文档文本内容
专题1.6 二面角
教学目标
1.掌握二面角的概念.
2.理解二面角的平面角的含义.
3.会用向量法解决二面角的计算问题.
教学重难点
教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题
教学难点：二面角的概念.
知识点01 二面角的概念
1.半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角
的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β 的二面角的面，记作
α
l β
，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B ，二面角的范围为[0
，
π]
．
3.二面角的平面角：在二面角αlβ 的棱上任取一点
O ，以O 为垂足，分别在两半平面内
分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠
AOB
叫做二面角αlβ 的平面角．
知识点02 用向量运算求平面与平面所成角
如图，若
于A，
于B，平面PAB 交于E，则∠AEB 为二面角
的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面
，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
【即学即练】如图，在正四棱柱
中，
，
，则异面直线
与
所成
角的余弦值为 ；二面角
的正弦值为 ．
【答案】
/0.8
【分析】建立空间直角坐标系
，求得
结合向量的夹角公式，即可求
出直线
与
所成角的余弦值；分别求得平面
和平面
的一个法向量为
，结合向量的夹
角公式，即可求解.
【详解】如图，以点
为原点
，
分别为
轴的正方向，建立空间直角坐标系
，则
．
所以
.
异面直线
与
所成角的余弦值为
.
设面
一个法向量为
，
由
，得
，令
，
则
，设面
一个法向量为
，
∴
，
所以二面角
的正弦值为
.
故答案为：
；
.
题型01 定义法求二面角
【典例1】中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑
堵
中，已知
，则二面角
的大小为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用几何法求出二面角大小.
【详解】在堑堵
中，
平面
，
平面
，则
，
而
，
平面
，因此
平面
，
又
平面
，则
，
是二面角
的平面角，
在
中，
，则
.
故答案为：
【变式1】如图，在长方体
中，
，
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，设
，连接
得
，由线面平行的判定定理可得答案；
（2）
与
全等得
，进而
，
，可得
为二面角
的平面角，在
中计算可得答案.
【详解】（1）连接
，设
，连接
，因为平面
为正方形，所以
为
的中点，
在
中，
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为
，
所以
与
全等，所以
，又
，
取
的中点为M，连接
，则有
，
，
所以
为二面角
的平面角，
因为
平面
，
平面
，所以
，
在
中，
，
所以
，
所以
，
所以二面角
的正弦值为
.
【变式2】如图，在长方体
中，
，
为
的中点，求二面角
的正切值.
【答案】
【分析】过
作
于
，过
作
于
，连结
，根据三垂线定理或空间中垂直关系的
转化可证
为二面角
的平面角，据此可求二面角的正切值.
【详解】过
作
于
，则
，且
为
中点，
∵
是长方体，故
平面
，
∴
平面
，过
作
于
，连结
，则
（三垂线定理）
我们也可以通过空间垂直的转化证明
如下：
证明：因为
平面
，而
平面
，故
，
而
，
平面
，故
平面
，
而
平面
，故
.
故
为二面角
的平面角.
∵
，故
，∴
，
而
，在
中，
，
∴所求二面角的正切值为
.
【变式3】如图，在直三棱柱
中，
，
.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出
平面
即可得证；
（2）首先作
于
，过
作
于
，证明
即为二面角
的平面角，即可
得解.
【详解】（1）连接
，
在直三棱柱
中，
平面
，
平面
，
，
，
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
，
四边形
是正方形，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
；
（2）过点
作
于
，过
作
于
，连
，
在直三棱柱
中，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
，
又
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
是二面角
的平面角，
，
，
，
，
，
为直角，
，
，
二面角
的正弦值为
.
题型02 利用向量法求二面角
【典例1】如图，在正四棱锥
中，底边
，侧棱
，
为侧棱
上一点，若
平面
，则二面角
的余弦值是 .
