文档文本内容
专题11 椭圆的标准方程
题型一：椭圆的定义及辨析
题型二：利用椭圆定义求方程
题型三：椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
题型四：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
题型五：判断方程是否表示椭圆
题型六：求椭圆方程
题型七：根据椭圆方程求参数
题型八：椭圆中的轨迹方程问题
题型九：椭圆中焦点三角形面积问题
题型十：椭圆中焦点三角形其他问题
题型一：椭圆的定义及辨析
1．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上任意一点，则
的中点的轨
迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
【答案】A
【分析】解法1：设
的中点为
，则
，把点
代入椭圆方程、化简，判断轨迹形
状；
解法2：如果能利用圆锥曲线的定义和三角形中位线解得
，可判断点
的轨迹．
【详解】解法1：设
的中点为
，则
，
又点
在椭圆上，所以
，化简得
，即
的中点
的轨迹是椭圆．
故选：A．
解法2：如图，取
的中点
，连接
，则
为
的中位线．
因为
，所以点
的轨迹是椭圆．
故选：A．
2．若椭圆
上一点
到椭圆一个焦点的距离为3，则
到另一个焦点的距离为（ ）
A．5
B．2
C．7
D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解.
【详解】椭圆
的长轴长
，由点
到椭圆一个焦点的距离为3 及椭圆定义，
得
到另一个焦点的距离为
.
故选：C
3．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过左焦点
作直线交
于
两点，则三角形
的周长为（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义即可求解.
【详解】由椭圆的定义得
，
则
的周长为
.
故选：D.
4．方程
表示的曲线为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．不表示任何图形
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义求解即可．
【详解】解：∵
，
∴方程可表示平面内点
到点
与点
的距离之和为
的图形，
此时
，
∴方程
表示的轨迹是线段
，
故选：C．
5．已知点
，
，动点
满足
，则动点P 的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．直线
C．线段
D．不存在
【答案】D
【分析】根据
与
的关系判断点的轨迹.
【详解】由题设知
，
则动点P 的轨迹不存在．
故选：D
题型二：利用椭圆定义求方程
6．平面内，动点
的坐标
满足方程
，则动点
的轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题目所给条件的几何意义，结合椭圆的定义直接得出点
的轨迹即可.
【详解】由两点间距离公式，条件
表示的几何意义为
点到
与
的距离之和：
，
又
，根据椭圆的定义，
点在以
和
为焦点的椭圆上，
可设标准方程为：
,
由
，
，根据
,求出
,
得到轨迹方程为：
.
故选：B
7．已知平面内一动点P 到两定点
，
的距离之和为8，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.
【详解】因为平面内一动点P 到两定点
，
的距离之和为8，且
，
所以动点P 的轨迹方程为焦点位于
轴的椭圆，
设椭圆方程为
，焦距为
，
则
，解得
，故动点P 的轨迹方程为
.
故选：B
8．椭圆的两个焦点是
和
，椭圆上的点M 到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由
求出
即可得方程.
【详解】由椭圆定义可知，
，得
，
又椭圆的两个焦点是
和
，
所以椭圆焦点在x 轴上，且
，所以
，
所以，所求椭圆的标准方程为
.
故选：C
9．方程
的化简结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由表达式几何意义并利用椭圆定义可知
满足椭圆
的方程，即可得出结果.
【详解】根据题意可知，表达式可表示点
到定点
的距离之和为10，
且
，
由椭圆定义可知点
满足以
为焦点，长轴长为10 的椭圆方程，
所以可得
.
故选：B
10．如图：已知圆
内有一点
，Q 是圆C 上的任意一点，线段AQ 的垂直平分线
与CQ 相交点M ，当点Q 在圆C 上运动时，点M 的轨迹方程为
【答案】
【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即
可出椭圆方程.
【详解】
连接
，由线段
的垂直平分线与
相交点M，可得
，
则有
，
所以点M 的轨迹是以
为焦点，以5 为长轴长的椭圆，
则
，即
，
所以点M 的轨迹方程为：
，即
，
故答案为：
.
题型三：椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
11．已知点P 是椭圆
上一点，
，
是C 的左、右焦点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义即可得答案.
【详解】
是椭圆
上的点，且
，又
，
分别为E 的左、右焦点，
由椭圆的定义知
.
故选：D
12．（多选）已知点
，P 为椭圆
上的动点，则
的（ ）
A．最大值为
B．最大值为
C．最小值为
D．最小值为
【答案】BD
【分析】利用椭圆的定义可求
的最值.
