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专题1.4 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定
教学目标
1.理解命题的否定的含义，会写给定命题的否定并判断命题的真假；
2.正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定;
3.明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，会判断其真假.
教学重难点
重点：了解命题的否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式。
难点：根据命题的真假求参数。
知识点01 命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断
为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如
，
，
，…．
【即学即练】下列语句为命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形
B．同位角相等
C．
D．
【答案】B
【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果.
【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C 和D 不能判断真假，选项B 可以判断真假，
故选：B.
知识点02 全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“
”表示.含有全称量词的命
题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对
中任意一个
,
成立”可用符号简记为
.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示
的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“
”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,
命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
【即学即练】下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n 边形的内角和是
．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】①③是全称量词命题．
知识点03 存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“
”表示.含有存在量词的命
题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在
中的元素
,
成立”,可用符号简记为
.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“
”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一
个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即学即练】下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数
B．
，
C．对任意一个无理数x，
也是无理数
D．有一个偶数是素数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的概念即可判断.
【详解】对于A 中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；
对于B 中含有“
”，该命题是全称量词命题；
对于C 中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；
对于D 中含有“有一个”，该命题是存在量词命题；
故选：D.
知识点04 全称量词命题和存在量词命题的否定
1 全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对
中的任意一个
，有
成立；数学语言：
.
②全称量词命题的否定：
.
2 存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在
中的元素
，有
成立；数学语言：
.
②存在量词命题的否定：
.
【即学即练】命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据存在性命题的否定求解.
【详解】由存在性命题的否定知，
，
的否定是
，
.
故选：C
知识点05 常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语
等于（
）
大于（
）
小于（
）
是
否定词语
不等于（
）
不大于（
）
不小于（
）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有
题型01 命题的概念
【典例1】判断下列语句是不是命题，并说明理由.
（1）
是有理数；
（2）
年夏季奥运会的举办城市是日本的东京；
（3）
；
（4）梯形是不是平面图形呢？
（5）
；
（6）请勿喧哗；
（7）
.
【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析；（4）不是，理由见解
析；（5）是，理由见解析；（6）不是，理由见解析；（7）是，理由见解析
【分析】结合命题的概念，对题中语句逐个分析，可得出答案.
【详解】（1）“
是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题；
（2）“2020 年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题；
（3）因为无法判断“
”的真假，所以它不是命题；
（4）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题；
（5）因为“
”中
，所以“
”是真的，所以它是命题；
（6）“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题；
（7）“
”是假的，所以它是命题.
【点睛】①一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题；
②语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题；
③对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题，若不能，就不
是命题.
【变式1】有下列语句，其中是命题的个数为（ ）．
（1）这道数学题有趣吗？（2）0 不可能不是自然数；（3）
；（4）
；（5）91 不是
素数；（6）上海的空气质量越来越好．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解.
【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；
（2）这句话表示0 是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；
（3）因为
是正确的，所以
是命题，而且是真命题；
（4）不能判断
是否正确，所以
不是命题；
（5）因为
，所以可以判断“91 不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；
（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.
所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真
命题．
故选：A
【变式2】下列语句是命题的是（ ）
A．空集是任何集合的子集B．指数函数是增函数吗？
C．x>15
D．
2x-1<0
【答案】A
【分析】根据命题是可以判断真假的陈述句，逐一判断即可.
【详解】对于A，空集是任何集合的子集，命题是真命题，故A 正确；
对于B，指数函数是增函数吗？不是陈述句，故B 不正确；
对于C、D，x>15，2x-1<0 不能判断真假，故C、D 不正确.
故选：A
【变式3】下列语句：
①直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方；
②上课请不要迟到；
③你今天吃早饭了吗？
④三角形既有内切圆，也有外接圆.
其中是命题的序号为 .
【答案】①④
【分析】根据命题的定义判断即可；
【详解】解：对于①直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，为命题，且为真命题；
对于②上课请不要迟到，为祈使句，故不是命题；
对于③你今天吃早饭了吗？，故疑问句，故不是命题；
对于④三角形既有内切圆，也有外接圆，为陈述句，且能够判断真假，故是命题.
故答案为：①④
【变式4】判断下列语句是不是命题，并说明理由.
（1）x2－3x＋2＝0；
（2）若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
（3）垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
（4）一个数不是奇数就是偶数；
（5）2030 年6 月1 日上海会下雨.
【答案】（1）不是；答案见解析（2）是；答案见解析（3）不是；答案见解析（4）是；答案见解析
（5）不是；答案见解析.
【分析】根据命题的定义分别判断即可．
【详解】解：（1）不是命题，不能判断真假.
（2）是命题.当
时，
能判断真假.
（3）疑问句，不是命题.
（4）是命题，能判断真假.
（5）不是命题，不能判断真假.
