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专题1.1 集合及其表示方法
题型一：判断元素是否构成集合
题型二：判断元素与集合的关系
题型三：根据元素与集合的关系求参数
题型四：根据元素的个数求参数
题型五：根据元素的互异性求参数
题型六：列举法和描述法
题型七：区间与集合的转化
题型一：判断元素是否构成集合
1． 下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过 20 的偶数
B．π 的近似值
C．方程
的实数根
D．最小的正整数
【答案】B
【分析】结合集合的确定性直接判断即可.
【详解】对A，不超过20 的偶数是确定的，可以组成集合；
对B，π 的近似值无法确切取到，不能组成集合；
对C，方程
的实数根是确定的，就是1，可以组成集合；
对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合，
故选：B
2． 下列说法中，能构成集合的是（ ）
A．无限接近0 的实数
B．中国最美乡村
C．高一（2）班成绩优秀的学生
D．2022 年度国内GDP 超过1 万亿的地级市
【答案】D
【分析】根据集合元素的确定性逐项判断.
【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A 错误；
对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B 错误；
对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C 错误；
对于选项D：“2022 年度国内GDP 超过1 万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D 正确；
故选：D.
3． 下列对象能构成集合的是（ ）
A．我国近代著名的数学家
B．
的所有近似值
C．所有的欧盟成员国
D．2023 年全国高考数学试题中所有难题
【答案】C
【分析】根据集合的性质的判断即可.
【详解】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合；
C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合.
故选：C
4． 下列各组对象可构成一个集合的是（ ）
A．与10 非常接近的数
B．本班视力差的女生
C．中国漂亮的工艺品
D．我校学生中的女生
【答案】D
【分析】根据集合的性质判断即可.
【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性.
故选：D
5． 以下对象的全体能否构成集合？
(1)河北红星工厂的员工；
(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；
(3)一次函数
的图象上的若干个点；
(4)不超过2 019 的非负数．
【答案】(1)能构成一个集合
(2)不能构成一个集合
(3)不能构成一个集合
(4)能构成一个集合
【详解】（1）能构成集合．河北红星工厂的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所
以能构成一个集合．
（2）“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥
会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．
（3）“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一
次函数
的图象上的若干个点”不能构成一个集合．
（4）任给一个实数x，可以明确地判断x 是不是“不超过2019 的非负数”，故“不超过2 019 的非负数”
能构成一个集合．
题型二：判断元素与集合的关系
1． 已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
不属于M，Q，P 中的任意一个
【答案】A
【分析】根据条件可得到集合
中元素的特征，分析
的特征后即可得到答案．
【详解】∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
.
故选：A.
2．（多选） 已知集合
且
，定义集合
，若
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定
中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误.
【详解】集合
且
，
，
对于A，
，即
，则
，A 错误；
由
，
得
，即
，
由
，得
，即
，则
，
对于B，
，B 正确；
对于C，
，C 正确；
对于D，
，D 正确.
故选：BCD
2． 已知集合
满足若
且
，则
，小张同学迅速得出3 个结论：（1）
；（2）集合
不可能是单元素集；（3）当
取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号
为
【答案】（1）（3）
【分析】由集合的定义逐个判断即可.
【详解】若
，则0 不能作为分母，故
，故（1）正确；
当时
时，
，所以
为单元素集，故（2）错误；
当时
时，
，所以集合
一定包含
，
当
取其他整数时，则其倒数必在集合
中，
所以当
取遍可以取的所有数时，集合
的元素一定为偶数，故（3）正确.
故答案为：（1）（3）.
3． 设实数集是满足下面两个条件的集合：①
；②若
，则
．
(1)求证：若
，则
；
(2)若
，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
(3)求证：集合中至少有三个不同的元素．
【答案】(1)证明见解析；
(2)集合中必含有
两个元素；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据集合中元素的性质，循环迭代即可得出证明；
（2）由
可得
，由
可得
，由
可得
，由此可知会循环出现
三个数，所
以集合S 中必含有
两个元素；
（3）设
,
且
,则
，
，令
及
即可证明.
【详解】（1）若
，则
,与
矛盾，故
.
因为
，所以
，由
，则
，
可得
，即
，
故若
，则
.
（2）由
，得
；
由
，得
；
而当
时，
，…，
因此当
时，集合中必含有
两个元素.
（3）设
,由（1）
且
,
则
，
.
令
，化简可得
,
因为
,
所以方程
无解，即
.
令
，化简可得
，
同理
无解，即
，
所以集合中至少有三个不同的元素．
4． 已知
是满足下列条件的集合：①
，
；②若
，
，则
；③若
且
，则
.
(1)判断
是否正确，并说明理由；
(2)证明：若
，
，则
；
(3)证明：若
，则
.
【答案】(1)
正确，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据集合
的条件，先根据①②得
，
，进而有③可得；
（2）先由①②得
，进而可得
；
（3）先证
，可得
，
，进而得
，再结合
可证.