【详解】
注意到Q 为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为
，
则
，
而
的取值范围是
，即
，因此所求最大值为
，最小值为
．
故选：BD.
13．已知
为椭圆
上的一点，若
分别是圆
和
上的点，则
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】设圆
和圆
的圆心分别为
，则根据椭圆的性质可知
为定
值，再根据三角形两边之和大于第三边可知
的最大值为
与两圆半径的和可得答案.
【详解】由题设圆
和圆
的圆心分别为
，
半径分别为
，则椭圆
的焦点为
，
，
又
，
，故
，
当且仅当
分别在
的延长线上时取等号，
此时最大值为
.
故答案为：
.
14．设P 是椭圆
上的点.若
，
是椭圆的两个焦点，则
等于 .
【答案】10
【分析】由椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a 可得结果.
【详解】∵
∴
∴
∴由椭圆的定义知，
.
故答案为：10.
15．已知P 为椭圆
上一点，
分别为圆
和圆
上的点．则
的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 7 13
【分析】首先根据椭圆方程求出
，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点
，
，进而根据
椭圆的定义即可求解.
【详解】由椭圆方程知
，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点
，
，
设两圆半径分别为
，
，则
，
.
∴
，
|，
，
|，
故
的最小值为
；
的最大值为
.
故答案为：7；13
题型四：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
16．已知
是椭圆
的左焦点，
为椭圆
上任意一点，点
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助椭圆定义可得
，再借助两点间距离公式计算即可得.
【详解】如图，取椭圆
右焦点
，则
，
则由椭圆定义可知
，
则
，
当且仅当
、
、
三点共线，且
在
之间时取等，
故
的最大值为
.
故选：A.
17．设椭圆C：
的左焦点为F，下顶点为B，点P 在C 上，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．b
C．3
D．3b
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】设该椭圆的右焦点为
，
因为点P 在C 上，所以
，
所以
，
当
三点共线时，
有最大值，即
，
所以
的最大值为
，
故选：C
18．设实数
满足
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案.
【详解】设
，则
在椭圆
上，
因为
，
设
，则
为椭圆的右焦点，
如图所示，设椭圆的左焦点为
，
则
，
当且仅当
三点共线且在
之间时等号成立，
而
，故
的最小值为
.
故答案为：
.
19．已知F1，F2分别是椭圆
的左、右焦点，M 是椭圆上的动点，点A(1，1)，则
的最
大值是 .
【答案】5
【分析】先求出
，
，则
，结合图形可知
，从
而可求得结果.
【详解】设椭圆
的半焦距为
，则
，
，
所以
，
，
，
所以
．
如图，因为
（当M 在
的延长线上时取等号），
，
所以
．
所以
的最大值为5，
故答案为：5
20．已知P 是椭圆
上一点，点P 在直线l：
上的射影为Q，F 是椭圆C 的右焦
点，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的定义，得到
，得到P 在线段
上时，
取得最小
值，结合点
到直线的距离，即可求解.
【详解】由椭圆
，可得左焦点为
，则
，
于是
，当且仅当
三点共线，且P 在线段
上时，
取得最小值，
又由
的最小值为点
到直线的距离
，
所以
的最小值为.
故答案为：.
21．已知
是椭圆
的左焦点，
是椭圆
上的动点，点
，则
的最小值为
.
【答案】
/
【分析】设椭圆的右焦点
，利用椭圆的定义将
转化成
，根据三点共线
以及点点距离公式进行求解即可．
【详解】不妨设椭圆
的右焦点
，
因为点
是椭圆
上的动点，
所以
，
则
，
当且仅当
，
，
三点共线时，等号成立，
又
，
则
的最小值为
．
故答案为：
．
22．已知椭圆
，
、
分别是其左右焦点，点
是
上的动点，求
的取
值范围．
【答案】
【分析】由椭圆定义将问题转化成求
的范围，再结合三角形两边之差小于第三边即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
由题意可得
，
如图，根据三角形两边之差小于第三边可知，
，当且仅当点
三点共线时取等号，
所以
，
所以
的取值范围为
.
题型五：判断方程是否表示椭圆
23．以下方程表示椭圆的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案.
【详解】A 选项，方程
，即
，表示圆，不是椭圆，A 选项错误.
B 选项，方程
，即
，方程中间是减号，不是椭圆，B 选项错误.
C 选项，方程
，即
，
表示焦点在
轴上的椭圆，C 选项正确.
D 选项，方程
右边不是，不是椭圆，D 选项错误.