【点睛】本题主要考查命题的定义，属于基础题．
题型02 判断命题的真假
【典例1】判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由．
(1)求证
是无理数；
(2)若
，则
；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若xy 是有理数，则x，y 都是有理数；
(6)
．
【答案】(1)不是命题；
(2)是命题，真命题；
(3)不是命题；
(4)是命题；真命题；
(5)是命题，假命题；
(6)不是命题.
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假.
【详解】（1）是祈使句，不是命题．
（2）因为
，
，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题．
（3）是疑问句，不是命题．
（4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果.
（5）是命题，而且是假命题，如
是有理数，但
和
都是无理数．
（6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．
【变式1】下列命题为真命题的是（ ）
A．若a，b 都是有理数，则
是有理数B．若a，b 都是无理数，则
是无理数
C．若
，则
D．若
是小数}，则
【答案】A
【详解】A 正确；B 中可取互为相反数的两个无理数，易知B 错误；C，D 显然错误．
【变式2】（多选）下列命题中是真命题的是（ ）
A．
，
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．若n 为整数，则
是偶数
D．若
，则
【答案】AC
【分析】举例判断A，根据菱形定义判断B，根据整数性质判断C，因式分解判断D.
【详解】对于A，当
时，
，所以
，
为真命题.
对于B，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，为假命题.
对于C，
，相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数，乘积为偶数，为真命题.
对于D，若
，则
，所以
或
，假命题.
故选：AC
【变式3】（多选）下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数
B．任何一个四边形的内角和都是
C．四边形都有外接圆
D．
，使得
【答案】AD
【分析】由原命题的真假，即可判断其否定的真假.
【详解】若命题的否定为假命题，则原命题为真命题.
对于A，因为
是无理数，2 是有理数，A 中命题是真命题，其否定是假命题；
对于B，平面四边形的内角和是
，B 中命题是假命题，其否定是真命题；
对于C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为假命题，其否定为真命题；
对于D，因为当
时，
，所以原命题为真命题，其否定为假命题.
故选：AD.
【变式4】（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】AD
【分析】判断每个选项的命题的真假即可.
【详解】对于A，因为
，所以
，故A 正确；
对于B，当
时，
，故B 错误；
对于C，若
，则
，都为无理数，故C 错误；
对于D，取
，则
，满足条件，故D 正确；
故选：AD
题型03 已知命题的真假求参数
【典例1】命题“关于x 的方程ax2＋2x＋1＝0 有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为
【答案】
【分析】由命题为真，即
解不等式即可；
【详解】解：
有两个不相等的实数根，则
解得
且
故
的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查命题的真假求参数的取值范围，属于基础题.
【变式1】（多选）给出命题“方程
有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是
（ ）
A．4
B．2
C．0
D．
【答案】ABD
【分析】根据根的判别式求出
的范围，在选项中选出符合条件的值即可.
【详解】因为方程
有实数根，所以
，解得
或
，
故当
，
，
时符合条件.
故选：ABD.
【变式2】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0 有实数解”为真命题，则a，b 满足的条件是 ．
【答案】
或
【分析】分
和
两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可．
【详解】①当
时，方程
为
，只有当
时，方程才有实数解
；
②当
时，方程
为一元二次方程，方程有实数解的条件为
．
综上可得当
或
时，方程
有实数解．
故答案为：
或
【变式3】若命题“
，
”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到
，解得答案.
【详解】命题“
，
”是真命题，则
，
解得
.
故答案为：
.
【变式4】若命题
：“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由命题否定为真命题可得参数范围．
【详解】解：命题
为假命题，则
：“
，
”为真命题，
恒成立，
故
，解得
．
故答案为：
．
题型04 判断全称量词命题与存在量词命题
【典例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“
”或“
”表示．
(1)整数的平方大于或等于零；
(2)存在实数
，满足
；
(3)实数的绝对值是非负数；
(4)存在实数
，使函数
的值随
的增大而增大．
【答案】(1)全称量词命题，符号表示为
(2)存在量词命题，符号表示为
(3)全称量词命题，符号表示为
(4)存在量词命题，符号表示为
,
的值随
的增大而增大．
【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解．
【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为
；
（2）这是存在量词命题，符号表示为
；
（3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为
；
（4）这是存在量词命题，符号表示为
，
的值随
的增大而增大．
【变式1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A．梯形是四边形
B．
，
C．
，
D．存在一个实数x，使
【答案】A
【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题.
【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A 选项正确；
对于B，是全称量词命题，当
时，
，命题为假命题，B 选项错误；
CD 选项都为存在量词命题，不合题意.
故选：A.
【变式2】下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数
B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数x，使得
是质数
D．存在一个实数x，使得
【答案】B
【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可；
【详解】选项A，C，D 中的命题均为存在量词命题；选项B 中的命题是全称量词命题.
故选：B.
