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专题10 曲线与方程
题型一：曲线与方程的概念
题型二：点与曲线的位置关系
题型三：由方程求曲线的图形
题型四：由方程研究曲线性质
题型五：两曲线交点的问题
题型六：求平面轨迹方程
题型七：立体几何中的轨迹问题
题型一：曲线与方程的概念
1．下列各组两个方程表示相同曲线的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据方程判断其中
的范围及化简后关系式是否相同，即可得答案.
【详解】A：
过原点，而
不过原点，不是同一曲线；
B：
，显然与
不是同一曲线；
C：由
，即有
，故为同一曲线；
D：由
，而
中
，故不是同一曲线.
故选：C
2．设方程
表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线
B．一个圆和一条射线
C．一个圆
D．一条直线
【答案】D
【分析】先化简题给方程，即可得到其表示的曲线为一条直线.
【详解】由
，可得
，
则由
，可得
，
则方程
表示的曲线是一条直线.
故选：D
3．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】C
【分析】根据
的范围以及曲线方程确定正确答案.
【详解】A 选项，
中
，
中
，所以不是相同曲线.
B 选项，
中
，
中
，所以不是相同曲线.
C 选项，
，是相同曲线，C 选项正确.
D 选项，
中
，
中
，，所以不是相同曲线.
故选：C
4．已知坐标满足方程
的点都在曲线C 上，下列命题正确的是（ ）
A．曲线C 上的点的坐标都满足方程
B．不在曲线C 上的点的坐标都不满足方程
C．坐标不满足方程
的点都不在曲线C 上
D．曲线C 是坐标满足方程
的点的轨迹
【答案】B
【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.
【详解】对于A，若坐标满足方程
的点都在曲线C 上，则方程
的曲线
可能只是曲
线C 的一部分，
此时曲线C 上位于曲线M 之外部分的点的坐标不满足方程
，故A 选项中的命题错误.
对于B，命题"不在曲线C 上的点的坐标都不满足程
“与已知条件中的命题互为逆否命题.因为互
为逆否命题的两个命题真假相同，所以B 选项中的命题正确.
对于C，由A 选项的分析过程得，曲线C 上位于曲线M 之外部分的点的坐标不满足方程
，
但这些点在曲线C 上，故C 选项中的命题错误.
对于D，由A 选项的分析过程可知，D 选项中的命题错误.
故选：B.
5．（多选）若曲线C 上的点的坐标都是方程
的解，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程
的曲线是C
B．方程
的曲线可能不是C
C．曲线C 上的点都在方程
的曲线上
D．以方程
的解为坐标的点都在曲线C 上
【答案】BC
【分析】AD 选项可以举出反例，从而B 选项正确；C 选项可以从题干信息直接判断.
【详解】根据题意，曲线C 上的点的坐标都是方程
的解，故曲线C 上的点都在方程
的曲线上，C 选项正确；
但以方程
的解为坐标的点不一定在曲线C 上，
举出反例：曲线C 为圆心为
，半径为1 的圆位于x 轴上方的部分，则C 上的点的坐标是方程
的解，但
的解为坐标的点
不在曲线C 上，
故D 选项错误；
从上面的反例可以看出方程
的曲线不一定是C，A 选项错误，B 选项正确；
故选：BC
题型二：点与曲线的位置关系
6．已知曲线C 的方程是：
，
，
，
，
为直角坐标平
面上的四点，其中在曲线C 上的点为 ．
【答案】
，
【分析】代入点的坐标，满足方程则点在曲线上，若方程不成立则不在曲线上.
【详解】将
代入
中，
，故
在曲线C 上；
将
代入
中，
无意义，故
不在曲线C 上；
将
代入
中，
，故
在曲线C 上；
将
代入
中，
，故
不在曲线C 上.
故答案为：
，
7．已知曲线x2+my
3
﹣＝0 过点（1，1），则m＝ ．
【答案】2
【分析】把点的坐标代入曲线方程，求解m 即可．
【详解】曲线x2+my
3
﹣＝0 过点（1，1），
可得1+m
3
﹣＝0，可得m＝2．
故答案为：2．
8．点
在曲线
上,则a= .
【答案】
【解析】将点坐标代入曲线方程直接计算可得结果.