故选：C
24．已知曲线
，则“
”是“曲线C 是椭圆”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可
【详解】若曲线
是椭圆，则有：
解得：
，且
故“
”是“曲线C 是椭圆”的必要不充分条件
故选：C
25．当
时，方程
表示的曲线是（ ）
A．焦点在
轴的椭圆
B．焦点在
轴的椭圆
C．双曲线
D．圆
【答案】A
【解析】根据椭圆的标准方程的形式，即可求解，得到答案.
【详解】因为
，可得
且
，
所以方程
表示焦点在
轴的椭圆.
故选：A.
26．命题“
，曲线
是椭圆”的否定是（ ）
A．
，曲线
是椭圆
B．
，曲线
不是椭圆
C．
，曲线
是椭圆
D．
，曲线
不是椭圆
【答案】B
【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“
，曲线
是椭圆”的否定是
，曲线
不是椭圆，
故选：B.
【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.
27．（多选）已知曲线
．下列结论正确的有（ ）
A．若
，则
是椭圆，其焦点在
轴上
B．若
，则
是椭圆，其焦点在
轴上
C．若
，则
是圆，其半径为
D．若
，
，则
是两条直线
【答案】AD
【分析】将方程
，转化为
，判断选项ABC，再根据
，
判断选项D.
【详解】方程
，化为
，表示椭圆，且其焦点在
轴上，则
，即
，故A 正确；
若
，表示椭圆，且其焦点在x 轴上，则
，即
，故B 错误；
，表示圆
，即
，其半径为
故C 错误；
当
，
时，
，则
是两条直线，故D 正确，
故选：AD
题型六：求椭圆方程
28．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是
，
，椭圆上一点
到两焦点距离的和等于10；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是
，
，并且椭圆经过点
；
(3)椭圆的焦点在
轴上，
，
.
【答案】(1)
(2)
(3)
.
【分析】根据椭圆焦点的位置，设椭圆的标准方程，在结合条件，求
的值，即可得椭圆的标准方程.
【详解】（1）椭圆的焦点在
轴上，故设椭圆的标准方程为
，
由题意
，
，所以
,
所以椭圆的标准方程为
.
（2）椭圆的焦点在
轴上，故设椭圆的标准方程为
，
由椭圆的定义，知
，
，
又
，所以
，
所以椭圆的标准方程为
.
（3）
，①
又由
，得
，代入①得
，
所以
，故
，
又椭圆的焦点在
轴上，
所以椭圆的标准方程为
.
29．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的左、右焦点分别为
，点
在椭圆上，且
；
(2)焦点在坐标轴上，且经过两个点
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆定义求出
，将点
代入方程求出
得解；
（2）待定系数法求解即可求得椭圆的标准方程.
【详解】（1）由题设椭圆方程为
，
，
，即
，
将点
代入方程
，可得
，
所以椭圆方程为
.
（2）设椭圆的方程为
，
将点
，
代入椭圆的方程，
得
，解得
，
，
所以椭圆的标准方程为
.
30．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是
，
，并且经过点
，求它的标准方程；
(2)两个焦点分别是
，
，椭圆上的点
到两个焦点的距离之和等于8；
(3)两个焦点分别是
，
，并且椭圆经过点
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据焦点坐标确定椭圆焦点在
轴及的值，将椭圆方程设为
，依据椭
圆的定义确定
的值，并由
求得
，带入所设的椭圆方程即可.
（2）根据焦点坐标确定椭圆焦点在
轴，依据椭圆的定义及焦点坐标可计算出
，即可求得椭圆
方程.
（3）解法一：根据焦点坐标确定椭圆焦点在
轴且
，设椭圆标准方程带入计算即可.解法二：根据焦
点坐标确定椭圆焦点在
轴，依据椭圆的定义及焦点坐标可计算出
，即可求得椭圆方程.