【答案】
/
【分析】连接
交
于
，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面
和平面
的
法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】连接
交
于
，
在正四棱锥
中，可得
平面
，
以
为坐标原点，
分别为
轴，
轴，
轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为
底边
，侧棱
，则高
，
所以
，可得
，
因为
平面
，所以平面
的一个法向量为
，
平面
的一个法向量
，
设二面角
的平面角为
，则
，
所以二面角
的余弦值为
.
故答案为：
.
【变式1】单位正方体
中，
、
、
分别是
、
和
的中点，则过
、
、
三点的截面与底面
所成二面角的余弦值为 ．
【答案】
/
【分析】依题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
如图，在单位正方体
上建系，则
，
于是
，
设截面
的法向量为
，则
，取
，则
，
而平面
的一个法向量=为
，
设过
、
、
三点的截面与底面
所成二面角为
，
则
.
故答案为：
.
【变式2】如图所示，在几何体
中，
平面
，
平面
，
，
，又
，
，则平面
与平面
夹角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】以D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进而求出两个面所成角的余弦
值.
【详解】如图，平面
内，过点
作
的垂线交
于
，
以
为原点，以
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系．
∵
，∴
，又
，
∴点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为
，
则有
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
∵
，
，
∴
，取
，得平面
的一个法向量为
，
又
，设平面SAB 的法向量为
，
，即令
，则
，
∴
.
故平面
与平面
夹角的余弦值是
.
故答案为：
.
【变式3】在二面角
中，平面α 的一个法向量
，平面β 的一个法向量
，则二面角
的大小为 ．
【答案】30°或150°
【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】设二面角
的大小为
，则由题意得
，
所以
或
，
因为
，所以
或
.
故答案为：30°或150°
【变式4】已知矩形
，
，沿对角线AC 将
折起，若
，则二面角
的余弦值为 ．
【答案】
【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可.
【详解】
如图所示，过
分别作
，垂足分别为
，
由矩形
中，
，
可知
，
设二面角
的平面角为
，则
，
.
故答案为：
题型03 根据二面角求参数
【典例1】如图，在三棱柱中
中，
两两互相垂直，
是线段
上的点，平面
与平面
所成锐二面角为
，当
最小时，
.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，设出
的长，求出平面
与平面
的法向量，借助面面角的
向量求法求出
关系，再判断当
取最小时
的长，进而求得
的大小.
【详解】在三棱柱
中，
两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：
依题意，设
，则
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
平面
的法向量
，
由平面
与平面
所成（锐）二面角为
，得
，
化简得
，当
取得最大值时，
最小，此时
，
，
且
，所以
.
故答案为:
【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用
方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
【变式1】四面体
中，
，
，
，
，
，平面
与平面
的夹
角为
，则
的值可能为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解判断作答.
【详解】在四面体
中，
，
，则
是二面角
的平面角，如图，
，
而
，
，
，
，
因为平面
与平面
的夹角为
，则当
时，
，
当
时，
，
所以
的值可能为
和
.
故选：D.
【变式2】已知O 为正方形ABCD 的中心，E，F 分别为BC，AD 的中点，若将正方形ABCD 沿对角线BD
翻折，使得二面角
的大小为
，则此时
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求
.
【详解】翻折后如图所示，易知
，
，
结合已知有
，
，
，
，
易知
，
，设正方形边长为2，
所以
，
，
所以
的值为
故选：D
【变式3】如图，在直四棱柱
中，
，
，
，E，F 分别是侧棱
，
上的动点，且平面AEF 与平面ABC 所成角的大小为
，则线段BE 的长的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设出
，
，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角
得到方程，求出
，求出BE 的长的最大值.
【详解】依题意，
，
，
两两互相垂直，
以A 为原点，
，
，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，
（
，
，且m，n 不同时为0），
则
，
，
，所以
，
.
设平面AEF 的一个法向量为
，
则
，
令
，得
，则
，
显然
为平面ABC 的一个法向量.
因为平面
与平面
所成角的大小为
，
所以
，
即
，
得
，
所以
，所以当
时，m 取得最大值，最大值为
.