【详解】（1）
正确，理由如下：
由①知
，
，由②可得
，
，
由③可得
.
（2）证明：由①知
，由题意
，
所以由②可知
，又
，所以
即证.
（3）证明：
，由②可知
，由③可知
，
，
所以
，即
，所以
，
由（2）结论可知
，即
，即证
题型三：根据元素与集合的关系求参数
1．已知
，则
.
【答案】
【分析】分别解方程
和
求得
的值，再结合元素互异性即可求解.
【详解】因为
，所以
或
，
解得：
或
，
当
时，
，不满足元素的互异性，所以
不成立，
当
时，集合为
，所以
符合题意，
故答案为：
.
2．设集合
，已知
且
，则实数
的取值集合为
.
【答案】
【分析】由
或
解出
的值，再验证集合中元素的互异性即得解.
【详解】当
时，可得
或
，
若
时，则
，不合题意；
若
时，则
，
符合题意；
当
，可得
或
，
若
，则
，不合题意；
若
，则
，不合题意.
综上所述：
.
故答案为：
3．已知集合
，若
．求实数
的值．
【答案】
或
【分析】分
与
讨论，同时也需要验证是否满足互异性，从而解得．
【详解】解：若
，则
，
此时
，
，成立；
若
，则
；
此时
，
，故成立；
故实数
或
．
4．设数集A 由实数构成，且满足：若
（
且
），则
.
(1)若
，则A 中至少还有几个元素？
(2)集合A 是否为双元素集合？请说明理由；
(3)若A 中元素个数不超过，所有元素的和为
，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A
中的元素.
【答案】(1)两个；
(2)不是，理由见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得.
（2）由
，求得A 中其它元素，再判断不相等即可.
（3）由（2）中信息，可得
，再结合已知列出方程求解即得.
【详解】（1）由
，得
，则
，因此
所以A 中至少还有两个元素为
，
.
（2）不是双元素集合．理由如下：
由
，得
，则
，
而
且
，
，即
，
，
于是
，由
，得
，则
，
因此集合A 中至少有个元素，所以集合A 不是双元素集合．
（3）由（2）知A 中有三个元素为
、
、
（
且
），且
，
依题意，A 中除上述3 个元素外，还有其它元素，设A 中有一个元素为
，
则
，
，且
，
于是A 中的元素为
，且集合A 中所有元素之积为，
由A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设
或
，解得
或
．
此时
，
，
，依题意，
，
整理得
，即
，解得
或或
，
所以集合A 中的元素为
.
5．（1）如果集合
，
，证明：
．
（2）如果集合
，整数
互素，那么是否存在x，使得x 和
都属于B？若存在，请写
出一个；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
（答案不唯一）.
【分析】(1)设，
，
，计算即可得．
(2)设
（整数m，n 互素），则有
，由题意可得当
时，
且
，只需m，n 取互素的整数即可.
【详解】解:（1）证明：因为
，
所以可设
，
，其中
，
，
，
，
则
．
由
，
，
，
，可知
，
，
因此
．
（2）设
，则
（整数m，n 互素），
所以
．
若
，则
与
是互素的整数．
又m 与n 互素，所以
，
所以当m，n 互素，且
时，
且
．
如取
，
，得
，
．
综上，存在x，使得x 与
都属于集合B，如
．（注：x 的取值不唯一．）
题型四：根据元素的个数求参数
1．关于x 的方程
的解集中只含有一个元素，则k 的值不可能是（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．3
【答案】C
【分析】根据方程解的情况分类讨论求
即可.
【详解】关于
的方程为
①，所以
，解得
或
，
①整理可得，
②，解集中只含一个元素，所以方程的解会有以下三种情况：
⑴方程②只有一个解，
，解得
，此时方程②的解为-1，符合要求；
⑵方程②有两个解，其中一个解为0，此时
，代入②中解得
或-2，符合要求；
⑶方程②有两个解，其中一个解为1，此时
，代入②中解得
或-3，符合要求；
综上所述
或0 或3.
故选：C.
2．若集合
至多有一个元素，则
的取值范围是 ．
【答案】
或
【分析】根据
讨论
方程解的情况，即得结果
【详解】
时，
，
满足题意；
时，要满足题意，需
综上
的取值范围是
或
故答案为
或
【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．已知集合A 是由关于x 的方程
的实数根组成的集合.
(1)当A 中有两个元素时，求实数a 的取值范围；
(2)当A 中没有元素时，求实数a 的取值范围；
(3)当A 中有且仅有一个元素时，求实数a 的值，并求出此元素.
【答案】(1)
，且
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由一元二次方程根的情况令
，且判别式大于零求解即可；
（2）由一元二次方程根的情况令
，且判别式小于零求解即可；
（3）分
与不等于零的情况，当
时，令判别式大于零.
【详解】（1）当A 中有两个元素时，关于x 的方程
有两个不相等的实数根，所以
，且
，解得
，且
.
（2）当A 中没有元素时，关于x 的方程
没有实数根，所以
，且
，解得
.