【详解】（1）由于椭圆的焦点在
轴上，所以设它的标准方程为
．
由椭圆的定义知
，
，
所以
，所以
，
所以，所求椭圆的标准方程为
．
（2）由已知得
，因此
．又因为
，所以
，
因为椭圆的焦点在
轴上，所以所求的椭圆的标准方程为：
．
（3）解法一：因为椭圆的焦点在
轴上，设它的标准方程为
．
由已知得：
，又因为
，所以
．
因为点
在椭圆上，所以
，即
，
从而有
，解得
或
（舍去）．
因此，
，从而椭圆的标准方程为
．
解法二：由椭圆的定义，点
到两焦点
，
的距离之和等于
，
即
，
所以
，因为
，所以
，所以椭圆的标准方程为
．
31．求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点
，焦点坐标分别为
，
；
(2)经过
，
两点；
(3)与椭圆
有相同的焦点，且经过点
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据焦点位置设出椭圆方程，把点的坐标代入椭圆方程求解即可；
（2）设出椭圆方程，将两点代入椭圆方程，列式计算即可求解．
（3）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得
的值，即得答案．
【详解】（1）由题知：焦点在
轴，且
，
设椭圆标准方程为
，则
，
由椭圆过点
知
，解得
或
（舍去）．
所以椭圆的标准方程为
．
（2）椭圆经过
，
两点，
设所求椭圆的方程为
，
把点
、
代入得
，解得
，
所以所求椭圆的方程为
．
（3）椭圆
的焦点坐标为
，
则所求椭圆的焦点坐标也为
，
设其方程为
，则
，
又椭圆经过点
，故
，联立
，
解得
，
故椭圆方程为
．
32．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为
，
，经过点
；
(2)经过点
两点．
(3)过
且与
有相同的焦点；．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设椭圆的标准方程为
，依题意求出
和
可得结果；
（2）过两点的椭圆方程，可设为
，代入计算即可．
（3）由焦点坐标得值，设出椭圆方程将点
代入方程待定系数可得．
【详解】（1）设椭圆的标准方程为
，
依题可得
，将
代入到方程
中得
，
故
，
所以椭圆的标准方程为
．
（2）设方程为
则
，解得
，则所求椭圆方程为
（3）由方程
可知，其焦点的坐标为
，即
．
则
， 设所求椭圆方程
，
因为椭圆过点
，代入方程得
，
解得
（
舍去），
，
故椭圆的标准方程为
；
33．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过
两点.
(2)经过点
，且与椭圆
有共同的焦点；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程
，代入两点，列出方程组，求解即
得；
（2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得.
【详解】（1）设所求椭圆的方程
，
将
代入上式得
，解得
，
所以所求椭圆的标准方程为
；
（2）椭圆
，即
，故
，
则焦点为
，
，
依题意，设所求椭圆的标准方程
，
则有
，解得
，
所以所求椭圆的标准方程为
.
题型七：根据椭圆方程求参数
34．已知方程
＝1.
(1)若上述方程表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围；
(2)若上述方程表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围；
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解；
（2）根据椭圆的标准方程求解；
（3）根据椭圆的标准方程求解.
【详解】（1）依题意，有
，解得
.
故实数m 的取值范围为
.
（2）依题意，有
，解得
.
故实数m 的取值范围为
.
（3）依题意，有
，解得
，且
，
故实数m 的取值范围是
.
35．已知曲线方程
，
．
(1)若方程表示焦点在
轴上的椭圆，求
的取值范围；
(2)若方程表示焦距为2 的椭圆，求
的值．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k 的不等式，解出即可；
（2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定
，根据
求解即可.
【详解】（1）若方程表示焦点在
轴上的椭圆，则
，
解得
，
即
的取值范围为
；
（2）若方程表示焦距为2 的椭圆，则
，所以
当方程表示焦点在
轴上的椭圆，则
，且
又
，得
；
当方程表示焦点在
轴上的椭圆，则
，解得
所以
，
又
，得
；
综上，
或
.
36．已知方程
表示焦点在
轴上的椭圆，求的取值范围.
【答案】
【分析】由焦点在
轴的椭圆方程的特征求解即可．
【详解】因为方程
表示焦点在
轴上的椭圆，
所以
，解得
，
所以的取值范围是
.
37．已知
，当m 为何值时，
(1)方程表示椭圆；
(2)方程表示焦点在x 轴上的椭圆；
(3)方程表示焦点在y 轴上的椭圆．
【答案】(1)3<m<7 或7<m<11
(2)7<m<11
(3)3<m<7
【分析】（1）（2）（3）根据椭圆标准方程的定义，列出不等式即可.
【详解】（1）若方程表示椭圆，则
，解得3<m<7 或7<m<11．
（2）方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则m－3>11－m>0，解得7<m<11．
（3）方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则11－m>m－3>0，解得3<m<7．
38．设k 为实数，若椭圆的方程为
，求满足下列条件的k 的取值范围：
(1)椭圆的焦点在x 轴上；
(2)椭圆的焦点在y 轴上．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由题可得
，即求；
（2）由题可知
，即得.