【变式3】下列命题中的存在量词命题是（ ）
A．所有能被3 整除的整数都是奇数
B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
C．有的三角形是等边三角形
D．任意两个等边三角形都相似
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的定义求解即可.
【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A 错误；
对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B 错误；
对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C 正确；
对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D 错误.
故选：C.
【变式4】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否
定的真假．
(1)对任意的实数
，都有
；
(2)存在实数
，使得
；
(3)所有的素数都是奇数；
(4)方程
的每一个根都是正数．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可.
【详解】（1）全称量词命题．
原命题的否定：存在一个实数
，使得
．原命题的否定是真命题．
（2）存在量词命题．
原命题的否定：对任意的实数
，都有
．原命题的否定是假命题．
（3）全称量词命题．
原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题．
（4）全称量词命题．
原命题的否定：方程
至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题.
题型05 判断全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例1】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数
，
，若
，都有
；
(4)存在一个实数x，使得
．
【答案】(1)全称量词命题，真命题；
(2)存在量词命题，真命题；
(3)全称量词命题，假命题；
(4)存在量词命题，假命题.
【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假.
【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题．
（2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题．
（3）全称量词命题，存在
，但
，该命题是假命题．
（4）存在量词命题，由于
，则
，因此使得
的实数x 不存在，
该命题是假命题．
【变式1】下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．所有正方形都是菱形
B．
，使
C．至少有一个实数
，使
D．
，使
【答案】C
【分析】先判断量词，再判断量词命题的真假即可得解.
【详解】A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A 错误；
B，
，使
为存在量词命题，
而
恒成立，该命题为假命题，故B 错误；
C，至少有一个实数
，使
为存在量词命题，
当
时，方程成立，该命题为真命题，故C 正确；
D，
，使
为存在量词命题，
而
恒成立，该命题为假命题，故D 错误；
故选：C.
【变式2】下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A．直角三角形的内角是锐角或直角
B．至多有一个实数
，使
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数
，使
【答案】A
【分析】根据全称命题及真假分别判断各个选项即可.
【详解】直角三角形的内角是锐角或直角,原命题为真命题，属于全称量词命题，A 正确；
当
时，满足
，原命题为真命题且是存在量词命题，B 错误；
存在
，原命题为全称量词命题且为假命题，C 错误；
对于任意一个负数
，都有
，原命题为存在量词命题且为假命题，D 错误．
故选：A.
【变式3】（多选）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．每一个末位是0 的整数都是5 的倍数
B．任意实数的平方大于0
C．有些菱形是正方形
D．对任意的整数
不是4 的倍数
【答案】AD
【分析】根据命题所含量词判断全称量词命题，再判断真假即可.
【详解】由题意，ABD 是全称量词命题，C 是存在量词命题，
其中AD 都是真命题，B 中
，为假命题.
故选：AD
【变式4】（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．有些菱形是正方形
B．若
，则
C．
，
D．
，
【答案】ACD
【分析】根据特称命题的定义，逐项进行检验，可得答案.
【详解】对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A 正确；
对于B，等价于
，则
，这不是存在量词命题，故B 错误；
对于C，对
有
，故C 正确；
对于D，对
有
，故D 正确.
故选：ACD.
题型06 根据全称量词命题的真假求参数
【典例1】命题“
”为假命题，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】写出原命题的否定，根据真假性列不等式来求得
的取值范围.
【详解】命题“
”为假命题，
命题“
”为真命题，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
【变式1】已知命题
，若p 为真命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，由
为真命题，可得
，即可得到结果.
【详解】因为命题
为真命题，
则
对
恒成立，
所以
，
即
的取值范围是
.
故选：D
【变式2】若命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得“
，
”是真命题，根据
求出参数的取值范围.
【详解】因为“
，
”为假命题，
所以“
，
”是真命题，
即方程
有实数根，则
，解得
，
即实数
的取值范围是
．
故选：A．
【变式3】若命题“存在
，
”为假命题，则实数
的取值范围是
【答案】
【分析】根据命题的否定为真命题，讨论
的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】由题意可知，任意
，
是真命题，
当
时，
成立，
当
时，
，得
，
综上可知，
的取值范围是
.
故答案为：
【变式4】对任意
，等式
成立，则实数
.
【答案】
【分析】利用全称命题的真假性，结合等式成立的性质列式即可得解.
【详解】因为对任意
，等式
成立，
所以
，
则
，解得
.
故答案为：
.
题型07 根据存在量词命题的真假求参数
【典例1】若命题：“
”为假命题，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由条件可得
，列不等式求
的取值范围.
【详解】因为“
”为假命题，
所以“
”为真命题，
即方程
没有实数根，
所以
，故
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式1】已知命题：“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不
等式求解实数
的取值范围.
【详解】已知命题“
”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，
可知其否定“
”为真命题.