【详解】将点P 的坐标代入方程中可得
故答案为：
【点睛】本题考查点与曲线的关系，考查计算，属基础题.
9．已知点A(a，2)既是曲线
上的点，也是直线
上的点，则m= .
【答案】
【解析】由于点A(a，2)既是曲线
上的点，也是直线
上的点，所以
从而可求出
的值
【详解】解：由点A 既在曲线
上，也在直线
上，
则
故答案为：
【点睛】此题考查点与曲线的位置关系，属于基础题
10．分别判断点
是否在方程
的曲线上．
【答案】
、
在所给方程的曲线上，
、
不在所给方程的曲线上.
【分析】把点坐标代入方程即可判断.
【详解】由方程
可得，
，
将点
代入曲线方程，
成立，
∴
在所给方程的曲线上，
将
代入曲线方程，
，
∴
不在所给方程的曲线上，
将点
代入曲线方程，
成立，
∴
在所给方程的曲线上，
将
代入曲线方程，
，
∴
不在所给方程的曲线上.
11．判断
是否在方程
的曲线上．
【答案】
点在，
点不在.
【分析】利用代入法进行判断即可.
【详解】因为
，所以点
在方程
的曲线上，
因为
，所以
不在方程
的曲线上，
即
点在，
点不在.
题型三：由方程求曲线的图形
12．方程y＝
表示的曲线是（ ）
A．一个圆
B．两条射线
C．半个圆
D．一条射线
【答案】C
【分析】把方程两边平方，注意变量
的取值范围，可得选项．
【详解】由
得
，即
，∴曲线表示圆x2＋y2＝36 在x 轴上方的半
圆．
故选：C.
【点睛】易错点睛：把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取
值范围的变化，如本题有
，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围
有关．
13．方程
表示的曲线是（ ）
A．一个圆
B．两个半圆
C．两个圆
D．半圆
【答案】A
【分析】方程
可化为
，根据圆的概念即可得到对应曲线.
【详解】由方程
，两边平方得
，
即
，所以方程表示的轨迹为一个圆，
故选：A.
14．方程
表示的曲线是（ ）
A．圆
B．半圆与一条直线
C．一条直线
D．两条直线
【答案】D
【分析】由
等价于
或
，进而可以判断表示的曲线.
【详解】因为
，即
，所以
或
，
因此表示的曲线是两条直线，
故选：D.
15．方程
的对应曲线图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用方程判断
的值的范围，即可判断曲线的图形.
【详解】由
可知，
，
显然
时方程不成立，排除C，
又
所以
不成立，排除BD,
故选：A
16．方程
表示的几何图形是 ．
【答案】一条射线和一条直线
【分析】由已知可得出
或
，化简后可得结果.
【详解】由方程得
或
，即
或
．
故方程
表示的几何图形是一条射线和一条直线.
故答案为：一条射线和一条直线.
题型四：由方程研究曲线性质
17．已知曲线C 方程为
，则曲线C 关于（ ）
A．x 轴对称
B．y 轴对称
C．原点对称
D．
对称
【答案】B
【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可.
【详解】用
替换方程中的y，方程变为
，
与原方程不同，故曲线C 不关于
轴对称，故A 错误；
用
替换方程中的x，方程可化为为
，
与原方程相同，故曲线C 关于
轴对称，故B 正确；
用
和
替换方程中的
和
，化简后方程变为
，
故曲线C 不关于原点对称，故C 错误；
用y 替换方程中的x，同时用x 替换方程中的y，方程变为
，
故C 不关于直线
对称，故D 错误.
故选：B.
18．关于方程
所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于
轴对称
B．关于
轴对称
C．关于
对称
D．关于原点中心对称
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对称变换的方法逐项分析判断即可.
【详解】对于A，用
换方程中的
，得
，方程发生变化，即曲线关于
轴不对称，A 错
误；
对于B，用
换方程中的
，得
，方程发生变化，即曲线关于
轴不对称，B 错误；
对于C，用
换
，
换
，得
，方程发生变化，即曲线关于
轴不对称，C 错误；
对于D，将点
代入原方程仍为
，因此曲线关于原点中心对称D 正确.