【详解】（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的方程为
，
∴
，解得
，
∴k 的取值范围为
；
（2）∵椭圆的焦点在y 轴上，椭圆的方程为
，
∴
，解得
，
∴k 的取值范围为
.
题型八：椭圆中的轨迹方程问题
39．已知
的顶点
，
，且周长为16，求顶点
的轨迹方程 ．
【答案】
【分析】利用椭圆的定义，确定点
到
两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致
三点共线的情况.
【详解】因为
，而
，
所以
，
则顶点
的轨迹为以
为焦点的椭圆（除去与
共线的两点），
其中
，得
，
得
，
由于椭圆的焦点在
轴上，
则椭圆的标准方程为：
，
故答案为：
40．在平面直角坐标系中，
满足
，
、
分别为
的重心、内心，若
轴，
则点
的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行
轴，纵坐标相等，列出坐标的
关系式，求出轨迹方程.
【详解】设
，则重心
，设内切圆半径为，
又
，所以
，
因为
，则
，又
，所以
，
所以点
的轨迹方程为
.
故答案为：
.
41．如图，设A，B 的坐标分别为
，直线AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积为
求
点M 的轨迹方程．
【答案】
【分析】设
，根据题目中等量关系列式求解即可.
【详解】设点M 的坐标为
，因为点A 的坐标是
，
所以直线AM 的斜率
＝
，
同理，直线BM 的斜率
＝
．
由已知有
·
＝
，
化简得点M 的轨迹方程为
故答案为：
42．点A，B 的坐标分别是
，直线AM，BM 相交于点
，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的
乘积是
，求点
的轨迹方程．
【答案】
．
【分析】设点
的坐标为
，把
点满足的条件用坐标表示，得到曲线方程，化简整理即可.
【详解】设点
的坐标为
，因为点
的坐标是
，所以直线AM 的斜率
，
同理，直线BM 的斜率
.
由已知有
，
化简，得点
的轨迹方程为
．
43．已知圆
：
和圆
：
(1)过点
作圆
的切线，求此切线的方程；
(2)动圆M 在圆
的内部，并且与圆
内切与圆
外切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程．
【答案】(1)
或
(2)
．
【分析】（1）分切线斜率存在以及不存在讨论，结合点到直线的结论公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，结合椭圆的定义可知动圆M 的圆心的轨迹为椭圆，求出
，即可得到结果.
【详解】（1）圆心为
，半径为
，
当切线斜率不存在时，显然
满足要求；
当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为
，
即：
，
所以圆心
到切线的距离等于半径2，即：
，
则切线方程为
，化简可得
；
所以切线方程为：
或
（2）
，
，设
，动圆的半径为，
所以
，
所以M 点的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
所以
，
，
，所以轨迹方程为
．
44．过椭圆
上一点
作直线交椭圆于
点，求
中点的轨迹方程．
【答案】
【分析】解法一：用点差法，设
及其中点坐标，将
代入椭圆方程并作差变形，利用中点坐标公式
及直线的斜率即可得所求的轨迹方程；
解法二：设弦中点
利用中点坐标求得
的坐标，代入椭圆方程化简整理即得所求的轨迹方程；
解法三：设
的中点坐标为
，由
及
，得等式化简即得
所求的轨迹方程.
【详解】解法一：设
中点
，
则
，
则有
两式相减，整理得
．
又因为
，
所以
，
所以
，
而
，故
．
化简可得
．
即
中点
的轨迹方程为
．
解法二：设弦中点
．
由已知得
，
从而
，
又因为
在椭圆上，
所以
，即
，
所以
中点
的轨迹方程为
．
解法三：设
的中点坐标为
．
由结论易知：
，
又因为点
在直线
上，
所以直线的斜率还可以表示为：
，所以有
，
化简可得
．
即
中点
的轨迹方程为
．
题型九：椭圆中焦点三角形面积问题
45．设
是椭圆
上的一点，
，
为焦点，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．16
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理，求
，再代入三角形面积公式，即可求解.
【详解】
为椭圆
上的一点，
，
为焦点，
，
，
，可得
，即
，
，
设
，
，则有
，
，
，
，
．
的面积
．
故选：C．
46．已知
是椭圆
：
上一点，
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若
，则
的面积为（ ）
A．49
B．48
C．25
D．24
【答案】D
【分析】由椭圆方程得到
的值，由椭圆的定义得到
的值，联立
求得
的值，再证明
，求得
面积.
【详解】由椭圆方程可知：
，
，
，
所以作图如下：
∴由椭圆的性质可知
，由
，∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：D.