故选：B
【变式4】如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，
，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角
的平面角大小为
，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q 运动轨迹，进而求得
面积的取值范围
【详解】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
由二面角
的平面角大小为
，可知Q 的轨迹是过点D 的一条直线，
又Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），则Q 的轨迹是过点D 的一条线段.
设Q 的轨迹与y 轴的交点坐标为
，由题意可知
，
，
，所以
，
，
．
易知平面APD 的一个法向量为
，
设平面PDG 的法向量为
，
则
，即
，
令
，得
，
，所以
是平面PDG 的一个法向量，
则二面角
的平面角的余弦值为
，
解得
或
（舍去），
所以Q 在DG 上运动，所以
面积的取值范围为
．
故选：B．
题型04 二面角中的最值（范围）问题
【典例1】已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，F 分别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
．
(1)证明：
平面
(2)证明：
(3)当
为何值时，面
与面DFE 所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
，最小值为
【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过直三棱柱的性质得线面垂直，证明线线垂直，再根据
线面垂直判定定理，证明线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线线垂直的方法，求出直线的方向向量，证明线线垂直.
（3）根据向量法求二面角的方法，设出点的坐标，求出法向量，根据法向量求出二面角的正弦值，根据
函数最值，求出何时正弦值最小，求出结果.
【详解】（1）因为三棱柱
是直三棱柱，所以
底面ABC，所以
，
因为
，
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）
由（1）知BA，BC，
两两垂直．如图所示，
以B 为坐标原点，分别以
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
．设
．
因为
，
，
所以
，所以
．
（3）设平面DFE 的法向量为
，因为
，
，
所以
，即
．令
，则
且平面
的法向量为
，
设平面
与平面DEF 的二面角的平面角为
，
则
．
根据同角三角函数可知
，所以当
取最大值时，
取得最小值,
可知
，当
时，
取最小值为
，
此时
取最大值为
，则
，
此时
．
【变式1】如图，在直三棱柱
中，侧面
是正方形，
，
分
别是棱
的中点，且
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)当平面
与平面
夹角的余弦值最大时，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取棱
中点记为M，连接
，由题意可得四边形
是平行四边形，可得
，可证结论成立；
（2）以B 点为坐标轴原点，
为x 轴正方向，
为y 轴正方向，
为z 轴正方向建立空间直角坐标
系，求得平面
的一个法向量，求得
的一个法向量，利用向量法可得
，进而求得最大值即可.
【详解】（1）取棱
中点记为M，连接
，
分别是
的中点，且侧面
是正方形，
，
四边形
是平行四边形
，
又
平面
，
平面
，
平面
．
（2）
直三棱柱
，
两两垂直，以B 点为坐标轴原点，
为x 轴正方向，
为y 轴正方向，
为z 轴正方
向建立如图所示的空间直角坐标系，
则
．
，
，
．
设平面
的法向量
，
则
，取
，
设平面
的法向量
，
则
，取
，
记平面
与平面
夹角为
，
令
，所以
，在
，即
时取得最大值．
【变式2】等腰梯形
中，
，
，
，沿对角线
将
翻折形成
三棱锥
（点
翻折到点
的位置），点
、
分别为棱
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)当直线
与直线
成
角时，求四棱锥
的体积；
(3)在翻折过程中求平面
与平面
夹角余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）首先找到直线
与直线
所成的角，再证明平面
平面
，作出四棱锥
的高即
可求解；
（3）建立空间直角坐标系，分别求出平面
与平面
的法向量，再利用三角函数的范围即可求解.
【详解】（1）
，
是
的中点，
，
又
，
，
，
四边形
为菱形，
则
，
在翻折过程中，总有
，
，
，
又
平面
，
平面
，
，
平面
.
（2）
，
分别为棱
，
的中点，
，直线
与直线
成
角，即为
与直线
成
，
则
或
，
为边长为1 的正三角形或顶角为
的等腰三角形，
又四边形
是上下底长分别为1 和2 的梯形，且
，
四边形
的面积为
,
由（1）知
平面
，又
平面
，
平面
平面
，
过点
作
于
，
平面
平面
，
平面
，
平面
，则
，
四棱锥
的体积
.