故选：D
19．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔
卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所
定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C 是平面内与两个定点
和
的距离的积等于常数
的点的轨迹，则下列命题中正确的是
①．曲线C 过坐标原点
②．曲线C 关于坐标原点对称
③．曲线C 关于坐标轴对称
④．若点P 在曲线C 上，则
的面积不大于
【答案】②③④
【分析】设动点坐标为
，由已知求出轨迹方程，对选项逐一验证即可.
【详解】由题意设动点坐标为
，则
，
即
，
若曲线C 过坐标原点
，将点
代入曲线C 的方程中可得
与已知
矛盾，
故曲线C 不过坐标原点，故①错误；
把方程中的
被
代换，
被
代换，方程不变，
故曲线C 关于坐标原点对称，故②正确；
因为把方程中的
被
代换，方程不变，故此曲线关于
轴对称，
把方程中的
被
代换，方程不变，故此曲线关于
轴对称，
故曲线C 关于坐标轴对称，故③正确；
若点P 在曲线C 上，则
，
，当且仅当
时等号成立，
故
的面积不大于
，故④正确.
故选：②③④.
20．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系
中，动点
到两个定点
的距离之积等于1，化简得曲线
. 则
的最大值为 .
【答案】
【分析】根据
，求出
，先计算出
，从而
得到
，得到答案.
【详解】因为
，所以
，
，两边平方得
，即
，
解得
，
故
，
则
，
的最大值为
.
故答案为：
21．曲线C 是平面内与定点
和定直线
的距离的积等于4 的点的轨迹，给出下列四个命题：
①曲线C 过坐标原点；
②曲线C 关于x 轴对称；
③曲线C 与y 轴有3 个交点；
④若点M 在曲线C 上，则
的最小值是
；
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④．
【分析】将所求点用
直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，然后根据方程研究性
质即可求解①②③，利用消元法，然后利用函数的单调性求最值即可判断④．
【详解】设动点的坐标为
，
曲线
是平面内与定点
和定直线
的距离的积等于4 的点的轨迹，
，
当
时，
，
曲线
过坐标原点，故①正确；
将
中的
用
代入该等式不变，
曲线
关于
轴对称，故②正确；
令
时，
，故曲线
与
轴只有1 个交点，故③不正确；
，
，解得
，
若点
在曲线
上，则
，故④正确．
故答案为：①②④．
题型五：两曲线交点问题
22．曲线
与曲线
的交点个数是 ．
【答案】
【分析】联立方程，方程组解的个数即为交点个数．
【详解】由
可得，
，所以
或
，所以交点个数是
．
故答案为：
．
23．k 为何值时，方程组
（1）有一个实数解，并求出此解；
（2）有两个不相等的实数解；
（3）没有实数解.
【答案】（1）k＝0 时，方程组的解为
或者 k＝1 时方程组解为
；
（2）当k<1 且k≠0；（3）k>1.
【分析】方程组整理成关于x 的方程，分类讨论，系数为0 时有一个解，系数不为0 时讨论判别式的正负
情况即可.
【详解】将两式消掉y 整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，③
Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＝－16(k－1).
（1）当k＝0 时，y＝2，则－4x＋1＝0，解得
，方程组有一个实数解为
.
当
时，原方程组有一个实数解，即k＝1 时方程组有一个实数解，将k＝1 代入原方程组得
解得
.
（2）当
时，原方程组有两个不相等的实数解，即k<1 且k≠0.
所以当k<1 且k≠0 时，原方程组有两个不相等的实数解.
（3）当
时，解得k＞1，即当k>1 时，方程组无实数解.
【点睛】本题考查了方程组解的情况，注意对判别式的讨论．
24．求通过圆
与
的交点，并且过点
的圆的方程．
【答案】
.
【分析】通过解方程组，结合待定系数法进行求解即可.
【详解】两圆方程联立得：
，或
，
设经过点
，
的圆的方程为：
，
所以有：
，
所以经过这三点的圆的方程为：
.
25．判断直线
与曲线
是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
【答案】相交，交点坐标为：
和
.
【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.
【详解】将直线方程与曲线方程联立得：
，
解得
，或
，
当
时，
；
当
时，
，
因此直线
与曲线
相交，交点坐标为：
和
.
