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专题10 曲线与方程
题型一：曲线与方程的概念
题型二：点与曲线的位置关系
题型三：由方程求曲线的图形
题型四：由方程研究曲线性质
题型五：两曲线交点的问题
题型六：求平面轨迹方程
题型七：立体几何中的轨迹问题
题型一：曲线与方程的概念
1．下列各组两个方程表示相同曲线的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．设方程
表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线
B．一个圆和一条射线
C．一个圆
D．一条直线
3．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
4．已知坐标满足方程
的点都在曲线C 上，下列命题正确的是（ ）
A．曲线C 上的点的坐标都满足方程
B．不在曲线C 上的点的坐标都不满足方程
C．坐标不满足方程
的点都不在曲线C 上
D．曲线C 是坐标满足方程
的点的轨迹
5．（多选）若曲线C 上的点的坐标都是方程
的解，则下列结论中正确的是（ ）
A．方程
的曲线是C
B．方程
的曲线可能不是C
C．曲线C 上的点都在方程
的曲线上
D．以方程
的解为坐标的点都在曲线C 上
题型二：点与曲线的位置关系
6．已知曲线C 的方程是：
，
，
，
，
为直角坐标平
面上的四点，其中在曲线C 上的点为 ．
7．已知曲线x2+my
3
﹣＝0 过点（1，1），则m＝ ．
8．点
在曲线
上,则a= .
9．已知点A(a，2)既是曲线
上的点，也是直线
上的点，则m= .
10．分别判断点
是否在方程
的曲线上．
11．判断
是否在方程
的曲线上．
题型三：由方程求曲线的图形
12．方程y＝
表示的曲线是（ ）
A．一个圆
B．两条射线
C．半个圆
D．一条射线
13．方程
表示的曲线是（ ）
A．一个圆
B．两个半圆
C．两个圆
D．半圆
14．方程
表示的曲线是（ ）
A．圆
B．半圆与一条直线
C．一条直线
D．两条直线
15．方程
的对应曲线图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．方程
表示的几何图形是 ．
题型四：由方程研究曲线性质
17．已知曲线C 方程为
，则曲线C 关于（ ）
A．x 轴对称
B．y 轴对称
C．原点对称
D．
对称
18．关于方程
所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于
轴对称
B．关于
轴对称
C．关于
对称
D．关于原点中心对称
19．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔
卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所
定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C 是平面内与两个定点
和
的距离的积等于常数
的点的轨迹，则下列命题中正确的是
①．曲线C 过坐标原点
②．曲线C 关于坐标原点对称
③．曲线C 关于坐标轴对称
④．若点P 在曲线C 上，则
的面积不大于
20．在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线. 在平面直角坐标系
中，动点
到两个定点
的距离之积等于1，化简得曲线
. 则
的最大值为 .
21．曲线C 是平面内与定点
和定直线
的距离的积等于4 的点的轨迹，给出下列四个命题：
①曲线C 过坐标原点；
②曲线C 关于x 轴对称；
③曲线C 与y 轴有3 个交点；
④若点M 在曲线C 上，则
的最小值是
；
其中，所有正确结论的序号是 .
题型五：两曲线交点问题
22．曲线
与曲线
的交点个数是 ．
23．k 为何值时，方程组
（1）有一个实数解，并求出此解；
（2）有两个不相等的实数解；
（3）没有实数解.
24．求通过圆
与
的交点，并且过点
的圆的方程．
25．判断直线
与曲线
是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
题型六：求平面轨迹方程
26．等腰三角形
底边两端点分别为
，顶点
的轨迹是（ ）
A．一条直线
B．一条直线去掉一点C．一个点
D．两个点
27．到x 轴距离与到y 轴距离之比等于2 的点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．当点P 在圆
上变动时，它与定点
的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．设点
，
，
为动点，已知直线
与直线
的斜率之积为定值
，点
的轨迹
是 ．
30．已知
，
，
为平面内的一个动点，且满足
，则点
的轨迹方程为
.
31．已知
为坐标原点，点
在圆
上运动，则线段
的中点
的轨迹方程为
.
题型七：立体几何中的轨迹问题
32．正方体
的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是正方形ABCD 所在平面内的一个动
点，且满足PM=2，P 到直线
的距离为
，则点P 轨迹是（ ）
A．圆
B．两个点
C．一条直线
D．一个点
33．已知正方体
棱长为1，
是
的中点，点
是面
所在平面内的动点，且满
足
，则三棱锥
的体积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
34．正方体
的棱长为a，P 是正方体表面上的动点，若
，则动点P 的轨迹长度
为 .
35．在正方体
中，已知
，
为正方形
D 内（包含边界）一点，满足
，
为
中点，则三棱锥
的体积的最大值为 .