（3）由（1）（2）知平面
平面
，且
，
分别以
，
所在直线为
轴，
轴，
以过点
且与平面
垂直的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
在翻折过程中设
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
，令
，则
，
，
；
平面
，
可取平面
的一个法向量为
，
，
又
，
，则
，
在翻折过程中平面
与平面
夹角余弦值的取值范围为
.
【变式3】．如图，在四棱台
中，
底面
，底面
是边长为2 的正方形，
，点
为线段
上的动点，棱台的体积为
.
(1)求
的长；
(2)若
平面
，请确定点
的位置；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)2；
(2)点
的位置为靠近
的4 等分点；
(3)
【分析】（1）根据台体体积公式得到方程，求出
；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设
，
，求出平面
的法向量
，根据
得到方程，求出答案；
（3）求出平面
的法向量，在（2）基础上，设出面面角，利用向量夹角余弦公式得到
，结合自变量取值范围，求出最大值.
【详解】（1）底面
是边长为2 的正方形，
，
故底面
是边长为1 的正方形，
所以底面
的面积为
，底面
的面积为
，
底面
，故
为棱台
的高，
故棱台的体积为
，解得
；
（2）因为
底面
，
平面
，
所以
，
，
又
，故
两两垂直，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，
则
，
设
，
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，
，
所以
，
因为
平面
，所以
，
解得
，此时
，点
的位置为靠近
的4 等分点；
（3）
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，故
，
由（2）知，平面
的法向量为
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
令
，
则
，
因为
，故当
，即
时，
取得最大值，
最大值为
.
题型05 二面角中的探索性问题
【典例1】如图，在直三棱柱
中，
，平面
平面
，点
分
别是棱
的中点，点
是线段
上的一点
(1)求证：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明
，再证明
，由条件结合面面垂直的性质定理证明
平面
，由此可证
，再结合
，根据线面垂直判定定理证明
平面
，取
的
中点
，证明
，通过证明结论
，完成证明；
（2）建立空间直角坐标系，设
，求直线
的方向向量与平面
的法向量，结合向量夹角
公式求直线
与平面
所成角的正弦值，列方程求
可得结论；
【详解】（1）连接
，如图所示：在直三棱柱
中，
平面
，
又
，
平面
，所以
，
，
又
，所以四边形
是正方形，所以
.
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
取
的中点
，连接
，
，
如图所示.因为
是
的中点，
是
的中点，
所以
，
，
又
是棱
的中点，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，又
，所以
.
（2）因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
，所以以
为坐标原点，
，
，
为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间
直角坐标系，如图所示.
所以
，
，
，
，
，
，
所以
，
，所以
，
设
（
），
所以
.
设平面
的一个法向量为
，
所以
，
令
，解得
，
，
所以平面
的一个法向量为
.
又
，设直线
与平面
所成角的大小为
，
所以
，
化简可得
，
解得
或
（舍），所以
.
【变式1】如图，在四棱锥
中，
，
，
，
为等边三
角形，直线PA 与平面ABCD 所成角的大小为
，点E 是棱PB 上的一点（不包含端点）.
(1)求证：平面
平面PBD；
(2)若二面角
的余弦值为
，求线段PE 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取BD 的中点O，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定性质确定线面角，由此求得
，进而证得
，再线面垂直的判定、面面垂直的判定，结合余弦定理得证.
（2）由（1）的信息建立空间直角坐标系，求出平面PCD，平面ECD 的法向量，利用面面角的向量求法
列式求解.
【详解】（1）在四棱锥
中，取BD 的中点O，连接AO，PO，
由
，得
，由
为等边三角形，得
，
又
，
平面POA，则
平面POA，
又
平面ABCD，则平面
平面ABCD，又平面
平面
，
因此直线PA 在平面ABCD 的射影在直线AO 上，直线PA 与平面ABCD 所成角为
，则
，
由
，
，得
是正三角形，且
，
，
由
为等边三角形，得
，在
中，
，
则
，即
，又
，
平面ABCD，则
平面ABCD，
又
平面ABCD，于是
，在
中，
，易知
，
由余弦定理得
，
因此
，即
，又
，
平面PBD，则
平面PBD.