（3）当A 中有且仅有一个元素时，关于x 的方程
有一个实数根或有两个相等的实数根.
当
时，方程的根为
；当
时，令
，解得
，此时
.
综上所述，当
时，集合A 中有且仅有一个元素
；当
时，集合A 中有且仅有一个元素
.
4．已知集合
.
(1)当
时，
中只有一个元素，求
的值；
(2)当
时，
中至多有一个元素，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得；
（2）分
及
进行讨论，若
，可计算出结果，若
，则需借助根与系数的关系计算.
【详解】（1）当
时，
，
由
中只有一个元素，则有
，解得
；
（2）当
时，
，
由
中至多有一个元素，故
中可能没有元素或个元素，
当
时，
，符合要求；
当
时，对
有：
，解得
；
综上所述：
或
.
5．已知集合
，若集合A 中的元素至多有一个，求
的取值范围.
【答案】
或
【分析】分情况讨论，当
时，符合题意；当
时，由题意可知，关于
的一元二次方程
至多有一个根，
，求解即可.
【详解】当
时，
的解
，A 中只有一个元素
；
当
时，若使得集合A 中的元素至多有一个.
则需，关于
的一元二次方程
至多有一个根.
即
综上所述，
或
【点睛】本题考查根据集合中元素个数，求参数取值范围，注意分情况讨论，属于中档题.
题型五：根据元素的互异性求参数
1．若集合
，则
应满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用元素的互异性即可求得
应满足的范围.
【详解】由元素的互异性可知
，所以
.
故选：A
2．若
，则
的所有可能取值为 ．
【答案】2 或0
【分析】分类讨论，若不满足元素互异性，则舍去，求出答案.
【详解】①当
时，
，此时不满足元素的互异性，舍去，
②当
时，
，此时集合为
，符合题意，
③当
时，
或1，若
，
，此时不满足元素的互异性，舍去，
若
，此时集合为
，综上所述
的可能值为2 或0．
故答案为：2 或0
3．已知集合
，
，且
，则集合
．
【答案】
【分析】根据条件，求出
，再利用集合的性质，即可求解.
【详解】因为
，所以
或
，
由
，得到
或
，
当
时，集合
不满足集合的互异性，舍去，
当
时，
，满足题意，此时
，
当
时，集合
不满足集合的互异性，舍去，
故答案为：
.
4．若集合A 中含有3 个元素
，
，
，求
满足的条件.
【答案】
，且
，且
.
【分析】由集合中元素的互异性列出不等式组求解即可得到答案.
【详解】由题意得
，解得
，
∴
满足的条件是
，且
，且
.
5．集合
中，x 应满足的条件
【答案】x≠0 且x≠－1 且x≠3
【分析】利用集合中元素的互异性求解.
【详解】由集合互异性知
，故x≠0 且x≠－1 且x≠3.
题型六：列举法和描述法
1．将集合
用列举法表示，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】计算出当
时，
的值，判断是否满足
即可判断．
【详解】
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
；
，
故选：D．
2．方程组
的解集是（ ）
A．
B．{1}
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用方程组解集的表达形式排除ABD，再解出该方程组的解集，从而得解.
【详解】因为方程组
的解集中元素应是有序数对形式，故排除选项A，B，
而D 的集合表示方法有误，故排除选项D．
同时，由
解得
，故方程组
的解集为
，故C 正确.
故选：C.
3．集合
可用列举法表示为 .
【答案】
【分析】求得方程
的根据，结合
和集合的表示方法，即可求解.
【详解】由方程
，解得
或
，
因为
，所以
，即集合
.
故答案为：
.
4．集合
可用列举法表示为 ．
【答案】
【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解.
【详解】由
可知，
所以
只能取
，又
，所以
，
即集合中的元素为
，故列举法表示为
.
故答案为：
5．设集合
，则集合
．
【答案】
【分析】由
得
的取值，求出所有满足题意的
即可.
【详解】因为
，所以
，
解得
，又
，
则
.即
故答案为：
.
题型七：区间与集合的转化
1．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解不等式利用区间表示即可.
【详解】因为
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
2．（1）用区间表示
且
为 ．
（2）已知区间
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）根据区间的表示方法表示即可，
（2）由题意可得
，从而可求出
的取值范围.
【详解】（1）
且
用区间可表示为
，
（2）由题意得
，得
，即
的取值范围
.
故答案为：
；
.
3．用区间表示下列集合.
（1）
；
（2）
.
【答案】
【分析】根据区间的定义可得答案.
【详解】由区间的概念及表示可得：
（1）
；
（2）
.
故答案为：
；
.
4．用区间表示下列集合：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
5．用区间表示下列集合：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
；（6）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（3）
；（4）
；（5）
.
【解析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间.
【详解】集合中六个集合对应的区间分别为（1）
，（2）
，（3）
，（4）
，（5）
，（6）
.
【点睛】本题考查集合的区间表示，属于基础题.