由
，
，移项可得
，
因为
，两边同时除以
，得到
在
上恒成立.
在
中，因为
，所以2x 和
都是正实数，则
，
当且仅当
，即
时等号成立.
因为
在
上恒成立，所以
要小于等于
的最小值
，
即
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
【变式2】命题
，
是假命题，则实数
的值可能是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【详解】因为命题
，
是假命题，所以命题：
，
是真命题，也即
，
恒成立，则有
，解得
，根据选项的值，可判断选项B 符合．
【变式3】若命题“
”是真命题，则
不能等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据命题为真分离参数求得
在
上的最大值，可得结果.
【详解】由
，可得
，
即
.
故选：D.
【变式4】已知命题“
，
”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】原命题为假命题则它的否定为真命题，由二次函数的性质得到判别式小于0，建立不等式求得实
数的取值范围.
【详解】因为命题“
，
”是假命题，
所以命题的否定“
，
”是真命题，
所以
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故选：D.
题型08 全称（存在）量词命题的否定
【典例1】命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】运用全称量词命题的否定为存在量词命题变形即可.
【详解】命题“
，
”的否定是“
，
”，
故选：C.
【变式1】命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“
”的否定是“
”.
故选：D
【变式2】命题
，
的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是存在命题即可得到答案．
【详解】
，
的否定是
，
，
故选：A．
【变式3】命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由特称命题的否定定义可得答案.
【详解】命题“
”的否定是“
”.
故选:D.
【变式4】命题“任意实数
，都有
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案.
【详解】命题“任意实数
，都有
”的否定是:
.
故选：B.
1．命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由命题的否定求解即可.
【详解】命题“
”的否定是“
”.
故选：B.
2．下列命题为全称量词命题的是（ ）
A．圆内接三角形中有等腰三角形
B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
【答案】C
【详解】A，B，D 是存在量词命题，C 是全称量词命题．
3．下列命题中，是存在量词命题的是（ ）
A．正方形的四条边相等
B．有两个角是
的三角形是等腰直角三角形
C．正数的平方根不等于0
D．至少有一个正整数是偶数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案．
【详解】D 含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC 含有全称量词：任意的或者包含所有的意
思，为全称量词命题.
故选：D
4．下列存在量词命题为假命题的是（ ）
A．存在
，使
B．存在
，使
C．有的素数是偶数
D．有的实数为正数
【答案】B
【详解】A，C，D 均正确；B 中，对于任意的
恒成立．
5．命题“
，
”是真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的性质及存在量词命题（特称命题）的真假性求解即可.
【详解】由题意知“
，
”是真命题，
所以
，解之可得
,
所以
的取值范围是
.
故选：B
6．已知命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，解不等式即可求出答案.
【详解】因为命题“
，使
”是假命题，
所以
恒成立，所以
，
解得
，
故实数
的取值范围是
．
故选：B．
7．命题“
”为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定
，考虑
，
，
三种情况，计算得到答案.
【详解】命题“
”为假命题，
则
，
当
时，
，成立；
当
时，则
，解得
，即
；
当
时，成立；
综上所述：
.
故选：D.
8．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．
或
B．若
则
C．
，
D．
，
【答案】ACD
【分析】根据命题的真假的概念判断．
【详解】选项A，
是真命题，因此或命题为真，A 正确；
选项B，
时，
，但
，B 错误；
选项C，当
时，
，存在性命题为真，C 正确；
选项D，由平方性质知D 正确，
故选：ACD．
9．（多选）已知命题
，
为假命题，则a 可能的取值有（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】ABC
【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论
与
结合二次函数的性质判断即可.
【详解】命题
，
为假命题，则
，
.
当
时满足题意；当
时，有
，解得
.
综上有
故选：ABC
10．若命题
，则p 的否定是 ，若命题p 为假命题，则实数a 的取
值范围是
【答案】
【分析】根据命题的否定及其真假即可得到答案.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
则p 的否定是“
”，
若命题p 为假命题，则其否定为真命题，则
，解得
.
故答案为：
；
.
11．设集合
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全称量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得
的取值范围.
（2）根据存在量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】（1）若
，则
，
当
时，
，满足
，
当
时，
，要使
，
则需
，解得
，
综上所述，
的取值范围是
.
（2）若
，
，
先求
时
的取值范围：
当当
时，
，满足
.
当当
时，
，要使
，
则需
或
，解得
.
综上所述，
时，
或
，
所以当
时，
.
12．已知命题p：
，都有
，且¬p 是假命题，求实数a 的取值范围．
【答案】
【分析】¬p 是假命题，则p 是真命题，利用集合的包含关系列不等式求实数a 的取值范围．
【详解】因为¬p 是假命题，所以p 是真命题，
又
，都有
，
所以
，
则
，解得
，
即实数a 的取值范围是
．