又
平面ECD，所以平面
平面PBD.
（2）由（1）知，直线
两两垂直，以O 为原点，直线
分别为
轴建立空间直角
坐标系，
则
，
，
设平面PCD 的法向量为
，则
，取
，得
，
设
，则
，
设平面ECD 的法向量为
，则
，
取
，得
，又二面角
的余弦值为
，
因此
，整理得
，则
（负值舍），
从而
，所以线段PE 的长为
.
【变式2】如图，在底面为正方形的四棱台
中，已知
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)点
在棱
上，当二面角
的正弦值为
时，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形性质得到
，再结合全等三角形的性质和给定条件得到
，
，最后由线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，设
，
，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再由二面角
的向量求法求解即可.
【详解】（1）连接
，交
于点
，连接
，
.
由题意得
，且
，
，
为
中点，
所以
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.①
在
和
中，
，
，
是公共边，
故
，故有
，
又
是
中点，所以
.
结合①可得
. 又
，
且
，
面
，故
平面
.
（2）在梯形
中，取
中点
，连接
，则
，
易证四边形
是矩形，故
，
.
在
中，由勾股定理得
，故
.
以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，设
，
，
则
，
由（1）知
平面
，故
，
又
，故
，又
，且
，
面
，故
平面
，
故可取
为平面
的一个法向量.
设
为平面
的法向量，
则
，即
，可取
.
设二面角
的大小为
，则
，故
，
所以
，
整理得
，解得
或
（舍），故
.
【变式3】如图，在斜三棱柱
中，
，
，点
在底面
上的投影为
的
中点
，点
满足
.
(1)当
时，证明：平面
平面
；
(2)已知
，若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
或
【分析】（1）根据投影的定义结合已知条件可得
平面
，然后根据面面垂直的判定即可得；
（2）建立空间直角坐标系，通过向量法求解面面夹角的余弦列出方程，然后解方程即可；
【详解】（1）当
时，即
为线段
的中点，
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
，
又因为
平面
，平面
//平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
且
，
，
平面
，所以
平面
.
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）因为
，
为
的中点，所以
，且
平面
，
故以
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，所以
，
，
所以
，
，
，
，
可得
，
，
所以
，
.
设平面
的法向量为
，
则
化简得
令
，则
，
，
可得
，
由题意可知，平面
的法向量
，
所以
，
又平面
与平面
夹角的余弦值为
，
所以
，解得
或
，所以
的值为
或
.
【变式4】三棱台中
中，
平面
，
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，则当二面角
的余弦值为
时，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，证得
平面
，得到
，由
，得到
，求得
，再由
，证得
平面
，即可证得
；
（2）以
为原点，建立空间直角坐标系，设
，由
，得到
，分别求得平面
和平面
的法向量
和
，结合向量的夹角公式，列出方程，求得
的值，得到答案.
【详解】（1）证明：因为
平面
，且
平面
，所以
，
又因为
，故
，
因为
，且
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
因为
，可得
所以
，所以
，
又因为
，且
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）以
为原点，以
所在直线分别为
轴和
轴，以过点
垂直
的直线为
轴，建立空间
直角坐标系，
如图所示，则
，
，
，
，
可得
，
，
，
设
，因为
，可得
，所以
，
所以
，
设平面
一个法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
设平面
一个法向量为
，则
，
取
，可得
，所以
，
因为二面角
的余弦值为
，可得
，即
，
所以
，
可得
，解得
或
，
又因为
，所以
.
1．已知正三棱柱
，E，F 分别是棱BC，
上的点．记EF 与平面ABC 所成的角为
，二面
角
的平面角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】A
【分析】过点
作
交
于
，过
作
于
，可得
，
，再比较两
个角的正切值即可.
