOB 即为二面角AACB 的平面角．
1 1 1 1
设AB＝a.在Rt△OBO 中，∠OBO＝90°，OB＝a，BO＝a，
1 1 1 1 1 1 1
所以∠OOB＝45°，
1 1
即二面角AACB 的大小为45°.
1 1