题型六：求平面轨迹方程
26．等腰三角形
底边两端点分别为
，顶点
的轨迹是（ ）
A．一条直线
B．一条直线去掉一点C．一个点
D．两个点
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质分析即可.
【详解】
为等腰三角形且
为底边，
点
在
的中垂线上．
又
为
的中点时不能构成三角形，
点
的轨迹应是一条直线去掉一点．
故选：B
27．到x 轴距离与到y 轴距离之比等于2 的点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据到x 轴距离与到y 轴距离之比等于2，列出等式即可求解.
【详解】设该动点为
，则有
，即
，
故选:B.
28．当点P 在圆
上变动时，它与定点
的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】相关点法求解PQ 的中点的轨迹方程.
【详解】设
，PQ 的中点M 的坐标为
，
∵
，∴
∴
又∵点P 在圆
上，
∴
，即
，
故选：C．
29．设点
，
，
为动点，已知直线
与直线
的斜率之积为定值
，点
的轨迹
是 ．
【答案】
【分析】根据该轨迹的定义即可得到方程.
【详解】根据定义，该轨迹的方程为
，即
.
化简即为
.
故答案为：
.
30．已知
，
，
为平面内的一个动点，且满足
，则点
的轨迹方程为
.
【答案】
【分析】设
，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解．
【详解】设
，由
，则
，
即
，
即
，
所以点
的轨迹方程为
．
故答案为：
．
31．已知
为坐标原点，点
在圆
上运动，则线段
的中点
的轨迹方程为
.
【答案】
【分析】设出中点坐标
，圆上的点
，由中点坐标公式把P 的坐标用M 的坐标表示，代入圆
的方程得答案.
【详解】设点
，点
，
则
所以
因为点
在圆
上，
所以
，
所以
，
所以点M 的轨迹方程为
即
，
故答案为：
.
题型七：立体几何中的轨迹问题
32．正方体
的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是正方形ABCD 所在平面内的一个动
点，且满足PM=2，P 到直线
的距离为
，则点P 轨迹是（ ）
A．圆
B．两个点
C．一条直线
D．一个点
【答案】B
【分析】根据点P 的位置特点确定点P 的轨迹即可.
【详解】因为点P 再平面ABCD 内， 且PM=2
所以点P 为平面ABCD 内，以M 为圆心，以2 为半径的圆上.
又P 到直线
的距离为
，所以点 P 在平面ABCD 内过AB 中点且平行BC 的直线上
即点P 为平面ABCD 内，以M 为圆心，以2 为半径的圆与过AB 中点且平行BC 的直线的交点
所以点P 的轨迹为两个点.选项ACD 错误
故选：B.
33．已知正方体
棱长为1，
是
的中点，点
是面
所在平面内的动点，且满
足
，则三棱锥
的体积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
，
，以
为原点，
分别为
轴和
轴建立平面直角坐标
系，由
设
，则有
，由
即可求解.
【详解】由
，可知
，即
，
而
是
的中点，故
以
为原点，
分别为
轴和
轴建立平面直角坐标系，
由
设
，则有
化简可得：
，可知点
在圆上运动，
故
.
故选：C
【点睛】本题考查了列方程求动点的轨迹方程，解题的关键是建立等量关系，属于中档题.
34．正方体
的棱长为a，P 是正方体表面上的动点，若
，则动点P 的轨迹长度
为 .
【答案】
【分析】首先利用正方体的结构特征以及
，确定点
的轨迹，进而求出其轨迹长度.
【详解】动点P 的轨迹是以A 为球心，半径为
的球与平面
，平面
，平面
的交
线，这三条弧长之和为
.
故答案为：
35．在正方体
中，已知
，
为正方形
D 内（包含边界）一点，满足
，
为
中点，则三棱锥
的体积的最大值为 .
【答案】
【分析】利用等体积法，要求三棱锥
的体积，转化为求三棱锥
的体积，这时点D 到面
的距离是4，即高为4，若体积最大，则底面积最大，再由平面知识求解.
【详解】因为
，且点D 到面
的距离是4，即高为4
又因为
所以
，
所以
的轨迹是以
为圆心，以1 为半径的四分之一圆
设点
到
的距离为，易知
所以
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了立体几何中的最值问题，还考查了转化问题的能力，属于中档题.