【详解】如图所示，过点
作
交
于
，过
作
于
，连接PE、FM，则
，
因为
平面ABC，所以
平面ABC，则
是EF 与平面ABC 所成的角，即
，
又因为
平面ABC，所以
，而
是平面
内的两条相交直线，
所以
平面
，
平面
，所以
，
则
二面角
的平面角，即
，
因为
平面ABC，
平面ABC，所以
，
，
，
所以
，
故选：A．
2．在空间直角坐标系中，已知平面
的一个法向量分别为
，
，则
与
的夹角的余
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面
与
的夹角的余弦值与法向量的关系求解即可.
【详解】设
，
，则
，
所以平面
与
的夹角的余弦值为
.
故选：D.
3．在棱长为的正方体
中，满足
，
，则二面角
的余弦值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求得平面的法向量，进而可得二面角余弦值.
【详解】
分别以射线
，
，
为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系，
由
，
，
所以
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，
所以
，
由图可知二面角
为锐角，
则二面角
的余弦值为
，
故选：A.
4．卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索
与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过取中点作中线找到二面角的平面角然后在三角形中利用余弦定理求其余弦值.
【详解】如图所示所示正四面体
，取
的中点
，连接
，
，
设四面体棱长为
，则
，
因为所有面都为等边三角形所以
，
，则
为两侧面所成角的平面角，
在
中由余弦定理有
.
故选：C
5．已知两平面的法向量分别为
，则两平面所成的二面角为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得
，结合法向量所成的角与二面角的关
系，即可求解.
【详解】由两个平面的法向量分别为
，
可得
，且
，
设两平面所成的二面角为
，则
，
所以两平面所成的二面角
或
.
故选：C.
6．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为
，在其分子结构
中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看
作正八面体，记为
，各棱长均相等，则平面
与平面
夹角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可.
【详解】
设正八面体的棱长为
，连接
、
相较于点
，连接
，
根据正八面体的性质可知
为正方形，
，
平面
，
建立如图所示，以
为坐标原点，
分别以
、
、
为
、
、
轴的空间直角坐标系，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
所以
，
，令
，
则有：
，所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，
所以
，
，令
，
则有：
，所以
，
设平面
与平面
夹角为
，则
，
平面
与平面
夹角的余弦值为
.
故选：D
7．在正方体
中，则二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的
夹角公式进行求解.
【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示
则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
因为
，
，所以
则
，即
，取
，则
，
，故
.
平面
，故平面
的一个法向量为
，
设二面角
为
，
则
，因为
为锐角，所以
，
故二面角
的余弦值为
.
故选：D.
8．（多选）如图，已知正方体
的棱长为2，O 为正方体
的中心，点
满
足
，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
在
上的投影向量为
D．二面角
的余弦值为
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，求出求出法向量和直线方向向量，根据向量关系即可判断AB；由投影向量
公式可判断C；求出两个平面法向量，根据向量夹角公式可判断D.
【详解】以
为原点，
所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系如图，
则
，
所以
.
设平面
的法向量为
，
则
令
，则
，
.
因为
，所以
平面
，A 正确.
，所以EO 不与平面
平行，B 错误.
在
上的投影向量为
，C 错误．
易知平面
的一个法向量为
，设二面角
的大小为
，
则
，D 正确.
故选：AD
9．如图所示，在圆锥
中，
是底面圆直径，且
，则二面角
的余弦值
为 ．
【答案】
【分析】以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面
和平面
的一个法向量
和
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】以
为坐标原点，以
所在的直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为
，
可得
，则
，
设平面
的法向量为
，则
，
令
，可得
，所以
，
平面
的一个法向量为
，
设二面角
的大小为
，由图可得
，
则
，所以面角
的余弦值为
.
故答案为：
.
10．正方体
的棱长为1，点
在棱
上，
，则平面
与平面
夹角的余
弦值为 ．
【答案】
【分析】由
，勾股定理求出
，以
为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹
角的余弦值.
【详解】正方体
的棱长为1，则有
，
正方体
中，
平面
，
平面
，得
，
所以
，
以
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，所以
，
设平面
的法向量
，则
，即
，
取
，则
，得
，
取平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
夹角为
，则
．
故答案为：
.