47．若点
在椭圆
上，
分别为椭圆
的左右焦点，且
，则
的面积为
（ ）
A．
B．3
C．4
D．1
【答案】A
【分析】利用椭圆定义得到
，再利用余弦定理得到
，两者
联立解出
，再利用三角形面积公式求出面积即可.
【详解】由椭圆的标准方程
，可得
，所以
，
又因为
，即
，
因为
，
在
，根据余弦定理可得
，
即
，
又因为
，所以
，
所以
，
故选：A
48．设点P 为椭圆
1 上一点，
，
分别为C 的左、右焦点，且
，则
的面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可.
解法二：设
，根据椭圆定义结合余弦定理可得
，进而可得面积.
【详解】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式
.
解法二：由椭圆方程可知：
，
设
，
则
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，可得
，
所以
的面积为
.
故选：C.
49．已知椭圆的方程为
，若点P 为椭圆上的点，且
，则
的面积为
．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得
，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】由题意得，
，故
，根据椭圆的定义得
.
在
中，由余弦定理得
，
即
，可得
，
∴
的面积为
.
故答案为：
.
50．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上，且直线
与
轴垂直.
(1)证明：
；
(2)若
的角平分线恰好过点
，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论；
（2）由角平分线定理可得
，
，解得
，代入可求得面积.
【详解】（1）由椭圆的定义得
，
因为直线
与x 轴垂直，所以
，
即
，
故
.
（2）因为
平分
，所以
，即
，如下图所示：
由
和
，解得
，
，
代入
得
，解得
；
故
的面积为
.
题型十：椭圆中焦点三角形其他问题
51．如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆于
两点，交
轴
于点
.若
，
是线段
的三等分点，则
的周长为（ ）
A．20
B．10
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三等分点结合三角形中位线定理、中点坐标公式，运用代入法、椭圆的定义进行求解即可.
【详解】不妨设点
在第一象限，
，
分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c，
由
，
是线段
的三等分点，得
是线段
的中点，而坐标原点
是
的中点，
则
，
轴，把
代入椭圆方程，得
，而
，则
，
由
为线段
的中点，得
，因此
，
解得
，而
，于是
，
所以
的周长为
.
故选：D
52．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
．过
且垂直于
的直线与
交于
，
两点，则
的周长为（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【答案】C
【分析】结合垂直平分线性质可得
的周长与
的周长相等，再结合椭圆的定义求
的周长
即可.
【详解】因为
为线段
的垂直平分线，
根据对称性，
，
，
所以
的周长等于
的周长，
利用椭圆的定义得到
的周长为
．
故选：C.
53．已知
为椭圆的焦点且
是椭圆上两点，且
，
，则
的周长为（ ）
A．26
B．28
C．30
D．32
【答案】C
【分析】不妨设
，则
，在
和
中，分别利用勾股定理列方程求出
，再根据椭圆定义求得
的周长.
【详解】不妨设
，则
，
由椭圆定义可得
，
由于
，所以
，
在
和
中，
由勾股定理得
和
，
即
和
，
解得
，
故
的周长为
.
故选：C
54．若椭圆
的两个焦点为
，
，点
在椭圆
上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合椭圆的定义及余弦定理即可求解.
【详解】由题意得
，
，
，则
，
在
中，由余弦定理可得
，
，所以
.
故选：B．
55．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
为椭圆
上一点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果.
【详解】由椭圆方程知，
，
，
，则
，
由椭圆的定义知，
，又
，
所以
，
故选：A.
56．若F 为椭圆C：
的右焦点，A，B 为C 上两动点，则
周长的最大值为 .
【答案】20
【分析】设
为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得，
，当
三点共线时，
周长取得最大值，从而可得出答案.
【详解】如图，设F1为椭圆C 的左焦点，
则由椭圆的定义可得
的周长为
，
当
共线时，
，
当
不共线时，
，
所以
周长的最大值为20.
故答案为：20.
57．椭圆
的焦点为
，点
在椭圆上，若
，则
；
的大小为
.
【答案】 2
【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求
，在焦点三角形中应用余弦定理求
的余弦值，进而
确定其大小.
【详解】∵
，
，∴
，
∴
，又
，
，
∴
，在
中，由余弦定理，得
，
∴
.
故答案为：2；
58．已知圆
，椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为坐标原点，
为椭圆
上
一点，直线
与圆
交于点
，
，若
，则
.
【答案】6
【分析】利用
求出
，然后将
转化为
求解即可.
【详解】
设
，由于
，
而
，则
，
所以
，
．
故答案为：6