11．如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若点
满足
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，根据勾股定理证明
和
，即可证明线线垂直；
（2）根据（1）的结果建立空间直角坐标系，分别求平面
与平面
的法向量，利用法向量求夹角
的余弦值.
【详解】（1）因为
，
，
，所以
，
所以
，
因为
，且
，所以
，又
，
，
所以
，
，
，
平面
，
所以
平面
；
（2）如图，以点
为原点，
为
轴和
轴的正方向，在平面
中，作
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，则
，
，
所以平面
的一个法向量为
，
平面
的一个法向量为
，
平面
与平面
的夹角为
，
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
12．如图，在四棱柱
中， 侧面
和底面
均为菱形， 且
为
的中点，
与平面
交于点
，
(1) 求证:
为
的中点；
(2) 若平面
平面
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面平行可得
，根据中位线的性质可得；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角的余弦值.
【详解】（1）在四棱柱
中，
平面
平面
，
又因为平面CDE
平面ABCD=CD，
所以
，
又因为
，所以
，
又因为E 为
的中点，所以F 为
的中点
（2）取AD 的中点O，连接
，
在四棱柱
中，
四边形
，四边形
均为菱形，
又
所以
均为等边三角形，
所以
，
又因为平面
平面ABCD，平面
平面ABCD=AD，
平面
，所以
平面ABCD，
平面ABCD，所以
，
如图建立空间直角坐标系
，
所以
，
所以
即为平面
的一个法向量，
，
设平面
的一个法向量为
，
所以
，令
得
，
所以
，
所以
，
因为二面角
为锐角，
所以二面角
的余弦值为
，
13．如图，在四棱锥
中，四边形
是直角梯形，
，且
，
，
，E 为
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
；
(3)在线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
?若存在，求出点
的位
置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在点
为
的中点
【分析】（1）取
中点记为
，连接EF，CF，通过证明四边形
为平行四边形，然后可证
平面
；
（2）
中点为
，连接
，
，由勾股定理可得
，结合
可得
平面
，即
，又由
即可证明
平面
；
（3）以
为坐标原点建立空间直接坐标系，设
，然后利用待定系数法求出平面
与平面
的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可.
【详解】（1）证明：取
中点记为
，连接EF，CF，
则
，且
；
，且
；
所以
平行且等于CD，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）记
中点为
，连接
，
，
则四边形
为正方形，
且根据勾股定理得
，
所以
，
则
，所以
.
又因为
，
，
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
又因为
，
所以
，且
，
平面
，
所以
平面
.
（3）由（2）知，
平面
，且
.
以
为坐标原点，以
，BA，
分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
设
，
，则
，
则
，
，
，
设平面
与平面
的法向量分别为
和
则
令
，得
.
令
，得
.
设平面
与平面
的夹角为
，
，
则
，解得
.
因此存在点
为
的中点，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
.
14．已知三棱柱
中，
，
，
，
(1)求证：平面
平面
(2)若
，且
是
的中点，求平面
和平面
的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由菱形得到
，结合
得到线面垂直，进而得到
，
结合
得到线面垂直，从而证明出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，结合
同角三角函数关系得到正弦值.
【详解】（1）在三棱柱
中，四边形
是平行四边形，而
，
则平行四边形
是菱形，连接
，
如图，则有
，
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，则
，
由
，得
，又
，
平面
，
从而得
平面
，又
平面
，所以平面
平面
；
（2）在平面
内过
作
，
由（1）知平面
平面
，平面
平面
，
平面
则
平面
，
以
为原点，以射线
分别为
轴，
轴，
轴正半轴建立空间直角坐标系，
如图，因为
，
，
所以
为等边三角形，
又
是
的中点，则
⊥
，故
，
由勾股定理得
，
又
，
则
，
，
，
，
，
则有
，
．
设平面
的一个法向量
，则有
，解得：
，
令
得
，而平面
的一个法向量
，
依题意，
，
设平面
和平面
的夹角的夹角是
，
则
，
，
所以平面
和平面
的正弦值为
